高中数学——示范教案-等差数列的前n项和(二)

专心 爱心 用心1高中数学 2.3 等差数列的前n 项和(2)教案 新人教A 版必修5【使用说明】1、用30分钟先自学课本P 49-P 50，然后完成问题导学。

2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

一、学习目标：1. 理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式；2. 在具体的的问题情境中，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能解决相应问题。

二、问题导学：问题1：结合课本4个具体例子分别得到怎样的数列，请把它们都写下来。

问题2：回忆数列的等差关系和等差数列的定义。

观察前面得到的4个数列，说说它们有什么共同特点，由此得到等比数列的定义。

问题3：回顾等差数列的通项公式的推导过程，同学们能推导出等比数列的通项公式么？问题4：类比等差中项，归纳等比中项概念并用式子表示。

问题5：结合课本P50探究，思考等比数列与指数函数的关系。

三、合作、探究、展示 例1.47(1)27,3,q a a ==-求241(2)18,8,q a a a ==求与579(3)4,6,a a a ==求51423(4)15,6,a a a a a -=-=求例2.在利用电子邮件传播的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，到第5轮可以感染多少台计算机？例3.某地为了保持水土资源，实行退耕还林，如果2000年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2005年需退耕多少公顷？（结果保留到个位）例4：求下列各数的等比中项： （1）77+- （2）422422(0,0)a b aab b ab ++≠≠与四、达标检测1. 在等比数列{}n a 中，⑴ 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递___数列； ⑵ 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递___数列； ⑶ 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递___数列； ⑷ 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递___数列； ⑸ 当0q <时，数列{}n a 是____数列；⑹ 当1q =时，数列{}n a 是___数列.2. 1. 在{}n a 为等比数列，112a =，224a =，则3a =（ ）.A. 36B. 48C. 60D. 723. 等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，这个数列的项数n ＝（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 6五、小结。

《等差数列的前n项和》教学设计（精选五篇）第一篇：《等差数列的前n项和》教学设计:等差数列的前n项和是人教实验版必修5第二章第3节的内容，是学生学习了等差数列的定义、通项公式后，对数列知识的进一步学习。

学情分析：学生通过对等差数列基本概念和通项公式的学习，对等差数列有了一定的了解。

但是由于学生是第一次接触到数列的求和,缺乏相关经验,因此，需要借助几何直观学习和理解。

教学目标：1、情感态度与价值观（1）获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

（2）注重在学习过程中师生情感交流，鼓励学生自主发现，激发学生的学习热情，培养学生的探索精神与创新意识。

2、过程与方法（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

3、情感态度与价值观（1）获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

（2）注重在学习过程中师生情感交流，鼓励学生自主发现，激发学生的学习热情，培养学生的探索精神与创新意识。

教学重点、难点：1、等差数列前n项和公式是重点。

2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

设计理念：在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，由浅入深，层层深入，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

教学资源：现代教育多媒体技术教学过程：(一)创设问题情境故事引入：德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。

高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3……+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。

高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面给同学们一点时间来挑战高斯。

高斯的方法：首项与末项的和：1+100=101 第2项与倒数第2项的和：2+99=101 第3项与倒数第3项的和：3+98=101 ……第50项与倒数第50项的和：50+51=101 ∴前100个正整数的和为：101×50=50502.故事引入：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

等差数列前n项和（第二课时）na +①(-n a n +≥12时，n n a S S =-时，a S =11,的得最大的序找一名学生口述自己的解题过程，教师板书。

解：由题意可知，nS学情分析高二学生具备了观察、归纳猜想的能力，所以在知识结构上，本节课设置的例3、探究及例4，学生完全具备在教师的引导下做到当堂掌握。

在情感与态度上，让学生上黑板做题，一题多解更能够提高学生学习数学的动力，感受到数学的魅力。

效果分析课前简单的回顾，能让学生回忆起上节课的内容，为本节知识进一步的学习做好铺垫，提问效果还是不错的。

授课时，通过设置问题，题与题间的对比，让学生自己体会已知n S 求n a 时序号n 的范围，这是学生最容易忽略的地方，最后再次强调一下。

通过评测练习的统计，绝大分同学对该题型做的不错，只有少部分同学不写范围2n ≥，在式子中出现序号1n -时。

这节课的另一个重点知识是等差数列前n 项和最值问题，通过前面探究的分析再加以引导，学生一下子就想到了通过研究n S ，它是一个常数项为0的二次函数，就能解决该题。

