解不等式(组)基础

一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【：第二讲 一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______； (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______； (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______． 【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2.（2016•莆田）解不等式组：． 【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】 解：解：．由①得x ≤1；由②得x ＜4；所以原不等式组的解集为：x ≤1．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．【变式】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x 名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树； 第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式. 到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（）， 不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元， 可得：， 解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：， 解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．。

不等式组解法不等式是数学中常见的问题之一，解不等式组更是在应用数学和实际问题中经常遇到的情况。

解不等式组的方法有许多种，其中包括图像法、代入法、化简法等等。

在本文中，我们将探讨几种常用的解不等式组的方法，希望能为大家提供一些有关不等式组解法的思路和方法。

一、图像法图像法是一种直观而直接的解不等式组的方法。

它利用数轴上的点来表示不等式的解集。

首先，我们将不等式组中的每个不等式都表示成数轴上的一条线段，并确定它在数轴上的位置。

然后，我们找出不等式组所有不等式的交集区域，这个区域就是不等式组的解集。

通过观察图像，我们可以更清晰地了解不等式组解的情况。

举个例子来说明图像法的应用。

假设有如下不等式组：2x - 3 > 0x + 1 < 5首先，我们把它们表示在数轴上。

第一个不等式可以表示成一个开口向上的抛物线，在数轴上的位置是x>1.5；第二个不等式表示成一条从-1开始向右延伸的线段，位置是x<4。

然后，我们找出这两个不等式的交集区域，即x同时满足x>1.5和x<4。

通过观察可知，这个区域在数轴上是一个从1.5到4的右开区间(1.5, 4)。

所以，这个不等式组的解集可以表示成(1.5, 4)。

二、代入法代入法是解不等式组的一种常用方法。

首先，我们可以选择其中一个不等式，并将其他不等式中的变量用这个不等式中的变量表示，然后进行代入。

通过逐步代入，我们可以得到关于一个变量的单变量不等式，再通过求解这个单变量不等式，即可获得原不等式组的解。

例如，考虑如下不等式组：2x + 3y > 73x - 4y < 1我们可以选择第一个不等式，并将其中的x表示成关于y的函数，得到x > (7 - 3y) / 2。

然后，我们将这个函数代入第二个不等式，即得到 (7 - 3y) / 2 > 1。

通过简单的计算可得，y < 2。

接下来，我们将这个解代回到第一个不等式中，即得到 2x + 3(2) > 7，即 2x + 6 > 7，解得 x > 0.5。

一、选择题1．若点A （a ，b ）在第二象限，则点B （﹣a ，b+1）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A 解析：A【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得关于a 、b 的不等式，再根据不等式的性质，可得B 点的坐标符号．【详解】解：∵点P （a ，b ）在第二象限，∴a ＜0，b ＞0，∴-a ＞0，b+1＞0，∴点B （﹣a ，b+1）在第一象限．故选A ．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中象限内的点的坐标的符号特征和不等式的性质．注意第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）． 2．不等式()2533x x ->-的解集为（ ）A ．4x <-B ．4x >C ．4x <D ．4x >- C 解析：C【分析】根据解一元一次不等式的方法解答即可．【详解】解：去括号，得2539x x ->-，移项、合并同类项，得4x ->-，不等式两边同时除以﹣1，得4x <．故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，属于基础题目，熟练掌握解一元一次不等式的方法是关键．3．在数轴上表示不等式2（1﹣x ）＜4的解集，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． A解析：A【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，然后得出在数轴上表示不等式的解集． 2(1– x )＜4去括号得：2﹣2ｘ＜4移项得：2x ＞﹣2，系数化为1得：x ＞﹣1，故选A ．“点睛”本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4．不等式组1030x x -≤⎧⎨+>⎩中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． A解析：A【分析】 先分别解两个不等式得到x≤1和x ＞-3，然后利用数轴分别表示出x≤1和x ＞-3，于是可得到正确的选项．【详解】解不等式x-1≤0得x≤1，解不等式x+3＞0得x ＞-3，所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为：．故选：A ．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．5．如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立（ ）A ．a b ->-B ．11a b <C ．2a b b +>D ．2a ab > C解析：C【分析】由基本不等式a ＞b ，根据不等式的性质，逐一判断．【详解】解：A 、∵a ＞b ，∴-a ＜-b ，故本选项不符合题意；B 、∵a ＞b ，∴当a 与b 同号时有11a b <，当a 与b 异号时，有11a b＞， 故本选项不符合题意；C 、∵a ＞b ，∴a+b ＞2b ，故本选项符合题意；D 、∵a ＞b ，且a ＞0时，∴a 2＞ab ，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了不等式的性质．不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6．不等式组3114x x +>⎧⎨-≤⎩的最小整数解是（ ） A ．5B ．0C ．-1D ．-2C解析：C【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，写出这个不等式组的最小整数解即可．【详解】 解：3114x x +>⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得 x ＞-2，解不等式②得 x≤5，所以不等式组的解集为-2＜x≤4，所以，这个不等式组的最小整数解是-1，故选C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．7．已知x=2是不等式()()5320x ax a --+≤的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．a≤2C ．1＜a≤2D ．1≤a≤2C解析：C【解析】 ∵x=2是不等式(x−5)(ax−3a+2)⩽0的解，∴(2−5)(2a−3a+2)⩽0，解得：a ⩽2，∵x=1不是这个不等式的解，∴(1−5)(a−3a+2)>0，解得：a>1，∴1<a ⩽2，故选C.8．不等式组21x x ≥-⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． A 解析：A【分析】先解出不等式组的解集，然后再根据选项解答即可．【详解】解：由题意可得：不等式组的解集为：21x ， 在数轴上表示为：故答案为A.【点睛】本题主要考查了不等式组解集在数轴上的表示方法，在表示解集时“≥”或“≤”要用实心圆点表示，“<”，“>”要用空心圆点表示成为解答本题的关键．9．下列说法中不正确的是（ ）A ．若a b >，则a 1b 1->-B ．若3a 3b >，则a b >C ．若a b >，且c 0≠，则ac bc >D ．若a b >，则7a 7b -<- C 解析：C【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、∵a ＞b ，∴a-1＞b-1，故本选项正确，不符合题意；B 、∵3a ＞3b ，∴a ＞b ，故本选项正确，不符合题意；C 、∵a ＞b 且c≠0，当c ＞0时，ac ＞bc ；当c ＜0时，ac ＜bc ，故本选项错误，符合题意；D 、∵a ＞b ，∴-a ＜-b ，∴7-a ＜7-b ，故本选项正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的基本性质是解答此题的关键．10．若关于x的不等式组3122x ax x->⎧⎨->-⎩无解，则a的取值范围是（）A．a＜-2 B．a≤-2 C．a＞-2 D．a≥-2D解析：D【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解即可求得．【详解】解：3122 x ax x->⎧⎨->-⎩①②解①得：x＞a+3，解②得：x＜1．根据题意得：a+3≥1，解得：a≥-2．故选：D．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．二、填空题11．对于实数x，我们规定[]x表示不大于x的最大整数，例如[1.2]1,[3]3,[ 2.5]3==-=-，若4510x+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x的取值可以是______________（任写一个）．50（答案不唯一）【分析】由于规定表示不大于x的最大整数则表示不大于的最大整数接下来根据可列出不等式组求解即可【详解】解：表示不大于x的最大整数表示不大于的最大整数又可列不等式组x的取值可以是范围内解析：50（答案不唯一）【分析】由于规定[]x表示不大于x的最大整数，则410x+⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不大于410x+的最大整数，接下来根据4510x+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，可列出不等式组，求解即可．【详解】解：[]x表示不大于x的最大整数，∴410x+⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不大于410x+的最大整数，又45 10x+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴可列不等式组45104610x x +⎧≥⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩ ，450460x x +≥⎧⎨+<⎩， ∴4656x x ≥⎧⎨<⎩，∴4656≤<x ， ∴x 的取值可以是范围内的任何实数．故答案为：50（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据[x]表示不大于x 的最大整数列出不等式组．12．不等式组3241112x x x x ≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩的整数解是_________．【分析】先求出每个不等式的解集然后得到不等式组的解集再求出整数解即可【详解】解：解不等式①得；解不等式②得；∴不等式组的解集为：；∴不等式组的整数解是；故答案为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组解析：4x =-【分析】先求出每个不等式的解集，然后得到不等式组的解集，再求出整数解即可．【详解】 解：3241112x x x x ≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩①②， 解不等式①，得4x ≤-；解不等式②，得5x >-；∴不等式组的解集为：54x -<≤-；∴不等式组的整数解是4x =-；故答案为：4x =-．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行解题．13．a b ≥，1a -+_____1b -+≤【分析】根据不等式的性质判断即可【详解】∵a≥b ∴-a≤-b ∴-a+1≤-b+1故答案为≤【点睛】本题考查不等式的性质需要特别注意不等式两边同时乘除一个负数不等号要变号解析：≤【分析】根据不等式的性质判断即可.【详解】∵a≥b∴-a≤-b∴ -a+1≤-b+1故答案为≤.【点睛】本题考查不等式的性质，需要特别注意不等式两边同时乘除一个负数不等号要变号. 14．已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[]4.84=，[]0.81-=-．现定义：{}[]x x x =-，例：{}[]1.5 1.5 1.50.5=-=，则{}{}{}3.9 1.81+--=________．【分析】根据题意列出代数式解答即可【详解】解：故答案为：【点睛】此题考查解一元一次不等式关键是根据题意列出代数式解答解析：1.1【分析】根据题意列出代数式解答即可．【详解】解：{}{}{}3.9 1.81+--()()()()39318211⎡⎤=-+-----⎣⎦．．0902=+．．11=．故答案为：11．． 【点睛】此题考查解一元一次不等式，关键是根据题意列出代数式解答．15．若||1(2)3m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是___________．-2【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组求解即可【详解】解：∵∴解得m=-2故答案为-2【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义和不等式组的解法根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组成解析：-2【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组求解即可．【详解】解：∵||1(2)3m m x --= ∴2011m m -≠⎧⎨-=⎩，解得m=-2． 故答案为-2．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义和不等式组的解法，根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组成为解答本题的关键．16．若关于x 的不等式组103420x a x ⎧->⎪⎨⎪-≥⎩无解，a 则的取值范围为___________．【分析】先解不等式组中的两个不等式然后根据不等式组无解可得关于a 的不等式解不等式即得答案【详解】解：对不等式组解不等式①得解不等式②得∵原不等式组无解∴解得：故答案为：【点睛】此题主要考查了解不等式 解析：23a ≥【分析】先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解可得关于a 的不等式，解不等式即得答案．【详解】 解：对不等式组103420x a x ⎧->⎪⎨⎪-≥⎩①②，解不等式①，得3x a >，解不等式②，得2x ≤，∵原不等式组无解，∴32a ≥， 解得：23a ≥． 故答案为：23a ≥． 【点睛】此题主要考查了解不等式组，根据求不等式的无解，遵循“大大小小解不了”原则，得出关于a 不等式是解题关键．17．不等式组2021x x x -≥⎧⎨>-⎩的最小整数解是________．0【分析】求出不等式组的解集确定出最小整数解即可【详解】不等式组整理得：不等式组的解集为：－1＜x≤2最小的整数解为0故答案为：0【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解掌握一元一次不等式组的求解析：0【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．【详解】不等式组整理得：21x x ≤⎧⎨>-⎩， ∴不等式组的解集为：－1＜x ≤2，∴最小的整数解为0．故答案为：0．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的求解是解题关键．18．不等式组210360x x ->⎧⎨-<⎩的解集为_______．【分析】先求出两个不等式的解再找出它们的公共部分即为不等式组的解集【详解】解不等式①得：解不等式②得：则不等式组的解集为故答案为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组熟练掌握不等式组的解法是解题关键 解析：122x << 【分析】先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】210360x x ->⎧⎨-<⎩①②， 解不等式①得：12x >， 解不等式②得：2x <， 则不等式组的解集为122x <<， 故答案为：122x <<． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 19．关于x 的不等式132x a x -≤⎧⎨-<⎩有5个整数解，则a 的取值范围是______．【分析】首先解每个不等式两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集确定整数解据此即可写出a 的范围【详解】解：解不等式①得；解不等式②得：则不等式的解集为∵不等式有5个整数解∴一定是01234∴即故解析：12a ≤<【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，确定整数解，据此即可写出a 的范围．【详解】解：132x a x -≤⎧⎨-<⎩①②， 解不等式①得，4x ≤；解不等式②得：2x a >-，则不等式的解集为24a x -<≤，∵不等式132x a x -≤⎧⎨-<⎩有5个整数解， ∴一定是0，1，2，3，4．∴120a ，即12a ≤<，故答案为：12a ≤<．【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法，根据x 的取值范围，得出x 的整数解，然后代入方程即可解出a 的值．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．20．不等式组20210x x +>⎧⎨-≤⎩的所有整数解的和是_____________-1【分析】先分别解两个不等式求出它们的解集再求两个不等式解集的公共部分然后找出解集中的整数相加即可【详解】解①得x>-2;解②得x≤∴原不等式组的解集是-2<x≤∴其中的整数有：-10∴-1+0=解析：-1【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，然后找出解集中的整数相加即可.【详解】20210x x +>⎧⎨-≤⎩①②， 解①得，x >-2;解②得，x ≤12, ∴原不等式组的解集是-2<x ≤12. ∴其中的整数有：-1,0，∴-1+0=-1.故答案为-1.【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大三、解答题21．为发展校园足球运动，某城区四校决定联合购买一批足球运动装备．市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是:若购买队服超过80套，则购买足球打八折．（1）求每套队服和每个足球的价格是多少元；（2）若城区四校联合购买100套队服和()10a a >个足球，请用含a 的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花费用；（3）在（2）的条件下，计算a 为何值时，两家商场所花费用相同；（4）在（3）的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？(直接写出方案）解析：（1）150元；100元；（2）甲商场()10014000a + ，乙商场()8015000a +元；（3）50a =；（4）当50a =时，两家花费一样；当1050a <<时，到甲处购买更合算；当50a 时，到乙处购买更合算【分析】（1）设每个足球的定价是x 元，则每套队服是()50x +元，根据“两套队服与三个足球的费用相等”得出等量关系，列出一元一次方程，求解即可；（2）根据甲商场和乙商场的方案列出式子即可；（3）令100140008015000,a a ++＝解方程即可；（4）列出不等式分别求解即可．【详解】解：（1）设每个足球的定价是x 元，则每套队服是()50x +元．根据题意得()2503x x +=解得100,50150x x +＝＝． 答：每套队服150元，每个足球100元．（2）到甲商场购买所花的费用为：()1001001501001001400010a a ⎛⎫⨯+-=+ ⎪⎝⎭元； 到乙商场购买所花的费用为：()100150+100808015000a a ⨯⨯%=+元；（3）由100140008015000,a a ++＝得：50a =，所以：当50a =时，两家花费一样。

