高中数学第一章三角函数课时作业5121任意角的三角函数第2课时新人教A版必修4

2019-2020学年新人教A版必修一任意角的概念与弧度制任意角的三角函数课时作业1.若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积为（）A.4cm2B.2cm2C。

4πcm2D.2πcm2【解析】选A。

因为弧度是2的圆心角所对的弧长为4 cm，所以圆的半径为=2，所以扇形的面积为×4×2=4(cm2).2。

若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是（）A。

90°—αB.90°+αC。

360°-αD。

180°+α【解析】选C。

若α是第一象限角，则:90°—α位于第一象限，90°+α位于第二象限,360°-α位于第四象限,180°+α位于第三象限。

【变式备选】θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是( )A。

sin B.cosC.tanD.cos2θ【解析】选C.因为θ是第二象限角,所以为第一或第三象限角，所以tan>0. 3。

若角α是第二象限角，则点P(sinα,cosα)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D。

第四象限【解析】选D.因为α是第二象限角，所以sin α>0,cos α〈0，所以点P（sin α，cos α)在第四象限.4.若角α终边经过点（—2，1），则cosα=( )A.—B。

-C.D。

【解析】选B.角α终边经过点（-2，1），则r==.由余弦函数的定义可得cos α==-。

5。

已知半径为1的扇形面积为π,则扇形的圆心角为( )A。

πB.πC。

πD。

π【解析】选B.设扇形的圆心角为α,所以扇形的面积为S=αR2=α×12=,解得α=。

二、填空题(每小题5分,共15分）6。

函数y=的定义域为.【解析】要使函数有意义,则—2sinx≥0，即sin x≤0，则2kπ+π≤x≤2kπ+2π，k∈Z,故函数的定义域为[2kπ+π，2kπ+2π]，k∈Z。

1.2.1 任意角的三角函数选题明细表知识点、方法题号三角函数的定义3,4,13三角函数的符号问题2,5,8,10,11公式一的运用1,6,12三角函数线的应用7,9根底稳固1.计算sin (-1 380°)的值为( D )(A)- (B)(C)- (D)解析:sin (-1 380°)=sin [60°+(-4)×360°]=sin 60°=.2.(2021·曲阜市月考)cos α·tan α<0,那么角α是( C )(A)第一或第二象限角(B)第二或第三象限角(C)第三或第四象限角(D)第一或第四象限角解析:因为tan α·cos α=cos α·=sin α<0且cos α≠0,所以角α是第三或第四象限角.应选C.α的终边经过点P(-3,-4),那么sin α的值为( A )(A)- (B)(C) (D)-解析:由三角函数的定义知sin α==-.应选A.4.(2021·烟台市期中)圆O:x2+y2=4与y轴正半轴的交点为M,点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N,以x轴的正半轴为始边,ON为终边的角记为α,那么sin α等于( D ) (A) (B)(C) (D)解析:由题意得,M(0,2),如图.因为点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N,所以旋转的角的弧度数为=,即以ON为终边的角α=,那么sin α=.应选D.5.+(其中x≠,k∈Z)的可能取值有( C )(A)1种 (B)2种 (C)3种 (D)4种解析:当x终边在第一象限时,sin x>0,cos x>0,原式=+=2;当x终边在第二象限时,sin x>0,cos x<0,原式=+=0;当x终边在第三象限时,sin x<0,cos x<0,原式=+=-2;当x终边在第四象限时,sin x<0,cos x>0,原式=+=0.共有3种可能取值.应选C.6.(2021·如皋市期中)sin π= .解析:sin π=sin(8π+π)=sin =.答案:7.如果cos x=|cos x|,那么角x的取值范围是.解析:因为cos x=|cos x|,所以cos x≥0.所以2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).答案:{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}α的终边过点(3m-9,m+2)且cos α<0,sin α>0,求m的取值范围.解:因为cos α<0,sin α>0,所以α的终边落在第二象限,所以所以所以-2<m<3.所以m的取值范围是(-2,3).能力提升9.a=sin ,b=cos ,c=tan ,那么( D )(A)a<b<c (B)a<c<b(C)b<c<a (D)b<a<c解析:因为<<,作出角的三角函数线,如图可知cos <sin <tan ,所以选D.10.点P(tan α,cos α)在第三象限,那么角α在( B )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:因为点P在第三象限,所以tan α<0且cos α<0,从而可推得α为第二象限角.11.设A是第三象限角,|sin |=-sin ,那么是第象限角.解析:因为A是第三象限角,所以由等分象限法知的终边落在第二或第四象限,又因为|sin |=-sin ,所以sin <0,所以是第四象限角.答案:四12.求以下各式的值.(1)sin (-1 320°)·cos 1 110°+cos (-1 020°)·sin 750°+tan 495°;(2)cos (-π)+tan π.解:(1)原式=s i n(-4×360°+120°)c o s(3×360°+30°)+ cos (-3×360°+60°)sin (2×360°+30°)+tan (360°+135°)=sin 120°cos 30°+cos 60°sin 30°+tan 135°=×+×-1=0.(2)原式=cos [+(-4)×2π]+tan (+2×2π)=cos +tan =+1=.探究创新α的终边上一点P与点A(-3,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点对称,求sin α+sin β的值.解:由题意,P(3,2),Q(3,-2),从而sin α==,sin β==-. 所以sin α+sin β=0.。

