下载文档原格式
《21.2二次根式的乘除》教案教学目标1.运用法则)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 进行二次根式的乘除运算； 2.会用公式)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 化简二次根式.3a ≥0，b >0)(a ≥0，b >0)及利用它们进行运算． 4、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点1、运用)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 进行化简或计算.2、经历二次根式的乘除法则的探究过程.3、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 教学过程一、情境创设1.复习旧知：什么是二次根式？已学过二次根式的哪些性质？2.计算：(1)254⨯ 254⨯(2)916⨯ 916⨯(3)225332⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛225332⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛ 二、探索活动1.学生计算.2.观察上式及其运算结果，看看其中有什么规律？3.概括：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a .得出：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变.将上面的公式逆向运用可得： 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.三、例题讲解1.计算：1)32⨯ 2)63⨯ 3)322⨯4)821⨯ 5))0(82≥⨯a a a 6))532(153-⨯ 2.化简：1)12 2)3a 3)324b a4))144()16(-⨯- 5)2237- 6)2242+小结：如何化简二次根式？1.(关键)将被开方数因式分解或因数分解，使之出现“完全平方数”或“完全平方式”；2.P 62结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式.四、二次根式的除法1．计算(1(2，(3 2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h 1km ，h 2km ，那么它们的传播半径的比是_________．3、探究新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：a ≥0，b >0)a ≥0，b >0) 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1．计算：(1234分析：上面4a ≥0，b >0)便可直接得出答案．解：(12(2==×=(3==2(4= 例2．化简：(12(3(4a ≥0，b >0)就可以达到化简之目的．解：(18=(283b a =(38y =(413y= 五、尝试应用例1．化简：(1)(2；(3． 例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2.5cm ，BC =6cm ，求AB 的长． 1.计算：1)32⨯ 2)63⨯ 3)322⨯4)821⨯ 5))0(82≥⨯a a a 6))532(153-⨯ 2.化简：1)12 2)3a 3)324b a4))144()16(-⨯- 5)2237- 6)2242+小结：如何化简二次根式？1.将被开方数因式分解或因数分解，使之出现“完全平方数”或“完全平方式”；2.被开方数应不含能开得尽方的因数或因式.。
第二十一章二次根式21.2二次根式的乘除学习目标：1、了解最简二次根式的概念。
2、会运用二次根式的乘除公式把不是最简二次根式的式子化成最简二次根式。
重点：化去化母的根号。
难点：二次根式的乘除运算。
前置作业1、填空= （a ≥0，b>0）= （a ≥0，b>0） 2、计算（1）312=_______ （2）23÷81=_______ 课堂探究1）496x = （2= （3）41÷161=______（4）864=_______ 2、化简 （1）643=_____ （2）22964a b =_____ （3）2649y x =_____ 思考1：观察课前预习中的（1）计算（2）化简中计算结算有何特点。
思考2：这些结果中的二次根式有如下两个特点：（1）被开方数不含分母 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 结论：最简二次根式的概念，被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做___________。
试一试：计算：（1）53 （2）2723 （3）a28 解题思路：本题主要考查利用二次根式的乘除法法则化简二次根式。
解题过程：方法1： 方法2：思考1：通过上面的计算，怎样化去二次根式中的分母的根号？归纳：分母有理化：化去分母中根号的变形叫做分母有理化。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘）如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
