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选主元消去法的基本原理选主元消去法是高斯消元法的一种改进方法，旨在提高高斯消元法的运算效率。
它通过在每一次消去过程中选择系数矩阵的最大元素（主元）作为基准元素，将其放在消去过程中的当前行首位，从而避免出现除数为零的情况，减小误差累积，并降低运算量。
选主元消去法的基本原理如下：1. 确定主元：在每一次消去过程中，首先需要根据某种准则选择当前列中绝对值最大的元素作为主元素，并将其所在行与当前行进行交换。
常用的准则有最大主元消去法和选主元消去法。
2. 消元过程：将主元所在列中主元下方的所有元素全部变为0。
这一步骤可以通过对当前行进行线性组合，将主元下方的其他元素变为0。
消元过程结束后，主元所在列下方的所有元素均为0。
3. 回代过程：从最后一行开始，用回代法求解未知数。
通过将回代过程中的已求得的未知数带入方程组中的其他未知数，依次求解出剩余的未知数。
选主元消去法的关键在于选择合适的主元。
在最大主元消去法中，选择当前列中绝对值最大的元素作为主元，并进行行交换，使主元所在行位于当前行首位。
这样做的目的是为了最大限度地减小主元造成的误差累积。
然而，在某些情况下，选取最大主元并不能有效地减小误差，甚至可能会增加误差。
因此，选主元消去法中选取主元的准则更为复杂。
在选主元消去法中，选择准则一般有三种：绝对值最大法、相对值最大法和列主元法。
绝对值最大法：选择当前列中绝对值最大的元素作为主元。
这种方法可以有效地减小误差，并提高计算精度。
然而，对于某些特殊的矩阵，如病态矩阵，选择绝对值最大的元素作为主元可能导致误差累积增大。
相对值最大法：选择当前列中相对值最大的元素作为主元，即选择当前列中的元素与该列中绝对值最大的元素的比值最大的元素作为主元。
相对值最大法能够有效地降低误差累积，并提高计算精度。
列主元法：选择当前列中除主元外绝对值最大的元素所在的行作为主元所在的行。
这种方法能够有效地减小误差，尤其在处理病态矩阵时效果显著。
北京大学数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数学0901 学号0912020112 姓名****实验课题线性方程组高斯消去法，高斯列主元消去法，高斯全主元消去法实验目的熟悉线性代数方程组高斯消去法，高斯列主元消去法，高斯全主元消去法实验要求运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成实验内容线性方程组高斯消去法线性方程组高斯列主元消去法线性方程组高斯全主元消去法成绩100 教师****实验一 高斯消去法求解线性方程组【实验名称】高斯消去法求解线性方程组【实验目的】进一步熟悉理解Guass 消元法解法思路，提高matlab 编程能力。
【实验要求】已知线性方程矩阵，利用软件求解线性方程组的解。
【实验原理】消元过程：设0)0(11≠a ，令乘数)0(11)0(11/a a m i i -=，完成以下步骤： 首先，进行消元操作（消去第i 个方程组的i x ）1i m ×第1个方程+第i 个方程（i=2，3，.....n ），则第i 个方程变为1)1(2)1(2...i n in i b x a x a =++；这样消去第2，3，... ，n 个方程的变元i x 后。
原线性方程组变为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++)1()1(2)1(2)1(2)1(22)1(22)0(1)0(11)0(11... . .... ...n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a这样就完成了第一步消元。
回代过程：在最后的一方程中解出n x ，得：)1()1(/--=n nnn n n a b x ；再将n x 的值代入倒数第二个方程，解出1-n x ，依次往上反推，即可求出方程组的解，其通项为：3,...,1-n 2,-n k /)()1(1)1()1(=-=-+=--∑k kk nk j j k kjk kk a x abx【程序设计】function maintest1 clc clear allnum=input('please input the order n=') A=zeros(num,num); for i=1:num for j=1:numA(i,j)=input(''); endend Aif det(A)~=0for i=1:numb(i)=input('');endb=b'num=length(b)for k=1:num-1for i=k+1:numif A(k,k)~=0l=A(i,k)/A(k,k);A(i,:)=A(i,:)-A(k,:).