列主元高斯消去法的实现

Lab06．Gauss 列主元素消去法实验【实验目的和要求】1．使学生深入理解并掌握Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法步骤； 2．通过对Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法的程序设计，以提高学生程序设计的能力；3．对具体问题，分别用Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法求解。

通过对结果的分析比较，使学生感受Gauss 列主元素消去法优点。

【实验内容】1．根据Matlab 语言特点，描述Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法步骤。

2．编写用不选主元的直接三角分解法解线性方程组Ax=b 的M 文件。

要求输出Ax=b 中矩阵A 及向量b ，A=LU 分解的L 与U ，det A 及解向量x 。

3．编写用Gauss 列主元素消去法解线性方程组Ax=b 的M 文件。

要求输出Ax=b 中矩阵A 及向量b 、PA=LU 分解的L 与U 、det A 及解向量x ，交换顺序。

4．给定方程组(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11134.981.4987.023.116.427.199.103.601.3321x x x(2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----15900001.582012151********.23107104321x x x x 先用编写的程序计算，再将(1)中的系数3.01改为3.00，0.987改为0.990；将(2)中的系数2.099999改为2.1，5.900001改为9.5,再用Gauss 列主元素消去法解，并将两次计算的结果进行比较。

【实验仪器与软件】1．CPU 主频在1GHz 以上，内存在128Mb 以上的PC ；2．Matlab 6.0及以上版本。

实验讲评：实验成绩：评阅教师：200 年 月 日Lab06．Gauss 列主元素消去法实验第一题：1、算法描述：Ⅰ、Gauss 消去法由书上定理5可知 设Ax=b ，其中A ∈R^(n(1)如果()0(1,2,....,1)k kka k n ≠=-，则可通过高斯消去法将Ax=b 约化为等价的 角形线性方程组，且计算公式为：① 消元计算（k=1,2，….，n-1）()()(1)()()(1)()()/,1,...,,,,1,...,,,1,...,.k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k iiik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+② 回带公式()()()()()1/,()/,1,...,2,1.n n n n nn ni i i i iii j ii j i x b a x ba x a i n =+==-=-∑（2）如果A 为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法将方程组Ax=b 约化方程组为上三角矩阵以上消元和回代过程总的乘除法次数为332333nn nn +-≈，加减法次数为32353263nnn n+-≈以上过程就叫高斯消去法。

列主元高斯消去法发展过程1.引言1.1 概述列主元高斯消去法是一种重要的线性方程组求解方法，它在科学计算、工程领域以及数学研究中都有广泛的应用。

本文将对列主元高斯消去法的发展过程进行深入探讨。

列主元高斯消去法最早可以追溯到高斯消去法的提出。

高斯消去法是由十九世纪德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯首先提出的一种解线性方程组的方法。

