第4讲 含参不等式--尖子班
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含参不等式的解法教案一、教学目标1. 让学生掌握含参数的不等式的解法,提高解题能力。
2. 培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生的数学思维水平。
3. 通过教学,使学生能够运用含参数的不等式解法解决实际问题。
二、教学内容1. 含参数不等式的概念及特点。
2. 含参数不等式的解法:图像法、代数法、不等式组法等。
3. 典型例题解析及练习。
三、教学重点与难点1. 教学重点:含参数不等式的解法及应用。
2. 教学难点:含参数不等式解法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等相结合的教学方法。
2. 利用多媒体辅助教学,直观展示含参数不等式的解法过程。
3. 组织学生进行小组合作学习,培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入新课:复习相关知识点,如不等式的概念、性质等,引出含参数不等式。
2. 讲解含参数不等式的解法:a) 图像法:通过绘制不等式的图像,找出解集。
b) 代数法:运用不等式的性质,求解含参数的不等式。
c) 不等式组法:将多个含参数的不等式组合起来,求解公共解集。
3. 典型例题解析:分析例题,引导学生运用所学解法解决问题。
4. 课堂练习:布置练习题,让学生巩固所学知识。
5. 总结与反思:对本节课的内容进行总结,提醒学生注意解题中可能出现的问题。
6. 课后作业:布置课后作业,巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标:检查学生对含参数不等式解法的掌握程度以及解决实际问题的能力。
2. 评价方法:课堂练习、课后作业、小组讨论、个人总结等。
3. 评价内容:a) 学生能理解含参数不等式的概念及特点。
b) 学生能运用图像法、代数法、不等式组法等解法解决含参数不等式问题。
c) 学生能将所学知识应用于实际问题,提高问题解决能力。
七、教学反思1. 教师应在课后对教学效果进行反思,分析学生的反馈意见,调整教学方法及内容。
2. 关注学生在解题过程中的困难,针对性地进行辅导,提高学生的解题技巧。
第4讲 平行线⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩平行公理及推论平行线的判定平行线平行线的性质判定与性质的综合命题、定理、证明知识点1 平行公理及推论1. 在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行. 直线a 与直线b 不相交时,直线a 与b 互相平行,记作a ∥b.2. 平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.【典例】1.如图,已知OA ∥CD ,OB ∥CD ,那么∠AOB 是平角,为什么?2.如图,AD ∥BC ,E 为AB 上任一点,过E 点作EF ∥AD 交DC 于F .问EF 与BC 的位置关系怎样,为什么?【方法总结】结论:已知直线CD ,若OA ∥CD ,OB ∥CD ,则O ,A,B 三点共线.常用方法:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.平行公理的推论是判定两直线平行的一种常用方法,要牢固掌握.【随堂练习】1.(2018春•静安区期中)已知在同一平面内有三条不同的直线a,b,c,下列说法错误的是()A.如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c B.如果b∥a,c∥a,那么b∥cC.如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c D.如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c2.(2018春•宁晋县期中)平面内有三条直线a、b、c,下列说法:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c,其中正确的是()A.只有①B.只有②C.①②都正确D.①②都不正确知识点2 平行线的判定1. 平行线的判定方法:判定方法1 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:同位角相等,两直线平行.如图1,∵∠4=∠2,∴a∥b.判定方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:内错角相等,两直线平行.如图2,∵∠4=∠5,∴a∥b.判定方法3 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:同旁内角互补,两直线平行.如图3,∵∠4+∠1=180°,∴a∥b.2. 重要结论:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.注意:条件“同一平面”不能缺少,否则结论不成立.【典例】1.AB⊥BC,∠1+∠2=90°,∠2=∠3.BE与DF平行吗?为什么?解:BE∥DF.∵AB⊥BC,∴∠ABC=____°,即∠3+∠4=____°.又∵∠1+∠2=90°,且∠2=∠3,∴____=____.理由是:_________.∴BE∥DF.理由是:_____________.【方法总结】思路回顾:由AB垂直于BC,利用垂直的定义得到∠ABC为直角,进而得到∠3与∠4互余,再由∠1与∠2互余,2=∠3,利用等角的余角相等得到∠1=∠4,利用同位角相等两直线平行即可说明BE平行于DF.此题考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.【随堂练习】1.(2018春•玄武区期末)如图,AD是△ABC的角平分线,点E在BC上.点G 在CA的延长线上,EG交AB于点F,∠AFG=∠G,求证:GE∥AD.2.(2018春•三台县期中)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BC∥EF.3.(2018春•思南县期末)如图,已知∠A=∠F,∠C=∠D,试说明BD∥CE.4.(2018春•江夏区期中)完成下面的证明,括号内填根据.如图,直线a、b、c被直线l所截,量得∠1=65°,∠2=115°,∠3=65°.求证:a ∥b证明::∠1=65°,∠3=65°∴_______∴___________________∵∠2=115°,∠3=65°∴____________∴___________________∴a∥b知识点3 平行线的性质平行线的性质:性质1 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.