北京市昌平区高一数学3月月考试题

一、单选题1．四边形ABCD 中，设＝，＝，＝，则＝( )ABa ADb BCc DCA ．－＋B ．－(＋) a b c b a cC ．＋＋D ．－＋a b c b a c 【答案】A【分析】在四边形ABCD 中, 观察图形知,由此能可得答案.+DC +=b a c 【详解】解：在四边形ABCD 中,＝，＝，＝, AB a ADb BCc ,∴+DC +=b a c =, ∴DC+-a b c 故选A.【点睛】本题主要考查向量的加减混合运算及其几何意义，得出,是解题的关键.+DC +=b a c2．将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12πA ．B ．5212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先将函数中x 换为x-后化简即可.24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12π【详解】化解为2(124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换. 3．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则ABCD E BC F AE DF =A ．B ．1324AB AD -+1223AB AD +C ．D ． 1132AB AD - 1324AB AD - 【答案】D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，DF AF AD =- 1=2AF AE=AE AB BE+ ，，，即可得出答案.1=2BE BC =BC AD【详解】利用向量的三角形法则，可得，， DF AF AD =- =AE AB BE +为的中点，为的中点，则，E BCF AE 1=2AF AE 1=2BE BC1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又 =BC AD .1324DF AB AD ∴=- 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．4．若 θA ． B ． C ． D ．2tan θ2tan θ2tan θ-2tan θ-【答案】D【解析】根据同角三角函数的关系化简可求出. 【详解】为第二象限角，，θsin 0θ∴>==1cos 1+cos sin sin θθθθ-=-. 1cos 1+cos 2cos 2sin sin sin tan θθθθθθθ-=-=-=-故选：D.5．如果函数是定义在上的奇函数，当时，函数的图象如图所示，那么不等()f x ()3,3-03x <<()f x 式的解集是()cos 0f x x <A ．B ．(3,)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃C ． D ． (3,1)(0,1)(1,3)--⋃⋃(3,(0,1)(1,3)2π--⋃⋃【答案】B【详解】试题分析：图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx 图象，要求得的解集，只需转化为()cos 0f x x <在寻找满足如下两个关系的区间即可：，结合图象易知当(3,3)-()0()0{{cos 0cos 0f x f x x x ><<>或(,1)2x π∈--时，，当时，，当时，，故选B.()0,cos 0f x x (0,1)x ∈()0,cos 0f x x (,3)2x π∈()0,cos 0f x x ><【解析】奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.6．已知函数，若，，则的最小值为（ ）()()2sin()06f x x ωωπ=->R x ∀∈()()3f x f π≤ωA ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】由题意可得函数在时取最大值，再利用正弦型函数的性质列式求解作答.()f x 3x π=【详解】因，则有，即， ()R,()3x f x f π∀∈≤max ()(23f x f π==()2Z 362k k ωππππ-=+∈解得，而，则，即当时，， ()26Z k k ω=+∈0ω>N k ∈0k =min 2ω=所以的最小值为2 ω故选：A7．一般地，设函数的定义域为A ，区间，如果对任意的，，当()y f x =I A ⊆12,x x I ∈()0,1t ∈时，都有，则称在区间I 上是“函数”下列函数12x x <()()()()121211f t x tx t f x tf x ⎡⎤-+>-+⎣⎦()y f x =n -中是区间上是“函数”的是（ ） ()0,2πn -A ．B ． sin 2y x =cos 2y x =C ．D ．sin 2xy =cos 2xy =【答案】C 【分析】当时，如果对任意的，当时，都有，12t =()12,0,2πx x ∈12x x <()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭故函数为凸函数，进而分析各选项即可得答案. 【详解】解：由题知，当时，如果对任意的，当时，都有12t =()12,0,2πx x ∈12x x <，故函数为凸函数；()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭对于A 选项，的最小正周期为，由于正弦函数在一个周期内凸函数性质，又有凹函数sin 2y x =π性质，所以在不具有始终为凸函数的性质，故错误；sin 2y x =()0,2π对于B 选项，的最小正周期为，由于余弦函数在一个周期内凸函数性质，又有凹函数cos 2y x =π性质，所以在不具有始终为凸函数的性质，故错误；cos 2y x =()0,2π对于C 选项，的最小正周期为，其函数图像在始终具有为凸函数的性质，故正sin 2xy =4π()0,2π确；对于D 选项，的最小正周期为，其函数图像在上即具有凸函数性质，又有凹函cos 2xy =4π()0,2π数性质，故错误； 故选：C8．如图，A ，B ，C 三点在半径为l 的圆O 上运动，M 是圆O 外一点，且，，则AC BC ⊥2OM =的最大值为（ ）MA MB MC ++A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】连接，结合题意得到为的中点，再利用向量的运算即可求解. AB O AB 【详解】连接，AB由题意可知为圆的直径，所以为的中点，AB O O AB 则，当且仅当同向时取等号， 2247MA MB MC MO MC MO MC MC ++=+≤+≤+= ,MO OC 故选：D.二、填空题9．已知扇形的面积为9，圆心角为2rad ，则扇形的弧长为______． 【答案】6【分析】联立公式和，即可得到本题答案.12S lr =l r α=⋅【详解】设半径为，弧长为，r l 由题得，，，192S lr ==①2l r =②②代入①得，，所以，则. 29r =3r =26l r ==故答案为：6三、双空题10．设向量，，. ()3,1OA =- ()1,2OB =- ()3,OC t =-（1）若A ，B ，C 三点共线，则________；t =（2），则_______.2OB OC AB +=t =【答案】##3.5 724-【分析】（1）若A ，B ，C 三点共线，则，由平行向量的坐标表示即可得出答案；//AB AC（2）由向量的模长公式可求出，，解方程2OB OC += 5AB = 5=即可得出答案.【详解】（1），， ()4,3AB OB OA =-=- ()6,1AC OC OA t =-=-+ 若A ，B ，C 三点共线，则，//AB AC，解得：.()()41360t -⨯+-⨯-=72t =（2），()()()221,23,5,4OB OC t t +=-+-=-+ ()4,3AB OB OA =-=-因为，则，， 2OB OC AB += 2OB OC +=5AB =，解得：.5=4t =-11．的最小正周期为_______，对称轴为_______.πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】πππ,62k x k =-+∈Z 【分析】根据题意，由余弦型函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数，则其最小正周期为，πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2ππ2T ==令，解得，π2π,3x k k +=∈Z ππ,62k x k =-+∈Z 所以其对称轴为: ππ,62k x k =-+∈Z 故答案为:; πππ,62k x k =-+∈Z四、填空题12．已知是两个平面向量，，恒有，则的最,a b||b = t R ∈||||b ta b a -- …||||a b a -+ 大值是__________． 【答案】4【分析】根据平面向量数量积的运算律及不等式恒成立，得到恒成立，即222220t a tb a b a a -⋅+⋅-≥可得到，从而得到，设，，则，再利用基本不()2240b a a ⋅-≤ ()a b a ⊥-||a x = ||b a y -= 228x y +=等式计算可得．【详解】解：对任意，恒有，t R ∈||||b ta b a --…所以，即()()22b ta b a -- …2222222b tb a t a b b a a -⋅+-⋅+ …即恒成立，所以，即222220t a tb a b a a -⋅+⋅-≥()()2222420b a a b a a -⋅-⋅-≤()2240b a a ⋅-≤所以，即20b a a ⋅-= ()0b a a -⋅= ．∴()a b a ⊥-设，，则，||a x =||b a y -=2228x y +==，∴||||4a b a x y -+=+==当且仅当“”时“”成立．的最大值为4．x y ==∴||||a b a -+故答案为：4．13．已知函数的图象关于直线对称，且在上单()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭1110x π=()f x ,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦调，则的最大值为_____. m 【答案】3π5【分析】根据函数的对称性求出，即可求出函数解析式，再根据的取值范围，求出的取ϕx 2π5x -值范围，根据余弦函数的性质得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为函数的图象关于直线对称，()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭11π10x =所以，，即，， 11π210k ϕπ⨯+=Z k ∈511πk ϕπ=-Z k ∈又，所以，从而.2πϕ<π5ϕ=-()2π5cos f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，所以，因为函数在上单调递减，在上π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22π2ππ,5155x m ⎡⎤--⎢⎣∈⎥⎦cos y x =[]0,π[],2ππ单调递增， 所以，即，故的最大值为. 2ππ2155m π<-≤π3π65m <≤m 3π5故答案为：3π514．已知，若∈，使得，若的最大π()2sin(23f x x =+123,,x x x ∃3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦123()()()f x f x f x ==123x x x ++值为M ，最小值为N ，则___________. M N +=【答案】23π6【分析】作出在上的图象，为的图象与直线y =m 交点的横坐标，()f x 3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦123,,x x x ()f x 利用数形结合思想即可求得M 和N ﹒ 【详解】作出在上的图象（如图所示） π()2sin(2)3f x x =+3π[0,]2因为 π(0)2sin3f ==3ππ(2sin(π23f =+=所以当的图象与直线 ()f x y =设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N ，1x 2x 3x由，π2sin(23x +=πsin(23x +=则，，，；10x =2π6x =3πx =7π6N =当的图象与直线相交时，()f x y =设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为， 1x 2x 3x M由π2sin(23x +=πsin(23x +=则，，；127π6x x +=33π2x =8π3M =所以. 23π6M N +=故答案为：. 23π6五、解答题 15．化简求值. (1)计算：14π29π53π19πsin cos tan sin cos 25π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)化简：()()()3sin 2πcos 3πcos π21sin πsin π2ααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫-++⎪⎝⎭【答案】 (2) sin α-【分析】（1）（2）根据诱导公式化简，利用特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】（1）14π29π53π19πsin cos tan sin cos 25π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()14π29π53π19πsin 4πcos tan 8πsin 8πcos 25π24π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++--- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2π29π5π3πsin cos 4πtan sin cos π=13662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()()()()()()()31sin 2πcos 3πcos πsin cos πcos πsin cos sin 22sin 11sin cos sin πsin πsin πsin π22αααααααααααααααα⎛⎫⎛⎫-++-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．某港口的水深y （单位：m ）是时间t （，单位：h ）的函数，下面是该港口的水深024t ≤≤表： t （单位：h ）…3… 9 … 15 …h （单位：m） 10 … 13 … 7 … 13 …经过长时间的观察，描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数的图象.()sin y A x B ωϕ=++(1)试根据数据表和曲线，求出函数的表达式；()sin y A x B ωϕ=++(2)一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的.如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多少小时?（忽略离港所用的时间） 【答案】(1) π3sin 106y t =+(2)16【分析】（1）由图象求出函数的最大值和最小值以及周期进行求解即可． （2）根据条件解不等式，然后进行求解即可．7 4.5y -≥【详解】（1）由图象知最大值，最小值，得，， 13A B +=7A B -+=3A =10B =得，即，得，此时，又当时，15312T =-=2π12ω=π6ω=π3sin 106y t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3t =,πππ3sin 310132π,Z 2π,Z 622y k k k k ϕϕϕ⎛⎫=⨯++=⇒+=+∈⇒=∈ ⎪⎝⎭故．π3sin 106y t =+（2）由，得，即，得，7 4.5y -≥11.5y ≥π3sin 1011.56t +≥π1sin 62t ≥得，，解得，， ππ5π2π+2π+666k t k ≤≤Z k ∈121125k t k +≤≤+Z k ∈，时，，时，，024t ≤≤ 0k ∴=15t ≤≤1k =13317t ≤≤故当1时至5时，或13时至17时，能够安全进港，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间为小时．17116-=17．如图所示，L ，M ，N 分别为的边，，上的点，且，，ABC ∆BC CA AB BLl BC =CM m CA=，若．求证：． ANn AB=0AL BM CN ++= l m n ==【答案】证明见解析【解析】令，为一组基底，根据已知有，．根据向量的三角形法则以BC a = CA b =BL la = CM mb = 及平面向量的基本定理把用向量表示出来即可。

