中考数学试题分类解析数与代数

中考数学试题分类解析——数与代数：为促进基础教育内涵发展，有效落实《数学课程标准》的基本要求，2019年全国各地中考试题，结合“数与代数”学习领域，在考查数与式、方程（组）与不等式（组）、函数等相关内容上均进行了积极的探索，在强调对核心内容本质属性的理解及它们之间的内在联系、突出从实际问题中抽象出数学问题的模型化思想、重视对数与代数规律和模式的探求过程等方面具有鲜明的特色．现拟围绕试题亮点，对部分省市中考试题进行评析，并提出2019年复习教学中应注意的问题．全日制义务教育《数学课程标准（实验稿）》（2019年版）（以下简称《课标》）指出：“数与代数”的内容主要包括数与式、方程（组）与不等式（组）、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界．义务教育第三学段，要求学生通过“数与代数”内容的学习，可以探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，发展符号感，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力．纵观近几年各省市中考数学试题，均较好地体现了《课标》的基本理念，在考查学生数学基本知识、基本技能的基础上，关注了学生对数学核心内容、基本数学思想方法的理解及应用的水平，以及进一步学习的潜质．关于“数与代数”学习领域，突出体现了以下特色：第一，试题结合具体情境，考查了学生对数学核心内容本质属性的理解，以及它们之间的内在联系；第二，试题更加注重使学生经历观察、推理、归纳等过程，特别强调对数与代数规律和模式的探求；第三，试题在考查应用意识时，突出了从实际问题中抽象出数学问题的模型化思想．为此，现拟从“数与式”、“方程（组）与不等式（组）”、“函数”展开，结合涉及“数与代数”学习内容考查的亮点，对部分省市中考数学典型试题进行评析，并提出2019年复习教学中应注意的问题．一、试题亮点介绍及典型例题分析（一）数与式部分数与式主要包括实数、整式和分式等相关内容，体现为数与式的有关概念和运算，用数或式子表示各种情景中的数量和数量关系，在中考试题中大多以容易题或中档题的形式出现．纵观2019年全国各省市中考试题，对这部分内容的考查又有了新的发展和变化，主要体现在注重基础知识与基本技能，注重基本方法与思维内涵．对数与式运算的考查，能够做到难易有度、层次分明；对数与式探索规律问题的考查能够做到灵活多样、新而不难，从而形成了2019年全国数学中考试题的一大亮点.亮点1：关注基础知识的考查，常规问题呈现异彩《课标》明确指出：“义务教育阶段的数学课程应突出基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生”．2019年全国各地中考试题关注了对“数与式”这部分内容基础知识的考查，题目设计注重面向全体学生，突出基础性，而且对常规问题的考查凸显特色、呈现异彩.例1（2019年苏州卷）；例2（2019年重庆卷）；例3（2019年广东茂名卷）。

亮点2：关注基本方法的考查，巧妙设计独具匠心新课程倡导学生在学习中“应形成解决问题的一些基本策略，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并且有效的解决问题”，针对这方面的考查，主要体现在对数与式相关内容基本方法的运用方面，包括对公式、法则及相关重要概念的灵活运用，而且在题目的命制中突出了“尊重学生之间的个体差异，满足多样化的学习要求，为不同学生的发展创造条件”的人文构想.例4（2019年湖北省孝感市卷）；例5（2019年浙江卷）；例6（2019年呼和浩特市卷）。

亮点3：关注探究能力的考查，呈现形式别具一格以优美独特的呈现形式、别具一格的思维内涵、以数与式的相关知识和方法为载体，考查学生分析问题解决问题的能力，是2019年数学中考试题的一个鲜明特征，对这类题目的命制，首先突出了对学生发现问题、解决问题能力的考查，同时题目的设计还在较大程度上关注了初高中数学知识点的衔接，关注了对数学思想方法的运用及对数学文化的渗透，许多试题的呈现形式新颖考究、特色鲜明.例7（2019年湛江市卷）；例8（2019年盐城市卷）；例9（2019年四川成都卷）。

