高考数学总复习提素能高效题组训练7-3

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：3-7[命题报告·教师用书独具]1．(2012年高考广东卷)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 ．2 3 C. 3.32解析：利用正弦定理解三角形． 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A ，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.答案：B2．(2013年安阳模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14 .24 C ．－14．－24解析：依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12si n 30°＝－14，选C.答案：C3．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A.π4 .π6 C.2π3.π12解析：因为S △ABC ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，所以sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，故A ＝π4.答案：A4．(2013年江西师大附中月考)在△ABC 中，∠A ＝60°，且角A 的角平分线AD 将BC 分成两段BD 、DC ，且BD ∶DC ＝2∶1，若AD ＝43，则C ＝( )A.π6 .π4 C.π2.π3解析：因为AD 是角A 的角平分线，所以AC ∶AB ＝CD ∶DB ＝1∶2.设AC ＝x ，则AB ＝2x .易知3S △ACD ＝S △ABC ，即3×12×43×sin 30°＝12×2x 2sin 60°，解得x ＝6，所以AB ＝12.由余弦定理得BC ＝6 3.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以C ＝π2.答案：C5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形 解析：依题意得asin A＝bsin B，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58，12<58<32，因此30°<B <60°，或120°<B <150°.若30°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，选C.答案：C 二、填空题6．(2012年高考湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.解析：应用余弦定理求角．由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3.答案：2π37．(2013年大同质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 依次成等差数列，AB ＝8，BC ＝5，则△ABC 外接圆的面积为________．解析：记△ABC 的外接圆半径为R .依题意得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，因此有B ＝π3，所以AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝7.又2R ＝ACsin B ＝7sin 60°，即R ＝73，故△ABC 的外接圆的面积是πR 2＝49π3.答案：49π38．(2012年高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：利用同角三角函数基本关系式、三角函数和角公式及正弦定理求解． 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665. 由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.答案：1459．有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，c ＝________，求角A .(答案提示：A ＝60°，请将条件补充完整)解析：由题知1＋cos(A ＋C )＝(2－1)cos B ，所以 1－cos B ＝(2－1)cos B ，解得cos B ＝22，∴B ＝45°， 又A ＝60°，所以C ＝75°.根据正弦定理得3sin 60°＝c sin 75°，解得c ＝6＋22.故应填6＋22. 答案：6＋22三、解答题10．(2013年北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝2B ，sin B ＝33. (1)求cos A 及sin C 的值； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积． 解析：(1)因为A ＝2B ，所以cos A ＝cos 2B ＝1－2sin 2B . 因为sin B ＝33， 所以cos A ＝1－2×13＝13.由题意可知，A ＝2B,0<A <π，所以0<B <π2.所以cos B ＝1－sin 2B ＝63. 因为sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝223.所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.(2)因为b sin B ＝asin A，b ＝2，所以233＝a223. 所以a ＝463.所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝2029.11．(2012年高考大纲全国卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解析：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ， 由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.12．(能力提升)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6.(1)求∠BAC 的大小；(2)设E 为AB 的中点，已知△ABC 的面积为15，求CE 的长．解析：(1)由已知得tan ∠BAD ＝BD AD ＝13，tan ∠CAD ＝CD AD ＝12，则tan ∠BAC ＝tan(∠BAD ＋∠CAD )＝13＋121－13×12＝1，又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4.(2)设BD ＝2t (t >0)，则DC ＝3t ，AD ＝6t ，由已知得S △ABC ＝12×(2t ＋3t )6t ＝15，则t ＝1，故BD ＝2，DC ＝3，AD ＝6，所以AB ＝AD 2＋BD 2＝2 10，AC ＝AD 2＋DC 2＝35，则AE ＝AB2＝10，由余弦定理得CE ＝AE 2＋AC 2－2AE ·AC ·cos∠BAC ＝5.[因材施教·学生备选练习]1．(2012年高考安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinB cos A ＝sin A cosC ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解析：(1)解法一 由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.解法二 由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)解法一 因为A D →2＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(A B →2＋A C →2＋2AB →·AC →) ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋4＋2×1×2×cos π3＝74，所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.解法二 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝ 1＋34＝72. 2．(2013年南昌模拟)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin B sin C ，3＋2cos B cos C )，且m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)现给出以下三个条件：①B ＝45°；②2sin C －(3＋1)·sin B ＝0；③a ＝2.试从中再选择两个条件以确定△ABC ，并求出所确定的△ABC 的面积．解析：(1)∵m ⊥n ，∴2sin B sin C －2cos B cos C －3＝0， ∴cos(B ＋C )＝－32， ∴cos A ＝32， 又0<A <π，∴A ＝30°.(2)解法一 选择①③，∵A ＝30°，B ＝45°，C ＝105°，a ＝2且sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24， c ＝a sin C sin A＝6＋2，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3＋1.解法二 选②③，已知A ＝30°，a ＝2， ∵2sin C －(3＋1)sin B ＝0， ∴2c ＝(3＋1)b ，∴c ＝3＋12b . 由余弦定理，知a 2＝4＝b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋12b 2－2b ×3＋12b ×32. ∴b 2＝8，∴b ＝22，c ＝3＋12b ＝6＋2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋1.注：不能选①②，因①②不能确定△ABC .。

