(精品)初中数学讲义1整式的概念(学生)

整式的概念。

-概述说明以及解释1.引言1.1 概述整式是代数学中的重要概念之一，它在数学运算中具有广泛的应用。

在我们日常的数学学习和解决实际问题时，经常需要对各种数学式进行化简、运算和因式分解等操作。

而这些式子往往可以被统一地称为整式。

整式由常数、变量及其乘积与幂的加减运算组成。

常数可以是整数、有理数或者无理数，而变量则代表某个未知数。

整式具有形式简单、易于计算的特点，在代数学的研究和实际应用中有着广泛的使用。

在整式的定义中，值得注意的是整式中的变量可以是一元的，即只有一个未知数，也可以是多元的，即包含多个未知数。

整式在具体的问题中可以表示各种关系和规律，如数学模型、物理方程、经济公式等，可以帮助我们分析和解决实际问题。

整式的基本运算包括加法、减法、乘法和乘方等。

通过对整式的加减运算，可以将相同次幂项的系数相加，从而得到一个新的整式。

在乘法运算中，可以对整式中的每一项进行乘法运算，并将结果相加，得到一个新的整式。

整式的乘方运算是将整式自身乘以自身若干次，得到一个新的整式。

整式的化简与因式分解是整式运算的重要内容。

化简就是将一个复杂的整式通过合并同类项、提取公因子等运算，简化为一个更简单的整式的过程。

而因式分解则是将一个整式分解为乘积的形式，使得每个因子都是最简单的整式。

化简和因式分解的过程常常需要运用代数运算中的基本法则和公式，通过合适的变换和操作，将整式变得更加简洁和易于处理。

总结而言，整式是代数学中的重要概念，它由常数、变量及其乘积与幂的加减运算组成。

整式的定义和基本运算为我们解决各种数学问题提供了有效的工具和方法。

通过整式的化简与因式分解，我们可以将复杂的整式简化为更加简洁的形式，从而更好地理解和应用数学。

整式在代数学的研究以及各个领域的实际应用中具有重要的地位和作用。

文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述整式的概念：1. 引言：在这一部分，将对整式的概念进行简要的概述，引入整式的基本概念和重要性。