三角函数线及其应用课时第21．有向线段(1)定义：带有方向的线段．OMMP. (2)表示：用大写字母表示，如有向线段，2．三角函数线PPPMxM. ，过垂直于作轴，垂足为作图：①(1)α的终边与单位圆交于AxT. α0)作的终边或其反向延长线于点轴的垂线，交②过(1，(2)图示：MPOMAT，分别叫做角α、结论：有向线段(3)的正弦线、余弦线、正切线，统称为三、角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？xy轴上当角的终边落在轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在提示：时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．π8π1．角和角有相同的( )77A．正弦线 B．余弦线．不能确定D ．正切线C．π8πC [角和角的终边互为反向线，所以正切线相同．]772．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )OMAT′．正弦线′，正切线 A OMAT′．正弦线′，正切线 B MPAT，正切线C．正弦线MPAT′，正切线′D．正弦线MPAT，C，正切线为正确．C [α为第三象限角，故正弦线为]3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为．y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0，0的余弦线长度为时，α的终边落在1 [若角α1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.]】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．【例1ππ10π17.(3)－；(2)；(1)364 [解]如图．MPOMAT为正切线．其中为正弦线，为余弦线，三角函数线的画法x轴的垂(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．xA)的终边(α作正切线时，应从(1，0)点引为第一或第四象限角轴的垂线，交α(2)ATT.于点，即可得到正切线或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)π5 1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．8 ]如图：[解π5????MP－＝，sin??8π5????OM－，cos＝??8π5????AT－. ＝tan??8) ＞cos β，那么下列结论成立的是( 【例2】 (1)已知cos αβsin α＞sin ．若Aα、β是第一象限角，则α＞tan β是第二象限角，则B．若α、βtanα＞sin βC．若α、β是第三象限角，则sin＞tan β．若α、β是第四象限角，则tan αDππ4π2π4π22π4 的大小．，tan和tan和(2)利用三角函数线比较sin和sin，coscos553533在规定象限内画观察正弦线或正、β的余弦线出α→思路点拨：(1) 切线判断大小满足cos α＞cos β2π4π观察图形，(2)作出和的正弦线、余弦线和正切线→比较大小35 错误；A，故βsin ＜αsin 时，βcos ＞αcos 可知，(1)由图[ D)1(图(1)由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B错误；图(2)由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；图(3)由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．]图(4)2π2π2π4π4πMPOMATMPOM′，＝′，tan＝，＝′cos＝＝解：如图，(2)sin，cos，333554πAT′.＝tan 5．MPMP′|，符号皆正，| 显然|′|＞2π4π∴sin＞sin；352π4πOMOM′|，符号皆负，∴cos＞cos；|＜| |352π4πATAT′|，符号皆负，∴tan＜tan|＞||.35(1)利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．2π2π2πabc＝tan，则( ＝cos， 2．已知sin＝，)777abcacb＜．．＜B＜＜A babcac＜．D＜．C＜＜D[由如图的三角函数线知：2π2ππATMP＞，因为＝＜，784MPOM，＞所以．2π2π2π所以cos＜sin＜tan，777bac.]所以＜＜πππ3π3．设＜α＜，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果＜α＜，4224上述长度关系又如何？ππMPOMAT，，余弦线为，正切线为α＜时，角α的正弦线为[解] 如图所示，当＜42π3πATMPOMMPOM′，′时，角α显然在长度上，的正弦线为＞′，余弦线为＞＜；当＜α24ATATMPOM′.′＞′＞′正切线为′，显然在长度上，]探究问题[aaa (|α≥|≤1)的不等式？，sin α≤1．利用三角函数线如何解答形如sinaaa(|，sin α≤|≤1)的不等式：提示：对形如sin α≥图①yOMaay轴的垂线交单位圆于两作)，过点(0画出如图①所示的单位圆；在，轴上截取＝PPOPOPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为和点和和′；写出终边在′，并作射线aa的角α的范围．α的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin ≥sin 满足不等式α≤aaa|≤1)的不等式？≤α(|．利用三角函数线如何解答形如2cos α≥，cosaaa|≤1)的不等式：≤cos α对形如提示：cos ≥，α(|图②．xaaxOM轴的垂线交单位圆于两，0)＝，过点画出如图②所示的单位圆；在(轴上截取作OPOPPPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为满′，作射线′；写出终边在点和和和aa cos α的角α≥足不等式cos α≤的范围．的角α的范围，其余部分即为满足不等式3】利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．【例132. αα|≤(1)cos α＞－≤；(3)|sin ；(2)tan 223的写出角α确定对应确定角α的终→思路点拨：→――方程的解边所在区域取值范围[解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是3π3π???kkk?Z，＜α＜2π2＋π－∈. α???44??(2)如图，由正切线知角α的取值范围是ππ???kkk?Zπ＋∈π，α≤. α???62??111(3)由|sin α|≤，得－≤sin α≤.222如图，由正弦线知角α的取值范围是ππ???kkk?∈，π＋Zπ－α≤≤.α???66??2”，求α的取值范围．的不等式改为“cos α＜ 1．将本例(1)2[解]如图，由余弦线知角α的取值范围是π7π???kkk?Z＜2，π2＋π＋∈＜α. α???44??132．将本例(3)的不等式改为“－≤sin θ＜”，求α的取值范围． 22π117π3π2π????－＝－，sin且－≤sin θ＝]由三角函数线可知sin＝sin，sin＝[解??62633223，故θ的取值集合是＜ 2ππ2π7π????kkkk????k＋22π2，＋π＋π，2π－ (．∈Z)∪????6633yx－1的定义域．．利用本例的方法，求函数＝2sin 3x－1≥0，2sin ]要使函数有意义，只需解[1x≥.即sin 2π5π??kk??k＋＋，2π2π∈Z)． (由正弦线可知定义域为??66利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置．(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．(3)在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的提醒：所有角的集合．．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小1 问题，难点是对三角函数线概念的理解． ．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题2 ；三角函数线的画法，见类型1(1) ；利用三角函数线比较大小，见类型2(2)3.利用三角函数线解简单不等式，见类型(3)．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值3的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之 重． ．利用三角函数线解三角不等式的方法41．下列判断中错误的是( )A ．α一定时，单位圆中的正弦线一定B ．在单位圆中，有相同正弦线的角相等C ．α和α＋π有相同的正切线D ．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上π5πB [A正确；B 错误，如与有相同正弦线；C 正确，因为α与π＋α的终边互为反66向延长线；D 正确．]πOMMP 分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( 2．如果， )5MPOMMPOM ＜0＜．B0＜＜．A ．MPOMMPOM 0＞＞＞＞0 DC ．．ππOM 的余弦线和正弦线满足α＝[角β＝的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角D 54MP 0.]＞＞baba，则cos 4 ，3．若．＝sin 4，的大小关系为＝ππ35ba＜，＜＜ [因为424 ，如图4弧度角的正弦线和余弦线()画出ba.]＜cos 4，即观察可知sin 4＜的集合．α的终边范围，并由此写出角α．在单位圆中画出适合下列条件的角413. α≤－(1)sin α；≥(2)cos 223yOBABOA＝(1)作直线[α的终边在如图①所交单位圆于解，两点，连接]，，则角2π2???kkk?∈Zπ，≤π≤απ＋2＋2.α)含边界，角的取值集合为α(示的阴影区域内???33??图①图②1xCDOCOD，则角α＝－(2)作直线交单位圆于，两点，连接，的终边在如图②所示的2．24???kkk?∈，Zπ≤α≤＋2π2π＋π.阴影区域内(α的取值集合为，角含边界)α???33??。