x＋y－1≥0，1. 在平面直角坐标系中，若不等式组x－1≤0，( a为常数 ) 所表示的平面地区ax－ y＋1≥0.的面积等于2，则a的值为 ()A．－ 5B．1C．2 D ．3[答案] D[ 分析 ]由题意知a>－1，此时不等式组所表示的平面地区为一个三角形地区，记为△ABC，则 A(1,0)， B(0,1)， C(1,1＋ a)，1∵ S△ABC＝2，∴2×(1＋ a)×1＝2，解得 a＝3.x≥0，y≥0，2． ( 文) (2011 ·湖北高考 ) 直线 2x＋y－ 10＝ 0 与不等式组表示的x－ y≥－2，4x＋ 3y≤20.平面地区的公共点有()A．0 个B．1 个C．2个D．无数个[答案]B[ 分析 ]直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面地区的地点关系以下图，故直线与此地区的公共点只有 1 个，选 B.x≥0，(理)(2012·安徽文，8)若x、知足拘束条件x＋2y≥3，则z＝－y的最小值是y x2x＋y≤3，()A．－3 B ．03C. 2D ． 3[答案] Ax ≥0，[ 分析 ]由 x ＋ 2y ≥3，画出可行域如图：2x ＋ y ≤3.令 z ＝0，得 l 0： x － y ＝ 0，平移 l 0，当 l 0 过点 A (0,3) 时知足 z 最小，此时z min ＝0－ 3＝－ 3.3．若 2x ＋ 4y <4，则点 ( x ， y ) 必在 ( )A ．直线 x ＋ y －2＝ 0 的左下方B ．直线 x ＋ y －2＝ 0 的右上方C ．直线 x ＋ 2y － 2＝ 0 的右上方D ．直线 x ＋ 2 －2＝ 0 的左下方y[答案]Dxyx ＋ 2yxy知，[分析]∵2＋ 4≥2 2 ，由条件 2 ＋4 <4 2 2x ＋2y <4，∴ x ＋ 2y <2，即 x ＋2y － 2<0，应选 D.y ≥0，． 文 )(2012·山西大同调研 ) 设变量 x 、 y 知足拘束条件x － y ＋1≥0，则 z ＝2x4 (x ＋ y －3≤0，＋y 的最大值为 ()A ．－ 2B ． 4C ． 6D ． 8[答案]C[分析]作出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分．作出直线2x ＋ y ＝ 0，平移该直线，当平移到经过平面地区内的点(3,0) 时，相应的直线在 x 轴上的截距最大， 此时 z ＝ 2x ＋ y 获得最大值，最大值是6，应选 C.x ＋ y ≤1，( 理 )(2012 ·广东文， 5) 已知变量 x ，y 知足拘束条件x － y ≤1，则 z ＝ x ＋ 2y 的最x ＋1≥0，小值为()A ．3B ．1C ．－ 5D ．－ 6[答案]C[ 分析 ]此题考察二元一次不等式组表示的平面地区，线性目标函数最值．x ＋ y ≤1，由 x － y ≤1，画出可行域如图．x ＋1≥0.z＝0 画出l＋ 2y＝ 0，平移l A z x＋1＝0，令0：0 至其过点时最小，由得 (－1，x Ax－ y＝1，－2) ，∴z min＝－1＋2×(－2)＝－5.[ 评论 ]画可行域时使用“直线定界，特别点定域”的方法．x＋2y≤4，5．( 文) 实数、知足条件 x＋≥1，则 3＋ 5的最大值为 ()x y yxy≥0.A． 12B． 9C． 8D． 3[答案]A[分析]由图可知，当z＝3x＋5y 经过点 A(4,0)时， z 取最大值，最大值为12，应选A.2x－y≤0， 1 x 1 y( 理 ) 已知正数x、y知足－ 3 ＋5≥0.则 z＝4· 2的最小值为 ()x y32A．1 B.41 1C. 16D. 32[答案]C12x1y12x＋ y [分析]作出可行域如图，易得 2x＋y的最大值为4，进而z＝ ( 2)· 2＝2的最1小值为16，选 C.x ＋y －3≤0，．·福建文， 10)若直线y ＝ 2x 上存在点 ， 知足拘束条件 x －2y －3≤0，6 (2012( x y )x ≥ m ，则实数的最大值为 ()mA ．－ 1B ．13C. 2D ． 2[答案]B[ 分析 ]此题考察了不等式组所表示的平面地区及数形联合思想解决问题的能力．由拘束条件作出其可行域，如图由图可知当直线 x ＝ m 过点 P 时， m 获得最大值，y ＝ 2x ，x ＝ 1，由得，∴ P (1,2) ，此时 m ＝ 1.x ＋ y － 3＝ 0，y ＝2，[ 评论 ]关于可行域中含 有参数的情况，不如先取特别值来帮助剖析思路．7．(2011 ·广州一测 ) 某校计划招聘男教师x 名，女教师 y 名， x 和 y 知足拘束条件2 － ≥5，x yx － y ≤2， 则该校招聘的教师最多是 ________名．x <6.[答案] 10[分析]在座标平面内画出题中的不等式组表示的平面地区及直线 x ＋ y ＝ 0，平移该直线，因为 x ∈N ，y ∈ N ，所以当平移到经过该平面地区内的整点(5,5) 时，相应直线在 y 轴上的截距最大，此时＋ y 获得最大值， x ＋ y 的最大值是 10.x0≤ x ≤1，． ·苏北四市三调 )已知， 知足拘束条件0≤ y ≤2，则x －12＋y 28 (2011( x y )2y － x ≥1.的最小值为 ________．25 [答案]5[分析] 在座标平面内画出题中的不等式组表示的平面地区， 注意到x － 1 2＋ y 2可视为该地区内的点 ( x ，y ) 与点 (1,0) 之间距离， 联合图形可知， 该距离的最小值等于点(1,0)到直线 2y － x ＝ 1 的距离，即为| － 1－1|2 55＝ 5.x≥0，．·安徽理，11)若x、y知足拘束条件 x＋ 2y≥3，则x－y的取值范围是9 (20122x＋y≤3，________．[答案][ － 3,0][ 分析 ]此题考察了线性规划的基础知识及数形联合的思想．3依据拘束条件，画出可行域如图，此中A(0,3)，B(0，)，C(1,1)，令 t ＝ x－ y 作直线2l 1：－＝ 0，平移l0，当平移到经过点(0,3) 时，tmin ＝－3，当平移到经过点(1,1) 时，x y A Ct max＝0，∴ t ∈[－3,0]．x≥0，10．(2012 ·河南洛阳市模拟) 设变量x、y知足拘束条件y≥3x，此中a>1，x＋ ay≤7，若目标函数z＝ x＋ y 的最大值为4，则a的值为 ________．[答案]2[分析]作出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示．∵y＝－ x＋z，∴欲使 z 最大，只需使直线 y＝－ x＋ z 的纵截距最大，∵a>1，∴直线 x＋ ay＝7的斜率大于－1，故当直线 y＝－x ＋z经过直线y＝3 与直线x＋＝7 的交点 (7，21) 时，目标函数z获得最大x ay1＋3a1＋ 3a2828值，最大值为1＋3a. 由题意得1＋3a＝4，解得a＝ 2.能力拓展提高x＋ y≥2，11.( 文) 已知变量x、y知足拘束条件x－ y≤2，若目标函数z＝ y－ ax 仅在点(5,3)0≤y≤3.处获得最小值，则实数 a 的取值范围为()A．(1，＋∞ ) B ． ( －∞， 1)C． ( －1，＋∞ ) D ． ( －∞，－ 1)[答案]A[ 分析 ]点M(5,3)为直线y＝3与x－y＝2的交点，画出可行域，让直线y＝ ax＋ z 绕点 M(5,3)旋转，欲使仅在M点 z 取最小值，应有a>1.y ≥1，()已知实数 x y知足 y ≤2x － 1，假如目标函数 z x － y的最小值为－1理 ， ＝ ，则实x ＋ ≤ .y m数 m 等于 ()A ． 7B ． 5C ． 4D ． 3[答案] B[分析]由选项知 m >0，作出可行域如图．目标函数 z ＝ x － y 对应直线 y ＝ x － z 经过可行域内的点 A 时，－ z 取最大值，进而 z 取最小值－ 1.由 y ＝ 2x － 1，得 A (1＋ m 2m － 1，) ，x ＋ ＝ .33y m ∴ z 1＋ m 2m － 1 2－ m＝－＝＝－ 1，∴ ＝ 5.3 3 3mx－ y－2≤0，12． ( 文 ) 设实数x、y知足x＋ 2y－5≥0，y则 u＝的取值范围是()y－2≤0.x111A．[ 3， 2] B．[ 3，2]15C．[ ，2] D．[2， ]22[答案]Ay[分析]在座标平面上点( x，y) 所表示的地区以下图，令t ＝x，依据几何意义， t 的值即为地区内的点与坐标原点连线的斜率，明显k OA最小， k OB最大，∵点 A(3,1)，点 B(1,2)1，故≤ t ≤2.32x＋y－2≥0，()x y－ 2 ＋4≥0，x2y2()已知实数知足x y则＋的最大值为理、3x－y－3≤0.A．1 B ．4C． 13 D.16 3[答案]C[分析]作出可行域如图， x2＋ y2表示可行域内的点到原点距离的平方，明显点 B(2,3)使 x2＋ y2取最大值13.13．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48 名同学去水上公园坐船赏析景色，支部先派一人去认识船只的租金状况，看到的租金价钱以下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元 .船型每只船限载人数租金(元/只)大船512小船38 [答案]116[分析]设租大船x 只，小船y只，则 5x＋ 3 ≥48，租金z＝12x＋ 8，作出可行域如y y图，53z＝12x＋8y 经过点(9.6,0)时， z 取最小值，但x， y∈N，∵－3<－2，∴当直线∴当 x＝9， y＝1时， z min＝116.y≤x，．·内蒙包头模拟)已知不等式组y≥－ x，表示的平面地区S的面积为，14 (20124x≤ a，点 (，)∈，则z ＝ 2 ＋y的最大值为 ________．P x y S x [答案]61×2a ×＝4，[分析]由题意知2a∴＝2，a a>0，易得 z＝2x＋ y 的最大值为 6.15．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其他是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25 ，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资本数如表所示，且该厂有工人32 名，可用资金 55 万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数目，在(1) 的条件下，求x， y 为什么值时，z＝ xP 甲＋ yP 乙最大，最大值是多少？P甲－P乙＝0.25，[ 分析 ] (1) 依题意得1－P甲＝P乙－ 0.05.P甲＝0.65，解得P乙＝0.4.故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4.(2)依题意得 x、 y 应知足的拘束条件为4x＋ 8y≤32，20x＋ 5y≤55，且 z＝0.65 x＋0.4 y.x≥0，y≥0.作出以上不等式组所表示的平面地区( 如图暗影部分 ) ，即可行域．作直线 b：0.65 x＋0.4 y＝0即13x＋8y＝0，把直线 l 向上方平移到l 1的地点时，直线经过可行域内的点，且l 1与原点的距离最大，此时z取最大值．Mx＋2y＝8，得 x＝2， y＝3.解方程组4x＋y＝ 11.故 M的坐标为(2,3)，所以 z 的最大值为 z max＝0.65×2＋0.4×3＝ 2.516．