【K12教育学习资料】[学习]2018高中数学 第2章 平面解析几何初步 第二节 圆与方程2 直线与

第二章 平面解析几何初步[自我校对] ①y 2－y 1x 2－x 1(x 2≠x 1) ②点斜式 ③两点式 ④一般式 ⑤|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2__________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________直线方程及两直线的位置关系 1.直线方程的五种形式及其选取直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．2．两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直是解析几何中两条直线最基本的位置关系，其判定如下：的绝对值为1，求这两条直线的方程.【精彩点拨】 考虑直线斜率是否存在，不存在时可直接求出，存在时设方程利用截距关系求k .【规范解答】 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y ＝kx ＋2.令y ＝0，分别得x ＝－1，x ＝－2k.由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k ＝1，即k ＝1.则直线的方程为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2， 即x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.综上可知，所求的直线方程为x ＝－1，x ＝0，或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0. [再练一题]1．求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x －y －1＝0平行的直线l 的方程．【解】 法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.∵直线l 和直线3x －y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝3，∴根据点斜式有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35.即所求直线方程为15x －5y ＋2＝0.法二 ∵直线l 过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点，∴可设直线l 的方程为：2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0.∵直线l 与直线3x －y －1＝0平行， ∴λ＋23＝λ－3－1≠2λ－3－1，解得λ＝74. 从而所求直线方程为15x －5y ＋2＝0.直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．2．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形来形象直观地分析问题．如图2－1所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.图2－1(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【精彩点拨】 (1)设出方程，求出弦心距，由点到直线的距离公式求k .(2)设出方程，由直线与圆的位置关系及几何性质列方程求出参数．【规范解答】 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－32＝ 1.由点到直线的距离公式得d ＝|1－k －3－1＋k2，从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k－a －b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ， 即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值范围有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件． [再练一题]2．如图2－2，平面直角坐标系中，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，图2－2(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程．【解】 (1)设圆A 的半径为R .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设MN 的中点为Q ，直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连结AQ ，则AQ ⊥MN .∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1， 则由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.圆有关的最值问题与圆有关的最值问题，往往是已知圆的方程f (x ，y )＝0，求yx，y －x ，x 2＋y 2等量的最值或范围．解决的方法是：设(x ，y )是圆上任意一点，分别把给定的式子y x，y －x ，x 2＋y2赋予一定的几何意义，这样就把有关最值问题转化成点、直线与圆的位置关系问题，再根据圆的几何性质确定最值．已知实数x ，y 满足关系式：x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0，点P (x ，y )，A (－1,0)，B (1,0)．(1)求y x的最大值和最小值； (2)求x －y 的最大值和最小值；(3)求PA 2＋PB 2的最大值和最小值．【精彩点拨】 (1)转化为过圆上的点(x ，y )和原点(0,0)的直线的斜率问题．(2)令m ＝x －y ，转化为直线与圆相切的问题．(3)令PA 2＋PB 2＝m 2，化简后转化为两圆相切问题．【规范解答】 根据题意，设圆C ：(x －3)2＋(y －2)2＝1，圆心C (3,2)．(1)设y x ＝k ，则当直线y ＝kx 与圆C 相切时，y x 取得最值．此时|3k －2|1＋k 2＝1，k ＝3±34， ∴y x 的最大值为3＋34，最小值为3－34. (2)设x －y ＝m ，则当直线y ＝x －m 与圆C 相切时，x －y 取得最值． 此时|3－2－m |2＝1，∴m ＝1±2，∴x －y 的最大值为1＋2，最小值为1－ 2. (3)设PA 2＋PB 2＝m 2，则有x 2＋y 2＝m 2－22，m 2≥2.当圆x 2＋y 2＝m 2－22与圆C 相切时，PA 2＋PB 2取得最值，此时m 2－22±1＝13，解得m 2＝30±413.∴PA 2＋PB 2的最大值为30＋413，最小值为30－413. [再练一题]3．如果实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求： (1)yx的最大值与最小值； (2)x ＋y 的最大值与最小值．【解】 (1)设方程(x －3)2＋(y －3)2＝6所表示的圆C 上的任意一点P (x ，y ).y x的几何意义就是直线OP 的斜率，设y x＝k ，则直线OP 的方程为y ＝kx .由图(1)可知，当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．因为点C 到直线y ＝kx 的距离d ＝|3k －3|k 2＋1，所以当|3k －3|k 2＋1＝6，即k ＝3±22时，直线OP 与圆相切．所以y x的最大值与最小值分别是3＋22与3－2 2.(1) (2)(2)设x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b ，由图②知，当直线与圆C 相切时，截距b 取最值．而圆心C 到直线y ＝－x ＋b 的距离为d ＝|6－b |2.因为当|6－b |2＝6，即b ＝6±23时，直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切，所以x ＋y 的最大值与最小值分别为6＋23与6－2 3.