2021年高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数2课时提升作业1新人教A版必修一、选择题(每小题5分，共10分)1.sin 1°，sin 1，sinπ°的大小顺序是( )A.sin 1°<sin 1<sinπ°B.sin 1°<sinπ°<sin 1C.sinπ°<sin 1°<sin 1D.sin 1<sin 1°<sinπ°【解析】选B.因为1弧度≈57.3°，1°<π°<1，观察三角函数线知在内，正弦线方向始终向上，且角越大正弦线越长，所以sin 1°<sinπ°<sin 1.2.(xx·葫芦岛高一检测)已知函数f(x)=sinx(-<x<)，则满足f(x)<的x的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选C.作角的正弦线MP，如图所示，为使x满足-<x<且f(x)<，x的终边所在区域如图阴影所示，故x∈.【补偿训练】函数y=的定义域为( )A.B.C.{x|x≠2kπ，k∈Z}D.【解析】选A.因为1+sinx≠0，所以sinx≠-1.所以x≠+2kπ，k∈Z.二、填空题(每小题5分，共10分)3.下列结论：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和α+π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.其中正确结论的序号是________.【解析】单位圆中，与有相同的正弦线，但≠，②错；α=时，α+π=，与都不存在正切线，③错，①与④正确.答案：①④4.若θ∈，则sinθ的取值范围是________.【解题指南】观察θ在区间上变化时，角θ的正弦线的变化情况.【解析】sin=1，sin=-，观察角的正弦线的变化可知：sinθ的取值范围是.答案：三、解答题5.(10分)求下列函数的定义域.(1)y=lg.(2)y=.【解析】(1)为使y=lg有意义，则-sinx>0，所以sinx<，所以角x终边所在区域如图所示，所以2kπ-<x<2kπ+，k∈Z.所以原函数的定义域是{x|2kπ-<x<2kπ+，k∈Z}.(2)为使y=有意义，则3tanx-≥0，所以tanx≥，所以角x终边所在区域如图所示，所以kπ+≤x<kπ+，k∈Z，所以原函数的定义域是{x|kπ+≤x<kπ+，k∈Z}.【拓展延伸】三角函数线的作用(1)三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具，要注意利用其来解决问题.(2)三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)，因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(xx·大连高一检测)已知MP，OM，AT分别为θ的正弦线、余弦线、正切线，则一定有( )A.MP<OM<ATB.OM<MP<ATC.AT<OM<MPD.OM<AT<MP【解析】选B.作出角θ的正弦线、余弦线、正切线(如图所示)，由于<θ<，所以OM<MP，由图可以看出MP<AT，故可得OM<MP<AT.2.已知sinα>sinβ，那么下列结论成立的是( )A.若α，β是第一象限角，则cosα>cosβB.若α，β是第二象限角，则tanα>tanβC.若α，β是第三象限角，则cosα>cosβD.若α，β是第四象限角，则tanα>tanβ【解析】选D.如图(1)，α，β的终边分别为OP，OQ，sinα=MP>NQ=sinβ，此时OM<ON，所以cosα<cos β，故A错；如图(2)，OP，OQ分别为角α，β的终边，MP>NQ，即sinα>sinβ，所以AC<AB，即tanα<tanβ，故B错；如图(3)，角α，β的终边分别为OP，OQ，MP>NQ，即sinα>sinβ，所以OM<ON，即cosα<cosβ，故C错，所以选D.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(xx·南昌高一检测)sin1，cos1，tan1的大小关系是________.【解析】作出1弧度角的正弦线、余弦线和正切线如图所示：观察图可知：cos1<sin1<tan1.答案：cos1<sin1<tan1【延伸探究】将本题中的“1”改为“-1”，结果又如何？【解析】作出-1弧度角的正弦线、余弦线和正切线如图所示：观察图可知：tan<sin<cos.4.设0≤α<2π，若sinα>cosα，则α的取值范围是________.【解题指南】可分以下三种情况讨论：(1)cosα=0.(2)cosα>0.(3)cosα<0.【解析】(1)当cosα=0时，sinα=±1，为使sinα>cosα，须有sinα=1，又0≤α<2π，所以α=.(2)当cosα>0时，原不等式可化为tanα>，解得<α<.(3)当cosα<0时，原不等式可化为tanα<，解得<α<.综上可知，α的取值范围是.答案：三、解答题5.(10分)(xx·吉林高一检测)利用三角函数线证明：+≥1.【解题指南】分角α的终边在坐标轴上和角α的终边在四个象限上两类情况讨论.【解析】(1)当角α的终边在坐标轴上时，显然有+=1.(2)当角α的终边在四个象限上时，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，过P作PM⊥x轴于点M(如图)，则=，=，利用三角形两边之和大于第三边有：+=+>1.综上有+≥1.【补偿训练】如图所示，已知单位圆O与y轴交于A，B两点，角θ的顶点为原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在射线OM上，过点A作直线AC垂直于y轴与角θ的终边OM交于点C，则有向线段AC表示的函数值是什么？【解析】设单位圆与x轴正半轴交于D，过D作DT垂直x轴交CO的延长线于T，过C作CE⊥x轴交x轴于E，如图.由图可得△OCE∽△OTD，所以=，又CE=OA=OD=1.所以=OE=AC.根据任意角的三角函数的定义可得tanθ=DT. 所以AC=.。

