下载文档原格式
高中数学必修一集合知识点在高中数学必修一中，集合是一个非常重要的基础概念，理解集合的性质和运算规律对于学生掌握数学知识具有至关重要的意义。
本文将介绍高中数学必修一中集合相关的知识点，帮助学生深入理解和掌握这一重要内容。
一、集合的基本概念在高中数学必修一中，集合是由若干确定的对象构成的整体。
集合中的每个对象称为元素，用于确定某个对象是否属于集合的方法称为判断元素是否属于集合。
集合的概念是数学中一个非常基本的概念，贯穿于整个数学领域中。
二、集合的表示方法在高中数学必修一中，集合的表示方法可以通过列举法和描述法来进行。
列举法是将集合中的元素逐个写出来，用大括号{}将所有元素括起来，元素之间用逗号隔开。
描述法是通过描述对象的共同性质或特征来确定集合中的元素，可以用条件句或方程式来表示。
三、集合之间的关系在高中数学必修一中，两个集合之间可以通过包含关系、相等关系和交集、并集、差集等关系进行确定。
包含关系指的是一个集合中的所有元素都包含在另一个集合中，相等关系指的是两个集合中的元素完全相同。
交集是指包含在两个集合中的所有元素的集合，而并集是指两个集合中所有元素的集合。
四、集合的运算在高中数学必修一中，集合之间的运算有交集、并集、差集和补集等。
交集是指属于所有给定集合的元素的集合，记作A∩B；并集是指至少属于两个给定集合之一的元素的集合，记作A∪B；差集是指属于一个给定集合但不属于另一个给定集合的元素的集合，记作A-B；补集是指关于某个给定集合中所有不属于该集合的元素的集合。
五、集合运算的性质在高中数学必修一中，集合运算具有交换律、结合律、分配律、吸收律等性质。
交换律指的是集合的交集和并集运算满足交换律，即A∩B=B∩A，A∪B=B∪A；结合律指的是集合的交集和并集运算满足结合律，即A∩(B∩C)=(A∩B)∩C，A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；分配律指的是集合的并集对交集的分配律和交集对并集的分配律；吸收律指的是A∩(A∪B)=A，A∪(A∩B)=A。
第一章集合与逻辑1．1 集合1.1.1 集合第1课时集合与元素教材要点要点一集合与元素的概念在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个________________，这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个________．要点二元素与集合的关系要点三元素的基本属性(1)互异性：同一集合中的元素是________________．(2)确定性：集合中的元素是确定的．亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的．(3)无序性：集合中的元素________．状元随笔(1)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(2)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1构成的集合是同一个集合．要点四常用数集及表示符号要点五集合的分类(1)有限集：元素个数________的集合叫有限集(或有穷集)．(2)无限集：元素________的集合叫无限集(或无穷集)．(3)空集：没有元素的集合叫空集，记作________．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．( )(2)我班喜欢打篮球的同学不能组成一个集合．( )(3)空集是无限集．( )(4)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.( )2．(多选)下列元素与集合的关系判断正确的是( )A．0∈N B．π∈QC．－1∈Z D．√2∉R3．已知集合A含有三个元素0，1，x－2，则实数x不能取的值是________．4．若A是不等式4x－5＜3的解集，则1________A，2______A．(用∈或∉填空)题型1 集合概念的理解例1 判断下列每组对象能否构成一个集合：(1)援助湖北抗击新冠疫情的医护人员；(2)我校2021级所有高个子同学；(3)不小于3的自然数；(4)√3的近似值的全体．方法归纳判断一组对象能否组成集合的策略(1)注意集合中元素的确定性，看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素，若具有此“标准”，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)注意集合中元素的互异性、无序性．跟踪训练1 (多选)下列对象能构成集合的是( )A．联合国常任理事国B．充分接近√2的实数的全体C．方程x2＋x－1＝0的实数根D．全国著名的高等院校题型2 元素与集合的关系例2 (1)(多选)由不超过5的实数组成集合A，a＝√2+√3，则( )A．a∈A B．a2∈A∈A D．a＋1∈AC．1a(2)给出下列关系：①1∈R；②|－3|∉N；③|－√3|∈Q；④0∉N.其中正确的个数为( )2A．1B．2C．3D．4方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．跟踪训练2 (1)给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N，则a＋b∈Q.其中正确的个数为( )A．0B．1C．2D．3(2)设集合M是由不小于2√3的数组成的集合，a＝√11，则下列关系中正确的是( )A．a∈M B．a∉MC．a＝M D．a≠M题型3 集合特性的应用例3 设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则1∈A(a≠1).1−a求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素．