柱 锥 台的体积详解共43页

C. 2000cm3
D 4000cm3
5．教材P28、3将一个长方体沿相邻三个面 的对角线截出一个棱锥，则此椎体的体积与 剩下的几何体体积的比为 1:5
所以螺帽的个数为 5.8×1000÷(7.8×2.956) ≈252(个)
答：这堆螺帽大约有252个．
小结： 柱体、锥体、台体的表面积
圆柱 S 2r (r l ) r r
圆柱、圆锥、 圆台
S (r2 r 2 rl rl ) 圆台
r 0
圆锥 S r (r l )
A．1
1 B． 2
1 C． 3
1 D． 6 [来
例 1、在△ ABC 中, AB 2, BC , ABC 120 °,若将△ ABC 绕 直线 BC 旋转一周，求所形成的旋转体的体积.
3 2
解：设底面圆的圆心为O，连接AO、BO，则： 在△AOB中，∠ABO=60°
O B A
AO AB sin 60 3
1 V台体 ( S ' S ' S S )h 3 ( S ' , S分别是上下底面面积 , h是台体高)
思考:你能发现三者之间的关系吗？
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
S 0 1 1 V Sh V ( S S S S )h V Sh 3 3 S为底面面积， S为底面面积， S ,S分别为上、下底面
【典例探究】
3 例 1、在△ ABC 中, AB 2, BC , ABC 120 °,若将△ ABC 绕 2 直线 BC 旋转一周，求所形成的旋转体的体积.
展示与探究
A
B C
变式：如图所示，一个空间几何体的 正视图、侧视图、俯视图为全等的等 腰直角三角形，如 果直角三角形的直 角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）

（B） 1 V 3
（D） 2 V 3
5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则
它的体积是
3 5 5.
6．一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个
球的体积是V，则这个正方体的体积
Байду номын сангаас
是
2 3V 3
.
7. 若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的 体积扩大为原来的（ D ）
（A）3倍 （B）9倍 （C）27倍 （D）3 3 倍
D/
D/
C/
A/
A/
B/
D
D
C
C
A
S
B
1
h5
例2: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积。 D1
C1
解:
V V A1 棱B 1锥 A 1B1C 棱B 锥 A 1B 1 C 1
13SA1B1C1 BB1
O
11a2 a 3 2
D
1 a3
A
6
所以棱锥B1-A1BC1的体积为
5 a3
A
6
所以多面体A1D1C1-ABCD的体积为
D
5 a3 6
C B
求体积的方法
等体积法：它是通过选择合适的底面来求 体积的一种方法
例3、一个正方体的所有顶点都在球面上 （球的内接正方体）若正方体棱长为a， 求此球的体积。
解：由题意知，球的直径为正方体的
2a
体对角线
a
3a
由球的体积公式得
V34
祖暅原理:幂势既同，则积不容异。
水平截面面积 + 高
体积
说明：
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体 积相等。

几何体 柱体 锥体
台体
柱、锥、台的体积公式
体积
说明
V 柱体＝Sh
S 为柱体的底面积， h 为柱体的高
1
V 锥体＝3Sh
S 为锥体的底面积， h 为锥体的高
V 台体＝1
3
(S 上＋S 下
S 上，S 下分别为台体
的上、下底面面积，
＋ S上·S下)h
h 为台体的高
2．柱体和锥体可以看作是由台体变化得到 的．柱体可以看作是上、下底面全等的台体，锥体 可以看作是上底面退化成一点的台体，因此很容易 得出它们之间的体积关系：
1.一个几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的体积为______．
2.如图，长方体的长、宽、高分别 为3、2、4，将长方体沿相邻三个 面的对角线截出一个棱锥， 求剩下的几何体的体积．
的体积是
()
A．28π
B．6＋2 2
C．20π
D．6π
1．对于多面体的体积问题往往将已知条件归结到 一个直角三角形中求解，因此在解此类问题时，要注意 直角三角形的应用．
2．有关旋转体的体积计算要充分利用其轴截面， 将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的 数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体 积公式进行运算、解答．
解析：设圆锥的高为h，底面半径为r，其轴截面如图： ∵△ ABC为等边三角形 ∴ h＝ 3r 又12×2r×h＝ 3
又12×2r×h＝ 3
∴ r· 3r＝ 3
∴ r＝1
h＝ 3
∴ V＝13πr2h
＝13×π×1× 3＝ 33π
答案：
3 3π
例3： 圆台的上、下底面半径分别是2,4，高为 3，则该圆台
上底扩大
上底缩小