某人有楼房一幢，室内面积合计180m2，拟分开成两类房间作为旅旅客房．大房间2名，每名旅客每日住宿费40 元；小房间每间面积2每间面积 18m，可住旅客 515m，可住游客 3 名，每名旅客每日住宿费为50 元；装饰大房间每间需要 1000 元，装饰小房间每间需要600 元．假如他只好筹款8000 元用于装饰，且旅客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获取最大利润？[ 解析 ]设隔出大房间x 间，小房间 y 间时收益为z 元，则x ， y 满足18x＋ 15y≤180，1000x＋ 600y≤8000，且z＝200x＋150y.x≥0， y≥0， x， y∈Z.拘束条件可化简为：6x＋ 5y≤60，5x＋ 3y≤40，x≥0， y≥0， x、 y∈Z.可行域为以下图的暗影部分( 含界限 ) 作直线l： 200x＋ 150y＝ 0，即直线l：4x＋ 3y ＝0 把直线l向右上方平移至 l 1 的地点时，直线经过点B，且与原点的距离最大，此时z＝200 ＋ 150获得最大值．x y6 ＋5y＝ 60，20 60x获取 B(解方程组5x＋3y＝ 40.7，7)．因为点 B 的坐标不是整数，而最优解( x，y) 中的x，y一定都是整数，所以，可行域内的点 B(2060(0,12) 和 (3,8) 时，z取最大值 1800 7，7 ) 不是最优解，经过查验，当经过的整点是元．于是，隔出小房间12 间，或大房间 3 间、小房间8 间，能够获得最大利润．[评论]当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解邻近的整点检验，找出切合题意的整数最优解．x－ y＋2≤0，．·乌鲁木齐二诊)设不等式组 x≥0，表示的平面地区为，若指1 (2012Dy≤4.数函数 y ＝a x 的图象上存在地区 D 上的点，则 a 的取值范围是 ()A ． (0,1) B． (1,2)C ． [2,4] D． [2 ，＋∞)[答案]D[ 分析 ] 作出可行地区，如图，由题可知点 (2 ， a 2) 应在点 (2,4) 的上方或与其重合，故a 2≥4，∴ a ≥2或 a ≤－ 2，又 a >0 且 a ≠1，∴ a ≥2.x － y －1≥0， ． ·太原部分要点中学联考)设实数、 知足不等式组2x － y －6≤0，且2 (2012x yx ＋ y －k －2≥0，x 2＋ y 2 的最小值为，当 9≤ ≤25 时，实数 k 的取值范围是 ()m mA ． ( 17－ 2,5)B ． [ 17－ 2,5]C ． ( 17－ 2,5]D ． (0,5] [答案] B[分析]不等式组表示的可行域如图中的暗影部分，x2＋y2的最小值 m即为|OA|2，x－ y－1＝0，k＋3k＋1联立＋－－ 2＝0.得 A(2，2) ．x y kk＋32＋ (k＋12≤25，解得17－2≤k≤5.由题知 9≤())223.(2012 ·石家庄二检 ) 已知动点P( x，y) 在正六边形的暗影部分( 含界限 ) 内运动，如图，正六边形边长为2，若使目标函数z ＝kx＋ (>0) 获得最大值的最优解有无量多个，则k值y k为()3A.3B. 2C.2D． 4[答案]A[ 分析 ]由题可知，当x＝0时， z＝ kx＋ y＝ y，所以要使目标函数z＝kx＋ y( k>0)获得最大值，则相应直线经过题中的平面地区内的点时，相应直线在y 轴上的截距最大．由目标函数 z＝ kx＋y( k>0)获得最大值的最优解有无量多个，联合图形剖析可知，直线kx＋ y＝0的倾斜角为120°，于是有－k＝tan12 0°＝－3，k＝3，选 A.x＋y≥2，4．不等式组2x－y≤4，所围成的平面地区的面积为()x－ y≥0.A．3 2B．62C．6 D ．3[答案] D[ 分析 ]不等式组表示的平面地区为图中Rt△ABC，易求B(4,4) ，A(1,1) ，C(2,0)11∴ S △ ABC ＝ S △OBC －S △ AOC ＝ 2×2×4－ 2×2×1＝ 3.y ≤1，5 x 、 y知足拘束条件x ＋ y ≥0， 则 z x － 2y的最大值为 ()．若变量 ＝x － y －2≤0.A ． 4B ．3C ．2D ． 1[答案]B[分析]先作出可行域如图．作直线 x － 2y ＝0 在可行域内平移，当x － 2y － z ＝ 0 在 y 轴上的截距最小时 z 值最大．当移至 A (1 ，－ 1) 时， z max ＝ 1－2×( － 1) ＝ 3，应选 B.y ≤ x ，6．已知实数 x 、y 知足不等式组x ＋ 2y ≤4，且 z ＝ x 2＋ y 2＋ 2x －2y ＋ 2 的最小值y ≥ 1＋ .2xm为 2，则实数 m 的取值范围为 ()A．( －∞， 0) B ．( －∞， 0]44C．( －∞，3] D.0，3[答案]B[ 分析 ]画出可行域以下图，由题知z＝(x＋1)2＋(y－1)2，过点(－1,1)作直线y＝x 的垂线，垂足为原点O，点(－1,1)与点 O之间距离的平方恰巧为2，说1明点 O必定在可行域内，则直线y＝2x＋ m在 y 轴上的截距 m≤0，应选 B.[ 评论 ] 此题解题的要点是理解z 的最小值为2的含义及察看出 ( － 1,1) 到原点距离的1平方为 2，这样最优解为O(0,0)，进而知当 y＝2x＋m经过 O点时，取最优解，不经过O 点时，向哪挪动才能保证点O在可行域内，即可得出问题的答案．7．(2012 ·东北三校联考 ) 已知O是坐标原点，点A(－1，－2)，若点 M( x，y)是平面区x＋ y≥2，→→ →1上的一个动点，使OA·(OA－MA)＋≤0恒建立，则实数m的取值范围为my≤2.________．1[答案]( －∞， 0) ∪ [ 3，＋∞)x＋ y≥2，→→→[分析]不等式组 x≤1，表示的平面地区为图中暗影部分，∵·( －)OA OA MAy≤2.→ →→ →→→→→＝OA· OM，要使 OA· OM＋1≤0恒建立，即1≤－ OA· OM恒建立，令 t ＝－ OA· OM＝x＋2y，只m m要1≤min 即可，由图知在点(1,1)处，t min＝3，∴1≤3，∴<0或≥1.m tB m mm3x＋2y－3≤0，＋ 3y －3≥0，若目标函数 z8．(2011 ·汕头二检 ) 已知变量x，y知足拘束条件xy－1≤0.＝ax＋ y(此中 a>0)仅在点(3,0)处获得最大值，则 a 的取值范围为________．1[答案]( 2，＋∞)[分析]画出可行域如图中暗影部分所示，要使目标函数z＝ ax＋ y 仅在点(3,0)处获得11最大值，即直线 y＝－ ax＋ z 的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－ a<－2，所以 a>2.2x－y＋2≥0，9x y知足拘束条件8x－y－4≤0，若目标函数z abx＋y( a>0 b>0)的最．设、＝，x≥0， y≥0，大值为 8，则a＋b的最小值为 ________．[答案]4[ 分析 ]作出可行域以下图：2x－y＋ 2＝0，x＝1，由得，8x－y－ 4＝ 0.y＝4.∴点 A的坐标为(1,4)．∴当 x＝1， y＝4时， z 最大，∴ ab＋4＝8，即 ab＝4， a＋ b≥2 ab＝4(当且仅当 a＝ b＝2时取等号)．∴ a＋b 的最小值为4.。

《优化研究》 2014 高考数学总复习（人教 A 文）提素能高效题组训练：7-4[ 命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年烟台调研 ) 棱长为 2 的正四周体的表面积是()A. 3B．4C．4 3D．1613分析：每个面的面积为：2×2×2×2＝ 3. ∴正四周体的表面积为： 4 3.答案： C2．(2013年福州质检 ) 把球的表面积扩大到本来的2倍，那么体积扩大到本来的 () A．2 倍B．22倍C. 2倍D．32倍43分析：由题意知球的半径扩大到本来的2倍，则体积V＝3πR，知体积扩大到本来的 2 2倍．答案： B3．(2013 年哈尔滨模拟) 某品牌香水瓶的三视图以下( 单位： cm)，则该几何体的表面积为()πcm 2πcm 2A. 95－ 2B. 94－ 2C. 94＋ πcm 2D.95＋ πcm 222分析： 该几何体的上下为长方体，中间为圆柱．S 表面积 ＝ S 上长方体 ＋ S 下长方体 ＋S 圆柱侧 － 2S 圆柱底1 1 2π＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋ 2π ×2×1－2· π ( 2) ＝ 94＋ 2 .答案： C4．(2013 年佛山模拟 ) 已知某个几何体的三视图如图，依据图中标出的尺寸( 单位： cm)，可得这个几何体的体积是 ()8343A. 3 cmB. 3 cmC. 2 cm 3D. 1 cm 333分析： 由三视图知几何体为三棱锥，以下图：V＝13S△ABC· PO＝13×12×2×2×2＝43(cm3)．答案： B5．(2013 年西安模拟 ) 有一个几何体的三视图及其尺寸以下( 单位： cm)，则该几何体的表面积及体积为()A．24π cm2, 12π cm3 C．24π cm2, 36π cm3分析：此几何体是个圆锥，B．15π cm 2, 12π cm 3D．以上都不正确r＝ 3 cm，＝ 5 cm，＝ 4 cm，22) ．表面＝π ×3＋π ×3×5＝ 24π (cm l h S123V＝3π ×3×4＝12π(cm )．答案： A二、填空题6．(2013 年湖州模拟 ) 以下图，已知一个多面体的平面睁开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形构成，则该多面体的体积是________．1，侧棱长为1，斜高为3分析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 2，连结极点和2122底面中心即为高，可求高为 2，因此体积为V＝3×1×1×2＝6.2答案：67．(2012 年高考浙江卷 ) 已知某三棱锥的三视图 ( 单位： cm)以下图，则该三棱锥的体积等于________cm3.分析：三棱锥的体积为：1 1×3××2＝3231(cm)．答案： 18．(2013年南京调研) 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，则一质点自点 A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周祥达点A1的最短路线的长为________ cm.分析：依据题意，利用切割法将原三棱柱切割为两个同样的三棱柱，而后将其睁开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋ 122＝ 13 (cm) ．答案： 139．(2013 年武汉调研 ) 已知一个空间几何体的三视图以下图，且这个空间几何体的全部极点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．