北京市东城区东直门中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题+Word版含解析

北京东直门中学2016—2017学年度第一学期期中考试高三数学（理）2016．11 考试时间：120分钟总分 150分第一部分（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）．1．已知集合{}|12A x x =-<，{}2|1og 1B x x =>，则A B = （ ）．A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．(2,3)D ．(1,4)-【答案】C【解析】{}{}|1|213A x x x x =-<=-<<，{}{}2log 12B x x x x =>=>， ∴{}23A B x x =<< ．故选C ．2．“0x >”是“20x x +>”的（ ） ． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】201x x x +>⇔<-或0x >，∴“0x >”是“20x x +>”的充分不必要条件．故选A ．3．设命题:0p x ∃>，sin 21x x >-，则p ⌝为（ ）．A ．0x ∀>，sin 21x x -≤B ．0x ∃>，sin 21x x <-C ．0x ∀>，sin 21x x <-D ．0x ∃>，sin 21x x -≤【答案】A【解析】特称命题的否定为全称命题，∴p ⌝为“0x ∀>，sin 21x x -≤”．故选A ． 4．已知π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)α+=（ ）．A ．35B ．35-C ．45D ．45-， 【答案】D 【解析】∵π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 5α=，4sin 5α=，∴4sin(π)sin 5αα+=-=-．故选D ．5．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -=在同一直角坐标系下的图像大致是（ ）．A．B．C．D．【答案】C【解析】对于函数1()2x g x -=，当0x =时，函数值为2，过点(0,2)，排除B ，D ． 对于函数2()1log f x x =+，当1x =时，函数值为1，过点(1,1)，排除A ． 综上，故选C ．6．为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x 的图像（ ）．A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位【答案】D【解析】ππsin3cos333412y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将y x 的图象向左平移π12个单位．故选D ．7．设a ，b是两个非零向量（ ）．A ．若||||||a b a b +=- ，则a b⊥B ．若a b⊥，则||||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=- ，则存在实数λ，使得a b λ=D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则||||||a b a b +=- 【答案】C【解析】根据向量加法的几何意义，|||||a b a b +- ≥|，其中等号当且仅当向量a ，b共线时成立，所以由||||||a b a b +=- ，可得存在实数λ，使得a b λ=．故选C ．8．已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2x f x ≥，x ∈R ．（ ）． A ．若()f a b ≤，则a b ≤ B ．若()2b f a ≤，则a b ≤C ．若()f a b ≥，则a b ≥D ．若()2b f a ≥，则a b ≥【答案】B【解析】由题意可得下图：A 项，1()||f a b '<，1a b '>，故A 项错误；B 项，若()f a b ≠，如图，1()2b f a <，1a b <，若()2bf a =，则等号成立，故B 项正确；C 项，2()||f a b >，2a b <，故C 项错误；D 项，2()2bf a >，2a b <，故D 项错误．综上所述，故选B ．第二部分（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．定积分21d 1x x -⎰的值为__________． 【答案】23【解析】1231111112d |3333x x x --⎛⎫==--= ⎪⎝⎭⎰10．在三个数12，122-，3log 2中，最小的数是__________． 【答案】12【解析】12122-==>，31log 2log 2>． 故三个数12，122-，3log 2中最小的数是12．11．设π02θ<<，向量(sin2,cos )a θθ= ，(1,cos )b θ=- ，若0a b ⋅= ，则tan θ=__________．【答案】12 【解析】∵22(sin2,cos )(1,cos )sin2cos 2sin cos cos 0a b θθθθθθθθ⋅=⋅-=-=-=， ∴22sin cos cos θθθ=， ∵π02θ<<，∴cos 0θ>，∴2tan 1θ=，解得1tan 2θ=．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x =x -;当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则(6)f =__________．【答案】2 【解析】当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以当1x >时，()(1)f x f x =-，故(6)(1)f f =；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以(1)(1)f f =-． 当0x <时，3()1f x x =-，所以(1)2f =-，故(1)2f =．13．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是__________． 【答案】(3,)+∞ 【解析】)=x 22mx+4m (x>m )m m 2当0m >，函数2||,()24,x x mf x x mx m x m ⎧=⎨->⎩≤+的图象如图：∵x m >时，2222()24()44f x x mx m x m m m m m =-=-->-++， ∴y 要使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则：24(0)m m m m -<>，即23(0)m m m >>，解得，3m >． 故m 的取值范围是(3,)∞+．14．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立．那么λ的取值范围是__________．FEB【答案】(0,4)【解析】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(0,4)E ，6,4F （），①若P 在CD 上，设(,0)P x ，06x ≤≤，则(,4)PE x ==-，(6,4)PF x =-． ∴2616PE PF x x ⋅=-+，∵[]0,6x <，∴716PE PF ⋅≤≤．∴当7λ=时有一解，当716λ<≤时有两解．②若P 在AD 上，设(0,)P y ，06y ≤≤，则(0,4)PE y =- ，(6,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+．∵06y ≤≤，∴016PE PF ⋅≤≤．当0λ=或416λ<≤，有一解，当04λ<≤时有两解．③若P 在AB 上，设(,6)x x ，06x ≤≤，则(,2)PE x =-- ，(6,2)PF x =--， ∴2=64PE PF x x ⋅- +．∵06x ≤≤，∴74PE PF -⋅≤≤． ∴当7λ=-时有一解，当72λ-<≤时有两解．④若P 在BC 上，设(6,)P y ，06y ≤≤，则(6,4)PE y =-- ，(0,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+．∵06y ≤≤，∴16PE PF ⋅0≤≤． ∴当0λ=或416λ<≤，有一解，当04λ<≤时有两解． 综上所述，∴04λ<<．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间． （2）求函数()f x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）根据题意得：222()sin 2sin cos cos 2cos f x x x x x x =-++ 21sin 22cos x x =-+ sin 2cos 2x x =-π24x⎛⎫=-⎪⎝⎭故函数()f x的最小正周期2ππ2T==．由πππ2π22π+242k x k--≤≤，k∈Z，可得：3πππ88k x kλ-≤≤+，k∈Z故函数()f x的单调递增区间是π3ππ,π88k k⎡⎤-⎢⎥⎣⎦+，()k∈Z．（2）∵π3π,44x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,444x⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin24x⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦π24x⎛⎫⎡-∈-⎪⎣⎝⎭，即()f x⎡∈-⎣，故函数()f x在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣．16．已知数列{}(1,2,3,)na n= 满足12n na a+=，且1a，21a+，3a成等差数列，设23log10n nb a=-．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式．（2）求数列{}n b的前n项和n T．【答案】【解析】（1）12n na a=+，∴{}n a为等比数列，其公比为2．∵1a，21a+，3a成等差数列，∴2132(1)a a a=++，即1112(21)4a a a=++，解得：12a=．∴112n nna a q-==，222log103log210310nn nb a n=-=-=-，故2nna=，310nb n=-．（2）由310nb n=-，可得{}n b的前几项和为1(317)2nS n n=-．当13n-≤≤时，0nb<，即1(317)2n nT S n n=-=--；当4n≥时，可得：231317482(317)2422n nn nT S S n n-=-=-=++．综上可得，22317,132()31748,42nn nnT nn nn⎧-⎪⎪=∈⎨-⎪⎪⎩N≤≤≥++．17．在ABC △中，内角A 、B 、C 、所对边的长分别为a 、b 、c ，且1cos 2B =-．（1）若2a =，b =C 的大小． （2）求sin sin A C ⋅的取值范围． 【答案】【解析】（1）在ABC △中，1cos 2B =-，(0,π)B ∈,∴2π3B =,sin B =．由正弦定理sin sin a b A B =，可得：2sin A =，∴1sin 2A =，∴π6A =． ∴ππ6C A B =--=．（2）π1sin sin sin sin sin sin 32A C C C C C C ⎫⎛⎫⋅=-⋅=-⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111π12cos2sin 244264C C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭++． ∵π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ5π2,666C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+．∴π1sin 2,162C ⎛⎫⎛⎤∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，∴1π11sin 20,2644C ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，即1sin sin 0,4A C ⎛⎤⋅∈ ⎥⎝⎦． 故sin sin A C ⋅的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．18．已知函数1()e xxf x -=． （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的零点和极值．（3）若对任意1x ，2[,)x a ∈+∞都有1221()()e f x f x --≥成立，求实数a 的最小值． 【答案】【解析】（1）∵1()e x x f x -=，2()e xx f x -'=，∴(0)1f =，(0)2f '=-， ∴()f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为2-，切点为(0,1)， ∴切线方程为：21y x =-+，即210x y -=+． （2）由()0f x =，可得1x =，即零点为1；由2x >时，()0f x '>，()f x 递增，2x <时，()0f x '<，()f x 递减，可得： 当2x =时，()f x 取得极小值，21()(2)e f x f ==-极小值，无极大值．【注意有文字】（3）当1x >时，1()0e x x f x -=<，当1x <时，1()0e xxf x -=>， 若1a <，令12x =，2[,1)x a ∈，则1x ，[)2,x a ∈∞+， 由于22()()0f x f x ⇔-<，则有121221()()()()e f x f x f x f x -<==-，不符合题意； 若1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1()0f x ≤，2()0f x ≤，则有2()0f x -≥， 所以121221()()()()e f x f x f x f x -=-≥≥， 即1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1221()()e f x f x --≥成立． 综上所述，实数a 的最小值是1．19．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -．（1）求椭圆E 的方程．（2）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），判断直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由．【答案】【解析】根据题意知：c a =1b =，结合222a b =+c ，解得：a ，1b =，1c =，∴椭圆的方程为：2212x y =+．（2）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-≠+，将直线方程与椭圆方程联立，22(1)1,(2)12y k x k x y =≠⎧⎪⎨=⎪⎩+++，得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k ---=++． 由已知0∆>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，120x x ≠，则1224(1)12k k x x k -=++，1222(2)12k k x x k -=+， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和：12121212121211222(2)AP AQ y y kx k kx k x xk k k k x x x x x x --===-+++++++++ 4(1)2(2)22(1)22(2)k k k k k k k k -=-⋅=--=-+．故直线AP 、AQ 斜率之和为定值2．20．在数列{}n a 中，10a =，21n n a a m +=+，其中m ∈R ，n *∈N ． （1）当1m =时，求2a ，3a ，4a 的值．（2）是否存在实物m ，使2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列？证明你的结论． （3）当14m >时，证明：存在k *∈N ，使得2016k a >． 【答案】【解析】（1）当1m =时，211n na a =++，10a =， ∴21a =，32a =，45a =．（2）∵2a ，3a ，4a 成等差数列，∴3243a a a a -=-，即222233a m a a m a -=-++，∴223232()()0a a a a ---=， ∴320a a -≠，∴3210a a -=+．将2a m =，23a m m =+，代入上式，解得1m =- 经检验，此时2a ，3a ，4a 的公差不为0．∴存在1m =-2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列． （3）∵221111244n n n n n a a a m a a m m ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥+++，又14m >，∴令104d m =->． ∵1n n a a d --≥，12n n a a d ---≥， ，21a a d -≥， ∴1(1)n a a n d --≥，即(1)n a n d -≥． 取正整数20161k d>+，则： 2016(1)2016k a k d d d ⎛⎫->⋅= ⎪⎝⎭≥．故当14m >时，存在*k ∈N ,使得2016k a >．。

绝密★启用前北京市东城区东直门中学2016-2017学年高三上学期期中考试数学试题（理）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：62分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设是两个非零向量，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若|，则B ．若,则C ．若,则存在实数,使得D ．若存在实数,使得,则2、已知函数满足：且．（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则3、已知集合，，则（ ）．4、“”是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5、设命题，，则为（）．A．， B．，C．， D．，6、已知，，则（）．A． B． C． D．，7、函数与在同一直角坐标系下的图像大致是（）．A． B． C． D．8、为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）．A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、定积分的值为__________．10、在三个数，，中，最小的数是__________．11、设，向量，，若，则__________．12、已知函数的定义域为，当时，;当时，；当时，．则__________．13、如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，且，．如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有个不同的点使得成立．那么的取值范围是__________．14、已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围是__________．三、解答题（题型注释）15、已知函数．（）求函数的最小正周期和单调递增区间．（）求函数在上的值域．16、已知数列满足，且，，成等差数列，设．（）求数列，的通项公式．（）求数列的前项和．17、在中，内角、、、所对边的长分别为、、，且．（）若，，求角的大小．（）求的取值范围．18、已知函数．（）求曲线在点处的切线方程．（）求函数的零点和极值．（）若对任意，都有成立，求实数的最小值．19、如图，椭圆经过点，且离心率为．（）求椭圆的方程．（）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），判理由．20、在数列中，，，其中，．（）当时，求，，的值．（）是否存在实物，使，，构成公差不为的等差数列？证明你的结论．（）当时，证明：存在，使得．参考答案1、C2、B3、C4、A5、A6、D7、C8、D9、10、11、12、13、14、15、（）；，．（）．16、（），．（）17、（）．（）．18、（）．（）零点为；，无极大值．（）．19、（1）．（）斜率之和为定值．20、（），，．（）存在，使，，构成公差不为的等差数列．（）证明见解析.【解析】1、试题分析：对于A若，则，得，则不成立，所以A不正确．对于B，由A解析可知，，所以B不正确．对于C，则，得，则，则与反向，因此存在实数，使得，所以C正确．对于D，若存在实数,使得，则，由于不能等于0，因此，则，所以D不正确．故选C．考点：平面向量的综合题2、试题分析：可设，则f（x）满足题意.易知但1＞−5,排除A.但2＜3,排除C.排除D.故选B.【考点】函数的奇偶性.【思路点睛】先由已知条件可得的解析式，再由的解析式判断的奇偶性，进而对选项逐个进行排除．3、因为，，∴．故选．点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．4、因为或，∴“”是“”的充分不必要条件．故选．5、根据命题的否定，特称命题的否定为全称命题，∴为“，”．故选．6、∵，，∴，，∴．故选．7、对于函数，当时，函数值为，过点，排除，．对于函数，当时，函数值为，过点，排除．综上，故选．8、，所以为了得到函数的图象，可以将的图象向左平移个单位．故选．9、根据定积分的定义知，，故填.10、，．故三个数，，中最小的数是．故填.点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．11、∵，∴，∵，∴，∴，解得．12、当时，，所以当时，，故；当时，，所以；当时，，所以，故．故填.13、以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，①若在上，设，，则，．∴，∵，∴．∴当时有一解，当时有两解．②若在上，设，，则，．∴．∵，∴．当或，有一解，当时有两解．③若在上，设，，则，，∴．∵，∴．∴当时有一解，当时有两解．④若在上，设，，则，．∴．∵，∴．∴当或，有一解，当时有两解．综上所述，∴．14、试题分析：函数为偶函数，且左减右增.函数的对称轴为，且向右单调递增.故当时函数先减后增，当时函数单调递增，要有三个不同的零点则必须满足，解得.考点：分段函数零点问题.【思路点晴】应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．15、试题分析：试题解析：（）根据题意得：故函数的最小正周期．由，，可得：，故函数的单调递增区间是，．（）∵，∴，∴，∴，即，故函数在上的值域为．16、（），∴为等比数列，其公比为．∵，，成等差数列，∴，即，解得：．∴，，故，．（）由，可得的前几项和为．当时，，即；当时，可得：．综上可得，．17、（）在中，，,∴,．由正弦定理，可得：，∴，∴．∴．（）．∵，∴．∴，∴，即．故的取值范围是．点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据俄条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小18、（）∵，，∴，，∴在点处的切线的斜率为，切点为，∴切线方程为：，即．（）由，可得，即零点为；由时，，递增，时，，递减，可得：当时，取得极小值，，无极大值．（）当时，，当时，，若，令，，则，，由于，则有，不符合题意；若时，对任意，，都有，，则有，所以，即时，对任意，，都有成立．综上所述，实数的最小值是．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.19、（1）根据题意知：，，结合，解得：，，，∴椭圆的方程为：．（）由题设知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，，得．由已知，设，，，则，，从而直线，的斜率之和：．故直线、斜率之和为定值．点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．20、（）当时，，，∴，，．（）∵，，成等差数列，∴，即，∴，∴，∴．将，，代入上式，解得．经检验，此时，，的公差不为．∴存在，使，，构成公差不为的等差数列．（）∵，又，∴令．∵，，，，∴，即．取正整数，则：．故当时，存在,使得．点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n项和即数列的最大值与恒成立问题，属于难题.解决数列的证明问题时，一般要紧扣等差等比的定义，用定义证明，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，在涉及数列的恒成立问题时，一般要考虑数列项的最值或前n项和的最值，进行转化处理即可.。