做一做：将下列各分母中的根号或根号内的分母去掉。
（1）27 （2）7722 （3）x y 23 （4）12++x x 思路分析：将分母中的根号去掉及根号内的分母去掉是依据二次根式的除法公式b a ba = （a ≥0，b>0）及其逆运用来完成的分子、分母同乘（或除以）适当的数。
能力提升1、练习，课本P11第2、32、计算（1）4.0×6.3 （2）32×827（3）4032（4）27×50÷6 3、选择题下列二次根式中，是最简二次根式是（ ）A 、23aB 、31 C 、143 D 、156 课堂小结 1、最简二次根式；（1）被开方数中的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式；（3）分母不能含根号.2、二次根式的化简步骤：（1）一分：分解因数（因式）、平方数（式）；（2）二移：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；（3）三化：化去被开方数中的分母在进行二次根式的除法时时，把分母中的根号化去，叫做分母有理化．3、分母有理化的一般方法是：先将分母的二次根式化简，再选择一个适当的代数式同时乘以分子与分母，把分母的根号化去；特殊情况可用特殊的方法化去分母的根号，如约分．4、二次根式的运算中，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最二简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．化简方法有多样，但都要化简。
21.2二次根式的除法
【解读目标】
1.使学生掌握商的算术平方根的性质；
2.使学生会用商的算术平方根的性质化简被开方数为简单的分
数或分式的二次根式（也就是分母开方能开尽）；
3.使学生掌握分母有理化知识，并能利用它进行二次根式的化简
及近似计算； 【学习重点】
商的算术平方根与二次根式的除法的关系与应用； 【学习难点】
商的算术平方根与二次根式的除法的关系与应用； 【学习过程】 一、基础突破
请同学们预习教材，独立完成下面的问题： 1、计算
（1）=3
12 （2）
8
1
23÷
=
（3）=÷16141 （4）=8
64
2、化简
（1）643
（2）2
2964a b
从教材的编排看，二次根式的乘除法着重讲乘法，除法给学生自己去探索，有了乘法的经验，应当不难归纳除法运算法则。
在教学中主要让学生充分地进行讨论、交流，发表见解，应注重二次根式乘除法公式的对比，并复习有关因数分解的知识，多练习，发现问题及时解决。
（3）
2649y x （4）2
1695y
x
二、综合提升
6
9--=x x
，且x 为偶数，求()14512
2-+-+x x x x 的值。
【当堂检测】
1、 把下列各分母有理化 （1）7
324- （2）
b
a a +2
（3）40
32
2、 在横线上填写适当的数或式子使等式成立
（1）•8（ ）=4 （2）•52（ ）=10 （3）•-1a （ ）=a-1 （4）()
62
3=
【课后反思】
【学法指导】。
第22章二次根式22.1 二次根式教学目标1、了解二次根式的概念、2、掌握二次根式的基本性质、教学过程一、提出问题上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号错误!，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1、错误!表示什么?2、a需要满足什么条件?为什么？二、合作交流，解决问题让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；1、当a是正数时，错误!表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数;2、当a是零时，错误!表示零，也叫零的算术平方根；3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、三、归纳特点，引入二次根式概念1、基本性质、问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗?让一个学生回答、其他学生补充，概括为:错误!（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，错误!（a≥0）是一个非负数，即错误!≥0（a≥0）。
问题2 (a）2（a≥0)等于什么？说说你的理由并举例验证.让学生小组讨论或自主探索得出结论：（ a )2=a（a≥0),如（错误!）2=4,（错误!）2=2等、以上两个问题的结论就是基本性质，特别是（错误!)2=a（a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。
反过来，把（错误!）2＝a(a≥0)写成a=（错误!)2（a≥0）的形式，这说明：任何一个非负数a都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=(错误!)2，0。
3= （错误!)2提问：(1)0=（错误!)2对不对?（2）－5=（－5 ）2对不对?如果不对，错在哪里?2、二次根式概念形如错误!(a≥0)的式子叫做二次根式、说明：二次根式必须具备以下特点；（1)有二次根号；（2)被开方数不能小于0.让学生举出二次根式的几个例子，并判断错误!，错误!(a<0）、错误!、错误!(a<o)是不是二次根式。