再让学生思考还有没有别的方法时，这时就有一些同学想到了通过研究等差数列增减性的变化规律来解决这个问题，既调动了学生的积极性也锻炼了能力。

应该说这节课课堂气氛比较活跃，整体效果不错。

不过这些都需要通过评测练习的批改加以证明，事实证明，这节课的效果达到了预期的目标。

教材分析一、教材的地位与作用等差数列前n 项和是本章的重要内容，它与前面学过的等差数列的通项公式﹑性质有着密切联系，同时又为今后的等比数列的前n 项和﹑数列求和等内容做好知识准备，在整个章节中起着承上启下的作用．同时它也是高考命题的重点和热点，是以后继续高等数学学习的基础知识，所以本节课在高中数学教学中占有重要地位． 二、教学目标 1﹑知识目标掌握等差数列前n 项和公式，并能灵活的运用公式解决一些问题． 2﹑能力目标通过等差数列前n 项和问题的研究，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳和逻辑推理的能力. 3﹑情感目标结合具体题目,将教材知识灵活应用起来,使学生感受数学到的魅力,激发探究兴趣和欲望。

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算公式。

3. 能够运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

三、教学难点1. 等差数列的前n项和的公式的推导过程。

2. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列的前n项和的计算方法。

2. 通过实例分析，让学生掌握等差数列的前n项和的应用。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解等差数列的前n项和的性质。

五、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

3. 等差数列的前n项和的性质。

4. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

第一章：等差数列的概念及其性质1.1 等差数列的定义1.2 等差数列的性质1.3 等差数列的通项公式第二章：等差数列的前n项和的计算公式2.1 等差数列前n项和的定义2.2 等差数列前n项和的计算公式2.3 等差数列前n项和的性质第三章：等差数列的前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的单调性3.2 等差数列前n项和的奇偶性3.3 等差数列前n项和的最值问题第四章：运用等差数列的前n项和公式解决实际问题4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用4.2 等差数列前n项和的优化问题4.3 等差数列前n项和与数学竞赛第五章：等差数列的前n项和公式的推导过程5.1 等差数列前n项和公式的推导方法5.2 等差数列前n项和公式的证明5.3 等差数列前n项和公式的拓展与应用六、等差数列的前n项和的图形直观6.1 等差数列前n项和的图形表示6.2 等差数列前n项和的图形性质6.3 等差数列前n项和的图形应用7.1 等差数列前n项和的数值方法7.2 等差数列前n项和的数值例子7.3 等差数列前n项和的数值分析八、等差数列的前n项和的实际应用8.1 等差数列前n项和在经济学中的应用8.2 等差数列前n项在工程学中的应用8.3 等差数列前n项在和生物学中的应用九、等差数列的前n项和的问题拓展9.1 等差数列前n项和的相关问题拓展9.2 等差数列前n项和的问题研究进展9.3 等差数列前n项和的问题解决策略十、等差数列的前n项和的教学设计10.1 等差数列前n项和的教学目标设计10.2 等差数列前n项和的教学方法设计10.3 等差数列前n项和的教学评价设计重点和难点解析一、等差数列的概念及其性质补充和说明：等差数列是一种常见的数列，其特点是相邻两项的差值是常数。

等差数列及其前n项和教案一、教学目标：1. 理解等差数列的定义及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算方法。

3. 能够运用等差数列的概念和前n项和公式解决实际问题。

二、教学内容：1. 等差数列的定义与性质等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，这个数列叫做等差数列。

等差数列的性质：（1）等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 (a1 + an) 或Sn = n/2 (2a1 + (n-1)d)2. 等差数列的前n项和的计算方法（1）利用通项公式法计算等差数列的前n项和：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 [2a1 + (n-1)d] （2）利用首项和末项法计算等差数列的前n项和：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 [2a1 + (n-1)d] 3. 实际问题中的应用例题：已知等差数列的前5项和为35，公差为3，求首项和末项。