东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学(理科) 2017.7本试卷共4页，共100分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共24分）一、选择题: （本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数12i z =-+，则z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．直线3,112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的斜率为 A．-B． CD ．123．在()102x -的展开式中，6x 的系数为A ．41016CB ．41032CC ．6108C -D ．61016C -4．一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为 A ．4种 B ．12种 C ．24种 D ．120种 5．在极坐标系中，点(2,)3π到直线cos 2ρθ=的距离为 A ．12B ．1C ．2D ．3 6．袋子中装有大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为A ．541 B ．1225C ．158D ．35 7．函数||e cos x y x =-的图象大致为A B C D8．甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表．丙从这9丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙．下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．” 乙对甲说：“本来我不能确定，但是现在我能确定了．” 甲对乙说：“哦，那我也能确定了！” 根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是A ．4排8号B ．3排1号C ．1排4号D ．1排5号第二部分（非选择题 共76分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．i 是虚数单位，复数13i1i-=- ． 10．定积分11(2sin )x x dx -+⎰的值为 ．11．在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++．则该运动员在0.5t s =时的瞬时速度为v = /m s ．12．若52345012345(21)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345a a a a a a -+-+-的值为___________．13． 随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起．佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束．客服为佳佳提供了两个系列，如下表：佳佳要在两个系列中选一个系列，再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束．请问佳佳可定制的混合花束一共有 种．14．已知平面向量(,)m n =a ，平面向量(,)p q =b ，（其中,,,Z m n p q ∈）．定义：(,)mp nq mq np ⊗=-+a b ．若(1,2)=a ，(2,1)=b ，则⊗a b =_____________； 若(5,0)⊗a b =，且||5<a ，||5<b ，则=a _________，=b __________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分9分）已知函数32()1f x x x =-+．（I ）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）求函数()f x 的极值．16．（本题满分8分）电视连续剧《人民的名义》自2017年3月28日在湖南卫视开播以来，引发各方关注，收视率、点击率均占据各大排行榜首位．我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查，共调查了600人，得到结果如下：其中图1是非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众年龄的频率分布直方图；表1是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数．求：（I ）假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，求非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众的平均年龄；（II ）根据表1，通过计算说明我们是否有99%的把握认为观看该剧的方式与年龄有关？附：()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2217．（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-，求数列{}n a 的通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．思路1：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1____a =，2____a =，3____a =．猜想：____.n a =然后用数学归纳法证明．证明过程如下： ①当1n =时， ，猜想成立②假设n k =（k ∈N *）时，猜想成立，即k a = ． 那么，当1n k =+时，由已知2n n S a n =-，得1k S += ．又2k k S a k =-，两式相减并化简，得1__________k a +=（用含k 的代数式表示）． 所以，当1n k =+时，猜想也成立． 根据①和②，可知猜想对任何k ∈N*都成立．思路2：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1______a =．由已知2n n S a n =-，写出1n S +与1n a +的关系式：1__________n S +=， 两式相减，得1n a +与n a 的递推关系式：1__________n a +=． 整理：11n a ++= ．发现：数列{1}n a +是首项为________，公比为_______的等比数列．得出：数列{1}n a +的通项公式1____n a +=，进而得到n a = ．18．（本题满分9分）为响应市政府“绿色出行”的号召，王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行．根据王老师从2017年3月到2017年5月的出行情况统计可知，王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐地铁单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X 元，假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的． （I ）求X 的分布列和数学期望()E X ；（II ）已知王老师在2017年6月的所有工作日（按22个工作日计）中共花费交通费用110元，请判断王老师6月份的出行规律是否发生明显变化，并依据以下原则说明理由．原则：设a 表示王老师某月每个工作日出行的平均费用，若|()|a E X -?，则有95％的把握认为王老师该月的出行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化．（注：21()(())ni i i D X x E X p ==-å）19．（本题满分9分）已知函数()ln (1)f x x a x +-=，a R ∈． （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若对任意的(0,)x ??，都有()22f x a ≤-，求实数a 的取值范围．20．（本题满分9分）已知随机变量ξ的取值为不大于n 的非负整数值，它的分布列为：其中i p （0,1,2,,i n =L L ）满足：[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++=L L ．定义由ξ生成的函数2012()nn f x p p x p x p x =++++L L ，令()()g x f x '=．（I ）若由ξ生成的函数23111()424f x x x x =++，求(2)P ξ=的值； （II ）求证：随机变量ξ的数学期望()(1)E g ξ=， ξ的方差2()(1)(1)((1))D g g g ξ'=+-；（2()(())ni i D i E p ξξ==-⋅∑）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，此时由ξ生成的函数记为()h x ，求(2)h 的值．东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学（理科）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题目的横线上．）三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分9分）解：（I ）32()1f x x x =-+，2'()32f x x x =-． ………………………………………1分则(1)1,'(1)321f f ==-=． ………………………………………3分则函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-，化简得y x =． …………4分 （II ）令2'()320f x x x =-=，解得1220,3x x ==． ………………5分 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：…………………………………………………………………………………………7分 因此，当0x =时，()f x 有极大值，并且极大值为(0)1f =；当23x =时，()f x 有极小值，并且极小值为223()327f =． ……………………9分16．（本题满分8分） 解：（I ）平均年龄为：411506020050400401003015020=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.....x ． …………4分（II ）根据列联表中的数据，利用公式可得2K 的观测值()272711300200400330270250120801506002.k ≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=． …………6分27.27 6.635k ≈≥，∴ 有99%把握认为观看该剧的方式与年龄有关． …………………………………8分17．（本题满分8分） 解：思路1：11a =， ………………………………………………………1分23a =， ………………………………………………………2分 37a =， ………………………………………………………3分 21n n a =-， ………………………………………………………4分 11211a =-=，………………………………………………………5分21k k a =-， ………………………………………………………6分112(1)k k S a k ++=-+，………………………………………………7分1121k k a ++=-． …………………………………………8分思路2：11a =， ………………………………………………………1分112(1)n n S a n ++=-+， …………………………………………………2分121n n a a +=+， ………………………………………………………3分 112(1)n n a a ++=+， …………………………………………………4分2， ………………………………………………………5分 2， ………………………………………………………6分12n n a +=， ………………………………………………………7分21n n a =-． ………………………………………………………8分18．（本题满分9分）解：（I ）依题意，X 可能的取值是2，4，6，因此X 的分布列为由此可知，X 的数学期望为()20.3640.4860.16 3.6E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………5分（II ）判断：有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． ………………………………6分 理由如下：6月共有22个工作日，共花费交通费用110元，∴平均每天出行的费用110225a =?（元）． …………………………………7分 又222()(2 3.6)0.36(4 3.6)0.48(6 3.6)0.161.92D X =-?-?-?，……………………8分则|()||5 3.6| 1.4a E X -=-=>． ∴有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． ………………………………………9分19．（本题满分9分） 解：（I ）11'()(0)axf x a x x x-=-=>， ………………………………………………1分 当0a ≤时，'()0f x >恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………………2分 当0a >时，令'()0f x >，则10x a<<． 则()f x 在区间1(0,)a上单调递增，在区间1(,)a+∞上单调递减．……………………4分 （II ）方法1：①当0a ≤时，因为(1)022f a =>-，所以不会有(0,)x "??，()22f x a ≤-． …………………………………………5分 ②当0a >时，由（I ）知，()f x 在(0,)+?上的最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a =+-=-+-． ………………………6分所以(0,)x "??，()22f x a ≤-等价于1()ln 122f a a aa=-+-?．即ln 10a a +-?． ………………………………………………7分 设()ln 1ln (1)g x x x x x =+-=--，由（I ）知()g x 在(0,)+?上单调递增．又(1)ln1110g =+-=，所以ln 10a a +-?的解为1a ≥． ………………………………8分 故(0,)x "??，()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[1,)+∞． ………………9分 方法2：(0,)x "??，()22f x a ≤-等价于ln 21x a x +≥+． ……………………5分 令ln 2()1x g x x +=+，则21ln 1'()(1)x x g x x --=+． ………………………………6分令1()ln 1h x x x =--，则2211(1)'()x h x x x x -+=--=． 因为当(0,)x ??，'()0h x <恒成立，所以()h x 在(0,)+?上单调递减． ………………………………7分 又(1)1ln110h =--=，可得()g x 和'()g x 在(0,)+?上的情况如下：所以()g x 在(0,)+?上的最大值为(1)111g ==+． ………………………………8分 因此(0,)x "??，()a g x ≥等价于(1)=1a g ≥．故(0,)x "??，()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[1,)+∞． …………………9分20．（本题满分9分）解：（I ） 1(2)2P ξ==． ……………………………………2分 （II ）由于012()012n E p p p n p ξ=⋅+⋅+⋅++⋅L L ，112()()2n n g x f x p p x np x -'==+++L L ，所以()g(1)E ξ=． ………………………………………………4分 由ξ的方差定义可知2220000220002222222()(())()2()(1)()2()(1)()()2()(1)()()(1)(1)(1)n n n ni i i i i i i i n n n ni i i i i i i i n i i n i i ni i D i E p i p E p E i p i i p i p E p E i p i i p E E E i i p E E i i p g g ξξξξξξξξξξξ============-⋅=⋅+⋅-⋅=-⋅+⋅+⋅-⋅=-⋅++-=-⋅+-=-⋅+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑.∑由于112g()2n n x p p x np x -=+++L L ，所以有223()232(1)n n g x p p x n n p x -'=+⨯⋅++-⋅L L ，这样232(1)232(1)(1)nn i i g p p n n p i i p ='=+⨯⋅++-=-∑L L ，所以有2()(1)(1)((1))D g g g ξ'=+-． ………………………………………………6分 （III ）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量ξ的生成的函数为：234561()()6f x x x x x x x =+++++． ………………………………7分 投掷骰子两次次对应的生成函数为: 2345621()[()]6h x x x x x x x =+++++ ． ……… 8分 所以2(2)21441h ==． ………………………………………………9分 方法2：ξ的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12． ……………………………………………7分 则ξ的分布列为………………………………8分则2345678910111212345654321()+3636363636363636363636h x x x x x x x x x x x x =+++++++++． 则4(1412328019232051276810241024)(2)36h ++++++++++= 3969=4419=． ………………………………9分。