四、范例例1、要使式子错误!有意义，字母x的取值必须满足什么条件?提问：若将式子错误!改为错误!，则字母x的取值必须满足什么条件？五、课堂练习Pl0页练习1、2、六、思考提高我们已经研究了(错误!）2(a≥0)等于a，现在研究错误!等于什么、提问：1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略？2、在错误!中，a的取值有没有限制?3、取一些数值来验证。
九年级数学上册第21章《二次根式》（第4课时）二次根式的乘法导学案（无答案）（新版）华东师大版一、学习目标1.掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2.熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
二、学习重点重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点：进行二次根式的化简。
三、自主预习1.计算：（1）×=___ __ _ ， =_______（2）×=_______ ，=____（3）×=_______ ，=_______2.根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：（1）×_____（2）×____（3）×综上所述，二次根式的乘法法则：。
当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的，被开方数之积为。
计算下列各式：（1）×（2）2×3四、合作探究自学课本内容，完成下列问题：1.用式子表示积的算术平方根的性质：2.化简：①②③④小结：化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解。
（2）分解后把能开尽方的开出来。
练习：（1）×（2）·（3）··五、巩固反馈1.等式成立的条件是（）A、x≥1B、x≥-1C、-1≤x≤1D、x≥1或x≤-12.下列各等式成立的是（）A、4×2=8B、5×4=20C、4×3=7D、5×4=203.下列各式的计算中，不正确的是（）A．=（-2）×（-4）=8B．C．D．4.计算：（1）（2）（3）6×（-2）（4）。
21.2 二次根式的乘除法第一课时学习目标：1、掌握二次根式的乘法法则并会应用它进行二次根式的乘法运算2、会利用公式ab =a ·b (a ≥0，b ≥0)进行二次根式的化简3、经历观察，比较，总结和应用等数学活动过程，感受和体验发现的快乐，并提高应用意识。
学习重点: a ·b =ab (a ≥0，b ≥0)，学习难点: 发现规律导出a ·b =ab (a ≥0，b ≥0)教学过程：活动一一、做一做（独立完成，疑难问题小组合作）1、计算下列各题，观察计算结果：（1）254⨯= 254⨯=（2）916⨯= 916⨯=二、想一想：1、观察以上计算的结果你发现了怎样的结论？2、两个二次根式相乘可以怎样计算？3、对于任意两个二次根式相乘是否都可以这样算？猜想：2⨯请解释说明你的结论：三、归纳一下：=⋅b a （a ≥0，b ≥0）．文字语言：两个二次根式相乘， .注意，在上式中，a 、b 都表示非负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数．四、试一试 1、口答下列各题：⨯23=； 53⨯ =27⨯ = 57⨯ 2⨯=2、 计算：（1）67⨯； （2）3221⨯． （3）5·a 3·b 31 （4） ２5×３2 活动二一、探究一下 公式a ·b =ab (a ≥0，b ≥0)可逆用得：用文字语言叙述公式含义：积的算术平方根，等于93⨯=二、用一用利用这个性质可以进行二次根式的化简．阅读课本例2的化简过程思考问题：（1） 分别说明被开方数变成了哪些因式的积？为什么这样变？（2）怎样的因式能开方出来？（3）因式开方出来主要应用了那个公式？应注意什么问题？三、练一练（1）化简： 20 18 24 54 2212b a（2）计算下列各式，并将所得的结果化简：63⨯； a a 153⋅． 3018⨯；7523⨯； 368ab ab ⨯ 课堂小结：１、通过今天的学习你有什么收获？２、化简二次根式的方法以及公式的准确运用。
21.2二次根式的乘除1. 二次根式的乘法知识与技能：理解ba∙=ab（a≥0，b≥0），并运用它进行计算和化简.过程与方法：由具体的数据发现规律，导出ba∙=ab（a≥0，b≥0），并运用它进行计算.情感态度：通过探究ba∙=ab（a≥0，b≥0），培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣.教学重难点：重点：对ba∙=ab（a≥0，b≥0）的理解和运用.难点：发现规律，导出ba∙=ab（a≥0，b≥0）.一、情境导入，初步认识1. 计算：（1）4×9= ，94⨯= ；（2）16×25= ，2516⨯= ；（3）100×36= ，36100⨯= .参照上面的结果，用“>”，“<”或“=”填空.（1）4（2）16×；（3）1002. 利用计算器计算：（1）2（2）2；（3）5（4）4.【教学说明】由学生通过具体的数据，发现规律，导出ba∙=ab（a≥0，b≥0）. 二、思考探究，获取新知（学生活动）让3，4个同学上台总结规律.教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.一般地，对二次根式的乘法规定为ba∙=ab（a≥0，b≥0）.