黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三12月月考数学(理)试题 Word版含答案

专题三压轴解答题第一关以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．1.以“平行”为背景的存在判断型问题典例1 （2019·山东省实验中学高考模拟）如图所示的矩形ABCD中，AB=12AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD．(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度．【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置．【举一反三】如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题典例2 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为中点,（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且.(Ⅰ)当点在线段上什么位置时，有平面？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解．【举一反三】【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点M ，使平面？说明理由.类型3 以“角”为背景的探索性问题典例3 （2019·山东高三月考）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为233.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ； （2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 所成的锐二面角的余弦值为30？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【举一反三】（2019·山东枣庄八中高三月考（理））如图，直三棱柱111-ABC A B C 中，120ACB ∠=且12AC BC AA ===，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点.（Ⅰ）当E 是中点C 1C 时，求证：CF 平面 AE 1B ；（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平面AE 1B 与平面ABC 所的成锐二面角为6π，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.【精选名校模拟】1. （·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD PCD PD CD ⊥⊥平面，底面ABCD 是梯形，//,1,2,AB DC AB AD PD CD AB Q ====为棱PC 上一点. (Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：//PQ PAD 平面； (Ⅱ)PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60°. 2. （2019·夏津第一中学高三月考）如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．（1）证明：平面POB ⊥平面ABCE ； （2）若6PB =，试判断线段PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为15，若存在，求出PQ OB 的值；若不存在，说明理由．3. （2018·山东济南外国语学校高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF 平面PCE ，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D FC B --的余弦值为24时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角． 【答案】（1）见解析（2）60︒4. （2019·北京北师大实验中学高三月考）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为正方形，已知PA ⊥平面ABCD ，2AB =，2PA =.（1）证明：BD PC ⊥；（2）求PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ？若存在，求PEPC的值并证明，若不存在，说明理由.5.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值． 6. 【湖北省2019届高三联考测试】如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.7. 【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】如图，四边形是边长为2的正方形，平面平面，且.（1）证明：平面平面；（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.8. 【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.9. 【北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.10. 如图，在多面体ABCDMN 中，四边形ABCD 为直角梯形， //AB CD ， 22AB =， BC DC ⊥，2BC DC AM DM ====，四边形BDMN 为矩形.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCD ；（2）线段MN 上是否存在点H ，使得二面角H AD M --的大小为4π？若存在，确定点H 的位置并加以证明.11. 在三棱锥P ABC -中， AB AC =， D 为BC 的中点， PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知4,3,2,1BC PO AO OD ====. （1）证明： AP BC ⊥；（2）在线段AP 上是否存在一点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.12 【安徽省江南十校2019届高三第二次大联考】如图，已知四边形中，对角线，，为等边三角形.（1）求面积的最大值；（2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位置.13. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.（1）若平面，证明：；（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.14. 【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试】如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.15.如图，五面体11A BCC B -中，14AB =，底面ABC 是正三角形，2AB =，四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --为直二面角．（1）D 在AC 上运动，当D 在何处时，有1//AB 平面1BDC ，并说明理由； （2）当1//AB 平面1BDC 时，求二面角1C BC D --余弦值．专题三压轴解答题第一关以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．2.以“平行”为背景的存在判断型问题典例1 （2019·山东省实验中学高考模拟）如图所示的矩形ABCD中，AB=12AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD．(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度．【答案】（1）见解析；（2）33,2【解析】（1）取线段EF的中点M，有GM∥平面BDF．证明如下：如图所示，取线段EF的中点M，∵G为线段ED的中点，M为线段EF的中点，∴GM为△EDF的中位线，故GM∥DF，又GM⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，故GM∥平面BDF；（2）∵CF ∥DE ，且AE 与CF 的夹角为60°，故AE 与DE 的夹角为60°，即60AED ∠=︒， 过D 作DP ⊥AE 交AE 于P ，由已知得DE ⊥EF ，AE ⊥EF ，∴EF ⊥平面AED ， EF ⊥DP,又AE EF=E,∴DP ⊥平面AEFB ， 即DP 为点D 到平面ABFE 的距离，且3DP x =， 设DE ＝x ，则AE ＝BF ＝4﹣x ， 由（1）知GM ∥DF ，G BDF M BDF D MBF V V V ---===11131(4)3322MBF S DP x x ⎡⎤⋅⋅=⨯⨯⨯-⨯⎢⎥⎣⎦()24333(4)x x x x -+=-⋅=，当且仅当4﹣x ＝x 时等号成立，此时x ＝DE ＝2． 故三棱锥G ﹣BDF 的体积的最大值为33，此时DE 的长度为2． 【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置．【举一反三】如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由. 【解析】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点故∵面∴面（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点理由如下：由点分别为中点可得：∵面∴面由（1）可知，面且故面面类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题典例2 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为中点,（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且.(Ⅰ)当点在线段上什么位置时，有平面？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？【解析】（1）证明：连接,,=，因为ABCD是平行四边形，则为中点，连接，又为中点，面，面平面.（2）解(Ⅰ)当点在线段中点时，有平面取中点，连接，又，又，，平面，又是正三角形，平面(Ⅱ)当时，有平面平面过作于，由(Ⅰ)知，平面，所以平面平面易得【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解．【举一反三】【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点M，使平面？说明理由.【解析】（Ⅰ）证明：在三棱柱中，因为底面，CD⊂平面ABC，所以．又为等边三角形，为的中点，所以．因为，所以平面；（Ⅱ）取中点，连结，则因为，分别为，的中点，所以．由（Ⅰ）知，，如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，,,,,，，．设平面法向量，则即令，则，．即．平面BAE法向量．因为，，，所以由题意知二面角为锐角，所以它的余弦值为.（Ⅲ）解：在线段上不存在点M，使平面．理由如下．假设线段上存在点M，使平面．则，使得．因为，所以．又，所以．由（Ⅱ）可知，平面法向量，平面，当且仅当，即，使得．所以 解得．这与矛盾．所以在线段上不存在点M ，使平面．类型3 以“角”为背景的探索性问题典例3 （2019·山东高三月考）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为23.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ； （2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 30E 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 位于AS 的靠近A 点的三等分点. 【解析】（1）证明：因为E 、F 分别是SA 、SB 的中点， 所以EF AB ∥，在矩形ABCD 中，AB CD ∥， 所以EF CD ∥，又因为E 、P 分别是SA 、AD 的中点， 所以∥EP SD ，又因为EF CD ∥，EF EP E ⋂=，,EF EP ⊂平面PEF ，,SD CD ⊂平面SCD ，所以平面∥PEF 平面SCD .（2）解：假设棱SA 上存在点E 满足题意. 在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点， 于是SP AD ⊥，又平面SAD ⊥平面ABCD ， 平面SAD ⋂平面ABCD AD =，SP ⊂平面SAD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以SP 是四棱锥S ABCD -的高， 设AD m =，则SP =，ABCD S m =矩形，所以1133S ABCD ABDD V S SP m -=⋅==矩形 所以2m =，以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B，(S ，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，()()1,0,0PE PA AE λ=+=+-()1λ=-，()1,1,0PB =，设平面PEB 的一个法向量为()1,,n x y z =，有()1110n PE x z n PB x y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令3x λ=，则()13,,1n λλ=-，易知平面SAD 的一个法向量()20,1,0n =，所以12122123cos ,721n n n n n n λλλ-⋅==-+30=， 因为01λ≤≤， 所以13λ=， 所以存在点E ，位于AS 的靠近A 点的三等分点.【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【举一反三】（2019·山东枣庄八中高三月考（理））如图，直三棱柱111-ABC A B C 中，120ACB ∠=且12AC BC AA ===，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点.（Ⅰ）当E 是中点C 1C 时，求证：CF 平面 AE 1B ；（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平面AE 1B 与平面ABC 所的成锐二面角为6π，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）1CE =.【解析】（1）取1AB 中点G ，连结EG FG 、，则FG ∥1BB 且112FG BB =. 因为当E 为1CC中点时，CE ∥1BB 且112CE BB =， 所以FG ∥CE 且FG = CE .所以四边形CEGF 为平行四边形，CF ∥EG ， 又因为1CF AEB ⊄平面，1EG AEB ⊂平面， 所以//CF 平面1AEB ；（2）假设存在满足条件的点E ，设()01CE λλ=≤≤.以F 为原点，向量1FB FC AA 、、方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系. 则()3,0,0A -，()13,0,2B ，()0,1,E λ，平面ABC 的法向量()0,0,1m =，平面1AEB 的法向量()333,3n λ=--，，()23cos 23991m n m n m nλ⋅===++-，，解得1λ=，所以存在满足条件的点E ，此时1CE =.【精选名校模拟】1. （·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD PCD PD CD ⊥⊥平面，底面ABCD 是梯形，//,1,2,AB DC AB AD PD CD AB Q ====为棱PC 上一点. (Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：//PQ PAD 平面； (Ⅱ)PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60°. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】 (Ⅰ)取PD 的中点M ，连接AM ，M Q ，Q PC点是的中点，∴M Q∥CD，1.2MQ CD=又AB∥CD，1,2AB CD QM=则∥AB，QM＝AB，则四边形ABQM是平行四边形.BQ∴∥AM.又AM⊂平面PAD，BQ⊄平面PAD，BQ∴∥平面PAD.（Ⅱ）解：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).令()()()000000,,,,,1,0,2,1.Q x y z PQ x y z PC=-=-则()()000,,,10,2,1,PQ PC x y zλλ=∴-=-()0,2,1.Qλλ∴-又易证BC⊥平面PBD，()1,1,0.n PBD∴=-是平面的一个法向量设平面QBD的法向量为(),,,m x y z=(),0,0,2210,.0,1x yx ym DBy z z ym DQλλλλ=-⎧+=⎧⎧⋅=⎪⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎪-⎩则有即解得令21,1,1,.1y mλλ⎛⎫==-⎪-⎝⎭则60Q BD P 二面角为--，21cos,,22221m n m n m nλλ⋅∴===⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭解得3 6.λ=±Q 在棱PC 上，01,3 6.λλ<<∴=-2. （2019·夏津第一中学高三月考）如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．（1）证明：平面POB ⊥平面ABCE ； （2）若6PB =PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155，若存在，求出PQ OB 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（215【解析】（1）证明：连接BE ，在等腰梯形中ABCD ，2AD AB BC ===，4CD =，E 为中点， ∴四边形ABED 为菱形，∴BD AE ⊥，∴OB AE ⊥，OD AE ⊥，即OB AE ⊥，OP AE ⊥，且OBOP O =，OB ⊂平面POB ，OP ⊂平面POB ，∴AE ⊥平面POB ．又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB ⊥平面ABCE ． （2）由（1）可知四边形ABED 为菱形，∴2AD DE ==， 在等腰梯形ABCD 中2AE BC ==，∴PAE △正三角形， ∴3OP =3OB =∵6PB =，∴222OP OB PB +=，∴OP OB ⊥．由（1）可知OP AE ⊥，OB AE ⊥，以O 为原点，OE ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 由题意得，各点坐标为()0,0,3P ，()1,0,0A -，()0,3,0B，()2,3,0C ，()1,0,0E ，∴(3,3PB =-，(3,3PC =-，()2,0,0AE =，设()01PQ PB λλ=<<，()1,333AQ AP PQ AP PB λλλ=+=+=， 设平面AEQ 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AE n AQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()203330x x y λλ=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取0x =，1y =，得1z λλ=-，∴0,1,1n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，设直线PC 与平面AEQ 所成角为θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则15sin cos ,5PC nPC n PC nθ⋅===，即2331511011λλλλ+-=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭化简得：24410λλ-+=，解得12λ=， ∴存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155． 3. （2018·山东济南外国语学校高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF 平面PCE ，并说明理由； （Ⅱ）当二面角D FC B --的余弦值为2时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角． 【答案】（1）见解析（2）60︒ 【解析】（Ⅰ）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =， //AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （Ⅱ）由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =， 所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C ，)3,1,0B，()0,2,FC a =-，()3,1,0CB =-，设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =，则由m FCm CB⎧⋅=⎨⋅=⎩得2030y azx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x=，则3y=，23z=，所以取231,3,m⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，显然可取平面DFC的法向量()1,0,0n=，由题意：22cos,41213m na==++，所以3a=.由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以PBD∠为直线PB与平面ABCD所成的角，易知在Rt PBD∆中，tan3PDPBD aBD∠===，从而60PBD∠=︒，所以直线PB与平面ABCD所成的角为60︒.4. （2019·北京北师大实验中学高三月考）如图所示，在四棱锥P ABCD-中，底面四边形ABCD为正方形，已知PA⊥平面ABCD，2AB=，2PA=.（1）证明：BD PC⊥；（2）求PC与平面PBD所成角的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点E，使得平面BDE⊥平面BDP？若存在，求PEPC的值并证明，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（210；（3）存在，23PEPC=，理由见解析【解析】（1）如图，连接AC交BD于点O，由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD所以PA BD⊥，即BD PA⊥由于BD PA ⊥，BD AC ⊥，PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC又因为PC ⊂平面PAC ，因此BD PC ⊥ （2）由于PA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两垂直， 因比，如图建立空间直角坐标系A xyz -(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D，P因此(2,2,PC =，(2,0,PB =，(0,2,PD =设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z =，则00m PB m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2020x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 取1x =，1y =，z =，则(1,1,2)m =设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，10sin |cos ,|=||10||||m PC m PC m PC θ⋅=<>=⋅（3）存在，设[0,1]PEPCλ=∈，则(2,2))E λλλ- 则(22,2))BE λλλ=--，(2,2,0)BD =-设平面BDE 的法向量为(,,)n a b c =，则0n BE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2(1)2(1)0220a b a bλλλ⎧-+-=⎪⎨-+=⎪⎩，即1a λ=-，1b λ=-，2)c λ=-则(1,12))n λλλ=---，若平面BDE ⊥平面BDP ，则0m n ⋅=即1(1)1(1)2)0λλλ⋅-+⋅-+-=，则2[0,1]3λ=∈ 因此在棱PC 上存在点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，23PE PC =5.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值．【解析】设AE＝BF＝x．以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B （2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，x，0），F（2﹣x，2，0）．（1）因为，，所以．所以A1F⊥C1E．（2）因为，所以当S△BEF取得最大值时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值．因为，所以当x＝1时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为E（2，1，0），F（1，2，0）．设平面B1EF的法向量为，则得取a＝2，b＝2，c＝﹣1，得．显然底面ABCD的法向量为．设二面角B1﹣EF﹣B的平面角为θ，由题意知θ为锐角．因为，所以，于是．所以，即二面角B1﹣EF﹣B的正切值为．6. 【湖北省2019届高三联考测试】如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）∵在底面中，，且∴，∴又∵，，平面，平面∴平面又∵平面∴∵，∴又∵，，平面，平面∴平面（2）方法一：在线段上取点，使则又由（1）得平面∴平面又∵平面∴作于又∵，平面，平面∴平面又∵平面∴又∵∴是二面角的一个平面角设则，这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系且由（1）知是平面的一个法向量设则，∴，设是平面的一个法向量则∴令，则，它背向二面角又∵平面的法向量，它指向二面角这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且7. 【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】如图，四边形是边长为2的正方形，平面平面，且.（1）证明：平面平面；（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.【解析】（1）由题设知，平面平面，交线为.因为，平面，所以平面，因此，又，，所以平面.而平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则有，过点作于，设，则.因为，所以，，由题设可得，即，解得或，因为，所以，所以，.由，知是平面的法向量，，.设平面的法向量为，则取得，设二面角为，则，因为，.综上，二面角的正弦值为.8. 【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值. 【解析】（1）证明：由已知，得，在中，，∴，即，∵平面，平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面（2）∵平面，∴为直线与平面所成角，∴，∴，在中，，取的中点，连结，则，∵平面，平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面，以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，取，解得，又平面的法向量为，∴.∴二面角的余弦值为.9. 【北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【解析】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以. 又因为平面，所以是平面的一个法向量.所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为. （ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有10. 如图，在多面体ABCDMN 中，四边形ABCD 为直角梯形， //AB CD ， 22AB =， BC DC ⊥，2BC DC AM DM ====，四边形BDMN 为矩形.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCD ；（2）线段MN 上是否存在点H ，使得二面角H AD M --的大小为4π？若存在，确定点H 的位置并加以证明.【解析】（1）证明：由平面几何的知识，易得2BD =， 2AD =，又22AB =，所以在ABD ∆中，满足222AD BD AB +=，所以ABD ∆为直角三角形，且BD AD ⊥. 因为四边形BDMN 为矩形，所以BD DM ⊥. 由BD AD ⊥， BD DM ⊥， DM AD D ⋂=， 可得 BD ADM ⊥平面. 又BD ABD ⊂平面，所以平面ADM ⊥平面ABCD .（2）存在点H ，使得二面角H AD M --为大小为，点H 为线段AB 的中点.事实上，以D 为原点， DA 为x 轴， DB 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0D A B , ()1,0,1M ， 设(),,H x y z ,由MH MN DB λλ==，即()()1,,10,2,0x y z λ--=，得()1,2,1H λ. 设平面ADH 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则，即，不妨设11y =，取()10,1,2n λ=-. 平面ADM 的一个法向量为()20,1,0n =. 二面角H AD M --为大小为于是.解得 或（舍去）.所以当点H 为线段MN 的中点时，二面角H AD M --为大小为.11. 在三棱锥P ABC -中， AB AC =， D 为BC 的中点， PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知4,3,2,1BC PO AO OD ====. （1）证明： AP BC ⊥；（2）在线段AP 上是否存在一点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.法二：如图，以O 为原点，分别以过O 点与DB 共线同向的向量， OD ， OP 方向上的单位向量为单位正交基建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()0,0,0,0,2,0,2,1,0,2,1,0,0,0,3,O A B C P --()()()0,2,3,4,0,0,2,3,0AP BC AC ==-=-∴0AP BC ⋅= ∴AP BC ⊥ ∴AP BC ⊥（2）假设M 点存在，设AM AP λ=， (),,M x y z ，则(),2,AM x y z =+，∴()(),2,0,2,3x y z λ+=，∴0{22 3x y z λλ=+==，∴()0,22,3M λλ-， ∴()2,23,3BM λλ=--设平面MBC 的法向量为()1111,,n x y z =，平面APC 的法向量为()2222,,n x y z = 由110{n BM n BC ⋅=⋅=得()111122330{40x y z x λλ-+-+=-=，令11y =，可得1320,1,3n λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由220{n AC n AP ⋅=⋅=得2222230{230x y y z -+=+=，令16y =，可得()29,6,4n =-，若二面角A MC B --为直二面角，则120n n ⋅=，得326403λλ--⋅=， 解得613λ=，∴613AM =故线段AP 上是否存在一点M ，满足题意， AM 的长为613. 12 【安徽省江南十校2019届高三第二次大联考】如图，已知四边形中，对角线，，为等边三角形.（1）求面积的最大值； （2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位置. 【解析】（1）在中，记，，则由余弦定理：，（当且仅当时，上式取等号）此时，，的面积的最大值为.（2）由（1）知，，，设存在，在三棱锥中，取的中点，连接，易知.作于，由平面平面平面.故在平面上的投影为.与平面所成的角为，由.设，得，，故.故存在，且，满足题意.（2）另解：由（1），，设存在，则在三棱锥中，取的中点，连接，易求.以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为，设，得，得，又.由.故存在，且，满足题意.13. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.（1）若平面，证明：；（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）连接交于，连接，则是平面与平面的交线.因为平面，平面，所以.又因为是中点，所以是的中点.所以.（2）由已知条件可知，所以，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.。