2016-2017学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．已知a∈R，命题“∀x∈（0，+∞），等式lnx=a成立”的否定形式是（）A．∀x∈（0，+∞），等式lnx=a不成立B．∀x∈（﹣∞，0），等式lnx=a不成立C．∃x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立D．∃x0∈（﹣∞，0），等式lnx0=a不成立3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则a的值为（）A．9 B．6 C．3 D．24．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正方形，俯视图是正三角形，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．85．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥βD．若n ⊥α，则α⊥β6．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为BC的中点，则异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为（）A．2 B．C．D．7．已知A（﹣3，0），B（0，4），点P为直线y=x上一点，过A，B，P三点的圆记作圆C，则“点P为原点”是“圆C的半径取得最小值”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．点（﹣1，1）到直线x+y﹣2=0的距离为．10．双曲线的渐近线方程为．11．若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．12．已知球的体积为36π，球的表面积是．13．已知点，点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点P是该抛物线上的一个动点．若|PF|+|PM|的最小值为5，则p的值为．14．已知直线l k：y=kx+k2（k∈R），下列说法中正确的是．（注：把你认为所有正确选项的序号均填上）①l k与抛物线均相切；②l k与圆x2+（y+1）2=1均无交点；③存在直线l，使得l与l k均不相交；④对任意的i，j∈R，直线l i，l j相交．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（9分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0．求（Ⅰ）AC所在的直线方程；（Ⅱ）点B的坐标．16．（8分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，侧棱AA1⊥平面ABC，E，F分别为A1B1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：B1C1∥面BEF；（Ⅱ）过点A存在一条直线与平面BEF垂直，请你在图中画出这条直线（保留作图痕迹，不必说明理由）．17．（9分）已知圆C的圆心在直线x﹣3y=0上，且与y轴相切于点（0，1）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m=0交于A，B两点，分别连接圆心C与A，B两点，若CA⊥CB，求m的值．18．（9分）如图1，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF．（Ⅰ）证明：AF⊥BC；（Ⅱ）当∠BFC=120°时，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在线段BC上是否存在一点N，使得平面ABF⊥平面FDN？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（9分）已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）过点D（1，0）作直线l与曲线C交于P，Q两点，连接PB，QB分别与直线x=3交于M，N两点．若△BPQ和△BMN的面积相等，求直线l的方程．20．（8分）在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2）．定义：，其中α∈R+（R+表示正实数）．（Ⅰ）设A（1，1），B（2，3），求d1（A，B）和d2（A，B）的值；（Ⅱ）求证：对平面中任意两点A和B都有；（Ⅲ）设M（x，y），O为原点，记．若0＜α＜β，试写出Dα与Dβ的关系（只需写出结论，不必证明）．2016-2017学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=，θ∈[0°，180°）．即可得出．【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=，θ∈[0°，180°）．∴θ=60°，故选：B．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知a∈R，命题“∀x∈（0，+∞），等式lnx=a成立”的否定形式是（）A．∀x∈（0，+∞），等式lnx=a不成立B．∀x∈（﹣∞，0），等式lnx=a不成立C．∃x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立D．∃x0∈（﹣∞，0），等式lnx0=a不成立【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：∃x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则a的值为（）A．9 B．6 C．3 D．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的离心率，列出方程求解即可．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆，可得c=，离心率为，可得：，解得a=3．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．4．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正方形，俯视图是正三角形，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．8【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，底面是一个边长为2的等边三角形，故底面面积S==，高h=2，故体积V=Sh=2，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥βD．若n ⊥α，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若α⊥β，则m、n位置关系不定，不正确；对于B，若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；对于C，若m⊥n，则α、β位置关系不定，不正确；对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．故选D．【点评】本题考查了空间线面、面面平行和垂直关系，面面平行的判定定理，线面垂直的定义及其应用，空间想象能力6．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为BC的中点，则异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为（）A．2 B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D原点，DA为x轴，AC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出异面直线A1E与D1C1所成角的正切值．【解答】解：以D原点，DA为x轴，AC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，设=1，则A1（1，0，2），E（，1，0），C1（0，1，2），D1（0，0，2），=（﹣，1，﹣2），=（0，1，0），设异面直线A1E与D1C1所成角为θ，则cosθ===，sinθ==，∴tanθ==．∴异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．7．已知A（﹣3，0），B（0，4），点P为直线y=x上一点，过A，B，P三点的圆记作圆C，则“点P为原点”是“圆C的半径取得最小值”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合直线和圆的位置关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当点P为原点时，三角形AOB是直角三角形，此时AB是圆的直径，此时圆C的半径最小，即充分性成立，当C的半径取得最小值，AB是圆的直径，当以AB为直径的圆和直线y=x相切时，切点不是O，即必要性不成立，则点P为原点”是“圆C的半径取得最小值”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆的位置关系是解决本题的关键．8．图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由已知可得：捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，进而得到答案．【解答】解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，故选：B【点评】本题考查的知识点是函数的图象，复变函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．点（﹣1，1）到直线x+y﹣2=0的距离为．【考点】点到直线的距离公式．【分析】利用点到直线的距离公式求解．【解答】解：点（﹣1，1）到直线x+y﹣2=0的距离为d==，故答案为．【点评】本题考查点到直线的距离公式的求法，是基础题．10．双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想11．若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为3．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C 时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即C（3，0）此时z=3+2×0=3．故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．12．已知球的体积为36π，球的表面积是36π．【考点】球的体积和表面积．【分析】通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：因为球的体积为36π，所以=36π，球的半径为：r=3，所以球的表面积为：4π×32=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力．13．已知点，点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点P是该抛物线上的一个动点．若|PF|+|PM|的最小值为5，则p的值为2或6．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】分类讨论，利用|PF|+|PM|的最小值为5，求出p的值．【解答】解：M在抛物线的内部时，∵抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，∴|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离≤M到到准线的距离l=2+=5，解得p=6，M在抛物线的外部时，|MF|=5，=5，∴p=2综上所述，p=2或6．故答案为：2或6．【点评】本题考查抛物线的方程与定义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．14．已知直线l k：y=kx+k2（k∈R），下列说法中正确的是①③④．（注：把你认为所有正确选项的序号均填上）①l k与抛物线均相切；②l k与圆x2+（y+1）2=1均无交点；③存在直线l，使得l与l k均不相交；④对任意的i，j∈R，直线l i，l j相交．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中直线l k：y=kx+k2（k∈R），逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：由得：，由△=0恒成立，可得方程组恒有一解，即l k与抛物线均相切，故①正确；圆x2+（y+1）2=1的圆心（0，﹣1）到直线l k：y=kx+k2的距离d==≥1恒成立，当且仅当k=0时，l k与圆x2+（y+1）2=1相切，故②错误；存在直线l：y=x+1，y=﹣x+1，y=0，与直线l k：y=kx+k2（k∈R）均不相交，故③正确；对任意的i，j∈R，直线l i，l j的斜率不相等，两直线必相交，故④正确；故答案为：①③④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系等知识点，难度中档．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y ﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0．求（Ⅰ）AC所在的直线方程；（Ⅱ）点B的坐标．【考点】直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）设AC所在的直线方程为2x+y+t=0，代入A（5，1），即可AC 所在的直线方程；（Ⅱ）设B（x0，y0），则AB的中点为．联立方程组，即可求出点B的坐标．【解答】解：（Ⅰ）因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线方程为2x+y+t=0．把A（5，1）代入直线方程为2x+y+t=0，解得t=﹣11．所以AC所在的直线方程为2x+y﹣11=0．…（Ⅱ）设B（x0，y0），则AB的中点为．联立方程组化简得解得即B（﹣1，﹣3）．…（9分）【点评】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．16．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，侧棱AA1⊥平面ABC，E，F分别为A1B1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：B1C1∥面BEF；（Ⅱ）过点A存在一条直线与平面BEF垂直，请你在图中画出这条直线（保留作图痕迹，不必说明理由）．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用已知及三角形的中位线定理可证EF∥B1C1，进而利用线面平行的判定定理即可得证．（Ⅱ）利用线面垂直的性质及判定定理即可作图得解．【解答】（本题满分8分）证明：（Ⅰ）∵E，F分别为A1B1，A1C1的中点，∴EF∥B1C1．又∵EF⊂面BEF，B1C1⊄面BEF，∴B1C1∥面BEF．…（Ⅱ）作图如下：…（8分）【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，线面平行的判定定理，线面垂直的性质及判定定理的综合应用，考查了数形结合思想，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17．已知圆C的圆心在直线x﹣3y=0上，且与y轴相切于点（0，1）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m=0交于A，B两点，分别连接圆心C与A，B两点，若CA⊥CB，求m的值．【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，b），推出a=3b．利用切点坐标，求出圆心与半径，然后求出圆的方程．（Ⅱ）判断△ABC为等腰直角三角形．利用点到直线的距离公式化简求解即可．【解答】（本题满分9分）解：（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，b），圆C的圆心在直线x﹣3y=0上，所以a=3b．因为圆与y轴相切于点（0，1），则b=1，r=|a﹣0|．所以圆C的圆心坐标为（3，1），r=3．则圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．…（Ⅱ）因为CA⊥CB，|CA|=|CB|=r，所以△ABC为等腰直角三角形．因为|CA|=|CB|=r=3，则圆心C到直线l的距离．则，求得m=1或﹣5．…（9分）【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．18．如图1，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．将△ABF 沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF．（Ⅰ）证明：AF⊥BC；（Ⅱ）当∠BFC=120°时，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在线段BC上是否存在一点N，使得平面ABF⊥平面FDN？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）推导出AF⊥BF，AF⊥FC．由此能证明AF⊥BC．（II）以点F为原点，在平面BCF内过点F作FC的垂线作为x轴，FC为y轴，FA为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣F的余弦值．（III）在平面BCF内，过F作FN⊥BF交BC于N，推导出AF⊥FN，从而FN⊥面ABF，进而面ABF⊥面DFN．由此能求出在线段BC上存在一点N，满足面ABF⊥面DFN，且．【解答】（本题满分9分）证明：（Ⅰ）∵等边△ABC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．即AF⊥BF，AF⊥FC．又∵BF∩FC=F，∴AF⊥面BCF．又∵BC⊂面BCF，∴AF⊥BC．…解：（II）如图，以点F为原点，在平面BCF内过点F作FC的垂线作为x轴，FC为y轴，FA为z轴，建立空间直角坐标系．设FC=2，则有F（0，0，0），，，C（0，2，0），∴，．∴，，，．设平面DEF的法向量为=（x1，y1，z1），因此，即，令z1=1，则=（﹣3，﹣，1）．设平面ADE的法向量为=（x2，y2，z2），因此有，即，令z2=1，则=（3，，1）．∴cos＜＞===﹣．∴二面角A﹣DE﹣F的余弦值为．…（6分）（III）在线段BC上存在一点N，满足面ABF⊥面DFN，且．证明如下：在平面BCF内，过F作FN⊥BF交BC于N，∵AF⊥面BCF，FN⊂面BCF，∴AF⊥FN．又∵FN⊥BF，AF∩BF=F，∴FN⊥面ABF．又∵FN⊂面DFN，∴面ABF⊥面DFN．设FN=a，∵∠BFC=120°，BF=FC，∴∠FBC=∠FCB=30°．又∵FN⊥BF，∴BN=2a．∵∠NFC=∠FCN=30°，∴FN=NC=a．∴BC=3a．∴．…（9分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的位置的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）过点D（1，0）作直线l与曲线C交于P，Q两点，连接PB，QB分别与直线x=3交于M，N两点．若△BPQ和△BMN的面积相等，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），求出直线的斜率，利用斜率乘积，化简求解即可．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=1，求出两个三角形的面积，判断相等，当直线l的斜率存在时，法1：设直线的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立直线与椭圆方程，求出M，N坐标，通过△BPQ和△BMN的面积不相等，推出结果．法2：设直线的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立直线与椭=S△BMN，得到．推出﹣1=0．说明△BPQ和△BMN 圆方程，通过S△BPQ的面积不相等．【解答】（本题满分9分）解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），则，．∵，∴．化简得曲线C的轨迹方程为．…（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=1，则．直线PB的方程为，解得．直线QB的方程为，解得．则，．此时△BPQ和△BMN的面积相等…（6分）当直线l的斜率存在时，法1：设直线的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.，．直线PB的方程为，求得．直线QB的方程为，求得．，．=S△BMN，则（2﹣x1）（2﹣x2）=1，即x1x2﹣2（x1+x2）+3=0．若S△BPQ∴，化简得﹣1=0．此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面积不相等综上，直线l的方程为x=1．…（9分）法2：设直线的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.，．，，=S△BMN，因为∠PBQ=∠MBN，S△BPQ所以|BQ||BP|=|BM||BN|，即．则有，化简得x1x2﹣2（x1+x2）+3=0．∴，化简得﹣1=0．此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面积不相等综上，直线l的方程为x=1．…（9分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20．在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2）．定义：，其中α∈R+（R+表示正实数）．（Ⅰ）设A（1，1），B（2，3），求d1（A，B）和d2（A，B）的值；（Ⅱ）求证：对平面中任意两点A和B都有；（Ⅲ）设M（x，y），O为原点，记．若0＜α＜β，试写出Dα与Dβ的关系（只需写出结论，不必证明）．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（Ⅰ）dα（A，B）的定义代入即可得出．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则d1（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，．通过计算展开即可证明．（Ⅲ）Dα⊂Dβ真子集．任取（x0，y0）∈Dα，．对x0，y0分类讨论，即可证明．【解答】（Ⅰ）解：d1（A，B）=|1﹣2|+|1﹣3|=3，d2（A，B）===．（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则d1（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，．=．=．所以d2（A，B）≤d1（A，B）成立．因为，所以===．所以成立．（Ⅲ）Dα⊂Dβ真子集．证明如下：任取（x0，y0）∈Dα，．当x0=1，y0=0时，dα（M，O）=0，dβ（M，O）=0，此时Dα⊆Dβ．当|x0|=1，|y0|=0时，，dβ（M，O）=1．此时Dα⊆Dβ．同理可得，当|x0|=0，|y0|=1时，Dα⊆Dβ．当|x0|≠1，|y0|≠1时，因为，所以．又因为0＜α＜β，所以．此时Dα⊆Dβ．反之不成立．所以Dα⊂Dβ．【点评】本题考查了新定义、集合之间的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

