3-1 数学期望

由一堂数学期望课展现的课程思政1. 引言1.1 背景介绍数统计、参考资料等。

谢谢！数学期望课作为学校教育中的一门重要课程，旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力。

随着教育理念的不断更新和发展，课程思政作为当前国家教育改革的重要内容，也逐渐受到关注。

数学期望课如何展现课程思政，成为了当前教育领域讨论的热点话题。

在过去，数学期望课往往被传统的数学知识所局限，重点强调学生的数学成绩和应试能力。

随着社会的发展和学生需求的改变，越来越多的教育工作者开始意识到，培养学生的综合素质和思想道德观念同样重要。

将课程思政融入数学期望课的教学中，成为了当前教育改革的重要一环。

通过研究数学期望课如何展现课程思政，可以更好地探讨教育目标的实现路径，促进学生的全面发展。

数学期望课既是学生数学能力的培养场所，也是学生思想品质的养成基础。

对数学期望课展现课程思政的研究具有重要的现实意义和理论价值。

1.2 研究意义数学期望课是当前教育领域的一项重要课程，旨在培养学生的数学思维能力和创新能力。

随着社会的不断发展和进步，课程思政也逐渐成为教育的重要组成部分。

研究数学期望课如何展现课程思政的意义重大。

研究数学期望课展现课程思政可以促进学生综合素质的提升。

通过数学期望课的教学，可以引导学生树立正确的人生观、价值观，培养学生的爱国主义精神和社会责任感，从而使学生在学术能力的也具备良好的道德品质。

研究数学期望课展现课程思政可以促进教师教学水平的提高。

教师在教学过程中需贯彻课程思政，引导学生健康成长，这要求教师有较高的教育素养和专业能力。

研究数学期望课如何展现课程思政有助于促进教师的专业发展。

研究数学期望课展现课程思政对推动教育教学改革、提升学生综合素质和促进教师专业发展具有重要意义。

通过深入研究，可以更好地发挥数学期望课在课程思政中的作用，为培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人做出贡献。

2. 正文2.1 数学期望课的内容和特点数学期望课的内容具有跨学科性和综合性，不仅涵盖了数学的基础知识和技能，还与其他学科如思想政治、语文等进行了有机结合，让学生在学习中能够综合运用不同学科的知识。

离散型随机变量的数学期望【学习目标】1.了解加权平均的意义，学会根据离散型随机变量的分布列计算均值；2.理解离散型随机变量的均值含义；3.熟练掌握两点分布和二项分布中随机变量的均值计算。