待定系数法的应用待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的系数(部分或全部)是待定的，然后根据题目所给条件来确定这些系数的方法．本章中求直线和圆的方程常用待定系数法，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为： ①选择圆的方程的某一形式；②由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)； ③解出a ，b ，r (或D ，E ，F )； ④代入所设方程．求直线方程时一般有以下几类：①知过定点，设点斜式(注意斜率不存在的情况)； ②知斜率，设斜截式； ③与截距有关设截距式；④知与已知直线平行或垂直，设一般式(或斜截式、点斜式)．如图2－3，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．图2－3【精彩点拨】 (1)求出圆心C ，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，结合待定系数法求解．(2)设出圆的方程，化简条件MA ＝2MO ，将问题转化为两圆相交问题．【规范解答】 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋y －2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋a －2≤3，化简得⎩⎪⎨⎪⎧5a 2－12a ＋8≥0，5a 2－12a ≤0，由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.[再练一题]4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程. 【解】 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题设得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2＝22. 又P 在曲线y2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.1．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝________. 【解析】 将圆的方程化为标准方程，根据点到直线距离公式求解．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，由圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1可知|a ＋4－1|a 2＋12＝1，解得a ＝－43.【答案】 －432．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________．【解析】 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.【答案】 x －y ＋3＝03．如图2－4，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.图2－4(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 【解析】 (1)取AB 的中点D ，连接CD ，则CD ⊥AB . 由题意|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C 的坐标为(1，2)，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)令(x －1)2＋(y －2)2＝2中的x ＝0，解得y ＝2±1，故B (0，2＋1)．直线BC 的斜率为2＋1－20－1＝－1，故切线的斜率为1，切线方程为y ＝x ＋2＋1.令y ＝0，解得x＝－2－1，故所求截距为－2－1.【答案】 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－14．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为__________．【解析】 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m .因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.【答案】 65．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为______________________．【解析】 设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 【答案】 (x －2)2＋(y －1)2＝46．如图2－5，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．图2－5(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．【解】 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.②将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤t ＋－6]2＋－2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221]．7．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【解】 (1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1→·MO →＝0.又∵MC 1→＝(3－x ，－y )，MO →＝(－x ，－y )，∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255. 把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53. 当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧． (3)由题意知直线L 表示过定点(4,0)，斜率为k 的直线，把直线L 的方程代入轨迹C的方程x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3， 化简得(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0，其中53<x ≤3，记f (x )＝(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2，其中53<x ≤3. 若直线L 与曲线C 只有一个交点，令f (x )＝0.当Δ＝0时，解得k 2＝916，即k ＝±34，此时方程可化为25x 2－120x ＋144＝0，即(5x －12)2＝0，解得x ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3，∴k ＝±34满足条件． 当Δ>0时，①若x ＝3是方程的解，则f (3)＝0⇒k ＝0⇒另一根为x ＝0<53，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．②若x ＝53是方程的解，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝0⇒k ＝±257⇒另外一根为x ＝6423，53<6423≤3，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． ③若x ＝3和x ＝53均不是方程的解，则方程在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3上有且仅有一个根，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53·f (3)<0⇒－257<k <257.故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． 综上所述，k 的取值范围是－257≤k ≤257或k ＝±34.。