北京市第二十四中学2016-2017学年度第一学期高二年级理科数学学科期中考试试卷一、选择题1．体积为的球的内接正方体的棱长为（ ）．AB ．2CD【答案】B【解析】设球的半径为R，由34π3R =得R =设球的内接正方体的棱长为a=，解得2a =，故选B ．2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）．A．6B．7C．8D．7+【答案】B【解析】设三视图知：几何体是直四棱柱，且直四棱柱的侧棱长是1，其底面为直角梯形，梯形的上底为1，下底为2，直角腰为1=∴该几何体表面积1221(12113472S +=⨯⨯=+++⨯=+=+ 故选B ．3．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题，其中正确的是（ ）．①l m αβ⇒∥⊥；②l m αβ⇒⊥∥；③l m αβ⇒∥⊥；④l m αβ⇒⊥∥ A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】①中，由αβ∥，直线l ⊥平面α可得l β⊥，又m ⊂平面β，所以l m ⊥，故①正确；②中，由αβ⊥，直线l ⊥平面α可得l β∥或l β⊂，m ⊂平面β，所以l 与m 相交、平行、异面都有可能，故②错误；③中，由l m ∥，直线l ⊥平面α可得m ⊥平面α，又m ⊂平面β，所以αβ⊥，故③正确；④中，由l m ⊥，直线l ⊥平面α可得m α∥平面m α⊂，所以α与β相交、平行都有可能，故④错误； 综上所述，命题中正确的是①③， 故选：C ．4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1D C 所成的角为（ ）．俯视图侧左()视图正主()视图11111A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】如图，连接1A B ，BD ，∵11A B D C ∥， ∴1DA B ∠即异面直线1A D 和1D C 所成夹角， ∵在正方体中，各面对角线相等， ∴11A D BD A B ==， ∴1A BD △为等边三角形， ∴160DA B =︒∠，即异面直线1A D 与1D C 所成角为60︒． 故选C ．5．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是（ ）．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①项，如图，连接BC ，AD ，可知MN AD ∥，NP BD ∥，所以平面MNP ∥平面ACBD ，又因为ABC 平面ABCD ，所以AB ∥平面MNP ，故①项正确；②项，若下底面中心为O ，则NO AB ∥，NO 平面MNP N =，所以AB 与面MNP 不平行，故②项错误；C BAD C 1D 1B 1A 1A 1B 1D 1C 1D ABCMNBA P①MN BA P②M N BAP ③PA BNM④③项，如图，连接CD ，AB CD ∥，但CD 与平面MNP 相交，所以AB 与面MNP 不平行，故③项错误； ④项，如图，连接CD ，则AB CD NP ∥∥，所以AB ∥平面MNP ，故④项正确． 综上，能得出AB ∥平面MNP 的是①④，故选B ．6．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误．．的是（ ）．A ．BD ∥平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．1AC ⊥平面11CB DD ．异面直线AD 与1CB 角为60︒【答案】D【解析】A 选项，∵11BD B D ∥，∴BD ∥平面11CB D ，故A 项正确；B 选项，由正方体性质可得，AC BD ⊥，而AC 是1AC 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理知1AC BD ⊥，故B 项正确；C 选项，由三垂线定理可得11AC B C ⊥，111AC BD ⊥，∴1AC ⊥平面11CB D ，故C 项正确；D 选项，∵AD BC ∥，∴1BCB ∠即是AD 与1CB 所成角，显然145BCB =︒∠，故D 项正确．7．已知(1,2)M 、(4,3)N ，直线l 过点(2,1)P -，且与直线MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）．C D①PA BNM O ②PA BN M DC ③P AB NM D C④MNBA PB 1A 1C 1D 1C BADCBAD C 1D 1B 1A 1A ．(,3][2,)-∞-+∞B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[3,2]-D ．11,,32⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】由已知可得：12321kPM --==--，13224kPN --==-， 若直线l 与MN 有交点，则2k ≥或3k -≤， 所以直线l 的斜率k 的取值范围是(,3][2,)-∞-+∞， 故选A ．8．已知直线1:210l x ay =-=与2:(21)10l a x ay ---=平行，则a 的值是（ ）．A ．0或1B ．1或14C ．0或14D ．14【答案】C【解析】当0a =时，两直线的斜率都不存在，满足题意，当0a ≠时，1212a a a --=，解得14a =， 综上，0a =或14，故选C ．9．经过两直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且和原点相距为1的直线的条数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由方程组310030x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得两条直线的交点为(1,3)A ，当直线的斜率不存在时，直线的方程为1x =，符合题意，当直线的斜率不存在时，设所求直线的方程为：3(1)y k x -=-， 即30kx y k --+=， 1=，解得：43k =，直线方程为：4350x y -+=． 故所求直线方程为：4350x y -+=或1x =．∴满足条件的直线有2条，故选C ．10．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为（ ）．A ．22(2)1x y +-=B ．22(2)1x y ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=【答案】A【解析】∵圆心在y 轴上，半径为1， ∴设圆的方程为22()1x y b +-=， ∵圆过点(1,2)，∴将(1,2)代入圆的方程得21(2)1b +-=，解得：2b =， 则所求圆的方程为22(2)1x y +-=，故选A ．11．已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的方程是（ ）．A ．22(1)2x y ++=B ．22(1)8x y ++=C ．22(1)2x y -+=D ．22(1)8x y -+=【答案】A【解析】∵圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点， ∴令10x y -+=中0y =，得1x =-，即圆心为(1,0)-， ∵圆C 与直线30x y ++=相切，∴圆心C 的到直线30x y ++=的距离d r =，即r =∴圆C 的方程是22(1)2x y ++=， 故选A ．12．已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）．A ．22(1)(1)1x y -++=B ．22(2)(2)1x y ++-=C ．22(1)(1)1x y ++-=D ．22(2)(2)1x y -++=【答案】D【解析】由题，圆2C 的圆心与圆1C 的圆心关于直线10x y --=对称， 则圆2C 的半径为1，1C 的圆心为(1,1)-，设2C 的圆心为(,)a b ，则 111022111a bb a -++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩， 所以圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=，故选D ．二、填空题（每小题3分，共24分）13．已知直线a ，b 和平面α，且a b ⊥，a α⊥，则b 与α的位置关系是__________． 【答案】b α∥或b α⊂【解析】由线面的位置关系可知当a b ⊥，a α⊥时， b α∥或b α⊂． 14．如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB CD ∥，1AB =，3AD =，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC =︒∠的点E 的个数是__________．【答案】2 【解析】连结BE ，∵SB ⊥底面ABCD ，90SEC =︒∠， ∴CE SB ⊥，CE SE ⊥， ∴CE ⊥平面SBE 从而CE BE ⊥． 故问题转化为在梯形ABCD 中， 点E 是线段AD 上的动点， 求满足BE CE ⊥的点E 的个数， 设AE x =，则3DE x =-，∵AB AD ⊥，AB CD ∥，1AB =，3AD =，2CD =．∴221014(3)x x =+++-，化简得2320x x -+=，解得1x =或2x =，故满足BE CE ⊥的点E 的个数是2，即满足90SEC =︒∠的点E 的个数是2．15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB =︒∠，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是__________．【解析】∵11AC AC ∥，∴11BA C ∠（或其补角）就是异面直线1A B 与AC 所成的角， 在11BA C △中，1A B =111A C =，1BC =∴222111111111cos 2A B AC BC BAC A B AC +-===⋅∠16．直线l 经过(2,1)A 、2(1,)()B m m ∈R 两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是__________．SE CBA DABC C 1B 1A 1【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【解析】221tan 1112m k m α-===--≤，所以ππ0,,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．17．直线l 经过点(5,4)P --，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为__________． 【答案】25100x y --=或85200x y -+= 【解析】设直线l 的方程为1x ya b+=， ∵直线l 经过点(5,4)P --， ∴将点(5,4)P --代入可得：541a b --+=，又1||52ab =， 联立5411||52a bab ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得52a b =⎧⎨=-⎩或524a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线l 的方程为152x y+=-或1542x y+=-，即25100x y --=或85200x y -+=．18．以点(2,2)-为圆心并且与圆222410x y x y ++-+=相外切的圆的方程是__________． 【答案】22(2)(2)9x y -++=【解析】设所求圆的方程为222(2)(2)(0)x y r r -++=>，∵该圆与圆222410x y x y ++-+=，即22(1)(2)4x y ++-=相外切， ∴圆心距2d r +，解得：3r =， 故所求圆的方程为：22(2)(2)9x y -++=．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是__________． 【答案】(13,13)-【解析】∵圆224x y +=的半径是2，圆上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1， ∴坐标原点(0,0)到直线1250x y c -+=的距离小于1，1<，∴||13c<，解得1313c-<<，故C的取值范围是(13,13)-．20．已知圆22:430C x y x+-+=，则圆心C的坐标是__________；若直线1y kx=-与圆C有两个不同的交点，则k的取值范围是__________．【答案】(2,0)；40,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】圆22:430C x y x+-+=化为标准方程是22(2)1x y-+=，∴圆心C的坐标是(2,0)，又∵直线1y kx=-与圆C有两个不同的交点，∴圆心(2,0)到直线10kx y--=的距离d r<，1<，解得：43k<<，故k的取值范围是40,3⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题（共40分）21．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，AB AC=，点D、E分别是BC和11B C的中点．求证：（1）1A B∥平面1ADC．（2）平面1A BE⊥平面11BCC B．【答案】见解析【解析】（1）证明：连结1A C交1AC于O，则O是1A C中点，连接OD，∵在1A BC△中，点D是BC的中点，O是1A C的中点，∴1A B OD∥，∵ODC平面1ADC，1A B⊄平面1ADC;∴1A B∥平面1ADC．（2）证明：由直三棱柱的性质可知1C C⊥，平面111A B C，∵1A E⊂平面111A B C，∴11A E C C⊥，又∵AB AC=，E是11B C的中点，∴111A EB C⊥，A1B1C1ECBAD∴1111B C C C C =，∵1A E ⊥平面11BCC B ， 又1A E ⊂平面1A BE ， ∴平面1A BE ⊥平面11BCC B ．22．直线1:40l x y +-=与直线2:20l x y -+=相交于点P ． 求：（1）经过点(1,2)M 和点P 的直线方程． （2）过点P 与直线210x y --=垂直的直线方程． 【答案】见解析【解析】联立4020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，即点(1,3)P ．∵直线过(1,2)M 和点(1,3)P ，故直线方程为1x =．（2）设与直线210x y --=垂直的直线方程为20x y c ++=， 将(1,3)P 代入得10b c ++=，解得7c =-，故过点P 且与直线210x y --=垂直的直线方程为：270x y +-=．23．已知圆22:2430C x y x y ++-+=．（1）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程． （2）求经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程． 【答案】见解析【解析】（1）已知圆22:2430C x y x y ++-+=化为标准方程为：22(1)(2)2x y ++-=， 圆心为(1,2)-l 不过原点， 且在x 轴，y 轴上的截距相等， 故可设直线方程为0x y a ++=，=1a =或3a =-，故直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=．（2）若直线被圆截得的线段长为2，则圆心到直线的距离1d =， 又直线过原点(0,0)，①当斜率不存在时，直线为0x =，符合题意； ②当斜率存在时，设直线为y kx =，即0kx y -=．ODABC EC 1B 1A 1圆心(1,2)-到直线距离1d ==，解得：34k =-，∴直线方程为：34k x =-．综上所述，经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程为：0x =或34y x =-．24．如图，已知一四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC ⊥底面ABCD ，且2PC =，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P ABCD -的体积． （2）证明：BD AE ⊥．（3）求二面角P BD C --的正切值． 【答案】见解析【解析】（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形， 且侧棱PC ⊥底面ABCD ，2PC =，所以11212333P ABCD ABCD V S PC -=⋅=⨯⨯=．（2）连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥， 又∵PC ⊥底面ABCD ，BDC 平面ABCD ， ∴BD PC ⊥， ∴BD ⊥平面PAC ， 又∵AE ⊂平面PAC ， ∴BD AE ⊥．（3）设AC ，BD 相交于O ，连PO ， 由（2）知，BD ⊥平面PAC ，∴BD PO ⊥，又BD AC ⊥，∴POC ∠是=面角P BD C --的一个平面角．所以tan PC POC OC ===∠， 即=面角P BD C --的正切值为ECBAP D（第25题1班学生必做！）25．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切． （1）求圆的方程．（2）设直线50ax y -+=与圆相交于A 、B 两点，求实数a 的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】（1）设圆心为(,0)m ，因为圆与直线43290x y +-=相切，且半径是5，所以圆心到直线距离d 等于半径， 即|429|55m -=，解得：272m =（舍去）或1m =． 故所求圆的方程是22(1)25x y -+=．（2）因为直线50ax y -+=与圆相交于A 、B 两点，所以圆心到直线的距离小于半径，5<，化简得：21250a a ->，∴0a <或512a >． 故实数a 的取值范围是5(,0),12⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭． （3）设符合条件的实数a 存在，由（2）得0a ≠，则直线l 的斜率为1a-， ∴l 的方程为1(2)4y x a=-++，即240x ay a ++-=， ∵l 垂直平分弦AB ，故圆心(1,0)必在l 上，∴1240a +-=，解得：34a =． ∵35,412⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭， 故存在实数34a =，使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ． ODPA B CE。