【学习重难点】1.了解随机变量均值的含义；2.二项分布随机变量均值公式的推导。

探究案问题1：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？问题2：某商场要将单价分别为18元/kg 、24元/kg 、36元/kg 的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？【继续探究】问题1： 如果混合糖果中每粒糖果的质量都相等，我们把混合糖果搅拌充分均匀，那么我们从中任取1颗糖果，这颗糖果的单价X 的分布列是多少？问题2：如果你买了1kg 这种混合糖果，你要付多少钱？而你买的糖果的实 际价值刚好是23元吗？新知1：均值或数学期望： 若离散型随机变量X 的分布列为：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n p则称 ）（X E 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的 ．它与随机变量本身有相同的单位．试一试：已知随机变量X 的分布列为：X0 1 2 3 4 5 P0.10.20.30.20.10.1求）（X E ．新知2：离散型随机变量期望的性质：若b aX Y +=，其中b a ,为常数，则Y 也是随机变量，且()E aX b += ． 特别的，（1）0a =时，()E b = ；（2）当1a =时，()E X b += ． （3）当0b =时，()E aX = ．注意：随机变量的均值与样本的平均值的区别：随机变量的均值是 ，而样本的平均值是 ；联系：对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越 总体均值．※ 典型例题例1已知随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P121316且Y ＝aX ＋3，若E (Y )＝－2，求a 的值．练习1：随机变量X 的分布列为则E (5X+4)等于新知3：几种分布的期望①若X 服从两点分布，则=)(X E ； ②若X ～),(p n B ，则=)(X E ．例2．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．练习2．一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值．例3．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．练习3．甲、乙两人独立解出某一道题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36.求：(1)甲独立解出该题的概率；(2)解出该题的人数ξ的数学期望．【总结提升】1．随机变量的均值；2．几种分布的期望．训练案1．设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又X的数学期望E(X)＝3，则a＋b＝________.2．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.3．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (ξ)＝________(结果用最简分数表示)．4.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．5．某人有10万元，准备用于投资房地产或购买股票，如果根据下面的盈利表进行决策，那么应选择哪一种决策方案？盈利状况方案盈利(万元)概率购买股票投资房地产巨大成功 0.3 10 8 中等成功 0.5 3 4 失败 0.2－5－4答案例1【解析】 E (X )＝1×12＋2×13＋3×16＝53，∴E (Y )＝E (aX ＋3)＝aE (X )＋3＝53a ＋3＝－2，∴a ＝－3.练习1. 【解析】∵E (X )=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2,∴E (5X+4)=5E (X )+4=11+4=15.例2.【解析】(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此ξ～B 1(4,)2． ∴P (ξ＝0)＝04411()216C ⨯=，P (ξ＝1)＝1441()2C ⨯＝14，P (ξ＝2)＝2441()2C ⨯＝38， P (ξ＝3)＝3441()2C ⨯＝14，P (ξ＝4)＝4441()2C ⨯＝116. 其分布列为(2)∵ξ～B 1(4,)2，∴E (ξ)＝4×12＝2. 又由题意可知η＝2 300－100ξ，∴E (η)＝E (2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)＝2 300－100×2＝2 100元． 即所求变量η的期望为2100元．练习2：【解析】 设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X 1和X 2，则X 1～B (20,0.9)，X 2～B (20,0.25)，所以E (X 1)＝20×0.9＝18，E (X 2)＝20×0.25＝5.由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这项测验中的成绩分别是5X 1和5X 2.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是E (5X 1)＝5E (X 1)＝5×18＝90，E (5X 2)＝5E (X 2)＝5×5＝25.例3：【解析】从10件产品中任取3件，共有310C 种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为337k kC C -，其中k ＝0,1,2,3. ∴P (X ＝k )＝337310k kC C C -，k ＝0,1,2,3. 所以随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910. 练习3：【解析】(1)设甲、乙独立解出该题的概率均为p ，则该题不能被甲且不能被乙解出的概率为2(1)p -，由题意知1－2(1)p -＝0.36，解得p ＝0.2. (2)解出该题的人数ξ的可能取值为0,1,2， 故分布列为∴E (ξ)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.训练案1.【解析】 由题意，得a (1＋2＋3＋4)＋4b ＝1， 即10a ＋4b ＝1，再由E (X )＝3，得a ＋b ＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3， 即30a ＋10b ＝3， 解得b ＝0，a ＝110.故a ＋b ＝110.【答案】1102.【解析】 令“？”为a ，“！”为b ，则2a ＋b ＝1. ∴E (ξ)＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b )＝2. 【答案】 23.【解析】 由题意知，ξ的可能取值为0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121.∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 P10211021121∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝47.【答案】 474.【解析】 (1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”， A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”， 则A ＝A 1·A 2，P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.设A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B 1·B 3)＝P (B 1)P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58，故EX ＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.5.【解析】 设购买股票的盈利为X ，投资房地产的盈利为Y ， 则购买股票的盈利的数学期望E (X )＝10×0.3＋3×0.5＋(－5)×0.2＝3＋1.5－1＝3.5. 投资房地产的盈利的数学期望E (Y )＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6. 因为E (Y )＞E (X )，所以投资房地产的平均盈利高，故选择投资房地产.。