但是高斯消去法的一个缺点是，它需要选取主元，并且主元的选取会影响计算结果的精确性和稳定性。

为了克服这个问题，人们开始思考如何选择更稳定的主元。

随着计算机技术的发展，人们可以使用计算机进行大规模的数值计算。

在这个背景下，对算法的精确性和稳定性要求越来越高。

于是，人们开始尝试改进高斯消去法，以提高算法的效率和计算结果的精确性。

经过多年的研究和实践，人们发现通过选择列主元进行消去，可以在很大程度上提高算法的稳定性。

列主元高斯消去法的基本思想是，在每一步消去过程中，选择列主元使其绝对值最大，从而减小误差的传播。

通过这种策略，列主元高斯消去法能够更好地处理数值计算中的舍入误差，提高计算结果的准确性和稳定性。

随着计算机科学的快速发展，列主元高斯消去法的应用领域也不断扩大。

它在科学计算中被广泛应用于解线性方程组、求解矩阵的特征值和特征向量、拟合曲线等问题。

在工程领域，列主元高斯消去法可以用于求解结构力学、电路分析、图像处理等相关问题。

总而言之，列主元高斯消去法是一种重要的数值计算方法，通过选择列主元进行消去，能够提高计算结果的精确性和稳定性。

它在科学计算和工程领域有广泛的应用，是现代数值计算的重要组成部分。

本文将进一步探讨列主元高斯消去法的定义、原理、应用领域以及其发展过程的总结和未来发展方向。

文章结构文章的结构是指整篇文章的框架和分节安排，它对于读者理解和掌握文章的内容起着至关重要的作用。

对于本文《列主元高斯消去法发展过程》而言，其结构可以按照以下方式进行组织和安排。

列主元高斯消去法是一种用于解线性方程组的经典算法，其实现过程包括主元选取、互换行、消元和回代等步骤。

本文将从理论基础、算法描述、实现步骤和代码示例等方面介绍列主元高斯消去法的实现方法，希望可以帮助读者更好地理解和掌握这一算法。

一、理论基础列主元高斯消去法是求解线性方程组的一种经典方法，其基本思想是通过逐步消去未知数，最终得到方程组的解。

在实际应用中，通常将线性方程组表示为增广矩阵的形式，然后通过主元选取、互换行、消元和回代等操作，逐步将增广矩阵转化为阶梯形矩阵或行阶梯形矩阵，最终获得方程组的解。

列主元高斯消去法的关键在于主元的选取，通过选取适当的主元可以避免出现数值不稳定的情况，从而提高求解的准确性和稳定性。

二、算法描述列主元高斯消去法的基本算法描述如下：1. 将线性方程组表示为增广矩阵的形式2. 从第一行开始，选择当前列中绝对值最大的元素作为主元，并将其所在行与当前行交换3. 通过第一个主元，将当前列下方的元素消为零，得到一个新的增广矩阵4. 重复以上步骤，直到得到一个阶梯形矩阵或行阶梯形矩阵5. 利用回代的方法，求解得到线性方程组的解三、实现步骤基于上述算法描述，可以将列主元高斯消去法的实现步骤总结如下：1. 主元选取：对于当前列，在所有未处理的元素中选择绝对值最大的元素作为主元，并将其所在行与当前行交换2. 互换行：如果选取的主元为零，则需要考虑互换行的操作，以避免出现除零错误3. 消元：利用当前列的主元将下方的元素消为零4. 回代：通过阶梯形矩阵或行阶梯形矩阵进行回代，求解得到线性方程组的解在实现列主元高斯消去法时，需要注意处理数值计算中可能出现的特殊情况，如零主元和除零错误等，并进行合理的异常处理。

四、代码示例下面是列主元高斯消去法的简单实现代码示例，该示例使用Python 语言编写：```pythonimport numpy as npdef gauss_elimination(A, b):n = len(b)for i in range(n):pivot = ifor j in range(i+1, n):if abs(A[j, i]) > abs(A[pivot, i]):pivot = jA[[i, pivot]] = A[[pivot, i]]b[[i, pivot]] = b[[pivot, i]]for j in range(i+1, n):factor = A[j, i] / A[i, i]b[j] -= factor * b[i]A[j] -= factor * A[i]x = np.zeros(n)for i in range(n-1, -1, -1):x[i] = (b[i] - np.dot(A[i, i+1:], x[i+1:])) / A[i, i]return x```以上代码示例实现了列主元高斯消去法的求解过程，通过调用该函数可以求解给定的线性方程组。

实验三 高斯列主元消去法一、实验目的：1、掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤。

2、 培养编程与上机调试能力。

二、高斯列主元消去法的基本思路与计算步骤：设有方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。

高斯消去法的基本思想就是僵局真的初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]B A b = ，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。

列主元高斯消去法计算步骤：将方程组用增广矩阵[]()(1)ij n n B A b a ⨯+== 表示。

步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =-（1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得,max k i k ikk i n a a ≤≤= （2） 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）。

（3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ↔，,,1j k n =+ 。

（4） 消元，对,,i k n = ，计算/,ikik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算 .ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程：（1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）。

（2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑三：程序流程图四：程序清单：function X=uptrbk(A,b)% A是一个n阶矩阵。

% b是一个n维向量。

% X是线性方程组AX=b的解。

[N N]=size(A);X=zeros(1,N+1);Aug=[A b];for p=1:N-1[Y,j]=max(abs(Aug(p:N,p)));%返回向量的最大值存入y，最大值的序号存入j。