分析：依据三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面是边长为 2 的正三角形，高为 2，由空间几何体的全部极点都在一个球面上，设球半径为，则2＝ 232＋ 1，解得2＝7，故R R R33228π球的表面积S＝4π R＝3.答案：28π3三、解答题10．(2013年阳泉月考) 已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图 ( 或称主视图)是一个底边长为8、高为 4 的等腰三角形，侧视图( 或称左视图) 是一个底边长为6、高为 4 的等腰三角形．(1) 求该几何体的体积V；(2) 求该几何体的侧面积S.分析：由题设可知，几何体是一个高为 4 的四棱锥，其底面是长、宽分别为8 和 6 的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右边面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，以下图．11(1)几何体的体积为： V＝3· S 矩形· h＝3×6×8×4＝64.(2) 正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝42＋ 32＝ 5. 左、右边面的底边上的高为：h2＝42＋ 42＝4 2.故几何体的侧面面积为：11S ＝2× 2×8×5＋ ×6×4 2＝ 40＋ 24 2.211．正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6，内有一个球与它的四个面都相切( 如图 ) ．求：(1) 这个正三棱锥的表面积；(2) 这个正三棱锥内切球的表面积与体积．分析： (1) 底面正三角形中心到一边的距离为133×2×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为 122 2＝ 3.∴S1侧＝3× 2×2 6× 3＝ 9 2.∴S ＝ S ＋ S ＝9 2＋ 1 32表底 2×2×(2 6)侧＝ 9 2＋6 3.(2) 设正三棱锥 P - ABC 的内切球球心为 O ，连结 OP ， OA ， OB ， OC ，而 O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r .∴V P- ABC ＝ V O- PAB ＋ V O- PBC ＋V O- PAC ＋V O- ABC＝1侧· ＋ 1△ ABC·r3Sr 3S1＝ 3S 表· r ＝ (3 2＋ 2 3) r .1 1 32又 V P- ABC ＝ 3× 2× 2 ×(2 6) ×1＝ 2 3，∴(3 2＋ 2 3) r ＝23，2 32 3 2－ 2 3 得 r ＝2＝18－ 12＝ 6－2.3 2＋ 3∴S 内切球 ＝ 4π(6－ 2) 2＝ (40 － 16 6) π .438V 内切球 ＝ 3π ( 6－ 2) ＝3(9 6－ 22) π .12． ( 能力提高 ) 四周体的六条棱中，有五条棱长都等于 a .(1) 求该四周体的体积的最大值；(2) 当四周体的体积最大时，求其表面积．分析： (1) 如图，在四周体ABCD 中，设 AB ＝ BC ＝ CD ＝ AC ＝ BD ＝ a ， AD ＝ x ，取 AD 的中点为P ， BC 的中点为 E ，连结 BP ， EP ， CP . 获得 AD ⊥平面 BPC ，∴V A- BCD ＝ V A- BPC ＋ V D- BPC11＝ 3· S △ APC · AP ＋ 3S △BPC · PD＝ SAD1· △BPC·31 12x 2a 2＝ · · aa － － ·x3 244a222a 3a 21 3＝12a － xx ≤ 12· 2 ＝ 8a6当且仅当 x ＝ 2 a 时取等号 .1 3∴该四周体的体积的最大值为8a .(2) 由 (1) 知，△ ABC 和△ BCD 都是边长为 a 的正三角形，△ ABD 和△ ACD 是全等的等腰三6角形，其腰长为 a ，底边长为2 a ，∴S3216262表＝2×4 a ＋2×2×2 a×a 4 a3 2610a＝2a ＋2 a×43 215a2＝2a ＋4＝23＋ 15a2.4[ 因材施教·学生备选练习 ]1．(2013 年济南模拟 ) 以下图，在正三棱锥S- ABC中， M，N分别是 SC， BC的中点，且MN⊥ AM，若侧棱 SA＝23，则正三棱锥S - ABC外接球的表面积是()A．12πB．32πC．36πD．48π分析：在正三棱锥S- ABC中，易证 SB⊥AC，1又MN綊2BS，∴MN⊥ AC.∵MN⊥ AM，∴ MN⊥平面 ACM.∴MN⊥ SC，∴∠ CSB＝∠ CMN＝90°，即侧面为直角三角形，底面边长为 2 6. 此棱锥的高为2，设外接球半径为R，则(2－ R)23 2＋ 2 6×2×32＝R2，∴R＝3，∴外接球的表面积是36π . 应选 C.答案： C2．(2011 年高考四川卷 ) 如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．分析：解法一设圆柱的轴与球的半径的夹角为α ，则圆柱高为2R cos α，圆柱底面半径为 R sinα，∴ S 圆柱侧＝2π ·R sinα·2R cosα＝ 2πR2sin 2α . 当 sin 2 α＝1 时，S圆柱侧最大为 2πR2，此时， S 球表－ S 圆柱侧＝4π R2－2π R2＝2π R2.解法二设圆柱底面半径为r ，则其高为2R2－ r 2.∴S 圆柱侧＝2πr ·2 R2－ r 2，224πr2.S′圆柱侧＝4π R－ r －22R－ r令 S′＝ 0，得r＝2圆柱侧2 R.22当 0<r < 2R时，S′>0；当2R<r <R时，S′<0.2获得最大值2∴当 r ＝2 R时， S圆柱侧2πR.222此时 S球表－S 圆柱侧＝4πR－2π R＝2π R.。

第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM→的取值范围是________．解析OA →·OM →＝(－1,1)·(x ，y )＝y －x ，画出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2表示的平面区域，如图所示．可以看出当z ＝y －x 过点D (1,1)时有最小值0，过点C (0,2)时有最大值2，则OA →·OM→的取值范围是[0,2]．答案 [0,2]2．(2014·泰安模拟)不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为________．解析 做出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.答案 143．(2014·杭州模拟)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥12x ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋12y 的最大值为________．解析 由z ＝x ＋12y ，得y ＝－2x ＋2z .作出可行域如图阴影部分，平移直线y ＝－2x ＋2z ，当直线经过点C 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x ＋y ＝1，解得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，代入z ＝x ＋12y ，得z ＝23＋12×13＝56.答案 564．(2013·陕西卷改编)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．解析 如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6. 答案 －65．(2013·四川卷改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是________．解析 画出可行域，如图所示．由图可知，当目标函数过A 点时有最大值；过B 点时有最小值．联立得⎩⎨⎧ x ＋y ＝8，2y －x ＝4⇒⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，故A (4,4)；对x ＋y ＝8，令y ＝0，则x ＝8，故B (8,0)，所以a ＝5×4－4＝16，b ＝5×0－8＝－8，则a －b ＝16－(－8)＝24.答案 246．(2013·安徽卷)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．解析 根据题目中的约束条件画出可行域，注意到x ，y 非负，得可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．作直线y ＝－x ，并向上平移，当直线过点A (4,0)时，x ＋y 取得最大值，最大值为4. 答案 47．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎨⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________． 解析 如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值， ∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝ 2. 答案28．(2014·淮安质检)若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析 画出可行域，知当直线y ＝a 在x －y ＋5＝0与y 轴的交点(0,5)和x －y ＋5＝0与x ＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a <7. 答案 [5,7) 二、解答题9．(2014·合肥模拟)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．10．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 解 设投资人分别用x 万元，y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z ＝x ＋0.5y 变形为y ＝－2x ＋2z ，这是斜率为－2随z 变化的一组平行线，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域内的点M 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y轴上的截距2z 最大，z 也最大．