昌平二中届高三第二学期月考数 学 〔文科〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．集合{}21M x x =∈≤Z ，{}12N x x =∈-<<R ，那么M N =〔 〕A ． {}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,0-D ．{}12.在区间[1,2]-上随机取一个数x ，那么||x ≤1的概率为( ) A.13 B.12 C.14 D.233．向量(1,2)a =，向量(,2)b x =-，且()a a b ⊥-，那么实数x 等于〔 〕 A ．9 B ．4 C ．0 D ．4- 4.〔A 〕14 (B) 21 (C) 28 (D) 354.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出s 的值为( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)3 5.函数f 〔x 〕=2xe x +-的零点所在的一个区间是( ) (A)〔-2,-1〕 (B) 〔-1,0〕 (C) 〔0,1〕 (D) 〔1,2〕 6.5y Asin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点( ) (A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7、如图，以下四个正方体图形中，A B ，为正方体的两个顶点， M N P ，，分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是〔 〕． 〔A 〕①④〔B 〕②④〔C 〕①③④〔D 〕①③8. 给出函数()f x 的一条性质：“存在常数M ，使得()f x M x ≤对于定义域中的一切实数x 均成立.〞那么以下函数中具有这条性质的函数是〔 〕 A ．1y x=B ．2y x =C ．1y x =+D ．sin y x x = 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。

一中2021-2021学年度高一年级第一学期第三次考试本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