如图1,∵a∥b,∴∠4=∠2.性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等.如图2,∵a∥b,∴∠4=∠5.性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:同旁内角互补,两直线平行.如图3,∵a∥b,∴∠4+∠1=180°.【典例】1.如图,∠ACB=90°,BD平分∠ABE,CD∥AB交BD于点D,若∠1=20°,求∠2的度数.【方法总结】思路回顾:根据BD平分∠ABE,∠1=20°,可得∠ABC的度数.根据CD∥AB,可得∠DCE=∠ABC,进而可得∠DCE的度数.依据∠ACB=90°,得出∠2=90°﹣∠DCE,从而求得∠2的度数.本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,同位角相等.【随堂练习】1.(2018秋•连城县期中)已知:如图所示,AB∥CD,AE交CD于点C,DE⊥AE,垂足为E,∠A+∠1=70°,求:∠D的度数.2.(2018秋•沙坪坝区校级月考)如图,MN∥PQ,点A在MN上,点B在PQ上,连接AB,过点A作AC⊥AB交PQ于点C.过点B作BD平分∠ABC交AC 于点D,若∠NAC=32°,求∠ADB的度数.3.(2018春•长白县期中)如图所示,已知直线DE∥BC,GF⊥AB于点F,∠1=∠2,判断CD与AB的位置关系.并说明理由.知识点4 平行线的判定与性质的综合运用两直线平行⇔同位角相等.两直线平行⇔内错角相等.两直线平行⇔同旁内角互补.“⇔”叫做“等价于”,即由左边能推出右边,由右边也能推出左边.【典例】1.把下面的推理过程补充完整,并在括号内注明理由.如图,点D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点,连接DE,DF,DE∥AB,∠BFD=∠CED,连接BE交DF于点G,试说明:∠EGF+∠AEG=180°.理由:∵DE∥AB(已知),∴∠A=∠CED(___________________________),又∵∠BFD=∠CED(已知),∴∠A=∠BFD(___________________),∴DF∥AE(___________________________)∴∠EGF+∠AEG=180°(___________________________).2.已知:如图∠1=∠2,∠C=∠D,试说明:∠A=∠F.【方法总结】平行线的判定是由角的关系得到两直线平行,平形线的性质是由两直线平行得到角之间的关系,他们都可以作为说理的依据.其他常见的说理依据有:已知、等量代换、对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等、平行于同一条直线的两条直线互相平行、三角形的内角和等于180°等.【随堂练习】1.(2018春•容县期中)如图,已知∠ABC=180°﹣∠A,BD⊥CD于D,EF⊥CD 于F.求证:∠1=∠2.2.(2018春•开福区校级月考)已知:如图,AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2.(1)求证:AB∥CD;(2)若∠D=∠3+50°,∠CBD=80°,求∠C的度数.3.(2018春•仓山区期中)如图,∠1+∠2=180°,∠3=∠B,求证:EF∥BC,请你补充完成下面的推导过程.证明:∵∠1+∠2=180°(已知)∠2=∠4(_______)∴∠___+∠4=180°(等量代换)∴DF∥AB(______________)∴∠B=∠FDH(_____________)∵∠3=∠B(____)∴∠3=∠_____(______)∴EF∥BC(_____________)4.(2018春•大田县期中)如图,已知∠B+∠BCD=180°,∠B=∠D.求证:AD∥BE.证明:∵∠B+∠BCD=180°(已如).∴AB∥CD(______________)∴∠B=______(_____________)又∠B=∠D(已知)∴∠_____=∠___(等量代换)∴AD∥BE(_____________)知识点5 命题、定理、证明1. 命题:判断一件事情的语句叫做命题.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论.2. 真命题:如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题.假命题:题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.3. 定理:经过推理证实的真命题叫做定理.判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.4. 判断一个命题是真命题,需要进行证明;判断一个命题是假命题,只要举出一个例子(反例),它符合命题的题设,但不满足结论就可以了.【典例】1.如图,已知:点A、B、C在一条直线上.(1)请从三个论断①AD∥BE;②∠1=∠2;③∠A=∠E中,选两个作为条件,另一个作为结论构成一个真命题:条件:__________________________.结论:___________________________.(2)证明你所构建的是真命题.【方法总结】此类题属于开放性题目,只要找出的条件和结论能组成真命题即可,答案不唯一.证明时推理要严谨,每一步都要有理论依据.拓展:证明文字叙述题的规范证明步骤:①写出已知,求证,画出图形;②证明.【随堂练习】1.(2017秋•迁安市期末)下列命题中的逆命题一定成立的有()①对顶角相等;②同位角相等,两直线平行;③若a=b,则|a|=|b|;④若a>b,则a2>b2.A.①②③④B.①④C.②④D.②2.(2018春•兰陵县期中)下列命题中,真命题有()①同位角相等;②两条直线被第三条直线所截,内错角相等;③对顶角相等;④经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行;⑤已知直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c.⑥相等的角是对顶角;⑦如果x2>0,那么x>0A.3个B.4个C.5个D.6个综合运用1.(2018春•杭州期中)下列说法:①两点之间的距离是两点间的线段的长度;②过一点有且只有一条直线与已知直线平行;③两点之间的所有连线中,线段最短;④若a⊥b,c⊥b,则a与b的关系是平行;⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线;其中正确的是______.2.(2018春•定陶区期中)下列结论正确的是()A.同位角相等B.同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线C.过一点有且只有一条直线与已知直线平行D.垂直于同一条直线的两条直线互相平行3.(2018春•建安区期末)已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.求证:ED∥FB.4.(2018•广元)如图,∠A=22°,∠E=30°,AC∥EF,则∠1的度数为_____.5.(2018春•桥西区校级期中)如图,已知∠ABC+∠ECB=180°,∠P=∠Q.求证:∠1=∠2.6.(2018春•防城港期中)如图,∠DAB+∠D=180°,AC平分∠DAB,且∠CAD=25°,求∠C的度数.。