C=Aug(p,:);Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:);Aug(j+p-1,:)=C;if Aug(p,p)==0'A是奇异阵，方程无惟一解'breakendfor k=p+1:Nm=Aug(k,p)/Aug(p,p);Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1);endend% 这里用到程序函数backsub来进行回代。

实验报告实验三 高斯消去法与矩阵的三角分解一、实验目的1、掌握列主元素消去法，并且能够用MATLAB 编写相关程序，实现高斯消去法的求解。

2、能够用矩阵理论理解与研究高斯消去法，通过对矩阵的初等变换实现高斯消去法。

3、学会矩阵的三角分解，并且能够用MATLAB 编写相关程序，实现矩阵的三角分解，解方程组。

二、上机内容⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡2822171310871234567112345611123451111234111112311111121111111764321x x x x x x1、用列主元素高斯消去法求解方程组。

2、用列主元消去法求解方程组（实现PA=LU) 要求输出： （1）计算解X;（2）L,U;（3）正整型数组IP(i),(i=1,···,n) (记录主行信息)。

三、实验原理1、列主元素消去法用高斯消去法求解方程组时，为了减小误差，在消去的过程中要避免用绝对值较小的主元素。

因此在高斯消去法的每一步应该在系数矩阵货消去后的低阶矩阵中选取绝对值较大的元素作为主元素，保持|m ik |<=1，以减小计算过程中的舍入误差对计算解的影响。

此方法为完全主元素消去法。

完全主元素消去法在选主元素时花费一定的计算机时间，因此实际计算中常用列主元消去法。

列主元消去法在每次选主元时，仅依次按列选取绝对值最大的元素作为主元素，且仅交换两行，再进行消元计算。

装订 线第k步计算如下：对于k=1，2，…，n-1（1）按列选主元：即确定t使（2）如果t≠k，则交换[A，b]第t行与第k行元素。

（3）消元计算（4）回代求解计算流程图回代求解 b=b/a (当a nn ≠0)b ←(b -∑a x )/adet=a nn *det输出计算解及行列式及detk=1,2,…,n-1输入n ,A,b,εdet=1按列主元|a i(k),k |=max|a ik |C 0=a i(k),k换行 a ik a i(k)j(j=k,…n ) b k b j(k), 消元计算 （i=k+1，…，n ） a ik=a ik -a kk *m ik a ij=a ij -a kj *m ik （j=k+1,…,n ）|C 0|<εi k =kdet=a kk det否否是是k<=n-1输出det(A)=0停机停机2. 矩阵的三角分解法 （1）定理设 n n R A ⨯∈ 。

一、 列主元素Gauss 消去法、Jacobi 迭代法原理及计算方法1. 列主元素Gauss 消去法：1.1 Gauss 消去法基本原理设有方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。

高斯消去法的基本思想就是将矩阵的初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]B A b = ，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。

1.2 列主元Gauss 消去法计算步骤将方程组用增广矩阵[]()(1)ijn n B A b a ⨯+== 表示。

1). 消元过程对1,2,,1k n =-(1) 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i na a ≤≤= (2) 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行(3)。

(3) 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ↔，,,1j k n =+ 。

(4) 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算.ij ij ik kj a a l a =-2). 回代过程(1) 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行(2)。

(2) ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑2. Jacobi 迭代法2.1 Jacobi 迭代法基本原理Jacobi 迭代法的基本思想是对n 元线性方程组b Ax =，.,n n R b R A ∈∈将其变形为等价方程组f Bx x +=，其中.,,n n n n R x R f R B ∈∈∈⨯B 成为迭代矩阵。

从某一取定的初始向量)0(x 出发,按照一个适当的迭代公式 ,逐次计算出向量f Bx x k k +=+)()1( （ 1,0=k ）,使得向量序列}{)(k x 收敛于方程组的精确解.(1)输入1,,,,)0(=k n xb A ε，. (2) )(1,1)0()1(∑≠=-=n j i i j ij i iii x a b a x )1,0(n i = (3)判断 ε≤--≤≤)0()1(10max i i n i x x ，若是，输出1)1(2)1(1,,n x x x ，若否，置1+=k k ，)1()0(i i x x =，)2,1(n i =。