数学试题第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】选B.2. 以下结论正确的选项是〔〕A. 空间中不同三点确定一个平面B. 空间中两两相交的三条直线确定一个平面C. 一条直线和一个点能确定一个平面D. 梯形一定是平面图形【答案】D..................3. 函数的零点所在的区间是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】为单调递增函数，且，所以零点所在的区间是，选B.4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的选项是〔〕A. 假设，，那么B. 假设，，那么C. 假设，，那么D. 假设，，，那么【答案】C【解析】假设，，当过时；假设，，那么可以与平行、相交或者在面内；假设，，那么；假设，，，那么可以平行、相交或者异面，所以选C.5. 〔〕是偶函数，且不恒等于零，那么〔〕A. 是奇函数B. 可能是奇函数，也可能是奇函数C. 是偶函数D. 不是奇函数，也不是偶函数【答案】A【解析】因为为偶函数，所以，即〔所以因为，所以即又不恒等于零，所以为奇函数，应选A．【点评】此题考察抽象函数奇偶性的判断，解题时利用定义是解决有关问题的强有力工具，必须纯熟准确掌握．6. 圆柱被一个平面截去一局部与一个四棱锥组成的几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】几何体如图，那么体积为，选B.7. 奇函数在为减函数，且，那么不等式的解集为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】选D.8. 如下图，正方体中，，分别是正方形和的中心，是的中点，那么异面直线，所成的余弦值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】因为 ,所以异面直线，所成的角为所以，选A.9. 函数，，假设在上为减函数，那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，选D.点睛：函数的单调性确定参数的值或者范围要注意以下两点：(1)假设函数在区间上单调，那么该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；〔3〕复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.10. ，是半径为的球面上的两点，过作互相垂直的两个平面、，假设，截该球所得的两个截面的面积之和为，那么线段的长度是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】设球心为，两个截面圆的圆心分别为，线段的中点为，那么四边形为矩形．设圆的半径分别为，，那么．由可得，，那么．选D.11. 函数，假设关于的方程有个不同根，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】作函数图知，时有四个不同的根，因此方程在有两个不同的根，即，选A.点睛：对于方程解的个数(或者函数零点个数)问题，可利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 函数满足：，且，分别是上的偶函数和奇函数，假设使得不等式恒成立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】令，那么〔当且仅当时取等号〕，所以选B.点睛：研究不等式恒成立或者存在型问题，首先要构造函数，通过研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可别离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.第二卷非选择题二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，将答案填在答题纸上〕13. 幂函数〔〕的图象与轴、轴无交点且关于原点对称，那么__________．【答案】【解析】由题意得当时不关于原点对称，所以14. 一个程度放置的平面图形的斜二直观图是一个底为，腰和上底均为的等腰梯形，那么面图形的面积为__________．【答案】【解析】试题分析：原图形是上底为，下底为，高为的直角梯形．∴．考点：斜二测法．15. 函数是定义在上的奇函数，当时，，假设，，那么实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当时，所以根据奇函数作函数图，由图得16. 函数，函数有四个不同的零点，，，且满足，那么的取值范围为__________．【答案】【解析】作函数图，由图得，所以点睛：函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17. 设集合为函数的定义域，集合为函数的值域．求：〔1〕与；〔2〕【答案】〔1〕,．(2)【解析】试题分析：〔1〕根据真数大于零得函数定义域，求得A；再根据根本不等式求函数值域得B,最后根据数轴求集合交与并〔2〕先求B的补集，再利用数轴求交集试题解析：解：〔1〕由解得：，，那么，．〔2〕18. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，分别是，的中点，且．〔Ⅰ〕求证：平面；〔Ⅱ〕求证：平面平面．【答案】〔1〕见解析 (2) 见解析【解析】试题分析：〔1〕取的中点，利用平几知识得是平行四边形，再根据，利用线面平行断定定理证明结论〔2〕先根据等腰三角形性质得，再根据线面垂直得，由线面垂直断定定理得面，最后根据线线平行得面，由面面垂直断定定理得结论试题解析：证明：〔Ⅰ〕取的中点，连结、∴为的中位线，，．∵四边形为矩形，为的中点，∴，．∴，，∴四边形是平行四边形，∴又平面，平面，∴平面；〔Ⅱ〕∵，∴平面，∴，又因为，，∴面由〔Ⅰ〕得，∴面又平面，∴平面平面．19. 信息科技的进步和互联网商业形式的兴起，全方位地改变了大家金融消费的习惯和金融交易形式，如今银行的大局部业务都可以通过智能终端设备完成，多家银行职员人数在悄然减少．某银行现有职员人，平均每人每年可创利万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员人，那么留岗职员每人每年多创利万元，但银行需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该银行正常运转所需人数不得少于现有职员的，为使裁员后获得的经济效益最大，该银行裁员多少人？此时银行所获得的最大经济效益是多少万元？【答案】银行应裁员人时，所获经济效益最大为万元.试题解析：设银行裁员人，所获得的经济效益为万元，那么，由题意：，又且，因为对称轴：，所以函数在[0,80]单调递增，所以时，即银行裁员人，所获得经济效益最大为8160万元，答：银行应裁员80人时，所获经济效益最大为8160万元.20. ?九章算术?中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑〔biē nào〕．在如下图的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接，，．〔1〕证明：平面．〔2〕试判断四面体是否为鳖臑，假设是，写出其每个面的直角〔只需写出结论〕；假设不是，请说明理由；〔3〕记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．【答案】〔1〕见解析 (2) 四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是，，，．〔3〕4【解析】试题分析：〔1〕欲证平面，需在平面内找到两条相交的直线都与垂直，即证，即可；〔2〕根据锥体的体积公式表示出，，再利用之间的长度关系即可求得．试题解析：〔1〕因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以平面平面，所以，又因为，点是的中点，所以，而，所以平面.由平面，平面可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是.〔2〕由，是阳马的高，所以；由〔1〕知：是鳖臑的高，，所以在中，因为，点是的中点，所以，于是考点：1、线面垂直的断定；2、柱锥台体的体积公式．【方法点睛】要判断一条直线与一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和直线垂直；因此证明线面垂直的问题，应转化为先证明线线垂直，证明线线垂直的常用方法有：①勾股定理的逆定理〔长度〕，②等腰三角形的三线合一，③利用线面垂直的性质，④正方体〔长方体〕中的线线垂直、线面垂直．此题主要考察的是线面垂直的断定和性质，考察锥体体积的计算，考察学生分析解决问题的才能，属于中档题．21. 函数，函数〔1〕假设的定义域为，务实数的取值范围；〔2〕当时，求函数的最小值；〔3〕是否存在非负实数、，使得函数的定义域为，值域为，假设存在，求出、的值；假设不存在，那么说明理由．【答案】〔1〕 (2) 〔3〕存在，满足题意【解析】试题分析：对问题⑴，根据题目条件首先要对实数的取值进展分类讨论，再结合极端不等式恒成立即可求出函数的定义域为时实数的取值范围；对于问题⑵，根据二次函数的单调性并结合对参数的分类讨论，即可求得函数的最小值；对问题⑶，根据二次函数的单调性以及函数与方程的思想即可知道存在符合题意的实数、的值．试题解析：⑴定义域为．所以对一切成立．……………………1分当时，不可能对一切成立．……………………2分所以，即解得．综上．……………………4分⑵，令，所以……………………5分当时，．……………………6分当时，．……………………7分当时，．……………………8分所以……………………9分⑶在上是增函数，假设存在非负实数、满足题意，那么，………………………………10分即、是方程的两非负实根，且，所以．即存在满足题意………………………………12分．考点：1、函数的定义域、值域；2、函数的单调性；3分段函数；4、函数与方程及分类讨论的思想．【方法点晴】此题是一个关于函数的定义域、值域、函数的单调性、分段函数、函数与方程及分类讨论的思想方法方面的综合性问题，属于难题．解决此题的根本思路及切入点是，对问题⑴，根据题目条件首先要对实数的取值进展分类讨论，再结合极端不等式恒成立即可求出函数的定义域为时实数的取值范围；对于问题⑵，根据二次函数的单调性并结合对参数的分类讨论，即可求得函数的最小值；对问题⑶，根据二次函数的单调性以及函数与方程的思想即可知道存在符合题意的实数、的值．22. 函数，〔〕是偶函数．〔1〕求的值；〔2〕设函数，其中．假设函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】〔1〕 (2)【解析】试题分析：〔1〕由偶函数得，根据对数运算法那么化简得的值；〔2〕化简方程得关于一元二次方程，先讨论时，是否满足条件，再根据实根分布讨论的取值范围．此题也可利用参变别离法，转化为讨论函数交点个数.试题解析：解：〔1〕∵〔〕是偶函数，∴对任意，恒成立即：恒成立，∴〔2〕由于，所以定义域为，也就是满足∵函数与的图象有且只有一个交点，∴方程在上只有一解即：方程在上只有一解令，那么，因此等价于关于的方程〔*〕在上只有一解当时，解得，不合题意；当时，记，其图象的对称轴∴函数在上递减，而∴方程〔*〕在无解当时，记，其图象的对称轴所以，只需，即，此恒成立∴此时的范围为综上所述，所求的取值范围为点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数别离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上详细的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意别离参数法不是万能的，假如别离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用别离参数法.本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