(2)集合A不可能是单元素集．变式探究本例前提条件不变，求证以下两个问题：(1)若3∈A，则A中必还有另外两个元素．(2)若a∈A，则1－1∈A.a方法归纳根据集合中元素的特性求值的三个步骤跟踪训练3 设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，(1)求实数x应满足的条件．(2)若－2∈A，求实数x.易错辨析忽略集合元素的互异性例4 设a，b∈R，集合A中含有三个元素1，a＋b，a，集合B中含有三个元素0，b，a b，且A＝B，则a2021＋b2021＝________．＝1.若b＝1，解析：易知a≠0，a≠1，则根据两个集合相等可知a＋b＝0，且b＝1或ba＝1，则a＝b，结合a＋b＝0，可知a＝b＝0，由a＋b＝0得a＝－1，经验证，符合题意；若ba不符合题意．综上可知a＝－1，b＝1.故a2021＋b2021＝(－1)2021＋12021＝0.答案：0易错警示课堂十分钟1．下列各组对象可以组成集合的是( )A．数学必修1课本中所有的难题B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点D．所有小的正数2．设M是所有偶数组成的集合，则( )A．3∈M B．1∈MC．2∈M D．0∉M3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )A．P是由元素1，√3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－√3|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集4．已知集合A中的元素x满足x≥2，若a∉A，则实数a的取值范围是________．5．已知集合A是由所有形如3a＋√2b(a∈Z，b∈Z)的数组成的，判断－6＋2√2是不是集合A中的元素．第一章集合与逻辑1．1 集合1．1.1 集合第1课时集合与元素新知初探·课前预习要点一集合或集元素要点二a是集合S的元素a∈S a不是集合S中的元素a∉S要点三互不相同的没有顺序要点四N N*或N＋Z Q R要点五有限无限多∅[基础自测]1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：显然AC正确；π是无理数，B不正确；√2是实数，D不正确．故选AC.答案：AC3．解析：由元素的互异性可知x－2≠0且x－2≠1，即x≠2且x≠3.答案：2，34．解析：由4x－5<3得x<2，则1∈A，2∉A.答案：∈∉题型探究·课堂解透例1 解析：(1)能构成集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(3)对于任意一个自然数能判断是不是不小于3，所以能构成集合．(4)“√3的近似值”没有明确精确到什么程度，因此很难判断一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．跟踪训练1 解析：B 、D 中的元素不能确定，不能构成集合，故选AC. 答案：AC例2 解析：(1)a ＝√2+√3<√4+√4＝4<5， 所以a ∈A ，a ＋1<√4+√4＋1＝5，所以a ＋1∈A ，a 2＝(√2)2＋2√2×√3＋(√3)2＝5＋2√6>5，所以a 2∉A ，1a＝√2+√3＝√3−√2(√2+√3)(√3−√2)√3−√2<5，所以1a ∈A .故选ACD. (2)①正确；②③④不正确．故选A. 答案：(1)ACD (2)A跟踪训练2 解析：(1)实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a ∈Z ，则－a 也是整数，故－a ∈Z ，所以②也不正确；只有③正确．(2)判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵√11<2√3，∴a ∉M .答案：(1)B (2)B例3 证明：(1)若a ∈A ，则11−a ∈A . 又因为2∈A ，所以11−2＝－1∈A . 因为－1∈A ，所以11−(−1)＝12∈A . 因为12∈A ，所以11−12＝2∈A .根据集合中元素的互异性可知，A 中另外两个元素为－1，12，结论得证． (2)若A 为单元素集，则a ＝11−a ， 即a 2－a ＋1＝0，方程无实数解．所以a ≠11−a ，所以集合A 不可能是单元素集． 变式探究 证明：(1)因为3∈A ， 所以11−3＝－12∈A ， 所以11−(−12)＝23∈A ，所以11−23＝3∈A ，根据集合中元素的互异性可知，A 中另外两个元素为－12，23，结论得证． (2)因为a ∈A ，所以11−a ∈A ， 所以11−11−a＝1−a −a ＝1－1a ∈A .跟踪训练3 解析：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.(2)因为－2∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x＝－2.[课堂十分钟]1．解析：A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．故选B.答案：B2．解析：∵0和2是偶数，∴2∈M，0∈M，故选C.答案：C3．解析：由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.答案：A4．解析：∵x≥2，且a∉A，∴a<2.答案：a<25．解析：因为－2∈Z且2∈Z，所以－6＋2√2＝3×(－2)＋√2×2是形如3a＋√2b(a ∈Z，b∈Z)的数，即－6＋2√2是集合A中的元素．。