含参不等式的解法教案一、教学目标:1. 让学生掌握含参不等式的基本概念和解法。
2. 培养学生运用含参不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容:1. 含参不等式的定义及分类。
2. 含参不等式的解法:图像法、代入法、不等式法、参数分离法等。
3. 含参不等式在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点:1. 教学重点:含参不等式的解法及其应用。
2. 教学难点:含参不等式解法在实际问题中的应用。
四、教学方法:1. 采用讲授法,讲解含参不等式的基本概念和解法。
2. 利用案例分析法,分析含参不等式在实际问题中的应用。
3. 组织小组讨论法,让学生合作探究含参不等式的解法。
五、教学过程:1. 导入:通过简单的不等式问题,引导学生思考含参不等式的概念。
2. 讲解:讲解含参不等式的定义、分类和解法,结合实际例子进行分析。
3. 练习:布置练习题,让学生巩固含参不等式的解法。
4. 案例分析:分析含参不等式在实际问题中的应用,引导学生运用所学知识解决实际问题。
5. 小组讨论:组织学生进行小组讨论,分享含参不等式的解法心得。
6. 总结:对本节课的内容进行总结,强调含参不等式的解法及其应用。
7. 作业布置:布置课后作业,巩固所学知识。
教学反思:在课后对教学效果进行反思,了解学生的掌握情况,针对存在的问题进行调整教学方法,以提高学生对含参不等式的理解和应用能力。
六、教学评价:1. 课堂表现评价:观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况,了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习题评价:通过学生完成的练习题,评估学生对含参不等式解法的掌握程度。
3. 案例分析评价:评估学生在案例分析中的表现,包括分析问题的能力、运用所学知识解决问题的能力。
七、教学拓展:1. 对比分析:引导学生对比含参不等式与一般不等式的异同,加深对含参不等式的理解。
2. 研究性问题:提出研究性问题,引导学生进行深入探究,如探讨含参不等式在实际应用中的局限性等。
含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。
一般地,对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1)0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ; 2)0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a例1.已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ,求实数a 的取值范围。
解:由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立,即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。
所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞ 。
若二次不等式中x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。
例2.设22)(2+-=mx x x f ,当),1[+∞-∈x 时,m x f ≥)(恒成立,求实数m 的取值范围。
解:设m mx x x F -+-=22)(2,则当),1[+∞-∈x 时,0)(≥x F 恒成立当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时,0)(>x F 显然成立;当0≥∆时,如图,0)(≥x F 恒成立的充要条件为: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有:1)a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔2)a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔例3.已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=,当]3,3[-∈x 时,)()(x g x f ≤恒成立,求实数a 的取值范围。
第4讲全等辅助线(二)知识点1 半角模型我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线,使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型. 常见的图形为正方形,正三角形等.(1)正方形内含半角:如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,∠EAF=45°,易证:EF=BE+DF. (2)正三角形内含半角:如图,在四边形ABCD中,AB=AC=BC,BD=DC,E、F分别是AB、AC边上的点,∠BDC=120° , ∠EDF=60°,易证:EF=FC+BE.【典例】1.已知:正方形ABCD 中,45MAN ∠=︒,它的两边分别交线段CB DC 、于点M N 、.求证BM DN MN +=.【方法总结】本题考查了全等三角形的性质和判定,此题比较典型,具有一定的代表性,且证明过程类似, 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形,从而进行等量代换,然后证明与半角形成的三角形全等,再通过全等的性质得出线段之间的数量关系,从而解决问题.【随堂练习】1.(2017秋•河西区校级月考)把两个全等的直角三角板的斜边重合,组成一个四边形ABCD 以D 为顶点作∠MDN ,交边AC 、BC 于M 、N .