有限元 第9讲 动力学问题有限单元法

有限单元法的基本原理
嘿，朋友们！今天咱来唠唠有限单元法的基本原理，这可有意思啦！
你想啊，有限单元法就像是给一个复杂的大问题搭积木！把一个超级大的东西，拆分成好多好多小的部分，就像把一块大蛋糕切成好多小块一样。

每个小部分都相对简单，好处理。

咱平常生活中不也经常这样嘛，遇到难事儿了，咱就把它分成一个个小步骤，一个个去解决，这和有限单元法是不是很像呀！
它先把要研究的区域划分成好多小单元，这些小单元就像一个个小士兵，各自坚守自己的岗位。

然后呢，给每个小单元都建立一个数学模型，就像是给每个小士兵都配上了专属武器。

这时候，神奇的事情就发生啦！通过这些小单元和它们的数学模型，咱就能把整个复杂的问题给大概弄清楚啦！是不是很厉害？
你说这像不像一个大拼图呀，每个小单元就是一块拼图，把它们都拼起来，就呈现出了完整的画面。

而且哦，有限单元法特别灵活。

它不管你研究的是啥形状、啥材料，都能搞定。

就好像不管是方的、圆的、扁的东西，它都能有办法对付。

咱再想想，要是没有有限单元法，那遇到那些超级复杂的工程问题、科学问题，咱不得抓瞎呀！但有了它，咱就有了得力的助手。

比如说盖大楼吧，工程师们就得用有限单元法来分析大楼的结构，看看哪里受力大，哪里需要特别加固，这多重要啊！要是没整好，那大楼不就危险啦！
还有研究飞机的翅膀，那也得靠有限单元法呀，得让翅膀又轻又结实，还能在空中稳稳地飞。

总之呢，有限单元法就是咱解决复杂问题的一把好手，它让那些看似不可能的事情变得有可能啦！它就像一个神奇的魔法，让我们能更好地理解和处理这个世界上的各种难题。

怎么样，是不是觉得有限单元法超级厉害呀！。

有限元动⼒学分析知识点复习⽬录⼀、模型输⼊、建模A 输⼊⼏何模型1、两种⽅法：No defeaturing 和 defeaturing（Merge合并选项、Solid实体选项、Small选项）2、产品接⼝。

输⼊IGES ⽂件的⽅法虽然很好，但是双重转换过程CAD > IGES > ANSYS 在很多情况下并不能实现100%的转换.ANSYS 的产品接⼝直接读⼊“原始”的CAD ⽂件，解决了上⾯提到的问题.3、输⼊有限元模型。

除了实体⼏何模型外， ANSYS 也可输⼊由某些软件包⽣成的有限元单元模型数据（节点和单元）。

B 实体建模1、定义实体建模：建⽴实体模型的过程。

（两种途径）1）⾃上⽽下建模：⾸先建⽴体（或⾯）,对这些体或⾯按⼀定规则组合得到最终需要的形状.开始建⽴的体或⾯称为图元.⼯作平⾯⽤来定位并帮助⽣成图元.对原始体组合形成最终形状的过程称为布尔运算1第1页总体直⾓坐标系 [csys,0] 总体柱坐标系[csys,1]总体球坐标系[csys,2] ⼯作平⾯ [csys,4]2）⾃下⽽上建模：按照从点到线，从线到⾯，从⾯到体的顺序建⽴模型。

B ⽹格划分1、⽹格划分三步骤:定义单元属性、指定⽹格的控制参数、⽣成⽹格2、单元属性（单元类型 (TYPE)、实常数 (REAL)、材料特性 (MAT)）3、单元类型单元类型是⼀个重要选项，它决定如下单元特性：⾃由度(DOF)设置、单元形状、维数、假设的位移形函数。