这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点． 解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·昆明模拟)已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.解析 画出x ，y 满足的可行域如图，联立方程⎩⎨⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k3，y ＝－k 3，即C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k3，－k 3，由目标函数z ＝x ＋3y ，得y ＝－13x ＋z 3，平移直线y ＝－13x ＋z 3，可知当直线经过C点时，直线y ＝－13x ＋z3的截距最大，此时z 最大，把C 点代入z ＝x ＋3y ，得8＝－k 3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，解得k ＝－6.经检验，符合题意．答案 －62．(2014·临沂一模)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z＝y －ax 取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是________．解析 作出不等式对应的平面区域BCD ，由z ＝y －ax ，得y ＝ax ＋z ，要使目标函数y ＝ax ＋z 仅在点(1,3)处取最大值，则只需直线y ＝ax ＋z 仅在点B (1,3)处的截距最大，由图象可知a ＞k BD ，因为k BD ＝1，所以a ＞1，即a 的取值范围是(1，＋∞)． 答案 (1，＋∞)3．(2013·北京卷)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．解析 AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)．设P (x ，y )，由AP →＝λAB →＋μAC →，得⎩⎨⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，故有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2x －y －33，μ＝－x ＋2y ＋33，又λ∈[1,2]，μ∈[0,1]， 故有⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x －y －33≤2，0≤2y －x ＋33≤1，即⎩⎨⎧3≤2x －y －3≤6，0≤2y －x ＋3≤3. 则平面区域D 如图中阴影部分所示．由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出M (4,2)，N (6，3)，故|MN |＝5，又x －2y ＝0与x －2y －3＝0之间的距离为d ＝35，故平面区域D 的面积为S ＝5×35＝3. 答案 3 二、解答题4．变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 解 由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.作出(x ，y )的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎨⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎨⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. 故z 的取值范围是[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8. 故z 的取值范围是[16,64].。

高考数学 黄金配套练习7-3 理一、选择题1．点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则( ) A ．a ＜－7或a ＞24 B ．－7＜a ＜24 C ．a ＝－7或a ＝24 D ．以上都不对 答案 B解析 ∵(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧．∴(9－2＋a )·(－12－12＋a )<0 即(a ＋7)(a －24)<0 ∴－7<a <24.选B.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14答案 B解析 令x ＋y ＝u ，x －y ＝v ，于是集合B 转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧u ≤1，u ＋v ≥0，u －v ≥0的平面区域，如图，平面区域的面积为12×2×1＝1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 本题可以采取较为简单的方法，由于三条直线围成的平面区域是三角形，根据题意可知目标函数z ＝3x －4y 的最值一定在直线的交点处取得．三条直线的交点分别为A (0,2)，B (3,5)，C (5,3)，代入目标函数可得z ＝3x －4y 的最大值为3，在C 点处取得；最小值为－11，在B 点处取得，故选A.4．已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋y ≤2x ≥a，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a＝( )A ．0 B.13C.23D ．1 答案 B解析 依题意可知a <1.作出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 在A 点和B 点处分别取得最小值和最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a y ＝x得A (a ，a )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2y ＝x得B (1,1)．∴z max ＝3，z min ＝3a .∴a ＝13.5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋1≤0x ＋y ≤m，如果目标函数z ＝y x的最大值为2，则实数m＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 可作可行域如图所示，目标函数z ＝yx可以看作是可行域中一点与原点连线的斜率，显然目标函数的图象过点A 和点O 时，目标函数z ＝y x取得最大值2.此时x ＝1，y ＝2，∴m ＝1＋2＝3，故选B.6．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋2y ≤4y ≥12x ＋m ，且z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值为2，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．(－∞，43]D ．(0，43]答案 B解析 画出可行域如图所示，由题知z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2，过点(－1,1)作直线y ＝x 的垂线，垂足为原点O ，点(－1,1)与点O 之间距离的平方恰好为2，说明点O 一定在可行域内，则直线y ＝12x ＋m 在y 轴上的截距m ≤0，故选B.7．给出平面区域如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A.14B.35C ．4 D.53答案 B解析 －a ＝k AC ＝－35⇒a ＝35.8．已知方程ax 2＋bx －1＝0(a ，b ∈R 且a >0)有两个实数根，其中一个根在区间(1,2)内，则a －b 的取值范围为( )A ．(－1，＋∞) B．(－∞，－1) C ．(－∞，1) D ．(－1,1) 答案 A解析 令f (x )＝ax 2＋bx －1，由方程f (x )＝0有一根在(1,2)并结合二次函数图象可知满足：f (1)f (2)＝(a ＋b －1)(4a ＋2b －1)<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1>0，4a ＋2b －1<0，a >0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1<0，4a ＋2b －1>0，a >0.作出满足不等式的(a ，b )所对应的可行域，据线性规划知识可知对目标函数z ＝a －b ，当a ＝0，b ＝1时取得最小值－1.9．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2800元 答案 B解析 设需用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题目条件可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥100≤x ≤40≤y ≤8，目标函数z ＝400x ＋300y ，画图可知，当平移直线400x ＋300y ＝0至经过点(4,2)时，z 取得最小值2200元，故选B.二、填空题10．在区域M ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0<x <20<y <4内随机撒一粒黄豆，落在区域N ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y <4y >x x >0}内的概率是________．答案 12解析 作出可行域，可知区域M 的面积为8，区域N 的面积为4.故黄豆落在区域N 的概率为48＝12.11．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≤2x －y ≤0表示的平面区域的外接圆的方程为________ .答案 (x －32)2＋(y －32)2＝12解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知△ABC 为等腰直角三角形．从而可得A (2,2)，B (1,1)，因此△ABC 的外接圆的圆心为(32，32)，半径为(2－1)2＋(2－1)22＝22.所以所求外接圆的方程为(x －32)2＋(y －32)2＝12.三、解答题12．