(1)若∠ACD=30°,∠MDN=60°,当∠MDN 绕点D 旋转时,AM 、MN 、BN 三条线段之间有何种数量关系?证明你的结论;(2)当∠ACD+∠MDN=90°时,AM 、MN 、BN 三条线段之间有何数量关系?证明你的结论;(3)如图③,在(2)的结论下,若将M 、N 分改在CA 、BC 的延长上,完成图3,其余条件不变,则AM 、MN 、BN 之间有何数量关系(直接写出结论,不必证明)NMD CBANMCBABNC知识点2 手拉手模型“手拉手”数学模型: 1.如图,已知点C 为线段AB 上一点,ACM △、BCN △是等边三角形. ⑴ 求证:AN BM =.⑵ 将ACM △绕点C 按逆时针方向旋转180°,使点A 落在CB 上,请你对照原题图在图中画出符合要求的图形;⑶ 在⑵得到的图形中,结论“AN BM =”是否还成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由;【方法总结】这是一个运动变化的探索题,是“手拉手”经典例题,证明方法类似,且在一定的条件下,探究原结论的存在性(不变性);解决此类题,需要画图分析、判断、猜想、推理论证.【随堂练习】(2017春•漳浦县期中)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC.(1)请猜想:DC与BE的数量关系,并给予证明;(2)求证:DC⊥BE.知识点3 三垂模型常见三垂直模型【典例】1.如图(1),已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE,(1)试判断AC与CE的位置关系,并说明理由.(2)若将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形,其余条件不变,此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗?请任选一个说明理由.【方法总结】本题主要考查全等三角形的判定、平移的性质,关键在于根据题意求证相关三角形全等.对于第一问,根据题意推出△ABC≌△CDE,即可推出AC⊥CE;对于第二问,主要是根据已知推出△ABC1≌△C2DE,即可推出结论.【随堂练习】1.(2016秋•罗平县期末)已知:如图1,点A是线段DE上一点,∠BAC=90°,AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE,(1)求证:DE=BD+CE.(2)如果是如图2这个图形,我们能得到什么结论?并证明.2.(2016秋•杭州期末)如图,∠BCA=90°,AC=BC,BE⊥CF于点E,AF⊥CF 于点F,其中0°<∠ACF<45°.(1)求证:△BEC≌△CFA;(2)若AF=5,EF=8,求BE的长;(3)连接AB,取AB的中点为Q,连接QE,QF,判断△QEF的形状,并说明理由.OGFECB A综合运用1.在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ,D 为三角形ABC 外一点,且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究:当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系.图1 图2(1)如图1,当点M 、N 在边AB 、AC 上,且DM=DN 时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ; (2)如图2,点M 、N 在边AB 、AC 上,且当DM ≠DN 时,猜想⑴问的结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明.2. 如图,等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于A ,连接BF 、CE , 求证:BF =CE 并求出∠EOB 的度数.3. 如图,正五边形ABDEF 与正五边形ACMHG 共点于A ,连接BG 、CF ,则线段BG 、CF 具有什么样的数量关系并求出∠GNC 的度数.AM N BCDCBN M A4. 如图,已知锐角△ABC中,以AB,AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结CE、BG,交点为O.(1)求证:EC=BG且EC⊥BG.(2)探究:△ABC与△AEG面积是否相等?并说明理由.5. 如图①,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B、C、D在同一直线上,连接BE,AD.(1)求证:BE=AD;(2)如图②,点P为线段BE上一点,点F为线段AD上一点,AF=BP,连接AP,CP,PF,若PF⊥AD,求∠BPC的度数;6. 如图1所示,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且B点和C点在AE的异侧,BD⊥AE于D点,CE⊥AE与E点.(1)求证:BD=DE+CE(2)若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置时(BD<CE)其余条件不变,问BD 与DE,CE的关系如何?请予以证明.(3)若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置时(BD>CE)其余条件不变,问BD 与DE,CE的关系如何?直接写出结果,不需证明.。
含参不等式的解法教案第一章:不等式概述1.1 不等式的定义介绍不等式的概念,形式以及基本性质。
强调不等式与等式的区别。
1.2 不等式的分类分类介绍简单不等式、复合不等式、含参不等式等。
分析各种不等式的特点和求解方法。
第二章:简单不等式的解法2.1 符号规则介绍不等式中的符号规则,如“<”和“>”的转换。
强调不等式两边加减乘除同一数的规则。
2.2 解简单不等式利用符号规则,求解具体简单不等式。
举例讲解如何通过移项、合并同类项来求解简单不等式。
第三章:含参不等式的解法(一)3.1 含参不等式的概念解释含参不等式的定义,强调参数在不等式中的作用。
举例说明含参不等式的形式。
3.2 参数的分类讨论介绍参数在不同情况下对不等式解集的影响。
强调分类讨论的方法和步骤。
第四章:含参不等式的解法(二)4.1 利用图像解含参不等式介绍利用图像解含参不等式的方法。
举例讲解如何通过分析图像来确定不等式的解集。
4.2 利用代数方法解含参不等式介绍利用代数方法解含参不等式的方法。
举例讲解如何通过代数运算来求解含参不等式。
第五章:综合练习5.1 综合练习题提供一系列综合性的练习题,涵盖前四章的内容。
要求学生独立完成练习题,巩固所学知识。
5.2 解答与解析提供练习题的解答和解析。
分析学生的常见错误,并进行讲解和指导。
