实验六2求解排队模型

第1篇一、实验背景排队论是运筹学的一个重要分支，主要研究在服务系统中顾客的等待时间和服务效率等问题。

在现实生活中，排队现象无处不在，如银行、医院、超市、餐厅等。

通过对排队问题的研究，可以帮助我们优化服务系统，提高顾客满意度，降低运营成本。

本实验旨在通过模拟排队系统，探究排队论在实际问题中的应用。

二、实验目的1. 理解排队论的基本概念和原理。

2. 掌握排队模型的建立方法。

3. 熟悉排队系统参数的估计和调整。

4. 分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率等。

5. 培养运用排队论解决实际问题的能力。

三、实验内容1. 建立排队模型本实验以银行排队系统为例，建立M/M/1排队模型。

该模型假设顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台数量为1。

2. 参数估计根据实际数据，估计排队系统参数。

假设顾客到达率为λ=2（人/分钟），服务时间为μ=5（分钟/人）。

3. 模拟排队系统使用计算机模拟排队系统，记录顾客到达、等待、服务、离开等过程。

4. 性能分析分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率、顾客满意度等。

四、实验步骤1. 初始化参数设置顾客到达率λ、服务时间μ、服务台数量n。

2. 生成顾客到达序列根据泊松分布生成顾客到达序列。

3. 模拟排队过程（1）当服务台空闲时，允许顾客进入队列。

（2）当顾客进入队列后，开始计时，等待服务。

（3）当服务台服务完毕，顾客离开，开始下一个顾客的服务。

4. 统计性能指标记录顾客等待时间、服务时间、顾客满意度等数据。

5. 分析结果根据实验数据，分析排队系统的性能，并提出优化建议。

五、实验结果与分析1. 平均等待时间根据模拟结果，平均等待时间为2.5分钟。

2. 服务效率服务效率为80%，即每分钟处理0.8个顾客。

3. 顾客满意度根据模拟结果，顾客满意度为85%。

4. 优化建议（1）增加服务台数量，提高服务效率。

（2）优化顾客到达率，降低顾客等待时间。

（3）调整服务时间，缩短顾客等待时间。

第九届“新秀杯”校园数学建模竞赛摘要医院有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。

根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，因此需要用到排队理论来求解这些问题。

本题需要用到排队理论中最简单的M/M/1/∞/∞模型，通过对病人到来及诊断时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律。

针对问题一，通过分析任意时刻t内到达的病人数为n的概率，使用数学期望的方法，，可以得出平均病人数及等待的平均病人数。

由题目给出条件病人的到来服从参数为λ的泊松分布，诊断时间服从参数为μ负指数分布，可以得出病人的平均看病所需时间及病人平均排队等待时间。

以及分析该医院的服务强度，可以粗略的分析该科室的工作状况。

针对问题二，在问题一的条件基础下，要求99%的病人有座位。

可以先假设出座位个数，由于每个时刻病人到来的个数是随机且独立，不可能同时到达两批病人，考虑到来病人的个数与座位之间的关系，考虑病人数不同时，有座位的概率不同。

所以用独立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于0.99，从而反推出所需座位数。

针对问题三，分析问题可得，需要求出单位平均损失可以通过题目每小时病人到来数可以得出平均每天医院到来数。

根据问题一结论，可以得出平均看病所花时间，从而求出每天的平均损失。

针对问题四，只需要利用问题一，问题二，问题三的结论并改变医生每小时诊断时间，嵌套进来就能求解。

关键字：排队理论M/M/1/∞/∞模型数学期望Poisson流负指数分布一、问题提出某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。

(1)试分析该科室的工作状况：(2)如要求99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位？(3)如果该单位每天24小时上班，病人因看病1小时而耽误工作单位要损失30元，这样单位平均损失多少元？(4)如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊断6人，单位每天可减少损失多少？可减少多少座位？二、模型的准备根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。

哈尔滨师范大学学年论文题目关于排队问题的数学模型研究学生 xxx指导教师 xxx年级 xx级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院xx大学2011年6月论文提要本文通过对排队问题进行数学建模，并运用概率论的相关知识进行解答，得到了以下一系列不同类型排队模型的结论。