第二次月考试题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下面的问题中必须用条件结构才能实现的个数是()①已知三角形三边长，求三角形的面积；②求方程ax＋b＝0(a，b为常数)的根；③求三个实数a，b，c中的最大者；④求1＋2＋3＋…＋100的值．A．4个B．3个C．2个D．1个[答案]C[解析]②③解决时用到条件结构，①用到顺序结构，④可用公式S n＝100×(1＋100)2直接求得．2．一个样本容量为20的样本数据，分组后，组距和频数如下：(10,20]，2；(20,30]，3；(30,40]，4；(40,50]，5；(50,60]，4；(60,70]，2，则样本在区间(8,50]上的频率是()A．0.5 B．0.25C．0.05 D．0.7[答案]D[解析]2＋3＋4＋520＝0.7.3．从2 008名学生中选取50名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 008人中剔除8人，剩下的2 000人中再按分层抽样的方法抽取50人，则在2 008人中，每人入选的概率()A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为502 008D．都相等，且为140[答案]C4．下列有四种说法：①概率就是频率；②“我国乒乓健儿将在2012年的伦敦奥运会上囊括四枚金牌”是必然事件；③某厂产品的次品率为3%，是指“从该厂产品中任意地抽取100件，其中一定有3件次品”；④从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测，其中有1只是次品，说明这批灯泡中次品的概率为115.其中正确说法的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A5．若程序框图如图所示，则循环体执行的次数是()A ．99B ．100C ．101D ．102 [答案] C[解析] 主要分析最后一项i ＝0时，仍然循环，所以循环101次． 6．抛掷一枚骰子，观察掷出的点数．设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现2点”，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则“出现奇数点或2点”的概率为( )A .112 B .13 C .23 D .712[答案] C[解析] A 与B 为互斥事件，P ＝P(A)＋P(B)＝12＋16＝23. 7．把十进制数15化为二进制数为( )A．1 011 B．1 001(2)C．1 111(2)D．1 101[答案]C[解析]由除k取余法可得15＝1 111(2)．8．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．()A．21.5.23 B．20,24C．24,23 D．23,24[答案]C9．如图，在地面上放置一个塑料圆盘，且盘上A区域所对应弧长是B区域弧长的一半，甲将一个玻璃球随意丢到该圆盘中，则玻璃球落在A区域的概率应为()A .12B .18C .13D ．1[答案] C[解析] 因A 区域所对弧长为B 区域弧长的一半，则A 区域的面积是B 区域面积的一半，所以玻璃球落在A 区域的概率为13.10．在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为( )A .120B .115 C .15 D .16[答案] C[解析] 如图，在三棱锥S －ABC 中，任选两条棱，所有选法有：(SA ，SB)，(SA ，SC)，(SA ，AC)，(SA ，AB)，(SA ，BC)，(SB ，SC)，(SB ，AC)，(SB ，AB)，(SB ，BC)，(SC ，AC)，(SC ，AB)，(SC ，BC)，(AB ，AC)，(AB ，BC)，(AC ，BC)共15种．其中异面直线的有：(SA ，BC)，(SC ，AB)，(SB ，AC)共3种． ∴P ＝315＝15.11．已知样本：10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12 那么频率为0.3的范围是( ) A ．5.5～7.5 B ．7.5～9.5 C ．9.5～11.5 D ．11.5～13.5[答案] B[解析] 在7.5～9.5内的值为8、9，频率为6，所以频率为620＝0.312．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女生育两胎均是女孩的概率是( )A .12B .13C .14D .15 [答案] C[解析] 事件“该育龄妇女连生两胎”包含4个基本事件，即(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)；故两胎均为女孩的概率为14.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．如下图，为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17岁～18岁的男生体重(kg )，得到频率分布直方图如下图所示．据图可得这100名学生中体重在[58.5,74.5)的学生人数是________．[答案] 89[解析] 体重在[58.5,74.5)的学生概率为P ＝1－(0.01＋0.015＋0.03)×2＝0.89. 0.89×100＝89.14．某校共有2 500名学生，其中男生1 300名，女生1 200名，用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，则男生应抽取________名．[答案] 104[解析] 200×1 3002 500＝104(名)．15．某人午睡觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不多于6分钟的概率是________．[答案] 110[解析] 整点报时的间隔为60分钟，等待的时间不多于6分钟，应当在第54分钟后醒来，即P ＝660＝110.16．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：[答案]0.25[解析]设年降水量在[200,300]、[200,250)、[250,300]的事件分别为A、B、C，则A＝B∪C，且B、C为互斥事件，∴P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.13＋0.12＝0.25.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1个球，有放回地抽取3次．求(1)所取3个球全是红球的概率；(2)所取3个球颜色全相同的概率；(3)所取3个球颜色不全相同的概率．[解析]基本事件有：(红，红，红)，(红，红，黄)，(红，黄，黄)，(红，黄，红)，(黄，红，红)，(黄，红，黄)，(黄，黄，黄)，(黄，黄，红)共8个．每个基本事件的发生都是等可能的．(1)3个球全是红球只有(红，红，红)1个基本事件，故所求概率P(A)＝1 8.(2)3个球颜色全相同包含(红，红，红)，(黄，黄，黄)2个基本事件，故所求概率P(B)＝28＝14.(3)3个球颜色不全相同和3个球颜色全相同为对立事件，故所求概率P(C)＝1－P(B)＝1－14＝34(也可用直接法求解)． 18．(本小题满分12分)如图，在边长为25 cm 的正方形中挖去边长为23 cm 的两个等腰直角三角形．现有均匀的粒子散落在正方形中．问粒子落在中间带形区域的概率是多少？[解析] 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的， 所以符合几何概型的条件．设A ＝“粒子落在中间带形区域”，则依题意，得 正方形的面积为25×25＝625，两个等腰直角三角形的面积为2×12×23×23＝529， 带形区域的面积为625－529＝96，∴P(A)＝96625.19．(本小题满分12分)为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：(1)(2)求甲、乙二人这6次测试最大速度的标准差，并说明谁参加这项重大比赛更合适．[解析] (1)X 甲＝27＋38＋30＋37＋35＋316＝33， X 乙＝33＋29＋38＋34＋28＋366＝33. (2)s 甲＝473＝1413，s 乙＝383＝1143，X 甲＝X 乙，s 甲>s 乙．所以乙的成绩更稳定，乙参加更合适．20．(2012·广东高考卷)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]． (1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.(2)平均分为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.(3)数学成绩在[50,90)内的人数为(0.005＋12×0.04＋43×0.03＋54×0.02)×10×100＝90人，数学成绩在[50,90)外的人数为100－90＝10人．21．(本小题满分12分)某学校在2010年的招聘教师考试合格的成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示.率分布直方图；(2)为了能选拔出最优秀的老师，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名考生进入第二轮面试？(3)在(2)的前提下，学校决定在6名考生中随机抽取2名考生接受校长面试，求：第4组至少有一名考生被校长面试的概率？[解析](1)由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，第3组的频率为30100＝0.300，频率分布直方图如下：(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：3060×6＝3人，第4组：2060×6＝2人，第5组：1060×6＝1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1.则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，其中第4组的2位同学为B1，B2至少有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，9种可能．∴P ＝35.22．(本小题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．[解析] (1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(2)应抽取大于40岁的观众人数为2745×5＝35×5＝3(名)． (3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y 1，Y 2)，大于40岁有3名(记为A 1，A 2，A 3)，5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y 1Y 2，Y 1A 1，Y 1A 2，Y 1A 3，Y 2A 1，Y 2A 2，Y 2A 3，A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3.设A 表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”．则A中的基本事件有6种：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3.故所求概率为P(A)＝610＝35.。