例计算：（1）5×7；（2）31×9；（3）9×27；（4）21×6. 解：（1）5×7=35.（2）31×9=931⨯=3. （3）9×27=279⨯=392⨯=93.（4）21×6=621⨯=3. 【教学说明】引导学生运用公式：b a ∙=ab （a ≥0，b ≥0）.三、运用新知，深化理解1. 如果直角三角形的两条直角边的长分别为15 cm 和12 cm ，那么此直角三角形的斜边长 是（ B ） A. 32cm B. 341cm C. 9 cm D. 27 cm2. 化简a a1-的结果是（ C ） A. a - B. a C. -a - D. -a3. 等式11+-∙x x =12-x 成立的条件是（ A ）A. x ≥1B. x ≥-1C. -1≤x ≤1D. x ≥1或x ≤-14. 下列各等式成立的是（ D ） A. 45× 25=85 B. 53× 42=205 C. 43× 32=75 D. 53× 42=206【教学说明】可先由学生抢答完成，再由教师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1. 由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.2. 教师总结归纳二次根式的乘法规定：b a ∙=ab （a ≥0，b ≥0）.【教学说明】教师引发学习回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.五、教学反思 这节课教师引导学生通过具体的数据，发现规律，导出b a ∙=ab （a ≥0，b ≥0），并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察和发现能力，激发学生的学习兴趣.2. 积的算术平方根知识与技能：1. 理解ab =b a ∙（a ≥0，b ≥0）.2. 运用ab =b a ∙（a ≥0，b ≥0）.过程与方法： 利用逆向思维，得出ab =b a ∙（a ≥0，b ≥0），并运用它解题和化简.情感态度： 让学生推导ab =b a ∙（a ≥0，b ≥0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.教学重难点： 重点：ab =b a ∙（a ≥0，b ≥0）及其运用.难点：对ab =b a ∙（a ≥0，b ≥0）的理解与运用.一、情境导入，初步认识一般地，对二次根式的乘法规定为b a ∙=ab （a ≥0，b ≥0）. 反过来，ab =b a ∙（a ≥0，b ≥0）也成立. 【教学说明】引导学生通过复习上节课学习的二次根式的规定，利用逆向思维，得出ab =b a ∙（a ≥0，b ≥0）.二、思考探究，获取新知例1 化简：（1）169⨯； （2）8116⨯； （3）10081⨯； （4）54.解：（1）169⨯=9×16=3×4=12.（2）8116⨯=16×81=4×9=36.（3）10081⨯=81×100=9×10=90.（4）54=69⨯=9×6=3×6=36. 【教学说明】引导学生利用ab =b a ∙（a ≥0，b ≥0）直接化简即可.例2 判断下列各式是否正确，不正确的请改正.（1））（）（94-⨯-=4-×9-；（2）25124×25=4×2512×25=42512×25=412=83. 解：（1）（2）均不正确.正确的式子如下：（1））（）（94-⨯-=36=6.（2）25124×25=25112×25=2525112⨯=112=47.【教学说明】注意引导学生理解并掌握积的算术平方根运用的条件是a ≥0，b ≥0.三、运用新知，深化理解1. 化简：（1）20；（2）18；（3）24；（4）54.2. 自由落体的公式为h =21gt 2（g 为重力加速度，它的值为10 m/s 2）. 若物体下落的高度为120 m ，则下落的时间是 s.【答案】1. （1）25；（2）32；（3）26；（4）36. 2. 36.【教学说明】可由学生先自主完成分组讨论，小组代表汇报，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1. 通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.2. 教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即ab =b a （a ≥0，b ≥0）.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.五、教学反思本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练学生的逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.3. 二次根式的除法知识与技能：1. 理解b a =b a （a ≥0，b ≥0）和b a =ba （a ≥0，b ≥0），并运用它们进行计算. 2. 利用具体的数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法的规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.3. 理解最简二次根式的概念，并会将不是最简二次根式的化简成最简二次根式.过程与方法：1. 由具体的数据，发现规律，导出b a =ba （a ≥0，b ≥0），并用它进行计算. 2. 