初中数学解不等式组解不等式组是初中数学中一个重要的知识点，它要求我们找到一组使不等式组成立的解。

本文将从基础概念、解法步骤和实例演绎三个方面来探讨初中数学解不等式组的方法。

一、基础概念不等式组由两个或多个不等式构成，解不等式组即要找到使这些不等式同时成立的解。

我们首先来了解几种常见的不等式关系。

1. 等于号：a = b表示a和b相等。

2. 不等于号：a ≠ b表示a不等于b。

3. 大于号：a > b表示a大于b。

4. 小于号：a < b表示a小于b。

5. 大于等于号：a ≥ b表示a大于等于b。

6. 小于等于号：a ≤ b表示a小于等于b。

二、解法步骤解不等式组的步骤如下：1. 将不等式组简化：将不等式组进行合并，消去冗余的不等式。

2. 分析不等式关系：根据不等式关系确定变量的范围。

3. 解单个不等式：按照不等式关系解出单个不等式的解。

4. 求解不等式组：结合前面解出的单个不等式解，找出满足所有不等式的解集。

三、实例演绎下面通过一个实例演绎的方式，详细说明解不等式组的步骤。

例题：解不等式组 {2x - 5 > 0, 3x + 1 ≤ 7}Step 1: 将不等式组简化为{2x > 5, 3x ≤ 6}，去掉冗余的不等式。

Step 2: 分析不等式关系。

由第一个不等式 2x > 5 可得 x > 2.5；由第二个不等式3x ≤ 6 可得x ≤ 2。

Step 3: 解单个不等式。

由第一个不等式 2x > 5 可得 x > 2.5，解集为(2.5, +∞)；由第二个不等式3x ≤ 6 可得x ≤ 2，解集为 (-∞, 2]。

Step 4: 求解不等式组。

根据第一个不等式 x > 2.5 和第二个不等式 x ≤ 2，可得解集为 (2.5, 2]。

通过此实例，我们可以清晰地看到解不等式组的具体步骤和解答方式。

在解答过程中，我们需要注意合理运用不等式的性质和数学运算的法则。

不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。

2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。

（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。

（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。

（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。

二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。

（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。

（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。

（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。

（5）化简：将不等式化简到最简形式。

2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。

（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。

3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。

（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。

4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。

（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。

三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。

2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。

3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。

第五讲 不等式(组)及应用一、课标下复习指南 1．不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式． 2．不等式的解和不等式的解集(1)不等式的解：与方程类似，使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴表示． 3．解不等式求不等式的解集的过程，叫做解不等式． 4．不等式的基本性质性质1 不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 性质2 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 性质3 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 不等式的其他性质： (1)若a ＞b ，则b ＜a ；(2)若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ； (3)若a ≥b ，b ≥a ，则a ＝b ； (4)若a 2≤0，则a ＝0． 5．一元一次不等式类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式．它的一般形式为ax ＋b ＞0(a ≠0)或ax ＋b ＜0(a ≠0)． 6．一元一次不等式的解法类似于一元一次方程的解法，但要特别注意不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变．7．一元一次不等式组及其解集类似于方程组，把含有相同未知数的几个一元一次不等式合在一起组成一个一元一次不等式组，所有这些一元一次不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集． 8．一元一次不等式组的解法解 一元一次不等式组的基本步骤：(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)利用数轴确定它们的公共部分； (3)表示出这个不等式组的解集． 9．一元一次不等式(组)的应用列一元一次不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤类似，即(1)审题，设出未知数；(2)列不等式(组)；(3)解不等式(组)；(4)结合不等式(组)的解集与未知数的限制条件确定符合题意的解或解集，并写出答案．10．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)当函数值y ＝0时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值y ＞0或y ＜0时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定x 的取值范围． 二、例题分析例1 解不等式21687xx x +≤+-，并在数轴上表示它的解集．解 去分母，得6x －(7x ＋8)≤6＋3x ． 去括号，得6x －7x －8≤6＋3x ． 移项，得6x －7x －3x ≤6＋8． 合并同类项，得－4x ≤14系数化1，得27-≥x ．不等式的解集在数轴上表示为：图5－1说明 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，只要特别注意在系数化1这一步时，两边同乘(除)以的数是正数还是负数，若是正数，不等号的方向不改变；若是负数，不等号的方向要改变．在数轴上表示不等式的解集的时候，一要定边界点，二是定方向，注意分清空心图和实心点的区别．例2 x 取何值时，代数式645+x 的值不小于代数式3.187x--的值?并求出x 的最小值． 解 由题意，得⋅--≥+3187645x x 解 得⋅-≥41x∴当41-≥x 时，代数式645+x 的值不小于代数式3187x --的值，x 的最小值为⋅-41说明 要明确“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“至少”、“至多”等描述不等关系的语言所对应的不等号分别是什么．例3 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-x x x x 432,33)1(2在数轴上表示它的解集，并求它的整数解．解 ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-②①.432,33)1(2x x x x由①得x ≥1．由②得x ＜5．不等式组的解集在数轴上表示如下：图5－2原不等式组的解集为1≤x ＜5．所以原不等式组的整数解为1，2，3，4．说明 不等式(组)的特殊解，在某个范围内是有限的，要求这些特殊解，首先要确定不等式(组)的解集，再根据要求写出相应的答案．例4 关于x 的方程，如果3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解大于3)43(414-=+x a x a 的解，求a的取值范围．解 3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解为⋅-=372a x 3)43(414-=+x a x a 的解为.316a x -= 由题意得.316372a a ->-解得187>a ．即a 的取值范围是187>a ． 说明 本题是方程与不等式的结合．例5 若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+0,1234a x xx 的解集为x ＜2，求a 的取值范围． 解 两个不等式的解集分别为x ＜2，x ＜－a ．∵不等式的解集为x ＜2，∴－a ≥2， ∴a 的取值范围是a ≤－2．说明 先分别求出两个不等式的解集，再根据解集求出a 的取值范围，此处易遗漏－a ＝2，导致结果不完整，应特别注意．例6 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用，已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完．问：在已确定调用5辆A 型车的前提下，至少还需调用B 型车多少辆?解 设还需要B 型车x 辆．依题意得20×5＋15x ≥300．解得3113≥x ．由于x 是车的数量，应为整数，所以至少需要14台B 型车．例7 为改善办学条件，东海中学计划购买部分A 品牌电脑和B 品牌课桌．第一次，用9万元购买了A 品牌电脑10台和B 品牌课桌200张；第二次，用9万元购买了A 品牌电脑12台和B 品牌课桌120张．(1)每台A 品牌电脑与每张B 品牌课桌的价格各是多少元?(2)第三次购买时，销售商对一次购买量大的客户打折销售．规定：一次购买A 品牌电脑35台以上(含35台)，按九折销售，一次购买B 品牌课桌600张以上(含600张)，按八折销售．学校准备用27万元购买电脑和课桌，其中电脑不少于35台，课桌不少于600张，问有几种购买方案?解 (1)设每台A 品牌电脑m 元，每张B 品牌课桌n 元，则有⎩⎨⎧=+=+.9000012012,9000020010n m n m 解得⎩⎨⎧==.150,6000n m(2)有两种方案．设购电脑x 台，课桌y 张．则有 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=+.600,35,2700001205400y x y x解得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.675600,323635y xx ＝35时，y ＝675；x ＝36时，y ＝630． 方案①：购电脑35台，课桌675张； 方案②：购电脑36台，课桌630张． 三、课标下新题展示例8 如图5－3，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．图5－3解 设n 为正整数，由题意得⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101．∴满足条件的最小正整数x 是21．例9 某工厂用如图5－4(a)所示的长方形和正方形纸板，做成如图5－4(b)所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．图5－4(a) 图5－4(b)(1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x 个．①根据题意完成以下表格：竖式纸盒(个)横式纸盒(个)x 所用正方形纸板张数(张) 2(100－x )所用长方形纸板张数(张)4x②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?(2)若有正方形纸板162张，长方形纸板n 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜n ＜306．则n 的值是______．(写出一个即可)解 (1)①根据题意完成表格如下：竖式纸盒(个)横式纸盒(个) x 100－x 所用正方形纸板张数(张) x 2(100－x ) 所用长方形纸板张数(张)4x3(100－x )⎩⎨⎧≤-+≤-+.340)100(34,162)100(2x x x x ② 解得38≤x ≤40． 又∵x 是整数，∴x ＝38，39，40．答：有三种方案：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；或生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；或生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个．(2)293或298或303．例10 用长度相等的100根火柴摆放一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．解 设三角形三边分别为x ，y ，3x ．依题意得⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤=++③②①.3,3,1003x y x x y x x y x 由①、②得207100≤≤x 由①、③得⋅<350x因为x 为正整数，故x＝15或16．所以满足条件的三角形各边所用火柴杆的根数为15，40，45或16，36，48． 四、课标考试达标题 (一)选择题1．若a ＞b ，且c 为有理数，则( )． A ．ac ＞bc B ．ac ＜bc C ．ac 2＞bc 2 D ．ac 2≥bc 22．如图5－5，a ，b ，c 分别表示苹果、梨、桃子的质量．若同类水果质量相等，则下列关系正确的是( )．图5－5A ．a ＞c ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b 3．不等式x ＜3的解集在数轴上表示为( )．4．函数11-=x y 中，自变量x 的取值范围在数轴上可表示为( )．5．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<+x x x x 23821,148的解集在数轴上表示正确的是( )．6．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>≤<k x x ,21有解，则k 的取值范围是( )．A ．k ＜2B ．k ≥2C ．k ＜1D ．1≤k ＜27．若(x －2)2＋|2x －3y －a |＝0，y 是正数，则a 的取值范围是( )． A ．a ＜2 B ．a ＜3 C ．a ＜4 D ．a ＜5 (二)填空题8．若不等式组⎩⎨⎧>-<-32,12b x a x 的解集是－1＜x ＜1，则(a ＋1)(b ＋1)的值是______．9．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图5－6所示，则关于x 的不等式k 2x ＞k 1x ＋b 的解集为______．图5－610．k 满足______时，方程组⎩⎨⎧=-=+4,2y x k y x 中的x 大于1，y 小于1．11．6月1日起，某超市开始有偿．．提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3千克、5千克和8千克．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20千克散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市______元． (三)解答题 12．求不等式8)1(3411-≥--x x 的非负整数解．13．解不等式组⎩⎨⎧≥+->+,33)1(2,03x x x 并判断23=x 是否是该不等式组的解．14．若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 322,3215只有4个整数解，求a 的取值范围．15．某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：类别 电视机 洗衣机 进价(元/台) 1800 1500 售价(元/台)20001600计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元． (1)请你帮助商店算一算有多少种进货方案? (不考虑除进价之外的其他费用)(2)哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多?并求出最多利润．(利润＝售价－进价)16．2008年北京奥运会的比赛已经圆满闭幕．当时某球迷打算用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．(下表为当时北京奥运会官方票务网站公布的几种球类决赛的门票价格)(1)若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张?(2)若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张?比赛项目票价(元/场)男篮1000足球800乒乓球500参考答案第五讲 不等式(组)及应用1．D ． 2．C ． 3．B ． 4．B ． 5．C ． 6．A ． 7．C ． 8．－2． 9．x ＜－1． 10．－1＜k ＜3． 11．8元．12．513≤x ，x ＝0，1，2． 13．－3＜x ≤1，23=x 是该不等式组的解．14．解不等式得x ＜21，x ＞2－3a ，又∵只有4个整数解，∴16≤2－3a ＜17，解得3145-≤<-a ． 15．解：(1)设商店购进电视机x 台，则购进洗衣机(100－x )台，根据题意得⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≥.161800)100(15001800),100(21x x x x 解不等式组，得⋅≤≤31393133x 即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案．(2)设商店销售完毕后获利为y 元，根据题意，得y ＝(2000－1800)x ＋(1600－1500)(100－x )＝100x ＋10000．∵100＞0，∴ 当x 最大时，y 的值最大．即 当x ＝39时，商店获利最多，为13900元．16．解：(1)设预订男篮门票x 张，则乒乓球门票(10－x )张．由题意得 1000x ＋500(10－x )＝8000 解得x ＝6． ∴10－x ＝4．答：可订男篮门票6张，乒乓球门票4张．(2)设男篮门票与足球门票都订a 张，则乒乓球门票(10－2a )张．由题意得⎩⎨⎧≤-≤-++.1000)210(500,8000)210(5008001000a a a a a 解得⋅≤≤433212a 由a 为正整数，可得a ＝3．答：他能预订男篮门票3张，足球门票3张，乒乓球门票4张．。