2.1.3 两条直线的位置关系[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．如果两条直线平行，则它们的斜率相等B ．如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数C ．如果两条直线斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直D ．如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y 轴解析：选C.不论两直线平行还是垂直都要考虑两直线斜率不存在的情况，A 、B 忽略斜率不存在，D 忽略了直线与y 轴重合．2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A.直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率为12.故所求直线方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 3．已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0解析：选B.因为k AB ＝2－11－3＝－12， 所以所求直线的斜率为2.又线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， 故线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝2(x －2)， 即4x －2y －5＝0.4．已知点A (m ，3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1，2)，D (1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1解析：选D.因为AB ∥CD ，所以m ＋4－32m －m ＝2－0m ＋1－1， 解得m ＝1.当m ＝0时，直线AB 为y 轴，直线CD 为x ＝1，两直线平行，故若两直线平行则m ＝0或1.5．已知点A (2，3)，B (－2，6)，C (6，6)，D (10，3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选B.如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316， 故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．6．已知直线l 1：2x ＋(λ＋1)y －2＝0，l 2：λx ＋y －1＝0，若l 1∥l 2，则λ的值是________． 解析：因为l 1∥l 2，所以2×1－(λ＋1)λ＝0，即λ2＋λ－2＝0，解得λ＝－2或λ＝1.当λ＝1时，l 1与l 2重合，不符合题意．所以λ＝－2.答案：－27．已知直线l 1过点A (－2，3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1，0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是________．解析：由已知得k AB ＝m －34－（－2）＝m －36， k MN ＝m －4－1＝4－m . 因为AB ⊥MN ，所以m －36×(4－m )＝－1， 即m 2－7m ＋6＝0，解得m ＝1或m ＝6，经检验m ＝1或m ＝6适合题意．答案：1或68．已知点P (0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：依题意设点Q 的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝0，b ＋1a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.故点Q 的坐标为(2，3)． 答案：(2，3)9．已知定点A (－1，3)，B (4，2)，以A ，B 为直径作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标．解：因为以线段AB 为直径的圆与x 轴相交于点C ，所以AC ⊥CB .据题设条件可知AC 与BC 的斜率均存在(如图)，设C (x ，0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4. 所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，解得x ＝1或2. 所以C (1，0)或C (2，0)．10．已知在▱ABCD 中，A (1，2)，B (5，0)，C (3，4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6.所以D (－1，6)． (2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， 所以k AC ·k BD ＝－1.所以AC ⊥BD .所以▱ABCD 为菱形．[B.能力提升]1．已知点A (－2，－5)，B (6，6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( )A ．(0，－6)B ．(0，7)C ．(0，－6)或(0，7)D ．(－6，0)或(7，0)解析：选C.由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1， 故y ＋52·⎝⎛⎭⎪⎫－y －66＝－1， 解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0，7)．2．顺次连接A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点所组成的图形是( )A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对解析：选B.观察知连接后各边所在直线斜率都存在．因为k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，所以AB ∥CD .又k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12，所以AD 与BC 不平行，且AD ⊥CD .所以四边形ABCD 为直角梯形．3．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2，1)且与经过点(－2，1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为________．解析：由题意知两直线的斜率均存在，且直线l 与斜率为－23的直线垂直，则直线l 的斜率为32，于是32＝1－（－1）（－a －2）－（a －2）＝2－2a ＝－1a ，解得a ＝－23. 答案：－234．已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时k ＝18. 答案：185．已知A (－m －3，2)，B (－2m －4，4)，C (－m ，m )，D (3，3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－（－m －3）＝2－（m ＋1）， k CD ＝3m ＋2－m 3－（－m ）＝2（m ＋1）m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.6．(选做题)直线l 的倾斜角为30°，点P (2，1)在直线l 上，直线l 绕点P (2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，且直线l 1与l 2平行，l 2是线段AB 的垂直平分线，A (1，m －1)，B (m ，2)，试求m 的值．解：因为直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.又直线AB 的斜率为m －1－21－m ＝m －31－m， 所以AB 的垂直平分线l 2的斜率k 2＝m －1m －3. 因为直线l 1与l 2平行，所以k 1＝k 2， 即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。