一、体积的概念与公理
体积：几何体占有空间部分的大小；
公理1 长方体的体积等于它的长、宽、高的积。 V长方体= abc
推论1 长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。
V长方体= sh 推论2 正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
V正方体= a3
公理2 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行
于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
3
SS S)h
S 0
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面 S为底面面积，
h为锥体高 面积，h 为台体高
h为柱体高
思考：从一个正方体中，如图那样截去4个 三棱锥后，得到一个正三棱锥A－BCD，求 它的体积是正方体体积的几分之几？
❖1.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根 据条件找出相应的底面面积和高，要充分利 用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间 问题转化为平面问题．
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
C B
O C1
B1
关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
球的表面积和体积
（
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S1，S2，S3...Sn
O
则球的表面积：
S S1 S2 S3 ... Sn
Si
O
Vi
设“小锥体”的体积为：Vi 则球的体积为：
V V1 V2 V3 ... Vn
第二步：求近似和
Si
hi
O
O
Vi
Vi
1 3
Si
hi
由第一步得： V V1 V2 V3 ... Vn

其中，S上，S下分别为棱台的上、下底面积，h为高.
思考交流
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？ 柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大 上底缩小
V = Sh
S′ = 0
S为底面面积， 为底面面积， 为底面面积 h为锥体高 为锥体高
S′ = S 1 1 V = Sh V = (S′ + S′S + S)h 3 3 S为底面面积， 为底面面积， 为底面面积 S分别为上、下底面 分别为上、 分别为上 h为柱体高 为柱体高 面积， 面积，h 为台体高
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 圆锥、 圆锥、圆台的体积
阳泉十一中
数学教研组
一、棱柱和圆柱
我们知道， 我们知道，长方体的体积等于它的底面 即乘高，类似地， 即乘高，类似地，棱柱和远处的体积和等于 它的底面即乘高.即 它的底面即乘高 即
V柱体=Sh
其中， 为柱体的底面积 为柱体的底面积， 为柱体的高 为柱体的高. 其中，S为柱体的底面积，h为柱体的高
埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580 例1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前 其形状为正四棱锥，金字塔高146.6m， 年，其形状为正四棱锥，金字塔高 ， 底面边长230.4m.问：这座金字塔的侧面积 底面边长 问 和体积各是多少？ 和体积各是多少？ A
B
﹒ C
已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底 例2 已知一正四棱台的上底边长为 下底 边长为8cm，高为3cm.求其体积。 ，高为 求其体积。 边长为 求其体积
等底等高柱体的体积相等吗？ 等底等高柱体的体积相等吗？
定理： 定理：等底等高柱体的体积相等
二、棱锥和圆锥
棱锥和圆锥的体积可以用下面的公式来 计算： 计算：

如果台体的上下底面是圆形，则可以将上下底面的半径作为变量代入公式计算。
如果台体的上下底面是其他形状，则需要根据具体形状计算面积，再代入公式计算 体积。
04
特殊形状的表面积和体积
球体的表面积和体积
球体的表面积计算公式
$4pi r^{2}$，其中$r$为球体的半径。
球体的体积计算公式
球体表面积和体积的应用
《柱体锥体台体的表面积和体积》 课件
• 柱体的表面积和体积 • 锥体的表面积和体积 • 台体的表面积和体积 • 特殊形状的表面积和体积 • 实际应用与问题解决
01
柱体的表面积和体积
柱体的定义和性质
定义
柱体是一个三维图形，由一个矩 形或圆形底面和垂直于底面的侧 面构成。
性质
柱体的侧面是平行且等长的多边 形或圆环，其表面积和体积的计 算方法与底面的形状有关。
柱体的表面积计算
01
02
03
公式
柱体的表面积 = 底面积 + 侧面积
底面积
矩形底面 = 长 × 宽，圆 形底面 = π × 半径^2
侧面积
矩形侧面 = 高 × 长，圆 形侧面 = 高 × 2π × 半径
柱体的体积计算
公式
柱体的体积 = 底面积 × 高
底面积
矩形底面 = 长 × 宽， 圆形底面 = π × 半径 ^2
锥体的表面积计算
侧面面积计算公式为
01
$S_{侧面} = pi r l$，其中$r$为底面半径，$l$为侧面高。
底面面积计算公式为
02
$S_{底面} = pi r^2$。
锥体的总表面积计算公式为
03
$S_{总} = S_{侧面} + S_{底面}$。

正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图是三角形。
同理，棱台的展开图呢？ 棱台的展开图是梯形。
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。
例一 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四 面体S-ABC，求它的表面积 。
O
与定点的距离等于定长 的点的集合，叫做球面
直径
半径 球心
2、 球的表面积
o
定理：半径为R的球的表面积是 S 4R 2
思考：经过球心的截面圆面积是什么？它与球的 表面积有什么关系？
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
3、 球的体积
定理：半径为R的球的体积是 V 4 R 3 3
例2、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
V 1 Sh 3
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， S′=0，则公式分别变形为什么？
V 1 (S SS S)h 3
S′=S
S′=0
V Sh
V 1 Sh 3
例三
有一堆规格相同的铁制（铁的密是 7.8g/cm3 ）六 角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为 12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺 帽大约有多少个（π取3.14）？
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体 积之差，即:
V 3 122 610 3.14 (10)2 10
4
2
2956(mm 3 ) 2.956(cm3 )
所以螺帽的个数为 答：这堆螺帽大约有252个．
（个）
讲授新课
1、球的概念
与定点的距离小于或等于定长的点的集合， 叫做球体，简称球

