全国通用四年级上册奥数试题-24讲余数的妙用

四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。

一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。

这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。

下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。

（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。

（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。

（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。

（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。

（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。

2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。

（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。

【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。

【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。

当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。

在做整数之间的除法时，常常会碰到不能除尽的情况。

带余除法也因此成为了数论中一块重要的组成部分。

五年级的余数问题，需要在四年级的计算基础上，掌握一些复杂的计算技巧，包括结合最小公倍数和最大公约数来计算。

同时，中国剩余定理也是非常重要的知识点。

知识点汇总中国剩余定理中国剩余定理，又称为中国余数定理、孙子定理，古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名，是数论中的一个重要命题。

解题方法：1）逐步满足法。

列出一列满足一个或两个条件的数列，从中寻找第一个满足所有条件的数。

这个方法的难点在于，如何选择这个数列，能够简化我们的选择过程。

2）最小公倍数法。

该方法适用于同余的情况，或者可以转化成同余的特殊情况。

重点在于转换问题的方法。

某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几1.1.2016年4月有4个周四，5个周五，请问2016年4月12日是星期几？、星期一、星期二、星期三、星期四2.2.2015年10月23日是星期五，2015年10月有___个星期日？3.3.奶奶告诉小明：2006年共有53个星期日。

聪明的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是星期__？（请回答一、二、三、四、五、六或日）视频描述3101除以7的余数是________1.1.2^2016除以13的余数为？(A^B表示A的B次方)2.2.若a为自然数，证明10整除a^1985- a^1949(输入0看解析)3.3.视频描述一个两位数去除251，得到的余数是41。

求这个两位数1.1.数1257除以一个三位数，余数是150，这个三位数是__？2.2.数235除以一个数的余数是30，可能的除数有哪几个？(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)3.3.2016除以一个两位数余数为40，求出所有可能的两位数。

(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)视频描述一个自然数除429,791,500所得的余数分别是a+5,2a和a，求这个自然数和a的值1.在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是__？2.2.若有一个大于1的正整数除314,257,447所得的余数相同，则2002除以这个数的余数是__？3.3.已知有一个数除309,222,251所得的余数相同，这个余数为__？视频描述一个整数除以3余2，商除以5余3，再用新的商除以7余5，则此数除以35余______1.1.一个小于200的整数除以7余3，商除以8余5，求问该数最大为多少？2.2.一个整数除以9余2，商除以3余1，再用新的商除以5余3，则此数除以45余___？3.3.一个大于50小于200的整数除以10余2，商除以7余5，求问该数可能为多少？(写出所有答案，答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)视频描述有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______1.1.三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数分别是_______,_______,_______(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2 3)2.2.有一个整数，用它去除90，50，100所得到的3个余数之和是35，那么这个整数是______．3.3.三个不同的自然数的和为2016，它们分别除以17,23,34所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数分别是_______,_______,_______(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2 3)在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被4整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？1.1.某个两位数是2 的倍数, 加1 是3 的倍数, 加2 是4 的倍数, 加1 是5 的倍数, 那么这个两位数是________(写出所有答案答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)2.2.有一个自然数用7除余3，用9除余4。

余数的妙用知识要点1、在进行除法运算时，往往会产生余数，对于有余数的除法，许多同学有时很头疼。

但是有余数的除法也不是一无是处，它还有许多妙用，用好它对于我们解决具体问题时有好处的。

2、除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数经典范例例1 被除数是41，余数是,6，除数和商各是多少？思路解析：被除数-余数=除数×商=41-6=35=1×35或5×7解：41-6=3535=1×35或35=5×7当除数=35时商=1 当除数=7时商是5答：当除数=35时商=1 当除数=7时商是5例2 假如今天是星期二，从今天算起，第29天是星期几？思路解析：因为时间是从今天算起，假如今天是1号，到第29号就是29天，这样就算出总天数。