北京市第一七一中学2016-2017学年度第一学期高二年级数学（理）期中考试试题 （考试时间：100分钟总分：100分）一、选择题：1．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由于几何体是正四棱锥，所以俯视图是正方形，又因为有四条可以看见的棱，所以正方形中还有表示棱的线段，故选D ．2．原点到直线250x y +-=的距离为（ ）．A ．1BC ．2D【答案】D【解析】d ==D ．3．正方体的表面积与其外接球表面积的比为（ ）．A ．3:πB ．2:πC ．1:2πD ．1:3π【答案】B【解析】设正方体的棱长为a ，则正方体的表面积216S a =， 由正方体的体对角线就是其外接球的直径可知：2R =，即R =， 所以外接球的表面积：2224π3πS R a ==，故正方体的表面积与其外接球的表面积的比为：226:3π2:πa a =． 故选B ．4．如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则（ ）．A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<【答案】A【解析】由图可知：10k <，20k >，30k >，且直线3l 的倾斜角大于直线2l 的倾斜角，所以32k k >，综上可知：123k k k <<，故选A ．5．平面α平面l β=，点A α∈，B α∈，C β∈，C l ∉，有AB l R =，过A ，B ，C 确定的平面记为γ，则βγ是（ ）．A ．直线ACB ．直线BCC ．直线CRD ．以上都不对【答案】C【解析】∵AB l R =， ∴R l ∈，R AB ∈，又l αβ=， ∴l β⊂， ∴R β∈，R γ∈， 又∵C β∈，C γ∈， ∴CR βγ=，故选C ．6．对于平面α和异面直线m ，n ，下列命题中真命题是（ ）．A ．存在平面α，使m α⊥，n α⊥B ．存在平面α，使m α⊂，n α⊂C ．存在平面α，满足m α⊥，n α∥D ．存在平面α，满足m α∥，n α∥【答案】D【解析】A 选项，如果存在平面α，使m α⊥，n α⊥，则m n ∥，与m ，n 是异面直线矛盾，故A 不成立；B 选项，如果存在平面α，使m α⊂，则m ，n 共面，与m ，n 是异面直线矛盾，故B 不成立；C 选项，存在平面α，满足m α⊥，n α∥，则m n ⊥，因为m ，n 是任意两条异面直线，不一定满足m n ⊥，故C 不成立；D 选项，存在平面α，使m α∥，n α∥，故D 成立． 综上所述，故选D ．7．直线cos 0x m θ⋅+=的倾斜角范围是（ ）．A ．πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】设直线的倾斜角为α，则tanαθ=， ∵1cos 1θ-≤≤，∴θ即：tan α，∴π5π0,,π66θ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选B ．8．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）．A ．8B ．C ．10D ．【答案】C 【解析】在正方体中画出该三棱锥，如图所示：易知：各个面均是直角三角形，且4AB =，14AA =，3BC =，∴6ABC S =△，18A AB S =△，110A AC S =△，1A BC S =△，所以四个面中面积最大的是10，故选C ．9．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则ab 的取值范围是（ ）．A ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,8⎛⎤⎥⎝⎦C ．(0,8]D ．[8,)+∞【答案】D【解析】由圆的方程224280x y x y +---=，得圆心坐标为：(2,1)，因直线1(0,0)x y a b a b +=>>始终平分圆的周长，则直线1x ya b +=必过点(2,1)， ∴211a b +=，∴21a b +≥∴1≥8ab ≥，当且仅当2112a b ==时，等号成立， ∴ab 的取值范围是：[8,)+∞，故选D ．10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若1EF =，1A E x =，DQ y =，DP z =（x ，y ，z 大于零），则四面体PEFQ 的面积（ ）．A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关【答案】D 【解析】如图：EF 在棱11A B 上，Q 在棱CD 上，11A B CD ∥，所以QEF △的高为定值，又EF 为定值1，所以QEF △的面积为定值，四面体PEFQ 的体积与点P 到平面EFQ 的距离有关，即与DP 的大小有关，故选D ．二、填空题：11．已知圆22:4C x y +=，则过点(2,0)P 的圆的切线方程是__________． 【答案】20x -=【解析】∵点(2,0)P 在圆22:4C x y +=上，且0CP k =， ∴过点(2,0)P 的且切线斜率不存在，故切线方程是：20x -=．12．直线(21)(3)110()k x k y k k --+-+=∈R 所经过的顶点坐标为__________． 【答案】(2,3)【解析】把(21)(3)110k x k y k --+-+=整理后得：(21)(311)0k x y x y ---+-=， ∴2103110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，故直线(21)(3)110k x k y k --+-+=恒过定点(2,3)．13．已知1F ，2F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则1AF B △周长为__________． 【答案】16【解析】由椭圆221169x y +=，可得：4a =． 1AF B △的周长111212||||||||||||||416AF BF AB AF AF BF BF a =++=+++==．14．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是__________． 【答案】56【解析】111115818322226V V -=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥．【注意有文字】15．在三棱锥P ABC -中，已知2PA PB PC ===，30BPA BPC CPA ∠=∠=∠=︒，从A 点绕三棱锥侧面一周回到点A 的距离中，最短距离是__________．【答案】【解析】将三棱锥P ABC -沿PA 展开，如图所示： 由题意可知：2PA PA '==，90APA '∠=︒， ∴AA '=即从A 点绕三棱锥侧面一周回到点A 的距离中，最短距离是16．二面角l αβ--的大小是60︒，线段AB α⊂，B l ∈，AB 与l 所成的角45︒，则AB 与平面β所成的角的正弦值是__________．【解析】过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在α内作AD l ⊥，垂足为D ，连接CD ， 则ADC ∠即是二面角l αβ--的平面角， ∴60ADC ∠=︒，设AD x =，则BD x =，AB =，12CD x =，AC ，∴sin AC ABC AB ∠=== 即AB 与平面β三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面11CB D ． （Ⅱ）求证：平面11CAAC ⊥平面11CB D ．（Ⅲ）若正方体棱长为2，求三棱锥11A EFB -的体积．【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）证明：连接BD ， ∵11BB DD ∥且11BB DD =， ∴四边形11BB D D 是平行四边形， ∴11BD B D ∥．又∵E 、F 分别是AD ，AB 的中点， ∴EF BD ∥， ∴11EF B D ∥，又∵EF ⊄平面11CB D ，11B D ⊂平面1CBD ， ∴EF ∥平面11CB D ．（Ⅱ）证明：在正方体1111ABCD A B C D -中， ∵1AA ⊥平面1111A B C D ， ∴111AA B D ⊥，又∵四边形ABCD 是正方形， ∴1111B D AC ⊥， ∴11B D ⊥平面11CAAC ， 又∵11B D ⊂平面11CB D ， ∴平面11CAAC ⊥平面11CB D ．（Ⅲ）11111112A EFB E A B F A B F V V S AE --==⨯△，∵111111122222A B F S A B AA =⨯⨯=⨯⨯=△，∴11122133A EFB V -=⨯⨯=．18．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ． （Ⅱ）求二面角F BE D --的余弦值．（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥，又∵ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥， ∵BD DE D =， ∴AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ）∵DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系D xyz -， ∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴EDDB由3AD =，可知：DE =，AF ．则(3,0,0)A ，F ，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,BF =-，(3,0,EF =-， 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3030y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令z (4,2,6)n =．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，∴(3,3,0)CA =-，所以cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅==．因为二面角为锐角，故二面角F BE D --． （Ⅲ）依题意得，设(,,0)(0)M t t t >， 则(3,,0)AM t t =-， ∵AM ∥平面BEF ，∴0AM n ⋅=，即4(0)20t t -+=，解得：2t =， ∴点M 的坐标为(2,2,0)，此时23DM DB =，∴点M 是线段BD 靠近B 点的三等分点．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其长轴为4，短轴为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，及离心率．（Ⅱ）直线l 经过定点(0,2)，且与椭圆C 交于A ，B两点，求OAB △面积的最大值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2a =，1b =，c =∴椭圆C 的方程为：2214x y +=，离心率：c e a ==．（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为：2y kx =+， 由22442x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，得22(41)16120k x kx +++=， 222(16)4(41)1216(43)k k k ∆=-+⨯=-，由0∆>得：2430k ->， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221641k x x k -+=+，1221241x x k =+， ||AB =， 又∵原点O到直线的距离d =∴1||2OAB S AB d=⨯=△41=．当且仅当22164343k k -=-，即2434k -=时，等号成立， 此时OAB △面积的最大值为1．。

2017北京市东直门中学高三（上）期中数 学（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．设集合{}|1P x x =>，{}2|0Q x x x =−>，则下列结论正确的是（ ）．A ．P Q =B ．P Q =RC ．Q P ÜD ．P Q Ü 2．复数z 满足i 3i z ⋅=−，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（ ）．A ．||||a b =B ．22a b ⋅=C ．()a b b −⊥D ．a b4．设函数π()sin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（ ）．A ．函数()f x 满足π()2f x f x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭B ．图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移π3个单位得到 D ．函数()f x 在区间ππ,122⎛⎫− ⎪⎝⎭上是增函数5．在ABC 中，π4A =，2BC =，则“3AC =”是“π3B =”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数x y a =，b y x =，log c y x =的图象如图所示，则（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．已知函数,0,(),0.x x f x x x −<⎧⎪=⎨⎪⎩≥若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB '，DD '交于M ，N ，设BM x =，(0,1)x ∈，给出以下四个命题：①四边形MENF 为平行四边形；②若四边形MENF 面积()S f x =，(0,1)x ∈，则()f x 有最小值； ③若四棱锥A MENF −的体积()V p x =，(0,1)x ∈，则()p x 是常函数； ④若多面体ABCD MENF −的体积()V h x =，1,12x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为单调函数．其中假命题．．．为（ ）． A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9．已知命题:0p c ∃>，方程20x x c −+=有解，则p ⌝为__________． 10．已知π02α−<<，且4cos 5α=，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于__________．11．若||3a =，||2b =，且a 与b 的夹角为π3，则||a b −=__________． 12．ππ(sin )d x x x −+=⎰__________． 13．如图，11AB C ，122C B C ，233C B C 是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边33B C 上有2个不同的点1P ，2P ，则212()AB AP AP ⋅+=__________．14．已知函数()f x 的定义域为R ，a ∀，b ∈R ，若此函数同时满足： ①当0a b +=时有()()0f a f b +=；②当0a b +>时有()()0f a f b +>，则称函数()f x 为Ω函数． 在下列函数中：①sin y x x =+；②133xx y ⎛⎫=− ⎪⎝⎭；③0,01,0x y x x=⎧⎪=⎨−≠⎪⎩是Ω函数的为__________（填出所有符合条件的函数序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分） 已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+−，x ∈R ． （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间．如图所示，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，3cos 3B =．（1）求ACD 的面积．（2）若23BC =，求AB 的长．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下， 手机编号1234 5 6 7 A 型待机时间（h ） 120 125 122 124 124 123 123 B 型待机时间（h ） 118 123 127 120 124 a b其中，a ，b 是正整数，且a b <．（1）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数．（2）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列及其数学期望．（3）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，且AF BE ，AB BE ⊥，平面ABCD平面ABEF AB =，22AB BE AF ===．（1）求证：AC 平面DEF ．（2）若二面角D AB E −−为直二面角， （i ）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小．（ii ）棱DE 上是否存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ？若存在，求出DPDE的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分） 已知函数2()e ()x f x x ax a =++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程． （2）求()f x 的单调区间．（3）求证：当4a ≥时，函数()f x 存在最小值．20．（本小题满分13分） 已知集合{}123,,,,n A a a a a =，其中i a ∈R ，1i n ≤≤，2n >．()l A 表示(1)i j a a i j n +<≤≤中所有不同值的个数．（1）设集合{}2,4,6,8P =，{}2,4,8,16Q =，分别求()l P 和()l Q ． （2）若集合{}2,4,8,,2n A =，求证：(1)()2n n l A −=． （3）()l A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1． 【答案】D【解析】∵集合{}|1P x x =>，集合{}{2|0|0Q x x x x x =−>=<或}1x >，∴P Q Ü． 故选D ． 2． 【答案】C【解析】∵i 3i z ⋅=−，∴223i (3i)i 3i i 13i 1i 1z −−−====−−−， ∴其对应的点是(1,3)−−，位于第三象限． 故选C ． 3． 【答案】C【解析】由平面向量(2,0)a =，(1,1)b =知： 在A 中，||2a =，||2b =， ∴||||a b ≠，故A 错误； 在B 中，2a b ⋅=，故B 错误； 在C 中，(1,1)a b −=−， ∴()110a b b −⋅=−=， ∴()a b b −⊥，故C 正确； 在D 中，∵2011≠， ∴a 与b 不平行，故D 错误． 综上所述． 故选C ． 4 【答案】B【解析】A 项．∵π()sin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，∴πππsin 2πsin 2()233f x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−−=−−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；B 项．∵πππsin 2sin 00663f ⎛⎫⎛⎫=⨯−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 的图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确；∴()f x 的图象C 由函数()sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位得到，故C 错误； D 项，当ππ,122x ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，ππ2π2,323x ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，∴函数()f x 在区间ππ,122⎛⎫− ⎪⎝⎭上先增后减，故D 错误．5． 【答案】B【解析】由正弦定理可得sin sin AC BCB A=， ∴若π3B =，则2ππsin sin 34AC =，得π2sin33πsin 4AC ==，必要性成立；若3AC =，则32πsin sin 4B =，得π3sin34sin 22B ==，π3B =或2π3，充分性不成立， ∴“3AC =”是“π3B =”的必要不充分条件． 故选B ． 6． 【答案】C【解析】根据函数的图象知，函数x y a =是指数函数， 且当1x =时，(1,2)y a =∈；函数b y x =是幂函数，且2x =时，2(1,2)b y =∈， ∴(0,1)b ∈；函数log c y x =是对数函数，且当2x =时，log 2(0,1)c y =∈， ∴2c >．综上所述，a ，b ，c 的大小是c a b >>． 故选C ． 7． 【答案】D【解析】作出函数()y f x =的图象，如图所示，作出函数(1)y a x =+， 则直线恒过点(1,0)−，关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根， 即为直线与曲线y x =相交时， 当()f x 的图象有三个交点，当直线与曲线y x =相切时，设切点为(,)m m ， 则112y x'=⋅， 则切线斜率为112a m⋅=， 又(1)a m m +=， 由此解得12a =（负值舍去）， 所以实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 8． 【答案】D【解析】对于①，∵平面ADD A ''平面BCC B ''， ∴ENMF ，同理：FNEM ，∴四边形MENF 为平行四边形，故①正确；对于②，四边形MENF 的面积1()()2S f x EF MN ==⨯，当M 为BB '的中点时，即12x =时，MN 最短， 此时面积最小，故②正确； 对于③，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEF 为底，以M ，N 为顶点的两个小棱锥， 因为AEF 的面积是个常数，M ，N 到平面AEF 的距离和是个常数，所以四棱锥C MENF '−的体积()V P x =是常函数，故③正确；对于④，多面体ABCD MENF −的体积11()22ABCD A B C D V h x V ''''−===为常数函数，故④错误．综上所述，假命题为④． 故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分 9．【答案】0c ∀>，方程20x x c −+=无解【解析】在否定特称命题时，需将存在量词改为全称量词，同时否定结论， 故命题:0p c ∃>，方程20x x c −+=有解，则p ⌝为：0c ∀>，方程20x x c −+=无解． 10． 【答案】17【解析】∵π02α−<<，且4cos 5α=， ∴23sin 1cos 5αα=−−=−，3tan 4α=−，∴π1tan 1tan 41tan 7ααα+⎛⎫+== ⎪−⎝⎭． 11． 【答案】7【解析】由题意可得π||||cos ,32cos 33a b a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=， ∴222||29467a b a b a b −=+−⋅=+−=， ∴||7a b −=． 12． 【答案】0【解析】π2π22ππ111(sin )d cos πcos ππcos(π)0222x x x x x −−⎛⎫⎛⎫+=−=−−−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰． 13． 【答案】36 【解析】∵11AB C ，122C B C ，233C B C 是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，∴四边形121AC B B 为菱形， ∴21π6B AC ∠=，211AB B C ⊥， ∴213AB PC ⊥，23AB BC ⊥，∴21223313223π()(2)22236cos 366AB AP AP AB AC C P C P AB AC ⋅+=⋅++=⋅=⨯⨯⨯=． 14．【答案】①②【解析】若()f x 为Ω函数，则由0a b +=时有()()0f a f b +=可得()f x 为奇函数， 又0a b +>时，()()0f a f b +>，故a b >−时，()()f a f b >−， 即()()f a f b >−， 故()f x 为增函数，∴若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且单调递增，则函数()f x 为Ω函数． 