第六章:含参不等式的应用6.1 应用背景介绍介绍含参不等式在实际问题中的应用背景。
强调含参不等式解决实际问题的方法和步骤。
6.2 案例分析提供具体案例,让学生运用含参不等式解决问题。
引导学生通过分析和计算,得出案例的解答。
第七章:含参不等式的转换与化简7.1 不等式的转换介绍如何将含参不等式进行转换,例如从一边不等式转换到另一边不等式。
举例讲解转换的方法和步骤。
7.2 不等式的化简介绍如何将含参不等式进行化简,例如合并同类项、消去参数等。
举例讲解化简的方法和步骤。
第八章:含参不等式的图像解法8.1 图像解法原理介绍含参不等式的图像解法原理。
敏解数学老湿,什么叫含参不等式啊?例如:2x2+a x−2<0(其中a为参数)a x2−5x+1>0(其中a为参数)那老湿,含参不等式怎么解啊?含参不等式一般解法是:①令左边=0,求根;②讨论两根的大小(一般分三种情况).例1、解关于x的不等式x2+2−a x−2a<0.解析:令x2+2−a x−2a=0x+2x−a=0∴x1=−2,x2=a则x2+2−a x−2a<0①a>−2时:a −2∴x−2<x<a ②a=−2时:∅③a<−2时:−2a∴x a<x<−2−2=a①令左边=0,求根;②讨论两根的大小(一般分三种情况).综合①②③得:a>−2时:a=−2时:则不等式无解a<−2时:不等式的解集是x a<x<−2不等式的解集是x−2<x<a解析:例2、解关于x 的不等式ax 2−2a −1x −2>0.①当a =0时:x −2>0∴x >2②当a ≠0时:ax +1x −2=0∴x 1=−1a ,x 2=2令ax 2−2a −1x −2=0i a >0时:∴x −1a <x <2 ii −12<a <0时:−1a 2∴x 2<x <−1a iii a ≤−12时:2−1a ∴x −1a<x <2则ax 2−2a −1x −2>0,图像如下:综上所得:①当a=0时:不等式的解集是x x>2②当a>0时:不等式的解集是x−1<x<2a③当−1<a<0时:2不等式的解集是x2<x<−1a时:④当a≤−12不等式的解集是x−1<x<2a《本讲总结》含参不等式解法总结:①讨论二次项系数(为0或不为0)②对方程进行求解(因式分解)③讨论两根的大小(一般分大于、等于、小于情况)解关于x的不等式ax2−a+1x+1<0(a>0 .解:(i)令ax 2−a +1x +1=0∴x 1=1a ,x 2=1.当1a >1,解集为:x ∈1,1a 即0<a <1时,(ii)解集为:(iii)解集为:x ∈∅当1a <1,即a >1时,x ∈1a ,1当1a =1,即a =1时,ax −1x −1=0小试牛刀答案:。
含参不等式的解法教案一、教学目标1. 让学生掌握含参不等式的基本概念和解法。
2. 培养学生运用含参不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 含参不等式的定义及分类。
2. 含参不等式的解法:图像法、代数法、不等式组法。
3. 含参不等式在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点:含参不等式的解法及其应用。
2. 难点:含参不等式解法的灵活运用。
四、教学方法与手段1. 采用案例分析法、讨论法、实践教学法等多种教学方法。
2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段辅助教学。
五、教学过程1. 导入:通过生活实例引入含参不等式的概念,激发学生兴趣。
2. 讲解:讲解含参不等式的定义、分类和解法。
3. 案例分析:分析含参不等式在实际问题中的应用,引导学生学会解决问题。
4. 练习:布置练习题,让学生巩固所学知识。
5. 总结:对本节课内容进行总结,强调重点和难点。
6. 作业布置:布置课后作业,巩固所学知识。
六、教学活动设计1. 课堂互动:通过提问、讨论等方式,让学生积极参与课堂,提高课堂氛围。
2. 小组合作:分组练习含参不等式的解法,培养学生的团队协作能力。
3. 课后实践:布置实践性作业,让学生将所学知识应用于实际问题中。
七、教学评价1. 课堂表现:评价学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。
2. 练习作业:评价学生课后作业的完成情况,检查掌握程度。
3. 实践成果:评价学生在实际问题中的应用能力,展示成果。
八、教学反思1. 总结本节课的教学效果,反思教学方法的适用性。
2. 针对学生的掌握情况,调整教学策略,提高教学效果。
3. 搜集学生反馈意见,不断优化教学内容和方法。
九、教学拓展1. 探讨含参不等式与实际生活中的联系,引导学生关注数学在生活中的应用。
2. 介绍含参不等式的相关研究动态和最新成果,激发学生的学习兴趣。
3. 推荐相关的学习资料,引导学生开展课外学习。
十、教学时间表1. 第1-2课时:介绍含参不等式的定义、分类和解法。
第4讲 含参的不等式知识点1 含参的一元一次不等式含参的一元一次不等式(1)含未知数项的系数不含参数,如x >a ,(其中a 为常数);(2)含未知数项的系数含参数,如mx >n ,(其中m 为参数、n 为常数).【典例】1.已知不等式2(m ﹣x )+1>3x ﹣2的解集是x <32,则m 的值为 . 【答案】94.【解析】解:去括号,得2m ﹣2x+1>3x ﹣2, 移项,得3x+2x <2m+1+2, 合并同类项,得,5x <2m+3, 系数化为1,得,x <2m+35,∵不等式2(m ﹣x )+1>3x ﹣2的解集是x <32, ∴2m+35=32,解得m=94.2.若不等式(a+1)x >a+1的解集是x <1,则a 的取值范围是____________.【答案】a<﹣1.【解析】解:∵当a+1=0,即a=-1时,0>0不成立,∴当a+1=0时,不等式(a+1)x>a+1无解集,∴a+1≠0,∵不等式(a+1)x>a+1两边都除以a+1,得其解集为x<1,∴未知数x的系数(a+1)为负,∴a+1<0,解得:a<﹣1,故答案为:a<﹣1.3.关于x的两个不等式①3x+a2<1与②1﹣3x>0.(1)若两个不等式的解集相同,求a的值.(2)若不等式①的解都是②的解,求a的取值范围.【答案】略.【解析】解:(1)由①得:x<2−a3,由②得:x<13,由两个不等式的解集相同,得到2−a3=13,解得:a=1;(2)由不等式①的解都是②的解,得到2−a3≤13,解得:a≥1.4.若关于x,y的方程组{3x+y=1−ax+3y=3的解满足x+y<2,则a的取值范围为.【答案】a>﹣4.【解析】解:{3x+y=1−a ①x+3y=3 ②,①+②得:4(x+y)=4﹣a,则x+y=14(4﹣a ), 则14(4﹣a )<2,解得:a >﹣4. 故答案是:a >﹣4.【方法总结】1. 已知一元一次不等式(系数不含参)及其解集,求参数的值的思路. 