外国语2021级高一〔下〕3月阶段性测试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学试题一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．1.数列2，6，12，20，的第8项是〔〕A. 56B. 72C. 90D. 110 【答案】B【解析】【分析】根据数列前四项发现规律：相邻两项的差成等差数列，从而可得结果.【详解】，，，，，，，应选B.【点睛】此题通过观察数列的前四项，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些一样的性质. 二、从的一样性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜测〕.2.，那么的等比中项为〔〕A. 2B.C.D. 16【答案】C【解析】【分析】直接利用等比中项的定义求解即可.【详解】因为的等比中项是，所以的等比中项为，应选C.【点睛】此题主要考察等比中项的定义与求法，意在考察对根底知识的掌握情况，属于简单题.中，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角形内角和定理求角，再由正弦定理可得结果.【详解】在中，，那么，由正弦定理，得，解得，应选A.【点睛】此题主要考察正弦定理及其应用，属于根底题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径.的前项和，且，那么〔〕A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质和等差数列前项和公式，即可得结果.【详解】因为,，，应选B.【点睛】此题主要考察等差数列的性质以及前项和公式的应用，属于中档题. 解答有关等差数列问题时，要注意应用等差数列的性质〔〕与前项和的关系.满足，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由递推公式依次求出，找出数列的项之间规律即周期性，利用周期性求出. 【详解】由和得，，，，可得数列是周期为4的周期数列，，应选C.【点睛】此题主要考察利用递推公式求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：〔1〕项的序号较小时，逐步递推求出即可；〔2〕项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者者是周期数列.6.的内角所对的边分别为，假设,，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得，再利用余弦定理解方程求解即可.【详解】由，得，即，得，因为，所以，化为，得，应选D.【点睛】此题主要考察两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：〔1〕；〔2〕，同时还要纯熟掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.7.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高是，那么河流的宽度〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意画出图形，由两角差的正切求出的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到和的长度,作差后可得结果.【详解】如图，，，在中，又，，在中，，，，河流的宽度等于，应选C.【点睛】此题主要考察两角差的正切公式、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数,意在考察综合应用所学知识解决实际问题的才能，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考察书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进展解答.的前项和为，且,那么 ( 〕A. B. C. D.【解析】【分析】由等比数列的性质可得仍成等比数列，进而可用表示和,代入化简可得结果.【详解】由等比数列的性质可得，仍成等比数列，，,成等比数列，，解得，,应选D.【点睛】此题主要考察等比数列的性质与应用，意在考察对根底知识的掌握与灵敏应用，属于中档题.的前项和为，假设公差，，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由公差可得，由可得，可得，，由等差数列的性质可得，，从而可得结论．【详解】公差，，，，，,，，，，，应选D．【点睛】此题考察了等差数列的通项公式与性质以及单调性、不等式的性质，属于中档题．解答等差数列问题要注意应用等差数列的性质〔〕.10.的内角所对的边分别为，以下四个命题中正确的命题是〔〕A. 假设，那么一定是等边三角形B. 假设，那么一定是等腰三角形C. 假设，那么一定是等腰三角形D. 假设，那么一定是锐角三角形【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理可得，可判断；由正弦定理可得，可判断；由正弦定理与诱导公式可得，可判断；由余弦定理可得角为锐角，角不一定是锐角，可判断.【详解】由，利用正弦定理可得，即，是等边三角形，正确；由正弦定理可得，或者，是等腰或者直角三角形，不正确；由正弦定理可得，即，那么等腰三角形，正确；由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，不正确，应选AC.【点睛】此题主要考察正弦定理与余弦定理的应用，以及三角形形状的判断，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：〔1〕通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进展判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进展判断；〔3〕根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分．中，，那么________.【答案】【解析】【分析】根据列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而根据等差数列的通项公式可得结果.【详解】，，，故答案为.【点睛】此题主要考察等差数列的通项公式，属于中档题. 等差数列根本量的运算是等差数列的一类基此题型，数列中的五个根本量一般可以“知二求三〞，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.12.的内角所对的边分别为，假设，那么_______.【答案】【解析】【分析】直接利用正弦定理求解即可.【详解】,,是锐角，由正弦定理可得，，故答案为.【点睛】此题主要考察正弦定理解三角形以及特殊角的三角函数，属于根底题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径.中，假设，三角形的面积，那么三角形外接圆的半径为________. 【答案】2【解析】【分析】由三角形面积公式求得，由等腰三角形的性质可得的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径的值.【详解】中，，三角形的面积，，故，再由正弦定理可得，三角形外接圆的半径，故答案为2.【点睛】此题主要考察正弦定理以及三角形面积公式的的应用，属于根底题. 正弦定理是解三角形的有力工具，假如三角形一条边与其对角，可求三角形外接圆半径.中，是关于的方程两个实根，那么________.【答案】8【解析】【分析】由,根据是关于的方程的两个实根，利用韦达定理可得结果.【详解】因为等比数列中，,是关于的方程的两个实根，那么，，那么,那么有,因为，所以，，故答案为8.【点睛】此题主要考察等比数列的性质，涉及一元二次方程中根与系数的关系，属于根底题. 等比数列最主要的性质是下标性质：解答等比数列问题要注意应用等比数列的性质：假设那么.的前项和为满足，那么数列的通项公式________.【答案】【解析】【分析】由可得，是以2为公差，以2为首项的等差数列，求得，利用可得结果.【详解】，故，，故是以2为公差，以2为首项的等差数列，，，，综上所述可得，故答案为.【点睛】此题主要考察数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或者是关于第项的递推关系，假设满足等比数列或者等差数列定义，用等比数列或者等差数列通项公式求出数列的通项公式，否那么适当变形构造等比或者等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.的三边和面积满足条件，且角既不是的最大角也不是的最小角，那么实数的取值范围是________ .【答案】【解析】【分析】根据余弦定理和面积公式可得，得，结合的范围确定结果.【详解】，，又，，，锐角三角形不是最大角、也不是最小角，那么，，，故荅案为.【点睛】此题主要考察余弦定理和三角形面积公式的应用，属于根底题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．假如式子中含有角的余弦或者边的二次式，要考虑用余弦定理；假如遇到的式子中含有角的正弦或者边的一次式时，那么考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.中，.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设，求数列的前项和.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕根据等差数列中，求出、公差的值，从而可得数列的通项公式；(2) 由〔1〕可得，每相邻两项结合求和，从而可得结果.【详解】〔1〕,,(2).【点睛】此题主要考察等差数列的通项公式，属于中档题. 等差数列根本量的运算是等差数列的一类基此题型，数列中的五个根本量一般可以“知二求三〞，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.18.如图，在梯形中，，．〔1〕求；〔2〕求的长度.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】(1)由正弦定理求出的正弦值，再利用可得结果；〔2〕求得,利用正弦定理可得结果.【详解】(1)在中，由正弦定理，得，∴,∵，∴，.(2)由〔1〕可知,,在中，由正弦定理，得.【点睛】此题主要考察正弦定理的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径.19.是等差数列，是等比数列，且〔1〕求，的通项公式；〔2〕设，求数列的前项和.【答案】〔1〕，；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕由，根据等比数列的性质求得、的值，即可得的通项公式，再根据列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；〔2〕结合〔1〕可得，根据错位相减法，利用等比数列求和公式可得结果.【详解】〔1〕等比数列的公比，所以，．设等差数列的公差为．因为，，所以，即．所以．〔2〕由〔1〕知，，．因此．从而数列的前项和,,,两式作差可得,,解得.【点睛】此题主要考察等比数列和等差数列的通项、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，假如数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法〞求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“〞与“〞的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〞以便下一步准确写出“〞的表达式.中，角，，所对的边分别为，，，假设．〔1〕求的大小；〔2〕求的最大值．【答案】〔1〕；〔2〕1【解析】试题分析：〔1〕利用余弦定理，将即可求出，继而得；〔2〕利用三角形内角和定理将所求表达式表示为关于的三角函数式，结合三角函数的性质求解最大值.试题解析：〔1〕由题意，余弦定理：，∵，所以.〔2〕因为，，那么．那么：∵，∴，当时，获得最大值为1，即的最大值1.21.某企业2021年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的消费才能逐年下降，假设不能进展技术改造，预测从2021年起每年比上一年纯利润减少20万元，2021年初该企业一次性投入资金600万元进展技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年〔以2021年为第一年〕的利润为万元〔为正整数〕.〔1〕设从今年起的前年，假设该企业不进展技术改造的累计．．纯利润为万元，进展技术改造后的累计纯利润为万元〔须扣除技术改造资金〕，求，的表达式；〔2〕依上述预测，从2021年起该企业至少经过多少年，进展技术改造后的累计利润超过不进展技术改造的累计纯利润？【答案】〔1〕；〔2〕4.【解析】【分析】〔1〕利用等差数列的求和公式可得，由等比数列的求和公式可得的表达式；〔2〕令,构造函数，根据函数的单调性，利用特殊值验证，从而可得结果.【详解】..〔2〕令,设在单调递增,，,所以当时 ,即经过4年，进展技术改造后的累计利润超过不进展技术改造的累计纯利润 .【点睛】此题主要考察等比数列与等差数列的求和公式以及函数单调性的应用，考察的阅读才能与建模才能，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考察书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进展解答.的满足，且,记.(1)求证：为等差数列，并求的通项公式；(2)设，求的值；(3)是否存在正实数，使得对任意都成立？假设存在，务实数的取值范围；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕证明见解析，；〔2〕；〔3〕.【解析】【分析】(1)化简，从而可得的通项公式；〔2〕结合〔1〕可得 ,利用裂项相消法可得结果；〔3〕利用“累乘法〞化简左边式子为,从而可得对任意恒成立,构造函数,利用单调性求得，从而可得结果. 【详解】(1) ,所以是以为首项，2为公差的等差数列,.〔2〕 ,,.(3) 左边,由题意可知,对任意恒成立,令,那么由对钩函数的性质可知在上单调递增，故，综上可以，即正实数的取值范围为.【点睛】此题主要考察等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求和、不等式恒成立问题，属于难题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，打破这一难点的方法是根据式子的构造特点，常见的裂项技巧：(1)；〔2〕；〔3〕；〔4〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或者多项的问题，导致计算结果错误.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题1.已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A．30，91B．31，91C．30，90D．31，902.已知复数为纯虚数，则实数（）A．1B．2C．3D．43.如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（）A．B．C．D．4.已知，则（）A．B．C．D．5.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A．1B．2C．3D．46.已知是不同的直线，是不同的平面，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（）A．B．C．D．8.在锐角中，角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．9.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则为等腰直角三角形C．，则此三角形有一解D．若，则为钝角三角形10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A．乙发生的概率为B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件11.如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（）A．B．C．直线与平面所成角的最大值是D．的最小值为12.已知i为虚数单位，复数z满足，则z的模为__________．13.已知向量满足，则与的夹角为______．14.已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______．15.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，(1)若为侧棱的中点．求证：平面；(2)若过的平面与交于点，求证：；16.某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．17.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，且为的中点．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由．19.已知的内角的对边为，且．(1)求；(2)若的面积为；①已知为的中点，求边上中线长的最小值；②求内角的角平分线长的最大值．。