*l;b(i)=b(i)-b(k)*l;endendendAB%回代求xx(num)=b(num)/A(num,num);for i=num-1:-1:1sum=0;for j=i+1:numsum=sum+A(i,j)*x(j);endx(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endxend【实验结论】高斯消元能很好的求解线性方程组，和用克莱姆法则求解方程组该算法简单而且求解次数少。
西京学院数学软件实验任务书实验1线性方程组高斯消去法高斯顺序消去法是一种古老的求解线性方程组的方法，对于线性方程组，作如下运算不会改变方程组的解： 1) 交换任意两个方程的顺序。
2) 方程中组任一方程乘上一个非零数。
3) 方程组中任一方程加上另一个方程的倍数。
这是高斯消元的理论依据。
实验内容及数据来源 用列主元消去法计算方程组123123213532364x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭实验步骤步骤一：编写列主元消去法的程序。
打开 Editor 编辑器，输入以下语句：function maintest2 clc clear all%num=input('please input the order n=') %A=zeros(num,num); %for i=1:num % for j=1:num% A(i,j)=input(''); % end %end %A%if det(A)~=0 %for i=1:num% b(i)=input('');%end%b=b'A=[1 2 3;1 3 5;1 3 6];%系数矩阵b=[2 3 4]'%常数项num=length(b)for k=1:num-1for i=k+1:numif A(k,k)~=0l=A(i,k)/A(k,k);A(i,:)=A(i,:)-A(k,:).*l;b(i)=b(i)-b(k)*l;endendendAB%回代求xx(num)=b(num)/A(num,num);for i=num-1:-1:1sum=0;for j=i+1:numsum=sum+A(i,j)*x(j);endx(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endxend运算结果A =1 2 30 1 20 0 1b =211x =1 -1 1实验结论高斯消元能很好的求解线性方程组，和用克莱姆法则求解方程组该算法简单而且计算次数少。
线性方程组的8种解法专题讲解线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组可以帮助我们求出方程组的解，从而解决实际问题。
本文将介绍线性方程组的8种常见解法。
1. 列主元消去法列主元消去法是解决线性方程组的常用方法。
该方法通过将方程组转化为阶梯型矩阵，然后进行回代求解，得到方程组的解。
这一方法适用于任意维度的线性方程组。
2. 高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。
该方法将方程组转化为阶梯型矩阵，并通过变换矩阵的方式使得主元为1，然后进行回代求解，得到方程组的解。
高斯消元法适用于任意维度的线性方程组。
3. 高斯-约当消元法高斯-约当消元法是对高斯消元法的改进。
该方法在高斯消元法的基础上，通过变换矩阵的方式使得主元为0，然后进行回代求解，得到方程组的解。
高斯-约当消元法适用于任意维度的线性方程组。
4. 矩阵分解法矩阵分解法是一种将线性方程组转化为矩阵分解形式，从而求解线性方程组的方法。
常见的矩阵分解方法有LU分解、QR分解等。
这些方法可以有效地降低求解线性方程组的计算复杂度。
5. 特征值分解法特征值分解法是一种将线性方程组转化为特征值和特征向量的形式，从而求解线性方程组的方法。
通过求解方程组的特征值和特征向量，可以得到方程组的解。
特征值分解法适用于具有特殊结构的线性方程组。
6. 奇异值分解法奇异值分解法是一种将线性方程组转化为奇异值分解形式，从而求解线性方程组的方法。
通过奇异值分解，可以得到方程组的解。
奇异值分解法适用于具有特殊结构的线性方程组。
7. 迭代法迭代法是一种通过逐步逼近方程组的解来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