（二）方程（组）与不等式（组）部分方程与方程组、不等式与不等式组，是初中数学的核心内容之一，它的学习目标包括两个方面：一是会解方程（组）和不等式（组），二是会用解方程（组）和不等式（组）解决数学问题以及与实际生活相关的问题.从2019年各地中考试题来看，各地普遍从不同侧面、不同角度对方程（组）和不等式（组）知识进行了比较全面、系统的考查．可以看到，大部分试题，通过直接考查方程（组）与不等式（组）的意义与解法，突出了对基础知识与基本技能的考查；通过设计现实问题情景，考查了学生列方程（组）或不等式（组）解决实际问题的能力，突出了对数学建模与数学应用的考查；通过设置综合性的问题，考查了学生对方程（组）和不等式（组）的灵活应用，突出了对方程、转化、化归等数学思想方法的考查.亮点1：基于对基本解法的考查，突出转化思想对方程与方程组、不等式与不等式组解法的考查，是2019年各地中考试卷中一项重要的内容，对这类问题的考查，一般都比较直接，多数题目都以“解方程（组）或解不等式（组）”的形式呈现，通过这种形式，直接考查学生对基础知识和基本方法的掌握情况，这类题目在设计中关注了学生对解题格式和解题完整过程的规范掌握，关注了学生对解方程（组）、解不等式（组）过程的深刻理解，使学生感悟到求解方程（组）和不等式（组）的过程，就是不断进行转化的过程.例10（2019年滨州卷）；例11（2019年福建龙岩卷）；例12（2019年黄冈卷）。

亮点2：基于对知识之间内在联系的考查，突出方法运用“八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底”，这是著名数学特级教师孙维刚老师对数学知识之间内在联系的一个完美概述，在2019年全国各地中考试题中，以方程（组）和不等式（组）知识为载体，考查学生对数学方法的灵活运用、突出数学知识之间、方法之间内在联系的考题，引起了众多学生和教师的关注，成为数学中考试卷中一道亮丽的风景. 例13（2019年浙江杭州卷）；例14（2019年湖北宜昌卷）；例15（2019年山东青岛卷）。

亮点3：基于对解决实际问题的考查，突出应用意识“能根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”、“能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式或一元一次不等式组，解决简单的问题”，这是初中数学《课标》对“方程（组）和不等式（组）”其中一个学段目标的描述．纵观2019年全国各地数学中考试题，列方程（组）和不等式（组）解实际问题，已成为考查学生学数学、用数学必要的基本题型，这类试题，在设计中关注了“数学与现实生活的紧密关系”，大都呈现出浓厚的生活气息，考查了学生运用代数知识和方法解决实际问题的能力，突出了应用意识.例16（2019年扬州卷）；例17（2019年安徽芜湖卷）；例18（2019年湖北鄂州卷）。

（三）函数部分函数是初中数学的核心内容，其应用极为广泛，并且函数与数与式、方程、不等式、几何等都存在着内在的联系，易于与其他数学知识进行综合，所以，函数是各地中考试题设计中不可或缺的重要内容．对于“函数”，考查的重点主要包括：函数的有关概念、图象和性质，函数与其他数学知识之间的内在联系（函数与方程和不等式，函数图象与几何图形），函数思想和数形结合思想，以及应用函数模型解决问题的意识与能力．试题呈现的主要特点：其一，考查函数有关概念、图象、性质等基础知识和基本技能的题目出现频率高，且形式灵活多样；其二，利用合理的现实背景或纯数学背景，考查学生的数学建模能力和应用意识；其三，以函数知识为主线，集中考查了函数与其他数学知识之间的内在联系，凸显数学思想和方法，综合地考查分析问题、解决问题的能力．亮点1：加强对函数意义和性质的考查，形式灵活多样函数的意义及其性质是函数知识的核心，实现对函数意义与性质的深入全面的考查，是提高数学试卷效度的重要途径之一．近几年的中考试题，常采用不同的呈现方式，考查函数的意义和性质，以考查学生对函数概念本质属性的理解和应用的水平．例19（2019年湖南益阳卷）；例20（2019年山东济宁卷）；例21（2019年河北卷）亮点2：注重对建立函数模型解决问题的考查，体现应用意识在数量关系、图形的运动变化以及生活实际中，存在着大量变化与对应的关系．函数，就是刻画运动变化与对应关系的重要数学模型，其应用极为广泛．因此，各地中考试题，常以生活实际问题或纯数学问题中存在的变化与对应的关系为依托，考查学生建立函数模型解决问题的意识和能力．例22（2019年辽宁沈阳卷）；例23（2019年江苏南京卷）；例24（2019年福建莆田卷）亮点3：强调对数形结合思想的考查，彰显丰富内涵在初中函数学习中，数形结合是研究函数问题的重要方法和手段，函数的图象与性质本身就是“数”与“形”的统一体．所以，在各地中考试题中，对函数内容的考查，其数形结合思想是不可或缺的内容．例25（2019年湖北黄冈卷）；例26（2019年江西南昌卷）；例27（2019年天津卷）。