实验四：列组元消去法一、目的1）熟悉列主元高斯消元法解线性方程组的算法2）掌握列主元高斯消去法的编程二、实验原理列主元素消去法是为控制舍入误差而提出来的一种算法,在Gauss消去法的消元过程中,若出现a=0,则消元无法进行,即使其不为0,但很小,把它作为除数,就会导致其他元素量级的巨大增长和舍入误差的扩散,最后使计算结果不可靠.使用列主元素消去法计算,基本上能控制舍入误差的影响,并且选主元素比较方便.三、运行结果四、代码using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;using System.Text;namespace高斯{class Program{static double[] Gause(double[,] a, int n){int i, j, k;int rank, columm;double temp, l, s, mx;double[] x = new double[n];for (i = 0; i <= n - 2; i++){mx = Math.Abs(a[i, i]);rank = i;columm = i;for (j = i + 1; j <= n - 1; j++) //选主元if (Math.Abs(a[j, i]) > mx){mx = Math.Abs(a[j, i]);rank = j;columm = i;}for (k = 0; k <= n; k++) //主元行变换{temp = a[i, k];a[i, k] = a[rank, k];a[rank, k] = temp;} //消元for (j = i + 1; j <= n - 1; j++){l = a[j, i] / a[i, i];for (k = i; k <= n; k++)a[j, k] = a[j, k] - l * a[i, k];}}x[n - 1] = a[n - 1, n] / a[n - 1, n - 1]; //回代方程求解x for (i = n - 2; i >= 0; i--){s = 0;for (j = i + 1; j <= n - 1; j++)s = s + a[i, j] * x[j];x[i] = (a[i, n] - s) / a[i, i];}return x;}static void Main(string[] args){double[,] a = new double[4, 5] { { 10, -7, 0, 1, 8 }, { -3, 2.099999, 6, 2, 5.900001 }, { 5, -1, 5, -1, 5 }, { 2, 1, 0, 2, 1 } };int n = 4;double[] x = new double[n];x = Gause(a, n);Console.WriteLine("高斯消去法方程：");for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++)Console.Write(a[i, j].ToString() + " ");Console.WriteLine();}Console.WriteLine("线性方程组的解：");for (int i = 0; i <= n - 1; i++)Console.Write("x" + (i + 1).ToString() + "=" +x[i].ToString() + " ");Console.WriteLine();Console.ReadLine();}}}四、分析通过本次实验的学习，学会根据算法编写基本的相关程序，虽然此次程序模板由老师给予，但认真阅读理解程序有助于今后的学习，再利用计算机中的C语言对高斯列主元消去法可以快速得到线性方程组的解，由简单的线性方程组可以推广到一般n阶线性方程组，这对如何利用高斯列主元消去法解决实际问题有了一定的经验。