专题07 基础巩固 + 技能提升【基础巩固】1.（2020·浙江期末）若x y <成立，则下列不等式成立的是（ ）A ．22x y -+<-+B ．22x y -<-C ．44x y >D ．33x y -<- 【答案】B.【解析】解：A 、∵x ＜y ，∴-x ＞-y ，∴-x +2＞-y +2，故A 不成立；B 、∵x ＜y ，∴x -2＜y -2，故B 成立；C 、∵x ＜y ，∴4x ＜4y ，故C 不成立；D 、∵x ＜y ，∴-3x ＞-3y ，故D 不成立； 故答案为：B ．2．若x a y a +<+，ax ay >，则（ ）A ．x y >，0a >B ．x y >，0a <C ．x y <，0a >D ．x y <，0a < 【答案】D.【解析】解：∵x +a ＜y +a ，∴x ＜y ，∵ax ＞ay ，∴a ＜0．故答案为：D ．3. 在数学表达式：-3<0，4x+3y>0，x=3，222x xy y ++，5x ≠，x+2>y+3中，是一元一次不等式的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A.【解析】解：-3＜0、x≠5、x+2>y+3是不等式，其中，x≠5一元一次不等式故答案为：A ．4．（2021·安徽月考）不等式组9511x x x m +<+⎧⎨>+⎩的解集是x ＞2，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤2B ．m ≥2C ．m ≤1D ．m ＞1【答案】C. 【解析】解：∵不等式组1951x m x x +⎧⎨++⎩＞＜①②的解集是x ＞2，解不等式①得x ＞2，解不等式②得x ＞m+1，∴m+1≤2，解得：m≤1，故答案为：C ．5．（2021·江苏苏州市月考）已知关于x 的不等式0ax b +>的解集为12x <，则不等式0bx a +<的解集是________．【答案】x ＜2.【解析】解：由题意，得a ＜0，12b a -=， ∴a ＝−2b ＜0，即b ＞0，解bx+a<0得：x ＜a b -＝2b b＝2． 故答案为：x ＜2．6．（2021·太原市月考）①已知a ＞b ，则a ＋3_____b ＋3；﹣4a ＋5_____﹣4b ＋5；（填＞、＝或＜）②已知a ＞5，不等式（5﹣a ）x ＞a ﹣5解集为_____．【答案】＞； ＜； x ＜-1.【解析】解：②∵a ＞5，∴5﹣a ＜0∴不等式（5﹣a ）x ＞a ﹣5解集为x ＜-1故答案为：＞；＜；x ＜-17．（2021·山西晋中市期末）如果不等式(2)2a x a ->-的解集是1x <，那么a 必须满足___________．【答案】a ＜2.【解析】解：∵不等式（a -2）x ＞a -2的解集是x ＜1，∴a -2＜0，解得：a ＜2．故答案为：a ＜2．8．（2020·浙江绍兴月考）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x ，则x 的取值范围是______．【答案】10≤x≤25.【解析】解：若每天服用2次，则所需剂量为15~25mg 之间，若每天服用3次，则所需剂量为10~503mg 之间， ∴10≤x≤25．故答案为：10≤x≤25．9．已知点()2,3P a a -在第四象限，那么a 的取值范围是________．【答案】a<0.【解析】解：∵点（2-a ，3a ）在第四象限，∴2030a a -⎧⎨⎩＞＜ ， 解得：a ＜0，故答案为：a ＜0．10．（2020·黑龙江省哈尔滨月考）已知不等式6x +1＞5x ﹣2的最小整数解是方程2x ﹣kx ＝4﹣2k 的解，则k ＝_____．【答案】2.【解析】解：6x +1＞5x ﹣2，解得：x ＞﹣3，∵x 是不等式5x ﹣2＜6x +1的最小整数解，∴x ＝﹣2，把x ＝﹣2代入方程2x ﹣kx ＝4﹣2k 中得：2×（﹣2）﹣（﹣2）×k ＝4﹣2k ，解得：k ＝2，故答案为：2．11．（2020·合肥寿春月考）若关于x 的不等式x ﹣m ≤0的有三个正整数，则m 的取值范围是_____．【答案】3≤m ＜4.【解析】解：解不等式x ﹣m ≤0得：x ≤m ，根据题意得：3≤m＜4，故答案为：3≤m＜4．12．（2020·广东深圳市期中）关于x的方程4234x m x的解是正数，则符合条件的m的最小整数值为______【答案】-1．【解析】解：解方程得：x=2m+4，∵方程的解是正数，∴2m+4>0，解得m＞-2，∴m的最小整数值为-1，故答案为：-1．13．（2020·湖北荆州市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（4﹣m，5﹣2m）在第四象限内，且m为整数，则点A的坐标为_____．【答案】（1，﹣1）.【解析】解：∵点A（4﹣m，5﹣2m）在第四象限内，∴40 520mm->⎧⎨-<⎩，解得：2.5＜m＜4，∵m为整数，∴m＝3，∴点A的坐标为（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．14．（2020·江苏徐州市期末）疫情过后，地摊经济火爆，张阿姨以每件80元的价格购进50件衬衫，在地摊上以每件100元的价格出售，她至少销售__________件衬衫，所得销售额才能超过进货总价．【答案】41.【解析】解：设销售x件衬衫，则100x＞80×50，解得：x＞40，∵x为整数，故答案为：41．15．（2020·湖南怀化市期末）在一次知识竞赛中，有25道抢答题，答对一题得4分，答错或不答每题扣2分，成绩不低于60分就可获奖．那么获奖至少要答对___________道题．【答案】19.【解析】解：设答对x 道题可以获奖，则答错或不答(25-x)道题，∴4x -2(25-x)≥60，解得：x≥553， ∵x 为整数，故答案为：19．16．（2020·河北唐山市月考）定义新运算：对于任意实数a ，b 都有()1a b a a b ⊕=-+，如：252(25)1⊕=-+．那么不等式42x ⊕≥的非负整数解是______．【答案】0，1，2，3．【解析】解：根据题意：44(4)1174x x x ⊕=-+=-，∴17-4x≥2， ∴154x ≤ ∴不等式42x ⊕≥的非负整数解是0，1，2，3；故答案为：0，1，2，3．17．（2020·云南昆明市期末）定义新运算：对于任意实数a ，b 都有a ⊗b ＝a (a ﹣b )+1，如：3⊗2＝3×(3﹣2)+1＝4．那么不等式2⊗x ≥3的非负整数解是_____．【答案】0，1.【解析】解：原不等式可变形为：(2)213x -+≥，解得x≤1则不等式2⊗x≥3的非负整数解是0，1，故答案为：0，1．18．（2021·广东惠州市月考）若关于x 的一元一次不等式组2132x x x m ->+⎧⎨<⎩的解集是x ＜﹣3，则m 的取值范围是_____．【答案】m≥-3.【解析】解：由2132x x x m ->+⎧⎨<⎩，解得：3x x m <-⎧⎨<⎩，∵原不等式组的解集为x＜-3，∴m≥-3，故答案为：m≥-3．19．（2021·太原市月考）不等式组7xx m≤⎧⎨>⎩无解，则m应满足_____．【答案】m≥7.【解析】解：∵不等式组7xx m≤⎧⎨>⎩无解，∴m≥7，故答案为：m≥7.20．（2021·内蒙古呼和浩特市模考）已知关于x的不等式2-2m mx>12x-1，当m=1时，该不等式的解集为___；若该不等式的解集中的每一个x都能使关于x的不等式x>a成立，则此时m的取值范围为___，a的取值范围是___．【答案】x<2；m<-1；a≤2.【解析】解：m=1时，不等式22m mx->12x-1为：22x->12x-1，解得x<2.整理不等式22m mx->12x-1，得(m+1)x<2(m+1)要使该不等式的解集中的每一个x都能使关于x的不等式x>a成立，则m+1<0，得m<-1，x>2，得a≤2.21．（2021·河南郑州市期中）当x为何值时，代数式4115-x的值不小于代数式41x+的值？并求出满足条件的最大整数x的值．【答案】x≤-1，最大值是-1.【解析】解：根据题意，得：4115x-≥4x+1，去分母，得：4x-11≥20x+5，移项、合并，得：-16x≥16，系数化为1，得：x≤-1，将解集表示在数轴上如下：．则满足条件的最大整数为-1．22．解下列不等式（组）（1）解不等式112123x x ++≤+，并在数轴上表示解集. （2）365(2)543123x x x x +≥-⎧⎪--⎨-<⎪⎩. 【答案】（1）x≥-5；（2）-3＜x ≤8【解析】解：（1）去分母得：()()312126x x +≤++，去括号得：33246x x +≤++，移项合并得：5x ≥-，在数轴上表示不等式的解集为：（2）365(2)543123x x x x +≥-⎧⎪⎨---<⎪⎩①②，解不等式①得：x ≤8，解不等式②得：x ＞-3，∴不等式组的解集为-3＜x ≤8．23．（2020·黑龙江省哈尔滨月考）已知满足不等式5﹣3x ≤1的最小正整数解是关于x 的方程（a +9）x ＝4（x +1）的解，求代数式2a +1的值．【答案】－5.【解析】解：∵不等式5﹣3x ≤1，∴x ≥43， ∴x 的最小正整数是2，∵x 的最小正整数是关于x 的方程（a +9）x ＝4（x +1）的解，∴（a +9）×2＝4×（2+1），即a ＝﹣3，代数式2a +1＝﹣6+1＝﹣5．24．（2020·四川省射洪县期中）已知不等式5(x －2)＋8＜6(x －1)＋7的最小整数解为方程2x －ax ＝4的解，求a 的值．【答案】4.【解析】解：解不等式得：x >－3，最小整数解为x ＝－2.2×(－2)－a ×(－2)＝4，解得a ＝4.25．（2021·黑龙江哈尔滨市模考）为了丰富学生的大课间活动，振海中学到体育用品商店购买篮球和足球，若购买2个篮球和3个足球共需600元，购买3个篮球和1个足球共需550元．（1）求篮球和足球的单价分别是多少元？（2）振海中学决定购买篮球和足球共20个，经商议，体育用品商店决定篮球单价打八折，足球单价不变，若总费用不超过2200元，那么该校最多可以购买多少个篮球？【答案】（1）篮球每个是150元，足球每个是100元；（2）10个．【解析】（1）解：设篮球每个为x 元，足球每个为y 元235003550x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得150100x y =⎧⎨=⎩即篮球每个是150元，足球每个是100元．（2）解：设购买篮球m 个由题意得：150×80%m+100（20-m ）≤2200解得：m≤10．答：最多购买10个篮球．【拓展提升】1．（2020·湖北荆州市月考）如果关于x 的方程2435x a x b ++=的解是负值，那么a 与b 的关系是（ ）A ．35a b >B ．35b a ≥C ．53a b ≥D ．53a b <【答案】D.【解析】解：解方程得：x532a b -， ∵解是负值， ∴5302a b -<，即5a ＜3b ． 故答案为：D ．2．（2020·湖北武汉市模拟）若a ，b 是正整数，且6a b +≤，则以（a ，b ）为坐标的点共有（ ）个．A ．12B ．15C ．21D ．28 【答案】B.【解析】解：∵a ，b 是正整数，a+b≤6，当a=1时，b=1、2、3、4、5，共5个值，当a=2时，b=1、2、3、4，共4个值，当a=3时，b=1、2、3，共3个值，当a=4时，b=1、2，共2个值，当a=5时，b=1，共1个值，以（a ，b ）为坐标的点有5+4+3+2+1=15个.故答案为：B.3．如果不等式(2)25a x a ->-的解集是4x <，则不等式251a y ->的解集是（ ）． A ．52y < B ．25y < C ．52y > D ．25y > 【答案】B.【解析】解：∵不等式（a -2）x ＞2a -5的解集是x ＜4，∴a -2<0， ∴2542a a -=-， 解得：32a =，∴2a=3，∴不等式2a -5y ＞1为3-5y>1， 解得：25y <． 故答案为：B ． 4．已知关于x 的一元一次方程2133ax x +=+的解为正整数，则所有满足条件的整数a 有（ ）个A ．3B ．4C ．6D ．8 【答案】B.【解析】解：解方程得：x=66a-， ∵x 为正整数∴6-a=1、2、3、6即a=5、4、3、0满足条件的整数a 有4个．故答案为：B ．5．（2021·江苏苏州市月考）对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[2]2,[1.7]1,[0.4]1,[ 2.6]3==-=--=-，若4310x +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则x 的取值范围是（ ） A ．3424x -<-B ．3424x -<-C ．3429x -<-D ．3429x -<- 【答案】B. 