迭代法的优点是可以适应各种规模的线性方程组。
8. 数值求解法数值求解法是一种通过数值计算的方式来求解线性方程组的方法。
常见的数值求解法有牛顿法、梯度下降法等。
数值求解法可以处理复杂的线性方程组。
以上是线性方程组的8种常见解法。
全主元消去法例题详解全主元消去法（Gaussian elimination with complete pivoting）是一种用于解线性方程组的数值方法，它通过矩阵的行变换将线性方程组转化为上三角矩阵，从而求解方程组的解。
下面我将从几个方面详细解释全主元消去法的步骤和原理。
1. 原理：全主元消去法的原理是通过消元过程将线性方程组转化为上三角矩阵，从而求解方程组的解。
在每一步消元过程中，选择主元元素（绝对值最大的元素）来进行行交换和列交换，以避免数值不稳定性问题。
2. 步骤：全主元消去法的步骤如下：a. 构造增广矩阵，将线性方程组的系数矩阵和常数向量合并为增广矩阵。
b. 选择主元素，在当前消元列中选择主元素，即绝对值最大的元素。
c. 行交换，将含有主元素的行与当前行交换，确保主元素位于当前行的对角线位置。
d. 列交换，将含有主元素的列与当前列交换，确保主元素位于当前列的对角线位置。
e. 消元，使用主元素对当前行以下的所有行进行消元，将当前列的下方元素置零。
f. 重复，重复步骤b-e，直到所有的行都被处理完毕。
g. 回代求解，从最后一行开始，依次回代求解方程组的解。
3. 数值稳定性：全主元消去法通过选择主元素来避免数值不稳定性问题。
选择绝对值最大的主元素可以减小误差的传播，提高数值计算的精度和稳定性。
4. 复杂度分析：全主元消去法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为方程组的未知数个数。
由于每一步都需要选择主元素并进行行列交换，因此全主元消去法的计算量较大。
5. 优缺点：全主元消去法的优点是可以避免数值不稳定性问题，提高计算的精度和稳定性。
然而，全主元消去法的缺点是计算量较大，对大规模方程组的求解效率较低。
总结，全主元消去法是一种用于解线性方程组的数值方法，通过选择绝对值最大的主元素，并进行行列交换和消元操作，将线性方程组转化为上三角矩阵，进而求解方程组的解。
它的优点是提高了计算的精度和稳定性，但缺点是计算量较大。
全选主元的高斯消元法
选主元的G-J消元法通过这样的方法来进行初等变换：在每一个循环过程中，先寻找到主元，并将主元通过行变换（无需列变换）移动到矩阵的主对角线上，然后将主元所在的行内的所有元素除以主元，使得主元化为1；然后观察主元所在的列上的其他元素，将它们所在的行减去主元所在的行乘以一定的倍数，使得主元所在的列内、除主元外的其他元素化为0，这样就使得主元所在的列化为了单位矩阵的形式。
这就是一个循环内做的工作。
然后，在第二轮循环的过程中，不考虑上一轮计算过程中主元所在的行和列内的元素，在剩下的矩阵范围内寻找主元，然后（如果其不在主对角线上的话）将其移动到主对角线上，并再次进行列的处理，将列化为单位矩阵的形式。
余下的步骤依此类推。
具体的计算过程的一个例子，请看下面我举的求逆矩阵的过程。
消去法求解题技巧消去法是一种常用的求解问题的技巧，尤其在数学、逻辑和推理等领域中使用广泛。
它通过逐渐排除掉一些无关的因素或答案，从而找到正确答案的方法。
下面将详细介绍消去法的原理和几个具体的应用。
一、原理消去法的原理是基于排除法，对于一个问题，通过逐步排除一些不可能的选项，最终找出唯一的答案。
它适用于那些问题中存在着明显的矛盾或逻辑错误的情况。
通过识别和利用矛盾或错误来进行消去，从而找出正确答案。
二、应用1. 数学问题：在数学问题中，消去法常用于解代数方程、求极限和证明等。
例如，对于一个代数方程，可以通过逐步代入不同的解并观察方程的变化来判断解的个数和性质。
如果某个解导致方程出现矛盾或错误，那么可以将其排除，继续寻找其他可能的解。
2. 逻辑问题：在逻辑问题中，消去法可以用于解决一些包含推理、概率或矛盾等内容的问题。
例如，某个问题中有若干个陈述，通过逐一排除其中的错误陈述，可以找到正确的结论。
同样地，如果发现某个陈述与其他陈述矛盾，那么可以将其排除，继续寻找其他可能的结论。
3. 推理问题：在推理问题中，消去法可以用于排除错误的选项，从而找到正确的答案。
例如，在一道逻辑推理题中，通过逐一排除错误的选项，可以找到唯一的正确选项。
如果发现某个选项与已知信息矛盾，那么可以将其排除，继续寻找其他可能的选项。