高一数学寒假课程整式的概念 （学生版） 1 / 15 初一数学暑假课程高一数学寒假课程整式的概念 （学生版） 2 / 15 初一数学暑假课程 初一数学暑假班（学生版）1、单项式（1）单项式的含义：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做代数式（单独的一个数字或者字母也叫做单项式）.如：代数式3a 、mn -、2x 、2、π，它们都是单项式.（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 注意：①关于单项式的系数，要包括前面的符号；系数是1或-1时，通常省略不写.②关于单项式的次数，当字母的指数是1时，“1”通常省略不写；对于不含字母的非0数，如2-，0.5，13等，这些单项式叫做“零次单项式”. 2、多项式（1）多项式的含义：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式.（2）多项式的项与常数项：在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.如：多项式2232x x -+共有三项，分别是22x ，3x -，2；其中常数项整式的概念知识梳理是2.注意：在确定多项式的项时，要特别注意项的符号.（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数.注意：多项式的次数的概念要正确理解，是指最高次项的次数，而不是指多项式中所有字母指数的和，要与单项式的次数区分开.（4）多项式的降（升）幂排列：按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序来排列.（5）整式：单项式和多项式统称为整式.注意：单项式中不含加或减法运算；而多项式必须含有加或减法运算，但不能有以字母为除式的除法运算.例题解析【例1】在式子，﹣1，x2﹣3x，，中，是整式的有个．初一数学暑假课程高一数学寒假课程整式的概念（学生版）3/ 15【例2】下列代数式：（1），（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x+，（9）y3﹣5y+中，整式有．（填序号）【例3】求单项式的系数与次数之积.【例4】观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，…（1）按此规律写出第9个单项式；（2）试猜想第N个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？初一数学暑假课程高一数学寒假课程整式的概念（学生版）4/ 15【例5】下表中的字母都是按移动规律排列的．序号123…图形x xyx xyx xx x xy yx x xy yx x xx x x xy y yx x x xy y yx x x x…我们把某格中的字母的和所得多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为6x+2y，第2格的“特征多项式”为9x+4y，回答下列问题．（1）第3格的“特征多项式”为，第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为（n为正整数）；（2）求第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”的差．高一数学寒假课程整式的概念（学生版）5/ 15初一数学暑假课程【例6】已知式子：ax5+bx3+3x+c，当x=0时，该式的值为﹣1．（1）求c的值；（2）已知当x=1时，该式的值为﹣1，试求a+b+c的值；（3）已知当x=3时，该式的值为﹣1，试求当x=﹣3时该式的值；（4）在第（3）小题的已知条形下，若有3a=5b成立，试比较a+b与c的大小．【例7】学规律在数学中有着极其重要的意义，我们要善于抓住主要矛盾，提炼出我们需要的信息，从而解决问题．（1）观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，通过观察，用你所发现的规律确定32014的个位数字是；（2）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果a n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那整式的概念（学生版）6/ 15（3）观察下面的一列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…根据你发现的规律，第5个单项式为；第7个单项式为；第n个单项式为．【例8】已知关于x、y的多项式5x2﹣2xy2﹣[3xy+4y2+（9xy﹣2y2﹣2mxy2）+7x2]﹣1（1）若该多项式不含三次项，求m的值；（2）在（1）的条件下，当x2+y2=13，xy=﹣6时，求这个多项式的值．【例9】已知多项式3x2﹣y3﹣5xy2﹣x3﹣1；（1）按x的降幂排列；（2）当x=﹣1，y=﹣2时，求该多项式的值．初一数学暑假课程高一数学寒假课程整式的概念（学生版）7/ 15【例10】（1）已知代数式：4x﹣4xy+y2﹣x2y3①将代数式按照y的次数降幂排列．②当x=2，y=﹣1时，求该代数式的值（2）已知：关于xyz的代数式﹣（m+3）x2y|m+1|z+（2m﹣n）x2y+5为五次二项式，求|m﹣n|的值．【例11】当多项式﹣5x2﹣（2m﹣1）x2+（2﹣3n）x﹣1不含二次项和一次项时，求m、n 的值．初一数学暑假课程高一数学寒假课程整式的概念（学生版）8/ 15【例12】已知多项式是八次三项式，求n的值．反思总结单项式次数与多项式次数的区别（1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数.初一数学暑假课程高一数学寒假课程整式的概念（学生版）9/ 15高一数学寒假课程整式的概念 （学生版） 10 / 15 初一数学暑假课程一．判断题 (1)31+x 是关于x 的一次两项式． ( ) (2)－3不是单项式．( ) (3)单项式xy 的系数是0．( ) (4)x 3＋y 3是6次多项式．( ) (5)多项式是整式．( ) 二、选择题 1．在下列代数式：21ab ，2b a +，ab 2+b+1，x 3+y2，x 3+ x 2－3中，多项式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D5个 2．多项式－23m 2－n 2是（ ）A ．二次二项式B ．三次二项式C ．四次二项式D 五次二项式 3．下列说法正确的是（ ）A ．3 x 2―2x+5的项是3x 2，2x ，5B ．3x －3y 与2 x 2―2xy －5都是多项式 C ．多项式－2x 2+4xy 的次数是３随堂检测高一数学寒假课程整式的概念 （学生版） 11 / 15 初一数学暑假课程 D ．一个多项式的次数是6，则这个多项式中只有一项的次数是64．下列说法正确的是（ ）A ．整式abc 没有系数B ．2x +3y +4z 不是整式 C ．－2不是整式 D ．整式2x+1是一次二项式 5．下列代数式中，不是整式的是（ ）A 、23x -B 、745b a -C 、x a 523+D 、－20056．下列多项式中，是二次多项式的是（ ）A 、132+xB 、23xC 、3xy －1D 、253-x 7．x 减去y 的平方的差，用代数式表示正确的是（ ）A 、2)(y x -B 、22y x -C 、y x -2D 、2y x - 8．某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。