【解析】解：∵4310x +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， ∴−3≤410x +＜−2， 解得，−34≤x ＜−24，故答案为：B ．6．（2020·济南外国语期中）对于一个数x ，我们用(]x 表示小于x 的最大整数 ，例如：(]2.62=，(](]34,109-=-=，如果(]3x =，则x 的取值范围为__________．【答案】﹣3＜x ≤﹣2或3＜x ≤4.【解析】解：当x ＜0时，∵(]3x=，∴x＞﹣3∴﹣3＜x≤﹣2；当x＞0时，∵(]3x=，∴x＞3，∴3＜x≤4，综上所述，x的取值范围是﹣3＜x≤﹣2或3＜x≤4.7．若关于x的一元一次不等式x a≥只有3个负整数解，则a的取值范围是_________．【答案】-4＜a≤-3.【解析】∵x≥a只有3个负整数解，∴这三个负整数解是-1，-2，-3，∴a的取值范围为-4＜a≤-3，故答案为：-4＜a≤-3．8．（2020·武汉市期末）已知关于x的不等式x﹣a＜0的最大整数解为3a+6，则a＝_____．【答案】10 3 -.【解析】解：解不等式得：x＜a，∵关于x的不等式的最大整数解为3a+6，∴3a+6<a≤3a+7，解得-3.5≤a＜-3∴-4.5≤3a+6＜-3∵3a+6为整数，∴3a+6=-4，解得a=103，故答案为：103 -．9. 若关于x的不等式94x m-<的解集中恰有两个正整数解1和2，则m的取值范围是_______．【答案】84 93m<≤.【解析】解：由题意得：x9 4m <∵解集中恰有两个正整数解1和2，∴9234m<≤，∴84 93m<≤．故答案为：84 93m<≤．10．（2019·山东淄博市月考）若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是_____．【答案】a＞3．【解析】解：由题意得：6-2a<0，∴a>3故答案为：a＞3．11．（2021·太原市月考）已知不等式组2123x ax b-<⎧⎨->⎩的解集为﹣1＜x＜1，则（a＋1）（b＋1）的值等于_____．【答案】-2.【解析】解：2123x ax b-<⎧⎨->⎩①②由①得，12ax+<，由②得，x＞2b+3，∴不等式组的解集为2b+3＜x＜1 2a+，∵不等式组的解集是-1＜x＜1，∴2b+3=-1，12a+=1，解得：a=1，b=-2，所以（a+1）（b+1）=（1+1）×（-2+1）=-2．故答案为：-2．12．已知关于x 的不等式组12x x m->⎧⎨≤⎩无解，则m 的取值范围是____． 【答案】m≤3． 【解析】解：由不等式组可得3x x m >⎧⎨⎩， 因为不等式组无解，知m≤3，故答案为：m≤3．13．（2021·湖南邵阳市期末）若关于x 的不等式组0721x m x -≤⎧⎨-≤⎩的解集中恰好有三个整数，则m 的取值范围是___．【答案】5≤m ＜6.【解析】解：0721x m x -≤⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①，得：x≤m ，解不等式②，得：x≥3∴不等式组的解集为：3≤x≤m∵不等式组恰有三个整数解，∴不等式组的整数解为3、4、5，则5≤m ＜6．故答案为：5≤m ＜6．14.（2020·浙江杭州市期中）已知关于x 的不等式组221x a b x a b -≥⎧⎨-<+⎩的解集为55x -≤<，则a b的值为___________． 【答案】1914-. 【解析】解：221x a b x a b -≥⎧⎨-<+⎩①②， 解不等式①得：x a b ≥+， 解不等式②得：212a b x ++<，由题意得：52152a b a b +=-⎧⎪⎨++=⎪⎩， 解得1914a b =-⎧⎨=⎩， 则1914a b =-， 故答案为：1914-． 15．（2020·成都市天府新区月考）若关于x 的不等式组2()102153x m x 的解集为76x -<<-，则m 的值是______． 【答案】152. 【解析】解：2()102153x m x ①② 由①得：x>-m+12由②得：x<-6， ∴不等式的解集为：162m x -+<<- ∵关于x 的不等式组的解集为76x -<<-，∴-m+12=-7 即152m =. 16．（2021·山东泰安市期末）不等式组232x m x m <-⎧⎨<+⎩的解集是x ＜m+2，则m 的取值范围应为______．【答案】m≥5. 【解析】解：∵不等式组232x m x m <-⎧⎨<+⎩的解集是x ＜m+2，∴m+2≤2m ﹣3，解得：m≥5，故答案为：m≥5．17．（2021·河北石家庄市月考）对于实数x ，我们[x ]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[39x +]＝5，则x 的取值范围_____． 【答案】42≤x ＜51.【解析】解：根据题意得：5≤39x +＜6， 解得：45≤x +3＜54，即42≤x ＜51，故答案为：42≤x ＜51．18．（2021·湖北十堰市模拟）规定[x ]为不大于x 的最大整数，如[0.7]＝0，[﹣2.3]＝﹣3，若[x +0.5]＝2，且[1﹣x ]＝﹣2，则x 的取值范围为_____．【答案】2＜x ＜2.5．【解析】解：∵[]0.52x +=，∴[]0.52x +=，∴20.53x ≤+<，∴1.5 2.5x ≤<，又∵[]12x -=-，∴-211x ≤-<-，∴32x -≤-<-，∴23x <≤，∴x 的取值范围为2＜x ＜2.5．故答案为：2＜x ＜2.5．19．（2020·重庆市月考）阅读：我们知道，00a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥．【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．【解析】解：（1）|x+1|≤2，①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，解这个不等式，得：x≤1由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；②当x+1＜0，即 x ＜-1时：-（x+1）≤2解这个不等式，得：x≥-3由条件x ＜-1，有：-3≤x ＜-1∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．（2）|x -2|≥1①当x -2≥0，即x≥2时：x -2≥1解这个不等式，得：x≥3由条件x≥2，有：x≥3；②当x -2＜0，即 x ＜2时：-（x -2）≥1，解这个不等式，得：x≤1，由条件x ＜2，有：x≤1，∴综合①、②，原不等式的解为：x≥3或x≤1．20．（2020·云南昆明市期末）阅读下面材料：小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式. 求绝对值不等式3x >的解集（满足不等式的所有解）.小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出x 恰好是3时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如图所示.观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于3；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于3；点B 右边的点表示的数的绝对值大于3. 因此，小明得出结论，绝对值不等式3x >的解集为：3x <-或3x >.参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集. ①1x >的解集是 ； ② 2.5x <的解集是 .（2）求绝对值不等式359x -+>的解集.（3）直接写出不等式24x >的解集是 ．【答案】（1）①x ＞1或x ＜-1；②-2.5＜x ＜2.5；（2）x ＞7或x ＜-1；（3）x ＞2或x ＜-2.【解析】解：（1）由题意可得：①令|x|=1，x=1或-1，数轴上表示如下：∴|x|＞1的解集是x ＞1或x ＜-1；②令|x|=2.5，x=2.5或-2.5，如图，数轴上表示如下：∴|x|＜2.5的解集是-2.5＜x ＜2.5；（2）359x -+>，化简得34x ->， 当34x -=时，x=-1或7，如图，数轴上表示如下：可知：359x -+>的解集为：x ＞7或x ＜-1；（3）不等式x 2＞4可化为|x|＞2，如图，数轴上表示如下：可知：不等式x 2＞4的解集是 x ＞2或x ＜-2．21．已知关于x y 、的方程组325233x y a x y a -=-⎧⎨+=+⎩的解都为正数． （1）求a 的取值范围；（2）已知4a b +=，且023b z a b >=-，，求z 的取值范围．【答案】（1）a ＞1；（2）-7＜z ＜8.【解析】解：（1）325233x y a x y a -=-⎧⎨+=+⎩， ∴解得：12x a y a =-⎧⎨=+⎩， 由于该方程组的解都是正数，∴1020a a ->⎧⎨+>⎩， 解得：a ＞1；（2）∵a +b =4，∴a =4-b ，∴041b b >⎧⎨->⎩， 解得：0＜b ＜3，∴z =2（4-b ）-3b =8-5b ，∵-15<-5b <0,∴-7＜8-5b ＜8，∴-7＜z ＜8．22.（2021·云南昆明市月考）某出租汽车公司计划购买A 型和B 型两种节能汽车，若购买A 型汽车4辆，B 型汽车7辆，共需310万元；若购买A 型汽车10辆，B 型汽车15辆，共需700万元．（1）A 型和B 型汽车每辆的价格分别是多少万元？（2）该公司计划购买A 型和B 型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A 型汽车的数量少于B 型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【答案】见解析.【解析】解：（1）设A 型汽车每辆的价格为x 万元，B 型汽车每辆的价格为y 万元， 由题意得：473101015700x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：2530x y =⎧⎨=⎩， 即A 型汽车每辆的价格为25万元，B 型汽车每辆的价格为30万元；（2）设购买A 型汽车m 辆，则购买B 型汽车（10-m ）辆，由题意得：()10253010285m m m m <-⎧⎪⎨+-≤⎪⎩， 解得：3≤m ＜5，∵m 是整数，∴m ＝3或4，当m ＝3时，该方案所需费用为：25×3＋30×7＝285万元；当m ＝4时，该方案所需费用为：25×4＋30×6＝280万元，费用最省的方案是购买A 型汽车4辆，则购买B 型汽车6辆，该方案所需费用为280万元． 23．（2020·合肥月考）某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元．（1）求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元？（2）若该体育用品店刚好用了1000元购进这两种乒乓球，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍，且乙种乒乓球数量不少于23个，那么该文具店共有哪几种进货方案？（3）若该体育用品店销售每只甲种乒乓球可获利润3元，销售每只乙种乒乓球可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，由题意，得：105100 5355x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：510 xy=⎧⎨=⎩．即购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元．（2）设该文具店购进m个乙种乒乓球，则购进1000105m-＝（200﹣2m）个甲种乒乓球，依题意，得：2002623m mm-≥⎧⎨≥⎩，解得：23≤m≤25，∵m为正整数，∴m可以取23，24，25，该文具店共有3种进货方案，方案1：购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球；方案2：购进152个甲种乒乓球，24个乙种乒乓球；方案3：购进150个甲种乒乓球，25个乙种乒乓球．（3）方案1获得的利润为3×154+4×23＝554（元），方案2获得的利润为3×152+4×24＝552（元），方案3获得的利润为3×150+4×25＝550（元）．∵554＞552＞550，∴方案1购进154个甲种乒乓球，23个乙种乒乓球获利最大，最大利润是554元．。