1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。
数学高一第一节集合知识点集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的对象组成的整体。
在高一数学的第一节课中，我们将学习有关集合的基本知识点。
本文将按照逻辑顺序，依次介绍集合的定义、表示方法、基本运算和特殊集合等内容。
一、集合的定义集合是由一些确定的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
集合的元素可以是任何事物，如数字、字母、图形、动物等。
例如，一个由1、2、3组成的集合可以写为{1, 2, 3}。
二、集合的表示方法集合可以用不同的表示方法来描述。
常见的表示方法有三种：列举法、描述法和图示法。
1. 列举法：列举法是通过列举集合中的每个元素来表示集合。
例如，表示一个由1、2、3组成的集合可以写为{1, 2, 3}。
2. 描述法：描述法是通过给出集合中元素的某种特定性质或条件来表示集合。
例如，表示一个由正整数组成的集合可以写为{x |x是正整数}。
3. 图示法：图示法使用Venn图来表示集合与元素之间的关系。
在图示法中，集合用一个圆形或椭圆形表示，元素用圆内的点表示。
圆之间的交集表示两个集合的共同元素。
三、集合的基本运算集合的基本运算包括并集、交集、差集和补集。
下面分别介绍这些运算的含义和表示方法。
1. 并集：并集是指包含两个或多个集合中的所有元素的集合。
用符号"∪"表示。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}，它们的并集可以表示为A∪B={1, 2, 3, 4}。
2. 交集：交集是指包含两个或多个集合中共同元素的集合。
用符号"∩"表示。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}，它们的交集可以表示为A∩B={2, 3}。
3. 差集：差集是指从一个集合中减去另一个集合中共同元素后的剩余元素构成的集合。
用符号"\"或"－"表示。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}，它们的差集可以表示为A\B={1}或A-B={1}。
高一数学第一课集合知识点在高中数学的学习过程中，第一课往往是集合论。
集合论是数学的基础，它不仅在高中数学中具有重要的地位，而且在更高层次的数学学科中也起着关键的作用。
本文将介绍高一数学第一课的集合知识点，帮助学生更好地理解和掌握集合的概念和性质。
一、集合的概念首先我们来了解一下集合的概念。
集合是具有某种特定性质的事物的总体。
通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。
集合中的元素是不可重复的，集合的元素个数称为集合的基数，记作|A|。
集合可以通过列举法和描述法来表示。
列举法是将集合中的元素逐个列举出来，例如集合A={1,2,3,4,5}。
描述法是根据元素的某种特性来描述集合，例如集合B={x | x是偶数，0<x<10}，表示集合B是由满足条件的偶数所组成的。
二、集合的运算集合的运算主要包括并、交、差和补四种。
1. 并集：表示两个或多个集合中所有的元素的总体。
用符号∪表示。
例如A∪B表示集合A和集合B的并集，即A∪B={x |x∈A或x∈B}。
2. 交集：表示两个或多个集合中共有的元素的总体。
用符号∩表示。
例如A∩B表示集合A和集合B的交集，即A∩B={x | x∈A 且x∈B}。
3. 差集：表示属于一个集合而不属于另一个集合的元素的总体。
用符号－表示。
例如A－B表示集合A与集合B的差集，即A－B={x | x∈A且x∉B}。
4. 补集：表示在某个给定的全集中，不属于集合的元素的总体。
用符号′或∁表示。
例如A′表示集合A的补集，即A′={x | x∉A}。
三、集合的性质集合有一些基本的性质，我们需要了解和熟练运用。
1. 子集：如果一个集合A的所有元素都是另一个集合B的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
例如，集合A={1,2}是集合B={1,2,3}的子集。
2. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
例如，集合C={}就是一个空集。
3. 全集：包含所有元素的集合称为全集。
高二数学第一章集合知识点在高二数学学习过程中，集合是一个非常重要的概念和工具。
在第一章中，我们将学习集合的基础知识和相关概念，掌握集合的运算和求解问题的方法。
本文将对高二数学第一章集合知识点进行概述和总结。
一、集合的基本概念集合是由一些具有共同特征的元素所构成的整体。
常用的表示方式有列举法和描述法。
例如，S={a, b, c}是一个由元素a、b、c 构成的集合，描述法表示。
二、集合的关系1. 子集关系：若集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A 是B的子集，记作A⊆B。
2. 相等关系：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合A 的子集，则称A等于B，记作A=B。
3. 真子集关系：若集合A是集合B的子集，且集合B不等于集合A，则称A是B的真子集，记作A⊂B。
4. 互为逆关系：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合A 的子集，则称A和B互为逆关系。
三、集合的运算1. 交集：集合A和集合B的交集，记作A∩B，表示同时属于集合A和集合B的元素构成的集合。
2. 并集：集合A和集合B的并集，记作A∪B，表示属于集合A或集合B的元素构成的集合。
3. 差集：集合A和集合B的差集，记作A-B，表示属于集合A 但不属于集合B的元素构成的集合。