解：设首项为a1，末项为an，则有：S5 = n/2 (a1 + an) = 5/2 (a1 + an) = 35a1 + an = 14an = a1 + (n-1)d = a1 + 43 = a1 + 12将an代入上式得：a1 + (a1 + 12) = 142a1 + 12 = 142a1 = 2a1 = 1an = a1 + 12 = 1 + 12 = 13三、教学重点与难点：重点：等差数列的定义与性质，等差数列的前n项和的计算方法。

难点：等差数列前n项和的计算方法的灵活运用。

四、教学方法：采用讲解法、例题解析法、练习法相结合的教学方法，通过PPT辅助教学，使学生更好地理解和掌握等差数列及其前n项和的知识。

五、教学准备：1. PPT课件2. 黑板、粉笔3. 教学案例及练习题六、教学过程：1. 导入：通过复习等差数列的定义与性质，引导学生进入本节课的学习。

2.3 等差数列的前项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究 的最值. 如果A n ，B n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，则1212--=n n n n B A b a ． 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、 复习准备：1、等差数列求和公式：2)(1n n a a n S +=，d n n na S n 2)1(1-+= 2、在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a , a 10=b , 求a 15; (2) 若a 3+a 8=m , 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14; (4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.二、讲授新课：1、探究：等差数列的前n 项和公式是一个常数项为零的二次式.例1、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n . 练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？ 探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前n 项和的最值问题：① 例题讲解：例2、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1） 当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.例3、已知等差数列....,743,724,5的前n 项的和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值。

4.2.2等差数列的前n项和公式（2）
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的前n项和公式（2）
数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。

数列是培养学生数学能力的良好题材。

等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。

发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。

课程目标学科素养
A.等差数列掌握等差数列前n项和的性质
及应用.
B.会求等差数列前n项和的最值.
1.数学抽象：等差数列前n项和公式
2.逻辑推理：等差数列前n项和公式与二次函数
3.数学运算：等差数列前n项的应用
4.数学建模：等差数列前n项的具体应用
重点：求等差数列前n项和的最值
难点：等差数列前n项和的性质及应用
多媒体
由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。

所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。

这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。

多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。

等差数列前n项和教案（共5篇）第一篇：等差数列前n项和教案等差数列前n项和(第一课时）教案【课题】等差数列前n项和第一课时【教学内容】等差数列前n项和的公式推导和练习【教学目的】（1）探索等差数列的前项和公式的推导方法；（2）掌握等差数列的前项和公式；（3）能运用公式解决一些简单问题【教学方法】启发引导法，结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.【重点】等差数列前项和公式及其应用。

【难点】等差数列前项和公式的推导思路的获得【教具】实物投影仪，多媒体软件，电脑【教学过程】1.复习回顾 a1 + a2 + a3 +......+ an=sna1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自学问题一：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1 支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 100支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？思考：(1)问题转化求什么能用最短时间算出来吗？(2)阅读课本后回答，高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？(3)如果换成1+2+3+…+200=？我们能否快速求和？，(4)根据高斯的启示，如何计算18+21+24+27+…+624=？3..合作互学（小组讨论，总结方法）问题二：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?倒序相加法探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？问题三：已知等差数列{an }中，首项a1，公差为d，第n项为an , 如何求前n项和Sn ？等差数列前项和公式： n(a1 + an)=2Sn问题四：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？n(a1 + a n)=2Sn公式记忆——类比梯形面积公式记忆n（a1 + a n)=2S 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？展示激学应用公式例1.等差数列－10，－6，－2，2的前多少项的和为-16 例2.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?【思考问题】如果一个数列{an }的前n项和Sn = pn2 + qn + r，(其中p,q,r为常数，且p ≠ 0)，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，说明理由，若不是，说明Sn必须满足的条件。