人教版初中数学不等式与不等式组基础知识点归纳总结单选题1、不等式组{3(x −1)>x −72x +2⩾3x的解集是（ ） A ．﹣2＜x≤2B ．x ＜﹣2C ．x≥2D ．无解答案：A解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解不等式3(x ﹣1)＞x ﹣7，得：x ＞﹣2，解不等式2x+2≥3x ，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，故选：A ．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2、下列说法中错误的是（ ）A ．不等式x +2≤3的整数解有无数个B ．不等式x +4<5的解集是x <1C ．不等式x <3的正整数解有限个D ．0是不等式2x <−1的解答案：D解析：逐一对选项进行分析即可．A. 不等式x +2≤3的解集为x ≤1 ，所以整数解有无数个，故正确；B. 不等式x +4<5的解集是x <1，故正确；C. 不等式x <3的正整数解为1，2，是有限个，故正确；D. 0不是不等式2x <−1的解，故错误；故选：D ．小提示：本题主要考查不等式的解集及解的个数，会解不等式是解题的关键．3、“x 的2倍与3的和是非负数”列成不等式为（ ）A ．2x +3≥0B ．2x +3>0C ．2x +3≤0D ．2x +3<0答案：A解析：非负数就是大于或等于零的数，再根据x 的2倍与3的和是非负数列出不等式即可.解：“x 的2倍与3的和是非负数”列成不等式为：2x +3≥0,故选：A.小提示：本题考查的是列不等式，掌握“非负数是正数或零，用不等式表示就是大于或等于零”是解题的关键.4、关于x 的方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m>92B ．m<0C ．m<92D ．m>0 答案：A解析：解：方程4x －2m ＋1＝5x －8的解为x ＝9－2m ．由题意得：9－2m ＜0，则m ＞92．故选A ．5、下列式子：①3＞0；②4x +5＞0；③x ＜3；④x 2+x ；⑤x ≠﹣4；⑥x +2＞x +1，其中不等式有（ ）个A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C解析：根据不等式定义可得答案．①3＞0；②4x +5＞0；③x ＜3；⑤x ≠﹣4；⑥x +2＞x +1是不等式，共5个，故选C ．小提示：本题考查不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．6、关于x 的一元一次方程4x-m+1=3x-1的解是负数，则m 的取值范围是（ ）.A ．m=2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m≤2答案：C解析：∵方程x ﹣m +2=0的解是负数，∴x =m ﹣2＜0，解得：m ＜2，故选C ．7、下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是（ ）A ．{x −1<3x +1<3B ．{x −1<3x +1>3C ．{x −1>3x +1>3D ．{x −1>3x +1<3答案：B分析：先根据在数轴上表示不等式解集的方法得出该不等式组的解集，再找出符合条件的不等式组即可．详解：A、此不等式组的解集为x＜2，不符合题意；B、此不等式组的解集为2＜x＜4，符合题意；C、此不等式组的解集为x＞4，不符合题意；D、此不等式组的无解，不符合题意；故选B．点睛：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时一定要注意实心与空心圆点的区别，即一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点．8、不等式3x−1>x+1的解集在数轴上表示为( )A．B．C．D．答案：C解析：试题解析：由3x﹣1＞x+1，可得2x＞2，解得x＞1，所以一元一次不等式3x﹣1＞x+1的解在数轴上表示为：故选C．点睛：首先根据解一元一次不等式的方法，求出不等式3x﹣1＞x+1的解集，然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法，把不等式3x﹣1＞x+1的解集在数轴上表示出来即可．9、用不等式表示：x 减去2的差的绝对值不大于32_________________． 答案：|x −2|≤32解析：根据题意以及不等式的定义列不等式．解：x 减2的绝对值不大于32，列式：|x −2|≤32．故答案是：|x −2|≤32． 小提示：本题考查列不等式，解题的关键是根据不等式的定义，找到题目中的不等关系进行列式．10、一次测验共出5道题，做对一题得一分，已知26人的平均分不少于4.8分，最低的得3分，至少有3人得4分，则得5分的有______ 人．答案：22解析：解：设得5分的人数为x 人，得3分的人数为y 人．则可得{x +y +3=265x +3y +12>26×4.8，解得：x ＞21.9． ∵一共26人，最低的得3分，至少有3人得4分，∴得5分最多22人，即x ≤22．∴21.9＜x ≤22且x 为整数，所以x =22．故得5分的人数应为22人．故答案为22．点睛：此题考查不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．解题过程中一定要符合题目的意思，以事实为依据．11、已知不等式组{x >1x <a −1无解，则a 的取值范围为__．答案：a⩽2解析：求出不等式组中每个不等式的解集，根据已知即可得出关于a的不等式，即可得出答案．解：∵不等式组{x>1x<a−1无解，∴a−1⩽1，解得：a⩽2，所以答案是：a⩽2．小提示：本题考查了一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式，题目比较好，难度适中．12、不等式组{2x−1<3−12x−1≤0的整数解的和为________．答案：-2解析：先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值，再相加．解：{2x−1<3①−12x−1≤0②，解不等式①得，x＜2；解不等式②得，x≥-2，∴不等式组的解集是：-2≤x＜2，∴不等式组的整数解是：-2，-1，0，1，∴整数解的和为-2-1+0+1=-2，所以答案是：-2．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．13、已知关于x的不等式3x-5k>-7的解集是x>1，则k的值为________.答案：2解析：试题分析：不等式可变形为：3x＞5k－7，x＞5k−7，3∵关于x的不等式3x－5k>－7的解集是x>1，∴5k−7＝1，3解得：k＝2．故答案为2．点睛：本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的方程是解题关键．解答题14、在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为P(x1,y1)和Q(x2,y2)，则定|x1−x2|和|y1−y2|中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为d min(P,Q)．例如：P(−2,3),Q(0,2)，因为x1=−2,x2=0,|x1−x2|=|−2−0|=2；y1=3,y2=2,|y1−y2|=|3−2|=1，而|3−2|<|−2−0|，所以d min(P,Q)=|3−2|=1．（1）请直接写出A(3,−2)和B(−1,1)的直角距离小分量d min(A,B)=_________；（2）点D是坐标轴上的一点，它与点C(3,−1)的直角距离小分量d min(C,D)=2，求出点D的坐标；（3）若点M(m+1,2m−2)满足以下条件：a）点M在第一象限；b）点M与点N(5,0)的直角距离小分量d min(M,N)<2c）∠MON>45°，O为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标_______．答案：（1）3；（2）D(0,1)或D(0,−3)；（3）M(5,6)或(6,8)解析：（1）根据新概念求得即可；（2）分两种情况，根据“直角距离小分量”的定义得出即可；（3）根据题意得出{m+1>02m−2>0，解出m的取值范围，再由∠MON>45°可推导出K OM =2m−2m+1>1，解出m的取值范围，根据横纵坐标都为整数的点取m的值即可．解：（1）∵A(3,−2)，B(−1,1)，∴|3+1|=4>|−2−1|=3，∴d min(A,B)=3；故答案为3；（2）∵点D是坐标轴上的一点，若D在x轴上，设D(a,0)，由于|0+1|=1<2与题意矛盾，故点D是在y轴上的一点，设D(0,b)，|0−3|=3>2，∴|b+1|=2，解得：b=1或−3，∴D(0,1)或D(0,−3)；（3）由题意得：{m+1>02m−2>0，解得m>1，|m+1−5|=|m−4|,|2m−2−0|=2|m−1|，∴(m−4)2−[2(m−1)]2=−3m2+12，当1<m<2时，d min(M,N)=2|m−1|<2，解得：0<m<2，当m≥2时，d min(M,N)=|m−4|<2，解得：2<m<6，∴m的取值范围是：0<m<2或2<m<6，∵∠MON>45°恰好为l OM的倾斜角，∴K OM>1，K OM=2m−2m+1>1，解得：m<−1或m>3综上：m的取值范围是：3<m<6，∵横纵坐标都为整数，∴m=4和5，∴M(5,6)或(6,8)，所以答案是：M(5,6)或(6,8)．小提示：本题考查了坐标与图形的性质，解一元一次不等式组，解题的关键是根据新概念列出不等式组．15、求不等式2x+13≤3x−25+1的非负整数解．答案：不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．解析：去分母，去括号，移项，合并同类项，即可得出不等式的解集．去分母得：5（2x +1）≤3（3x -2）+15，去括号得：10x +5≤9x -6+15，移项得：10x -9x ≤-5-6+15，合并同类项得x ≤4，∴不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．小提示：考查了不等式的性质和解一元一次不等式，主要考查学生运用不等式的性质解一元一次不等式的能力.。