亮点4：突出对函数与其他知识内在联系的考查，实现有机融合在函数表达形式中，解析式是建立函数与“数与式”、“方程（组）与不等式（组）”等内容之间内在联系的纽带，其图象是建立函数与几何图形的桥梁，这就使函数与其它数学知识之间存在必然的联系．因此，在各地中考试题中，对函数内容的考查，经常会与其它数学知识有机融合，考查学生综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．例28（2019年宁波卷）；例29（2019年江苏无锡卷）。

二、2019年中考命题趋势及需要注意的问题鉴于上述典型试题的分析，可以看到，关于“数与代数”的内容，主要是立足于基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，重点考查了数与式、方程（组）与不等式（组）、函数的核心内容及其内在的联系，特别强调了对数与代数规律和模式的探求，强调了数学模型化的思想，以及在新的问题情境中分析和解决问题的能力．因此，笔者以为，在以上关于“数与式”、“方程（组）与不等式（组）”、“函数”中所反映出来的特色的基础上，依据《课标》，2019年中考将更加关注基本知识和基本技能，关注问题中的数量关系和变化规律，并通过建立相应的数学模型，借助几何直观，从“数”与“形”两个角度加以分析和描述，在具体的问题情境中，考查学生对数与代数内容的感悟和应用的水平．（一）以核心内容为基本点，落实基础知识与基本技能数学核心内容，是中学数学知识结构中的“联结点”，也是可以“生成”其他数学知识的基础．中考数学试题的设置，以核心内容为基本点，才能更好地考查学生对基础知识与基本技能落实的情况．以数学核心内容为载体，将会始终作为中考命题的基本原则．针对“数与代数”学习内容，考查学生基础知识和基本技能的达成情况，将主要借助于实数、整式和方式、方程和方程组、不等式和不等式组、函数等知识，考查学生对其中的基本算法、数量关系、变化规律的理解水平，以及能否合理地分析和解决问题的能力．在备考复习时建议注意以下几点：1.对于基础知识的教学，建议充分利用好教材等课程资源，将教材作为教学的重要载体，以数与代数核心内容为重点，理解其中蕴含的数学思想方法，克服对核心内容的死记硬背，避免片面追求“偏题、难题、怪题”的题海战术，关注教材中的例题、练习题，强调落实，使绝大多数能够坚持正常学习的学生，可以达到最基本的要求．2.应帮助学生建立数与代数核心内容之间的“结构体系”，以体现义务教育学段所学的数学概念、思想方法之间螺旋递进的关系，以及核心内容之间所具有的连贯性和一致性的本质特征，并通过变式训练，使学生掌握应用核心内容的基本技能，提升解决数学问题的水平．3.从教学方法上，应突出重点，重视通性、通法，深入浅出、由易到难，尽量分散难点、降低坡度，并针对学生在学习中遇到的难点和薄弱环节，适时地进行分类指导或分层教学．（二）以基本经验为生长点，理解数量关系与变化规律《课标》将“基本活动经验”作为数学课程的总体目标，揭示了“过程与方法”在获得、应用数学知识过程中的重要作用．在设置中考数学试题的过程中，基于活动经验，让学生充分地经历探索问题的数量关系与变化规律，是中考命题的特色．例如，对于“数与式”内容的复习，要注意理解数系扩充的合理性及运算的一致性、体会“数式通性”在学习有关“式”的问题中的作用，还原知识的发生、发展、形成的过程，使学生能够在一点一滴“活动经验”的基础之上，完成对知识的构建．对于“函数”，初中学段主要涉及三种函数类型：一次函数、二次函数和反比例函数，有列表、图象、解析式三种基本表示方法，本质上反映了两个变量之间的变化规律，在复习教学中，从列表法中所体现的数量之间的对应关系，到函数性质本身所反映的“随的增大而增大”或“随的增大而减小”的变化规律，期间所依托的“图形直观”，作为学习函数的基本经验和方法，具有很强的可迁移性，应引起足够的重视．