易知，①②③都是奇函数，当sin y x x =+时，1cos 0y x '=−≥； 当133xxy ⎛⎫=− ⎪⎝⎭时，ln3(33)0x x y −'=⋅+>；∴①②都在定义域R 上单调递增； ③在定义域R 上没有单调性． 故是Ω函数的为：①②．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+−， 23sin cos 3cos 2x x x =+−， 13sin 2cos 222x x =+， πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 令πππ2π22π232k x k −++≤≤，k ∈Z ， 得5ππππ1212k x k −+≤≤，k ∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间是5πππ,π1212k k ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）由题意得，π()()sin 223g x f x x αα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，∵函数()g x 为奇函数，且x ∈R ， ∴(0)0g =，即πsin 203α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴π2π3k α+=，k ∈Z ，又∵0α>， ∴α的最小值为π3． 16．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵2C B ∠=∠，3cos 3B =， ∴21cos cos 22cos 13D B B ==−=−，222sin 1cos 3D D =−=，又∵1AD =，3CD =，∴ACD 的面积1122sin 132223S AD CD D =⋅⋅=⨯⨯⨯=． （2）在ACD 中，由余弦定理得：2222cos 12AC AD DC AD DC D =+−⋅⋅=，∴23AC =， 又∵23BC =， ∴由正弦定理得sin sin AC AB B ACB=∠， 即23sin sin(π2)ABB B =−， ∴23sin sin 2ABB B=， 即23sin 2sin cos ABB B B=，即232cos AB B =， ∴343cos 4343AB B ==⨯=． 17．【答案】见解析．【解析】解：（1）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时， 因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． （2）由题意，X 可能的取值为0，1，2，3， 4711(0)C 35P X ===， 133447C C 12(1)C 35P X ===， 223447C C 18(2)C 35P X ===， 3447C 4(3)C 35P X ===， ∴X 的分布列为： X 0123P112184数学期望1121846012()012335353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯==． （3）124a =，125b =．18．【答案】见解析．【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴D 是BD 中点，设G 是DE 的中点，连接OG ，FG ，则OG BE ，且12OG BE =， ∵四边形ABEF 为直角梯形，且AF BE ，22BE AF ==， ∴AF BE ，且12AF BE =， ∴AF OG ，且AF OG =，∴四边形AOGF 为平行四边形，∴AO FG ，即AC FG ，又∵AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ，∴AC 平面DEF ．（2）（i ）由已知，AF BE ，AB BE ⊥，∴AF AB ⊥，∵二面角D AB E −−为直二面角，∴平面ABCD ⊥平面ABEF ，∴AF ⊥平面ABCD ，∴AF AD ⊥，AF AB ⊥，又四边形ABCD 为正方形，∴AB AD ⊥，∴AD ，AB ，AF 两两垂直，以A 为原点，AD ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，由22AB BE AF ===得：(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)D ，(0,2,2)E ，(0,0,1)F ． ∴(2,2,0)AC =，(0,2,0)CD =，(2,0,2)CE =−．设平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则：00n CD n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x z −=⎧⎨+=⎩， 取1x =，则0y =，1z =−，∴(1,0,1)n =，设直线AC 与平面CDE 所成的角为θ，则有：21sin |cos ,|2222AC n θ===⨯， ∵090θ︒≤≤，∴30θ=︒，即直线AC 与平面CDE 所成角的大小为30︒．（ii ）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，设(01)DP DE λλ=≤≤，则DP DE λ=， 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =−，∵(2,2,2)DE =−，∴(2,,)(2,2,2)x y z λ−=−，∴22x λ−=−，2y λ=，2z λ=，解得22x λ=−，2y λ=，2z λ=，即P 点坐标为(22,2,2)λλλ−，∵(0,2,0)B ，∴(22,22,2)BP λλλ−−，又(2,0,1)DF =−，(0,2,1)EF =−−，∴00BP DF BP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2(22)202(22)20λλλλ−−+=⎧⎨−−−=⎩， 解得23λ=． ∵2[0,1]3∈， ∴DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =．19．【答案】见解析．【解析】解：（1）当1a =时，2()e (1)x f x x x =++，2()e (32)x f x x x '=++， ∴(0)1f =，(0)2f '=，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为：12(0)y x −=−，即21y x =+．（2）由2()e ()x f x x ax a =++得2()e [(2)2]e ()(2)x x f x x a x a x a x '=+++=++， 令()0f x '=，解得：2x =−或x a =，①当2a −=−，即2a =时，2()e (2)0x f x x '=+≥，()f x 在R 上单调递增；②当2a −>−，即2a <时，令()0f x '>，得2x <−或x a >−；令()0f x '<，得2x a −<<−，∴()f x 的单调增区间是(,2)−∞−和(,)a −+∞，单调减区间是(2,)a −−；③当2a −<−，即2a >时，令()0f x '>，得x a <−或2x >−；令()0f x '<，得2a x −<<−，∴()f x 的单调增区间是(,)a −∞−和(2,)−+∞，单调减区间是(,2)a −−．综上所述，当2a =时，函数()f x 在R 上递增；当2a <时，()f x 的单调增区间是(,2)−∞−和(,)a −+∞，单调减区间是(2,)a −−； 当2a >时，()f x 的单调增区间是(,)a −∞−和(2,)−+∞，单调减区间是(,2)a −−． （3）由（1）得：当4a ≥时，函数()f x 在[),x a ∈−+∞上有()(2)f x f −≥， 且2(2)e (4)0f a −−=−≤，∵4a ≥，∴(,)x a ∈−∞−时，()0x x a +≥，e 0x >，()e [()]0x f x x x a a =++>，∴4a ≥时，函数()f x 存在最小值(2)f −．20．【答案】见解析．【解析】解：（1）由246+=，268+=，2810+=，4610+=，4812+=，6814+=得()5l P =， 由246+=，2810+=，21618+=，4812+=，41620+=，81624+=得()6l Q =．（2）证明：∵(1)i j a a i j n +<≤≤最多有2(1)C 2n n n −=个值， ∴(1)()2n n l A −≤， 又集合{}2,4,8,,2n A =，任取i j a a +，(1,1)k l a a i j n k l n +<<≤≤≤≤，当j l ≠时，不妨设j l <，则22j i i j j l k l a a a a a a ++<=<+≤，即i j k l a a a a +≠+，当j l =，i k ≠时，i j k l a a a a +≠+，∴当且仅当i k =，j l =时，i j k l a a a a +=+，即所有(1)i j a a i j n +<≤≤的值两两不同， ∴(1)()2n n l A −=． （3）()l A 存在最小值，且最小值为23n −， 不妨设123n a a a a <<<<，可得1213121n n n n a a a a a a a a a a −+++<<+<<<<+， ∴(1)i j a a i j n +<≤≤中至少有23n −个不同的数，即()23l A n −≥， 取{}1,2,3A n =，则{}3,4,5,21i j a a n +∈−，即i j a a +的不同值共有23n −个， 故()l A 的最小值为23n −．word 下载地址。

2023-2024学年北京市东城区东直门中学高二（上）期中数学试卷一.选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分） 1．已知α∈(π2，π)，且sin α=35，则tan α＝（ ） A ．34B ．−34C ．43D ．−432．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则a 8＝（ ） A ．9B ．11C ．13D ．153．已知数列{a n }是公比为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，a 2＝2，a 4＝8，则S 7＝（ ） A ．31B ．63C ．127D ．2554．已知α，β是两个不同的平面，直线m ⊂α，下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，则m ∥β B ．若α⊥β，则m ⊥βC ．若m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥β，则α⊥β5．向量a →=（2，1，x ），b →=（2，y ，﹣1），若|a →|=√5，且a →⊥b →，则x +y 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣4D ．46．在△ABC 中，a ＝2，B =π3，△ABC 的面积等于√32，则b 等于（ ） A ．√32B ．1C ．√3D ．27．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点P(x 0，√63)，则cos2α＝（ ） A ．−13B ．±13C ．2√33D ．139．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =12，给出下列三个结论： ①AC ⊥BE ；②△AEF 的面积与△BEF 的面积相等； ③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值． 其中，所有正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．已知公差不为零的等差数列{a n }，首项a 1＝﹣7，若a 5，a 6，a 9成等比数列，记T n ＝a 1•a 2•⋯•a n （n ＝1，2，3，⋯），则数列{T n }（ ） A ．有最小项，无最大项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，无最小项D ．有最大项，有最小项11．ISO 216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A ，B 系列的纸张尺寸．设型号为A i （i ＝0，1，2，3，4，5，6）的纸张面积分别是a i （i ＝0，1，2，3，4，5，6），它们组成一个公比为12的等比数列，设型号为B i （i ＝1，2，3，4，5，6）的纸张的面积分别是b i （i ＝1，2，3，4，5，6），已知b i 2=a i−1a i (i =1，2，3，4，5，6)，则a 4b 5的值为（ ）A ．12B ．√22 C ．√2D ．212．已知数列{a n }满足a n+1=14(a n −6)3+6(n =1，2，3，⋯)，则（ ） A ．当a 1＝3时，{a n }为递减数列，且存在常数M ≤0，使得a n ＞M 恒成立 B ．当a 1＝5时，{a n }为递增数列，且存在常数M ≤6，使得a n ＜M 恒成立 C ．当a 1＝7时，{a n }为递减数列，且存在常数M ＞6，使得a n ＞M 恒成立 D ．当a 1＝9时，{a n }为递增数列，且存在常数M ＞0，使得a n ＜M 恒成立 二.填空题：（本题有6道小题，每小题5分，共30分）13．已知函数f(x)=√3sinx −cosx ，则f(π3)= ；若将f （x ）的图象向右平行移动π6个单位长度后得到g （x ）的图象，则g （x ）的一个对称中心为 ． 14．在△ABC 中，若BC =3，AC =2√6，B =2A ，则B ＝ ．15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝﹣2，且a n +1＝a n +a n +2，n ∈N *，则a 5＝ ；数列{a n }的前2023项的和为 ．16．已知平面α和三条不同的直线m ，n ，l ．给出下列六个论断：①m ⊥α；②m ∥α；③m ∥l ；④n ⊥α；⑤n ∥α；⑥n ∥l ．以其中两个论断作为条件，使得m ∥n 成立．这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）17．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a n }，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a 1＝1，a 5＝12，a 9＝192，则a 7＝ ，数列{a n }的所有项的和为 ． 18．已知函数f(x)=λsin(π2x +φ)(λ＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，A ，B 分别为图象的最高点和最低点，过A 作x 轴的垂线，交x 轴于点A '，点C 为该部分图象与x 轴的交点．将绘有该图象的纸片沿x 轴折成直二面角，如图2所示，此时|AB|=√10，则λ＝ ．给出下列四个结论： ①φ=π3；②图2中，AB →⋅AC →=5；③图2中，过线段AB 的中点且与AB 垂直的平面与x 轴交于点C ；④图2中，S 是△A 'BC 及其内部的点构成的集合．设集合T ＝{Q ∈S ||AQ |≤2}，则T 表示的区域的面积大于π4．其中所有正确结论的序号是 ． 三.解答题：（本题有6小题，共72分）19．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和．20．（10分）已知函数f （x ）＝A sin x cos x −√3cos2x 的一个零点为π6．（1）求A 和函数f （x ）的最小正周期；（2）当x ∈[0，π2]时，若f （x ）≤m 恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）在△ABC 中，2asinB =√2b ． （1）求A ；（2）若b =2√6，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC 的面积．条件①：cosC =−√1010；条件②：a ＝2；条件③：sinB =√55． 注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分．22．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2，AB ＝4，点E 在线段AB 上，且AE =34AB ． （1）求证：CE ⊥平面PBD ； （2）求二面角P ﹣CE ﹣D 的余弦值； （3）求点A 到平面PCE 的距离．23．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3． （Ⅰ）求证：AF ⊥CD ；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线CE ∥平面AFM ？若存在，求BM BD的值；若不存在，请说明理由．24．（14分）设λ为正实数，若各项均为正数的数列{a n }满足：∀n ∈N *，都有a n +1≥a n +λ．则称数列{a n }为P （λ）数列．（Ⅰ）判断以下两个数列是否为P （2）数列：数列A ：3，5，8，13，21； 数列B ：log 25，π，5，10．（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＞0且b n +1＝b n +√n +3−√n +1，是否存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若各项均为整数的数列{a n }是P （1）数列，且{a n }的前m （m ≥2）项和a 1+a 2+a 3+⋯+a m 为150，求a m +m 的最小值及取得最小值时a m 的所有可能取值．2023-2024学年北京市东城区东直门中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分） 1．已知α∈(π2，π)，且sin α=35，则tan α＝（ ） A ．34B ．−34C ．43D ．−43解：α∈(π2，π)，且sinα=35，∴cos α＜0，cos α=−√1−sin 2α=−√1−(35)2=−45， ∴tan α=sinαcosα=−34． 故选：B ．2．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则a 8＝（ ） A ．9B ．11C ．13D ．15解：在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，∴{a 1+d =1a 1+3d =5，解得a 1＝﹣1，d ＝2，则a 8＝a 1+7d ＝﹣1+14＝13． 故选：C ．3．已知数列{a n }是公比为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，a 2＝2，a 4＝8，则S 7＝（ ） A ．31B ．63C ．127D ．255解：设等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），由a 4＝a 2q 2，得8＝2q 2，解得q ＝2或q ＝﹣2（舍去），又a 1=a 2q =22=1，所以S 7=1−271−2127．故选：C ．4．已知α，β是两个不同的平面，直线m ⊂α，下列命题中正确的是（ ）A ．若α⊥β，则m ∥βB ．若α⊥β，则m ⊥βC ．若m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥β，则α⊥β解：对于选项A ：若α⊥β，则m ∥β也可能m ⊥β，故错误． 对于选项B ：若α⊥β，则m ⊥β也可能m ∥β，故错误． 对于选项C ：若m ∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误． 对于选项D ，直线m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确． 故选：D ．5．向量a →=（2，1，x ），b →=（2，y ，﹣1），若|a →|=√5，且a →⊥b →，则x +y 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣4D ．4解：向量a →=（2，1，x ），若|a →|=√5， 则√22+12+x 2=√5，解得x ＝0； 又向量b →=（2，y ，﹣1），且a →⊥b →， 则a →•b →=4+y +0＝0，解得y ＝﹣4； 所以x +y ＝﹣4． 故选：C ．6．在△ABC 中，a ＝2，B =π3，△ABC 的面积等于√32，则b 等于（ ） A ．√32B ．1C ．√3D ．2解：∵a ＝2，B =π3，△ABC 的面积等于√32=12ac sin B =12×2×c ×√32， ∴解得：c ＝1，∴由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√4+1−2×2×1×12=√3． 故选：C ．7．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为数列{a n }是公差不为0的无穷等差数列，当{a n }为递增数列时，公差d ＞0，令a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＞0，解得n ＞1−a 1d ，[1−a1d ]表示取整函数，所以存在正整数N0＝1+[1−a1d]，当n＞N0时，a n＞0，充分性成立；当n＞N0时，a n＞0，a n﹣1＜0，则d＝a n﹣a n﹣1＞0，必要性成立；是充分必要条件．故选：C．8．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点P(x0，√63)，则cos2α＝（）A．−13B．±13C．2√33D．13解：∵平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点P(x0，√63 )，∴OP2=x02+69=1，∴x0＝±√33，∴cosα＝±√33，则cos2α＝2cos2α﹣1＝2×x02−1=−1 3，故选：A．