2022届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题 1．已知集合1,2A ，{}10,R B x mx m =-=∈，若A B A ⋃=，则所有符合条件的实数m 组成的集合是（ ） A ．1,0,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．{}1,0,2-C ．{}1,2-D ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭答案：D【解析】就0,0m m =≠分类讨论求出集合B ，再结合B A ⊆可得m 的值. A B A ⋃=等价于B A ⊆当0m =时，B =∅，此时B A ⊆，符合；当0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，故11m =-或12m =即1m =-或12m =，故选：D.2．已知,,R a b c ∈，i 是虚数单位，若1ii ia cb +=+，则（ ） A ．a b = B ．1a b=C ．a b =-D ．1a b=-答案：C根据复数的乘法运算以及复数相等的等价条件列方程即可求解. 由1ii ia cb +=+可得：()1i i i i ac b bc c +=+=-， 所以1a bcc =⎧⎨-=⎩，可得1a b c =-⎧⎨=-⎩，故选：C.3．“1a =”是“直线:10l ax y -+=与直线:m x y a +=垂直”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．不充分也不必要条件答案：A【解析】首先根据两直线垂直系数之间的关系求出a 值，再利用充分条件、必要条件的定义即可得出答案.充分性：若1a =，则()11110⨯+-⨯=，即两直线垂直，充分性满足；必要性：直线:10l ax y -+=与直线:m x y a +=垂直， 则()1110a ⨯+-⨯=，解得1a =，必要性满足；即“1a =”是“直线:10l ax y -+=与直线:m x y a +=垂直”的充要条件. 故选：A本题考查了充分条件、必要条件的定义，考查了两直线垂直系数之间的关系，属于基础题. 4．在区间()0,1上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是（）A ．1225B ．1825C ．1625D ．1725答案：D根据几何概型计算公式进行求解即可. 设(),0,1x y ∈，65x y +<，如下图所示：在方程605x y +-=中，当1x =时，15y =，当1y =时，15x =，所以两个数之和小于65的概率是：11111(1)(1)172551125⨯-⨯-⨯-=⨯，故选：D5．已知点P 为圆22:(1)(2)4C x y -+-=上一点，(0,6),(4,0)A B -,则PA PB +的最大值为 A 262 B 264C ．264D ．2262答案：C取AB 中点D,2PA PB PD +=则，PA PB +的最大值转化为圆心C 到D 的距离加半径再乘以2即可求解.取AB 中点D(2,-3),2,2PA PB PD PA PB PD +=+=则,()()C 1,2D 2,3d r,d 12526PD -=+=的最大值为圆心到的距离再加半径又,∴d+r=262,+2PD ∴的最大值为2264+ 故选C.本题考查点与圆的位置关系，圆上的点到圆外定点距离的最值，是中档题.6．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为A ．612π+B ．624π+C ．1212π+D ．2412π+答案：A根据给定的三视图可知，该几何体是一个底面为直角边分别为2和4的直角三角形，侧棱为3的直三棱柱，以及一个底面半径为2，母线长为3的半个圆柱的组合体，所以该几何体的体积为2112432361222V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7．若0b a <<，则下列不等式：①a b >；②11b a >；③2a b b a +>；④22a a b b<-中，正确的不等式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：C利用不等式的性质以及作差法判断大小，逐项进行分析即可. ①因为0b a <<，所以b a >，故错误；②因为11a b b a ab--=，0,0a b ab ->>，所以110b a ->，所以11b a >，故正确；③因为()22a b a b b a ab-+-=，()20,0a b ab ->>，所以20a b b a +->，所以2a b b a +>，故正确；④因为()()222a b a a b b b---=，()20,0a b b -><，所以()220a a b b --<，所以22a a b b <-，故正确； 故选：C.8．如图，在三棱锥D-ABC 中，AC BD ⊥，一平面截三棱锥D-ABC 所得截面为平行四边形EFGH ．已知2EF =，5EH =，则异面直线EG 和AC 所成角的正弦值是（ ）A ．14B ．7 C ．35 D ．2 答案：A【解析】利用直线与平面平行的判定与性质可证//EH AC ，从而可知HEG ∠（或其补角）就是异面直线EG 和AC 所成的角，在直角三角形EHG 中计算可得解.EFGH 是平行四边形，所以//EH FG ，因为EH ⊄平面ACD ，FG ⊂平面ACD ，所以//EH 平面ACD ，又EH ⊂平面ABC ，平面ABC平面ACD AC =，所以//EH AC ，所以HEG ∠（或其补角）就是异面直线EG 和AC 所成的角，因为AC BD ⊥，所以90EHG ∠=，因为2HG EF ==5EH =7EG = 故14sin HG HEG EG ∠==故选：A点评：：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．9．函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，π2ϕ<），其图象相邻两条对称轴间的距离为π2，将其图象向右平移π6个单位长度后所得图象关于y 轴对称，则下列点是()f x 图象的对称中心的是（ ）A ．π,024⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭答案：B由题可得T π=，继而求得2ω=，求得平移之后的解析式，根据关于y 轴对称求得π3ϕ=，令ππ2π32x k +=+，Z k ∈，可得出对称中心. 因为()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，所以2ππT ω==，所以2ω=.因为()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到曲线πcos 23y x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又其图象关于y 轴对称，所以ππ3k ϕ-+=，Z k ∈，即ππ3k ϕ=+，Z k ∈.因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，故()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π32x k +=+，Z k ∈，得ππ122k x =+，Z k ∈.当0k =时，π12x =，所以点π,012⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心.故选：B.10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点P 在对角线1BD 上，当PB 三棱锥P ABC -的外接球的体积为（ ） A ．32πB ．9πC ．92π D ．3π 答案：C设底面中心为O ，可得PO ⊥平面ABC ，可得O 为ABC 外接圆圆心，则可建立关系求出外接球半径，即可得出体积.如图，设底面中心为O ，因为棱长为2，所以1BD =因为PB P 为1BD 中点，所以PO ⊥平面ABC ，且1PO =，因为ABC 为直角三角形，所以O 为ABC 外接圆圆心，半径为2OA = 设三棱锥PABC -的外接球的半径为R ， 则()()22221R R +-=，解得32R =,所以外接球的体积为3344393322R πππ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. 故选：C.11．已知数列{}n a 满足：()11112,1n n n a a a a ++=-=，数列{}n b 满足：1n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前2021项的和2021S =（ ） A ．20204041B ．40404041C ．40424043D ．20214043答案：D根据题意可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a ，公差为2的等差数列，求出n a ，利用裂项相消法可求出答案.由()1112n n n a a a ++=-整理可得1112n na a +-=， 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a ，公差为2的等差数列，所以()111221nn n a =+-⨯=-，即121n a n =-， 则()()11111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫==⎪=⋅- -+-+⎝⎭，所以202111111111202111233540414043240434043S ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D.12．已知函数21(01)()(1)(1)x x f x f x m x ⎧-≤≤=⎨-+>⎩在定义域[)0,+∞上单调递增，且对于任意0a ≥，方程()f x a =有且只有一个实数解，则函数()()g x f x x =-在区间*0,2()n n N ⎡⎤∈⎣⎦上的所有零点的和为A ．(1)2n n +B ．21122n n --+C ．2(21)2n +D ．21n -答案：B数()()()()2101,{11x x f x f x m x -≤≤=-+>在定义域[)0,+∞上单调递增，且对于任意0a ≥，方程()f x a =有且只有一个实数解，则()f x 是连续函数,可得1m = ,画出()y f x = 与y x = 的图象,如图图象交点横坐标就是函数()()g x f x x =-的零点,由图知, 在区间0,2n ⎡⎤⎣⎦（*n N ∈）上的所有零点的和为()2111+2+3...21222n n n n +-+-+=+ ,故选B.【方法点睛】本题主要考查函数零点与图象交点之间的关系及分段函数的解析式及图象，属于难题.函数零点个数的三种判断方法:(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 二、填空题13．522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的x 项系数为___________；答案：80-在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得展开式中x 的系数． 解：()()5210215522rrr r r r r r T Cx C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1020r r --=，则3r =，所以()335280C -⨯=-. 故答案为：80-.14．在四边形ABCD 中，()()4,2,2,,AC BD m AC BD =-=⊥，则该四边形的面积是___________. 答案：10根据向量垂直求得4m =，再由12S AC BD =⋅即可求出. 因为()()4,2,2,,AC BD m AC BD =-=⊥， 所以()4220m ⨯+-=，解得4m =，则()242AC =+-=22BD ==所以111022S AC BD =⋅=⨯=. 故答案为：10.15．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，若点F 到直线0bx ay -=，则E 的离心率为____.【解析】由点到直线的距离公式列方程可得222a b =，再利用222a b c =+即可解决.=， 得222a b =， 因为222b a c =-， 所以222a c =，故2c e a ==；故答案为：2. 16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点,,E F G 分别为棱111,,AB AA C D 的中点，则下列结论中正确的序号是___________.①过,,E F G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②11B D ∥平面EFG ； ③1BD ⊥平面1ACB ；④四面体11ACB D 的体积等于312a答案：①③根据平面的性质作出截面即可判断①，根据11B D 与HG 相交可判断②，证明11B C BD ⊥和1BD AC ⊥可判断③，求出四面体11ACB D 的体积可判断④.延长EF ，分别交111,B A B B 的延长线交于,N Q ，连接GN 交11A D 于H ，设HG 与11B C 的延长线交于P ，连接PQ 交1CC 于I ，交BC 于M ，连接,,,,FH HG GI IM ME ，则截面六边形EFHGIM 为正六边形，故①正确；11B D 与HG 相交，故11B D 与平面EFG 相交，故②错误；因为正方体中，11C D ⊥平面11BCC B ，所以111C D B C ⊥，因为11B C BC ⊥，1111C D BC C ⋂=,所以1B C ⊥平面11BC D ，所以11B C BD ⊥，同理可得1BD AC ⊥，因为1AC B C ⋂，所以1BD ⊥平面1ACB ，故③正确；四面体11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为3331114323a a a -⨯⨯=，故④错误. 故答案为：①③.三、解答题17．已知正项数列{}n a ，且点)()1,n n a a n N *+∈在函数21y x =+的图象上，n b 为n a 和1n a +的等比中项，221n n n c b b +=-.（1）证明：数列{}n a ，{}n c 为等差数列；（2）若222221123421,n n a T b b b b b ==-+-+-⋅⋅⋅+，求n T .答案：（1）证明见解析；（2）222n T n n =+.（1）由题设易得11n n a a +-=，且21n n n b a a +=结合已知有12+12()n n nn c c a a ，根据等差数列的定义即可证明{}n a ，{}n c 为等差数列；（2）由（1）结合已知，易知{}n c 是以4为首项，公差为2的等差数列，又n T =13521...n c c c c -++++，即可求n T .（1）点*1(,)()n n a a n N +∈在函数21y x =+图象上，11n n a a +∴-=，即{}n a 为等差数列，得证. n b 为n a 和1n a +的等比中项， 21n n n b a a +∴=，而221121121()2nn n n nn n n nn n c b b a a a a a a a a ，即122n n c a ，∴12+12()=2n n nn c c a a 为常数，{}n c 为等差数列，得证.