2.3.2 圆的一般方程1曲线x2+y2+2x-2y=0关于()A.直线x=2对称B.直线y=-x对称C.点(-2,2)中心对称D.点(-2,0)中心对称(x+)2+(y-)2=4.圆心(-)在直线y=-x上,故圆关于直线y=-x对称.故选B.2若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值是()A.-1B.2C.-1或2D.1可得a=-1或a=2(舍).3过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-xy=kx,因为圆心(-2,0)到直线kx-y=0的距离等于圆的半径1,所以=1,解得k=±.又因为切点在第三象限,所以k=-舍去.所以所求直线的方程为y=x.4点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-1)2=1(x1,y1),其与点P连线的中点为(x,y),则代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.5圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是()A.36B.18C.6D.52+y2-4x-4y-10=0⇒(x-2)2+(y-2)2=18,即圆心为(2,2),半径为3.由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为=5,由数形结合思想可得:该圆上的点到已知直线的距离的最小值为2,最大值为8,故所求距离之差为6.6已知A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点,则这四点()A.共线B.不共面C.共圆D.不共圆A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有解得所以经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,将点D(4,3)的坐标代入上述方程有42+32-2×4+2×3-23=0,所以点D在此圆上,故A,B,C,D四点共圆.7已知A(-2,0),B (0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最大值为() A.3- B.4- C. D.3+ABC的面积最大,即要求点C到AB的距离最大,亦即求圆上的点到直线AB距离的最大值,应为圆心到直线AB的距离d与半径r之和.由于圆心C(1,0)到直线AB:x-y+2=0的距离d为,即C到AB的距离的最大值为+1,故△ABC的面积的最大值为×|AB|×=3+.8设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是.AB与点P和圆心所确定的直线垂直,由点斜式可得.4=09圆x2+y2-2x-K2+2K-2=0的面积的最小值是.(x-1)2+y2=K2-2K+3,因此其半径为,圆的面积S=π()2=(K2-2K+3)π=[(K-1)2+2]π,故当K=1时,圆的面积最小,最小值为2π.π10判断下列方程表示什么图形.(1)x2+y2=0;(2)x2+y2-2x-2y-3=0;(3)x2+y2+2ax+2by=0.因为x2+y2=0,所以x=0,且y=0.即方程表示一个点(0,0).(2)原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5,即方程表示圆心为(1,1),半径为的圆.(3)原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=a2+b2,当a=b=0时,方程表示一个点(0,0);当a2+b2≠0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为的圆.11已知过点M(-1,1)的直线l被圆C:x2+y2-2x+2y-14=0所截得的弦长为4,求直线l的方程.C的坐标为(1,-1),半径为4,因为直线l被圆C所截得的弦长为4,所以圆心C到直线l的距离为2.(1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,此时点C到l的距离为2,可求得弦长为4,符合题意.(2)若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,因为圆心C到直线l的距离为2,所以=2,所以k2+2k+1=k2+1,所以k=0,所以直线l的方程为y=1.综上(1)(2)可得:直线l的方程为x=-1或y=1.★12某圆拱桥的示意图如图,该圆拱的跨度AB是16 m,拱高OP是4 m,在建造时,每隔2 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度.,以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,设出圆的一般方程,代入点的坐标即可求出.AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-8,0),(8,0),(0,4),设圆拱所在的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵点A,B,P在所求的圆上,则代入坐标得解得∴圆拱所在的圆的方程为x2+y2+12y-64=0.将点P2的横坐标x=2代入圆的方程,解得y1=-6-4(舍)或y2=-6+4.答:支柱A2P2的长为(4-6) m.。

2.3.1 圆的标准方程1圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是()A.πB.2πC.2πD.2π,故周长为2π·=2π.2圆(x-2)2+(y+3) 2=2上的点与点(0,-5)的最大距离为()A. B.2 C.4 D.3(2,-3),点(0,-5)与圆心的距离为=2,又圆的半径为,故所求最大距离为2=3.3从点P(3,b)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线,则切线长的最小值为()A.5B.4C.5.5D.2d=,故当b=-2时,d取最小值2.4三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球,若设赤道大圆的方程为x2+y2=R2(R为地球半径),三颗卫星均可分布于赤道上空,则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为()A.x2+y2=2R2B.x2+y2=4R2C.x2+y2=8R2D.x2+y2=9R2R,则方程为x2+y2=4R2.故选B.5方程y=-表示的曲线是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆y2=12-x2,于是x2+y2=12,但y≤0,故该方程表示的曲线是一个半圆,即圆x2+y2=12位于x轴下方的部分.6圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为.C(a,b),则即且|AC|=|BC|=r=.故(x-2)2+(y+3)2=5为所求.x-2)2+(y+3)2=57圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是.x+2y-3=0对称的两圆半径相等,圆心连线被直线x+2y-3=0垂直平分.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1.由题意得解得故所求圆的方程为=1.=18已知线段AB的端点B的坐标为(4,0),端点A在圆x2+y2=1上运动,则线段AB的中点的轨迹方程为.x-2)2+y2=9若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=x(x≥0)相切,试求这个圆的标准方程.(1,b)(b>0).