9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=12，给出下列三个结论：①AC⊥BE；②△AEF的面积与△BEF的面积相等；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值．其中，所有正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：对于①，根据题意，结合图形知，AC⊥面DD1B1B，BE⊂平面DD1B1B，∴AC⊥BE，命题①正确；对于②，∵点B到直线EF的距离与点A到直线EF的距离不相等，∴△AEF与△BEF的面积不相等，命题②错误；对于③，三棱锥A ﹣BEF 的体积为V 三棱锥A ﹣BEF =13•S △BEF •h =13×12×12×1×√22=√224， ∴三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值，命题③正确； 对于综上，正确的命题有2个． 故选：C ．10．已知公差不为零的等差数列{a n }，首项a 1＝﹣7，若a 5，a 6，a 9成等比数列，记T n ＝a 1•a 2•⋯•a n （n ＝1，2，3，⋯），则数列{T n }（ ） A ．有最小项，无最大项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，无最小项D ．有最大项，有最小项解：在等差数列{a n }中，由a 5，a 6，a 9成等比数列，得a 62=a 5⋅a 9，即（﹣7+5d ）2＝（﹣7+4d ）（﹣7+8d ）， 解得d ＝2或d ＝0（舍），则a n ＝2n ﹣9，当n ≤4，n ∈N *时，a n ＜0；当n ≥5，n ∈N *时，a n ＞0． ∴{a n }的前6项为：﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，1，3， 又T n ＝a 1•a 2•⋯•a n ，故T 3最小，没有最大值． 故选：A ．11．ISO 216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A ，B 系列的纸张尺寸．设型号为A i （i ＝0，1，2，3，4，5，6）的纸张面积分别是a i （i ＝0，1，2，3，4，5，6），它们组成一个公比为12的等比数列，设型号为B i （i ＝1，2，3，4，5，6）的纸张的面积分别是b i （i ＝1，2，3，4，5，6），已知b i 2=a i−1a i (i =1，2，3，4，5，6)，则a 4b 5的值为（ ）A ．12B ．√22C ．√2D ．2解：∵b i 2=a i−1a i ，令i ＝5，∴b 52=a 4a 5，又∵a 0，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6组成一个公比为12的等比数列，∴b 52=a 4a 5=a 4⋅a 4⋅12=12a 42， 又a 4＞0，b 5＞0， ∴a 4b 5=√2．故选：C ．12．已知数列{a n }满足a n+1=14(a n −6)3+6(n =1，2，3，⋯)，则（ ）A ．当a 1＝3时，{a n }为递减数列，且存在常数M ≤0，使得a n ＞M 恒成立B ．当a 1＝5时，{a n }为递增数列，且存在常数M ≤6，使得a n ＜M 恒成立C ．当a 1＝7时，{a n }为递减数列，且存在常数M ＞6，使得a n ＞M 恒成立D ．当a 1＝9时，{a n }为递增数列，且存在常数M ＞0，使得a n ＜M 恒成立 解：因为a n+1=14(a n −6)3+6，故a n+1−6=14(a n −6)3， 对于A ，若a 1＝3，可用数学归纳法证明：a n ﹣6≤﹣3，即a n ≤3， 证明：当n ＝1时，a 1﹣6＝﹣3≤﹣3，此时不等关系a n ≤3成立； 设当n ＝k 时，a k ﹣6≤﹣3成立， 则a k+1−6=14(a k −6)3∈(−54，−274)，故a k +1﹣6≤﹣3成立， 由数学归纳法可得a n ≤3成立．而a n+1−a n =14(a n −6)3−(a n −6)=(a n −6)[14(a n −6)2−1]，14(a n −6)2−1≥94−1=54＞0，a n ﹣6＜0，故a n +1﹣a n ＜0，故a n +1＜a n ，故{a n }为减数列，注意a k +1﹣6≤﹣3＜0，故a n+1−6=14(a n −6)3=(a n −6)×14(a n −6)2≤94(a n −6)，结合a n +1﹣6＜0， 所以6−a n+1≥94(6−a n )，故6−a n+1≥3(94)n−1，故a n+1≤6−3(94)n−1， 若存在常数M ≤0，使得a n ＞M 恒成立，则6−3(94)n−1＞M ， 故6−M 3＞(94)n−1，故n ＜1+log 946−M3，故a n ＞M 恒成立仅对部分n 成立， 故A 不成立．对于B ，若a 1＝5，可用数学归纳法证明：﹣1≤a n ﹣6＜0，即5≤a n ＜6， 证明：当n ＝1时，﹣1≤a 1﹣6＝﹣1≤0，此时不等关系5≤a n ＜6成立； 设当n ＝k 时，5≤a k ＜6成立，则a k+1−6=14(a k −6)3∈(−14，0)，故﹣1≤a k +1﹣6＜0成立， 即由数学归纳法可得5≤a k +1＜6成立．而a n+1−a n =14(a n −6)3−(a n −6)=(a n −6)[14(a n −6)2−1]，14(a n −6)2−1＜0，a n ﹣6＜0，故a n +1﹣a n ＞0，故a n +1＞a n ，故{a n }为增数列，若M ＝6，则a n ＜6恒成立，故B 正确．对于C ，当a 1＝7时，可用数学归纳法证明：0＜a n ﹣6≤1，即6＜a n ≤7， 证明：当n ＝1时，0＜a 1﹣6≤1，此时不等关系成立； 设当n ＝k 时，6＜a k ≤7成立，则a k+1−6=14(a k −6)3∈(0，14]，故0＜a k +1﹣6≤1成立，即6＜a k +1≤7 由数学归纳法可得6＜a n ≤7成立．而a n+1−a n =(a n −6)[14(a n −6)2−1]＜0，故a n +1＜a n ，故{a n }为减数列，又a n+1−6=(a n −6)×14(a n −6)2≤14(a n −6)，结合a n +1﹣6＞0可得：a n+1−6≤(a 1−6)(14)n ，所以a n+1≤6+(14)n ，若a n+1≤6+(14)n ，若存在常数M ＞6，使得a n ＞M 恒成立，则M −6≤(14)n 恒成立，故n ≤log 14(M −6)，n 的个数有限，矛盾，故C 错误．对于D ，当a 1＝9时，可用数学归纳法证明：a n ﹣6≥3即a n ≥9， 证明：当n ＝1时，a 1﹣6＝3≥3，此时不等关系成立； 设当n ＝k 时，a k ≥9成立， 则a k+1−6=14(a k −6)3≥274＞3，故a k +1≥9成立 由数学归纳法可得a n ≥9成立．而a n+1−a n =(a n −6)[14(a n −6)2−1]＞0，故a n +1＞a n ，故{a n }为增数列，又a n+1−6=(a n −6)×14(a n −6)2＞94(a n −6)，结合a n ﹣6＞0可得：a n+1−6＞(a 1−6)(94)n−1=3(94)n−1，所以a n+1≥6+3(94)n−1，若存在常数M ＞0，使得a n ＜M 恒成立，则M ＞6+3(94)n−1， 故M ＞6+3(94)n−1，故n ＜log 94(M−63)+1，这与n 的个数有限矛盾，故D 错误． 故选：B ．二.填空题：（本题有6道小题，每小题5分，共30分）13．已知函数f(x)=√3sinx −cosx ，则f(π3)= 1 ；若将f （x ）的图象向右平行移动π6个单位长度后得到g （x ）的图象，则g （x ）的一个对称中心为 (π3，0)（答案不唯一） ． 解：f(x)=√3sinx −cosx =2sin(x −π6)，f(π3)=2sin π6=1，则g(x)=2sin(x−π3)，取x−π3=kπ，k∈Z，即x=π3+kπ，k∈Z，取k＝0，x=π3，此时对称中心为(π3，0)．故答案为：1；(π3，0)（答案不唯一）．14．在△ABC中，若BC=3，AC=2√6，B=2A，则B＝arccos13．解：由正弦定理得BCsinA =ACsinB，即3sinA=2√6sin2A，所以cos A=√63，所以cos B＝cos2A＝2cos2A﹣1=13，因为0＜B＜π，所以B=arccos 1 3．故答案为：arccos 1 3．15．已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝﹣2，且a n+1＝a n+a n+2，n∈N*，则a5＝2；数列{a n}的前2023项的和为1．解：依题意，由a n+1＝a n+a n+2，可得a n+2＝a n+1﹣a n，则a1＝1，a2＝﹣2，a3＝a2﹣a1＝﹣2﹣1＝﹣3，a4＝a3﹣a2＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，a5＝a4﹣a3＝﹣1﹣（﹣3）＝2，a6＝a5﹣a4＝2﹣（﹣1）＝3，a7＝a6﹣a5＝3﹣2＝1，a8＝a7﹣a6＝1﹣3＝﹣2，…∴数列{a n}是以6为最小正周期的周期数列，∵2023÷6＝337……1，∴a2023＝a1＝1，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1﹣2﹣3﹣1+2+3＝0，∴数列{a n}的前2023项的和为：a1+a2+…+a2023＝（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+（a7+a8+a9+a10+a11+a12）+…+（a2017+a2018+a2019+a2020+a2021+a2022）+a2023＝0+0+…+0+1＝1．故答案为：2；1．16．已知平面α和三条不同的直线m，n，l．给出下列六个论断：①m⊥α；②m∥α；③m∥l；④n⊥α；⑤n∥α；⑥n∥l．以其中两个论断作为条件，使得m∥n成立．这两个论断可以是①④（或③⑥）．（填上你认为正确的一组序号）解：由平面α和三条不同的直线m，n，l．①m⊥α；②m∥α；③m∥l；④n⊥α；⑤n∥α；⑥n∥l．得：若①m⊥α，④n⊥α，则由线面垂直的性质得m∥n，若③m∥l，⑥n∥l，则由平行公理得m∥n．∴以其中两个论断作为条件，使得m∥n成立．这两个论断可以是①④（或③⑥）．故答案为：①④（或③⑥）．17．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a n}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝48，数列{a n}的所有项的和为384．解：∵数列{a n}的后7项成等比数列，a n＞0，∴a7=√a5a9=√12×192=48，∴a3=a52a7=12248=3，∴公比q=√a5a3=√123=2．∴a4＝3×2＝6，又该数列的前3项成等差数列，∴数列{a n}的所有项的和为3(a1+a3)2+6×(26−1)2−1=3×(1+3)2+378＝384．故答案为：48；384．18．已知函数f(x)=λsin(π2x+φ)(λ＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于点A'，点C为该部分图象与x轴的交点．将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时|AB|=√10，则λ＝√3．给出下列四个结论： ①φ=π3；②图2中，AB →⋅AC →=5；③图2中，过线段AB 的中点且与AB 垂直的平面与x 轴交于点C ；④图2中，S 是△A 'BC 及其内部的点构成的集合．设集合T ＝{Q ∈S ||AQ |≤2}，则T 表示的区域的面积大于π4．其中所有正确结论的序号是 ②③ ． 解：在图2中，过B 作BD 垂直x 轴于D ， 由题意可得T =2ππ2=4，∴A ′D ＝2，∴A ′B =√λ2+4，∴AB =√A′B 2+AA′2=√2λ2+4=√10，解得λ=√3或λ=−√3（舍去），∴f （x ）=√3sin （π2x +φ），当x ＝0时，√3sin φ=√32，∵0＜φ＜π，∴φ=π6或φ=5π6，当φ=π6显然不符合图象的变化情况，故舍去， ∴φ=5π6，故①错误； 由题意可得AC =√3+1=2，BC ＝2， ∴cos ∠BAC =10+4−42√10×2=√104，∴AB →•AC →=|AB →|•|AC →|•cos ∠BAC =√10×2×√104=5，故②正确；∵AC ＝BC ＝2，∴过线段AB 的中点且与AB 垂直的平面与x 轴交于点C ，故③正确； ∵|AQ |≤2，二面角为直二面角可得|A ′Q |≤1，∴T 表示的区域的面积为π×12×∠BA′C 2π＜π4，故④错误． 故答案为：√3；②③．三.解答题：（本题有6小题，共72分）19．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：（1）设{a n }是公差为d 的等差数列， {b n }是公比为q 的等比数列， 由b 2＝3，b 3＝9，可得q =b 3b 2=3， b n ＝b 2q n ﹣2＝3•3n ﹣2＝3n ﹣1； 即有a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 则d =a 14−a 113=2， 则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）c n ＝a n +b n ＝2n ﹣1+3n ﹣1，则数列{c n }的前n 项和为[1+3+…+（2n ﹣1）]+（1+3+9+…+3n ﹣1）=12n •2n +1−3n 1−3＝n 2+3n−12．20．（10分）已知函数f （x ）＝A sin x cos x −√3cos2x 的一个零点为π6．（1）求A 和函数f （x ）的最小正周期；（2）当x ∈[0，π2]时，若f （x ）≤m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）∵f （x ）＝A sin x cos x −√3cos2x =A2sin2x −√3cos2x 的一个零点为π6，∴f （π6）=A 2×√32−√32=0， ∴A ＝2，f （x ）＝sin2x −√3cos2x ＝2sin （2x −π3）， ∴T =2π2=π； （2）当x ∈[0，π2]时，2x −π3∈[−π3，2π3]，2sin （2x −π3）∈[−√3，2]，∴f （x ）max ＝2，∴m ≥2，即m ∈[2，+∞）．21．（12分）在△ABC 中，2asinB =√2b ．（1）求A；（2）若b=2√6，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：cosC=−√1010；条件②：a＝2；条件③：sinB=√55．注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分．解：（1）在△ABC中，2asinB=√2b⇒2sinAsinB=√2sinB，因为B∈（0，π），sin B＞0，所以2sinA=√2⇒sinA=√22，又A∈（0，π），所以A=π4或A=3π4．（2）若选①，即cosC=−√1010，则π2＜C＜π，所以0＜A＜π2，0＜B＜π2，sinC=3√1010，则A=π4，则sinB=sin(π−(A+C))=sin(A+C)=sin(π4+C)=√22×(−√1010)+3√1010×√22=√55，由正弦定理得：a sinA =bsinB=csinC，a=2655√22=2√15，c=26553√1010=6√3，则△ABC存在且唯一确定，△ABC面积为S=12acsinB=12×2√15×6√3×√55=18．若选②，即a＝2，又b=2√6，2asinB=√2b，所以sinB=√3，矛盾，所以②不成立．若选③，由sinB=√55，b=2√6，2asinB=√2b，得a=2√15，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，当A=π4时，60＝24+c2﹣2bc cos A，得c2−4√3c−36=0⇒c=6√3或c=−2√3舍；当A=3π4时，60＝24+c2﹣2bc cos A，得c2+4√3c−36=0⇒c=2√3或c=−6√3舍，此时△ABC存在但不唯一确定，所以不合题意．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，AB＝4，点E在线段AB上，且AE=34 AB．（1）求证：CE ⊥平面PBD ； （2）求二面角P ﹣CE ﹣D 的余弦值； （3）求点A 到平面PCE 的距离．解：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥CE ， 因为AB ＝4，AE =34AB ，所以AE ＝3，BE ＝1， 所以ABAD=BC BE=2，∠ABC ＝∠EBC ，所以Rt △CBE ∽Rt △BAD ，所以BD ⊥CE ，又因为PD ⊥CE ，PD ∩BD ＝D ，PD ，BD ⊂平面PBD ， 所以CE ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AD ，PD ⊥CD ，又因为ABCD 是矩形，AD ⊥CD ， 所以AD ，CD ，PD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则C （0，4，0），P （0，0，2），E （2，3，0），A （2，0，0）， 所以PC →=（0，4，﹣2），CE →=（2，﹣1，0）， 设平面PCE 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则有{n →⋅PC →=4y −2z =0n →⋅CE →=2x −y =0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝4，于是n →=（1，2，4），因为PD ⊥平面ABCD ，取平面CED 的法向量为m →=（0，0，1），则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=41×1+4+16=4√2121，由图可知二面角P ﹣CE ﹣D 为锐角， 所以二面角P ﹣CE ﹣D 的余弦值为4√2121； （3）由（2）知AP →=（﹣2，0，2）， 而平面PCE 的一个法向量为n →=（1，2，4），所以点A 到平面PCE 的距离为|AP⋅n →||n →|=√1+4+16=2√217． 23．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3． （Ⅰ）求证：AF ⊥CD ；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线CE ∥平面AFM ？若存在，求BM BD的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：∵四边形ADEF 为正方形， ∴AF ⊥AD ，又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ， ∴AF ⊥平面ABCD ， ∴AF ⊥CD ；（Ⅱ）取BC 的三等分点G ，H 如图，连接EG ，可由EF ∥AD ，AD ∥BC ，得EF ∥BG ， 且EF ＝AD ＝BG ＝1，∴四边形BGEF 为平行四边形， ∴GE ∥BF ， ∵DE ∥AF ， ∴DE ⊥平面ABCD ， ∴平面EDC ⊥平面ABCD ， 作GN ⊥CD 于N ， 则GN ⊥平面EDC ， 连接EN ，则∠GEN 为GE 与平面EDC 所成的角， 在Rt △CGD 中，求得GN =2√5， 又GE ＝BF =√2， ∴sin ∠GEN =GNGE =√105，故直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值为：√105；（Ⅲ）连接FH ，易证四边形EFHC 为平行四边形， ∴EC ∥FH ， ∴EC ∥平面AFH ， 连接AH 交BD 于M ， 则CE ∥平面AFM ， 此时BM MD=BH AD=2，∴BM BD=23．24．（14分）设λ为正实数，若各项均为正数的数列{a n }满足：∀n ∈N *，都有a n +1≥a n +λ．则称数列{a n }为P （λ）数列．（Ⅰ）判断以下两个数列是否为P （2）数列： 数列A ：3，5，8，13，21； 数列B ：log 25，π，5，10．（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＞0且b n +1＝b n +√n +3−√n +1，是否存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若各项均为整数的数列{a n }是P （1）数列，且{a n }的前m （m ≥2）项和a 1+a 2+a 3+⋯+a m 为150，求a m +m 的最小值及取得最小值时a m 的所有可能取值． 解：（Ⅰ）根据定义，P （2）数列应满足∀n ∈N *，a n +1≥a n +2， 即a n +1﹣a n ≥2恒成立，对于数列A ：有5﹣3＝2≥2，8﹣5＝3≥2，13﹣8＝5≥2，21﹣13＝8≥2， 均满足，∴数列A 是P （2）数列；对于数列B ：∵5﹣π＜2，不满足，∴数列B 不是P （2）数列； （Ⅱ）不存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列． 理由如下：假设存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列， 则∀n ∈N *，都有b n +1≥b n +λ，∴b n +1﹣b n ≥λ恒成立， ∵b n+1=b n +√n +3−√n +1， ∴b n +1﹣b n =√n +3−√n +1=2√n+3+√n+11√n ， 当n ＞1λ2时，b n +1﹣b n 1√n λ，这与假设矛盾，∴不存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列； （Ⅲ）∵数列{a n }是P （1）数列，∴a n +1≥a n +1， ∴a m ≥a m ﹣1+1≥a m ﹣2+2≥…≥a 1+m ﹣1≥m ，∴a m ﹣1≤a m ﹣1，a m ﹣2≤a m ﹣1﹣1，a m ﹣3≤a m ﹣2﹣1≤a m ﹣3，…，a 2≤a 3﹣1≤a m ﹣（m ﹣2）， a 1≤a 2﹣1≤a m ﹣（m ﹣1），∴a 1+a 2+a 3+…+a m ≤ma m ﹣[1+2+3+…+（m ﹣1）]=ma m −m(m−1)2，∴150≤ma m −m(m−1)2，∴a m ≥150m +m 2−12， ∴a m +m ≥150m +m 2−12=30−12=592， ∵数列{a n }是整数数列，∴a m +m 的最小值不小于30， 假设a m +m ＝30，必有150m+3m 2−12≤30，解得253≤m ≤12，∵m ∈N *，∴m 可取9，10，11，12， 当m ＝9时，a m ＝21，存在满足条件的数列，a 1＝10，a 2＝14，a 3＝15，a 4＝16，a 5＝17，a 6＝18，a 7＝19，a 8＝20，a 9＝21， 当m ＝10时，a m ＝20，存在满足条件的数列，a 1＝6，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，a 5＝15，a 6＝16，a 7＝17，a 8＝18，a 9＝19，a 10＝20， 当m ＝11时，a m ＝19，存在满足条件的数列，a 1＝5，a 2＝10，a 3＝11，a 4＝12，a 5＝13，a 6＝14，a 7＝15，a 8＝16，a 9＝17，a 10＝18，a 11＝19， 当m ＝12时，a m ＝18，存在满足条件的数列，a 1＝7，a 2＝8，a 3＝9，a 4＝10，a 5＝11，a 6＝12，a 7＝13，a 8＝14，a 9＝15，a 10＝16，a 11＝17，a 12＝18， 以上都是a m +a n ＝30的充分条件， ∴a m +m 的最小值为30，此时取得最小值时a m 的所有可能取值为18，19，20，21．。