4. 补集：相对于全集U，集合A的补集，记作A的̅，表示全集U中不属于集合A的元素构成的集合。
四、集合的求解方法1. 列举法：通过列举元素的方式，直观地表示集合。
2. 描述法：通过给出满足特定条件的元素构成的集合，简洁地表示集合。
3. 图示法：通过绘制Venn图或欧拉图，直观地表示集合及其运算关系。
五、应用实例1. 集合的包含关系判断：给定集合A、B、C，判断A是否包含B，B是否包含C的方法是求出A∩B和B∩C是否相等。
2. 集合的运算问题：对于给定的集合A、B、C，可以利用交集、并集、差集等运算方法解决集合间的问题，如求解集合的元素个数、求解集合中满足某一条件的元素等。
总结起来，高二数学第一章集合知识点主要包括集合的基本概念、集合的关系、集合的运算和集合的求解方法。
乐乐课堂高中数学集合
乐乐课堂高中数学集合课程包括多个知识点，具体如下：
1. 描述法表示集合：这是集合的一种表示方法，通过具体的数学符号和表达式来描述集合中的元素。
2. 集合中元素的互异性：这意味着集合中的元素是唯一的，没有重复。
3. 二次型方程根的分布：这涉及到二次方程的解的分布情况，例如在实数域、复数域等不同域上的解的情况。
4. 整式除法与因式分解：这是代数中重要的基本技能，对于解决复杂数学问题十分关键。
5. 集合间的关系：包括子集、交集、并集等概念及其性质。
6. 二次方程解集相等的条件：探讨二次方程在不同情况下的解的个数和分布。
7. 根据要求确定集合中的元素：这是一个实践应用问题，需要根据给定的条件来确定集合中的元素。
8. 子集的个数公式：这是一个公式，用于计算给定集合的子集的个数。
以上内容仅供参考，建议查阅乐乐课堂官网获取更全面和准确的信息。
§1 集合的含义与表示1．理解集合的概念，会判断元素与集合的关系．2．理解并记住集合中元素的性质．3．熟记常用数集的符号．4．理解列举法和描述法，能运用它们表示集合．1．集合一般地，指定的某些对象的__________称为集合，集合中的每个对象叫作这个集合的__________．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．2．元素与集合的关系(1)关系：__________或_________．(2)表示：若元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a__________A；若元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a__________A.集合中元素的性质：①确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必为其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．②互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．③无序性：集合中的元素是没有顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分．3．数集(1)定义：________________的集合简称数集．(2)常见数集：自然数集记为_______________；整数集记为_______________；正整数集记为_______________；有理数集记为_______________；实数集记为_______________．【做一做1】下列关系正确的是( )．A．0∈N＋ B．πR C．1Q D．0∈Z 4．集合的表示法(1)列举法：把集合中的________________一一列举出来写在大括号内的方法．(2)描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 这种用确定的____表示某些对象是否____这个集合的方法叫作描述法．在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可省去竖线及其代表元素．如所有直角三角形组成的集合，可以表示为{直角三角形}，但不能表示为{所有直角三角形}，因为{ }本身就有“所有”“全部”的意思．【做一做2－1】集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是( )．A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}【做一做2－2】 3和4的所有正的公倍数的集合为__________．5．集合的分类按所含元素的个数分为：有限集和无限集．含________个元素的集合叫有限集，含________个元素的集合叫无限集．6．空集不含有任何__________的集合叫作空集，记作.数0，{0}，，{}的关系：数0不是集合，{0}是含一个元素0的集合，而是不含任何元素的集合，{}是指以为元素的集合．答案：1．全体元素2．(1)属于不属于(2)∈3．(1)数(2)N Z N＋Q R【做一做1】 D4．(1)元素(2)条件属于【做一做2－1】 A【做一做2－2】 {x|x＝12k，k∈N＋}5．有限无限6．元素1．对于集合定义的理解剖析：(1)集合中的元素是具体的，它的属性是明确的，即对于某一集合而言，任何一个元素要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必为其一．(2)对于一个集合，应该从整体的角度来看待它，例如由“我们班的学生”组成的一个集合A，这就是一个整体．(3)要注意组成集合的对象的广泛性：一方面，任何一个确定的对象，都可以组成一个集合，如人、物、数、方程、不等式等都可以作为构成集合的对象；另一方面，集合本身也可以作为集合的对象．2．结合实例说明集合中元素的性质特征剖析：(1)确定性．