家具公司做书桌和椅子，需木工和漆工两道程序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工时，漆工平均每两个小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，安排生产多少把椅子，多少张书桌，能获得最多利润？答案 200 900解析 设生产x 把椅子，y 张书桌，获得利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8000，2x ＋y ≤1300，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2000，2x ＋y ≤1300，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝15x ＋20y .由线性规划知识，作可行域易知x ＝200，y ＝900时，z 取得最大值．13．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：a b (万吨) c (百万元) A 50% 1 3 B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为多少？(百万元)．答案 15解析 可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥00.5x ＋0.7y ≥1.9x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15.14．某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解析 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300500x ＋200y ≤90000x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3000x ＋2000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3005x ＋2y ≤900x ≥0，y ≥0，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图． 作直线l ：3000x ＋2000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3005x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)，∴z ＝3000x ＋2000y ＝700000(元)， 即在甲、乙两个电视台的广告时间分别为100分钟、200分钟时，收益最大，最大为700000元．教师备选题1．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A.285B ．4 C.125D ．2 答案 B。

《优化探究》2022高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：2-7[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难对数式的化简与求值1、3 6对数函数的图象与性质24、10、12对数函数的应用5、7、8、9111．化简：错误!＋og2错误!，得A．2 B．2－2og23C．－2 D．2og23－2解析：错误!＝错误!＝|og23－2|＝2－og23，而og2错误!＝－og23，则两者相加即为B 项．答案：B2．2022年合肥模拟函数＝错误!的大致图象是解析：由于错误!＝－错误!，所以函数＝错误!是奇函数，其图象关于原点对称．当>0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C答案：C3．2022年温州模拟已知函数f＝错误!，则f错误!＝B．eC．－错误!D．－e解析：由题意得，f错误!＝f错误!＝f－1＝e－1＝错误!答案：A4．已知a＝，b＝og1.10.7，c＝，则a，b，c的大小关系为A．a1.10.71.10.9＝0，a错误!＝错误!，则og错误!a＝________解析：∵a错误!＝错误!，∴og错误!a错误!＝og错误!错误!，∴错误!og错误!a＝og错误!错误!2＝2，∴og错误!a＝3答案：37．已知函数f＝错误!则使函数f的图象位于直线＝1上方的的取值范围是________．解析：当≤0时，3＋1>1⇒＋1>0，∴－10时，og2>1⇒>2，∴>2综上所述，的取值范围为－12答案：{|－12}8．2022年平顶山模拟定义在R上的奇函数f，当∈0，＋∞时，f＝og2，则不等式f1，∴[m2，n]＝错误!，f错误!＝错误!＝2|og2n|＝2fn．所以f在区间[m2，n]上的最大值为f错误!＝2fn．∴2|og2n|＝2∵n>1，∴n＝2，m＝错误!故n＋m＝错误!答案：错误!三、解答题10．已知函数f＝og a＋1－og a1－，a>0且a≠11求f的定义域；2判断f的奇偶性并予以证明．解析：1f＝og a＋1－og a1－，则错误!解得－10，且a≠1的最大值是1，最小值是－错误!，求a的值．解析：由题意知f＝错误!og a＋1og a＋2＝错误!og错误!＋3og a＋2＝错误!错误!2－错误!当f取最小值－错误!时，og a＝－错误!，又∵∈[2,8]，∴a∈0,1．∵f是关于og a的二次函数，∴函数f的最大值必在＝2或＝8时取得．若错误!错误!2－错误!＝1，则a＝2－错误!，此时f取得最小值时，＝2－错误!－错误!＝错误!∉[2,8]，舍去．若错误!错误!2－错误!＝1，则a＝错误!，此时f取得最小值时，＝错误!－错误!＝2错误!∈[2,8]，符合题意，∴a＝错误!12．能力提升已知函数f＝og a＋1a>1，若函数＝g图象上任意一点成立，求m的取值范围．解析：1设，即og a错误!≥m设F＝og a错误!，∈[0,1，由题意知，只要F min≥m即可．∵F在[0,1上是增函数，∴F min＝F0＝≤0即为所求．[因材施教·学生备选练习]1．2022年合肥模拟函数f＝－2n错误!的图象可能是解析：由错误!>0得函数的定义域为－1,1，因此排除选项A、B，又因为＝错误!＝－1＋错误!在0,1上单调递增，所以f在0,1上单调递减，由此排除C选项，故选D答案：D2．2022年淄博模拟设方程og4－错误!＝0，og错误!－错误!＝0的根分别为1，2则A．0<12<1 B．12＝1C．1<12<2 D．12≥2解析：依题意得og41－错误!1＝0，og错误!2－错误!2＝0，即og41＝错误!1，og错误!2＝错误!2，由图象可知0<2<1<1，所以og41＝错误!1，og42＝－错误!2，于是og41＋og42＝错误!1－错误!2，即og412＝错误!1－错误!2，而错误!1<错误!2，所以og412<0，即0<12<答案：A3．已知函数f＝og44＋1＋2∈R是偶函数．1求的值；2若方程f＝m有解，求m的取值范围．解析：1由函数f是偶函数，可知f＝f－，∴og44＋1＋2＝og44－＋1－2，即og4错误!＝－4，∴og4 4＝－4，∴＝－4，即1＋4＝0，对一切∈R恒成立，∴＝－错误!2由m＝f＝og44＋1－错误!＝og4错误!＝og4错误!，∵2＋错误!≥2，∴m≥og42＝错误!故要使方程f＝m有解，m的取值范围为错误!。

[命题报告·教师用书独具]1．(2012年高考广东卷)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43．2 3C. 3 .3 2解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC中，ACsin B＝BCsin A，∴AC＝BC·sin Bsin A＝32×2232＝2 3.答案：B2．(2013年安阳模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且b2＝a2－ac＋c2，C－A＝90°，则cos A cos C＝()A.14.24C．－14．－24解析：依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－14，选C.答案：C3．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( ) A.π4 .π6 C.2π3.π12解析：因为S △ABC ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，所以sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，故A ＝π4.答案：A4．(2013年江西师大附中月考)在△ABC 中，∠A ＝60°，且角A 的角平分线AD 将BC 分成两段BD 、DC ，且BD ∶DC ＝2∶1，若AD ＝43，则C ＝( )A.π6 .π4 C.π2.π3解析：因为AD 是角A 的角平分线，所以AC ∶AB ＝CD ∶DB ＝1∶2.设AC ＝x ，则AB ＝2x .易知3S △ACD ＝S △ABC ，即3×12×43×sin 30°＝12×2x 2sin 60°，解得x ＝6，所以AB ＝12.由余弦定理得BC ＝6 3.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以C ＝π2. 答案：C5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形解析：依题意得a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58，12<58<32，因此30°<B <60°，或120°<B <150°.若30°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，选C.答案：C 二、填空题6．(2012年高考湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.解析：应用余弦定理求角．由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3. 答案：2π37．(2013年大同质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 依次成等差数列，AB ＝8，BC ＝5，则△ABC 外接圆的面积为________．解析：记△ABC 的外接圆半径为R .依题意得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，因此有B ＝π3，所以AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝7.