利用逆向思维，得出b a =ba （a ≥0，b ≥0），并运用它进行解题和化简. 3. 理解最简二次根式的概念，并会将不是最简二次根式的化简成最简二次根式.情感态度： 通过探究b a =b a （a ≥0，b ≥0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导b a =ba （a ≥0，b ≥0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.教学重难点：重点：（1）理解b a =b a （a ≥0，b ≥0），b a =ba （a ≥0，b ≥0）及利用它们进行计算和化简；（2）最简二次根式的运用.难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定；最简二次根式的运用.一、情境导入，初步认识（学生活动）请同学们解决下列问题.1. 写出二次根式的乘法规定及逆向公式.2. 填空：（1）169= ，169= ； （2）3616= ，3616= ； （3）164= ，164= ； （4）8136= ，8136= . 3. 利用计算器计算计算：（1）43= ； （2）32= ；（3）52= ； （4）87= .规律：43；52；87； 【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评.二、思考探究，获取新知刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：b a=b a （a ≥0，b ≥0），反过来，b a =ba （a ≥0，b ≥0）.下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.例1 计算：（1）312； （2）23÷81； （3）41÷161； （4）864. 解：（1）312=312=4=2. （2）23÷81=8123÷=823⨯=43⨯=23.（3）41÷161=16141÷=1641⨯=4=2. （4）864=864=8=22. 【教学说明】直接利用b a =b a （a ≥0，b ≥0））计算. 例2 化简：（1）63； （2）643； （3）51； （4）86. 解：（1）63=37.（2）643=643=83. （3）51=555⨯=55. （4）86=2826⨯⨯=23. 观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有以下特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中所含的因数（或因式）的幂的指数都小于2.【教学说明】利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.三、运用新知，深化理解1. 若a a21-=aa -1，则a 的取值范围是 . 2. 化简：（1）3125； （2）-131722-； （3）312-； （4）231-. 3. 如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =2.5 cm ，BC =6 cm ，求AB 的长.第3题图【答案】1. 0<a ≤1. 2.（1）215；（2）-230；（3）336-；（4）3+2. 3. 6.5 cm. 【教学说明】第1题可由学生自主完成，第2，3题教师可给予相应地指导.四、师生互动，课堂小结先请若干名学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.五、教学反思本课时的教学突出学生的主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体的数据得出规律，再让学生相互交流或上台展示自己的发现或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.。
21、2二次根式的乘法21、2 二次根式的乘法及积的算术平方根教学目标知识与技能1、掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算。
2、掌握积的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练地化简二次根式。
3、培养学生的合情推理能力。
数学思考与问题解决1、在学生原有知识的基础上，经历知识产生的过程，探索新知识。
2、体会用类比的思想研究二次根式的乘法，情感态度教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生探索规律的过程中从多个角度进行思考。
培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识。
重点难点重点会利用积的算术根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式乘法运算。
难点二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用。
教学设计一、复习引入1、填空(1)=⨯3616 =⨯3616 (2) =⨯2516 =⨯2516参考上面的结果，用> 或 < 或 = 填空二、探索新知1让学生总结规律教师点评：（1）被开方数都是正数（2）两个二次根式相乘等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数。
