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§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分表一任意截面，以下两积分ïþïýü==òòA z S A y S A y Az d d （I −1）分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得心的公式可得ïïþïïýü==òòA A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成，上式可写成ïïþïïýü====òòA S A A z z A SA Ay y y A C z A C d d （I −2） 或þýü==C y C z Az S Ay S （I −3）ïïþïýü==A S z A S y y C z C（I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对d A C Zz y y y C Z c O 图I −1 Z 同一坐标轴的静矩的代数和。
即：同一坐标轴的静矩的代数和。
即：ïïþïïýü==åå==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为ïïïïïþïïïïýü==åååå====ni ini c iic ni ini c i i c AzA z A y A y 1111（I −6）例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
第1节静矩和形心4.1静矩和形心任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关.而口与构件截面的几何形状和尺寸有关.如：计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面而积A ,计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I?等.A、1?等是从不同角度反映了截而的几何特性，因此称它们为截而图形的几何性质.4.1静矩和形心设有一任意截而图形如图4 一1所示，其面积为A .选収直角坐标系yoz ,在坐标为（y,z）处取一微小而积dA ,定义微而积dA乘以到y轴的距离z ,沿整个截面的积分，为图形对y轴的静矩S?,其数学表达式(4 -la )同理，图形对z轴的静矩为□4-1图41截面静矩与坐标轴的选取有关•它随坐标轴y、z的不同而不同.所以静矩的数值可能足正，也可能足负或定零.静矩的虽纲为长度的三次方.确定截面图形的形心位置（图4-1中C点）:A (4-2b)第1页共30页式中T、"为截而图形形心的坐标值.若把式（4-2）改写成心"•儿，為"•乙（4 3）性质：・若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心.・若坐标轴通过截而形心，则截而对此轴的静矩必为零.・山于截而图形的对称轴必定通过截而形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。
4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是山若干简单图形（如矩形、圆形等）组合g而成的.对于这样的组合截而图形，计算静矩（S»‘ r）与形心坐标（y*、z '）时，可用以下公式1-1 2-1式中A— y i , z i分别表示第，个简单图形的面积及其形心坐标值，n为组成组合图形的简单图形个数.即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和.组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积.组合截面图形有时还可以认为是山一种简单图形减去另一种简单图形所组成的.例4J己知T形截面尺寸如图4-2所示，试确定此截面的形心坐标值.i-1 i-1 (4-5)图4-2解：(1)选参考轴为y 轴，z 轴为对称轴,(2)将图形分成I 、口两个矩形，则= 20 x 100加朋 S 右=(10 + 140)^^34 = 2Q X 14%/,22 二注型(3)代入公式(4・5)20x100x150+20x140x70 20x100 + 20x140此=°4.2惯性矩、惯性积和惯性半径设任一截面图形(图4-3),其而积为A ・选取直角坐标系yoz ,在坐标为(y 、z)处取一微小面积dA ,定义此微2面积dA 乘以到坐标原点o 的距离的平方Q ,沿整个截面积分，为截而图形的极惯性矩I?.做而积dA 乘以到坐标轴y 的2距离的平方2 ,沿整个截而积分为截面图形对y 轴的惯性矩I 》•极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩.j.l ~2Z4数学表达式为打=f p^dA极惯性矩“俎（4-6）对y轴惯性矩图4-3山图4-3看到“ =y +Z 9所以有打=\A^dA= £cy2 +/）曲二必+加必即；? （4-8）式（4-8）说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。
§I−1 截面得静矩与形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分(I −1)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得静矩。
静矩可用来确定截面得形心位置。
由静力学中确定物体重心得公式可得利用公式(I −1),上式可写成 (I −2) 或 (I −3) (I −4)如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成得组合图形,则由静矩得定义可知,整个图形对某一坐标轴得静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴得静矩得代数与。
即:(I −5)式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分得面积与其形心坐标,n 为简单图形得个数。
将式(I −5)代入式(I −4),得到组合图形形心坐标得计算公式为 (I −6)例题I −1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面得形心位置。
解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面得对称轴。
因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则 A Ⅰ=0.072m 2,A Ⅱ=0.08m 2y Ⅰ=0.46m,y Ⅱ=0.2m§I −2 惯性矩、惯性积例题I −1图图I −1与极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
现在图形内取微面积d A ,d A 得形心在坐标系zOy 中得坐标为y 与z ,到坐标原点得距离为ρ。
现定义y 2d A 与z 2d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴得惯性矩,ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点得极惯性矩,而以下三个积分(I −7)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得惯性矩以及对坐标原点得极惯性矩。
由图(I −2)可见,,所以有(I −8) 即任意截面对一点得极惯性矩,等于截面对以该点为原点得两任意正交坐标轴得惯性矩之与。
另外,微面积d A 与它到两轴距离得乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴得惯性积,而积分(I −9)定义为该截面对于y 、z 轴得惯性积。