北京市第一七一中学2016—2017学年度第一学期高二年级数学（理)期中考试试题(考试时间:100分钟总分:100分）一、选择题：1．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（ )．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由于几何体是正四棱锥，所以俯视图是正方形，又因为有四条可以看见的棱，所以正方形中还有表示棱的线段，故选D ．2．原点到直线250x y +-=的距离为（ )．A ．1B ．3C ．2D ．5 【答案】D【解析】22|5|512d -==+,故选D ．3．正方体的表面积与其外接球表面积的比为（ ）．A ．3:πB ．2:πC ．1:2πD ．1:3π【答案】B【解析】设正方体的棱长为a ，则正方体的表面积216S a =，由正方体的体对角线就是其外接球的直径可知:23R a =，即32R a =， 所以外接球的表面积：2224π3πS R a ==，故正方体的表面积与其外接球的表面积的比为：226:3π2:πa a =．故选B ．4．如图,直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则（ )．A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<【答案】A【解析】由图可知：10k <，20k >,30k >，且直线3l 的倾斜角大于直线2l 的倾斜角，所以32k k >,综上可知：123k k k <<，故选A ．5．平面α平面l β=，点A α∈，B α∈，C β∈，C l ∉，有AB l R =,过A ,B ,C 确定的平面记为γ，则βγ是（ ）． A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上都不对 【答案】C【解析】∵AB l R =，∴R l ∈，R AB ∈，又l αβ=，∴l β⊂，∴R β∈，R γ∈,又∵C β∈，C γ∈，∴CR βγ=，故选C ．6．对于平面α和异面直线m ，n ,下列命题中真命题是（ )．A ．存在平面α，使m α⊥,n α⊥B ．存在平面α,使m α⊂,n α⊂C ．存在平面α,满足m α⊥，n α∥D ．存在平面α，满足m α∥,n α∥ 【答案】D【解析】A 选项，如果存在平面α，使m α⊥，n α⊥，则m n ∥，与m ,n 是异面直线矛盾，故A 不成立； B 选项，如果存在平面α，使m α⊂，则m ,n 共面，与m ,n 是异面直线矛盾,故B 不成立； C 选项，存在平面α，满足m α⊥，n α∥，则m n ⊥，因为m ，n 是任意两条异面直线,不一定满足m n ⊥，故C 不成立；D 选项，存在平面α，使m α∥,n α∥，故D 成立．综上所述，故选D ．7．直线cos 0x m θ⋅+=的倾斜角范围是（ ）．A ．πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】设直线的倾斜角为α，则tanαθ=， ∵1cos 1θ-≤≤，∴θ即：tan α∴π5π0,,π66θ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选B ．8．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是( ）．A ．8B ．62C ．10D ．82【答案】C【解析】在正方体中画出该三棱锥，如图所示:易知：各个面均是直角三角形，且4AB =，14AA =，3BC =，∴6ABC S =△，18A AB S =△,110A AC S =△，162A BC S =△，所以四个面中面积最大的是10，故选C ．9．若直线1(0,0)x y a b a b+=>>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则ab 的取值范围是（ ）． A ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．(0,8] D ．[8,)+∞【答案】D【解析】由圆的方程224280x y x y +---=，得圆心坐标为：(2,1),因直线1(0,0)x y a b a b +=>>始终平分圆的周长，则直线1x y a b+=必过点(2,1)， ∴211a b +=, ∴212a b ab+≥ ∴212ab ≥8ab ≥，当且仅当2112a b ==时，等号成立， ∴ab 的取值范围是：[8,)+∞，故选D ．10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若1EF =,1A E x =,DQ y =,DP z =(x ，y ，z 大于零），则四面体PEFQ 的面积（ ）．A ．与x ,y ,z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关,与x ,z 无关D ．与z 有关，与x ,y 无关【答案】D【解析】如图：EF 在棱11A B 上,Q 在棱CD 上，11A B CD ∥,所以QEF △的高为定值,又EF 为定值1，所以QEF △的面积为定值，四面体PEFQ 的体积与点P 到平面EFQ 的距离有关,即与DP 的大小有关，故选D ．二、填空题:11．已知圆22:4C x y +=，则过点(2,0)P 的圆的切线方程是__________．【答案】20x -=【解析】∵点(2,0)P 在圆22:4C x y +=上，且0CP k =,∴过点(2,0)P 的且切线斜率不存在,故切线方程是：20x -=．12．直线(21)(3)110()k x k y k k --+-+=∈R 所经过的顶点坐标为__________．【答案】(2,3)【解析】把(21)(3)110k x k y k --+-+=整理后得：(21)(311)0k x y x y ---+-=， ∴2103110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得:23x y =⎧⎨=⎩, 故直线(21)(3)110k x k y k --+-+=恒过定点(2,3)．13．已知1F ，2F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则1AF B △周长为__________． 【答案】16 【解析】由椭圆221169x y +=,可得:4a =． 1AF B △的周长111212||||||||||||||416AF BF AB AF AF BF BF a =++=+++==．14．在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是__________．【答案】56 【解析】111115818322226V V -=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥．【注意有文字】15．在三棱锥P ABC -中，已知2PA PB PC ===，30BPA BPC CPA ∠=∠=∠=︒，从A 点绕三棱锥侧面一周回到点A 的距离中,最短距离是__________． 【答案】22【解析】将三棱锥P ABC -沿PA 展开，如图所示:由题意可知：2PA PA '==，90APA '∠=︒,∴22AA '=．即从A 点绕三棱锥侧面一周回到点A 的距离中，最短距离是22．16．二面角l αβ--的大小是60︒,线段AB α⊂，B l ∈，AB 与l 所成的角45︒,则AB 与平面β所成的角的正弦值是__________．【答案】64【解析】过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在α内作AD l ⊥,垂足为D ，连接CD ， 则ADC ∠即是二面角l αβ--的平面角，∴60ADC ∠=︒，设AD x =，则BD x =，2AB x =,12CD x =，3AC ， ∴362sin 2AC ABC AB x∠== 即AB 与平面β6三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面11CB D ．（Ⅱ）求证:平面11CAAC ⊥平面11CB D ．(Ⅲ）若正方体棱长为2，求三棱锥11A EFB -的体积．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明:连接BD ，∵11BB DD ∥且11BB DD =，∴四边形11BB D D 是平行四边形，∴11BD B D ∥．又∵E 、F 分别是AD ，AB 的中点，∴EF BD ∥，∴11EF B D ∥，又∵EF ⊄平面11CB D ，11B D ⊂平面1CBD ，∴EF ∥平面11CB D ．（Ⅱ)证明:在正方体1111ABCD A B C D -中，∵1AA ⊥平面1111A B C D ，∴111AA B D ⊥，又∵四边形ABCD 是正方形，∴1111B D AC ⊥,∴11B D ⊥平面11CAAC ，又∵11B D ⊂平面11CB D ，∴平面11CAAC ⊥平面11CB D ． （Ⅲ）11111112A EFB E A B F A B F V V S AE --==⨯△，∵111111122222A B F S A B AA =⨯⨯=⨯⨯=△， ∴11122133A EFB V -=⨯⨯=．18．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒． （Ⅰ）求证:AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ)求二面角F BE D --的余弦值．(Ⅲ)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵ABCD 是正方形,∴AC BD ⊥，∵BD DE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ）∵DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系D xyz -， ∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒,∴3ED DB由3AD =，可知：36DE =，6AF =．则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,6)BF =-，(3,0,26)EF =-，设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即303260y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令z (4,2,6)n =．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，∴(3,3,0)CA =-，所以cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅===． 因为二面角为锐角，故二面角F BE D --． （Ⅲ）依题意得,设(,,0)(0)M t t t >，则(3,,0)AM t t =-，∵AM ∥平面BEF ,∴0AM n ⋅=，即4(0)20t t -+=，解得：2t =，∴点M 的坐标为(2,2,0)，此时23DM DB =， ∴点M 是线段BD 靠近B 点的三等分点．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其长轴为4，短轴为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，及离心率．(Ⅱ）直线l 经过定点(0,2)，且与椭圆C 交于A ,B 两点,求OAB △面积的最大值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2a =，1b =，c∴椭圆C 的方程为：2214x y +=，离心率：c e a == (Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为k ,则直线方程为：2y kx =+， 由22442x y y kx ⎧+=⎨=+⎩,得22(41)16120k x kx +++=， 222(16)4(41)1216(43)k k k ∆=-+⨯=-,由0∆>得：2430k ->，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则1221641k x x k -+=+，1221241x x k =+，||AB =又∵原点O 到直线的距离d =∴1||2OAB S AB d =⨯=△41=． 当且仅当22164343k k -=-,即2434k -=时，等号成立， 此时OAB △面积的最大值为1．。

2017届北京市东城区重点中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. 已知集合，，若，则的取值范围为（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，由，得，故选．点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】．是增函数，非奇非偶，．在定义域内既有增区间也有减区间，．定义域为，非奇非偶，．故选：B3. 若向量，满足，且，则向量，的夹角为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意得，，即，∴，计算得出，则向量，的夹角是，故选：C．4. 已知命题，，那么下列结论正确的是（）.A. 命题，B. 命题，C. 命题，D. 命题，【答案】B【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，所以命题考点：全称命题与特称命题5. 已知，，下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，反之不成立，因此是的必要不充分条件考点：充分条件与必要条件点评：若命题成立，则是的充分条件，是的必要条件6. 已知向量，，则下列向量可以与垂直的是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】∵向量，，∴，∵，，，，∴向量可以与垂直，故选：．7. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）.A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】分别把两个函数解析式简化为，函数，又，可知只需把函数的图象向左平移个长度单位，得到函数的图象，故选：8. 已知数列满足，，定义数列，使得，，若，则数列的最大项为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】∵数列满足，，∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴，∵，∴的最后一个正项是，∴中，当时，数列取最大项．故选．点睛：等差数列，其通项是关于的一次型函数，当时，是关于的单调增函数，当时，是关于的单调减函数，当时，是常函数.本题解题的关键是明确在何时发生转折，由正到负或由负到正.二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 已知，，，则，，的大小关系为__________.【答案】【解析】∵，∴，∴，即，∵，∴．∴，，的大小关系为．故答案为：．10. 若，则的值是__________.【答案】【解析】把两边平方得：，即，，．解得：．故答案为：．点睛：利用sin2＋cos2＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan可以实现角的弦切互化；应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sin cos，可以知一求二；注意公式逆用及变形应用：1＝sin2＋cos2，sin2＝1－cos2，cos2＝1－sin2.11. 计算__________.【答案】【解析】故答案为：12. 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为__________.【答案】【解析】由题意正方形中，为的中点，可知：．则的值为：．故答案为：13. 函数的部分图像如图所示，其中、两点间距离为，则__________.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：14. 设函数的定义域为，若函数满足下列两个条件，则称在定义域上是闭函数.①在上是单调函数；②存在区间，使在上值域为.如果函数为闭函数，则的取值范围是__________.【答案】【解析】若函数为闭函数，则存在区间，在区间上，函数的值域为，即，∴，是方程的两个实数根，即，是方程的两个不相等的实数根，当时，解得；当时，解得无解．综上，可得．故答案为：．点睛：本题充分体现了方程、不等式、函数的联系，由闭函数转化为方程有解，方程有解转化为解不等式组，从而得到了答案.这种问题最简单的体现“三个”二次的关系.三、解答题（共6小题，满分80分）15. 已知等差数列满足：，，其中为数列的前项和.（I）求数列的通项公式.（II）若，且，，成等比数列，求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)4.【解析】试题分析：（1）利用等差数列基本公式求数列的通项公式；（2）利用等比中项构建关于的方程，解之即可.试题解析：（I）设等差数列的首项为，公差为，由，，得，解得．∴．（II），由，，成等比数列，得，解得．16. 已知的三个内角分别为，，，且.（I）求的度数.（II）若，，求的面积.【答案】（I）（II）【解析】试题分析：（1）由内角和定理及商数关系可得，从而得到的度数；（2）由余弦定理，求出，进而得到的面积.试题解析：（I）∵，∴，∴，又∵为三角形内角，∴，∴，而为三角形内角，∴，综上所述，的度数为．（II）由余弦定理，，，，∴，∴，∴或（舍去），∴，综上所述，的面积为．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.17. 已知函数，.（I）当时，求函数的单调区间.（II）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)单调递增区间是，单调递减区间是．(Ⅱ)或．【解析】试题分析：（1）当时，,解导不等式，得到函数的单调区间；（2）函数在区间上是减函数，推得在上恒成立，即在上恒成立，利用“三个”二次的关系得到实数的取值范围.试题解析：（I）当时，，定义域是．，由，解得；由，解得；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（）因为函数在区间上是减函数，所以在上恒成立，则，即在上恒成立．①当时，，所以不成立．②当时，，，对称轴．，即，解得．综上所述，实数的取值范围为，．18. 已知函数.（I）求的值.（II）求函数的最小正周期及单调递减区间.【答案】（I）（II）见解析【解析】试题分析：（1）把代入函数，即可求得的值；（2）明确函数的定义域，化简函数可得：，从而得到函数的最小正周期及单调递减区间.试题解析：（I）由函数的解析式可得：．（II）∵，得，，故的定义域为．因为，，所以的最小正周期为．由，，，得，，，所以，的单调递减区间为，，．19. 设函数.（I）时，求函数的增区间.（II）当时，求函数在区间上的最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：（1）时，，由得到函数的增区间；（2）当时，，利用对勾函数的图像与性质，对分类讨论，即可得到函数在区间上的最小值试题解析：（I），．则，（此处用“”同样给分）注意到，故，于是函数的增区间为．（写为同样给分）（II）当时，．，当且仅当时，上述“”中取“”．①若，即当时，函数在区间上的最小值为；②若，则在上为负恒成立，故在区间上为减函数，于是在区间上的最小值为．综上所述，当时，函数在区间上的最小值为．当时，函数在区间上的最小值为．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．20. 设满足以下两个条件的有穷数列，，，为阶“期待数列”：①；②.（）分别写出一个单调递增的阶和阶“期待数列”.（）若某阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式.（）记阶“期待数列”的前项和为，试证：.【答案】(1)三阶：，，四阶：，，，．(2)；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）借助新定义利用等差数列，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）利用某阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式；（Ⅲ）判断k=n时，，然后证明k＜n时，利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可.试题解析：（）三阶：，，四阶：，，，．（）设等差数列，，，，公差为，∵，∴，∴，即，∴且时与①②矛盾，时，由①②得：，∴，即，由得，即，∴，令，∴，时，同理得，即，由得即，∴，∴时，．（）当时，显然成立；当时，根据条件①得，，即，，∴，∴．。