3-3 數學期望值重要例題：例1.統一發票共八碼，每期開出一個特獎號碼，五個頭獎號碼。

與特獎號碼完全相同可得2000000元，與頭獎任一號碼相同，可得200000元，與頭獎末7碼相同可得40000元(貳獎)，與頭獎末6碼同可得10000元(參獎)，與頭獎末5碼同可得4000元(肆獎)，與頭獎末4碼同可得1000元，與頭獎末三碼同可得200元。

則一張統一發票的平均價值為多少？(期望值)例2.投擲一粒公正的骰子一次，若出現k點則可得k元，求其期望值。

例3.投擲二粒公正的骰子，(1)若出現點數和為k，則可得k元，則其期望值為；(2)若出現點數差為r，則可得r元，則其期望值為。

類1. 投擲十粒公正的骰子，若出現點數和為k，則可得k元，則其期望值為。

類2. 袋中有大小相同的紙牌10張，分別寫3張100元，2張50元，5張10元，任取一張，則獎金的期望值為多少？類3. 設袋中有1號球1個，2號球2個．．．n號球n個，自袋中任取一球，若取得號球k可得k元，則其期望值為。

ANS: 1.35，2.45，3.312+n。

例4.投擲四顆骰子有如下的獎金，則期望值為。

類1. 設袋中有10元、5元硬幣各3枚，自袋中任取2枚，則期望值為。

類2. 同時擲10個公正的硬幣，若有k個硬幣出現正面，可得k2元，則(1)恰得32元之機率為；(2)期望值為。

類3. 一人擲三個公正的硬幣一次，若出現k個正面，則可得13-k元(3,2,1=k)，若不出現正面則輸15元，求其期望值。

ANS: 1. 15，2. (1)63256,(2)10)23(，3. 47。

例5. 一袋子中有12個球，其中有4個白球，(1)從中一次取出3球，(2)每次取一球，取後放回，連取三次，(3)每次取一球，取後不放回，連取三次，求白球個數的期望值。

類1. C B A ,,三人同解數學題，解出之機率分別為21,32,43，今三人合解48題，則解對題數的期望值為 。

類2. 一箱子內有9個燈泡，其中有4個是壞的，從中取出3個，求壞燈泡個數的期望值。

第21-22讲--数学期望--教学设计-李飞第二章随机变量的数字特征第21-22讲数学期望教学设计如果级数()i i ig a p ∑绝对收敛（()i i ig x p <∞∑），则X 的函数()g X 的数学期望为设(,)X Y 为二维离散型随机变量，其联合概率函数如果级数(,)i j ij j ig a b p ∑∑绝对收敛，则(,)X Y 的函数g(,)X Y 的数学期望为；设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分()()g x f x dx +∞-∞⎰绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分(,)(,)g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为；特别地,(),1,2,,i i P X a p i ===L [()]()i iiE g X g a p =∑(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====L [(,)](,)i j ijjiE g X Y g a b p =∑∑();()i ij j ijiijiE X a p E Y b p ==∑∑∑∑[()]()()E g X g x f x dx+∞-∞=⎰[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰()(,)E x xf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰…………………………63分钟…………………………73分钟1.222211.22211=(1200)1200116001000dx dx x xdx x+∞-++=⎰⎰⎰2. 例题：假设（X,Y ）服从A 上的均匀分布，其中A 为由x 轴、y 周及直线x+…………………………98分钟。