三、应用步骤使用消去法求解问题通常需要经过以下几个步骤：1. 了解问题：首先，了解问题的背景和问题的要求是非常重要的。
需要明确问题的关键信息和限制条件，以便在求解过程中进行消去。
2. 分析选项：对于给定的选项或答案，逐一分析它们是否符合问题的要求。
如果有某个选项与问题中的条件矛盾或错误，那么可以将其排除。
3. 进行试探：根据剩余的选项或答案，进行试探性的尝试。
将每一个选项依次代入问题中，然后观察问题的变化。
如果发现某个选项导致问题出现矛盾或错误，那么可以将其排除。
4. 逐步消除：根据试探的结果，逐步排除掉不符合条件的选项。
数值分析考试题一、选择题1. 以下哪个方法不是数值分析中常用的数值积分方法？A. 梯形法则B. 辛普森法则C. 牛顿法D. 龙格-库塔法2. 在求解线性方程组的直接方法中，高斯消元法属于以下哪种类型？A. 列主元消去法B. 行主元消去法C. 完全主元消去法D. 选主元消去法3. 非线性方程求根的二分法属于以下哪种类型的数值方法？A. 迭代法B. 直接法C. 优化算法D. 插值法4. 在数值分析中，用于度量舍入误差的常用指标是：A. 截断误差B. 舍入误差C. 估计误差D. 计算误差5. 插值多项式的最高次数与插值节点的数量关系是：A. 次数多于节点数量B. 次数少于节点数量C. 次数等于节点数量D. 与节点数量无关二、填空题1. 在数值分析中，__________是用来描述一个算法在实际运算中所需步数的度量。
2. 线性方程组的雅可比方法是一种__________消去法。
3. 牛顿法在求解非线性方程时，每次迭代都需要计算__________。
4. 龙格现象是指在数值积分中，由于__________而引起的误差。
5. 在多项式插值中，拉格朗日插值法是通过__________来构建插值多项式的。
三、简答题1. 请简述数值分析中的截断误差和舍入误差的区别。
2. 描述高斯-赛德尔迭代法的基本思想，并与雅可比迭代法进行比较。
3. 解释在数值积分中为什么需要使用自适应方法。
4. 讨论在求解非线性方程时，二分法与牛顿法的适用条件和优缺点。
5. 分析多项式插值与样条插值的主要区别及其各自的应用场景。
四、计算题1. 给定函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π]上使用梯形法则计算积分的近似值，取4个等分点。
2. 设线性方程组如下：\[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 2y + 4z = 14 \\3x + y + 2z = 10\end{cases}\]使用高斯消元法求解该方程组的解。
// quanzhuyuan.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//
#include"stdafx.h"
#include<iostream>
#include<string>
#include<cmath>
using namespace std;
class xiaoyuan
{
public:
xiaoyuan():xlh(0),fyl(false),cnt(0){}
void printb(double (&)[3]);
void printa(double [3][3]);
void printx(double x[3],double a[3][3],double b[3],int n);
void quanzhuyuan(double a[3][3],double b[],int x2[3]);
void printx2(int x2[]);
private:
int xlh;
bool fyl;
int cnt;
};
void xiaoyuan::printx2(int x2[])
{
for(int i=0;i<3;i++)
cout<<x2[i]<<" ";
cout<<endl;
}
void xiaoyuan::quanzhuyuan(double d[3][3],double c[3],int x2[3]) {
double max;
int row,col;
double temp1,temp2;int temp3;
double btemp1;
for(int i=0;i<3;i++)
{
max=fabs(d[i][i]);
row=i;
col=i;
for(int j=i;j<3;j++)
{
for(int k=i;k<3;k++)
{
if(fabs(d[j][k])>max)
{
max=fabs(d[j][k]);
row=j;