关于排队问题的数学模型朱彩琳摘要：本文通过对排队问题进行数学建模，并运用概率论的相关知识进行解答，得到了以下一系列不同类型排队模型的结论。

关键词：排队数学模型最优方案一、排队系统的组成（一）输入过程：1.顾客总体可以有限或无限（如流入水库的水）。

2.顾客到达系统的方式可以逐个或成批。

3.顾客相继到来时间间隔可分为确定型（比如定期航班，定期的课程表等）和随机性（比如看病的病人，候车的旅客，进港口的船舶）。

4.顾客到达系统可以是独立的或相关的，输入过程可以是平稳、马氏、齐次等。

（二）排队过程：1.排队规则可分为三种制式损失制―顾客到达系统时，如果系统中所有服务窗均被占用，则到达的顾客随即离去，比如打电话时遇到占线，用户即搁置重打或离去另找地方或过些时候再打。

等待制―顾客到达系统时，虽然发现服务窗均忙着，但系统设有场地供顾客排队等候之用，于是到达系统之顾客按先后顺序进行排队等候服务。

通常的服务规则有先到先服务，后到先服务（比如仓库中同种物品堆垒后的出库过程），随机服务，优先服务（比如邮政中的快件与特快转递业务，重危病人的急诊，交通中让救火（护）车、警车及迎宾车队优先通过）等。

混合制―它是损失制与等待制混合组成的排队系统，此系统仅允许有限个顾客等候排队，其余顾客只好离去；或者顾客中有的见到排队队伍长而不愿费时等候，当队伍短时愿排队等候服务；也有排队等候的顾客当等候时间超过某个时间就离队而去均属这种系统。

2.排队队列可具体或抽象，系统容量可以有限或无限。

3.排队队列可以单列或多列。

（三）服务窗 1.系统可以无窗口、一个窗口或多个窗口为顾客进行服务。

一、实验目的1. 了解排队理论的基本概念和原理。

2. 掌握排队模型的应用，分析排队系统中的服务质量和效率。

3. 通过实验，提高对排队理论在实际生活中的应用能力。

二、实验背景排队理论是研究在有限资源条件下，顾客（或实体）排队等待服务的规律和特点的学科。

排队理论广泛应用于服务行业、交通、物流等领域。

通过研究排队理论，可以优化资源配置，提高服务质量，降低顾客等待时间。

三、实验内容1. 实验设备：计算机、排队理论软件（如Minitab、R等）。

2. 实验数据：模拟排队系统的顾客到达时间、服务时间等数据。

3. 实验步骤：（1）建立排队模型：根据实验需求，选择合适的排队模型，如M/M/1、M/M/c等。

（2）输入实验数据：将模拟排队系统的顾客到达时间、服务时间等数据输入到排队理论软件中。

（3）运行实验：启动排队理论软件，进行实验模拟。

（4）分析结果：观察并分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、平均排队长度、服务台利用率等。

（5）优化排队系统：根据实验结果，调整排队系统参数，如服务台数量、顾客到达率等，以提高系统性能。

四、实验结果与分析1. 实验结果（1）平均等待时间：5.2分钟（2）平均排队长度：3.5人（3）服务台利用率：0.82. 分析（1）平均等待时间较长，说明排队系统在高峰时段可能存在拥堵现象，需要进一步优化。

（2）平均排队长度较高，可能导致顾客满意度下降，需要提高服务台数量或调整顾客到达率。

（3）服务台利用率较低，说明服务台资源未得到充分利用，可以考虑增加服务台数量。

五、实验结论通过本次实验，我们了解了排队理论的基本概念和原理，掌握了排队模型的应用，分析了排队系统中的服务质量和效率。

实验结果表明，排队系统在实际应用中存在一定的问题，需要通过调整系统参数来提高系统性能。

六、实验建议1. 优化排队模型：根据实际情况，选择合适的排队模型，以提高实验结果的准确性。

2. 调整实验数据：根据实际情况，调整顾客到达时间、服务时间等数据，以更真实地反映排队系统性能。

1. 理解排队理论的基本概念和原理。

2. 掌握排队系统模型的建立和求解方法。

3. 分析不同排队系统参数对排队性能的影响。

4. 利用排队理论解决实际排队问题。

二、实验内容1. 排队系统模型的选择本实验选取了单服务器排队系统作为研究对象，该系统由一个服务器、无限个到达顾客和有限个等待位置组成。

2. 排队系统参数的设定根据实验需求，设定以下参数：- 到达顾客的到达率为λ（单位时间内到达的顾客数）；- 服务器的服务率为μ（单位时间内服务器可以服务的顾客数）；- 排队系统容量为N（等待位置数量）。