（课本P47例4 ）
解:如图,AC为高为146.6m,底面边长为115.2m,
V 1 S AC 1 230.42 146.6 2594046.（ 0 m3）
3
3
答:金字塔的体积约是 2594046.0m3.
例2、已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底边长为 8cm,高为3cm,求其体积.（课本P48例45）
习题2、某小区修建一个圆台形的花台，它的两底面半 径分别为1m和2m，高为1m，问：需要多少立方米土才 能把花台填满？(结果用 表示)
（课本P50练习1，台体体积公式应用）
习题3、一块正方形薄铁片的边长是 a ，以它的一个 顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形， 用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积.
V柱体= sh
h
S
S
h S
二、棱锥和圆锥的体积
D1 A11
D
C11 B11
C
A
B
正方体（边长为a）
请大家猜想下： 棱锥的体积公式是什么？
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
V锥体
1 3
Sh
h
S
S
三、棱台和圆台的体积
上节课我们知道，柱锥台的侧面积公式有着紧密联 系。那柱、锥、台的体积公式是否也有联系呢？
柱、锥、台体积的计算公式及它们之间的联系：
V Sh
上底扩大
上底缩小
S上 =S S下 =S
S上 =0 S下 =S
V
1 3
( S上
S下
S上 S下 )h
V 1 Sh 3
棱台和圆台的是怎样得到的?
例1、埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年,其形状 为正四棱锥.金字塔高146.6米,底面边长230.4米. 这座金字塔的体积是多少？（精确到十分位）

4、已知圆锥的底面面积为16π，它的母线 长为5,则这个圆锥的体积为_________。 5、正棱台的两个底面面积分别是121cm2 和81cm2的正方形，正棱台的侧棱长 为2cm，这个棱台的体积为________。
如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的 正 方 形 ， 且 ADE 、BCF 均 为 正 三 角 形 ， EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ A ）
a 3
3
割补法
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则 1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/
s/ s
h
s
台体
x xh
x
s' s
S
'
x
h
h s' s s'
S
1 1 1 ' 1 1 ' V台 S（h x) S x Sh Sx S x 3 3 3 3 3
已知A、B是三棱柱上底面两边的中点， 如图截面ABCD将三棱柱分为两部分，求 这两部分的体积比。
E A V1
B
V2 C
设△ABE的面积为S
1 V1 h( S S 4S 4S ) 3
7 Sh 3
7 5 V2 4Sh Sh Sh 3 3
D
V1 : V2 7 : 5
1 1 = S x h S x 3 3




棱台(圆台)的体积公式:
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台 （棱台）的高．
1 V ( S S S S )h 3
例.圆台的上下底半径分别是10cm和20cm,它的 侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台 的体积是多少？ (结果中保留π)

(1 )
O
O (2 )
A
(2)三个圆锥的体积之比为VSO1 :VSO2 :VSO = (πr ⋅ SO ) : (πr ⋅ SO2 ) : (πr2 ⋅ SO) = SO3 1 1
2 1 2 2 3 : SO2 : SO3 =1: 8: 27,所以由上至下三部
分的体积比为 : 7 :19. 1
◆ 探究三 台体的体积
O
1
A
1
O
A
1
1
O
2
A
2
O
2
A
2
B (1 )
O
A
O (2 )
A
解：过圆锥的高SO作其轴截面，如图（2），设 过圆锥的高SO作其轴截面 如图（ ），设 作其轴截面， 原圆锥的底面半径为r,由上至下两个截面圆的半 原圆锥的底面半径为r,由上至下两个截面圆的半 径分别为r . 径分别为r1 ,r2 ,相应的母线长分为 l 1 , l 2
A A’ B’ C’ B
C
A B
C
总结提升： 总结提升：
1 (1)棱 ：V = Sh(S为 面 ， 为 锥 高 ； 锥 底 积 h 棱 的 ） 3 1 1 2 (2)圆 ： = Sh = πr h(S为 面 ， 为 锥 锥 V 底 积 h 圆 3 3 的 ，为 面 径. 高 r 底 半 ）
例1 如图，过圆锥SO的两个三等分点分别作平行于底 如图，过圆锥SO的两个三等分点分别作平行于底 面的截面，两截面将圆锥的侧面分成三部分： 面的截面，两截面将圆锥的侧面分成三部分： （1）求三部分侧面面积的比； 求三部分侧面面积的比； （2）求圆锥被分成的三部分的体积比（由上到下）. 求圆锥被分成的三部分的体积比（由上到下）
B