高一数学月考试题及答案一、选择题（共20小题，每题4分，共80分）1. 已知集合 $A = \{x \mid x \text{是正整数，且} x < 10\}$，$B = \{y \mid y \text{是正整数，且} y \geq 5\}$，则集合 $A \cup B$ 包含元素个数为（）。

A. 4B. 9C. 10D. 112. 已知函数 $f(x)=3x^2+2x+1$，则 $f(2) =$（）。

A. 21B. 17C. 13D. 113. 若 $a=(1, 2)$，$b=(3, 4)$，则 $\overrightarrow{AB} =$（）。

A. (2, 2)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 6)4. 在点 $P(4, 3)$ 和点 $Q(-2, 7)$ 的坐标平面直角坐标系下, 则$\overrightarrow{PQ}$ 的坐标为（）。

A. (6, 4)B. (-6, 4)C. (6, -4)D. (-6, -4)5. 下列事件中, 既是必然事件又是不可能事件的是（）。

A. 抛一颗骰子, 出现1点.B. 抽一张扑克牌, 不是黑桃.C. 接电话时, 大声讲话.D. 一次朋友聚会, 5人都睡着了.6. 若等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=3$，公差 $d=2$，则 $a_5=$（）。

A. 5B. 7C. 9D. 117. 若直线 $y=2x-3$ 切割下列圆所得弦长相同的是（）。

A. $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 4$B. $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 4$C. $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 1$D. $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 1$8. 设正弦函数 $y=3\sin{(2x+\frac{\pi}{6})}$，则振幅为（）。

