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ln W 600 0.05 t ln C
(C为正常数 )
W 600 Ce0.05t
W 600 Ae0.05t ( A C )
将 W (0) W0 代入 , 有W0 600 A 所以方程通解:
W 600 (W0 600)e
0.05t
上式推导过程中W 600,
ye
P ( x ) dx
Q( x )e P ( x )dx dx C .
这种通过将齐次方程通解中任意常数变易为待 定函数的方法称为常数变易法.
常数变异法求解y P( x ) y Q( x )的步骤：
（ 1）求对应的齐次方程y P( x ) y 0的解，得到 P ( x ) dx y Ce
下面介绍解方程 （9 16) 的常用方法，步骤如下：
求出方程 （ 9 16) 对应的齐次方程 （ 9 17) 的通解
y Ce
P ( x ) dx
,
将 C 换成待定函数 C ( x ) , 即令方程 （ 9 16) 的通解为
y C ( x )e
P ( x ) dx
( 3) 讨论在 W0 500, 600, 700 三种情况下 , W ( t ) 的变 化特点.
解 (1) 利用平衡法, 即由
净资产增长速度= 资产本身增长速度 职工工资支付速度
dW 0.05W 30 得到方程 dt dW (2) 分离变量, 得 0.05 dt W 600
积分, 得 于是 或
例9
解
求方程 x 2 y xy 1 的通解 .
方法一、由方程对应的齐次方程 2 x y xy 0
分离变量, 得
1 1 dy dx y x
二、齐次微分方程
1. 齐次微分方程 形如
dy y f dx x
2 2
(9 12)
的一阶微分方程, 称为齐次微分方程, 简称齐次方程. 例如,
( xy y )dx ( x 2 xy )dy 0 ,
2
y y 2 dy xy y x x 2 . dx x 2 xy y 1 2 x 所以该方程是齐次方程.
所给方程为齐次方程, 整理得 p1 1 dP1 P2 P1 dP2 1 P1 P2 P2 P1 1 u 令 u , 则有 P2 u u u P2 1 u 解
分离变量, 得
dP2 1 1 2 du 2 P2 u u
1 ln u ln P22 ln C 积分, 得 u
P1 将 u 回代, 于是有通解 P2
e
P2 P1
CP1 P2
其中 C 为任意正的常数.
三、一阶线性微分方程
形如
y P ( x ) y Q ( x ) (9 16)
的一阶微分方程, 称为一阶线性微分方程, 其中,
若 Q( x ) 0 , 方程变为 y P ( x ) y 0
P ( x ) dx P ( x ) dx e ( y P ( x ) y ) e Q( x )
P ( x ) dx P ( x ) dx d P ( x ) dx y e ( y P ( x ) y ) Q( x )e , e dx
于是所求特解为
Ne y Nax . 3e
Nax
例4 某公司t 年净资产有 W (t ) (单位 : 百万元) , 并且
资产本身以每年 5% 的速度连续增长 , 同时该公司每
年要以30百万元的数额连续支付职工工资.
(1) 给出描述净资产 W (t ) 的微分方程;
(2) 求解方程 , 这时假设初始净资产为W0 ;
,
(9 Q( x )，得
C ( x )e P ( x )dx P ( x )C ( x )e P ( x )dx Q( x )
C ( x )e
P ( x ) dx
C ( x ) P ( x )e
2 即得通解 arctan y ( x 1)3 C ( C为任意常数 ) 3
例2 解
求方程 4 xdx 3 ydy 3 x 2 ydy 的通解 .
合并同类项, 得
4 xdx 3 y(1 x 2 )dy 4x 分离变量, 得 2 dx 3 ydy 1 x 4x 2x 3 两边积分, 得 d x 3 ydy d x yd y 2 2 1 x 1 x 2 3 2 d(1 x 2 ) 3 2 ydy ln(1 x ) y ln C . 2 4 1 x 2
即有通解 1 x 2 e
3 2 y ln C 4
Ce
3 2 y 4
( C 为正常数 )
dy 例3 求解逻辑斯蒂方程 ay( N y ) 的通解 , 以及 dx 1 y(0) N 的特解 , 式中 a 0 , N y 0 . 4 dy 解 分离变量, adx y( N y )
对应的齐次线性方程的通解为
y Ce
P ( x )dx
.
