第五章信号处理初步

二、时域采样、混叠和采样定理
长度为T的连续时间信号x(t)，从点t=0开始采样，采样得到 的离散时间序列为
x(n)

x(nTs
)

x(
n fs
)
采样间隔大小的影响：
n 0,1,2,, N 1
1）若采样间隔Ts太小，则对定长的时间记录来说其数字序 列就很长，计算工作量迅速增大；如果数字序列长度一定， 则只能处理很短的时间历程，可能产生较大的误差。
2）对周期信号实行整周期截断。
根据DFT的原理，某条谱线 f0 出现的条件是： f0 整数
f
由于频率采样间隔
简谐信号的周期
f 1
T
1 f0 T0
在分析简谐信号的场合，只有截取的信号长度T正好等于信号 周期的整数倍时，才可能使分析谱线落在简谐信号的频率上， 从而获得准确的频谱。从概念来说， DFT的效果相当于将时窗 内信号向外周期延拓。若按整周期截断信号，则延拓后的信号 将和原信号完全重合，无任何畸变。反之，延拓后将在t=kT交 接处出现间断点，波形和频谱都发生畸变。其中k为某个整数。 这个结论适用于所有周期信号。
输出来。
注意：x(t)s(t)w(t)的频谱是连续的频率函数，而DFT计算后的
输出则是离散的频率序列。可见DFT不仅算出 x(t)s(t)w(t) 的 “频谱”，而且同时对其频谱 X ( f )*S( f )*W ( f ) 实施了频域的 采样处理，使其离散化。这相当于在频域中乘上一个等频距 的周期脉冲序列 D( f )。
数字信号处理系统
模拟信号处理系统由一系列能实现模拟运算的电路，如模拟 滤波器、乘法器、微分放大器等环节组成。
数字信号处理系统可以在通用计算机上借助程序来实现，也可 以用专用信号处理机来完成。数字信号处理机具有稳定、灵活、 快速、高效、应用范围广、设备体积小、重量轻等优点，在各 行业中得到广泛的应用。
DFT是在频域的一个周期
fs
1 Ts
中输出N个数据点，故输出的
频率序列的频率间距为 f fs 1 1 。频域采样函数是
N NTs T
D(
f
)


(
n
f
n 1 ) ，计算机的实际输出是
T
X
(
f
)p
。
频域采样函数及其时域函数
DFT后的频谱及其时域函数 x(t) p
X ( f ) p [ X ( f ) * S( f ) *W ( f )]D( f )
采样就是用一个等时距的周期脉冲序列 s(t)去乘 x(t) 。
根据傅立叶变换的性质，采样后的信号 s(t)x(t) 的频谱应是
1 X ( f ) 和 S ( f ) 的卷积：X ( f )* S( f ) ，相当于将 X ( f ) 乘以 Ts ， 然后将其平移，使其中心落在S ( f ) 脉冲序列的频率点上。若
混叠出现的位置： 如果有混叠现象出现，混叠必定出现在 f fs 左右两侧的频
2
率处。将 fs 称为折叠频率。
2
避免产生混叠的措施：
1）对非有限带宽的模拟信号，在采样之前先通过模拟低通 滤波器滤去高频成分，使其成为带限信号。这种处理称为抗 混叠滤波预处理。
2）使采样频率fs大于带限信号的最高频率fs的2倍，即
频率采样间隔和所要分析的时间信号长度的关系为
f fs 1 NT
根据采样定理，若信号的最高频率为fh，最低采样频率fs应大 于2fh。在选定fs后，要提高频率分辨率就必须增加数据点数N， 从而急剧增加DFT的计算工作量。
{ 采用“频率细化技术（ZOOM）”
解决此矛盾的途径 改用其他变换方法
[ x(t )s(t )w(t )]* d (t )
▲频率离散化的后果 经过时域采样、截断、频域采样之后的信号[x(t)s(t)w(t)]*d(t) 是
一个周期信号，和原信号 x(t)是不一样的。
▲栅栏效应
采样的实质就是摘取采样点上对应的函数值，其效果有如透过 栅栏的缝观看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到， 其余景象都被栅栏挡住，视为零。这种现象称为栅栏效应。
应是 X ( f )* S( f )和 W ( f ) 的卷积 X ( f )* S( f )*W ( f ) ，是一个 频域连续函数。在卷积中，W ( f ) 的旁瓣引起新频谱的皱波。
时窗函数及其幅频谱 有限长离散信号及其幅频谱
计算机按照一定算法，比如离散傅立叶变换（DFT），将N点
长的离散时间序列 x(t)s(t)w(t)变换成N点的离散频率序列，并
如果A／D转换器的位数为b，允许的动态工作范围为D，则两
相邻量化电平之差为
x