计算方法实验报告1课题名称用列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程目的和意义高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法,但由它改进得到的选主元的高斯消去法则是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程组的有效方法;用高斯消去法解线性方程组的基本思想时用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为具有简单形式的矩阵上三角矩阵、单位矩阵等,而三角形方程组则可以直接回带求解 用高斯消去法解线性方程组b Ax =其中A ∈Rn ×n 的计算量为：乘除法运算步骤为32(1)(1)(21)(1)(1)262233n n n n n n n n n n nMD n ----+=+++=+-,加减运算步骤为(1)(21)(1)(1)(1)(25)6226n n n n n n n n n n AS -----+=++=;相比之下,传统的克莱姆法则则较为繁琐,如求解20阶线性方程组,克莱姆法则大约要19510⨯次乘法,而用高斯消去法只需要3060次乘除法;在高斯消去法运算的过程中,如果出现absAi,i 等于零或过小的情况,则会导致矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散,使得最后的计算结果不可靠,所以目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程的快速有效的方法时列主元高斯消去法,从而使计算结果更加精确; 2、列主元三角分解法高斯消去法的消去过程,实质上是将A 分解为两个三角矩阵的乘积A=LU,并求解Ly=b 的过程;回带过程就是求解上三角方程组Ux=y;所以在实际的运算中,矩阵L 和U 可以直接计算出,而不需要任何中间步骤,从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略,大大提高了运算速度,这就是三角分解法采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样,也是为了避免除数过小,从而保证了计算的精确度计算公式1、 列主元高斯消去法设有线性方程组Ax=b,其中设A 为非奇异矩阵;方程组的增广矩阵为第1步k=1：首先在A 的第一列中选取绝对值最大的元素1l a ,作为第一步的主元素:111211212222112[,]n n n l n nn n a a a a b a a a b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦a b然后交换A,b 的第1行与第l 行元素,再进行消元计算;设列主元素消去法已经完成第1步到第k -1步的按列选主元,交换两行,消元计算得到与原方程组等价的方程组 Akx=bk第k 步计算如下：对于k=1,2,…,n -11按列选主元：即确定t 使 2如果t ≠k,则交换A,b 第t 行与第k 行元素; 3消元计算消元乘数mik 满足:4回代求解2、 列主元三角分解法 对方程组的增广矩阵 经过k -1步分解后,可变成如下形式：111max 0l i i n a a ≤≤=≠(1)(1)(1)(1)(1)1112111(2)(2)(2)(2)22222()(()1)()()()()()1,1()(,)()[,][,] k k k k nk k nk n k k k k k kk kn k k k k n k k k n nn a a a a b a a a b a a b a b b a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b A b ()()max 0k k tk ik k i na a ≤≤=≠,(1,,)ik ik ik kka a m i k n a ←=-=+, (,1,,), (1,,)ij ij ik kji i ik k a a m a i j k n b b m b i k n ←+=+⎧⎨←+=+⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-←←∑+=)1,,2,1(,)(1n n i a x a b x a b x ii n i j j ij i i nnn n [,]A A b =11121,11111222,122221,11,1,1,211,11,2121,112,112,1k k k k k k k j n k k j n k k k i i i k n n kk kj kn k ik ij in i nknjk k k j k n n nnk k n a a a b A a u u u u u u y l l l l l l ll l l l u u u u u y u u u u y a a b a a b l a -------------⎡→⎣⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦第k 步分解,为了避免用绝对值很小的数kku 作除数,引进量1111 (,1,,;1,2,,) ()/ (1,2,,;1,2,,)k kj kj km mj m k ik ik im mk kkm u a l u j k k n k n l a l u u i k k n k n -=-=⎧=-=+=⎪⎪⎨⎪=-=++=⎪⎩∑∑11(,1,,)k i ik im mk m s a l u i k k n -==-=+∑,于是有kk u =ks ;如果 ,则将矩阵的第t 行与第k 行元素互换,将i,j 位置的新元素仍记为jjl 或jja ,然后再做第k 步分解,这时列主元高斯消去法程序流程图max t ik i n s s ≤≤= ()/ 1,2,,)1 (1,2,,),kk k k