（三）以数学思维为着力点，感悟模型思想与内在联系数学不仅仅是一种重要的“工具”和“方法”，更重要的是一种思维模式，数学思维是数学基础知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵于数学知识之中，是数学知识的精髓．强调数学思维，是设置中考数学试题的主题．《课标》指出：应认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值．“方程（组）与不等式（组）”、“函数”所涉及到的内容，为实现上述“实际应用”提供了很好的数学工具，也正因为如此，借助于这样的工具，我们就可以将实际问题“模型化”了．事实上，在“数与代数”学习领域，充满了用来表达各种数学规律的模型，如代数式、方程、函数、不等式等．例如，结合实际问题，讨论绳长最短问题（例15）、铁丝总长问题（例17）或调运量问题（例18）等，需要分析实际问题中的数量关系，建立和利用方程（组）或不等式（组）模型；再例如，研究销售利润的最优化问题（例22）、探究几何图形的周长（例23）或面积的最值问题（例24）等，需要建立和利用函数模型，复习教学中，关注模型思想就显得尤为重要了．另外，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，也是提高学生思维能力所必需的．利用函数的观点，加强方程、不等式、函数等内容的联系，就是从变化和对应的角度,把函数与方程(组)、不等式（组）统一起来，发挥函数对相关内容的统领作用,其中的“思想性”和内在的有机融合，有利于引导学生建立良好的知识结构，提高数学思维能力．（四）以内涵发展为落脚点，提升数学能力与学习智慧由于中考的对象是学生，是有着不同生活背景和心理特征，以及随时可能处于社会角色转变当中的人，因此中考不能像测试机器那样简单，而要求尊重受试者，将试题的内容经过人性化处理，使试题的内容不强加于人，并被学生的心理环境所接受．另一方面，中考试题所蕴含的思维含量和教育价值，还可以更好地为促进学生的学习服务，为帮助教师反思和改进教学服务，必将成为中考数学试题命题的目标．因此，建议在教学中，应适当选择典型的试题，剖析试题本身所承载的知识的价值，研究解决问题过程中所蕴含的数学思想方法的价值，以及探寻从问题出发所“生成”的进一步应用和研究的价值，等等，这样为学生呈现问题“来龙去脉”的教学，对于学生的发展是非常有益的．例如，为培养学生从具体情境中获取信息的能力，可以选择阅读分析类的试题（例15，例23）；为提高学生的探究能力，可以选择探索规律性的试题（例8，例9）；为提升学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力，可以选择蕴藏丰富思维含量的试题（例27，例28），等等，以最大效益地发挥各类试题的功能，尊重学生的个体差异，满足学生的多样化的学习需要，使每一位学生都能获得良好的数学教育．总之，结合“数与代数”学习内容，一方面，应立足“数与式”、“方程（组）与不等式（组）”、“函数”的核心内容，注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证求解的正确性与合理性的过程，实现对“基础知识与基本技能”的内化；另一方面，应选择典型的问题，以问题为载体，通过分解问题的构成要素（条件和结论），分析问题中解的存在性和规律性，寻求不同的解题策略（建模与变式），将数学思维方式融入到对具体问题的探究之中，积累经验，感悟价值，学会学习．应该说，探寻教学与评价的思想内涵，使学生的智慧得到发展，是我们永恒的教育追求．观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。