高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习（含解析）新人教A版必修41．对于三角函数线，下列说法正确的是( )A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在答案 D解析当角的终边落在y轴上时，正切线不存在，但对任意角来说，正弦线、余弦线都存在．2．若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A．y轴上 B．x轴上C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上答案 B解析由题意得|cosα|＝1，即cosα＝±1，角α终边在x轴上，故选B．A．sin1>cos1>tan1 B．sin1>tan1>cos1C．tan1>sin1>cos1 D．tan1>cos1>sin1答案 C解析设1 rad角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，∵π4<1<π2，∴0<x<y<1，从而cos1<sin1<1<tan1．4．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．a<c<b答案 C解析作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线，可知：b＝OM>0，a＝MP<0，c＝AT<0，且MP>AT．∴c<a<b．5．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( )A．sinα＋cosα B．tanα＋sinαC．cosα－tanα D．sinα－tanα答案 B解析如图，作出sinα，cosα，tanα的三角函数线．显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|．∵MP>0，AT<0，∴MP<－AT．∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0．6．已知MP，OM，AT分别是75°角的正弦线、余弦线、正切线，则这三条线从小到大的排列顺序是________．答案OM<MP<AT解析如图，在单位圆中，∠POA＝75°>45°，由图可以看出OM<MP<AT．7．利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)tan 4π3与tan 7π6；(2)cos 11π6与cos 5π3．解 (1)如图1所示，设点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，角4π3和角7π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，PO ，P ′O 的延长线与单位圆的过点A 的切线的交点分别为T ，T ′，则tan 4π3＝AT ，tan 7π6＝AT ′．由图可知AT >AT ′>0，所以tan 4π3>tan 7π6．(2)如图2所示，设角5π3和角11π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，过P ，P ′分别作x 轴的垂线，分别交x 轴于点M ，M ′，则cos 11π6＝OM ′，cos 5π3＝OM ．由图可知0<OM <OM ′，所以cos 5π3<cos 11π6．答案 0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π解析 由0≤θ<2π且tan θ≤1，利用三角函数线可得θ的取值范围是0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π．9．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12；(3)tan α≥－1． 解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z ．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k ＋4π3，k ∈Z．(3)在单位圆过点A (1，0)的切线上取AT ＝－1，连接OT ，OT 所在直线与单位圆交于P 1，P 2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，所以α的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－π4＋k π≤α<π2＋k π，k ∈Z，如图．一、选择题1．已知α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且方向相同，那么α的值为( ) A ．5π4或7π4 B ．π4或3π4C ．π4或5π4D ．π4或7π4答案 C解析 因为角α的正弦线与余弦线长度相等，方向相同，所以角α的终边在第一或第三象限，且角α的终边是象限的角平分线，又0<α<2π，所以α＝π4或5π4，选C ．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 答案 D解析 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角． 3．如果π<θ<5π4，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ 答案 D解析 本题主要考查利用三角函数线比较三角函数值的大小．由于π<θ<5π4，如图所示，正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，由此容易得到cos θ<sin θ<0<tan θ，故选D ．4．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3 B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 C ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π答案 D解析 由图1知当sin α<32时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π．由图2知当cos α>12时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π． 5．已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析 解法一：(特殊值法)取α＝60°，β＝30°，满足sin α>sin β，此时cos α<cos β，所以A 不正确；取α＝120°，β＝150°，满足sin α>sin β，这时tan α<tan β，所以B 不正确；取α＝210°，β＝240°，满足sin α>sin β，这时cos α<cos β，所以C 不正确．解法二：如图，P 1，P 2为单位圆上的两点， 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且y 1>y 2．若α，β是第一象限角，又sin α>sin β， 则sin α＝y 1，sin β＝y 2，cos α＝x 1，cos β＝x 2． ∵y 1>y 2，∴α>β．∴cos α<cos β．∴A 不正确．若α，β是第二象限角，由图知P 1′(x 1′，y 1′)，P 2′(x 2′，y 2′)，其中sin α＝y 1′，sin β＝y 2′，则tan α－tan β＝y 1′x 1′－y 2′x 2′＝x 2′y 1′－x 1′y 2′x 1′x 2′． 而y 1′>y 2′>0，x 2′<x 1′<0， ∴－x 2′>－x 1′>0，∴x 1′x 2′>0，x 2′y 1′－x 1′y 2′<0，即tan α<tan β．∴B 不正确．同理，C 不正确．故选D ． 二、填空题6．若α是第一象限角，则sin2α，cos α2，tan α2中一定为正值的个数为________．答案 2解析 由α是第一象限角，得2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，所以k π<α2<π4＋k π，k ∈Z ，所以α2是第一或第三象限角，则tan α2>0，cos α2的正负不确定；4k π<2α<π＋4k π，k ∈Z ，2α的终边在x 轴上方，则sin2α>0．故一定为正值的个数为2．7．若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是________．答案π2，π 解析 由三角函数线知，在[0，2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈π4，5π4，使tan θ<sin θ的角θ∈π2，π∪3π2，2π，故θ的取值范围是π2，π．8．若函数f (x )的定义域是(－1，0)，则函数f (sin x )的定义域是________． 答案 －π＋2k π，－π2＋2k π∪－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )解析 f (x )的定义域为(－1，0)，则f (sin x )若有意义，需－1<sin x <0，利用三角函数线可知－π＋2k π<x <2k π，且x ≠－π2＋2k π(k ∈Z )．三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)sin1和sin π3；(2)cos 4π7和cos 5π7；(3)tan 9π8和tan 9π7；(4)sin π5和tan π5．解 (1)sin1<sin π3．如图1所示，sin1＝MP <M ′P ′＝sin π3．(2)cos 4π7>cos 5π7．如图2所示，cos 4π7＝OM >OM ′＝cos 5π7．(3)tan 9π8<tan 9π7．如图3所示，tan 9π8＝AT <AT ′＝tan 9π7．(4)sin π5<tan π5．如图4所示，sin π5＝MP <AT ＝tan π5．10．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2． 当2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π2(k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2．。

