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1 1
ln(1 + x ) 如 lim = lim ln(1 + x ) x = ln[ lim (1 + x ) x ] x→0 x→0 x→0 x
= ln e = 1 .
定理4 定理4
设函数 u = ϕ ( x ) 在点 x = x 0 连续, 且
ϕ ( x 0 ) = u0 , 而函数 y = f ( u) 在点 u = u0 2 x + ex ) − x ; 2. lim ; 2 2x x→0 ln( x + e ) − 2x
4.
1− cos(1− cos 2x) 3. lim ; 4 x→ x→0 x
2 3
lim(1− x)tan
x→ 1
πx
2
;
1 n n
ln(1+ x + x + x ) 6. lim(1n + 2n + 3n + 4 ) ; ; 5. lim n→∞ x→0 x 1+ f ( x)sin2x −1 = 2; 求lim f ( x) . 二. 已知 lim 3x x→ →0 x→0 e −1
2 3
D : x = 0, 及x ≥ 1,
点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义 点的邻域内没有定义
函数在区间 [1,+∞ )上连续 .
注 若 f ( x ) 是初等函数，且 x 0 是 f ( x ) 定义区间内的点， 是初等函数， 定义区间内的点，
则 lim f ( x ) = f ( x 0 ) .
∴ 原式 = e
1 ln( abc ) 3
= 3 abc .
例
P74,8.6), 求 lim (sin x ) tan x , π
x→ 2
解: 原式 = lim [1 + (sin x − 1) π
x→ 2
1 sin x − 1 tan x (sin x − 1 )
]
sin x (sin x − 1) 而 lim tan x (sin x − 1) = lim π π cos x x→ x→
例如, 例如 sin x , cos x在 ( −∞ ,+∞ )内连续 ,
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 (严格 单调的连续函数必有(严格) 严格) 定理2 (严格)单调的连续函数必有(严格)单调 的连续反函数. 的连续反函数. 例如, 例如
则 lim u( x ) v ( x ) = A B .
证:
lim u( x ) v ( x ) = lim e v ( x ) ln u( x )
= e lim v ( x ) ln u( x ) = e B ln A = A B .
例
P74,8.5),
a x + bx + c x 1x ) , a > 0, b > 0, c > 0 求 lim( x→0 3
例 解:
(1 + x ) a − 1 , ( a ≠ 0) 求 lim x→0 ax (1 + x ) a − 1 e a ln(1+ x ) − 1 lim = lim x→0 x →0 ax ax
a ln(1 + x ) = lim x→0 ax
定理 设 lim u( x ) = A > 0, lim v ( x ) = B , ( u( x ) > 0, u( x ) ≠ 1);
内均连续； 所以 f ( x )在 ( −∞ ,2 )与( 2, +∞ )内均连续；
处的连续性： 下面讨论 x = 2 处的连续性：
x→2
lim− f ( x ) = lim− (1 − e
x→2
x→2
1 x−2
) = 1 = f ( 2) ,
x→2
lim+ f ( x ) = lim+ sin
π
x
y = sin x在[− , ]上单调增加且连续, 2 2
π π
故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续;
y = arctan x , y = arc cot x 在( −∞ ,+∞ )上单调且连续.
反三角函数在其定义域内皆连续. 反三角函数在其定义域内皆连续
由连续函数经有限次四则运算仍连续， 由连续函数经有限次四则运算仍连续， 连续函数的复合函数连续，有 连续函数的复合函数连续， 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间内都是连续的 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 定义区间是指包含在定义域内的区间.
则复合函数 y = f [ϕ ( x )] 在点 x = x 0 也连续.
注 定理4是定理 的特殊情况 定理 是定理3的特殊情况 是定理 的特殊情况.
只要在定理 3中令 a = ϕ ( x 0 ) = u0 即可 .
三、初等函数的连续性
定理5 定理5 基本初等函数在其定义域内是连续的. 基本初等函数在其定义域内是连续的.
第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性
第一章
一、连续函数的四则运算
定理1 定理1
若函数 f ( x ), g ( x )在点 x0处连续 ,
f ( x) ( g ( x0 ) ≠ 0 ) 则 f ( x ) ± g ( x ), f ( x ) ⋅ g ( x ), g( x ) 在点 x0处也连续 .
定理3 定理3
若 lim ϕ ( x ) = a , 函数 f ( u)在点a连续,
x → x0 x → x0
则有 lim f [ϕ ( x )] = f (a ) .
意义 极限符号可以与连续函数符号互换
x → x0
lim f [ϕ ( x )] = f [ lim ϕ ( x )].
x → x0
2
2
1 π sin x[cos( − x ) − 1] − ( − x )2 2 =0 = lim = lim 2 2 π π π π x→ x→ sin( − x ) −x 2 2 2 2
∴ 原式 = e 0 = 1 .
π
例 解:
求 lim( x + e x ) ,
x→0
1 x
原式 = lim e
注意 初等函数仅在其定义区间内连续 在其 初等函数仅在其定义区间内连续, 定义域内不一定连续; 定义域内不一定连续 例如, 例如
y = cos x − 1,
D : x = 0, ± 2 π , ± 4 π , L
函数在这些孤立点的邻域内没有定义. 函数在这些孤立点的邻域内没有定义
y=
x ( x − 1) ,
x→0
1 ln( x + e x ) x
ln( x + e x ) ln[1 + ( x + e x − 1)] 而 lim = lim x→0 x →0 x x
x + ex −1 = lim =2 x→0 x ∴ 原式 = e 2 .
思考与练习
1.
求极限： 一. 求极限：
lim(tan x)tan2x
a +b +c −3 解: 原式 = lim[(1 + ) x→0 3
x x x
a x +b x +c x −3 a x +b x +c x −3 3x 3
]
ax + bx + cx − 3 1 而 lim = [ln a + ln b + ln c ] x →0 3x 3 1 = ln( abc ) 3
= 1 = f ( 2) ,
内连续。 故 f ( x )在 x = 2 处连续 ,从而 f ( x ) 在 ( −∞ , +∞ )内连续。
例
ax −1 , (a > 0, a ≠ 1) 求 lim x →0 x
x
解: 令 a − 1 = t , 则
ln(1+ t) x= , lna
t lna 原式 = lim t →0 ln(1 + t )
x → x0
例
1 x 2 + ln( 2 − x ) = lim x →1 π 4 arctan x
例
1 1 − e x − 2 , 讨论函数 f ( x ) = π sin , x
x < 2, x ≥ 2,
的连续性 .
解:
f ( x )在 ( −∞ ,2 )与( 2 ,+∞ )内分别为初等函数， 内分别为初等函数，