如已知不等式2(m ﹣x )+1>3x ﹣2的解集是x <32,求m 的值,①求不等式2(m ﹣x )+1>3x ﹣2的解集为x <2m+35,②令2m+35=32,从而不难求出m 的值,2. 求一元一次不等式ax >b(a ,b 是常数)解集的思路.需要借助分类讨论思想,①若a >0,则不等式ax >b 的解集为x >ba ;②若a <0,则不等式ax >b 的解集为x <ba ;③若a=0,b <0,则不等式ax >b 的解集为任意实数;若a=0,b ≥0,则不等式ax >b 无解集.3. 已知一元一次不等式①和②的解集相同,求参数的值的思路.如关于x 的两个不等式①3x+a 2<1与②1﹣3x >0,若两个不等式的解集相同,求a 的值.①分别求出不等式①和②的解集为x <2−a 3和x <13,②令2−a 3=13,从而不难求出a 的值.4. 已知一元一次不等式①的解都是②的解,求参数的取值范围的思路. 如关于x 的两个不等式①3x+a 2<1与②1﹣3x >0,若不等式①的解都是②的解,求a 的取值范围的思路.①分别求出不等式①和②的解集为x <2−a 3和x <13,②令2−a 3≤13,从而不难求出a 的取值范围.【随堂练习】1.如果关于x的不等(2m﹣n)x+m﹣5n>0的解集为x<,试求关于x的不等式mx>n的解集.【解答】解:移项得(2m﹣n)x>5n﹣m,∵关于x的不等(2m﹣n)x+m﹣5n>0的解集为x<,∴2m﹣n<0,且x<,∴=,整理得n=m,把n=m代入2m﹣n<0得,2m﹣m<0,解得m<0,∵mx>n,∴mx>m,∴x<.∴关于x的不等式mx>n的解集是x<.知识点2 含参的一元一次不等式组含参的一元一次不等式组常考题型1.给出不等式组解集的情况,求参数取值范围2.给出不等式组的解集,求参数的值3.给出方程(组)解的情况,转化为不等式(组),求参数的取值范围4.给出不等式组整数解的个数,确定参数的取值范围【典例】1. 若关于x 的一元一次不等式组{x −2m <0x +m >2有解,则m 的取值范围为 .【答案】m >23.【解析】解:{x −2m <0⋯①x +m >2⋯ ②,解①得:x <2m , 解②得:x >2﹣m ,∵关于x 的一元一次不等式组{x −2m <0x +m >2有解,∴2m >2﹣m ,解得:m >23. 故答案是:m >23.2.已知不等式{2x −a <1x −2b >3的解集为﹣1<x <1,求(a+1)(b ﹣1)的值为 .【答案】﹣6.【解析】解:由2x −a <1,解得x <a+12.由x −2b >3,解得x >3+2b .∵不等式{2x −a <1x −2b >3的解集为﹣1<x <1,∴a+12=1,3+2b=﹣1,解得a=1,b=﹣2,∴(a+1)(b ﹣1)=(1+1)×(﹣2﹣1)=﹣6, ∴(a+1)(b ﹣1)的值为﹣6. 故答案为﹣6.3.如果关于x 、y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解都是正数,则a 的取值范围是 .【答案】﹣4<a <5. 【解析】解:{x +y =3 ①x −2y =a −2②,①﹣②得3y=5﹣a ,则y=5−a 3, 把y=5−a 3代入①得x=3﹣5−a 3=4+a 3.则方程组的解是{x =4+a3y =5−a 3,∵关于x 、y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解都是正数,∴{4+a3>05−a 3>0, 解得﹣4<a <5. 故答案是:﹣4<a <5.4.不等式组{3x −5>15x −a ≤12有2个整数解,则实数a 的取值范围是 .【答案】8≤a <13.【解析】解:解不等式3x ﹣5>1,得:x >2, 解不等式5x ﹣a ≤12,得:x ≤a+125,∵不等式组有2个整数解,∴不等式组{3x −5>15x −a ≤12整数解为3和4,则4≤a+125<5,解得:8≤a <13, 故答案为:8≤a <13.【方法总结】1.给出不等式组解的情况,求参数取值范围,解题思路如下:①分别求出不等式组中每个不等式的解集,②确定参数的取值范围,记住:“大小小大有解;大大小小无解.”注意:端点值另外考虑.2.给出不等式组的解集,求参数的值,解题思路如下:①先求出含参不等式组中每个不等式的解集;②再利用已知解集和所求解集之间的对应关系,建立方程(组);③解方程(组),从而求出参数的值.3.给出方程(组)解的情况,转化为不等式(组),求参数的取值范围,解题思路如下:①先求含参数的方程组的解,方程组的解用含参的式子表示出来;②列出题目中解满足的不等关系,将含参数的式子代入,转化为关于参数的不等式(组),③解不等式(组),从而求出参数的取值范围.4.给出不等式组整数解的个数,确定参数的取值范围,解题思路如下:①先求出不含参数的不等式的解集;②再结合题意,在不含参数的不等式解集范围内找出连续的几个整数解;③参数的范围就在最后一个整数解差一个单位长度的范围内(借助数轴解决问题),注意:端点值特殊考虑.【随堂练习】1.已知关于x,y的方程组,其中﹣3≤a≤1.(1)当a=﹣2时,求x,y的值;(2)若x≤1,求y的取值范围.【解答】解:(1),①﹣②,得:4y=4﹣4a,解得:y=1﹣a,将y=1﹣a代入②,得:x﹣1+a=3a,解得:x=2a+1,则,∵a=﹣2,∴x=﹣4+1=﹣3,y=1+2=3;(2)∵x=2a+1≤1,即a≤0,∴﹣3≤a≤0,即1≤1﹣a≤4,则1≤y≤4.2.已知关于x、y的方程组(实数m是常数).(1)若x+y=1,求实数m的值;(2)若﹣1<x﹣y<5,求m的取值范围;(3)在(2)的条件下,化简:|m+2|﹣|2m﹣6|.【解答】解:(1)将方程组中的两个方程相加,得3(x+y)=6m+1,将x+y=1代入,得6m+1=3,解得m=;(2)将方程组中的两个方程相减,得x﹣y=2m﹣1,解不等式组﹣1<2m﹣1<5,得0<m<3;(3)当0≤m≤3时,|m+2|-|2m﹣6|=(m+2)+(2m﹣6)=3m-4.知识点3 一元一次不等式的应用一元一次不等式的应用(1)由实际问题中的不等关系列出不等式,建立解决问题的数学模型,通过解不等式可以得到实际问题的答案.(2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因此,建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.(3)列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤:①弄清题中数量关系,用字母表示未知数.②根据题中的不等关系列出不等式.③解不等式,求出解集.④写出符合题意的解.【典例】1.某中学计划用2500元购买一批名著和辞典作为奖品,其中名著每套60元,辞典每本40元,现已购买名著24套,学校最多还能买多少本辞典?【答案】略.