又2R ＝AC sin B ＝7sin 60°，即R ＝73，故△ABC 的外接圆的面积是πR 2＝49π3. 答案：49π38．(2012年高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：利用同角三角函数基本关系式、三角函数和角公式及正弦定理求解．在△ABC中，∵cos A＝35>0，∴sin A＝45.∵cos B＝513>0，∴sin B＝1213.∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin A cos B＋cos A sin B＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知bsin B＝csin C，∴c＝b sin Csin B＝3×56651213＝145.答案：14 59．有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a＝3，2cos2A＋C2＝(2－1)cos B，c＝________，求角A.(答案提示：A＝60°，请将条件补充完整)解析：由题知1＋cos(A＋C)＝(2－1)cos B，所以1－cos B＝(2－1)cos B，解得cos B＝22，∴B＝45°，又A＝60°，所以C＝75°.根据正弦定理得3sin 60°＝csin 75°，解得c＝6＋22.故应填6＋2 2.答案：6＋2 2三、解答题10．(2013年北京海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，sin B＝3 3.(1)求cos A及sin C的值；(2)若b＝2，求△ABC的面积．解析：(1)因为A ＝2B ， 所以cos A ＝cos 2B ＝1－2sin 2B . 因为sin B ＝33， 所以cos A ＝1－2×13＝13.由题意可知，A ＝2B,0<A <π，所以0<B <π2. 所以cos B ＝1－sin 2B ＝63.因为sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝223.所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.(2)因为b sin B ＝asin A ，b ＝2， 所以233＝a 223. 所以a ＝463.所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝2029.11．(2012年高考大纲全国卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解析：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ， 由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12. 又a ＝2c ，所以C ＝π6.12．(能力提升)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6.(1)求∠BAC 的大小；(2)设E 为AB 的中点，已知△ABC 的面积为15，求CE 的长． 解析：(1)由已知得tan ∠BAD ＝BD AD ＝13， tan ∠CAD ＝CD AD ＝12，则tan ∠BAC ＝tan(∠BAD ＋∠CAD )＝13＋121－13×12＝1， 又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4.(2)设BD ＝2t (t >0)，则DC ＝3t ，AD ＝6t ，由已知得S △ABC ＝12×(2t ＋3t )6t ＝15，则t ＝1，故BD ＝2，DC ＝3，AD ＝6，所以AB ＝AD 2＋BD 2＝2 10，AC ＝AD 2＋DC 2＝35，则AE ＝AB2＝10， 由余弦定理得CE ＝AE 2＋AC 2－2AE ·AC ·cos ∠BAC ＝5.[因材施教·学生备选练习]1．(2012年高考安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解析：(1)解法一 由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.解法二 由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.(2)解法一 因为A D →2＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22 ＝14(A B →2＋A C →2＋2AB →·AC →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋2×1×2×cos π3＝74， 所以|AD→|＝72.从而AD ＝72. 解法二 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.2．(2013年南昌模拟)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin B sin C ，3＋2cos B cos C )，且m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)现给出以下三个条件：①B ＝45°；②2sin C －(3＋1)·sin B ＝0；③a ＝2.试从中再选择两个条件以确定△ABC ，并求出所确定的△ABC 的面积．解析：(1)∵m ⊥n ，∴2sin B sin C －2cos B cos C －3＝0， ∴cos(B ＋C )＝－32， ∴cos A ＝32，又0<A <π，∴A ＝30°.(2)解法一 选择①③，∵A ＝30°，B ＝45°，C ＝105°，a ＝2且sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24，c ＝a sin Csin A ＝6＋2， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3＋1.解法二 选②③，已知A ＝30°，a ＝2， ∵2sin C －(3＋1)sin B ＝0， ∴2c ＝(3＋1)b ，∴c ＝3＋12b .由余弦定理，知a 2＝4＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12b 2－2b ×3＋12b ×32. ∴b 2＝8，∴b ＝22，c ＝3＋12b ＝6＋2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋1.注：不能选①②，因①②不能确定△ABC .。

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：3-6[命题报告·教师用书独具]1.sin 20°cos 20°cos 50°＝( )A ．2 B.22C. 2D.12解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12，选D.答案：D2．(2013年上饶四校联考)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝12，则cos 2α的值为( )A.74 B ．－74C ．±74D ．－14解析：将sin α＋cos α＝12两边平方，得1＋sin 2α＝14，∴sin 2α＝－34，∴sin α>0，cos α<0，可知π2<α<π.又sin α>|cos α|，∴π2<α<3π4，即π<2α<3π2，∴cos 2α＝－74，故选B. 答案：B3．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－43解析：1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D. 答案：D4．(2013年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，而c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，所以c <a <b .答案：B5．(2012年高考湖南卷)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求解．∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]． 答案：B 二、填空题6．计算：tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝________. 解析：原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12° cos 24°＝2sin 12°－60°12sin 48°＝－4.答案：－47．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin 2x －sin 2xcos 2x ＝________.解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，由f (x )＝2f ′(x )得sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ，∴cos x ＝3sin x ，于是sin 2x －sin 2x cos 2x ＝sin 2x －2sin x cos xcos 2x ＝sin 2x －6sin 2x 9sin 2x ＝－59. 答案：－598．(2012年高考大纲全国卷)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________.解析：利用正弦函数的性质求解． ∵y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3(0≤x <2π)．由0≤x <2π知，－π3≤x －π3<5π3，∴当y 取得最大值时，x －π3＝π2，即x ＝56π.答案：56π9．(2013年北京海淀模拟)若tan α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝－2tan α1＋tan 2α＝－2×121＋14＝－45.答案：－45三、解答题10．(2012年高考四川卷)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2·cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．