作为集合的元素，必须是确定的，对于集合A和元素a，要么a∈A，要么a A，二者必为其一，且只为其一．如：所有大于100的数组成一个集合．集合中的元素是确定的，而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如：“很大的树”“较高的人”等都不能构成集合．(2)互异性．对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，任何两个相同的对象在同一集合中只能出现一次．如：由a，a2组成一个集合，则a的取值不能是0或1.(3)无序性．集合中元素的次序无先后之分，如：小于3的正整数，可以表示为{1,2}，也可以表示为{2,1}，它们都表示同一个集合．由此可见，利用集合的三个特征性质来判定元素是否能构成集合，是非常有效的方法．题型一 集合的判定【例1】 判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)美丽的小鸟；(2)不超过20的非负整数；(3)立方接近零的正数；(4)直角坐标系中，第一象限内的点．分析：要判定每组对象能否构成集合，可先分析各组对象所具有的条件是否明确，若明确，再结合元素所必须具备的特征作出判断．反思：判定元素能否构成集合，关键看这些元素是否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合．题型二 集合中元素的性质的应用【例2】 已知x 2∈{1,0，x}，求实数x 的值．分析：分类讨论x 2是集合中的哪个元素，要根据集合中元素的互异性进行取舍．反思：本题是应用集合中元素的性质来解决的．这类问题既要讨论元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，初学者解题时易忽视元素的互异性，必须在学习中高度重视．另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想．题型三 集合的表示【例3】 用适当的方法表示下列集合．(1)化简式子x |x|＋y |y|(x ，y 为非零实数)所得结果构成的集合； (2)大于4的所有奇数组成的集合；(3)直角坐标系内第二象限的点组成的集合；(4)方程(x －1)(x 2－5)＝0的根组成的集合．分析：(1)根据x ，y 值的符号，两项分别可得1或－1，化简的结果有3种情形，用列举法表示集合；(2)奇数的表达式为2k ＋1(k∈N )，由于有无数个元素，可用描述法表示；(3)代表的元素是有序实数对(x ，y )，用描述法表示；(4)只有3个根，用列举法表示．反思：1.用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(2)小题．2．对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复；③不考虑元素顺序．题型四 求参数的取值范围【例4】 已知集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0，x ∈R }，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．分析：由描述法可知集合A 是关于x 的方程ax 2－2x －1＝0的实数解集，首先应考虑方程是不是一元二次方程．反思：已知集合中元素的个数，求其中某参数的取值范围时，关键是对集合的表示法的正确理解．本题中，由于集合A 是方程的解集，所以转化为讨论方程根的问题．答案：【例1】 解：(1)中“美丽”的范畴太广，不具有明确性，因此不能构成集合；(2)中的元素可以列举出来：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数；(3)中接近零的界限不明确；(4)中元素具有无限个，但条件明确，即所有横、纵坐标均大于0的点均在该集合中．综上可知(2)(4)能构成集合，(1)(3)不能构成集合． 【例2】 解：若x 2＝0，则x ＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．若x 2＝1，则x ＝±1.当x ＝1时，集合为{1,0,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去；当x ＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合要求．若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合集合中元素的互异性，都舍去．综上可知，x ＝－1.【例3】 解：(1){0,2，－2}．(2){x |x ＝2k ＋1，k ≥2且k ∈N }．(3){(x ，y )|x ＜0且y ＞0}．(4){－5，1，5}．【例4】 解：当a ＝0时，方程只有一个根－12，则a ＝0符合题意． 当a ≠0时，则关于x 的方程ax 2－2x －1＝0是一元二次方程．由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程ax 2－2x －1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝ 4＋4a ≤0.解得a ≤－1.综上可得，实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≤－1}．1 下列所给的对象不能构成集合的是( )．A ．某公司的全体员工B ．2009年全国经济百强县C ．2010年考入北京大学的全体学生D ．美国NBA 的篮球明星2 给出下列关系：①12∈R ；②2Q ；③|－3|N ＋；④|3-∈N .