t iki k ik u s s s l s s i k k n l i k k n ===++≤=++即交换前的，（且列主元高斯消去法Matlab主程序function x=gauss1A,b,c %列主元法高斯消去法解线性方程Ax=bif lengthA~=lengthb %判断输入的方程组是否有误disp'输入方程有误'return;enddisp'原方程为AX=b：' %显示方程组Abdisp'------------------------'n=lengthA;for k=1:n-1 %找列主元p,q=maxabsAk:n,k; %找出第k列中的最大值,其下标为p,qq=q+k-1; %q在Ak:n,k中的行号转换为在A中的行号if absp<cdisp'列元素太小,detA≈0';break;elseif q>ktemp1=Ak,:; %列主元所在行不是当前行,将当前行与列主Ak,:=Aq,:; 元所在行交换包括bAq,:=temp1;temp2=bk,:;bk,:=bq,:;bq,:=temp2;end%消元for i=k+1:nmi,k=Ai,k/Ak,k; %Ak,k将Ai,k消为0所乘系数Ai,k:n=Ai,k:n-mi,kAk,k:n; %第i行消元处理bi=bi-mi,kbk; %b消元处理endenddisp'消元后所得到的上三角阵是'A %显示消元后的系数矩阵bn=bn/An,n; %回代求解for i=n-1:-1:1bi=bi-sumAi,i+1:nbi+1:n/Ai,i;endclear x;disp'AX=b的解x是' x=b;调用函数解题列主元三角分解法程序流程图列主元三角分解法Matlab主程序①自己编的程序：function x=PLUA,b,eps %定义函数列主元三角分解法函数if lengthA~=lengthb %判断输入的方程组是否有误disp'输入方程有误'return;enddisp'原方程为AX=b：' %显示方程组Abdisp'------------------------'n=lengthA;A=A b; %将A与b合并,得到增广矩阵for r=1:nif r==1for i=1:nc d=maxabsA:,1; %选取最大列向量,并做行交换if c<=eps %最大值小于e,主元太小,程序结束break;elseendd=d+1-1;p=A1,:;A1,:=Ad,:;Ad,:=p;A1,i=A1,i;endA1,2:n=A1,2:n;A2:n,1=A2:n,1/A1,1; %求u1,ielseur,r=Ar,r-Ar,1:r-1A1:r-1,r; %按照方程求取ur,iif absur,r<=eps %如果ur,r小于e,则交换行p=Ar,:;Ar,:=Ar+1,:;Ar+1,:=p;elseendfor i=r:nAr,i=Ar,i-Ar,1:r-1A1:r-1,i; %根据公式求解,并把结果存在矩阵A中endfor i=r+1:nAi,r=Ai,r-Ai,1:r-1A1:r-1,r/Ar,r; %根据公式求解,并把结果存在矩阵A中endendendy1=A1,n+1;for i=2:nh=0;for k=1:i-1h=h+Ai,kyk;endyi=Ai,n+1-h; %根据公式求解yiendxn=yn/An,n;for i=n-1:-1:1h=0;for k=i+1:nh=h+Ai,kxk;endxi=yi-h/Ai,i; %根据公式求解xiendAdisp'AX=b的解x是'x=x'; %输出方程的解②可直接得到P,L,U并解出方程解的的程序查阅资料得子函数PLU1,其作用是将矩阵A分解成L乘以U的形式;PLU2为调用PLU1解题的程序,是自己编的Ⅰ.function l,u,p=PLU1A %定义子函数,其功能为列主元三角分解系数矩阵A m,n=sizeA; %判断系数矩阵是否为方阵if m~=nerror'矩阵不是方阵'returnendif detA==0 %判断系数矩阵能否被三角分解error'矩阵不能被三角分解'endu=A;p=eyem;l=eyem; %将系数矩阵三角分解,分别求出P,L,Ufor i=1:mfor j=i:mtj=uj,i;for k=1:i-1tj=tj-uj,kuk,i;endenda=i;b=absti;for j=i+1:mif b<abstjb=abstj;a=j;endendif a~=ifor j=1:mc=ui,j;ui,j=ua,j;ua,j=c;endfor j=1:mc=pi,j;pi,j=pa,j;pa,j=c;endc=ta;ta=ti;ti=c;endui,i=ti;for j=i+1:muj,i=tj/ti;endfor j=i+1:mfor k=1:i-1ui,j=ui,j-ui,kuk,j;endendendl=trilu,-1+eyem;u=triuu,0Ⅱ.function x=PLU2A,b %定义列主元三角分解法的函数l,u,p=PLU1A %调用PLU分解系数矩阵A m=lengthA; %由于A左乘p,故b也要左乘p v=b;for q=1:mbq=sumpq,1:mv1:m,1;endb1=b1 %求解方程Ly=b for i=2:1:mbi=bi-sumli,1:i-1b1:i-1;endbm=bm/um,m; %求解方程Ux=y for i=m-1:-1:1bi=bi-sumui,i+1:mbi+1:m/ui,i;endclear x;disp'AX=b的解x是' x=b;调用函数解题①②编程疑难这是第一次用matlab编程,对matlab的语句还不是非常熟悉,因此在编程过程中,出现了许多错误提示;并且此次编程的两种方法对矩阵的运算也比较复杂;问题主要集中在循环控制中,循环次数多了一次或者缺少了一次,导致数据错误,一些基本的编程语句在语法上也会由于生疏而产生许多问题,但是语句的错误由于系统会提示,比较容易进行修改,数据计算过程中的一些逻辑错误,比如循环变量的控制,这些系统不会提示错误,需要我们细心去发现错误,不断修正,调试;。