十、电场1.两种电荷、电荷守恒定律、元电荷：(e＝1.60×10-19C）；带电体电荷量等于元电荷的整数倍2.库仑定律：F＝kQ1Q2/r2（在真空中）｛F:点电荷间的作用力(N)，k:静电力常量k＝9.0×109N•m2/C2，Q1、Q2:两点电荷的电量(C)，r:两点电荷间的距离(m)，方向在它们的连线上，作用力与反作用力，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引｝3.电场强度：E＝F/q（定义式、计算式)｛E:电场强度(N/C)，是矢量（电场的叠加原理），q：检验电荷的电量(C)｝4.真空点（源）电荷形成的电场E＝kQ/r2 ｛r：源电荷到该位置的距离（m），Q：源电荷的电量｝5.匀强电场的场强E＝UAB/d ｛UAB:AB两点间的电压(V)，d:AB两点在场强方向的距离(m)｝6.电场力：F＝qE ｛F:电场力(N)，q:受到电场力的电荷的电量(C)，E:电场强度(N/C)｝7.电势与电势差：UAB＝φA-φB，UAB＝WAB/q＝-ΔEAB/q8.电场力做功：WAB＝qUAB＝Eqd｛WAB:带电体由A到B时电场力所做的功(J)，q:带电量(C)，UAB:电场中A、B两点间的电势差(V)(电场力做功与路径无关),E:匀强电场强度,d:两点沿场强方向的距离(m)｝9.电势能：EA＝qφA ｛EA:带电体在A点的电势能(J)，q:电量(C)，φA:A点的电势(V)｝10.电势能的变化ΔEAB＝EB-EA ｛带电体在电场中从高中物理电路实验A位置到B位置时电势能的差值｝11.电场力做功与电势能变化ΔEAB＝-WAB＝-qUAB (电势能的增量等于电场力做功的负值)12.电容C＝Q/U(定义式,计算式) ｛C:电容(F)，Q:电量(C)，U:电压(两极板电势差)(V)｝13.平行板电容器的电容C＝εS/4πkd（S:两极板正对面积，d:两极板间的垂直距离，ω：介电常数）常见电容器14.带电粒子在电场中的加速(Vo＝0)：W＝ΔEK或qU＝mVt2/2，Vt＝(2qU/m)1/215.带电粒子沿垂直电场方向以速度Vo入入匀强电场时的偏转(不考虑重力作用的情况下)类平垂直电场方向:匀速直线运动L＝Vot(在带等量异种电荷的平行极板中：E ＝U/d)抛运动平行电场方向:初速度为零的匀加速直线运动d＝at2/2，a＝F/m＝qE/m 注:(1)两个完全相同的带电金属小球接触时,电量分配规律:原带异种电荷的先中和后平分,原带同种电荷的总量平分；(2)电场线从正电荷出发终止于负电荷,电场线不相交,切线方向为场强方向,电场线密处场强大,顺着电场线电势越来越低,电场线与等势线垂直；（3）常见电场的高中物理知识点总结电场线分布要求熟记；(4)电场强度（矢量）与电势（标量）均由电场本身决定,而电场力与电势能还与带电体带的电量多少和电荷正负有关；(5)处于静电平衡导体是个等势体,表面是个等势面,导体外表面附近的电场线垂直于导体表面，导体内部合场强为零,导体内部没有净电荷,净电荷只分布于导体外表面；(6)电容单位换算：1F＝106μF＝1012PF； (7）电子伏(eV)是能量的单位,1eV ＝1.60×10-19J；(8)其它相关内容：静电屏蔽、示波管、示波器及其应用、等势面十一、恒定电流1.电流强度：I＝q/t｛I:电流强度(A），q:在时间t内通过导体横载面的电量(C），t:时间(s）｝2.欧姆定律：I＝U/R ｛I:导体电流强度(A)，U:导体两端电压(V)，R:导体阻值(Ω)｝3.电阻、电阻定律：R＝ρL/S｛ρ:电阻率(Ω•m)，L:导体的长度(m)，S:导体横截面积(m2)｝4.闭合电路欧姆定律：I＝E/(r R)或E＝Ir IR也可以是E＝U内 U外｛I:电路中的总电流(A)，E:电源电动势(V)，R:外电路电阻(Ω)，r:电源内阻(Ω)｝5.