1.2.1 任意角的三角函数(二)一、选择题1.下列说法不正确的是( )A.当角α的终边在x 轴上时，角α的正切线是一个点B.当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D.余弦线和正切线的始点都是原点2.利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是( )A.sin1>sin1.2>sin1.5B.sin1>sin1.5>sin1.2C.sin1.5>sin1.2>sin1D.sin1.2>sin1>sin1.53.若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 B.⎝⎛⎭⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎫5π3，2π D.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 4.若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A.y 轴上B.x 轴上C.直线y ＝x 上D.直线y ＝－x 上5.在下列各组的大小比较中，正确的是( ) A.sin π7>sin π5B.cos 4π7>cos 5π7C.tan 9π8>tan 9π7D.sin π5>tan π56.有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为( )A.1B.2C.3D.07.点P (sin3－cos3，sin3＋cos3)所在的象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二、填空题8.不等式tan α＋33>0的解集是______________. 9.把sin π12，sin 512π，cos 57π，tan 512π由小到大排列为________________. 10.函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为____________.11.使得lgsin α有意义的角α是第________象限角.12.若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________. 三、解答题13.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.(1)sin α＝23；(2)cos α＝－35.四、探究与拓展14.函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域为________.15.若α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋2(cos θ＋1)x ＋cos 2θ＝0的两实根，且|α－β|≤22，求θ的范围.答案精析 1.D 2.C 3.D 4.B 5.B 6.C 7.D8.{α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z } 9.cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 512π 10.，k ∈Z11.一或二 12.013.解 (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点， 则OP ，OQ 为角α的终边，如图甲.(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点， 则OM ，ON 为角α的终边，如图乙.14.{x |2k π<x <2k π＋π2或2k π＋π2<x <2k π＋23π，k ∈Z } 解析 由题意可知，要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0且sin x ≠1，2cos x ＋1>0，如图所示，阴影部分(不含边界与y 轴)即为所求.所以所求函数的定义域为{x |2k π<x <2k π＋π2或2k π＋π2<x <2k π＋23π，k ∈Z }. 15.解 ∵方程有两实根，∴Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos 2θ≥0，∴cos θ≥－12. ①∵|α－β|≤22，∴(α＋β)2－4αβ≤8.由根与系数的关系，得α＋β＝－2(cos θ＋1)，αβ＝cos 2θ，∴4(cos θ＋1)2－4cos 2θ≤8，即cos θ≤12. ②由①②得－12≤cos θ≤12， 利用单位圆中的三角函数线可知π3＋2k π≤θ≤2π3＋2k π，k ∈Z 或4π3＋2k π≤θ≤5π3＋2k π，k ∈Z . ∴π3＋k π≤θ≤2π3＋k π，k ∈Z .。