一般地，有)0,0(≥≥⨯=⨯b a b a b a例1、计算（1）67⨯（2）3221⨯（3）621⨯ 分析：直接利用)0,0(≥≥⨯=⨯b a b a b a 计算即可。
解：（1）426767=⨯=⨯（2）41632213221==⨯=⨯ （3）3621621=⨯=⨯ 对应练习：教材练习第2题中的（1）（2）小题2、反过来：)0,0(≥≥⨯=⨯b a b a b a这就是说：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：b a ,必须都是非负数，上式才能成立。
在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数。
例2：化简3232321222=⨯=⨯=注意：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因数开出来，从而将二次根式化简。
二次根式的除法课题名称二次根式的除法三维目标 1.ab =ab（a≥0，b>0反过来ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．理解ab =ab（a≥0，b>0）和ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求3.体会由特殊到一般的归纳方法重点目标理解ab =ab（a≥0，b>0ab =ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简难点目标发现规律，归纳出二次根式的除法规定会判断这个二次根式是否是最简二次根式导入示标ab =ab（a≥0，b>0反过来ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．理解ab =ab（a≥0，b>0）和ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式目标三导学做思一：认真阅读课文例题前面的内容，思考以下几个问题：1．填空（1）916=____，916=_____；（2）1636=_____，1636=_____；（3）416=_____，416=_____； （4）3681=________，3681=________．规律：916____916；1636____1636；416____416；3681___3681．总结规律 学做思二： 1、计算：（1）123（2）3128÷ （3）11416÷ （4）6482、化简：（1）364 （2）22649b a（3）2964xy （4）25169xy3、已知9966xx x x --=--，且x 为偶数，求（1x ）22541x x x -+-的值学做思三： 计算（135（23227（3）82a观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？把下面的二次根式化为最简二次根式： (1) 5312(2)2442x y x y + (3) 238x y达标检测1．在下列各式中，化简正确的是（ ）A ．53=315 B ．12=±122C ．4a b =a 2 b D ． 32x x -=x 1x -2．化简3227-的结果是（ ） A ．23B ．23C ．63D ．2反思总结 1.知识建构2.能力提高3.课堂体验课后练习。
21.2 二次根式的乘除法第四课时课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）1、二次根式乘法法则：两个二次根式相等，把被开方数相乘，根指数不变.用字母表示为：()0,0≥≥=⋅b a ab b a .注意：①对于多个二次根式相乘也适用，即()0,0,0≥≥≥=⋅⋅c b a abc c b a ；②法则中b a ,可以是数也可以是代数式，只要满足成立条件即可；③根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.2、二次根式乘法法则的逆用：()0,0≥≥⋅=b a b a ab .注意：①二次根式的乘法法则的逆用实际上就是积的算术平方根，利用它可以进行二次根式的化简；②如果b a ,都是负数，0>ab ，ab 有意义，但b a ,在实数范围内无意义，因此应先进行符号运算，如()632949494=⨯=⨯=⨯=-⨯-.3、二次根式除法法则：两个二次根式相除，结果仍为二次根式，只需把被开方数相除.用字母表示为：()0,0>≥=b a baba . 4、二次根式除法法则的逆用：()0,0>≥=b a bab a .注意：①二次根式的除法法则的逆用实际上就是商的算术平方根，利用它可以进行二次根式的化简；②如果b a ,都是负数，虽然0>b a ，ba有意义，但b a ,在实数范围内无意义，此时应先进行符号运算，如32949494===--；③如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如412必须先化成49，以免出现412412⨯=这样的错误. 5、最简二次根式：我们把满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.它必须满足两个条件：①被开方数不含分母或小数；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.二次根式的计算和化简的结果，一般都要化成最简二次根式.