根据该圆与直线y=x相切,得=1⇒⇒b=,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=1.10已知点A(0,2)和圆C:(x-6)2+(y-4)2=,一条光线从点A出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射,求这条光线从点A到切点所经过的路程.D,点A关于x轴的对称点的坐标为A1(0,-2),则光线从点A到切点所走的路程为|A1D|.在Rt△A1CD中,|A1D|2=|A1C|2-|CD|2=(-6)2+(-2-4)2-.所以|A1D|=,即光线从A点到切点所经过的路程是.11已知点P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的任意一点,点A(-1,0),B(1,0),试求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.,转化为求圆C上的点与原点距离的最值.P(x,y),则有|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2x2+2y2+2=2()2+2=2[]2+2=2|OP|2+2,由题意得|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4.所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42+2=34.★12有一种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A,B两地距离10千米,顾客选A或B地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求A,B两地售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.,以A,B所确定的直线为x轴,A,B中点O为坐标原点,建立直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品便宜并设A地的运费为3a元/千米,B 地的运费为a元/千米.价格+每单位距离运费×到A地的距离≤价格+每单位距离运费×到B地的距离,即3a≤a,∵a>0,∴3,即+y2≤.∴以点C为圆心,为半径的圆是这两地购货的分界线.圆C内的居民从A地购货便宜.圆C外的居民从B地购货便宜.圆C上的居民从A,B两地购货的总费用相等,因此,可随意从A,B两地之一购货.。

2．1.2 平面直角坐标系中的基本公式学习目标 1.理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离.2.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．知识点一两点的距离公式已知平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．思考1 当x1≠x2，y1＝y2时，d(A，B)＝？思考2 当x1＝x2，y1≠y2时，d(A，B)＝？思考3 当x1≠x2，y1≠y2时，d(A，B)＝？请简单说明理由．梳理两点间的距离公式A(x1，y1)，B(x2，y2)两点之间的距离公式d(A，B)＝|AB|＝________________；当AB垂直于y轴时，d(A，B)＝________；当AB垂直于x轴时，d(A，B)＝________；当B为原点时，d(A，B)＝________.知识点二中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝________，y＝________类型一两点间的距离公式例1 (1)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，则△ABC的周长为( )A．4 2 B．8 2 C．12 2 D．16 2(2)若A (－5,6)，B (a ，－2)两点的距离为10，则a ＝____________.反思与感悟 两点间的距离公式应用的两种形式(1)在求到某点的距离满足某些条件的点P (x ，y )的坐标时，需要根据已知条件列出关于x ，y 的方程或方程组，解之即可．(2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形．还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线．跟踪训练1 已知点A (－3,4)，点B (2，3)，试在x 轴上找一点P ，使得d (P ，A )＝d (P ，B )，并求出d (P ，A )．类型二 中点公式及应用例2 已知平行四边形ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，对角线交点为E (－3,4)，求另外两顶点C 、D 的坐标．反思与感悟 中点公式应用的步骤(1)认真审题，提炼题设中的条件．(2)将条件转化为与中点有关的问题．(3)利用中点公式求解．(4)转化为题目要求的结果．特别提醒：利用中点坐标公式可求得以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)为顶点的△ABC 的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．跟踪训练2 (1)已知三点A (x,5)，B (－2，y )，C (1,1)，且点C 是线段AB 的中点，求x ，y 的值；(2)求点M (4,3)关于点N (5，－3)的对称点．类型三坐标法的应用例3 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．反思与感悟用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何无素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论．跟踪训练3 证明：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等．1．已知A(－3,5)，B(2,15)，则d(A，B)等于( )A．5 2 B．513C．517 D．5 52．已知两点A(a，b)，B(c，d)，且a2＋b2－c2＋d2＝0，则( )A．原点一定是线段AB的中点B．A、B一定都与原点重合C．原点一定在线段AB上但不是中点D．以上结论都不正确3．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定4．已知A(a,6)，B(－2，b)，点P(2,3)平分线段AB，则a＋b＝________.5．已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3，4)，求第四个顶点D的坐标．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．答案精析问题导学知识点一思考1 d(A，B)＝|x2－x1|.思考2 d(A，B)＝|y2－y1|.思考3 如图，在Rt△ABC中，|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12.即两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离为|AB|＝x2－x12＋y2－y12.梳理x2－x12＋y2－y12|x2－x1| |y2－y1| x21＋y21知识点二x1＋x22y1＋y22题型探究例1 (1)C (2)1或－11解析(1)∵A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，∴|AB|＝－3－2＋－2＝50＝52，|BC|＝[0－－2＋－2＝18＝32，|AC|＝－42＋－2＝32＝4 2.∴△ABC的周长为|AB|＋|BC|＋|AC|＝52＋32＋42＝12 2.(2)∵|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝－5－a2＋＋2＝10，∴a＝1或－11.跟踪训练1 解设P(x,0)，由题意得d (P，A)＝x＋2＋－2＝x2＋6x＋25，d (P，B)＝x－2＋－32＝x 2－4x ＋7.