课时作业(二)1.1.2 弧度制1．下列命题中正确的是( ) A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角D ．若β＝α＋k·360°(k∈Z )，则α与β终边相同答案 D2．下列四个命题中，正确的是( )A ．若α是第一象限角，则α2一定是第一象限角B ．若式子k·360°＋α(k∈Z )表示所有与α终边相同的角(包括α角在内)，则α为锐角C ．终边相同的角不一定相等D ．角α和角2α的终边不可能相同答案 C解析 A 中α2是第一或第三象限角；B 中α可以是任意角；D 中α角假设为第一象限角，那么2α的终边在第一、第二象限或在y 轴正半轴上，有可能相同．又如α＝360°，2α＝720°角终边相同．3．已知角2α的终边在x 轴上方，那么α是( )A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角答案 C解析 ∵角2α的终边在x 轴上方，∴k ·360°<2α<k ·360°＋180°，∴k ·180°<α<k ·180°＋90°(k∈Z )．当k 为奇数时，α在第三象限．当k 为偶数时，α在第一象限．4．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m ，n ∈Z ，则α、β终边的位置关系是( ) A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称答案 C解析 由α＝n·360°＋θ可知α与θ是终边相同的角；由β＝m·360°－θ可知β与－θ是终边相同的角，而θ与－θ两角关于x 轴对称，故α与β两角终边关于x 轴对称．5．若α和β终边关于y 轴对称，则必有(k∈Z )( )A ．α＋β＝90°B ．α＋β＝k·360°＋90°C ．α＋β＝k·360°D ．α＋β＝(2k ＋1)·180°答案 D解析 假设α、β为0°～180°内的角，因为α与β终边关于y 轴对称，所以α＋β＝180°，结合终边相同角的概念．可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k ＋1)·180°.6．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________．答案 k·360°＋60°(k∈Z )解析 在[0°，360°)内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，∴β＝k·360°＋60°(k∈Z )．7．已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小的正角是________．答案 240°解析 与α角终边相同的角为β＝k·360°－3 000°(k∈Z )．由题意，令k·360°－3 000°>0，则k>253，故取k ＝9，得与α终边相同的最小正角为240°.8．若角β的终边与60°角的终边相同，在[0°，360°)内，终边与β3的终边相同的角为________．答案 20° 140° 260°解析 因为角β的终边与60°角的终边相同，所以有β＝k·360°＋60°(k∈Z )，所以β3＝k·120°＋20°，分别取k ＝0，1，2时即可．9．已知θ∈{α|α＝k π＋(－1)k·π4，k ∈Z }，则角θ的终边所在的象限是________．答案 一、二象限解析 k ＝2n －1，n ∈Z 时，α＝(2n －1)π＋(－1)2n －1π4＝2n π－π－π4，α终边在第二象限．k ＝2n ，n ∈Z 时，α＝2n π＋(－1)2nπ4＝2n π＋π4，α终边在第一象限．10．写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角？答案 (1){α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k ∈Z }；－950°12′＝－3×360°＋129°48′，不是该集合中的角．。