其中正确关系的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43 集合{x ∈N ＋|x －3＜2}用列举法可表示为( )．A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}4 集合A ＝{x |mx 2＋2x ＋2＝0}中只有一个元素，则m 的值构成的集合为__________．5 选择适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合；(3)一次函数y ＝x ＋6图像上所有点组成的集合．答案：1．D 根据集合中元素的确定性来判断是否构成集合．因为选项A ，B ，C 中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA 球员是否为篮球明星，所以不能构成集合．2．B ①②正确，③④错误．3．B {x ∈N ＋|x －3＜2}＝{x ∈N ＋|x ＜5}＝{1,2,3,4}．4.10,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭当m ＝0时，A ＝{－1}满足题意； 当m ≠0时，由Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，A ＝{－2}满足题意． 5．解：(1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}．(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为5,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.(3)一次函数y ＝x ＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．。
第1讲 集合的概念与运算[玩前必备]1.元素与集合的概念(1)集合：研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合. (2)集合元素的特性：确定性、互异性. 2.元素与集合的关系(1)空集：不含任何元素的集合，记作∅.(2)非空集合：①有限集：含有有限个元素的集合. ②无限集：含有无限个元素的集合. 4.常用数集的表示符号 把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法. 6.描述法(1)集合的特征性质如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质. (2)特征性质描述法集合A 可以用它的特征性质p (x )描述为{x ∈I |p (x )}，它表示集合A 是由集合I 中具有性质p (x )的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法. 7.集合间的基本关系A B(或B A)8.集合的运算(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁A＝{x|x∈U，且x∉A}[玩转典例]题型一集合的基本概念例1(大纲全国，1) 设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6例2 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．[玩转跟踪]1.(新课标全国，1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B 中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.102.已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.3.(探究与创新)设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1).求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集.题型二 集合的表示方法例3 下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}. 问：(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？例4 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .[玩转跟踪]1.已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧m |m ＝x |x |＋y |y |＋⎭⎬⎫xy |xy |为( )A.{0,3}B.{1,3}C.{－1,3}D.{1，－3}2.(探究与创新)已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R }： (1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； (2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.题型三 集合间的基本关系例5 (2013·江苏，4)集合{－1，0，1}共有________个子集. 例6 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ，412|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ，421|，则( ) A ．N M =B ．NM C ．MN D ．=N M例7 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A . 