（2）由（1）知：2222212342n n T b b b b b =-+-++⋅⋅⋅+13521n c c c c -=+++⋅⋅⋅+，11a =，22a =，则1224c a ，∴{}n c 是以4为首项，公差为2的等差数列，2(1)44222nn n T n n n .18．如图所示，ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3cos C cb=．(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)点D 为边AC 的中点，2BD =，求ABC 面积的最大值．答案：（Ⅰ）3π（Ⅱ）23()I sin sin 3cos BCC =，从而可求tan C ，进而可求C ()II 在BCD 中，设BC x =，CD y =，由余弦定理及基本不等式得：224x y xy xy +-=≥，可求xy的最值，代入三角形的面积公式可求解． 解：(Ⅰ3cos )C cb=． sin sin 3cos BCC =， tan 3C ∴=0C π<<，故3C π=(Ⅱ)在BCD 中，设BC x =，CD y =，由余弦定理知224x y xy xy +-=≥， 所以，32sin 3ABC BCDSSxy C ==⋅=≤ 此时 2x y ==，面积有最大值23本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式、基本不等式的综合应用，属于基础题．19．某学校举行“英语风采”大赛，有30名学生参加决赛，评委对这30名同学分别从“口语表达”和“演讲内容”两项进行评分，每项评分均采用10分制，两项均为6分起评，两项分数之和为该参赛学生的最后得分，若设“口语表达”得分为X ，“演讲内容”得分为Y ，比赛结束后，统计结果如下表：（1）从这30名学生中随机抽取1人，求这名学生的最后得分为15分的概率； （2）若“口语表达”得分X 的数学期望为496．求： ①m ，n 的值；②这30名参赛学生最后得分的数学期望． 答案：（1）215；（2）①4m =，2n =；②795．（1）因为1569788796=+=+=+=+，进而得得分为15的人数有4，在结合古典概型求解即可； （2）①由表可知“口语表达”得分X 有6分、7分、8分、9分、10分，且每个分数分别有2人，8人，7人，5m +人，2n +人．进而列分布列，根据期望和6m n +=求解即可；②结合①得这30名参赛学生最后得分的可能取值为12，13,14,15,16,17,18,19,20，再根据古典概型列分布列求解即可.（1）因为1569788796=+=+=+=+，所以最后得分为15的人数有01214+++=，故从这30名学生中随机抽取1人，这名学生的最后得分为15分的概率为423015=； （2）①由表可知“口语表达”得分X 有6分、7分、8分、9分、10分， 且每个分数分别有2人，8人，7人，5m +人，2n +人． 所以“口语表达”得分X 的分布列为：又“口语表达”得分的数学期望为496，所以()()951021256564930303030306m n ++++++=， 化简，得91056m n +=，因为学生共有30人，所以6m n +=，由910566m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得4m =，2n =；②这30名参赛学生最后得分的分布列为 得分 1213 14 15 16 17 18 19 20 P130430330430930330230330130所以这30名参赛学生最后得分的数学期望为1211341431541691731821932014747930305⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．20．如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，090ACB ∠=，点1B 在底面内的射影恰好是BC 的中点，且2BC CA ==.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（2）若二面角11B AB C --的余弦值为57-，求斜三棱柱111ABC A B C -的高. 答案：（1）证明见解析；（23【解析】试题分析：（1）取BC 中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥平面ACB ，所以1B M AC ⊥，结合AC BC ⊥有AC ⊥平面11B C CB ，从而有平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（2）以CA 为ox 轴，CB 为oy 轴，过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴，建立空间直角坐标系，设1B M t =，利用二面角11B AB C --的余弦值为57-和向量法建立方程，求得3t 3 试题解析：(1)取BC 中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥平面ACB ∴1B M AC ⊥ 又AC BC ⊥，且1B M BC M AC ⋂=∴⊥平面11B C CB 因为AC ⊂平面11ACC A ,所以平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；(2)以CA 为ox 轴，CB 为oy 轴，过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴，建立空间直角坐标系 2CA BC ==,设1B M t =，则11(200),(020),(010),(01,),(0,1,)A B M B t C t -，，，，，，， 即111(21,),(2,2,0),(0,2,0)AB t AB BC =-=-=-， 设面1AB B 法向量111(,,)(1,1,)n x y z n t =∴=面11AB C 法向量21(,,)(,0,1)2tn x y z n =∴=125cos ,37n n t =-∴=3【解析】空间向量与立体几何.21．已知函数()ln f x x mx =-（m 为常数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当32m ≥2()2()g x f x x =+的两个极值点12,x x ，（12x x <）恰为2()ln h x x cx bx =--的零点，求1212()()2x xy x x h '+=-的最小值.答案：（Ⅰ）当0m >时，()f x 的单调递增区间为1(0,)m ，单调递减区间为1(,)m+∞，当0m ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；（Ⅱ）2ln 23-+.【解析】试题分析：（1）先求函数导数，讨论导函数符号变化规律：当0m ≤时，导函数不变号，故()f x 的单调递增区间为()0,+∞.当0m >时，导函数符号由正变负，即单调递增区间为10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间减区间为1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，（2）先求()g x 导数得12,x x 为方程的两根，再求()h x 导数得()1'2h x cx b x=--，因此1212122'=()2x x h c x x b x x +⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭，而由12,x x 为()2ln h x x cx bx =--的零点，得22111222ln 0,ln 0x cx bx x cx bx --=--=,两式相减得()()()11212122ln0x c x x x x b x x x --+--=,即得()1121221ln 0x c x x b x x x -+-=-，因此1211212221'=ln 2x x x h x x x x x +⎛⎫- ⎪+-⎝⎭，从而y ()11212111222212ln 2?ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=-++12ln 1t t t -=-+，其中()1201,x t t x =<<根据韦达定理确定自变量范围：因为2212121212()32321911,()2,0102222x x x x x x m t t t x x t +=+=≥⇒≥⇒++≥<<⇒<≤ 又()()212?01t y t t '--=<+，所以min 2ln 23y =-+ 试题解析：（1），当0m >时，由10mx ->解得1x m <,即当10x m<<时，()()'0,f x f x >单调递增， 由10mx -<解得1x m >,即当1x m>时，()()'0,f x f x <单调递减,当0m =时，()1'0f x x=>,即()f x 在()0,+∞上单调递增,当0m <时，10mx ->故()'0f x >，即()f x 在()0,+∞上单调递增,所以当0m >时，()f x 的单调递增区间为10,m ⎛⎫⎪⎝⎭,单调递减区间减区间为1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当0m ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞. （2）()()2222ln 2g x f x x x mx x =+=-+,则()()221'x mx g x x-+=,所以()'g x 的两根12,x x 即为方程的两根. 因为32m ≥,所以2121240,,1m x x m x x ∆=->+==,又因为12,x x 为()2ln h x x cx bx =--的零点，所以22111222ln 0,ln 0x cx bx x cx bx --=--=,两式相减得()()()11212122ln 0x c x x x x b x x x --+--=,得()121212ln xx b c x x x x =-+-,而()1'2h x cx b x=--,所以()()1212122y x x c x x b x x ⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦()()()121212121212ln 2x x x x c x x c x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+-+++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()11212111222212ln 2?ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=-++令()12101,2ln 1x t t t y t x t -=<<=-+,由()2212x x m +=得22212122x x x x m ++= 因为121=x x ,两边同时除以12x x +，得212t m t ++=，因为m ≥故152t t +≥，解得12t ≤或2t ≥，所以102t <≤，设()12?ln 1t G x t t -=-+，所以()()()21'2?01t G t t t --=<+，则()y G t =在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，所以()min 12ln 223G t G ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，即()1212'2x x y x x h +⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值为2ln 23-+.【解析】利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值 【点评：】导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则 y ＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y ＝f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1:()3l R πθρ=∈与直线2cos sin 40l θρθ+-=交于点P ．（1）求点P 的直角坐标；（2）若直线2l 与圆C ：3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）交于,A B 两点，求||||PA PB ⋅的值．答案：（1）2P ⎫⎪⎝⎭；（2）113.（1）先求出直线1l 和2l 的直角坐标方程，再联立方程即可求出；（2）求出直线2l 的参数方程，代入圆的普通方程，利用直线参数的几何意义即可求出. （1）直线1l的直角坐标方程为y =①， 直线2l40y +-=②，联立①②解方程组得2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以点P的直角坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭.（2）直线2l40y +-=，倾斜角为120°， 所以直线2l的参数方程为122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）①，圆C 的普通方程为229x y +=②， 将①代入②得21103t -=. 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则121211||||||||||3PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=. 关键点睛：本题考查直线参数方程的几何意义，解题的关键是求出直线2l 的参数方程，利用1212||||||||||PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅求解.23．已知函数()f x =1(0)x x a a a ++->．（1）当1a =时，求不等式()4f x ≥的解集； （2）证明：()f x ≥2．答案：（1）{2x x ≤-或}2x ≥；（2）证明见解析.（1）当1a =时，()11f x x x =++-，利用零点分域法分1x ≤-、11x -<<、1≥x 三种情况取绝对值解不等式；（2）利用绝对值三角不等以及基本不等式即可求证. （1）当1a =时，()11f x x x =++-.当1x ≤-时，()1124f x x x x =---+=-≥，解得2x -≤； 当11x -<<时，()1124f x x x =+-+=≥，无解； 当1≥x 时，()1124f x x x x =++-=≥，解得2x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为{2x x ≤-或}2x ≥.（2）111x x a x a x x a x a a a++-=++-≥++-12a a =+≥， 当且仅当1a =时等号成立， 所以()f x ≥2.。