1）线单元（梁单元、杆单元、弹簧单元）2）壳⽤来模拟平⾯或曲⾯。

3）⼆维实体⽤于模拟实体截⾯4）三维实体2第2页⽤于⼏何属性，材料属性，荷载或分析要求考虑细节，⽽⽆法采⽤更简单的单元进⾏建模的结构。

也⽤于从三维CAD系统转化⽽来的⼏何模型，⽽这些⼏何模型转化成⼆维模型或壳体会花费⼤量的时间和精⼒4、单元阶次与形函数单元阶次是指单元形函数的多项式阶次。

什么是形函数–形函数是指给出单元内结果形态的数值函数。

有限单元法的求解方法
有限单元法是一种数值分析方法，用于求解工程和科学问题中的偏微分方程。

它将复杂的连续体分割成有限数量的小元素，每个元素拥有自己的特性和属性。

这种分割可以通过不同的方式实现，如三角形、四边形、六面体、四面体等等。

根据元素的形状和大小，有限单元法可以分为不同的类型，如线性有限元、非线性有限元、自适应有限元等。

有限单元法的求解过程可以分为以下步骤：建立有限元模型、应用边界条件、确定节点位移、计算应力应变和其他输出参数。

其中，建立有限元模型是整个求解过程中最为关键的一步，它需要对原始问题进行离散化处理，将其转化为有限元模型。

有限单元法求解的精度和准确性受到多种因素的影响，如元素类型、网格密度、边界条件、材料参数等等。

调整这些因素可以提高求解的准确性和可靠性。

有限单元法已经被广泛应用于各个领域，如结构力学、电磁学、热传导、流体力学等。

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有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程结构、材料力学、流体力学等领域。

它通过将复杂的结构或系统分割成有限数量的小单元，然后建立数学模型，最终求解得到整体系统的行为。

本文将介绍有限单元法的基本原理和在工程实践中的应用。

首先，有限单元法的基本原理是将一个连续的结构或系统离散化为有限数量的单元，每个单元都可以用简单的数学方程描述。

这些单元之间通过节点连接在一起，形成整体系统。

然后，通过施加外部载荷或边界条件，可以得到每个单元的位移、应力等信息。

最终，将所有单元的信息组合起来，就可以得到整个系统的行为。

在工程实践中，有限单元法被广泛应用于结构分析、热传导、流体力学等领域。

在结构分析中，可以通过有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机等，从而预测其受力情况和变形情况。

在热传导领域，有限单元法可以用来分析材料的温度分布、热传导性能等。

在流体力学中，有限单元法可以模拟流体的流动情况、压力分布等。

此外，有限单元法还可以与优化算法相结合，用于优化设计。

通过改变单元的尺寸、形状或材料性质，可以得到最优的结构设计。

这在工程实践中具有重要意义，可以降低结构的重量、提高结构的强度和刚度。

总之，有限单元法作为一种数值分析方法，具有广泛的应用前景。

它不仅可以用于工程结构的分析和设计，还可以用于材料力学、流体力学等领域。

随着计算机技术的不断发展，有限单元法将会变得更加高效、精确，为工程实践提供更多的支持和帮助。

以上就是有限单元法的基本原理及在工程实践中的应用，希望对读者有所帮助。

有限单元法作为一种强大的分析工具，将继续在工程领域发挥重要作用。

有限单元法的基本原理有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种常用于工程和科学领域中求解复杂问题的数值方法。