求实数m 的取值范围.∅1.设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( ) A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个2.(2016·山东北镇中学、莱芜一中、德州一中4月联考)定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B },若集合M ＝{1,2,3,4,5},集合N ＝{x |x ＝2k －1,k ∈Z },则集合M －N 的子集个数为( ) A.2 B.3C.4D.无数个3.已有集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的集合.题型四 集合的基本运算例8 (2016·全国Ⅰ,1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0},B ＝{x |2x －3>0},则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3 例9 (2015·四川,1)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0},集合B ＝{x |1＜x ＜3},则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－1＜x ＜1} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3} 例10 (1)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－3<x <－1}B ．{x |－3<x <0}C ．{x |－1≤x ＜0}D ．{x |x <－3}(2).(2011·江西，2)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0<x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}例11 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.1.(2016·安徽安庆市第二次模拟)若集合P ＝{x ||x |＜3,且x ∈Z },Q ＝{x |x (x －3)≤0,且x ∈N },则P ∩Q 等于( )A.{0,1,2}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{0,1,2,3}2.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A.(M ∩P )∩SB.(M ∩P )∪SC.(M ∩P )∩(∁I S )D.(M ∩P )∪(∁I S )3.(探究与创新)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.[玩转练习]1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅D ．M ∪N ＝R3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．44.(2018·济南模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1≤0}，集合B ＝{x |x 2－x －6<0}，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <3}B ．{x |－3<x ≤1}C ．{x|x <2}D ．{x |－2<x ≤1}5．(2018·潍坊模拟)设集合A ＝N ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －3≤0，则A ∩B 等于( ) A ．[0,3) B ．{1,2} C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}6．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1,5}7．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)8.满足{a ，b }∪B ＝{a ，b ，c }的集合B 的个数是________.9.设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________. 10.已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，则满足条件的实数x 组成的集合为________.11.已知全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，若A ＝{b,2}，∁I A ＝{5}，求实数a ，b .12.已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .13.设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x ＜6}，B ＝{x |2＜x ＜9}. (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值构成的集合.14.已知集合A ＝{x |0＜x －a ≤5}，B ＝{x |－a2＜x ≤6}.(1)若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝A ，求a 的取值范围.。