一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______； (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______； (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______． 【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2.（•莆田）解不等式组：． 【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】 解：解：．由①得x ≤1；由②得x ＜4；所以原不等式组的解集为：x ≤1．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．【变式】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x 名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（）， 不等式(1)的解集是：x ＜2121； 不等式（2）的解集是：x ＞20， 所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121， 因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三： 【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元， 可得：， 解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：， 解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x xx +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤，又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．一元一次不等式组（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．不等式组312840x x ->⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示为 （ ）．3．（•来宾）已知不等式组的解集是x≥1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1 B ．a ≤1C ．a ≥1D ．a ＞1 4．不等式32015x -<≤的整数解有（ ）． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5．现用甲、乙两种运输车将46t 抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t ，乙种运输车载重4t ，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）．A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆6．如果|x+1|＝1+x ，|3x+2|＝-3x-2，那么x 的取值范围是（ ）．A ．213x -≤≤-B ．1x ≥-C ．23x ≤-D ．213x -≤≤- 二、填空题7.如果a ＜2，那么不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解集为_______，2x a x <⎧⎨>⎩的解集为_______． 8．（•广东）不等式组x x x x --⎧⎪⎨-⎪⎩1222132≤＞的解集是 ． 9．不等式组34125x +-≤<的所有整数解的和是______． 10. 如图所示，在天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A 的质量m(g)的取值范围为 ．11．从彬彬家步行到学校的路程是2400米，如果彬彬7时离家，要在7时30分至40分间到达学校，那么步行的速度x （米/分）的范围是________．12. 在△ABC 中，三边为a 、b 、c ,如果a 3x =，b 4x =，c 28=，那么x 的取值范围是 ．三、解答题13.解下列不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．（1）2(1)31134x x x x +≤-⎧⎪+⎨<⎪⎩；（2）1＜3x-2＜4；14.若关于x 、y 的二元一次方程组中，x 的值为负数，y 的值为正数，求m 的取值范围．15.郑老师想为希望小学四年级(3)班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．(1)每个书包和每本词典的价格各是多少元?(2)郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D ；【解析】解：A 、含有两个未知数，错误；B 、未知数的次数是2，错误；C 、含有两个未知数，错误；D 、符合一元一次不等式组的定义，正确；故选D.2. 【答案】A ；【解析】解不等式组可得：1,2x x >≥且．3. 【答案】A ；4. 【答案】B ；【解析】32053215x x -⎧<⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得：312x -≤<，所以整数解：-1，0，1. 5. 【答案】C ；【解析】设甲种运输车安排x 辆，5x+4（10-x ）≥46，x≥6，故至少要甲种运输车6辆．6. 【答案】A ；【解析】由10320x x +≥⎧⎨--≥⎩，解得213x -≤≤-． 二、填空题7. 【答案】x ＞2，无解；8. 【答案】﹣3＜x≤1；【解析】解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞-3，所以不等式组的解集是：﹣3＜x≤1.9. 【答案】-5；【解析】所有整数解：-3，-2，-1,0,1，所以和为-5.10．【答案】1＜m ＜2；【解析】由第一幅图得m ＞1，由第二幅图得m ＜2，故1＜m ＜211.【答案】60＜x ＜80； 【解析】设步行速度为x 米/分，依题意可得：3240042400x x <⎧⎨>⎩，得60＜x ＜80 12.【答案】4＜x ＜28；【解析】4x-3x ＜28＜4x+3x ，即4＜x ＜28．三、解答题13.【解析】解：(1)由①得解集为x ≥3，由②得解集为x ＜3，在数轴上表示①、②的解集，如图， 所以不等式组无解．（2）不等式组的解集为1＜x ＜2，表示在数轴上如图：14.【解析】 解：，①+②得2x=4m ﹣2，解得x=2m ﹣1，②﹣①得2y=2m+8，解得y=m+4，∵x 的值为负数，y 的值为正数， ∴，∴﹣4＜m ＜．15.【解析】解：(1)设每个书包的价格为x 元，则每本词典的价格为(x-8)元．根据题意得：3x+2(x-8)＝124解得：x ＝28．∴ x-8＝20．答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．(2)解：设购买书包y 个，则购买词典(40-y)本．根据题意得：1000[2820(40)]1001000[2820(40)]120y y y y -+-≥⎧⎨-+-≤⎩， 解得：10≤y ≤12.5．因为y 取整数，所以y 的值为10或11或12．所以有三种购买方案，分别是：①书包10个，词典30本；②书包11个，词典29本；③书包12个，词典28本．。

不等式的基本性质、解不等式【考纲要求】1、不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2、一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.【基础知识】一、不等式的概念及基本性质1、实数运算性质与大小顺序关系(1)a －b ＞0⇔a ＞b ；(2)a －b ＝0⇔a ＝b ；(3)a －b ＜0⇔a ＜b .2、不等式的基本性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方性：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方性：a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2)．(7)叠加性：a ＞b ，c ＞d ⇒a+c ＞b+d （不等式同向可加）(8)叠乘性：a ＞b ≥0，c ＞d ≥0⇒ac ＞bd （不等式同向为正可乘）注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。