解析：(1)由已知，f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12 ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知，f (α)＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35.所以sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－1825＝725.11．(2012年高考重庆卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．解析：(1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π<φ≤π，得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos 2x＝2cos 2x －13cos 2x ＋222cos 2x －1＝32cos 2x ＋1⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x ≠12.因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，74∪⎝ ⎛⎦⎥⎤74，52. 12．(能力提升)已知函数f (x )＝cos 2ωx －3sin ωx ·cos ωx (ω>0)的最小正周期是π. (1)求函数f (x )的单调递增区间和对称中心；(2)若A 为锐角三角形ABC 的内角，求f (A )的取值范围． 解析：(1)依题意，得f (x )＝1＋cos 2ωx 2－32sin 2ωx＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋12，∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12， 由－π＋2k π≤2x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，得－2π3＋k π≤x ≤－π6＋k π，k ∈Z . ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋k π，－π6＋k π，k ∈Z . 令2x ＋π3＝π2＋k π，∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z .∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，12，k ∈Z . (2)依题意，得0<A <π2，∴π3<2A ＋π3<4π3，⎝⎭32∴－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋12<1， ∴f (A )的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1. [因材施教·学生备选练习]1．(2013年烟台模拟)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的周期和单调递增区间； (2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围． 解析：(1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴周期T ＝π.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2解得，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，∴m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]． 2．已知f (x )＝cos x (cos x －3)＋sin x (sin x －3)， (1)若x ∈[2π，3π]，求f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4且f (x )＝－1，求tan 2x 的值．解析：(1)由已知得，f (x )＝cos 2x －3cos x ＋sin 2x －3sin x＝1－3(cos x ＋sin x )⎝⎭4由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．又∵x ∈[2π，3π]， ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤9π4，3π.(2)由(1)知f (x )＝1－32sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－1.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝23.∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝59. ∴sin 2x ＝－59.∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2.∴cos 2x ＝－1－sin 22x ＝－2149.∴tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝51428.。

[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确的是()A.a＝bb＝aB.c＝bb＝aa＝cC.b＝aa＝bD.a＝cc＝bb＝a解析：由赋值语句可知B正确．答案：B2．(2013年金华模拟)执行下面的程序框图，输出的S＝()A．25 B．9C．17 D．20解析：由结构框图中循环体执行了2次输出的结果为17.答案：C3．运行如图所示的程序框图，输入下列四个函数，则可以输出的函数是() A．f(x)＝x2B．f(x)＝cos 2xC．f(x)＝e x D．f(x)＝sin πx解析：只有f(x)＝sin πx满足f(x)＝0有解，且f(x)＝f(x＋2)成立，所以可以输出的函数只有f(x)＝sin πx.答案：D4．(2013年合肥模拟)如图所示，程序框图输出的n为()A．10 B．11C．12 D．13解析：由框图可知，该程序为求数列a n＝12n－13的前n项和大于零的n的最小值，由a n的形式可知：S12＝0，a13>0，S13>0，所以选D.答案：D5．(2013年临沂检测)执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是()A．k>7? B．k>6?C．k>5? D．k>4?解析：第一次循环：k＝1＋1＝2，S＝2×0＋2＝2；第二次循环：k＝2＋1＝3，S＝2×2＋3＝7；第三次循环：k＝3＋1＝4，S＝2×7＋4＝18；第四次循环：k＝4＋1＝5，S＝2×18＋5＝41；第五次循环：k＝5＋1＝6，S＝2×41＋6＝88，满足条件则输出S的值，而此时k＝6，故判断框内应填入的条件应是“k>5？”．答案：C二、填空题6．根据下图所示的程序，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为________．READ a，bIF a>b THENm＝aELSEm＝bEND IFPRINT m解析：∵a ＝2，b ＝3，∴a<b ，应把b 值赋给m ，∴m 的值为3. 答案：37．(2013年惠州模拟)对任意非零实数a ，b ，若a?b 的运算原理如下程序框图所示，则3?2＝________.解析：∵a ＝3，b ＝2，a>b ，∴输出a ＋1b ＝3＋12＝2.答案：28．(2012年高考福建卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________．解析：逐次循环可得s 的值，注意循环结束的条件．第一次循环：s ＝1，k ＝1<4，s ＝2×1－1＝1，k ＝1＋1＝2；第二次循环：k ＝2<4，s ＝2×1－2＝0，k ＝2＋1＝3；第三次循环：k＝3<4，s＝2×0－3＝－3，k＝3＋1＝4；当k＝4时，k<4不成立，循环结束，此时s＝－3.答案：－39．(2013年郑州模拟)阅读如图所示的程序框图，若输入m＝4，n＝6，则输出a＝________，i＝________.解析：要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍数12，即此时有i＝3.答案：12 3三、解答题10．已知函数f(x)＝3x－1x<0，2－5x x≥0，写出求该函数的函数值的算法并画出程序框图．解析：算法如下：第一步，输入x.第二步，如果x<0，那么使f(x)＝3x－1.否则f(x)＝2－5x.第三步，输出函数值f(x)．程序框图如下：11．用循环语句来书写1＋22＋32＋…＋n2>100的最小自然数n的算法，画出算法程序框图，并写出相应的程序．解析：算法如下：第一步，S＝0.第二步，n＝1.第三步，S＝S＋n2.第四步，如果S≤100，使n＝n＋1，并返回第三步，否则输出n－1.相应的程序框图如图所示．相应的程序：12．(能力提升)甲、乙两位同学为解决数列求和问题，试图编写一程序．两人各自编写的程序框图分别如图1和如图2.(1)根据图1和图2，试判断甲、乙两位同学编写的程序框图输出的结果是否一致？当n＝20时分别求它们输出的结果；(2)若希望通过对图2虚框中某一步(或几步)的修改来实现“求首项为2，公比为3的等比数列的前n项和”，请你给出修改后虚框部分的程序框图．解析：(1)图1中程序的功能是求2＋4＋6＋8＋…＋2n的和，当n＝20时，S ＝2＋4＋6＋…＋40＝420.图2中程序的功能是求2＋4＋6＋…＋2n的和，当n＝20时，S＝2＋4＋6＋…＋40＝420.所以甲、乙两位同学编写的程序输出的结果是一致的．(2)修改后部分程序框图为[因材施教·学生备选练习]1．(2013年济南模拟)如下边程序框图所示，已知集合A＝{x|框图中输出的x值}，集合B＝{y|框图中输出的y值}，全集U＝Z，Z为整数集．当x＝－1时(?U A)∩B ＝()A．{－3，－1,5}B．{－3，－1,5,7}C．{－3，－1,7}D．{－3，－1,7,9}解析：据程序框图可得A＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，故(?U A)∩B＝{－3，－1,7,9}．答案：D2．根据下面的程序框图，要使得输出的结果在区间[－1,0]上，则输入的x的取值范围是________．解析：由程序框图可得输出值y＝x2，x<0，4－2x，x≥0，若y∈[－1,0]，则－1≤x2≤0，x<0，或－1≤4－2x≤0，x≥0，解得2≤x≤5 2 .答案：2，5 2高考试题库w。