《高等数学》(同济六版)教学课件★第10章.重积分

第十章多元函数的积分学及其应用一、二重积分1．二重积分的概念�定义：设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，“分割、近似、求和、取极限”：01(,)lim (,)n i iii D f x y d f λσξησ→==∆∑∫∫其中：D 为积分区域，(,)f x y 称为被积函数，d σ为面积元素。

�几何意义：当(,)0f x y ≥，(,)D f x y d σ∫∫表示以区域D 为底、以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积。

�非均匀平面薄片的质量：(,)DM x y d µσ=∫∫。

2．二重积分的性质�性质1（线性性质）.),(),()],(),([∫∫∫∫∫∫±=±DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα�性质2（区域具有可加性）如果闭区域D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域1D 和2D ,则.),(),(),(21∫∫∫∫∫∫+=D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ�性质3如果在闭区域D 上,σ,1),(=y x f 为D 的面积,则.1σσσ==⋅∫∫∫∫DD d d 几何意义：以D 为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。

�性质4（单调性）如果在闭区域D 上,有),,(),(y x g y x f ≤则.),(),(∫∫∫∫≤DD d y x g d y x f σσ推论1.|),(|),(∫∫∫∫≤DD d y x f d y x f σσ推论2设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值,σ为D 的面积,则.),(σσσM d y x f m D≤≤∫∫这个不等式称为二重积分的估值不等式。

�性质5（积分中值定理）如果函数(,)f x y D 上连续，σ是D 的面积，那么在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅∫∫。

高等数学同济第六版（下册）（第10章）第10章重积分10.1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质1 性质 1 设、为常数，则2 性质 2 如果闭区域被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。

(可加性)3 性质 3 如果在上，，为的面积，则4 性质 4 如果在上，，则有特殊地，由于又有5 性质 5 设、为分别是在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则有6 性质 6(二重积分的中值定理) 设函数在闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点，使得10.2 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分7 型(先后)型(先后)例 4 求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积。

解设这两个圆柱面的方程分别为及由对称性，将其分为8部分在第一卦限中，所求立体的顶为柱面又积分区域则即所求立体的体积为二、利用极坐标计算二重积分8例 5 计算其中是由中心在原点、半径为的圆周所围成的闭区域。

解在极坐标系中，闭区域则例 6 求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分) 立体的体积。

解由对称性，有在极坐标系中，闭区域则*三、二重积分的换元法10.3 三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的计算1 利用直角坐标计算三重积分9 (先一后二)其中，例 1 计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域。

解闭区域则(先二后一)其中，是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域。

例 2 计算三重积分其中是由椭球面所围成的空间闭区域。

解闭区域则2 利用柱面坐标计算三重积分10 点的直角坐标与柱面坐标的关系为例 3 利用柱面坐标计算三重积分其中是由曲面与平面所围成的闭区域。

解闭区域则*3 利用球面坐标计算三重积分11 点的直角坐标与球面坐标的关系为例 4 求半径为的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积。

解设球面通过原点，球心在轴上，又内接锥面的顶点在原点，其轴与轴重合，则球面方程为，锥面方程为。