(9 18)
其中 C 为任意常数.
2. 一阶非齐次线性方程的解法
y Ce
P ( x ) dx
将方程 （9 17) 的通解变形为
P ( x ) dx ye C,
P ( x ) dx d P ( x )dx y e ( y P ( x ) y ) 0, 两边求导，得 e dx P ( x ) dx 将方程 (9 16) 两端同乘 e , 利用上面的等式 , 得
均为可分离变量方程. 将微分方程化为分离变量形式求解方程的方法， 称为分离变量法.
dy 2( x 1)2 (1 y 2 ) 的通解 . 例1 求方程 dx
解
分离变量, 得
1 2 d y 2 ( x 1 ) dx 2 1 y
两边积分, 得
1 2 d y 2 ( x 1 ) dx 1 y2
dW 0, 可知 W 600 W0 , 当W 600 时 , dt 通常称为平衡解, 仍包含在通解表达式中.
(3) 由通解表达式可知, 当W0 500 百万元时 ,
净资产额单调递减, 公司将在第36年破产;
当W0 600 百万元时 , 公司将收支平衡, 净资产保持
在600百万元不变; 当W0 700百万元时, 公司净资产 将按指数不断增长.
则称方程(9-17)为一阶齐次线性方程,
(9 17)
若 Q( x ) 不恒等于零 ,
则称方程 ( 9 16 ) 为一阶非齐次线性方程.
1. 一阶齐次线性方程的解法
dy P ( x ) y 0. dx
可分离变量的方程
dy 分离变量，得 P ( x )dx , y
两端积分，得 ln y P ( x )dx ln C ,
1 1 2 ~ ln u u ln x ln C 2 2
积分, 得
即 ue
u2
2 Cx 2 , C C
y 将 u 回代, 得方程通解 x
ye
y2 2 x
Cx 3
其中 C 为任意常数 .
例7 设商品 A 和商品 B 的售价分别为 P1 , P2 , 已知
价格 P1 与 P2 相关 , 且价格 P1 相对于 P2 的弹性为 P2dP1 P2 P1 , 求 P1 与 P2 的函数关系式 . P1dP2 P2 P1
dy y 齐次方程 f 的解法： dx x y 令 u 或 y xu x 其中 u 是新的未知函数 u u( x ) ,
y xu u
(9 13)
代入方程 ( 9 12 ) ，得 xu u f (u)
du 即x f ( u) u dx
的一阶微分方程, 称为可分离变量方程.
对（9-10）两边积分, 得通解
f ( x ) d x g( y ) d y C
例如 dy ( x )h( y ) , dx
(9 11)
M 1 ( x ) M 2 ( y )dy N 1 ( x ) N 2 ( y )dx 0 .
(2)对上面的解常数变异,即令y C ( x )e
P ( x ) dx
.
(3)将上述表达式代入原方程, 解得
P ( x ) dx C ( x ) Q( x )e dx C
(4)将C ( x)的表达式代回（2）中表达式得到通解：
ye
P ( x ) dx
Q( x )e P ( x ) dx dx C .
ln sin u ln x ln C ln xC
y 即 sin u Cx 将 u 代入上式 , 即得方程通解 x y sin Cx ( y x arcsin Cx ) 其中 C 为任意常数 . x
例6 求方程 ( x 3 2 xy2 )dy (2 y 3 3 yx 2 )dx 0 的通解 .
解
将方程改写为齐次方程
y y 2 3 dy x x 2 dx y 1 2 x
y 3u 2u 3 令 u , 则有 xu u 2 , x 1 2u
3
即
du 2u x dx 1 2 u 2
dx 1 分离变量, 得 u du x 2u
P ( x ) dx
P ( x )C ( x )e
P ( x ) dx
Q( x ) ,
即得 C ( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
, 两边积分得
P ( x ) dx C ( x ) Q( x )e dx C ,