由d (P ，A )＝d (P ，B )， 即x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，化简得x ＝－95， 故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0， d (P ，A )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋952＋42＝21095. 例2 解 设C 点坐标为(x 1，y 1)，则由E 为AC 的中点，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝4＋x 12，4＝2＋y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－10，y 1＝6. 设D 点坐标为(x 2，y 2)，则由E 为BD 的中点，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝5＋x 22，4＝7＋y 22，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－11，y 2＝1，故C 点坐标为(－10,6)，D 点坐标为(－11,1)．跟踪训练2 解 (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ x －22＝1，5＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3.(2)设所求点的坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋42＝5，y ＋32＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－9， 故所求对称点的坐标为(6，－9)．例3 证明 如图所示，以顶点A 为坐标原点，AB 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，有A (0,0)．设B (a,0)，D (b ，c )，由平行四边形的性质，得点C 的坐标为(a ＋b ，c )．因为|AB |2＝a 2，|CD |2＝a 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2，所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC |2＋|BD |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， 所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝|AC |2＋|BD |2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．跟踪训练3 证明 如图所示，以直角三角形的直角顶点C 为坐标原点，一直角边CA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则C (0,0)．设A (a,0)，B (0，b )，则斜边中点M 的坐标为(a 2，b 2)． 因为|OM |＝a 24＋b 24＝12a 2＋b 2， |BM |＝a 24＋b 2－b 2 ＝12a 2＋b 2， |MA |＝a －a 22＋b 24 ＝12a 2＋b 2， 所以|OM |＝|BM |＝|MA |.即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．当堂训练1．D 2.D 3.B 4．6解析 由中点公式得2＝a －22，3＝b ＋62，∴a ＝6，b ＝0.∴a ＋b ＝6.5．解 分以下三种情况(如图所示)．(1)以AC 为对角线构成▱ABCD 1.设D 1(x 1，y 1)，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，其也为BD 1的中点坐标，∴12＝－1＋x12，52＝3＋y12，∴x1＝2，y1＝2，即D1(2,2)．(2)以BC为对角线构成▱ACD2B，同理得D2(4,6)．(3)以AB为对角线构成▱ACBD3，同理得D3(－6,0)．。

2.1.3 两条直线的平行与垂直[学业水平训练]1．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.解析：l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，由一元二次方程根与系数的关系得k 1k 2＝－b 2，∴－b 2＝－1，得b ＝2.l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－3k －b ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－3)2－4×2·(－b )＝0，即b ＝－98. 答案：2 －982．设a ∈R ，如果直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行，那么a ＝________.解析：当a ＝0时，l 1：y ＝12，l 2：x ＋y ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ＝－1时，l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ≠0且a ≠－1时，l 1：y ＝－a 2x ＋12，l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1，由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或13.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1,1)，B (1,5)，C (－3,2)，则△ABC 的形状为________．解析：因为k AB ＝1－5－1－1＝－4－2＝2，k AC ＝1－2－1－－＝－12，所以k AB ·k AC ＝－1，且A 、B 、C 、D 4点不共点，所以AB ⊥AC ，即∠BAC ＝90°.所以△ABC是直角三角形．答案：直角三角形4．已知A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD ，其中正确的序号为________．解析：k AB ＝－4－26－－＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，且A 、B 、C 、D 4点不共线，所以AB ∥CD ，k AC ＝6－212－－＝14，k BD ＝12－－2－6＝－4， k BD ·k AC ＝－1，所以AC ⊥BD .答案：①④5．已知P (－2，m )，Q (m,4)，M (m ＋2,3)，N (1,1)，若直线PQ ∥直线MN ，则m ＝________. 解析：当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ≠－2且m ≠－1时，k PQ ＝4－m m －－＝4－m m ＋2， k MN ＝3－1m ＋2－1＝2m ＋1，因为直线PQ ∥直线MN ， 所以k PQ ＝k MN ，即4－m m ＋2＝2m ＋1，解得m ＝0或m ＝1.经检验m ＝0或m ＝1时直线MN ，PQ 都不重合．综上，m的值为0或1.答案：0或16．已知两条直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋c ＝0互相垂直，垂足为(1，b )，则a ＋c －b ＝________.解析：∵k 1k 2＝－1，∴a ＝10.∵垂足(1，b )在直线10x ＋4y －2＝0上，∴b ＝－2.将(1，－2)代入2x －5y ＋c ＝0得c ＝－12，故a ＋c －b ＝0.答案：07．(1)求与直线y ＝－2x ＋10平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为12的直线的方程；(2)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线的方程．解：(1)设所求直线的方程为y ＝－2x ＋λ，则它在y 轴上的截距为λ，在x 轴上的截距为12λ，则有λ＋12λ＝12， ∴λ＝8.