黑龙江省实验中学2018—2019学年度上学期高三学年第一次月考数学(理科)试卷考试时间：90分钟满分：100分命题人:曹成钢一、选择题（每题4分，共48分）1．已知集合,，则（）A． B． C． D．2．下列四个命题中真命题的个数是（）①命题的逆否命题为；②命题的否定是；③命题“，”是假命题；④命题，命题，则为真命题.A．1 B． 2 C． 3 D． 43. 已知函数则（）A．4 B． C． -4 D．4．若幂函数在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A． B． C． D．或45．函数的单调增区间为（）A． B． C． D．6．已知，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．7．已知函数且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数，的值域是，则实数的取值范围是( )A．（1,2） B. C．（1,3） D．（1,4）9．函数的大致图象为（）A． B．C． D．10．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．11．已知，，则的值是( )A． B． C． D．12. 已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件．．．．．．．是（）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，共20分）13. 函数的定义域为_______________.14．已知，则______________15．已知函数，则__________．16. 已知函数是R上的偶函数，对于，都有成立，且，当，且时，都有则给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在[﹣9，﹣6]上为增函数；④方程在[﹣9，9]上有4个根；其中正确的命题序号是___________.三、解答题（共32分）17.（10分）已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a＞0)．(1)当a＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．18.（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线；过点的直线的参数方程为为参数），直线与曲线分别交于两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若成等比数列，求的值.19.（12分）已知函数.（1）当时，判断函数的单调性；（2）若函数处取得极大值，求实数a的取值范围.数学答案（理科）1．C 2．D 3．B 4．A 5．D 6．A 7．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C13．14．3/5 15．4．16．①②④17．(1)当a＝4时，log2a＝2，①当x＜－时，－x－2≤2，得－4≤x＜－；②当－≤x≤1时，3x≤2，得－≤x≤；③当x＞1时，此时x不存在．所以不等式的解集为{x|－4≤x≤}．(2)设f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝由f(x)的图象知f(x)≥－，∴f(x)min＝－.∴log2a≥－，∴a≥.所以实数a的取值范围是[，＋∞).18．（1）曲线：，消去参数可得直线的直角坐标方程为.（2）把直线的参数方程代入，得：.设，对应参数为，.则有，.因为，，.所以，即，解得.|19．（1）当时，，则，设，则，当时，，时，，所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，又，所以当时，，即，所以函数在区间内单调递减.（2）由已知得，则，记，则，且，①若，则当时，，所以函数在区间内单调递增，且当时，，即，当时，，即，又，所以函数在处取得极小值，不满足题意.②若，则，当时，，故函数在区间内单调递增，且当时，，即，当时，，即，又，所以函数在处取得极小值，不满足题意.③当时，则，由（1）知函数在区间内单调递减，故函数在区间内单调递减，不满足题意，④当时，，当，即，故函数在区间内单调递减，且当时，，即，当时，，即，又，所以在处取得极大值，满足题意，综上，实数的取值范围是.。