A. 2B. 3C. -2D. -39. 在直角坐标系中，过点 $A(-3, 4)$ 和点 $B(1, 2)$ 的直线为（）。

2023北京汇文中学高三3月月考数学一､选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，，那么（ ）()(){|210}A x x x =∈+-<Z {}2,1B =--A B ⋃=A. B. {}2,1,0,1--{}2,1,0--C. D.{}2,1--{}1-【答案】B 【解析】【分析】求解一元二次不等式从而求解集合，再根据并集的定义求解. A A B ⋃【详解】由，得， ()(){|210}A x x x =∈+-<Z {}1,0A =-结合，可知. {}2,1B =--{}2,1,0A B =-- 故选：B . 2. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）0a b >>A. B.C. D.a b <11a b>1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln ln a b >【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质判断A 、B ，再根据指数函数的性质判断C ，根据对数函数的性质判断D ； 【详解】解：因为，所以，故A 错误；0a b >>0a b >>因为，所以，故B 错误；0a b >>11ab<因为，且在定义域上单调递减，所以，故C 错误；0a b >>12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，且在定义域上单调递增，所以，故D 正确；0a b >>ln y x =()0,∞+ln ln a b >故选：D3. 如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ）．(2,0)a =(1,1)b =A. B. C. D.||a b |=|a b ⋅= ()a b b -⊥v v v a b【答案】C 【解析】【详解】由平面向量，知：(2,0)a = (1,1)b =在中，，A ||2a = ||b =r∴，故错误；||||a b ≠A 在中，，故错误；B 2a b ⋅=B 在中，，C (1,1)a b -=-∴，()110a b b -⋅=-=∴，故正确；()a b b -⊥C 在中，∵， D 2011≠∴与不平行，故错误．a bD 综上所述． 故选．C 4. 已知直线m ，n 和平面，如果，那么“m ⊥n”是“m ⊥”的（ ） αn ⊂ααA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】若，则，即必要性成立，m α⊥m n ⊥当时，不一定成立，必须垂直平面内的两条相交直线，即充分性不成立， m n ⊥m α⊥m α故“”是“”的必要不充分条件， m n ⊥m α⊥故选：．B 5. 在等比数列中，，，则等于（ ） {}n a 13a =1239a a a ++=456a a a ++A. 9 B. 72C. 9或70D. 9或72-【答案】D 【解析】【分析】利用等比数列的性质求出公比，即可求出的值. 456a a a ++【详解】由题意，，N n *∈在等比数列中，，， {}n a 13a =1239a a a ++=设公比为，q ，即，解得或，21119a a q a q ∴++=23339q q ++=2q =-1q =∴，()334561239a a a a a q a q ++=++=当时，， 1q =4569a a a ++=当时，.2q =45672a a a ++=-故选：D.6. 下列函数中,定义域为的奇函数是 R A. B. C. D.21y x =+tan y x =2x y =sin y x x =+【答案】D 【解析】【详解】定义域为R,所以舍去B,又为偶函数,为非奇非偶函数, 21y x =+y =2x 故选：D.7. 已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）2221(0)y x b b-=>(2,0)A. B.0x ±=0y ±=C. D.30x y ±=30x y ±=【答案】B 【解析】【分析】求出的值即得解. b【详解】解：由题得，21+4,b b =∴=所以双曲线的渐近线方程为. y x ==0y ±=故选：B8. 在空间直角坐标系中，正四面体的顶点、分别在轴，轴上移动．若该正四O xyz --P ABC A B x y 面体的棱长是，则的取值范围是( )． 2||OPA. B.C.D.1]-+[1,3]1,2]-1]【答案】A 【解析】【分析】固定正四面体的位置，原点在以为直径的球面上运动,由此根据球的性质可以-P ABC O AB 得到答案.【详解】如图所示，若固定正四面体的位置， -P ABC 则原点在以为直径的球面上运动， O AB 设的中点为， AB M则PM ==所以原点到点的最近距离等于减去球的半径， O P PM M 最大距离是加上球的半径， PM M，11OP -≤≤即的取值范围是． ||OP 1]-+故选:．A9. 如果函数的两个相邻零点间的距离为2，那么()sin (0)f x x x ωωω=+>的值为（ ）．()()()()1239f f f f ++++LA. 1B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出，再结合函数式计算作答. ()f x ω【详解】依题意，，函数的周期，而，则，π()2sin(3f x x ω=+()f x 4T =0ω>2ππ2T ω==，ππ()2sin(23f x x =+，， 5π11π(1)(3)2sin2sin 066f f +=+=4π7π(2)(4)2sin 2sin 033f f +=+=所以. ()()()()5π1239(1)2[(1)(2)(3)(4)](1)2sin 16f f f f f f f f f f ++++=++++===L 故选：A10. 如图，已知正方体的棱长为，、分别是棱、上的动点，设1111ABCD A B C D -1E F AD 11B C AE x =，.若棱与平面有公共点，则的取值范围是（ ）1B F y =1DD BEF x y +A. B.C.D.[]1,213,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,1【答案】A 【解析】【分析】取特殊值和，进行验证，结合排除法可得出结论.1x y ==0x =1y =【详解】由题意，若，则棱与平面交于点，符合题意，此时； 1x y ==1DD BEF D 2x y +=若，，则棱与平面交于线段，符合题意，此时. 1x =0y =1DD BEF 1DD 1x y +=排除B 、C 、D 选项. 故选：A ．【点睛】本题考查线面位置关系，考查特殊值法的运用，属于中档题．二､填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11. 复数____． 1i1i+=-【答案】 i 【解析】【分析】利用复数的代数形式的四则运算法则求解．【详解】． ()()()21i 1i2i i 1i 1i 1i 11++===--++故答案为：．i 12. 在的展开式中，常数项是__________（用数字作答）． 261()x x-【答案】15 【解析】【分析】求出通项，令由此求得展开式中常数项． ()36161 rr r r T C x -+=-，3662r r -==，【详解】在的展开式中，通项 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2612316611 r r r rr r r r T C x x C x （），---+=-=-令 ．故展开式中常数项是 ， 3662r r -==，()2261 15 C -=，故答案为 15．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 13. 若，则______ ;lg 2lg 21a -==a 【答案】40 【解析】 【分析】利用对数的运算公式，，直接求值即可.log log na a n M M =log log log ()a a a M N MN +=【详解】lg 2lg 21a -=Qlg 2lg 21lg 4lg10lg 40a ∴=+=+=40a ∴=故答案为：4014. 在中，角的对边分别为，若，，，则ABC ,,A B C ,,a b c 3c =π3C =sin 2sin B A ==a __________．【解析】【分析】由正弦定理得到，再由余弦定理求出的值. 2b a =a 【详解】由正弦定理得：，2b a =再有余弦定理得：，22222225591cos 22242a b c a c a C ab a a a +---====⨯⋅解得：. a =故答案为：15. 设函数其中.()3,log ,,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩0a >①若，则______；3a =()9f f =⎡⎤⎣⎦②若函数有两个零点，则的取值范围是______. ()2y f x =-a 【答案】 ①.②.[)4,9【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出与y ＝2的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．()y f x =()2y f x =-【详解】解：①当时， 3a =()33,log ,3,x f x x x ≤≤=>⎪⎩则， ()39log 92f ==∴()()92f f f ⎡⎤⎣⎦==②分别画出与y ＝2的图象，如图所示，()y f x =函数有两个零点，结合图象可得4≤a ＜9， ()2y f x =-故a 的取值范围是. [)4,9；.[)4,9【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．注意要利用数形结合．三､解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16. 如图，在四边形中，，，，.ABCD //ABCD AB =CD =cos A =1cos 3ADB ∠=（1）求； cos BDC ∠（2）求的长. BC 【答案】（12. 【解析】【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值； sin A sin ADB ∠cos cosBDC ABD ∠=∠（2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. ABD △BD BCD △BC 【详解】（1）因为，，则、均为锐角，cos A =1cos 3ADB ∠=A ADB ∠所以，，，sin A ==sin ADB ∠==()()cos cos cos sin sin cos cos ABD A ADB A ADB A ADB A ADB π∠=--∠=-+∠=∠-∠，13==，则，因此，； //AB CD Q BDC ABD ∠=∠cos cos BDC ABD ∠=∠=（2）在中，由正弦定理可得，ABD △sin sin AB BDADB A=∠可得，sin 3sin AB ABD ADB===∠在中，由余弦定理可得，BCD△2222cos 962311BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⋅=因此，.BC =【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； a b c （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.17. 如图，在四棱锥中，O 是边的中点，底面．在底面P ABCD -AD PO ⊥,1ABCD PO =ABCD 中，．//,,1,2BC AD CD AD BC CDAD ⊥===（1）求证：平面；//AB POC（2）求二面角的余弦值． B AP D --【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】【分析】（1）证明后可证线面平行；//AB OC （2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．,,OB OD OP ,,x y z 【详解】（1）由题意，又，所以是平行四边形，所以， BC OA =//BC OA BCOA //AB OC 又平面，平面，所以平面；AB ⊄POC OC ⊂POC //AB POC （2），所以是平行四边形，所以，，而，,//BC OD BC OD =BCDO //OB DC OB CD =CD AD ⊥所以，OB AD ⊥以为轴建立空间直角坐标系，如图，,,OB OD OP ,,x y z 则，，，，，(1,0,0)B (0,1,0)A -(0,0,1)P (1,1,0)AB = (0,1,1)=AP 设平面的一个法向量为，则ABP (,,)n x y z =，取，则，即， 00n AB x y n AP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩1x =1,1y z =-=(1,1,1)n =- 易知平面的一个法向量是，APD (1,0,0)m =所以cos ,m n m n m n⋅<>===所以二面角． B AP D --【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．18. 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下： 20以下 [)20,30 [)30,40 [)40,50 [)50,60[]60,7070以上 使用人数312 17 6 4 2 0 未使用人数 0314363（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；[)30,50（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人[]50,70X 中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；[)50,60X （Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 【答案】；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200 17100【解析】 【分析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； X （Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人， 所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为． 17100P =（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，X , ()124236C C 115C P X ===, ()214236C C 325C P X ===. ()304236C C 135C P X ===所以的分布列为XX 1 2 3P 15 35 15所以的数学期望为. X 1311232555EX =⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，3121764244+++++=所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为. 4450002200100⨯=【点睛】本题考查统计表，随机变量X 的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题． 19.已知函数．2()()x k f x x k e =-（Ⅰ）求的单调区间；()f x （Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围． (0,)x ∈+∞()f x 1ek 【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当0k >()f x (,)k -∞-(,)k +∞(,)k k -时，的单调递减区间是和：单调递减区间是．0k <()f x (,)k -∞(,)k -+∞(,)k k -（Ⅱ） ． 102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】【详解】，令，当时，的情况如下： 221()()x k f x x k e k -'=()0,f x x k ='=±0k >(),()f x f x ' x (,)k -∞-k - (,)k k - k (,)k +∞ ()f x '+0 -0 + ()f x 214k e -所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与()f x (,)k -∞-(,)k +∞(,)k k -0k <()f x 的情况如下：()f x ' x (,)k -∞k (,)k k - k - (,)k -+∞ ()f x '-0 + 0 - ()f x 0 214k e -所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是．()f x (,)k -∞(,)k -+∞(,)k k -（Ⅱ）当时，因为，所以不会有当时，由（Ⅰ）知0k >11(1)k k f k e e++=>1(0,),().x f x e ∀∈+∞≤0k <在上的最大值是所以等价于， 解得()f x (0,)+∞24()k f k e -=1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤24()k f k e-=1e ≤故当时，的取值范围是． 10.2k -≤<1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤k 102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 20. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． 2222:1(0)x y E a b a b+=>>(0,1)A （1）求椭圆E 的方程；（2）过点作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点(2,1)P -M ，N ，当时，求k 的值．||2MN =【答案】（1） 2214x y +=（2）4k =-【解析】【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩a （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直()11,B x y ()22,C x y 线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；AB AC M x N x N M MN x x =-【小问1详解】解：依题意可得，，1b =2c =222c a b =-所以，所以椭圆方程为； 2a =2214x y +=【小问2详解】解：依题意过点的直线为，设、，不妨令()2,1P -()12y k x -=+()11,B x y ()22,C x y 1222x x -≤<≤，由，消去整理得， ()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩y ()()22221416816160k x k k x k k +++++=所以，解得，()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>0k <所以，， 212216814k k x x k ++=-+2122161614k k x x k+⋅=+直线的方程为，令，解得， AB 1111y y x x --=0y =111M x x y =-直线的方程为，令，解得， AC 2211y y x x --=0y =221N x x y =-所以 212111N M x x MN x x y y =-=--- ()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++， ()()12212222x x k x x -==++所以，()()122122x x k x x -=++()212124k x x x x =+++⎡⎤⎣⎦ 22221616168241414k k k k k kk ⎡⎤⎛⎫++=+-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()22221616216841414k k k k k k k ⎡⎤=+-+++⎣⎦+整理得，解得4k =4k =-21. 设数列.如果，且当时，()12:,,,2n A a a a n ≥ {}()1,2,,1,2,,i a n i n ∈= i j ≠，则称数列A 具有性质.对于具有性质的数列A ，定义数列，()1,i j a a i j n ≠≤≤P P ()121:,,,n T A t t t - 其中. ()111,,1,2,,10,k k k k k a a t k n a a ++⎧==-⎨⎩ ＜＞（1）对，写出所有具有性质的数列A ；():0,1,1T A P （2）对数列，其中，证明：存在具有性质的数列()121:,,,2n E e e e n -≥ {}()0,11,2,,1i e i n ∈=- P A ，使得与为同一个数列；()T A E（3）对具有性质的数列A ，若且数列满足P ()115n a a n -=≥()T A ()0,,1,2,,11,i i t i n i ⎧==-⎨⎩ 为奇数为偶数，证明：这样的数列A 有偶数个.【答案】（1）、、4,1,2,33,1,2,42,1,3,4（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义，得到且，，，确定，按照()T A 4n =12a a >23a a <34a a <21a =14a =或分别讨论可得答案；44a =（2）设数列：中恰有项为1，在按照、、三种情况分别讨E 121,,,n e e e - s 0s =1s n =-01s n <<-论可证结论；（3）按照的奇偶分类讨论，结合数列的定义可证结论.n ()T A 【小问1详解】因为，所以，则():0,1,1T A 13-=n 4n =因为，，，所以，，， 10t =21t =31t =12a a >23a a <34a a <又，{1,2,3,4}(1,2,3,4)i a i ∈=所以，或，21a =14a =44a =当时，，14a =342,3a a ==当时，或，44a =133,2a a ==132,3a a ==综上所述：所有具有性质的数列A 为：、、.P 4,1,2,33,1,2,42,1,3,4【小问2详解】由于数列：，其中， E 121,,,n e e e - {0,1}i e ∈(1,2,3,1,2)i n n =-≥ 不妨设数列：中恰有项为1，E 121,,,n e e e - s 若，则符合题意，0s =:,1,,1A n n - 若，则符合题意，1s n =-:1,2,,A n 若，则设这项分别为， 01s n <<-s 12,,,s k k k e e e 12()s k k k << 构造数列，令分别为， 12:,,,n A a a a L 1211,,1,s k k k a a a +++ 1,2,,n s n s n -+-+ 数列的其余各项分别为， A 12,,,n s m m m a a a - 12()n s m m m -<<< ,1,,1n s n s --- 经检验数列符合题意.A 【小问3详解】对于符合题意的数列，1,2:,,(5)n A a a a n ≥ ①当为奇数时，存在数列符合题意，n 11:,,,n n A a a a -'且数列与不同，与相同， A A '()T A ()T A '按这样的方式可由数列构造出数列， A 'A 所以为奇数时，这样的数列有偶数个， n A 当时，这样的数列也有偶数个， 3n =A ②当为偶数时，n 如果是数列中不相邻的两项，交换与得到数列符合题意， ,1n n -A n n 1-A '且数列与不同，与相同， A A '()T A ()T A '按这样的方式可由数列构造出数列， A 'A 所以这样的数列有偶数个，A 如果是数列中相邻的两项，由题设知，必有，，， ,1n n -A 1n a n -=1n a n =-12a n =-除这三项外，是一个项的符合题意的数列， 232,,,n a a a - 3n -A 由①可知，这样的数列有偶数个， A 综上，这样的数列有偶数个.A 【点睛】关键点点睛：正确理解数列的定义，并利用定义求解是解题关键. ()T A。