如果遇到减法和除法，可以转化乘加法和乘法。

如：求a －b 的范围可以转化成求a+(－b )的范围，求a b 的范围可以转化成求a ×1b的范围。

②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。

3、实数大小的比较实数大小的比较一般用差比和商比。

(1)如果不知道实数是正数或负数，一般用差比，一般步骤是作差→变形（通分、因式分解、合并 同类项等）→与0比较→下结论。

(2)如果是正数，一般用商比，一般步骤是作商→变形（通分、因式分解、合并同类项等）→与1 比较→下结论。

不等式（组）强化训练1．解不等式组．2．解不等式组．3．解不等式组：．4．（1）解不等式3x+5＜7（x﹣1）+3，并写出满足此不等式的最小整数解．（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．5．解不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（1）﹣1；（2）．6．解不等式（组），并在数轴上表示它的解集．（1）6x+16＞2x﹣4；（2）．7．解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来并写出整数解．8．解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来．9．解不等式组：．10．解不等式组，并写出满足条件的正整数解．11．解不等式及不等式组：（1）3（x﹣2）≤3﹣2x；（2）．12．（1）解不等式：2x﹣2≥﹣3 （x+4），并在数轴上表示其解集．（2）解不等式组并求出这个不等式组的所有的正整数解．13．解不等式组：并写出它的所有整数解．14．解下列不等式（组）：（1）2（x+5）＜3（x﹣5）；（2）．15．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．16．解不等式组：，并在数轴上表示其解集．17．解不等式组，并求出它的所有非负整数解之和．18．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（1）；（2）．19．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．20．求不等式组的解集，并在数轴上表示解集．21．解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来．22．解不等式≤+1，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的最大整数解．23．解不等式组：．24．解不等式组，并将解集在数轴上表示．25．（1）解不等式：﹣1≤；（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．26．解不等式组．27．（1）解不等式，并求出这个不等式的负整数解．（2）解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上．28．解不等式组：．29．解不等式组，把其解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．30．解不等式组，并写出其所有的整数解．31．解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．32．解不等式组，并在数轴上表示它的解集．33．解不等式：﹣＞1，并把解集在数轴上表示出来：34．解不等式组：，并在数轴上表示出解集．35．解不等式组，并把解集表示在数轴上．36．解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．37．解不等式组：．38．解不等式（组）（1）解不等式x+≤1﹣，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．39．解不等式组：（1）；（2）．40．计算：（1）解不等式：3（x﹣1）＞2x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组：，并写出它的所有正整数解．41．（1）解不等式，并把它的解集写在数轴上．（2）解不等式组并写出它的所有整数解．42．解下列不等式或不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：（1）6x+15＞4x﹣3；（2）．43．解不等式组：（1）；（2）．44．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．．45．解不等式、不等式组：（1）解不等式：x﹣＜，并把它的解集表示在数轴上．（2）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解．46．解不等式（组）：（1）；（2）．47．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．48．解不等式（组）：（1）2（x+1）﹣1＞x；（2）．49．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．50．解不等式组并写出该不等式组的所有非负整数解．1．解不等式组．【解答】解：，解不等式①得：x≤，解不等式②得：x＞2，∴不等式组的解集是4＜x≤．2．解不等式组．【解答】解：解不等式2x≤x+3得：x≤8，解不等式1﹣3（x﹣8）＜8﹣x得：x＞﹣2，所以，原不等式组的解集为﹣5＜x≤3．3．解不等式组：．【解答】解：解不等式＜1，解不等式5x+2≥6x，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜．4．（1）解不等式3x+5＜7（x﹣1）+3，并写出满足此不等式的最小整数解．（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：（1）去括号得：3x+5＜4x﹣7+3，移项得：8x﹣7x＜﹣7+4﹣5，合并得：﹣4x＜﹣6，解得：x＞，则不等式组的最小整数解为2；（2），由①得：x≥﹣1，由②得：x＜7，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜4．5．解不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（1）﹣1；（2）．【解答】解：（1）去分母得：2（4﹣x）＞5x+2﹣6，6﹣2x＞3x+5﹣6，﹣2x﹣6x＞2﹣6﹣8，﹣5x＞﹣12，x＜2.7，在数轴上表示为：；（2），解不等式①得：x＜﹣1，解不等式②得：x，所以不等式组的解集是x＜﹣1，在数轴上表示为：．6．解不等式（组），并在数轴上表示它的解集．（1）6x+16＞2x﹣4；（2）．【解答】解：（1）6x+16＞2x﹣2，6x﹣2x＞﹣8﹣16，4x＞﹣20，x＞﹣5，在数轴上表示为：；（2），解不等式①得：x≤11，解不等式②得：x＞3，所以不等式组的解集是8＜x≤11，在数轴上表示为：．7．解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来并写出整数解．【解答】解：，解不等式①得：x＞﹣4，解不等式②得：x≤2，所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤5．在数轴上表示为：．不等式组的整数解有0，1，3．8．解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来．【解答】解：解不等式5x﹣4≤2+7x，得：x≥﹣3，解不等式x﹣＜，得：x＜1，则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：9．解不等式组：．【解答】解：不等式①的解集为x＜3，不等式②的解集为x＞，所以不等式组的解集为＜x＜4．10．解不等式组，并写出满足条件的正整数解．【解答】解：解不等式1﹣x＜2（x+3），得：x＞﹣1，解不等式≥x+，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2，则不等式组的正整数解为1，5．11．解不等式及不等式组：（1）3（x﹣2）≤3﹣2x；（2）．【解答】解：（1）3（x﹣2）≤6﹣2x，去括号，得：3x﹣7≤3﹣2x，移项，得：6x+2x≤3+8，合并同类项，得：5x≤9，系数化为8，得：x≤；（2），解不等式①得：x＞4，解不等式②得：x＞3，则不等式组的解集为x＞3．12．（1）解不等式：2x﹣2≥﹣3 （x+4），并在数轴上表示其解集．（2）解不等式组并求出这个不等式组的所有的正整数解．【解答】解：（1）2x﹣2≥﹣2 （x+4），2x﹣3≥﹣3x﹣12，2x+3x≥﹣12+2，5x≥﹣10，x≥﹣7，在数轴上表示不等式的解集为：；（2），解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，∴不等式组的所有的正整数解为：1、2、6．13．解不等式组：并写出它的所有整数解．【解答】解：由①得：x＜2，由②得：x≥﹣1，∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜8，∴不等式组的整数解为﹣1，0，6，2．14．解下列不等式（组）：（1）2（x+5）＜3（x﹣5）；（2）．【解答】解：（1）去括号得：2x+10＜3x﹣15，移项得：4x﹣3x＜﹣15﹣10，合并得：﹣x＜﹣25，解得：x＞25；（2），由①得：x＜1，由②得：x≤﹣6，则不等式组的解集为x≤﹣2．15．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x＞5，∴原不等式组的解集是：x＞3，它的解集在数轴上表示为：．16．解不等式组：，并在数轴上表示其解集．【解答】解：不等式组：，由①得：x≤1，由②得：x＜，∴不等式组的解集为x≤1．17．解不等式组，并求出它的所有非负整数解之和．【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜，所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜，所以不等式组的所有非负整数解为：0，1，7，3，0+7+2+3＝4，即所有非负整数解之和为6．18．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（1）；（2）．【解答】解：（1）x﹣3＞1﹣x，x+x＞1+2，x＞3，x＞7，在数轴上表示为：；（2），解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤5，不等式组的解集为：﹣1＜x≤5，在数轴上表示为：．19．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：，解不等式①得：x＜﹣2，解不等式②得：x＜3，在数轴上表示为：，故原不等式组的解集为：x＜﹣8．20．求不等式组的解集，并在数轴上表示解集．【解答】解：，由①得x≤2，由②得x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．在数轴上表示为：21．解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来．【解答】解：，解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣3，所以不等式组的解集是﹣2≤x＜3，在数轴上表示为：．22．解不等式≤+1，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的最大整数解．【解答】解：≤+3，去分母得：6x+3≤5x﹣4+12，移项合并得：2x≤3，系数化为1得：x≤2.6，则不等式的最大整数解为2．23．解不等式组：．【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜，则不等式组的解集为﹣1≤x＜．24．解不等式组，并将解集在数轴上表示．【解答】解：，解①得x＜3，解②得x≥﹣7，所以不等式组的解集为﹣1≤x＜3，用数轴表示为．25．（1）解不等式：﹣1≤；（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：（1）﹣1≤，2（5x﹣1）﹣6≤8（5x+1），7x﹣2﹣6≤15x+8，4x﹣15x≤3+5+6，﹣11x≤11，x≥﹣1；（2），解①得x≤﹣3，解②得x＞1，故不等式组的解集为无解．把解集在数轴上表示出来为：26．解不等式组．【解答】解：，解不等式①得：x≤3，由②得：x＜2，∴不等式组的解集是：x＜4．27．（1）解不等式，并求出这个不等式的负整数解．（2）解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上．【解答】解：（1）原不等式可化为2（2x﹣2）﹣3（5x+2）≤6，整理得：﹣11x≤11，系数化为1得：x≥﹣4，则负整数解为﹣1；（2），解不等式①得&nbsp;x＜2，解不等式②得x≥﹣1，∴不等式组的解集为﹣5≤x＜2，解集在数轴上表示为：．28．解不等式组：．【解答】解：，解①得x≥﹣2，解②得x＜2，∴原不等式组的解集为﹣5≤x＜2．29．解不等式组，把其解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．【解答】解：，解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x＞﹣2，所以不等式组的解集为：﹣4＜x≤3．在数轴上表示为：．不等式组的整数解有﹣1，8，1，2，3．30．解不等式组，并写出其所有的整数解．【解答】解：，解不等式①得：x＞﹣4，解不等式②得：x≤﹣1，所以不等式组的解集为：﹣5＜x≤﹣1．∴不等式组的整数解有﹣3，﹣5．31．解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．【解答】解：，由①得：x≥﹣，由②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣≤x＜3，表示在数轴上，如图所示：32．解不等式组，并在数轴上表示它的解集．【解答】解：，由①得：x≤2，由②得：x＞﹣5，∴不等式组的解集为﹣5＜x≤2，数轴表示如图所示：33．解不等式：﹣＞1，并把解集在数轴上表示出来：【解答】解：去分母得；2（2x+3）﹣3x＞6，整理得：4x+2﹣3x＞3，解得：x＞4，将解集在数轴上表示为：．34．解不等式组：，并在数轴上表示出解集．【解答】解：，由①得：x＞﹣3，由②得：x＜，则不等式组的解集为﹣4＜x＜．35．解不等式组，并把解集表示在数轴上．【解答】解：，由①得：x≤2，由②得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣5＜x≤2．36．解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：，由①得：x≥﹣5，由②得：x＜3，则不等式组的解集为﹣1≤x＜5．不等式的解集在数轴上表示为：．37．解不等式组：．【解答】解：，由①得：x≥﹣2，由②得：x＜7，∴不等式组解集为：﹣2≤x＜1．38．解不等式（组）（1）解不等式x+≤1﹣，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．【解答】解：（1）去分母，得：6x+2（x+2）≤6﹣（x﹣14），去括号，得：6x+3x+2≤6﹣x+14，移项，得：8x+2x+x≤6+14﹣8，合并同类项，得：9x≤18，系数化为1，得：x≤2，将解集表示在数轴上如下：；（2），解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣8≤x＜2，∴不等式组的整数解为﹣2、﹣8、0、1．39．解不等式组：（1）；（2）．【解答】解：（1），解不等式①得x≥，解不等式②得x＞﹣3，故不等式组的解集为x．（2），解不等式①得x≥﹣5，解不等式②得x＜，故不等式组的解集为﹣8≤x＜．40．计算：（1）解不等式：3（x﹣1）＞2x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组：，并写出它的所有正整数解．【解答】解：（1）3（x﹣1）＞8x﹣1，去括号，得：3x﹣5＞2x﹣1，移项，得：8x﹣2x＞﹣1+3，合并同类项，得：x＞2，将解集表示在数轴上如下：；（2），由①得，x＞1，由②得，x≤3，∴不等式组的解集是：7＜x≤3，∴不等式组的正整数解是：2，341．（1）解不等式，并把它的解集写在数轴上．（2）解不等式组并写出它的所有整数解．【解答】解：（1）去分母，得：2（2x﹣4）﹣3（5x+8）≥6，去括号，得：4x﹣7﹣15x﹣3≥6，移项，得：2x﹣15x≥6+2+3，合并同类项，得：﹣11x≥11，系数化为1，得：x≤﹣1，将解集表示在数轴上如下：；（2），解不等式①得：x＜6，解不等式②得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜4，∴不等式组的整数解为﹣1，0，7．42．解下列不等式或不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：（1）6x+15＞4x﹣3；（2）．【解答】解：（1）6x+15＞4x﹣7，移项得，6x﹣4x＞﹣2﹣15，合并同类项得，2x＞﹣18，把x的系数化为1得，x＞﹣2．在数轴上表示为：；（2），由①得，x≥8，由②得，x＜，故此不等式组的解集为：6≤x＜，在数轴上表示为：．43．解不等式组：（1）；（2）．【解答】解：（1），由①得：x＞﹣7，由②得：x≥1，则不等式组的解集为x≥1；（2），由①得：x＜1，由②得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣4＜x＜1．44．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．．【解答】解：，由①得：x＞﹣6；由②得：x＜﹣5，∴不等式组的解集为﹣6＜x＜﹣5，表示在数轴上，如图所示：．45．解不等式、不等式组：（1）解不等式：x﹣＜，并把它的解集表示在数轴上．（2）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解．【解答】解：（1）去分母得：6x+3（x﹣3）＜2（1+7x），去括号，得：6x+3x﹣2＜2+10x，移项，得：6x+3x﹣10x＜2+3，合并同类项，得：﹣x＜3，系数化为1，得：x＞﹣5，在数轴上表示不等式的解集为：；（2），解不等式①得：x≤33，解不等式②得：x＞﹣8，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3，∴整数解为3，1，2，7．46．解不等式（组）：（1）；（2）．【解答】解：（1），去分母，得：2（x+4）﹣6（3x﹣1）＞2，去括号，得：2x+8﹣4x+3＞6移项，得：7x﹣9x＞6﹣3﹣3，合并同类项，得：﹣7x＞﹣4，系数化为1，得：x＜；（2），解不等式①，得：x＞﹣2，解不等式②，得：x≤13，则不等式组的解集为﹣6＜x≤13．47．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．【解答】解：，由①得，x≥﹣5，由②得x＜2，∴不等式组的解集为﹣6≤x＜2．在数轴上表示为：48．解不等式（组）：（1）2（x+1）﹣1＞x；（2）．【解答】解：（1）2（x+1）﹣7＞x，2x+2﹣3＞x，2x﹣x＞﹣2+8，x＞﹣1；（2），解不等式①得：x＜﹣2，解不等式②得：x≤，∴不等式组的解集为x＜﹣4．49．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：，解不等式①得x＜3，解不等式②得x＜2，所以这个不等式组的解集x＜6，在数轴上表示解集为：．50．解不等式组并写出该不等式组的所有非负整数解．【解答】解：，解不等式①，得x≥﹣2，解不等式②，得x＜4，所以不等式组的解集为：﹣3≤x＜4，所以该不等式组的非负整数解为0、5、2、3。