哈尔滨市第六中学2019届10月阶段性总结高三地理试题一、单项选择题（本大题共有40小题，1--20每小题2分，21--40每小题1分,共计60分）木糖醇是可以从白桦树、橡树、玉米芯、甘蔗渣等植物中提取出来的一种天然植物甜味剂。

据此回答1-2题。

1．木糖醇生产厂应当接近( )A.消费市场B.原料产地C.廉价劳动力地区D.研发基地2.材料所述木糖醇工业原料中的糖料作物，在我国分布广泛的省区是( )A.四川、吉林B.宁夏、新疆C.江苏、河北D.广东、台湾地坑院也叫地窖,在我国已有约四千年历史了。

地坑院就是在平整的地面上挖一个正方形或长方形的深坑,深约6-7米,然后在坑的四壁挖若干孔洞,其中一孔洞内有一条斜坡通道拐个弧形直角通向地面,是人们出行的门洞。

结合下图,回答3-5题。

3.地坑院反映的当地环境是( )A.土层深厚B.冬暖夏凉C.降水稀少D.木材短缺4.下图中地坑院出入通道周围的砖墙主要作用是( )A.挡风B.防水C.阻沙D.遮阳5.该地可能位于( )A.河南B.黑龙江C.新疆D.福建一棵10米高的树长成可能需要50年，而这样高的竹子却只需约50天，不到5年便可以利用；因此，竹子产业被称作“黄金绿色产业”。

中国的成片竹林面积、年产竹材、年产竹笋数量分别为世界总量的1/3、1/3、1/2，位居全球之首，完成下列6-7小题。

6. 要发挥竹子的经济效益，应着眼于（）A.发挥优势，扩大竹子的种植面积B.加大科技投入，进行深加工C.扩大竹笋食品的出口D.加强管理，提高竹子产量7. 竹子产业被称作“黄金绿色产业”，是因为（）A.常年绿色，多用作园林绿化B.能帮助农民快速脱贫致富C.适应性强，在我国东部季风区都可推广种植D.分布广，能产生巨大的经济效益和环境效益下图为我国某月降水地区分布图（阴影部分）。

据此完成8-9问题。

8．图示的月份，华北地区哪个职能部门工作压力最大（）A．电力部门B．水力部门 C．交通部门 D．通讯部门9．此时长江中下游的天气状况与下面诗句描述相对应的是（）A．一年三季东风雨，独有夏季东风晴 B．忽如一夜春风来，千树万树梨花开C．黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙 D．三月东风吹雪消，湖南山色翠如浇快捷支付是一种全新的支付理念，具有方便、快速的特点，是未来消费的发展趋势，其特点体现在“快”。

哈尔滨市第六中学2019届10月阶段性总结高三文科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合{}{}|1 ||2A x x B x x =>-=<，，则A B =U （ ） A ．{}|2x x >-B ．{}1x x >-|C ．{}|21x x -<<-D ．{}|12x x -<<2. 已知a R ∈，复数212aiz i+=-，若z 为纯虚数，则z 的虚部为（ ） A.35B i C. 35i D. 13. 已知直线,,a b l ，平面,αβ，则下列命题正确的个数为（ ） ①若,,l αβα⊥⊥ 则//l β ②若,a l b l ⊥⊥，则//a b ③若,,l αβα⊥⊂则l β⊥ ④若,l l αβ⊥⊥,则//αβ A. 0 B.1 C.2 D.34. 设变量,x y 满足约束条件10220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最大值为（ ）A. 2-B.2C.3D.45. 已知向量,a b r r 满足||1a =r，||a b -=r r ()0a a b ⋅-=r r r ，则|2|b a -=r r（A.2B. C.4 D. 6. 一个几何体的三视图如右图，则它的表面积为（ ） A. 28 B. 24+ C. 20+ D. 20+7. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱18AA =.若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过1111,,,AC BC AC B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为（ ）A ． 7B ． 6C ． 4D ． 2俯视图正视图 侧视图8. 已知a b >，则（ ）A. ab a b a +>+2B. 2222()a b a b ++<+C. b a b a 3443>D. ||||a a b b > 9. 已知函数2()2sin()(0),[,]123f x x x ππωϕω=+>∈-的图像如图，若12()()f x f x =，且12x x ≠，则12()f x x + 的值为（）A.B. C.1 D.010. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P,Q 分别是线段1AD 和1B C 1AP B Q =，则下列命题错误的是（ ）A. 存在,P Q 的某一位置，使//AB PQB. BPQ ∆的面积为定值C. 当PA>0时，直线1PB 与AQ 是异面直线D. 无论,P Q 运动到任何位置，均有BC PQ ⊥11. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：(1)(1)f x f x -=+，且(1)2,(2)1f f -==-，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L （ ）A ． 2020B ．2019C ．1011D ．1008 12. 若()x x f x e ae -=-为奇函数，则1(1)f x e e-<-的解集为（ ）A. (,2)-∞B. (,1)-∞C. (2,)+∞D. (1,)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若角α的终边过点1,2-（），则)2cos(πα+= .14. 已知25≥x ，则4254)(2-+-=x x x x f 的最小值为 .15. 设数列{}n a 满足121,3a a ==，且112(1)(1),(2)n n n na n a n a n -+=-++≥，则20a 的值为 . 16. 已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为 . 三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 117. （本小题满分12分）已知在数列}{n a 中，*114,2()n n a a a n N +==+∈ （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n b n a n 3)2(2-=-，求12310||||||||b b b b ++++L18. （本小题满分12分）直棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为正三角形，点D 为BC 的中点，1BC BB =. （1）求证：1A C // 平面1AB D ；（2）试在棱1CC 上找一点M ，使1MB AB ⊥，并给出证明.19. （本小题满分12分）设ABC ∆三个内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，已知,cos 6A b C a π==（1）求角C 的大小；（2）在ABC ∆的一个外角ACD ∠内取一点P ，使PC=2，过点P 分别作CA ，CD 的垂线PM ，PN ，垂足分别 为M ，N ，设PCA α∠=，当α为何值时，PM PN +最大，并求出最大值.20. （本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中,//AB CD , AD DC CB a ===，60ABC ∠=︒，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE a =. （1）求证：BC ⊥平面ACFE ； （2）求三棱锥A-BEF 的高.B21. （本小题满分12分）已知函数()(1)ln 1f x b x x x =+-+，斜率为1的直线与()f x 相切于点(1,0) （1）求()()ln h x f x x x =-的单调区间； （2）证明：(1)()0x f x -≥选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为)0(sin 2cos πϕϕϕ<≤⎩⎨⎧+-==为参数，t t y t x ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1=ρ，l 与C 交于不同的两点21,P P （1）求ϕ的取值范围；（2）当ϕ变化时，求线段21P P 中点M 的轨迹的参数方程.23. [选修4−5：不等式选讲]（10分） 已知函数|2||4|)(-+-=x x x f （1）求不等式2)(>x f 的解集；（2） 设)(x f 的最小值为M , 若M a x ≥+2的解集包含]10[，，求a 的取值范围.高三文科数学答案一、选择题：ADBC ABBD CBCA二、填空题：13. 14. 1 15. 24516. 36π三、解答题：17. （1）22n a n =+ （2）188918. （1）证明略； （2）M 为1CC 中点时，1MB AB ⊥19. （1）3C π=； （2）)6PM PN πα+=+，当3πα=时，有最大值20. （1）证明略； （2 21. （1）()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞； （2）证明略22.（1） 2(,)33ππ（2）sin 2(1cos 2x y ϕϕϕ=⎧⎨=--⎩为参数）23.（1）(,2)(4,)-∞+∞U （2）1a ≥。

2019届黑龙江省高三12月考理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合A＝，B＝，则A B＝（）A ． _________________________________B ．_________C ．______________________________________D ．2. 已知数列满足，，则数列的前6项和为（）A ． 63 ______________B ． 127 ______________C ．____________________ D ．3. 若，是第三象限的角，则（）A ．___________________B ． ______________C ．_________ D ．4. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题不正确的是（）A ．若，，则______________B ．若，，则C ．若，，则______________D ．若，，则5. 已知正项数列中，，，，则等于（）A ．_________B ． 4 ________________C ． 8 _________D ． 166. 已知两定点，，点P在椭圆上，且满足＝2，则为（________ ）A ．－12 ______________B ． 12 ___________C ．一9 ______________D ． 97. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）8. 点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．9. 已知抛物线的焦点F到双曲线C：渐近线的距离为，点是抛物线上的一动点，P到双曲线C的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A ． ______________________________B ．C ． ______________________________D ．10. 已知是内的一点，且若和的面积分别为，则的最小值是（）A ． 20 ________B ． 18 _________C ． 16 ________________D ． 911. 已知圆：，平面区域Ω：．若圆心，且圆与轴相切，则的最大值为（）A ．____________________________B ．__________________C ．_________ _________ D ．12. 已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（________ ）（ 1 ）或；（ 2 ）且；（ 3 ）或；______________（ 4 ）且．A ． 3_________________B ． 2 _________C ． 1D ． 0二、填空题13. 在边长为1的正三角形ABC中，设，则__________ ．14. 若等比数列的各项均为正数，且，则________ ．15. 利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥 ,其中底面四边形是边长为的正方形，，且平面 ,则球体毛坯体积的最小值应为_________ ．16. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列命题：① 在内单调递增；② 和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；③ 和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；·④ 和之间存在唯一的“隔离直线” ．其中真命题的个数为_________________________________ （请填所有正确命题的序号）三、解答题17.在锐角中, 分别为角所对的边，且（Ⅰ ）确定角的大小；（Ⅱ ）若，且的面积为，求的值．18.已知数列的前项和为 ,若（） ,且．（Ⅰ ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ ）设 ,数列的前项和为 ,证明:（）．19.如图,已知四边形和均为直角梯形，∥ ，∥ ，且，平面⊥平面 ,（Ⅰ ）证明：平面；（Ⅱ ）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．20.已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，．经过点的直线与椭圆交于，两点．（Ⅰ ）求椭圆方程；（Ⅱ ）记与的面积分别为和，求的最大值．21.设函数．（Ⅰ ）若函数在上为减函数，求实数的最小值；（Ⅱ ）若存在，使成立，求实数的取值范围．22. 选修4-1：几何证明选讲如图所示，为的直径，为的中点，为的中点．（Ⅰ ）求证：；（Ⅱ ）求证：．23. 选修 4—4 ：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．（Ⅰ ）求直线的极坐标方程；（Ⅱ ）若直线与曲线相交于、两点，求．24. 选修4－5：不等式选讲设函数．（Ⅰ ）解不等式；（Ⅱ ）若对一切实数均成立，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