电功与电功率：W＝UIt，P＝UI｛W:电功(J)，U:电压(V)，I:电流(A)，t:时间(s)，P:电功率(W)｝6.焦耳定律：Q＝I2Rt｛Q:电热(J)，I:通过导体的电流(A)，R:导体的电高中物理公式阻值(Ω)，t:通电时间(s)｝7.纯电阻电路中:由于I＝U/R,W＝Q，因三此W＝Q＝UIt＝I2Rt＝U2t/R8.电源总动率、电源输出功率、电源效率：P总＝IE，P出＝IU，η＝P出/P总｛I:电路总电流(A)，E:电源电动势(V)，U:路端电压(V)，η：电源效率｝9.电路的串/并联串联电路(P、U与R成正比) 并联电路(P、I与R成反比)电阻关系(串同并反) R串＝R1 R2 R3 1/R并＝1/R1 1/R2 1/R3电流关系 I总＝I1＝I2＝I3 I并＝I1 I2 I3电压关系 U总＝U1 U2 U3 U总＝U1＝U2＝U3功率分配 P总＝P1 P2 P3 P总＝P1 P2 P310.欧姆表测电阻(1)电路组成 (2)测量原理Ig＝E/(r Rg Ro)接渗入渗出被测电阻Rx后通过电表的电流为Ix＝E/(r Rg Ro Rx)＝E/(R中 Rx)由于Ix与Rx对应，因此可指示被测电阻大小(3)使用方法:机械调零、选择量程、欧姆调零、测量读数｛注重挡位(倍率)｝、拨off挡11.伏安法测电阻电流表内接法：电压表示数：U＝UR UA电流表外接法：电流表示数：I＝IR IVRx的测量值＝U/I＝(UA UR)/IR＝RA Rx>R真Rx的测量值＝U/I＝UR/(IR IV)＝RVRx/(RV R)<R真选用电路条件Rx>>RA [或Rx>(RARV)1/2]选用电路条件Rx<<RV [或Rx<(RARV)1/2] 12.滑动变阻器在电路中的限流接法与高中物理电路实验分压接法限流接法电压调节范围小,电路简单,功耗小便于调节电压的选择条件Rp>Rx电压调节范围大,电路复杂,功耗较大便于调节电压的选择条件Rp<Rx注1)单位换算：1A＝103mA＝106μA；1kV＝103V＝106mA；1MΩ＝103kΩ＝106Ω(2)各种材料的电阻率都随温度的变化而变化,金属电阻率随温度升高而增大；(3)串联总电阻大于任何一个分电阻,并联总电阻小于任何一个分电阻；(4)当电源有内阻时,外电路电阻增大时,总电流减小,路端电压增大；(5)当外电路电阻等于电源电阻时,电源输出功率最大,此时的输出功率为E2/(2r)；(6)其它相关内容：电阻率与温度的关系半导体及其应用超导及其应用十二、磁场1.磁感应强度是用来表示磁场的强弱和方向的物理量,是矢量，单位T),1T＝1N/A•m2.安培力F＝BIL；(注：L⊥B) {B:磁感应强度(T),F:安培力(F),I:电流强度(A),L:导线长度(m)}3.洛仑兹力f＝qVB(注V⊥B);质谱仪｛f:洛仑兹力(N)，q:带电粒子电量(C)，V:带电粒子速度(m/s)｝4.在重力忽略不计(不考虑重力)的情况下,带电粒高中物理网子入入磁场的运动情况(掌握两种)：（1）带电粒子沿平行磁场方向进渗入渗出磁场:不受洛仑兹力的作用,做匀速直线运动V＝V0(2)带电粒子沿垂直磁场方向进渗透磁场:做匀速圆周运动,规律如下a)F向＝f洛＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝qVB；r＝mV/qB；T＝2πm/qB；(b)运动周期与圆周运动的半径和线速度无关,洛仑兹力对带电粒子不做功(任何情况下)；(c)解题关键:画轨迹、找圆心、定半径、圆心角（＝二倍弦切角）注：(1)安培力和洛仑兹力的方向均可由左手定则判定，只是洛仑兹力要注意带电粒子的正负；(2)磁感线的特点及其常见磁场的磁感线分布要掌握；(3)其它相关内容：地磁场、磁电式电表原理、回旋加速器、磁性材料两表笔短接后,调节Ro使电表指针满偏，得。