解线性方程组的方法线性方程组是数学中常见的一类方程组，它由一组线性方程组成，常用形式为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ = b₂⋮aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, …, a₁ₙ, a₂₁, a₂₂, …, aₙₙ为已知系数，b₁,b₂, …, bₙ为已知常数，x₁, x₂, …, xₙ为未知数。

解线性方程组的方法有多种，下面将详细介绍其中的几种常用方法。

1. 列主元高斯消元法列主元高斯消元法是一种经典的解线性方程组的方法。

它的基本思想是通过消元将线性方程组转化为三角形式，然后逐步回代求解未知数。

具体步骤如下：（1）将系数矩阵按列选择主元，即选取每一列中绝对值最大的元素作为主元；（2）对系数矩阵进行初等行变换，使主元所在列下方的元素全部变为零；（3）重复上述步骤，直到将系数矩阵化为上三角矩阵；（4）从最后一行开始，逐步回代求解未知数。

2. Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的解线性方程组的方法。

它利用克拉默法则，通过求解线性方程组的系数矩阵的行列式和各个未知数对应的代数余子式的乘积，进而得到方程组的解。

具体步骤如下：（1）计算线性方程组的系数矩阵的行列式，若行列式为零，则方程组无解，否则进行下一步；（2）分别将每个未知数对应的列替换为常数向量，并计算替换后的系数矩阵的行列式；（3）将第二步计算得到的行列式除以第一步计算得到的行列式，得到各个未知数的解。

需要注意的是，Cramer法则只适用于系数矩阵为非奇异矩阵的情况。

3. 矩阵求逆法矩阵求逆法是一种利用矩阵求逆运算解线性方程组的方法。

它将线性方程组转化为矩阵形式，通过求解系数矩阵的逆矩阵，然后与常数向量相乘得到未知数向量。

具体步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵记为A，常数向量记为b，未知数向量记为x；（2）判断A是否可逆，若A可逆，则进行下一步，否则方程组无解；（3）求解系数矩阵的逆矩阵A⁻¹；（4）计算未知数向量x = A⁻¹b。

列主元高斯消去法python代码主元高斯消去法（Gaussian elimination with partial pivoting）是一种用于解线性方程组的常用算法。

该算法通过将方程组表示为增广矩阵，然后使用行变换的方式将矩阵转化为上三角形矩阵，最后通过回代的方式求解方程组。

以下是一个使用Python实现的主元高斯消去法的示例代码：```pythonimport numpy as npdef gaussian_elimination(A, b):n = len(A)# 构造增广矩阵augmented_matrix = np.column_stack((A, b))# 遍历每一行for i in range(n):# 部分主元消去pivot_row = ipivot = augmented_matrix[i, i]for row in range(i + 1, n):if abs(augmented_matrix[row, i]) > abs(pivot):pivot_row = rowpivot = augmented_matrix[row, i]# 交换当前行与主元行augmented_matrix[[i, pivot_row]] =augmented_matrix[[pivot_row, i]]# 消元for row in range(i + 1, n):factor = augmented_matrix[row, i] / augmented_matrix[i, i] augmented_matrix[row, i:] -= factor * augmented_matrix[i, i:]# 回代x = np.zeros(n)for i in range(n - 1, -1, -1):x[i] = (augmented_matrix[i, -1] - np.dot(augmented_matrix[i, i+1:n], x[i+1:])) / augmented_matrix[i, i]return x# 示例输入A = np.array([[2, -1, 1],[1, 3, -2],[-3, 1, 3]])b = np.array([3, 4, -6])# 使用主元高斯消去法求解线性方程组x = gaussian_elimination(A, b)print("Solution:")print(x)```在该示例代码中，我们首先构造了一个`gaussian_elimination`函数，接受矩阵`A`和向量`b`作为参数，返回线性方程组的解`x`。