它的基本原理可以概括为将复杂的连续问题离散化为简单的有限个单元，然后利用数值方法对各个单元进行分析，最终得到整个问题的近似解。

以下将详细介绍有限单元法的基本原理。

1.连续问题的离散化：2.单元的建立：利用有限单元法，每个单元内部的位移和应力分布可以通过简单的变换关系来表示。

通常，在每个单元内部选择一种合适的形状函数来表示位移和应力的连续变化。

在线性有限元分析中，常用的形状函数为线性函数，而在非线性有限元分析中，常用的形状函数可以是二次或更高次函数。

3.边界条件的施加：在有限单元法中，为了求解问题的唯一解，必须施加适当的边界条件。

边界条件可以是约束位移、施加力或给定的位移等。

通过施加适当的边界条件，可以将问题转化为一个封闭的系统，方便求解。

4.系统的建立：利用有限单元法，可以将整个问题表示为一个线性或非线性的代数方程组。

构建这个方程组需要考虑到每个单元的位移和应力之间的关系。

通过组装每个单元的刚度矩阵和力向量，最终可以得到整个问题的刚度矩阵和力向量。

5.方程组的求解：得到整个问题的刚度矩阵和力向量后，可以使用各种数值方法求解代数方程组。

常用的方法有直接法（如高斯消元法）和迭代法（如共轭梯度法）。

求解得到的位移和应力即为整个问题的近似解。

6.解的后处理：在有限单元法中，为了解决工程问题，通常需要进一步对位移和应力进行后处理。

后处理可以包括计算其他感兴趣的物理量、绘制应力和位移图等。

通过后处理，可以更好地理解问题的本质和它们的工程意义。

总结起来，有限单元法通过将连续问题离散化为有限个单元，然后使用适当的形状函数表示位移和应力的连续变化，通过施加边界条件和构建代数方程组，最终得到问题的近似解。

有限单元法在工程和科学领域中被广泛应用，可以有效地解决各种复杂问题。

有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值方法。

它将一个连续问题分割成一系列离散的有限单元，通过对每个单元进行局部的数值近似，再将它们组合起来得到全局解。

有限单元法的基本原理是根据假设的位移关系和应变能量原理，将连续介质离散为有限个单元，然后通过数学方法对每个单元进行近似。

在每个单元内，假设解的形式，并通过插值方法得到每个节点的未知位移。

根据边界条件的限制，将每个单元的刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。

最后，通过求解线性方程组，得到整个结构的位移和应力分布。

有限单元法广泛应用于求解各种工程领域的问题，如结构力学、电磁场、流体力学等。

它的应用范围包括但不限于以下几个方面：1. 结构分析：有限单元法可用于结构强度分析、振动分析、热传导分析等。

通过对结构进行离散，可以计算结构的应力、应变分布，以及结构的固有频率和模态形式。

2. 热传导分析：有限单元法可以用于求解具有复杂边界条件的热传导问题。

通过离散化连续介质，可以计算温度分布和热流量分布，进而获取材料的热传导性能。

3. 流体力学：有限单元法可用于求解流体动力学问题，如流体的流动、传热、传质等。

通过将流体域离散化为网格，在每个单元上建立基本流动方程的数值近似，可以计算流体的速度、压力分布，以及各种力学量和热力学量。

4. 电磁场分析：有限单元法可以用于求解电磁场分布及其对物体的影响。

通过离散化电磁场区域，可以计算电场、磁场和电流分布，以及物体的电磁参数。

5. 地下水流动：有限单元法可用于模拟地下水流动和污染传输。

通过离散化地下水流动域，并运用流体力学的基本方程，可以计算地下水的流动速度、压力分布，以及污染物的传输路径和浓度分布。

总之，有限单元法在工程领域有广泛的应用，可以用于求解各种复杂的力学、热学和流体学问题，并为工程设计和分析提供重要的数值仿真工具。

有限单元法和有限元法
有限单元法和有限元法：探索结构和材料力学的工程分析方法
有限单元法和有限元法是结构工程和材料科学领域中常用的数值分析方法，用
于模拟和评估各种结构的力学行为和性能。

它们基于有限元理论，将连续体划分为有限数量的离散单元，通过求解线性或非线性方程组来近似描述结构的响应。

有限单元法是有限元法的基础，其核心概念是将结构划分为有限数量的单元，
每个单元具有特定的几何形状和材料特性。

每个单元内部的应力、应变和位移可以通过求解一组局部方程组得到，然后使用装配技术将这些局部方程组组装成整体方程组。

最后，通过求解整体方程组，可以得到结构的全局响应。

有限元法在有限单元法的基础上进一步发展，并引入了形状函数的概念。

形状
函数是用于描述单元内部的位移和应力分布的数学函数。

这些函数基于单元的几何形状和节点位置，以及在每个节点上施加的位移和力。

通过将形状函数与每个单元的位移场相乘，并将其积分求和，可以得到整个结构的位移和应力场。

有限元法的独特之处在于其灵活性和适应性。

通过选择不同类型和尺寸的单元，可以对各种材料和结构进行模拟。

此外，有限元法还可以处理非线性材料行为、大变形和挠度等复杂问题。

同时，该方法还可以考虑结构的动力响应，从而可以用于地震工程、风力工程以及其他动力载荷下的结构分析。

总而言之，有限单元法和有限元法在结构工程和材料科学中起着重要的作用。

它们为工程师和科学家提供了一种准确可靠的方法，用于模拟和分析各种结构的行为和性能。

通过应用这些方法，可以更好地理解结构的力学行为，并帮助设计和优化工程结构，从而推动工程技术的发展。

有限单元法与有限元分析1.有限单元法在数学中，有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。

求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。

它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。

类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。

它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。

这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。

由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

随着电子计算机的发展，有限单元法是迅速发展成一种现代计算方法。

它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。

1.1.有限元法分析本质有限元法分析计算的本质是将物体离散化。

即将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。

离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算精度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。

所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。

这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。

如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。

1.2.特性分析1）选择位移模式：在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。

有限单元法有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。

其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。

在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。

根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。

从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。

不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。

对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ;最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。

令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。

插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。

有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。