故所求直线的方程为y ＝－2x ＋8，即2x ＋y －8＝0.(2)法一：由直线方程2x ＋3y ＋5＝0得直线的斜率是－23， ∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率也是－23. 根据点斜式，得所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)， 即2x ＋3y ＋10＝0.法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，∵直线过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋b ＝0，解得b ＝10.故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0.8．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝6，∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．[高考水平训练]1．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，若存在点D ，使CD ⊥AB ，且BC ∥AD ，则点D 的坐标为________．解析：设点D 的坐标为(x ，y )．因为k AB ＝2－－2－1＝3，k CD ＝y x －3， 且CD ⊥AB ，所以k AB ·k CD ＝－1，即3×yx －3＝－1. ①因为k BC ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1， 且BC ∥AD ，所以k BC ＝k AD ，即－2＝y ＋1x －1， ② 由①②得x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标为(0,1)．答案：(0,1)2．△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为________．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.答案：－7或±2或33．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－－m －＝2－m ＋， k CD ＝3m ＋2－m 3－－m ＝m ＋m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.4．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状．解：如图所示，由已知两个点的坐标得：k OP ＝t －01－0＝t ， k RQ ＝＋t －2－2t －－2t＝t ， k OR ＝2－0－2t －0＝－1t. k PQ ＝t －＋t 1－－2t ＝－1t， 所以k OP ＝k RQ ，k OR ＝k PQ ，所以OP ∥RQ ，OR ∥PQ ，所以四边形OPQR 是平行四边形；又k OP ·k OR ＝t ·(－1t)＝－1， 所以OP ⊥OR ，∠POR 是直角， 所以四边形OPQR 是矩形；过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ， RB ⊥x 轴，垂足为B ，那么由勾股定理得： OP 2＝OA 2＋AP 2＝1＋t 2.∴OP ＝1＋t 2，OR 2＝OB 2＋BR 2＝(－2t )2＋22＝4(1＋t 2)，∴OR ＝21＋t 2.∴OP ≠OR ，所以四边形OPQR 不是正方形， 综上可知，四边形OPQR 是矩形．。

第1课时点斜式学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.知识点一直线的点斜式方程思考1 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？思考2 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？梳理思考1 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？思考2 方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？梳理类型一直线的点斜式方程例1 写出下列直线的点斜式方程.(1)经过点A(2,5)，且其倾斜角与直线y＝2x＋7相等；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直.反思与感悟(1)求直线的点斜式方程已知定点P(x0，y0)，若经过点P的直线斜率存在且为k，则其方程为y－y0＝k(x－x0)；若斜率k为0，则其方程为y－y0＝0；若斜率不存在，则其方程为x＝x0.(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外.跟踪训练1 (1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________.(2)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝33x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________________.类型二直线的斜截式方程例 2 (1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________.(2)直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的倾斜角相等且与l2在y轴上的截距相等，则l的斜截式方程为__________________________________________. 反思与感悟(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线.(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数.跟踪训练2 已知直线l 在y 轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l 的斜截式方程. (1)直线l 经过点M (m ，n )，N (n ，m )(m ≠n )； (2)直线l 与坐标轴围成等腰三角形.类型三 直线方程的简单应用例3 求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.反思与感悟 利用待定系数法求直线方程(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率. (2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定y 轴上的截距.跟踪训练3 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的直线方程.1.直线3x －y ＋m ＝0的倾斜角为________.2.已知直线l 的方程为2x －5y ＋10＝0，且在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则|a ＋b |＝________.3.过点(1,0)且在y 轴上的截距为－12的直线方程是______________.4.已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，则直线l 的方程为________________________________________________________________________.5.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________________________________________________________________________.1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y－y1＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是x－x1整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.