col=k;
}
}
}
/*
for(int n=0;n<d.length;n++)//hang
{
temp1=a[i][n];
a[i][n]=a[row][n];
a[row][n]=temp1;
btemp1=b[i];
b[i]=b[row];
b[row]=btemp1;
}
for(int m=0;m<d.length;m++)//lie
{
temp2=a[m][i];
a[m][i]=a[m][col];
a[m][col]=temp2;
}
*/
if(col!=i&&row!=i)
{
fyl=true;
xlh=col;
for(int n=0;n<3;n++)//hang
{
temp1=d[i][n];
d[i][n]=d[row][n];
d[row][n]=temp1;
btemp1=c[i];
c[i]=c[row];
c[row]=btemp1;
}
for(int m=0;m<3;m++)//lie
{
temp2=d[m][i];
d[m][i]=d[m][col];
d[m][col]=temp2;
}
}
else
if(row!=i&&col==i)
{
for(int n=0;n<3;n++)//hang
{
temp1=d[i][n];
d[i][n]=d[row][n];
d[row][n]=temp1;
btemp1=c[i];
c[i]=c[row];
c[row]=btemp1;
}
}
else
if(col!=i&&row==i)
{
fyl=true;
for(int m=0;m<3;m++)//lie
{
xlh=col;
temp2=d[m][i];
d[m][i]=d[m][col];
d[m][col]=temp2;
}
}
if(fyl)
{
temp3=x2[i];
x2[i]=x2[xlh];
x2[xlh]=temp3;
//x1[cnt]=i;
//y1[cnt]=xlh;
cnt++;
fyl=false;
}
for(int j=i+1;j<3;j++)//J表示行
{
double l=d[j][i]/d[i][i];
for(int e=i+1;e<3;e++)//e表示j行对于的每一列
{
d[j][e]=d[j][e]-l*d[i][e];
}
c[j]=c[j]-l*c[i];
d[j][i]=0;
}
}
}
void xiaoyuan::printx(double x[3],double a[3][3],double b[3],int n) {
x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];
for(int i=n-2;i>=0;i--)
{
double sum=0;
for(int j=i+1;j<=n-1;j++)
{
sum+=a[i][j]*x[j];
}
x[i]=1/a[i][i]*(b[i]-sum);
}
for(int k=0;k<=n-1;k++)
cout<<x[k]<<" ";
cout<<endl;
}
void xiaoyuan::printa(double a[3][3])
{
for(int i=0;i<3;i++)
{
for(int j=0;j<3;j++)
cout<<a[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
}
void xiaoyuan::printb(double (&b)[3])
{
int size=sizeof(b)/sizeof(double);
for (int s=0;s<size;s++)
{
cout<<b[s]<<" ";
}
cout<<endl;
}
int main()
{
double a[3][3]={{1,2,3},{2,7,5},{1,4,9}};
double b[3]={1,6,-3};
double x[3];
int x2[3]={1,2,3};
xiaoyuan xy;
cout<<"化简前a"<<endl;
xy.printa(a);
cout<<"化简前b"<<endl; xy.printb(b);
xy.quanzhuyuan(a,b,x2);
cout<<"化简后a"<<endl;
xy.printa(a);
cout<<"化简后b"<<endl;
xy.printb(b);
cout<<"x的值"<<endl;
xy.printx(x,a,b,3);
cout<<"x的位置"<<endl;
xy.printx2(x2);
}。