一周是7天，看看这29天中有几个7天，然后再数数余数的天数就可以了。

因为今天是星期二，是前面几个整周的开头第一天，所以余数的第一天也是星期二。

解：29÷7=4 ---- 1答：第29天是星期二。

例3 幼儿园阿姨给小朋友们准备了又红又大的苹果。

7个7个数，也余1个。

你能算出至少有多少个苹果吗？思路解析：5个5个数，余1个，就是苹果数倍5除余1,有5、10、15、20、25、30、35、40---；7个7个数，也余1个，是苹果数7除余1,有7、14、21、28、35、42---；所以苹果数既要能被5除余1，也要能被7除余1.从上面的列出数看，它们共同的最小数是35.解：能被5整除5、10、15、20、25、30、35、40---；能被7整除7、14、21、28、35、42---；35+1=36（个）答：共有苹果36个。

例4 豆豆和丁丁玩报数游戏，每次每人报1 - 4个数，即不能超过4个数。

谁报到88个数谁胜。

丁丁先报，豆豆后报。

可不管怎么报，都是丁丁胜。

豆豆很奇怪。

丁丁说：“那是因为我知道余数的妙用。

一、带余除法的定义及性质一般地，如果a 是整数，b 是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r ，也就是a ＝b×q ＋r,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：（一）余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2（二）余数的减法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。

知识框架有余除法的应用（三）余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么与除以m 的余数也相同．模块一、简单的有余数除法【例 1】 在下列每个算式中的两个括号内，填上所有可能的数。

小学奥数之带余除法解题1. 能够根据除法性质调整余数进行解题2. 能够利用余数性质进行相应估算3. 学会多位数的除法计算4.根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑴ 余数小于除数． 3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．除法公式的应用【例 1】 某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于 。

【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第2题，5分 【解析】 125 【答案】125【例 2】 一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

5-5-1.带余除法（一）教学目标知识点拨例题精讲【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为999，999362727÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980⨯+=【答案】980【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。

四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。

一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。

这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。

下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。

（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。

（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。

（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。

（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。

（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。

2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。

（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。

【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。

【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。

当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。

补充：有余数的除法讲义知识点拨：一、定义回顾：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是：a＝b×q＋r,（ 0≤r＜b）我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

二、定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【变式】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【例 2】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【变式】两个整数相处商是12,余数是6,已知被除数,除数商与余数的差是204,除数是多少？【例 3】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

【变式】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．【例 4】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【变式】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【模块二：定理的应用】【例 5】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【变式1】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且ab，求abba．【变式2】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【变式3】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【例 7】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________．【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【例 9】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．。

小学奥数《有余数的除法》例题讲解在有余数除法中，要记住：（1）余数＜除数；（2）被除数＝商×除数＋余数例1（1）（）÷7=8……（），根据余数写出被除数最大是几？最小是几？（2）（）÷（）＝（）……6，除数最小是几？【思路点拨】（1）根据余数一定要比除数小的原理，余数可以取1,2,3,4,5,6。

最大的余数确定最大的被除数，最小的余数确定最小的被除数。

（2）根据余数一定要比除数小的原理，除数要大于6，而大于6的数有很多，其中最小的是。

【模仿练习】1．算式（）÷（）＝8……（）中，被除数最小是几？2．下题中被除数最大可填几，最小可填几？（）÷8＝3……（）3．你能写出下面题中最大的被除数和最小的被除数吗？（）÷4＝7……（）例2算式28÷（）=（）……4中，除数和商各是多少？【思路点拨】根据“被除数＝商×除数＋余数”，商×除数＝被除数－余数，即，商×除数＝28－4＝24。

而24＝×＝×＝×＝×，再根据除数＞余数就可以确定对应的除数和商。

【模仿练习】下列算式中，除数和商各是几？（1）22÷（）=（） (4)（2）65÷（）=（） (2)（3）37÷（）=（） (7)（4）48÷（）=（） (6)例3算式（）÷7=（）……（）中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？【思路点拨】要求出被除数，必须确定商和余数，而商等于余数，所以可以先根据除数是7来确定余数的值，根据余数小于除数，所以得到余数可以取，，，，，，从而得到对应的商，然后再求出被除数。

例4算式（）÷（）=（）……6，除数和商相等，被除数最小是几？【思路点拨】通过余数等于6可以确定除数应该大于6，大于6的数有无数个，但是要想使被除数最小，则除数应该尽量小，这样一来除数就只能取，再根据商和除数相等确定商，最后根据“被除数＝商×除数＋余数”求出最小的被除数。