【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学 第一章 三角函数 1.2.1任意角的三角函数（二）课时作业 新人教版必修41.如果OM ，MP 分别是角α＝π5余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( )A.MP ＜OM ＜0B.MP ＜0＜OMC.MP ＞OM ＞0D.OM ＞MP ＞0解析 由于0＜π5＜π4，所以cos π5＞sin π5＞0，即OM ＞MP ＞0.答案 D2.若角α的正弦线和余弦线相等，则角α的终边在( ) A.直线y ＝－x 上 B.直线y ＝x 上C.x 轴上D.y 轴上解析 结合三角函数线的定义可知，当一个角的正弦线和余弦线相等时，此角的终边必在直线y ＝x 上. 答案 B3.下列四个命题中：①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上. 不正确命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析 由正弦线定义可知①正确，②错误；对③，当α＝π2时，α和α＋π的正切线均不存在；④正确. 答案 C4.已知α是锐角，若sin α＜cos α，则角α的范围_____.解析 结合单位圆中的正弦线和余弦线可知，若sin α＜cos α，则0＜α＜π4.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，π45.不等式cos x ＞12在区间[－π，π]上的解集为_____.解析 如图所示，由于cos π3＝cos 5π3＝12，所以满足cos x ＞12的x 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－π3，π36.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： (1)5π6；(2)－2π3.解 (1)因为5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以作出5π6角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P ，过点P作x 轴垂线交于点M ，则有向线段MP ＝sin 5π6，有向线段OM ＝cos 5π6，设过A (1，0)垂直于x 轴的直线交OP 的反向延长线于T ，则有向线段AT ＝tan 5π6.综上所述，图(1)中的有向线段MP ，OM ，AT 分别为5π6角的正弦线、余弦线、正切线.图(1)(2)因为－2π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，所以在第三象限内作出－2π3角的终边如图(2)所示，图(2)交单位圆于点P ′，用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M ′P ′、OM ′、A ′T ′分别为－2π3角的正弦线、余弦线、正切线.7.求不等式3－4sin 2x >0的解集.解 因为3－4sin 2x >0，所以sin 2α<34，所以－32<sin x <32，如图所示，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3(k ∈Z )， 即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ). 8.求下列函数的定义域： (1)y ＝2sin x －3；(2)y ＝lg(1－2cos x )＋1＋2cos x .解 (1)如图所示，∵2sin x －3≥0，∴sin x ≥32， ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z ). (2)如图所示，∵10,10,x x ⎧->⎪⎨+≥⎪⎩∴－22≤cos x <22，∴x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋3π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋5π4，2k π＋7π4(k ∈Z )，即x ∈⎝⎛⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ). 能 力 提 升9.设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.a <c <b解析 作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b ＝OM >0，a ＝MP <0，c ＝AT <0，且MP >AT .∴c <a <b .答案 C10.如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A.cos α<sin α<tan αB.tan α<sin α<cos αC.sin α<cos α<tan αD.cos α<tan α<sin α解析 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.答案 A 11.不等式tan α＋33>0的解集是______. 解析 不等式的解集如图阴影部分(不含边界与y 轴)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z12.求函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为_____.解析 函数有意义，则cos 2x －sin 2x ≥0，∴|cos x |≥|sin x |.如图所示.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z 13.设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小.解 θ是第二象限角，即2k π＋π2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2 (k ∈Z ).作出θ2所在范围如图(1)所示.图(1)当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2(k ∈Z )时，作出如图(2)的三角函数线，图(2)易知OM <MP <AT .∴cos θ2<sin θ2<tan θ2；当2k π＋54π<θ2<2k π＋32π(k ∈Z )时，作出如图(3)的三角函数线，图(3)易知MP <OM <AT .∴sin θ2<cos θ2<tan θ2.探 究 创 新14.当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α.证明 如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α.因为S △AOP ＝12OA ·MP ＝12sin α，S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α，S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α，又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α，即sin α<α<tan α.。