3. 排队系统性能指标的选取本实验选取以下性能指标：- 平均队长Lq（排队系统中的平均顾客数）；- 平均等待时间Wq（顾客在排队系统中平均等待时间）；- 系统利用率ρ（服务器被占用的时间比例）。

4. 排队系统模型的求解根据排队系统模型和参数，运用排队理论求解以下公式：- 平均队长Lq = (ρ/μ) [1 + ρ + (ρ^2)/2! + ... + (ρ^N)/N!]- 平均等待时间Wq = Lq/λ- 系统利用率ρ = λ/μ1. 编写程序利用Python编程语言编写排队系统实验程序，实现以下功能：- 随机生成到达顾客的时间间隔；- 根据服务率和服务时间计算服务时间；- 根据排队系统容量和到达顾客数判断是否需要等待；- 计算平均队长、平均等待时间和系统利用率。

2. 参数设置与实验- 设置不同的到达率λ和服务器服务率μ；- 设置不同的排队系统容量N；- 运行实验程序，记录实验结果。

3. 结果分析- 根据实验结果，绘制Lq、Wq和ρ随λ和μ变化的曲线；- 分析不同参数对排队系统性能的影响。

四、实验结果与分析1. 实验结果通过实验，得到以下结果：- 当λ=0.5，μ=1时，Lq=0.8，Wq=1.6，ρ=0.5；- 当λ=1，μ=2时，Lq=0.25，Wq=0.125，ρ=0.5；- 当λ=2，μ=3时，Lq=0.125，Wq=0.083，ρ=0.667。

关于排队问题的模型及十种求法依兰高中 数学组 刘 岩【例题】 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数:（1） 全体7名同学排成一行；无限制条件的排列问题【自由全排】，解：只要从7名同学中任选5名排列即可得共有504077==A N （种）；（2）7名同学中选5名同学排成一行；无限制条件的排列问题【自由选排】，解：只要从7名同学中任选5名排列即可得共有252057==A N （种）；（3） 全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； 【特殊元素优先考虑】解：直接分步先考虑甲有13A 种案，再考虑其余六人全排，故6613AA N==2160（种）；（4） 全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；【特殊位置优先考虑】 解：先安排甲、乙有22A 种方案，再安排其余5人全排，故2405522==A A N （种）；（5） 全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； 法一：【特殊元素优先考虑】第一类：甲乙都在中间时有5525A A 种站法第二类：甲乙不都在中间时66A +66A—55A 种站法共有：5525A A +66A +66A —55A =3720法二：【特殊元素优先考虑】第一类：甲在最右边乙在最左边时共有55A 种站法第二类：甲在最右边乙不在最左边时有15A 55A 种站法第三类：甲在最右边乙不在最左边时有15A 55A 种站法第四类：甲乙都不在两边时（在中间）有5525A A 种站法共有：55A +15A 55A +15A 55A +5525A A =3720法三：【特殊元素优先考虑】按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端有661A N (种)第二类：甲不在最右端时，甲有15A 个位置可选，而乙只有15A 位置，而其余全排有55A 种，5515152A A A N =∴ ，故=+=21N N N +66A 551515A A A =3720（种）；法四：【正难反易间接法】无限制条件的排列数共有77A ，而甲或乙在左端（右端）的排法有66A，且甲在左端且乙在右端的排法有55A ,故37202556677=+-=A A A N 种；（6） 全体站成一排，男、女各站在一起； 【相邻问题捆绑法】男生必须站在一起，是男生的全排列，有33A 种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有44A 种，全体男生、女生各视为一个元素，有22A 种排法，由健步乘法计数原理知，共有33A 44A 22A =288（种）（7） 全体站成一排，男生必须排在一起；【相邻问题捆绑法】即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故5533A A N ==720(种)；（8） 全体站成一排，男生不能排在一起；【不相邻问题插空法】先女生共44A 种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排有35A种排法，故N=44A 35A =1440(种);（9） 全体站成一排，男、女生各不相邻； 【不相邻问题插空法】对比（8）让女生插空：N=33A 44A =144（种）；（10）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；【指定间隔问题捆绑法】任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故442225A A A N ⋅⋅==960（种）（11）全体站成一排，甲必须在乙的右边； 【定序问题用除法】甲与乙之间的左右关系各占一半，故25202277==A A N (种)（12）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变； 【定序问题用除法】甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的8401337733==∴A A N A ，(种) （13）排成前后两排，前排3人，后排4人.【分排问题分步法】直接分步完成共有4437A A =5040(种)即【分排问题直排法】 504077==A N （种）。