考试时间：120分钟 满分：150分【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.一、选择题：（每题5分共60分）【题文】1．已知全集U R =.集合{}3|<=x x A ，{}0log |2<=x x B ，则U AC B =（ ）A. {}13x x << B. {}310|<≤≤x x x 或 C. {}3x x < D.{}13x x ≤<【知识点】对数函数的单调性与特殊点；交、并、补集的混合运算．B7 A1 【答案解析】B 解析：由log 2x ＜0得0＜x ＜1，∴B={x|0＜x ＜1}， ∴U C B ={x|x ≤0或x ≥1}，结合A={x|x ＜3}， ∴U AC B =={x|}={}310|<≤≤x x x 或．故选：B ．【思路点拨】先将集合B 进行化简，然后求出其在R 上的补集，再利用交集的定义结合数轴求解．【题文】2. 已知映射B A f →:,其中R B A ==，对应法则21||:x y x f =→，若对实数B k ∈，在集合A 中不存在元素x 使得k x f →:，则k 的取值范围是（ ）A ．0≤kB ．0>kC ．0≥kD ． 0<k 【知识点】映射A1【答案解析】D 解析：由题意可得 k=≥0，∵对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，∴k ＜0，故选D ．【思路点拨】先求出k 的值域，则k 的值域的补集即为k 的取值范围． 【题文】3.要得到函数21sin 2+-=x y 的图像，只需将x x y cos sin =的图像（ ） A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位 C.向左平移2π个单位 D. 向右平移2π个单位【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4 【答案解析】B 解析：∵函数21sin 2+-=x y =cos2x 又∵y=sinxcosx=sin2x=cos （2x+）∴只需将y=sinxcosx=sin2x=cos （2x+）的图象向右平移个单位即可得到函数y=﹣sin 2x+=cos2x 的图象．故选：B ．【思路点拨】将函数用二倍角公式化简，根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律即可解决．【题文】4.下列有关命题的说法正确的是（ ）A.命题“若21,x =则1x =”的否命题为“若21x =则1x ≠” B ．“1x =-”是 “2560x x --=”的必要不充分条件 C. 命题若“x y =”则“sin sin x y =”的逆否命题为真D ．命题“2000,10x R x x ∃∈++<”的否定是“对01,2>++∈∀x x R x 。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高一12月月考数学试题一．选择题（共60分）1.是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】B【解析】，则与终边相同，它是第二象限角.本题选择B选项.2.设函数，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数则满足，解得x的取值范围是，选D3.下列命题正确的是A. 小于的角一定是锐角B. 终边相同的角一定相等C. 终边落在直线上的角可以表示为，D. 若,则角的正切值等于角的正切值【答案】D【解析】【分析】根据小于的角不一定是锐角排除；根据终边相同的角之差为的整数倍排除；根据终边落在直线上的角可表示为排除，从而可得结果.【详解】小于的角不一定是锐角，锐角的范围是，所以错；终边相同的角之差为的整数倍，所以错；终边落在直线上的角可表示为，所以错；由，可得,正确，故选D.【点睛】本题主要考查范围角，终边相同的角、锐角的基本定义以及排除法的应用，意在考查对基本定义掌握的熟练程度，属于基础题.4.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意，首先求得分针在1点到3点20分这段时间里转过的度数，再根据角度和弧度的关系即可得到答案【详解】根据时钟的特点，分针在1点到3点20分这段时间里转过的度数为：，又因为分针是逆时针转动，则转过的弧度为:，故选【点睛】本题主要考查了弧度和角度之间的互化，掌握它们之间的转化关系是解题的关键，属于基础题。

5.方程的解所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令函数，则函数是上的单调增函数，且是连续函数，根据，可得函数的零点所在的区间为，由此可得方程的解所在区间．【详解】令函数，则函数是上的单调增函数，且是连续函数.∵，∴∴故函数的零点所在的区间为∴方程的解所在区间是故选C.【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.6.已知角的终边过点，则的值是（）A. 1B.C.D. －1【答案】C【解析】试题分析：因,故,所以,故选C.考点：三角函数的定义．7.计算的值等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据诱导公式化角，在根据两角和正弦公式求值.【详解】===,选C.【点睛】本题考查诱导公式以及两角和正弦公式，考查基本求解能力.8.在中，若，则下面等式一定成立的为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据倍角公式可得，从而，再根据及两角和的余弦公式整理可得，于是可得，故得．【详解】∵，∴，又，∴，∴，又为三角形的内角，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查三角形中的三角变换，解题时注意正确运用公式，还需注意符号问题．另外还要注意三角形中的三个内角间的关系，属于基础题．9.若函数在区间上单调递减，且，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．【详解】由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），要使f(x)＝log0.3(5+4x−x2)在区间（a-1，a+1）上单调递减，则，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，∴b＜a＜c．故选：A．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10.已知是锐角，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】，是锐角，则故选11.函数的值域为，则实数的范围（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合函数单调性来求解分段函数的值域，讨论和两种情况【详解】当时，为满足题意函数的值域为，则，为单调增函数且当时，即时，，当时，，，故选【点睛】本题主要考查了分段函数的值域，在求解过程中，结合函数的单调性，比较端点处的取值，此类题目为常考题型，需要掌握解题方法。

哈六中2019届高三上学期12月月考文科数学试题一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知集合}2,1,0,1{-=A ，{}421|<≤=x x B ，则=B A I ( ) A. {}1,0,1- B. {}2,1,0 C. {}1,0 D.{}2,1 2．已知i 是虚数单位，且复数2121,21,3z z i z bi z 若-=-=是实数，则实数b 的值为 ( ) A ．6 B ．6-C ．0D ．61 3. 已知点),2,3(),1,0(B A 向量)3,4(--=→AC ，则向量→BC = ( )A ．)4,7(--B ．)4,7(C ．)4,1(-D ．)4,1(4．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的41，则该双曲线的渐近线方程是 ( )A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若853=+a a ，则7S ＝ ( )A ．28B ．32C ．56D ．246. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ( )A ．1603B ．160 C. 64322+ D ．60 7．过椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线22221x y ab -=的离心率e 的值是( ) A ．54 B ．5 C ．32D ．58.如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成（图②），第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为1。

将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为,,,,321⋅⋅⋅ααα则与4321αααα+++最接近的角是( )参考值：428.155tan ≈ο，732.160tan ≈ο，145.265tan ≈ο，414.12≈A ．ο120B ．ο130C ．ο135D ．ο1409. 过圆1622=+y x 上一点P 作圆)0(:222>=+m m y x O 的两条切线，切点分别为B A 、，若π32=∠AOB ，则实数=m ( ) A ．2B ．3C ． 4D ．9 10. 函数|ln ||2|x y ex -=--的图象大致为（ ）A B C D11.已知F 为抛物线x y 82=的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||||||FB FA -的值等于 ( ) -2-21 12 2A ．4 2B ．8C ．8 2D ．1612. 已知函数||,1|log |)(2x x f -=若函数b x af x f x g 2)()()(2++=有6个不同的零点，则这6个零点之和为 ( )A ．7B ．6C ．211D ．29 二、填空题，（每题5分，共20分） 13.=-+οο75tan 175tan 1 。

黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合(){}2=log 1<0A x x -，4=0+1x B xx -≥⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则()A B ⋂=R ð（ ） A ．()1,1-B ．()2,4C ．(][]1,12,4-⋃D ．[][]1,12,4-⋃ 2．在等比数列{}n a 中，1a ，13a 是方程213160x x -+=的两根，则2127a a a 的值为（ ） AB．C ．4D ．4±3．某学习小组的学习实践活动是测量图示塔AB 的高度．他们选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C ，D ，测得3BCD π∠=，4BDC π∠=，且基点C ，D间的距离为(30m CD =+，同时在点C 处测得塔顶A 的仰角为6π，则塔高AB 为（ ）A ．20mB．C ．40mD．4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“2x ∀>，ln 1x x ≤-”的否定是“02x ∃≤，00ln 1x x >-”B ．命题p ：0x ∃∈R ，02010ax ax ++≤，若命题p 是假命题，则04a <<C ．“0a b ⋅<”是“a ，b 的夹角为钝角”的充分不必要条件D ．ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件5．向量OA ，OB 满足0OA OB ⋅=，点C 在以点O 为圆心的劣弧AB 上，OC xOA yOB =+uu u r uu r uu u r，则2x y +的最大值为（ ）6．已知函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,3x ∈时，()f x kx m =+，若()()031f f -=-，则()2022f =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．27．已知函数()()π=sin 2+>0,0<<2f x x ωϕωϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为C ．()f x 在[]0,π上的单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．将()f x 图象的横坐标变为原来的()1>0t t 倍，纵坐标不变得到函数()g x ，若()12g x =在[]0,π上有且只有三个不等实根，则41<3t ≤8．若关于x 的不等式ln x a e x a -≥+对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(],e -∞C ．(],1-∞D ．(],2∞-二、多选题9．下列关于复数的四个命题正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅= B ．若()72i3i z +=+，则z 的共轭复数的虚部为1C ．若1i 1z +-=，则1i z --的最大值为3D ．若复数1z ，2z 满足12z =，22z =，121z z +=，则12z z -=10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，77S =，则（ ） A ．5n a n =- B ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512C ．n S 取到最大值时，5n =D ．设2nn n a b =，则数列{}n b 的最小项为164- 11．设锐角三角形ABC 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a a B b A +=，则（ ） A ．22b a ac -= B ．2B A = C ．04A π<<D．)2b ca+∈12．平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =且()a ab ⊥-，2,30c a c b <-->=︒r r r r，则下列说法正确的是（ ）A．2a b +=r r B ．a 在b 方向上的投影向量为12bC ．c的最大值是2 D ．若向量m 满足2m a ⋅=u r r，则()m m b⋅-u r u r r 的最小值为54三、填空题13．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．14．通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒2sin18=︒．记2sin18m =︒，则=______．15．已知O 是ABC 的外心，若22AC AB AB AO AC AO mAO AB AC⋅+⋅=uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r，且sin sin B C +=m 的最大值为______．16．已知函数()()()222e 1e x x f x a a x x =+-++有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为______．四、解答题17．已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角ABC 中，若()f AACBC =ABC 的面积． 18．设n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，且26S =，430S =． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()121n n n b n n a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，ABC 的面积214S a =． (1)cos B b =-，求sin sin CB的值； (2)求c bb c+的最大值．20．已知等差数列{}n b 满足32b =，251681b b b b =++，数列{}n a 的前n 项和2124n n S b +=⋅-，*n ∈N(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若226825n n kT n a n n >-+对一切*n ∈N 恒成立，求正整数k 的最小值．21．已知函数()2x x f x e ae -=+-，()2g x x =(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()()h x f x g x =-．若函数()h x 有相同零点和极值点0x ，求()h x 的最小值．22．已知函数()21e xf x x =+-．(1)求曲线()=y f x 在点()()0,0P f 处的切线方程；(2)设函数()()()ln 1g x f x a x =-+有三个零点，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据对数函数的单调性化简集合A ，根据分式不等式的解法化简集合B ，结合集合的补集和交集的定义进行求解即可.【详解】不等式()2log 1<0x -可化为()22log 1<log 1x -，所以011x <-<， 所以12x <<，所以()1,2A =， 不等式40+1xx -≥可化为()()4+10x x ->或=4x ，所以14x -<?，所以(]=1,4B -，所以(][)R 12A ，，=-∞+∞ð，所以()A B ⋂=R ð(][]1,12,4-⋃， 故选：C. 2．C【分析】由已知条件结合一元二次方程根与系数的关系，利用等比数列的性质求解． 【详解】113,a a 是方程213160x x -+=的两根，11311313,16a a a a ∴+=⋅=，21131132127>0,>0,===16a a a a a a a ∴⋅⋅，又等比数列{}n a 中奇数项符号相同，可得74a =21271644a a a ⋅∴==. 故选：C ． 3．A【分析】设,AB x =则BC =，利用正弦定理即得解. 【详解】解：设,AB x =则BC . 由题得53412CBD ππππ∠=--=. 51sinsin()12642πππ=+==在△BCD20x ∴=. 所以塔高20m. 故选：A4．D【分析】对于A ，利用含量词的命题的否定即可判断；对于B ，由p 是假命题可得p ⌝：x ∀∈R ，210ax ax ++>为真命题，分=0a 和0a ≠进行讨论即可；对于C ，利用“,a b 的夹角为钝角”的充要条件即可判断；对于D ，利用正弦定理和三角形性质即可求解.【详解】对于A ，由含量词的命题的否定知，命题“2x ∀>，ln 1x x ≤-”的否定是“02x ∃>，00ln 1x x >-”，故不正确；对于B ，因为命题p 是假命题，所以p ⌝：x ∀∈R ，210ax ax ++>为真命题， 当=0a 时，不等式为10>恒成立；当0a ≠时，需满足2>0Δ=4<0a a a -⎧⎨⎩，解得04a <<， 综上所述，a 的取值范围为{}0<4a a ≤，故不正确；对于C ，“,a b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<且a 不平行于b ”，所以“0a b ⋅<”是“a ，b 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故不正确；对于D ，若A B >，由三角形中“大边对大角”可知，a b >，由正弦定理可知，sin sin A B >； 若sin sin A B >，由正弦定理可知，a b >，从而A B >， 故“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故正确， 故选：D 5．D【分析】由OC xOA yOB =+uu u r uu r uu u r两边平方可得,x y 的关系，设(),m x y =，()2,1n =由数量积的性质求2x y +的最大值.【详解】因为OC xOA yOB =+uu u r uu r uu u r，两边平方可得()()()222222OC x OA xyOA OB y OB =+⋅+uuu r uu r uu r uu u r uu u r ，因为0OA OB ⋅=，所以()()()22222OC x OA y OB =+uu u r uu r uu u r ，因为点C 在以点O 为圆心的劣弧AB 上，所以OC OA OB ==uuu r uu r uu u r，且0x ≥，0y ≥，所以221x y +=， 设(),m x y =，()2,1n =，则2m n x y ?+，又=cos ,m n m n m n m n ⋅⋅⋅≤⋅，当且仅当m ，n 同向时等号成立，所以2x y +?x y ==故选：D. 6．B【分析】由题意表示出()1(1)--=--f x f x 与()1(1)f x f x -+=+，令=1x ，=0x ，=2x ，结合题目所给条件列式求解,k m ，再由两式化简可推导出()f x 的周期为8T =，从而代入计算. 【详解】因为()1f x -为奇函数，所以()1(1)--=--f x f x ①； 又()1f x +为偶函数，所以()1(1)f x f x -+=+②； 令=1x ，由②得：()(2)20==+f f k m ，又()33=+f k m ， 所以()()032(3)1f f k m k m k -=+-+=-=-，得=1k ， 令=0x ，由①得：()()1(1)10-=--⇒-=f f f ； 令=2x ，由②得：()1(3)0-==f f ， 所以()3330f k m m =+=⇒=-. 得[]1,3x ∈时，()3f x x =-，结合①②得，()2()(2)(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x f x f x f x +=-=--⇒+=-⇒+=-+=， 所以函数()f x 的周期为8T =，所以()()()()()20222528662231f f f f =⨯+==-=--=. 故选：B 7．D【分析】由图象求出()f x 的解析式，再结合三角函数的性质与图像逐项分析即得. 【详解】由图可知，1(0)sin 2f ϕ==， 又π02ϕ<<，所以π6ϕ=， 所以由五点作图法可知4ππ3π362ω⋅+=，得1ω=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由π2ππ133sin 6f ⎛⎫-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-=- ⎪⎝⎭，所以A 错误；对于B ，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为12-，所以B 错误；对于C ，当[]0,πx ∈，则ππ13π2,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+， 由πππ2,662x ⎡+∈⎤⎢⎥⎣⎦，可得π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由π13π22π,66x +∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得11π,π12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误； 对于D ，由题可得()πsin 26g x tx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，因为()12g x =在[]0,π上有且只有三个不等实根，所以π1sin 262tx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[]0,π上有且只有三个不等实根，由[]0,πx ∈，可得πππ2,2π666tx t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，作出正弦函数的图象，由图象可知ππ5π2π2π2π666t +≤+<+，即413t ≤<，故D 正确. 故选：D. 8．C【分析】构造函数()(0)x a f x e lnx a x -=-->，将原不等式转化为求解函数()f x 的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到000x a e lnx a ---…，再利用基本不等式进行求解即可．【详解】解：设()(0)x a f x e lnx a x -=-->，则()0f x …对一切正实数x 恒成立，即()0min f x …， 由1()x a f x e x -'=-，令1()x a h x e x -=-，则21()0x ah x e x -'=+>恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()h x →+∞， 则在(0,)+∞上，存在0x 使得0()0h x =，当00x x <<时，()0h x <，当0x x >时，()0h x >，故函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，)∞+上单调递增，所以函数()f x 在0x x =处取得最小值为000()0x a f x e lnx a -=--…， 因为001x aex -=，即00x a lnx -=-， 所以0010x a a x +--…恒成立，即0012a x x+…，又0012x x +=…，当且仅当001x x =，即01x =时取等号，故22a …，所以1a …． 故选：C ．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 9．ACD【分析】根据复数模、共轭复数的积运算即可判断A ，由复数除法的运算及共轭复数、虚部的概念判断B ，根据复数模的几何意义及圆的性质判断C ，利用复数的加减运算、模的运算求解可判断D.【详解】设i,(,R)z a b a b =+∈，对A ，2224z a b =⇒+=，22i)(i (4)z a b a b a z b +-=+⋅==，故正确；对B ，()72i3i z(2i)3i z +=+⇒-=+，所以3i (3i)(2i)55iz 1i 2i (2i)(2i)5++++====+--+， z 1i =-，其虚部为1-，故错误；对C ，由1i 1z +-=的几何意义，知复数z 对应的动点Z 到定点(1,1)-的距离为1， 即动点Z 的轨迹为以(1,1)-为圆心，1为半径的圆，1i z --表示动点Z 到定点(1,1)的距离，由圆的性质知，max 1i 13z --==，故正确； 对D ，设12=+i,=+i,(,,,R)z m n z c d m n c d ∈，因为12z =，22z =， 所以22224+=4m n c d +=，，又121z z +=，所以+=1,+m c n d 所以+=2mc nd -，所以12=|()+(z z m c n d ---.故选：ACD 10．AD【分析】求得等差数列{}n a 的通项公式判断选项A ；求得116m n+的最小值判断选项B ；求得n S 取到最大值时n 的值判断选项C ；求得数列{}n b 的最小项判断选项D.【详解】由11+=37?67+=72a d a d ⎧⎪⎨⎪⎩，可得1=4=1a d -⎧⎨⎩， 则等差数列{}n a 的通项公式为5n a n =-，则选项A 判断正确； 若210m n a a a a +=+，则21012m n +=+= 则116116116125(17)(178)12121212m n n m m n m n m n +⎛⎫+=+⨯=++≥+= ⎪⎝⎭ （当且仅当1248,55m n ==时等号成立） 又,m n ∈Z ，则116m n +的最小值为不为2512.则选项B 判断错误； 等差数列{}n a 中，123456432101a a a a a a =>=>=>=>=>=->则等差数列{}n a 的前n 项和n S 取到最大值时，=4n 或5n =.