名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）典例精析类型一：二次根式的乘除法例1、计算：（1；（2【解题思路】（1）用二次根式的乘法法则进行计算，运算时应视x+2y为一个整体；（2）=.【解】（1＝(x+2y（23.类型二：逆用二次根式的乘除法法则化简代数式例2、计算：（1）()()94-⨯-（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-cacabcbcabab333【解题思路】（1）题为具体数字的二次根式的乘、除法运算，要避免出现这样的算法：()()94-⨯-=()()63294=-⨯-=-⨯-.虽然结果是对的，但其计算过程是大错特错，其原因是忽视了公式baab⋅=成立的前提条件0,0≥≥ba；（2）本题为二次根式的字母运算，方法与具体数字的二次根式的运算一样，所不同的是要注意根号下字母的取值范围，此题中的a、b、c均为正数.【解】（1）()()94-⨯-=63294=⨯=⨯；（2）原式=abccbacabcabcabcab=-=⋅⋅⋅⋅-222333.类型三：将根号外的因式或因数移入根号内例3、把根号外的因式移入根号内.【解题思路】根据及把根号外面的非负因式平方后移至根号里面；由被开方数011≥--x，011≤-∴x，又1-x在分母的位置故01≠-x，∴只有，所以把移至根号里边时，外面要加负号.【解】.【方法归纳】由二次根式的性质，如果被开方数中有的因式能开的尽，那么这些因式可用它们的算术平方根代替而移到根号外面，本题须利用上述开方的逆运算.如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面．类型四：将根号内的因式或因数移出根号外 例4、计算（1）（2）【解题思路】首先中，被开方数是，它们是求差的运算.所以是错误的.对于根号内的被开方数要进行计算或因式分解，特别是根号内的被开方数能因式分解时，比直接计算要容易. 【解】（1）；（2）.例5、化简：（1） （2）【解题思路】如果一个二次根式的被开方数中有完全平方形式的因式（或数）则要利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或数）开出来.解：，.（2）()44442426b a a b a a b a a -=-=-，440b a a a -=≥时，原式当；440b a a a --=<时，原式当.【方法归纳】在二次根式的化简与计算中，凡是被开方数是多项式的，必先进行因式分解，再利用根式乘法法则进行计算，如果题目中没有给出字母的取值范围，则需要讨论，如上题.当时，及当，即为讨论.类型五：综合运用二次根式乘除法法则计算或化简例6、 化简:（1 （2⨯ 【解题思路】运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时,一要注意运算顺序，二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果. 【解】（1）原式==242.33==⨯=（2）原式= 232b -⨯⨯==29a =-类型六：最简二次根式例7、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）AD【解题思路】直接利用最简二次根式的定义来判断：开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式这两个条件，所以是最简二次根式.【解】B. 易错警示1、不管字母正负，滥用积（商）的算术平方根性质而出错例8、已知2,1,a b ab +=-=【错解】原式2====-.【错因分析】由1ab =＞0,知,a b 同号;又2,a b a +=-∴＜0,b ＜0.【正解】原式11 2.a bb a ab+=--=-= 2、化简不彻底，结果不是最简二次根式 例9==3==⨯==3、忽视题目中隐含条件而出错 例10、化简()()---x y x y x y===.0,即x ＞0，y ＞0，所以x 与y 有可能相等.故应分两种情况讨论.【正解】（1）当x y =时，原式=0； （2）当x y ≠时，()()x y x y x y--===-4 例11、当15a =时，求1a 的值. 【错解】原式＝1a +1115a a a a +-==.【错因分析】由15a =,得15a =,则1a a -＜0,11a aa a ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. 【正解】 原式＝1a +11214109.55a a a a a +-=-=-=5a ≥0例12【错解】原式＝1xx＝1x x⋅x. 的隐含条件30x -≥，即0x ≤.x =- 【正解】由30,0;x x -≥≤得∴原式＝11(.x x x x x x=⋅-= 6、运算顺序不清导致错误 例13、计算1【错因分析】忘记乘除是同一级运算，应按从左到右依次计算.== 课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）知识点一：二次根式的乘除法1、计算（1）（2）知识点二：逆用二次根式乘除法则化简或计算 2、计算：（1）（2）知识点三：最简二次根式3;②;;;⑥3,其中最简二次根式是 ( )A.①③④⑥B.③④⑥C.③④⑤⑥D.②③⑥知识点四：将根号外的因数或因式移入根号内4、若把a 适当变形后移入根号内，得（ ）A ．．