工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。
定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2．惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)(2—2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。
惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。
常用截面几何性质计算返回目录项目公式单位宽度b mm外高H mm内高h mm面积A=b*（H-h)mm^2对Y轴的惯性矩Iy=(H-h)b³/12mm^4对Z轴的惯性矩Iz=b(H³-h³）/12mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm形心到边缘的距离e y=b/2mm形心到边缘的距离e z=H/2mm对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度H mm内宽h mm面积A=H^2-h^2mm^2对Y轴的惯性矩Iy=(H^4-h^4)/12mm^4对Z轴的惯性矩Iz=(H^4-h^4)/12mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=H/2mm 形心到边缘的距离e z=H/2mm 形心到边缘的距离e z1=0.707*H mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3对Z轴抗弯截面系数W z1=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度a mm直径d mm面积A=a^2-Pi*d^2/4mm^2对Y轴的惯性矩Iy=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Z轴的惯性矩Iz=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Y轴惯性半径i=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=a/2mm 形心到边缘的距离e z=a/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3a=0,三角形顶宽a mm底宽b mm高h mm面积A=h*（a+b)/2mm^2对Y轴的惯性矩mm^4对Z轴的惯性矩Iz=h^3*(a^2+4*a*b+b^2)/36/(a+b)mm^4对Y轴惯性半径mm 对Z轴惯性半径iz=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y1=h*(2*a+b)/(a+b)/3mm 形心到边缘的距离e y2=h*(a+2*b)/(a+b)/3mm 对底边抗弯截面系数W z1=Iz/e y1mm^3对顶边抗弯截面系数W z2=Iz/e y2mm^3抗扭截面系数mm^3正多边形边数n边长a mm 外接圆半径R=a/2/sin（180°/n）mm 内接圆半径r=a/2/sin（180°/n）mm 面积A=n*R^2*sin(2*Pi/n)/2mm^2惯性矩I=A*(6*R^2-a^2)/24mm^4对Y轴惯性半径i=（I/A）^0.5mm形心到底边的距离e y=r mm 形心到顶边的距离e y1=R mm 对底边抗弯截面系数W z=I/R/cos（Pi/n）mm^3对顶点抗弯截面系数W z1=I/R mm^3抗扭截面系数mm^3宽度a mm直径d mm面积A=a^2-Pi*d^2/4mm^2对Y轴的惯性矩Iy=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Z轴的惯性矩Iz=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Y轴惯性半径i=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=a/2mm 形心到边缘的距离e z=a/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3外径D mm内径d mm面积A=Pi*(D^2-d^2)/4mm^2惯性矩I=Pi*(D^4-d^4)/64mm^4惯性半径i=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e=D/2mm 抗弯截面系数W=I/e mm^3抗扭截面系数Wt=Pi*D^3(1-（d/D）^4)/16mm^3外径D mm内径d mm面积A=Pi*(D^2-d^2)/8mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*（D^4-d^4)/128mm^4对Z轴的惯性矩Iz=0.00686*(D^4-d^4)-0.0177*D^2*d^2*(D-d)/(D+d mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=2*(D^2+D*d+d^2)/3*Pi*(D+d)mm 形心到边缘的距离e z=D/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Pi*D^3*(1-d^4/D^4)/64mm^3对顶点的抗弯截面系数W z=Iz/（D/2-e y)mm^3对底边的抗弯截面系数W z1=Iz/e y mm^3抗扭截面系数mm^3直径d mm宽度b mm深度t mm面积A=Pi*d^2/4-b*t mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*d^4/64-t*b^3/12mm^4对Z轴的惯性矩Iz=Pi*d^4/64-b*t*(d-t)^2/4mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3直径d mm宽度b mm深度t mm面积A=Pi*d^2/4-2*b*t mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*d^4/64-t*b^3/6mm^4对Z轴的惯性矩Iz=Pi*d^4/64-b*t*(d-t)^2/2mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3直径d mm支架d1mm面积A=Pi*d^2/4-d1*d mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*d^4*(1-1.69*d1/d)/64mm^4对Z轴的惯性矩Iz=Pi*d^4*(1-1.69*d1^3/d^3)/64mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度B mm宽度b mm高度H mm高度h mm面积A=B*H+b*h mm^2对Z轴的惯性矩Iz=(B*H^3+b*h^3)/12mm^4对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e z=H/2mm 对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度B mm宽度a mm高度H mm高度d mm面积A=B*H+b*h mm^2对Z轴的惯性矩Iz=mm^4对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度B mm宽度a mm205214 4533.375 7642.7109384.6026074495.9760858861010 453.3375 764.271093810102020。