则选项C 判断错误； 设2n n n a b =，则52n n n b -=，则111546222n n n n n n n n b b +++----=-= 则12345678b b b b b b b b >>>>>=<<则数列{}n b 的最小项为766561264b b -===-.则选项D 判断正确 故选：AD 11．ABD【分析】利用余弦定理可判断A ，利用正弦定理结合三角恒等变换可判断B ，结合条件可得角A 的范围可判断C ，利用正弦定理及三角函数的性质可判断D. 【详解】因为cos cos a a B b A +=，所以22222222a c b b c a a a b ac bc +-+-+⋅=⋅， 整理可得22=b a ac -，故A 正确；由cos cos a a B b A +=，可得sin sin cos sin cos A A B B A +=， 所以()sin sin cos sin cos sin A B A A B B A =-=-，所以A B A =-或πA B A +-=(舍去)，即2B A =，故B 正确；因为ABC △为锐角三角形，所以π0<<2π0<=2<2π0<=π3<2A B A C A -⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得ππ<<64A ，故C 错误；由题可得()sin 2sin 3sin sin sin sin A A b c B C a A Aπ+-++==， sin 2sin 2cos cos 2sin sin A A A A A A++=22cos 2cos cos2A A A =++ 24cos 2cos 1A A =+-，又ππ<<64AA所以)+b ca∈，故D 正确. 故选：ABD 12．ACD【分析】利用向量的数量积运算律和模的运算求解2a b +r r，根据投影向量定义求解a 在b 方向上的投影向量，构造如图所示的几何图形集合几何意义求c 的最小值，作出满足题意的几何图形求解()m m b ⋅-的最小值.【详解】因为1a =，2b =且()a ab ⊥-，所以()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，所以1a b ⋅=，1cos ,2a b a ba b⋅=，所以a ，b 的夹角为60，因为()222224423a b a ba b a b +=+=++⋅=，所以A 正确;a 在b 方向上的投影向量为1cos ,4ba ab b b ⋅=,所以B 错误;如图，作半径都等于2且公共弦长等于2的两个圆中， 2,,,OA a OB b OC c ===则2,AC c a BC c b =-=-，因为30ACB ∠=，所以2,30c a c b --=︒,符合题意， 由图可知，当OC 同过两圆的圆心时c 最大，此时c 的最大值等于圆心距加半径为2， 所以C 正确;作,,OA a OB b ==如图，222222()23AB b a b a b a OB OA =-=+-⋅==-, 所以90OAB ∠=,令OM m =，由2m a ⋅=得cos 2OM AOM ∠=, 在射线OA 上取点E ，使得2OE =,过E 作直线l OA ⊥,则有点M 在直线l 上，取OB 中点C ,过C 作CD l ⊥，垂足为D , 连接,,BM CM OM ,()()()()()m m b OM BM OC CM BC CM OC CM OC CM ⋅-=⋅=+⋅+=+⋅-+2222151124CM OC CD OA AE ⎛⎫=-≥-=+-= ⎪⎝⎭， 当且仅当,M D 重合时取得等号，所以()m m b ⋅-的最小值为54. 所以D 正确. 故选:ACD.【点睛】结合向量间的关系作出满足题意的几何图形，利用几何意义求解相关最值问题是向量最值问题有效的手段. 13．2【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2.14．【分析】将2sin18m =︒代入，根据恒等变换公式化简，即可求得结果 【详解】2sin18m =︒Q ，2sin144m -⋅︒4sin 182sin 36︒-︒===故答案为：15．32##1.5【分析】设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，根据向量数量积的几何定义可得22211222b c c b mr c b ⋅+⋅=，从而可得22bc mr =，从而可得222m b br r =⋅，又sin sin B C +=正弦定理可得sin 2b B r =，sin 2cC r =，从而可得22b c r r+ 【详解】设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，2||||2()||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=， ∴根据向量数量积的几何定义可得：22211222b c c b mr c b ⋅+⋅=，即22bc mr =，∴=222m b c r r⋅，又sin sin B C +=sin 2b B r =，sin 2cC r =，∴22b c r r+ ∴2322()22224b cm b b r r r r +=⋅≤=，当且仅当22b c r r =时，即ABC △为等边三角形时取等号，∴324m ≤，32m ∴≤，∴实数m 的最大值为32． 故答案为：3216．4【分析】先将题给条件转化为()()2+1++2=0e e x x x x a a -⎛⎫⎪⎝⎭有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且123<<x x x ，再转化为()()2+1++2=0t a t a -有二根12,t t ，且121<0,0<<et t ，进而利用根与系数关系求得3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值 【详解】()()()()()22222e 1e =e 12e e xxxx x x xf x a a x x a a ⎡⎤⎛⎫=+-++-+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又2e >0x ，则()()2+1++2=0e e x x x x a a -⎛⎫⎪⎝⎭有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且123<<x x x ，令()e xx g x =，则1()e x x g x -'=， 当>1x 时()<0g x '，()g x 单调递减；当<1x 时()>0g x '，()g x 单调递增 则()g x 在=1x 时取得最大值1(1)=eg ，>0x 时()>0g x ，令e xx t =，则1e t ≤ 则()()2+1++2=0t a t a -必有二根12,t t ，且121<0,0<<et t则12121,2t t a t t a +=+=+ 则1e x x t =有一解1<0x ，2ex xt =有二解23,x x 且230<<1<x x 故()()3122223121211111e e ex x x x x x t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭[][]221212=1(+)+=1(+1)++2=4t t t t a a --故答案为：417．(1)函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，求出周期，再由正弦函数的单调性求解即可；（2）由()f A sin 23A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭A ，利用余弦定理可求得AB 边的长，再利用三角形的面积公式可求得结果. （1）()22sin cos cos sin sin sin cos 33f x x x x x x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭)1cos211sin2sin2sin 22223x x x x x π-⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ== 由222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得出5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 故函数()f x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）()f A sin 23A π⎛⎫=-=⎪⎝⎭因为02A π<<，则22333A πππ-<-<，所以233A ππ-=，可得3A π=，由余弦定理可得222232cos23BC AB AC AB AC AB π==+-⋅=+，即210AB -=，因为0AB >，解得AB = 此时，AB 为最长边，角C 为最大角，此时222cos 02AC BC AB C AC BC+-=>⋅，则角C 为锐角，所以，11sin 22ABCSAB AC A =⋅=18．(1)2n n a =；(2)1112(1)2n n T n +=-+⋅．【分析】（1）由等比数列前n 项和公式列方程组求得1,a q ，得通项公式； （2）用裂项相消法求和． （1）设{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，0q >，由题意1141+=6(1)=301a a q a q q--⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=2=2a q ⎧⎨⎩（负数舍去）．所以1222n nn a -=⨯=；（2） 由（1）11211(1)22(1)2n n n n n b n n n n +++==-+⋅⋅+⋅，所以2231111111()()[]122222322(1)2n n n T n n+=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅1112(1)2n n +=-+⋅．19．1； (2)【分析】（1）已知214S a =，由面积公式和余弦定理得π)4c b A b c +=+，由已知及正弦定理和三角恒等变换得π4A =，则有c b b c+=. （2）由π)4c b A b c +=+，结合正弦函数性质求最值..（1）ABC 的面积211sin 42S a bc A ==，有22sin a bc A =，由余弦定理，2222sin 2cos a bc A b c bc A ==+-，得2sin 2cos c bA A bc=+-，即π2sin +2cos)4c bA A A b c +==+， cosB b -cos sin A B CB =-，由[]sin sin()sin()sin coscos sin C A B A B A B A B =π-+=+=+， i n c n n cos sin sin os si A A B C B B A B B =--=sin sin 0A B B -=，ABC 中sin 0B ≠，∴cos A =(0,π)A ∈，则π4A =，∴π)4c b A b c +=+=c t b =，则有1t t+=1t ，由正弦定理，sin 1sin C cB b==. （2）由（1）有：π)4c b A b c +=+，A 为ABC 的内角，当π4A =时，c bb c +有最大值20．(1)12n n a +=，12n n b +=； (2)3【分析】（1）由等差数列的基本量法求得n b ，由1(2)n n n a S S n -=-≥求得n a ； （2）用错位相减法求得和n T ，代入不等式化简后转化为用基本不等式求函数的最值． （1）设数列{}n b 的公差为d ，则225168(22)1222325b d b b b d d d +==++-++++，12d =， 所以112(3)22n n b n +=+-⨯=， 1=1b ，224n n S +=-，311244a S ==-=，2n ≥时，211124(24)2n n n n n n a S S +++-=-=---=，1=4a 也适用，所以12n n a +=；（2）由（1）(1)2nn n a b n =+⋅，22232(1)2n n T n =⨯+⨯+++⋅，231222322(1)2n n n T n n +=⨯+⨯++⋅++⋅，两式相减得2314222(1)2n n n T n +-=++++-+⋅1114(12)4(1)2212n n n n n -++-=+-+⋅=-⋅-，所以12n n T n +=⋅．所以不等式226>8+25n n kT n a n n -即为26>8+25nk n n -， 又266258258n n n n n =-++-，2510n n +≥=，当且仅当5n =时等号成立， 所以26825n n n -+的最大值是63108=-，故3k ≥， 所以k 的最小值是3．21．(1)当0a ≤ 时，()f x 在R 上单调递增；当>0a 时，()f x在)∞上单调递增，在(-∞上单调递减. (2)()h x 的最小值为0.【分析】（1）先函数求导，对参数进行分类讨论得出结论（2）构造函数对函数求导，利用已知条件求出参数，分析问题，将参数的值代入表达式中求出函数的最小值. （1）由()e e 2x xf x a -=+-，所以()e e x x f x a -'=-，当0a ≤ 时，()0f x '≥，此时()f x 在R 上单调递增， 当0a > 时，由()0f x '>，有x >()f x在)+∞上单调递增， 由()0f x '<，有x <()f x在(-∞上单调递减， 综上所述：当0a ≤ 时，()f x 在R 上单调递增；当0a > 时，()f x在)+∞上单调递增，在(-∞上单调递减. （2）由()()()2e 2x x e a h x g x xf x ---==+-所以()e e 2x xa x x h --'=-，又函数()h x 有相同零点和极值点0x ，所以有0000200e +e 2=0e e 2=0x x x x a x a x --⎧--⎪⎨--⎪⎩，两式相加得：02002e 22x x x =++， 令()22e 22x p x x x =---，则()2e 22xp x x '=--，设()2e 22x s x x =--，则()2e 2xs x '=-，所以()s x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以()()00s x s ≥=， 所以()p x 单调递增，由()00p =可得00x =，=1a ，所以()22x x e x e x h -+--=，所以()2x x e x h x e ---'=，设()2x xe e x t x --=-所以()120xxx e t e '+-≥=,当且仅当=0x 时取等号. 所以()h x '在R 单调递增，又()00h '=所以当0x >时，()0'>h x ，所以()h x '在(0,)+∞上单调递增， 当0x <时，()0'<h x ，所以()h x '在(,0)-∞上单调递减 所以()min 0)0(h x h == 故()h x 的最小值为0. 22．(1)=y x (2)(0,1)【分析】（1）求得(0),(0)f f '，利用导数的几何意义得出切线的方程；（2）求出()g x 的导数，通过分类讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a 的范围即可． （1）()21e x f x x =+-，()2e x f x '=-∴，则(0)0,(0)1f f '==，因此，曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为y x =．（2）()21e ln(1),(1)x g x x a x x =+--+>-，则()(1)e 2()2e 11x xa x a g x x x ⎡⎤-++-⎣⎦'=---=++， 设h ()()(1)e 2xx a x =++-，则()(2)e 2x h x x '=+-，显然()h x '在(1,)-+∞内递增且(0)0h '=， 所以，在(1,0)x ∈-时，()0,()h x h x <'单调递减， 在(0,)x ∈+∞时，()0,()h x h x >'单调递增， 所以()h x 有极小值(0)1h a =-，又(1)h a -=，①当1a ≥时，()0h x ≥在(1,)x ∈-+∞恒成立，即()0g x '≤，所以()g x 在区间(1,)-+∞内单调递减，最多一个零点，不符合题意； ②当01a <<时，(1)0,(0)0,(2)0h h h -><>， 所以存在12(1,0),(0,2)x x ∈-∈使得()()120h x h x ==， 则在()11,x -内，()0h x >，()0,()g x g x <'单调递减， 在()12,x x 内，()0h x <，()0,()g x g x >'单调递增， 在()2,x +∞内，()0h x >，()0,()g x g x <'单调递减，又()()12(0)0g x g g x <=<，则()g x 在()12,x x 上有且只有一个零点0， 又2(2)5e ln30g a =--<，则()g x 在()2,x +∞上有且只有一个零点，又4411544442e e e e 12e 11eln e 2e e 2e e 130a a a a a a ag a ----------⎛⎫⎛⎫-=-+-+--=->> ⎪⎝⎝⎭+⎪ ⎭，则()g x 在()11,x -上有且只有一个零点，所以函数()g x 恰有三个零点；③当0a ≤时，在(1,0]-内()(0)0h x h <<，又()2(2)(3)e (3)02ah a a a a a --=+->+->-，结合()h x 的单调性可知，存在0(0,)x ∈+∞，使得()00h x =，在()01,x -内，()0h x <，()0g x '>，()g x 单调递增， 在()0,x +∞内，()0h x >，()0g x '<，()g x 单调递减， 函数()g x 最多两个零点，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(0,1)．。