知识五：综合运用二次根式乘除法法则计算或化简5、已知x y ==求22x xy y -+的值.6、设2a =.7、下面的推理过程错在哪里？并说明理由 ∵22)43(4343)43)(43()43(-=-⋅-=--=-，∴ 43)43()43(22-=-=-.又∵ 43)43()43(22==-，∴－4343=.课后作业练习一、选择题： 1、对式子作恒等变形，使根号外不含字母m ，正确的结果是（ ） A ． B ．C ．D ．2、下列各式中，正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．3、能使成立的的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4、下列各式中，一定能成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．5、已知0a b >>，a b +的值为（ ）A ．2 C ．126、下列各式不是最简二次根式的是（ ）C.47、已知xy ＞0，化简二次根式 ）C. 二、填空题：8、（1A ．．2C．0. 问题的答案是（只需填字母）： ；（2）则这个数的一般形式是 （用代数式）9、星期天，刘红的妈妈和刘红做了一个小游戏，刘红的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若x y 表示它的小数部分，我这个纸包里的钱数是)x y 元，你猜一下，这个纸包里的钱数是多少？若猜对了，包里的钱由你支配.”根据上述信息，你知道纸包里钱的数目是 .10)a b <=11=成立的条件是 .12，宽为，那么与这个矩形面积相等的圆的半径是 . 三、解答题：13、计算下面各题： （1）、（2）、（3）、 （4）、（5）、（6）、14、一个底面为3030cm cm ⨯的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形，高为10cm 的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，求铁桶的底面的边长是多少？15、站在水平高度为hm 的地方看到可见的水平距离为dm ，它们近似地符合公式d =如果某人登山从海拔nm 登上海拔2nm 处，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？16)02a b <<解：原式①②=2aa b - ③=2a a b -④⑤问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号： . （2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 . 17、在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如35，32，132+一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：35＝5535553＝⨯⨯；（一） 32＝363332＝⨯⨯（二）132+＝））（（）－（1313132-+⨯＝131313222---＝）（）（ （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化.132+还可以用以下方法化简：132+＝131313131313131322-+-++-+-＝））（（＝）（＝（四）（1)请用不同的方法化简352+.（2) ①参照（三）式得352+＝______________________________________________；②参照（四）式得352+＝_________________________________________.（2）化简：12121...571351131-+++++++++n n . 课堂作业参考答案： 1、解：（1）.（2）2、解：（1）.（2）3、B4、A5、解:由题可知1.2x y xy +==∴22x xy y -+=2311()37.22x y xy +-=-=6、27、解：上述推理中4343)43)(43(-∙-=--是错误的，因为43-没有意义，在应用公式ab ＝b a ∙，其中的条件a ≥0，b ≥0不能忽视，ab 有意义的条件是a b ≥0，这里可以a ≥0，b ≥0，也可能a ≤0，b ≤0，而b a ∙＝ab 有意义的条件是a 与b 同时有意义，因而必须是a ≥0，b ≥0.课后作业练习答案1.答案：首先解释恒等变形：指的是m 不论取什么样的实数，等号左、右两部分都相等；由.当把根号外的m 移到根号内时，应是所以选C.2.答案：C3.答案：A4.答案：A5.提示：∵0a b >>，∴（+）2=a+b+2=8，（－）2=a+b －21,22===，故选A ． 6.答案：D7.答案：D8.答案：（1）A D E 、、；（2）设这个数为x ，则x a =（a 为有理数），所以x =a 为有理数）．9.答案：1元10.答案：11.答案：2x ≥12.13.解：（1）、30 （2）、 （3）、 （4）、（5）、（6）、此题应注意观察：是两数之差与两数之和，若把分解为后，则原式=.14.解：设铁桶底面边长是xcm ，则：210303020x =⨯⨯ ，所以230302x =⨯⨯，所以2x =()cm .15.16.答案：（1）④；（2）错因在由22a b a b -=-忽略了20a b -<这一条件，应是22a b b a =-=-；（317.解：（1==（2）原式+…=…．。