高一第三次月考（2009.12）数 学（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

在每小题所列的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案的字母序号填涂在自备的答题卡上。

）1．设集合M ={4,5,6,8},集合N ={3,5,7,8}那么M ∪N =（ ） A ．{3,4,5,6,7,8} B ．{5,8} C ．{3,5,7,8} D ．{4,5,6,8}2．函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 （ ） A ．（0，1） B ．（1，10） C ．（10，100） D ．（100，+∞）3．若直线a ，b 与直线l 所成的角相等，则a ，b 的位置关系是（ ） A ．异面 B ．平行 C ．相交 D ．相交、平行、异面均可能 4．异面直线是指 （ ）A ．空间中两条不相交的直线B ．平面内的一条直线与平面外的一条直线C ．分别位于两个不同平面内的两条直线D ．不同在任何一个平面内的两条直线 5．以下条件中，能判定直线l ⊥平面α的是（ ）A ．l 与平面α内的一条直线垂直B ．l 与平面α内的一个三角形的两边垂直C ．l 与平面α内的两条直线垂直D ．l 与平面α内的无数条直线垂直． 6．在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线AC 与11B D 所成角的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 7．如图是一个空间几何体的主视图（正视图）、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（ ）A ．1B ．21C ．31D ．618．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则)]41([f f 的值是（ ）A ．9B ．9-C ．91D ．91-9．b,c a αβ已知,是直线,,是平面,下列命题中正确的是 （ ） A ．b b a a αα⊂若//,,则//B ．a a αβαβ⊥⊂⊥若,,则C ．a a ααββ⊥⊥若,//,则D ．c,b c a a b ⊥⊥若,则//10．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>11．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，正确命题的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④12．已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数a 、b 、c 满足()0()()f c f a f b <<<，若实数d 是函数()f x 的一个零点，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >．其中成立的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知lg 2,m =lg3,n =则lg18= 。