2020-2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4年级：姓名：1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)内容标准学科素养1.理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一.提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点一任意角的三角函数阅读教材P11～12，思考并完成以下问题(1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？提示：sin α＝|PM||OP|＝yr，cos α＝|OM||OP|＝xr，tan α＝|PM||OM|＝yx.(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？提示：不变．三角形相似，对应边成比例．(3)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.(4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin α，cos α，tan α的表示变化吗？提示：不变．仍是sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦 x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0) 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α α≠k π＋π2，k ∈Z知识点二 阅读教材P 13，思考并完成以下问题根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ (1)当α的终边在第一象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x >0，tan α＝y x >0 (2)当α的终边在第二象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x <0，tan α＝y x<0. (3)当α的终边在第三象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x <0，tan α＝yx>0.(4)当α的终边在第四象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x >0，tan α＝yx<0.知识梳理 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三 诱导公式一阅读教材P 14，思考并完成以下问题当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？ 提示：sin 390°＝sin(360°＋30°)， sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)， 故30°、390°、－330°终边相同． 知识梳理 诱导公式一sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α， 其中k ∈Z .(1)当α的终边在y 轴正半轴时，P (0，1)，则α＝π2＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝sin π2＝1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝cos π2＝0．(2)当α的终边在y 轴负半轴时，P (0，－1)，则α＝32π＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝sin 32π＝－1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝cos 32π＝0．(3)当α的终边在x 轴正半轴时，P (1，0)， 则α＝2k π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋0)＝sin 0＝0． cos α＝cos(2k π＋0)＝cos 0＝1． tan α＝tan(2k π＋0)＝tan 0＝0.(4)当α的终边在x 轴负半轴时，P (－1，0)， 则α＝2k π＋π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋π)＝sin π＝0． cos α＝cos(2k π＋π)＝cos π＝－1． tan α＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0．[自我检测]1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D2．α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则sin α＝______，cos α ＝________．答案：35 －45授课提示：对应学生用书第8页探究一 任意角的三角函数的定义及应用[教材P 12例1、例2]方法步骤：(1)确定终边上点的坐标．(2)应用定义求值． 角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值[例1] (1)已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解析] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1，3)，此时sin θ＝3（－1）2＋32＝31010， tan θ＝3－1＝－3.(2)已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．[解析] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值[例2] 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．[解析] 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，。

1.2.1 任意角的三角函数A 级 基础巩固一、选择题1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：因为α是第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0，所以点P 在第四象限． 答案：D2．已知α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45B.35C ．－35D ．－45解析：r ＝ （－4）2＋32＝5，由任意角的三角函数的定义可得cos α＝－45.答案：D3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．－2解析：当α为第二象限角时，sin α>0，cos α<0. 所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.答案：C4．若角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A.12B ．－12C ．－32D ．－33解析：因为2sin 30°＝2×12＝1，－2cos 30°＝－2×32＝－3，所以P (1，－3)，所以点P 到原点的距离为12＋（－3）2＝2， 所以sin α＝－32. 答案：C5．若点P (sin α，tan α)在第三象限，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：因为P (sin α，tan α)在第三象限，所以sin α<0，tan α<0，故α为第四象限角． 答案：D 二、填空题6．(2016·四川卷)sin 750°＝________．解析：sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°＝12.答案：127．已知角α的终边经过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________．解析：因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0，所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ. 所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：358．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为____________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .答案：AT >MP >OM 三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 17π4.解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋（－4）×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. 10．设角x 的终边不在坐标轴上，求函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域．解：当x 为第一象限角时，sin x ，cos x ，tan x 均为正值，所以sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |＝3.当x 为第二象限角时，sin x 为正值，cos x ，tan x 为负值，所以sin x |sin x |＋cos x|cos x |＋tan x|tan x |＝－1.当x 为第三象限角时，sin x ，cos x 为负值，tan x 为正值，所以sin x |sin x |＋cos x|cos x |＋tan x|tan x |＝－1.当x 为第四象限角时，sin x ，tan x 为负值，cos x 为正值，所以sin x |sin x |＋cos x|cos x |＋tan x|tan x |＝－1.综上，y 的值域为{－1，3}B 级 能力提升1．已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sin θ＋cos θ的值的是( ) A.43B.35C.45D.12解析：由于θ为锐角，所以由三角函数及三角形中两边之和大于第三边可知，sin θ＋cos θ＞1，故选A.答案：A2．若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)，且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________． 解析：因为角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)， 且sin θ＝24m ，所以x ＝－3，y ＝m ，r ＝3＋m 2， sin θ＝m3＋m2＝24m ，所以1r ＝13＋m2＝24， 所以cos θ＝－3r ＝－64.答案：－643．设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，试比较a，b，c三数的大小．解：因为a＝sin33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，作出三角函数线(如图)，结合图象可得c＞b＞a.。