【解析】解:设学校能买x本辞典,∵名著每套60元,现已购买名著24套,辞典每本40元,学校能买x本辞典,∴购买24套名著费用=24×60(元),购买x本辞典费用=40x(元),∵购买24套名著费用与购买x本辞典费用和不超过2500元,,∴可列出关于x的一元一次不等式:40x+24×60≤2500,解得:x≤2612∵x为整数,∴x=26.答:学校最多能买26本辞典.【方法总结】一元一次不等式的应用解决此类问题关键在于掌握解列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤:①弄清题中数量关系,用字母表示未知数.②根据题中的不等关系列出不等式.③解不等式,求出解集.④写出符合题意的解.【随堂练习】1.为了开展全校学生阳光体育运动活动,增强学生身体素质,张老师所在的学校需要购买若干个足球和篮球.他曾三次在某商场购买过足球和篮球,其中有一次购买时,遇到商场打折销售,其余两次均按标价购买.三次购买足球和篮球的数量和费用如下表:足球数量(个)篮球数量(个)总费用(元)第一次65750第二次37780第三次78742(1)张老师是第三次购买足球和篮球时,遇到商场打折销售的;(2)求足球和篮球的标价;(3)如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销,张老师决定从该商场一次性购买足球和篮球50个,且总费用不能超过2200元,那么最多可以购买多少个篮球.【解答】解:(1)张老师是第三次购买足球和篮球时,遇到商场打折销售.理由:∵张老师在某商场购买足球和篮球共三次,只有一次购买时,足球和篮球同时打折,其余两次均按标价购买,且只有第三次购买数量明显增多,但是总的费用不高,∴按打折价购买足球和篮球是第三次购买;故答案为:三;(2)设足球的标价为x元,篮球的标价为y元.根据题意,得,解得:.答:足球的标价为50元,篮球的标价为90元;(3)设购买a个篮球,依题意有0.6×50(50﹣a)+0.6×90a≤2200,解得a≤29.故最多可以买29个篮球.2.甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过100元后,超出100元的部分按90%收费;在乙商场累计购物超过50元后,超出50元的部分按95%收费.若顾客购物应付x元,请根据x的取值,讨论顾客到哪家商场购物花费少?【解答】解:(1)当x≤50时,在甲、乙两个商场购物都不享受优惠,因此到两个商场购物花费一样;(2)当50<x≤100时,在乙商场购物享受优惠,在甲商场购物不享受优惠,因此在乙商场购物花费少;(3)当累计购物超过100元时,即x>100元,甲商场消费为:100+(x﹣100)×0.9元,在乙商场消费为:50+(x﹣50)×0.95元.当100+(x﹣100)×0.9>50+(x﹣50)×0.95,解得:x<150,当100+(x﹣100)×0.9<50+(x﹣50)×0.95,解得:x>150,当100+(x﹣100)×0.9=50+(x﹣50)×0.95,解得:x=150.综上所述,当累计消费大于50元少于150元时,在乙商店花费少;当累计消费大于150元时,在甲商店花费少;当累计消费等于150元或不超过50元时,在甲乙商场花费一样.知识点4 一元一次不等式组的应用一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的实际应用问题,通常列一元一次不等式组,并求解.一元一次不等式组解应用题,其一般步骤:(1)分析题意,找出不等关系;(2)设未知数,列出不等式组;(3)解不等式组;(4)从不等式组解集中找出符合题意的答案;(5)作答.【典例】1.把一些书分给几个学生,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每个学生分5本,那么最后一人就分不到3本.这些书有多少本?学生有多少人?【答案】略.【解析】解:设有x个学生,那么共有(3x+8)本书,∵如果前面的每个学生分5本,那么最后一人就分不到3本,∴可知最后一人分到书的数的数量大于等于0且小于3,即0≤书的总数-(x-1)×5<3,∴可列不等式组为{3x+8−5(x−1)≥03x+8−5(x−1)<3,解得5<x≤6.5,∵x为整数,∴x=6,∴共有6×3+8=26本,答:有26本书,6个学生.【方法总结】一元一次不等式组的应用解题思路①将题目中所给信息与数学思想联系起来,读懂题,列出不等式关系;②根据不等关系,列一元一次不等式组;③解一元一次不等式组;④从不等式组解集中找出符合题意的答案,并作答.【随堂练习】1.青县祥通汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B 型车,销售额为96万元;本周已售出2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元.(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元?(2)甲公司拟向该店购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,且A型号车不少于2辆,购车费不少于130万元,则有哪几种购车方案?【解答】解:(1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元.则,解得,答:每辆A型车的售价为18万元,每辆B型车的售价为26万元;(2)设购买A型车a辆,则购买B型车(6﹣a)辆,则依题意得18a+26(6﹣a)≥130,解得a≤3,∴2≤a≤3.a是正整数,∴a=2或a=3.共有两种方案:方案一:购买2辆A型车和4辆B型车;方案二:购买3辆A型车和3辆B型车;2.义安中学工会“三八妇女节”共筹集会费1800元,工会决定拿出不少于270元,但不超过300元的资金为“优秀女职工”购买纪念品,其余的钱用于给50位女职工每人买一瓶洗发液或护发素,已知每瓶洗发液比每瓶护发素贵9元,用200元恰好可以买到2瓶洗发液和5瓶护发素.(1)求每瓶洗发液和每瓶护发素价格各是多少元?(2)有几种购买洗发液和护发素的方案?哪种方案用于为“优秀女职工”购买纪念品的资金更充足?【解答】解:(1)设每瓶洗发液和每瓶护发素价格分别为x元和y元,则,解得.答:每瓶洗发液和每瓶护发素的价格分别为35元和26元.(2)设购买洗发液t瓶,购买护发素(50﹣t)瓶,则1800﹣300≤35t+26(50﹣t)≤1800﹣270解得22≤t≤25,因为t为正整数,所以t=23,24,25,即有三种方案:第一种方案:购买洗发液23瓶,护发素27瓶,余下资金293元.第二种方案:购买洗发液24瓶,护发素26瓶,余下资金284元.第三种方案:购洗发液25瓶,护发素25瓶,余下资金275元.综合运用1.若不等式(k﹣4)x>﹣1的解集为x<−1k−4,则k的取值范围是.