等差数列的前n项和〔第二课时〕〔人教A版·必修5〕【教学目标】1.知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n项和公式研究S n的最值.初步体验函数思想在解决数列问题中的应用.2.过程与方法：通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力.3.情感、态度与价值观：①提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感；②通过生动具体的现实问题、数学问题，激发学生探究的兴趣与欲望，树立求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.【教学重点】等差数列前n项和公式的掌握与应用.【教学难点】灵活应用求和公式解决问题.【教辅手段】多媒体投影仪、黑板【教学过程】I.情景设置—温故知新首先，回忆上一节所学的内容：〔1〕等差数列的前n项和公式1：s n na1an2〔2〕等差数列的前n项和公式2：s nna1nn1d2Ⅱ.新知探究1.等差数列的等价条件例1：数列a的前n项和S nn221n，求〔1〕S n S n1(n 2).〔2〕求这个数列的通项公式.〔3〕这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？分析：课本例题，题型比较简单，主要是靠引导学生.过程略.[设计意图]本例题实际上给出了数列前n项和公式判别是否是等差数列的依据，要让学生们知道等差数列前n项是一个常数项为0的关于n的二次型函数.接下来，我们来完成一探究题.2如果一个数列an的前n项和为Sn pn qn r.其中p、q、r为常数，且0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：由Snpn2qn r得S1a1q ra nS1(n1)npn2qnrnn1(n2).又S Sn2时nSnSn1(pn2qnr)[p(n1)2q(n1)r]2pn(pq)a nr(n)2pn(pq)(n2).d a n a n1[2pn(p q)][2p(n1)(pq)]2p此类数列从第二项开始为等差数列.归纳要使数列an为等差数列，那么2p1(pq)p qr,即r0.[设计意图]本探究实际上是对例1的深化，目的是为了让学生进一步认识到，如果一个数列的前n项公式是一个常数项为0的关于n的二次型函数，那么这个数列一定是等差数列，从而使学生从结构上认识数列.2.等差数列的最值问题例2：等差数列5,42,34,的前n项和为s n，求使得s n最大的序号n77的值分析：等差数列的前n项和公式可以S n n n(n1)dd(d)n写成a1n2a1222，所以可以看成函数y d x2a1dx，xN*，当xn时的函数值.另一22方面，容易知道sn关于n的图像是一条抛物线上的一些点，因此，我们可以利用二次函数来求n的值.解：由题意知，等差数列5,42,3,的公差为5所以77n55s nn127 75n5n21425151125 14256当n取与15最接近的整数即为7或8时s n取最大值.2[设计意图]通过学习等差数列前n项和的函数性质来用于实际题型中的应用，加深对函数结构的认识。

教学目标（一）教学知识点等差数列的前n项和公式：S” =川①=旳” 21 2（二）能力训练要求1.进一步熟练掌握等茅数列的通项公式和前n项和公式。

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关的问题。

（三）德育渗透目标提高学牛的应用意识。

教学重点熟练掌握等差数列的求和公式。

教学难点灵活应用求和公式解决问题。

教学方法讲练结合法结合具体例了讲解分析问题、解决问题的方法，从而捉高学生分析问题、解决问题的能力。

教学过程I复习回顾通项公式:a n = + （n一l）d = a m + （n一m）dDO- n 项和公式：S” ="⑷ +"〃）= g + "d dn 21 2II讲授新课利用这些公式，可以求解哪些问题呢？例1.求集合M =pnlm = 7n,n G N：\且加vlOO｝屮元素的个数，并求这些元素的和。

分析：符合M中的元素为in,且满足m=7n,m<100,7G素个数如何求？（提问式）（总结分析）满足条件的n的取值个数即为集合M的元素个数，这些元素中最小的是7,最大的是98,且是公差为7的等差数列。

即坷=7,色=98, d = 7,那么n的值…［生甲］彳弋d”=w+S — l）d公式可得98 = 7 + （川一1） x 7 /. n = 14.即集合M中的元素共有14个。

［生乙］还可以由加V 100,得7/? <100,即z? < —= 14-o7 7又T n G N\:. n = 14.［师］那么这些数的和…?［生］代入等差数列询n项和公式可求。

解: &2 = 12吗+ 依题设有｛答：集合M 中共有14个元素,它们的和等于735。

例2.已知一•个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n 项和的 公式吗?分析：已知S]°, S20的值求Sn 的表达式，由S“=〃d]+ ~ d 可知，如果基本量a],d 确定了，就 2可以写岀h 的表达式。