专题05 不等式与不等式组专题详解专题05 不等式与不等式组专题详解 (1)9.1 不等式 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 不等式及其解集 (3)知识点2 不等式的基本性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 不等式的概念 (5)题型2 根据数量关系列不等式 (5)题型3不等式的解（集） (6)题型4 不等式性质的运用 (6)题型5 实际问题与不等式 (7)三、难点题型 (8)题型1 不等式性质的综合应用 (8)题型2 用作差法比较大小 (9)9.2 一元一次不等式 (10)知识框架 (10)一、基础知识点 (10)知识点1 一元一次不等式的解法 (10)知识点2 列不等式解应用题 (11)二、典型题型 (13)题型1 一元一次不等式的判定 (13)题型2 解一元一次不等式 (13)题型3 列不等式，求取值范围 (14)题型4 一元一次不等式的应用 (14)三、难点题型 (16)题型1 含参数的不等式 (16)题型2 不等式的整数解 (16)题型3 方程与不等式 (17)题型4 含绝对值的不等式 (18)9.3 一元一次不等式组 (19)知识框架 (19)一、基础知识点 (19)知识点1 一元一次不等式组及解集的定义 (19)知识点2 一元一次不等式组解集的确定及解法 (19)知识点3 双向不等式及解法 (21)二、典型题型 (23)题型1 一元一次不等式组的判定 (23)题型2 一元一次不等式组的解集 (23)题型3 解一元一次不等式组 (24)题型4 一元一次不等式组的应用 (25)一、用不等式组解决实际问题 (25)二、方案设计 (26)三、最值问题 (27)三、难点题型 (29)题型1 由不等式组确定字母的取值 (29)题型2 不等式组中的数学思想 (30)一、整体思想 (30)二、数形结合 (31)三、分类讨论 (31)题型3 不等式的应用 (32)题型4 不等式的综合 (33)9.1 不等式知识框架{基础知识点{不等式及其解集不等式的基本性质典型题型{ 不等式的概念根据数量关系列不等式不等式的解（集）不等式性质的运用实际问题与不等式难点题型{不等式性质的综合应用作差法比较大小 一、基础知识点知识点1 不等式及其解集1）不等式：用不等符号表示不等关系的式子。

不等式及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示：(1)x 与-3的和是负数；(2)x 与5的和的28％不大于-6;(3)m 除以4的商加上3至多为5．【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．【答案与解析】解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m +≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x≥0；若x 是非正数，则x≤0；若x 大于y ，则有x-y ＞0；若x 小于y ，则有x-y ＜0等．举一反三：【变式】a a +的值一定是（ ）．A.大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零【答案】D.2.下列叙述：①a 是非负数则a≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为1x＞10；④“a ，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.A.1个B.2个C.3个D. 4个【答案与解析】①非负数是大于等于零的实数，即a≥0．故①正确；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10≤2；故②错误；③“x 的倒数超过10”就是“③“x 的倒数大于10”，可表示为1x＞10．故③正确； ④“a ，b 两数的平方和为正数”，即“；④“a ，b 两数的平方和大于零”，可表示为a 2+b 2＞0．故④正确．综上所述，正确的说法有3个．故选C ．【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠． 类型二、不等式的基本性质3.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜． ．【答案与解析】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a＞b，当c=0时则ac2＞bc2错误，故错误；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；（5）若a＞b，根据c2+1，则a（c2+1）＞b（c2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．4.（2020•青浦区一模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．a2＜b2B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】D.【解析】解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确.【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．举一反三：【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3m”，则m的取值范围是．【答案】m＜0.解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3m ”，∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．。

不等式与不等式组知识点总结一、知识导航图二、课标要求一元一次不等式(组)的应用一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式(组)解集的含义一元一次不等式(组)的概念不等式的性质一元一次不等式和一元一次不等式组三、知识梳理考点一、不等式的概念（3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

常见的不等号有五种：“≠”、“>” 、“<” 、“≥”、“≤”．2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是:①确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；②确定方向：大向右，小向左。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

考点二、不等式基本性质（3～5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果a >b ,并且c >0,那么a c >b c3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果a >b ,并且c <0,那么a c <b c4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式 （6--8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x 项的系数化为1说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例：131321≤---x x 解不等式： 解：去分母,得 6)13(2)13≤---x x （（不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!） 移 项，得 23663-+≤-x x （移项要变号）合并同类项，得 73≤-x （计算要正确） 系数化为1， 得 37-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）考点四、一元一次不等式组 （8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

不等式不等式的最基本性质：①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法则）④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz;（乘法则）⑤如果x>y，z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y，z<0,那么x÷z<y÷z。

⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n(充分不必要条件)⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数）如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以上是其中比较有名的。

解不等式可遵循的一些同解原理①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。

②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。

③如果不等式F（x）<G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）>0，那么不等式F(x)<G（x）与不等式H（x）F（x）<H（ x ）G（x）同解；如果H（x）<0，那么不等式F（x）<G（x）与不等式H (x)F （x）>H（x）G（x）同解。

④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解。

柯西不等式二维形式(a^2;+b^2;)(c^2; + d^2;)≥(ac+bd)^2;等号成立条件：ad=bc扩展:（(a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+. ..(bn)^2;)≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn(当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n）三角形式√(a^2;+b^2;)+√(c^2;+d^2;)≥√[(a-c)^2;+(b-d)]等号成立条件：ad=bc向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a,…,an)，β=(b1,b,…,bn)（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

中考数学方程(组)与不等式（组）复习知识点总结一、方程【知识梳理】1、知识结构方程分式方程的应用分式方程的解法分式方程的概念分式方程的关系根的判别式，根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程2、知识扫描(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。

(2)含有2个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1次，这样的方程叫二元一次方程.(3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.(4)二元一次方程组的解法有法和法.(5)只含有1 个未知数，并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为)0(02a cbx ax。

(6)解一元二次方程的方法有：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法例：（1）042x（2）0342x x（3）4722x x （4）0232x x(7)一元二次方程的根的判别式：ac b42叫做一元二次方程的根的判别式。

对于一元二次方程)0(02a cbx ax当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根；反之也成立。

(8)一元二次方程的根与系数的关系：如果)0(02acbx ax的两个根是21,x x 那么ab x x 21，ac x x 21(9)一元二次方程)0(02a cbx ax的求根公式：)04(2422ac baacb bx(10)分母中含有未知数的方程叫分式方程.(11)解分式方程的基本思想是将分式方程通过去分母转化为整式方程.◆解分式方程的步骤◆1、去分母，化分式方程为整式方程；◆2、解这个整式方程；◆3、验根。

注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．(2)因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程必须检验，检验是解分式方程必要的步骤．二、不等式【知识梳理】1、知识结构解法性质概念不等式2、知识扫描(1) 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为 0 的不等式，叫做一元一次不等式。