答案精析问题导学 知识点一思考1 由斜率公式得k ＝y －y 0x －x 0， 则x ，y 应满足y －y 0＝k (x －x 0)．思考2 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P 0斜率不存在的直线为x ＝x 0. 梳理 斜率k k (x －x 0) 知识点二思考1 将k 及点(0，b )代入直线方程的点斜式得y ＝kx ＋b . 思考2 y 轴上的截距b 不是距离，可以是负数和零． 梳理 y ＝kx ＋b 题型探究例1 解 (1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y －5＝2(x －2)． (2)由题意知，直线的斜率k ＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y －(－1)＝0. (3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x ＝1，该直线没有点斜式方程． 跟踪训练1 (1)x ＝－3 (2)y ＋2＝3(x ＋1)例2 (1)y ＝3x ＋3或y ＝3x －3 (2)y ＝－2x －2跟踪训练2 解 (1)由题意得直线l 的斜率为k ＝m －nn －m＝－1， 所以直线l 的斜截式方程为y ＝－x －2. (2)因为直线l 在y 轴上的截距为－2， 所以l 与y 轴的交点为P (0，－2)， 而直线l 与坐标轴围成等腰三角形， 又是直角三角形，所以l 与x 轴的交点为Q (－2,0)或(2,0)． 由过两点的斜率公式得k ＝－1或1，所以直线l 的斜截式方程为y ＝－x －2或y ＝x －2. 例3 解 设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)．当x ＝0时，y ＝4＋3k ， 当y ＝0时，x ＝－4k－3，∴3k ＋4－4k－3＝12，即3k 2－11k －4＝0，∴k ＝4或k ＝－13.故直线方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.跟踪训练3 解 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则当x ＝0时，y ＝b ；当y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1. 故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.当堂训练1．60° 2.3 3.x －2y －1＝0 4．x －2y ＝0 5.x ＝3。

2.3.2 圆的一般方程1曲线x2+y2+2x-2y=0关于()A.直线x=2对称B.直线y=-x对称C.点(-2,2)中心对称D.点(-2,0)中心对称(x+)2+(y-)2=4.圆心(-)在直线y=-x上,故圆关于直线y=-x对称.故选B.2若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值是()A.-1B.2C.-1或2D.1可得a=-1或a=2(舍).3过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-xy=kx,因为圆心(-2,0)到直线kx-y=0的距离等于圆的半径1,所以=1,解得k=±.又因为切点在第三象限,所以k=-舍去.所以所求直线的方程为y=x.4点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-1)2=1(x1,y1),其与点P连线的中点为(x,y),则代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.5圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是()A.36B.18C.6D.52+y2-4x-4y-10=0⇒(x-2)2+(y-2)2=18,即圆心为(2,2),半径为3.由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为=5,由数形结合思想可得:该圆上的点到已知直线的距离的最小值为2,最大值为8,故所求距离之差为6.6已知A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点,则这四点()A.共线B.不共面C.共圆D.不共圆A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有解得所以经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,将点D(4,3)的坐标代入上述方程有42+32-2×4+2×3-23=0,所以点D在此圆上,故A,B,C,D四点共圆.7已知A(-2,0),B (0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最大值为() A.3- B.4- C. D.3+ABC的面积最大,即要求点C到AB的距离最大,亦即求圆上的点到直线AB距离的最大值,应为圆心到直线AB的距离d与半径r之和.由于圆心C(1,0)到直线AB:x-y+2=0的距离d为,即C到AB的距离的最大值为+1,故△ABC的面积的最大值为×|AB|×=3+.8设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是.AB与点P和圆心所确定的直线垂直,由点斜式可得.4=09圆x2+y2-2x-K2+2K-2=0的面积的最小值是.(x-1)2+y2=K2-2K+3,因此其半径为,圆的面积S=π()2=(K2-2K+3)π=[(K-1)2+2]π,故当K=1时,圆的面积最小,最小值为2π.π10判断下列方程表示什么图形.(1)x2+y2=0;(2)x2+y2-2x-2y-3=0;(3)x2+y2+2ax+2by=0.因为x2+y2=0,所以x=0,且y=0.即方程表示一个点(0,0).(2)原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5,即方程表示圆心为(1,1),半径为的圆.(3)原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=a2+b2,当a=b=0时,方程表示一个点(0,0);当a2+b2≠0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为的圆.11已知过点M(-1,1)的直线l被圆C:x2+y2-2x+2y-14=0所截得的弦长为4,求直线l的方程.C的坐标为(1,-1),半径为4,因为直线l被圆C所截得的弦长为4,所以圆心C到直线l的距离为2.(1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,此时点C到l的距离为2,可求得弦长为4,符合题意.(2)若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,因为圆心C到直线l的距离为2,所以=2,所以k2+2k+1=k2+1,所以k=0,所以直线l的方程为y=1.综上(1)(2)可得:直线l的方程为x=-1或y=1.★12某圆拱桥的示意图如图,该圆拱的跨度AB是16 m,拱高OP是4 m,在建造时,每隔2 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度.,以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,设出圆的一般方程,代入点的坐标即可求出.AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-8,0),(8,0),(0,4),设圆拱所在的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵点A,B,P在所求的圆上,则代入坐标得解得∴圆拱所在的圆的方程为x2+y2+12y-64=0.将点P2的横坐标x=2代入圆的方程,解得y1=-6-4(舍)或y2=-6+4.答:支柱A2P2的长为(4-6) m.。