D 2b1
（字长的第一位常用作符号位）
▲量化误差
当离散信号采样值的电平落在两个相邻量化电平之间时，就要 舍入到相近的一个量化电平上。该量化电平与信号实际电平之 间的差值称为量化误差。
(n) x(n)实际 x(n)量化电化
▲信号截断导致的后果：
由于截断后信号带宽变宽，因此无论采样频率多高，信号总是 不可避免地出现混叠，故信号截断必然导致一些误差。
▲减小泄漏的措施：
选择合适的窗函数来对时域信号进行加权处理。所选择的窗函 数应力求其频谱的主瓣宽度窄些、旁瓣幅度小些。窄的主瓣可 以提高频率分辨能力；小的旁瓣可以减小泄漏。
五、频域采样、时域周期延拓和栅栏效应
与 X ( f ) p 相对应的时域函数 x(t) p即不是 x(t) ，也不是x(t)s(t) ，
而是 [x(t)s(t)w(t)]*d(t)。
注意：频域采样形成的频域函数离散化，相应地把其时域函 数周期化了，因而 x(t) p 是一个周期函数。
从以上过程看到，原来希望获得模拟信号x(t) 的频域函数X ( f )， 由于用于计算的数据是经过采样和截断后长度为N的的离散序 列 x(t)s(t)w(t) ，所以经计算输出的是 X ( f ) p 。X ( f ) p 不是X ( f ) ， 而是用 X ( f ) p来近似代替 X ( f ) 。处理过程中的每一个步骤：采 样、截断、DFT计算都会引起失真或误差，必须充分注意。工 程上不仅关心有无误差，而更重要的是了解误差的具体数值， 以及是否能以经济、有效的手段提取足够精确的信息。
2）实际上，和信号获取、处理的其他误差相比，量化误差通 常不大，所以一般可忽略其影响。
四、截断、泄漏和窗函数 ▲截断 截断就是将信号乘以时域的有限宽矩形窗函数。
根据傅立叶变换的卷积特性——时域相乘就等于频域做卷积。
x(t)s(t)w(t) X ( f )* S( f )*W ( f )
矩形窗函数
量化误差的最大值为

(n)m
ax


x
2
量化误差的概率密度 p(x) 1 x
量化误差的均值 0
量化误差的均方值

2

x2
12
量化误差的标准差

x2 0 x 0.29x
12
23
▲降低量化误差的措施
1）提高A/D转换器的位数即可降低量化误差。但A／D转换器 位数选择应视信号的具体情况和量化的精度要求而定，要考 虑位数增多后，成本显著增加，转换速率下降的影响。
w(t
)

1
0
t T 2
t T 2

W ( f ) T sin c(fT )
▲泄漏： 由于W(f)是一个无限带宽的sinc函数，所以即使x(t)是带限信 号，在截断后也必然成为无限带宽的信号，这种信号的能量在 频率轴分布扩展的现象称为泄漏。 ▲泄漏产生的原因：
窗函数的频谱是无限带宽的。
第一节 数字信号处理的基本步骤
数字信号处理的基本步骤
▲信号的预处理是把信号变成适于数字处理的形式，以减 轻数字处理的困难。预处理包括： 1）电压幅值调理，以便充分利用A／D转换器的精确度。 2）必要的滤波，以提高信噪比，并滤去信号中的高频噪声。
3）隔离信号中的直流分量。
4）如原信号经过调制，则应先行解调。
若把该频谱通过一个中心频率为零（f=0）、带宽为±（fs/2） 的低通滤波器，就可以把完整的原信号频谱 X ( f ) 取出，也就 有可能从离散序列中准确地恢复原模拟信号 x(t)。
三、量化和量化误差
▲量化
采样所得的离散信号的电压幅值（模拟量），若用二进制数码 组来表示，就使离散信号变成数字信号，这一过程称为量化。 量化一般是由A/D转换器来实现的。
1 X ( f ) 的频带大于 ，平移后的图形会发生交叠，如图中虚
2Ts 线所示。采样后信号的频谱是这些平移后图形的叠加，如图中
实线所示。
采样函数及其幅频谱 采样后信号及其幅频谱
截断就是把采样后的时间序列 s(t)x(t) 乘上一个矩形窗函数
w(t ) 。
根据傅立叶变换的性质，截断后的信号s(t)x(t)w(t) 的频谱
fs 2 fh
（采样定理）
在实际工作中，考虑到实际滤波器不可能有理想的截止特性， 在其截止频率fc之后总有一定的过渡带，故采样频率常选 为 fs (3 ~ 4)。fc
采样定理： 为了避免混叠以使采样处理后仍有可能准确地恢复其原信号， 采样频率fs必须大于最高频率fh的两倍，即fs>2fh，这就是采 样定理。 在满足此两条件之下，采样后的频谱就不会发生混叠。
第二节 信号数字化出现的问题
数字信号处理首先把一个连续变化的模拟信号转化为数 字信号，然后由计算机处理，从中提取有关的信息。信号数 字化过程包含着一系列步骤，每一步骤都可以引起信号和其 蕴含信息的失真。
一、概述
设模拟信号 x(t) 的傅立叶变换为 X ( f )。为了利用数字计算 机来计算，必须使 x(t) 变换成有限长的离散时间序列。为此， 必须对 进x(行t) 采样和截断。