【答案】k<4.【解析】解:∵不等式(k﹣4)x>﹣1的解集为x<−1k−4,∴k﹣4<0,解得:k<4.故答案为k<4.2.关于x的两个不等式3x+a2<1与3﹣3x>0的解集相同,则a= .【答案】-1.【解析】解:由3x+a2<1得:x<2−a3,由3﹣3x >0得:x <1, 由两个不等式的解集相同,得到2−a 3=1,解得:a=-1. 故答案为:-1.3.已知关于x ,y 的方程组{3x +y =1+3a ①x +3y =1−a ②(1)由方程①﹣②,可方便地求得x ﹣y= ;(2)若方程组的解满足x+y >0,则a 的取值范围是 . 【答案】2a ; a >﹣1.【解析】解:(1){3x +y =1+3a ①x +3y =1−a ②,①﹣②得,2x ﹣2y=1+3a ﹣1+a , 即x ﹣y=2a ;(2)①+②得,4x+4y=1+3a+1﹣a , 即x+y=12a+12; ∵x+y >0,∴12a+12>0,解得a >﹣1; 故答案为2a ;a >﹣1.4.已知不等式组 {x +1<a3x +5>x −7无解,则a 的取值范围是 .【答案】a ≤﹣5【解析】解:解不等式x+1<a ,可得:x <a ﹣1;解不等式3x+5>x ﹣7,可得:x >﹣6, 因为不等式组 {x +1<a3x +5>x −7无解,所以a ﹣1≤﹣6, 解得:a ≤﹣5, 故答案为:a ≤﹣55.关于x 的不等式组{x −a >01−x >0的整数解共有3个,则a 的取值范围是 .【答案】﹣3≤a <﹣2.【解析】解:由不等式①得x >a , 由不等式②得x <1,所以不等式组的解集是a <x <1,∵关于x 的不等式组{x −a >01−x >0的整数解共有3个,∴3个整数解为0,﹣1,﹣2, ∴a 的取值范围是﹣3≤a <﹣2.6.已知不等式组{x +2>m +nx −1<m −1的解集为﹣1<x <2,则(m+n )2018=_________.【答案】1.【解析】解:解不等式x+2>m+n ,得:x >m+n ﹣2, 解不等式x ﹣1<m ﹣1,得:x <m ,∴不等式组{x +2>m +nx −1<m −1的解集为m+n ﹣2<x <m ,∵不等式组的解集为:﹣1<x <2, ∴m+n ﹣2=﹣1,m=2, 解得:m=2,n=﹣1,则(m+n )2018=(2﹣1)2018=1, 故答案为:1.7.已知关于x ,y 的二元一次方程组{4x +y =k +2x +4y =3的解满足0<x+y <1,则k 的取值范围是 . 【答案】﹣5<k <0.【解析】解:将两方程相加可得5x+5y=k+5, ∴x+y=k+55,∵0<x+y <1,∴{k+55>0k+55<1,解得﹣5<k <0,∴k 的取值范围是﹣5<k <0, 故答案为:﹣5<k <0.8.某种商品的进价为15元,出售时标价是22.5元.由于市场不景气销售情况不好,商店准备降价处理,但要保证利润率不低于10%,那么该店最多降价_________元出售该商品. 【答案】6.【解析】解:设降价x 元出售该商品,,则降价出售获得的利润是(22.5﹣x ﹣15)元,根据利润率不低于10%,列出不等式得,22.5﹣x﹣15≥15×10%,解得x≤6,故该店最多降价6元出售该商品.故答案为:6.9.某种毛巾的原零售价为每条6元,凡一次性购买两条以上(含两条),商家推出两种优惠方案:(1)两条按原价,其余按七折优惠;(2)全部按八折优惠.若在购买相同数量的毛巾的情况下,要使方案(1)比方案(2)合算,则最少要购买毛巾___________条.【答案】7.【解析】解:设购买毛巾x条,∵根据题意可得不等关系:2条毛巾的价格+(x﹣2)条毛巾的价格×0.7<x条毛巾打8折的价格,∴可列出不等式为:6×2+6×0.7(x﹣2)<6×0.8x,解得x>6,∵x为最小整数,∴x=7,故答案为:7.<1与②2(x﹣2)>3x﹣6.10.关于x的两个不等式:①a+2x3(1)若两个不等式的解集相同,求a的值;(2)若不等式①的解与不等式②的正整数解之和小于4,求a的取值范围.【答案】略.,【解析】解:(1)由①得:x<3−a2由②得:x<2,由两个不等式的解集相同,得到3−a=2,2解得:a=﹣1.故a的值为﹣1;(2)由不等式①的解与不等式②的正整数解之和小于4,得到3−a+1<4,2解得a>﹣3.故a的取值范围是a>﹣3.11.某储运站现有甲种货物1530吨,乙种货物1150吨,安排用一列货车将这批货物运往青岛,这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节.已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢,按此要求安排A、B两种货厢的节数,有哪几种运输方案?请设计出来.【答案】略.【解析】解:设用A型货厢x节,则用B型货厢(50﹣x)节,∵甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢,∴x节A型货厢可装甲种货物35x吨,乙种货物15x吨;(50-x)节B型货厢可装甲种货物25(50-x)吨,乙种货物35(50-x)吨;∴x节A型货厢和(50﹣x)节B型货厢共装甲种货物为[35x+25(50-x)]吨,x节A型货厢和(50﹣x)节B型货厢共装乙种货物为[15x+35(50-x)]吨,∴{35x+25(50−x)≥153015x+35(50−x)≥1150解得28≤x≤30,∵x为整数,∴x只能取28,29,30,∴当x=28时,则50-x=22,当x=29时,则50-x=21,当x=30时,则50-x=20,共有三种调运方案:第一种调运方案:用A型货厢28节,B型货厢22节;第二种调运方案:用A型货厢29节,B型货厢21节;第三种调运方案:用A型货厢30节,B型货厢20节.12.某工厂生产A、B两种产品共50件,其生产成本与利润如下表:若该工厂计划投入资金不超过40万元,且希望获利超过16万元,问工厂有哪几种生产方案?哪种生产方案获利润最大?最大利润是多少?【答案】略.【解析】解:设生产A产品x件,则生产B产品(50﹣x)件,∴该工厂生产A种产品和B种产品一共投入资金为[0.6x+0.9(50-x)]元,∵该厂生产A种产品和B种产品投入资金不超过40万元,且希望获利超过16万元,∴可列不等式组为:{0.6x+0.9(50−x)≤40 0.2x+0.4(50−x)>16,解得:50≤x<20,3∵x取整数,∴x可取17、18、19,共三种方案:①A 17件,B 33件;②A 18件,B 32件;③A 19件,B 31件;第一种方案获利:0.2×17+0.4×33=16.6万元;第二种方案获利:0.2×18+0.4×32=16.4万元;第三种方案获利:0.2×19+0.4×31=16.2万元;故可得方案一获利最大,最大利润为16.6万元.答:工厂有3种生产方案,第一种方案获利润最大,最大利润是16.6万元.21。