初一数学（秋季）讲义第十三讲：整式的概念一、单项式1、概念：如22xy -，13mn ，-1，它们都是 与 的积，这样的式子叫单项式。

要点诠释：①单独的一个数或一个字母也是单项式，如-2、-a ，b 等；②单项式中不能含有 运算，但可以含有 运算，如22xy -+2，1+a ，a+b 都不是单项式； ③分母不能有字母，如5m ，2m 3+就不是单项式．2st 可以写成12st ，仍是单项式2、单项式的系数：单项式中的 叫做这个单项式的系数．要点诠释：①单独一个字母也有系数，如a 的系数为1，-b 的系数为-1；②系数要写在字母前面，单项式的系数是带分数时，通常写成 ，如：2114x y 写成254x y ．3、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的 叫做这个单项式的次数． 要点诠释：①没有写指数的字母，实际上其指数是 ，如a ，4abc ，-3a ²b ，计算时不能将其遗漏， ②不能将数字的指数一同计算，如2³bc二、多项式1、概念：几个 的和叫做多项式．2、多项式的项：每个单项式叫做多项式的 ，不含字母的项叫做 ，如2a-3中的-3要点诠释：多项式的每一项包括它前面的 ，如-3ab-5b ²-3的各项为3、 多项式的次数：多项式里次数 的次数，叫做这个多项式的次数， 如-3ab+6b ²-4ac² 的次数为要点诠释：①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的 ． ②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．4、整式： 与 统称为整式．要点诠释：分母中含有字母的式子一定不是整式．1．指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？22x y +，x -，3a b +，10，61xy +，1x ，217m n ，225x x --，22x x +，7a2. 下列代数式：322332111;;;;2;-232a x y ab x x y x y y x +--++π①②③④⑤⑥，其中是单项式的是______________，是多项式的是_______________．类型二、单项式1．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．234a b -， a -， 442x ， a mn ， 223a y π， a-3， 5-3， 82-310tm ⨯， 2x y2. 下列结论正确的是( )．A ．没有加减运算的代数式叫做单项式．B ．单项式237xy 的系数是3，次数是2．C ．单项式m 既没有系数，也没有次数．D ．单项式2xy z -的系数是-1，次数是4．类型三、多项式1.多项式24242153x y x y x-+-+，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是什么？常数项是什么？这是几次几项式?2. 已知多项式32312246753mxxy x y y x y---+--．(1)求多项式各项的系数和次数．(2)如果多项式是七次五项式，求m的值．3. 多项式()34ba x x x b--+-是关于x的二次三项式，求a与b的差的相反数．类型四、整式的应用1 . 用整式填空：(1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．(2)甲商品的进价为1400元，若标价为a元，按标价的9折出售；乙商品的进价是400元，若标价为b元，按标价的8折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：________ 乙：________2. 如图所示，用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子（）A ．4 n 枚B ．(4n-4)枚C ．(4n+4)枚D ．n ²枚一.选择题1．x 减去y 的平方的差，用代数式表示正确的是（ ）A 、2)(y x -B 、22y x -C 、y x -2D 、2y x - 2．对单项式－ab 3c ，下列说法中正确的是( )．A ．系数是0，次数是3B ．系数是－1，次数是5C ．系数是－1，次数是4D ．系数是－1，次数是－53．下列说法正确的是( )A ．x 的指数是0B ．x 的系数是0C ．－10是一次单项式D ．－10是单项式4．下列代数式中，不是整式的是（ ） A 、23x - B 、745b a - C 、x a 523+ D 、－2005 5．在代数式y y y n x y x 1),12(31,8)1(7,4322++++中，多项式的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在下列代数式：21ab ，2b a +，ab 2+b+1，x 3+y2，x 3+ x 2－3中，多项式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D.5个7．多项式－3x 2＋6x 3＋1－x 按字母x 的降幂排列的是( )．A ．1－x －3x 2＋6x 3B ．6x 3－x －3x 2＋1 C ．6x 3－3x 2－x ＋1 D ．6x 3＋3x 2＋x －1 8.下列多项式中，是二次多项式的是（ ）A 、132+xB 、23xC 、3xy －1D 、253-x 9．对于多项式x 2－2x ＋18，下列说法正确的是( )．A ．它是三次三项式B ．它的常数项是18C ．它的一次项系数是2D ．它的二次项系数是2 10．多项式－23m 2－n 2是（ ）A ．二次二项式B ．三次二项式C ．四次二项式D 五次二项式三、填空题11．当a ＝－1时，34a ＝ ；当x ＝－3时，多项式－x 3＋x 2－1的值等于____________12．b 的311倍的相反数是 ；5除以a 的商加上323的和为 m 与n 的平方和为 ；x 与y 的和的倒数为13．设某数为x ，10减去某数的2倍的差是14．当x ＝2，y ＝－1时，代数式||||x xy -的值是15．单项式7532c ab 的系数是_____，次数是____ ；3234y x -的系数是 ，次数是 16.单项式21xy 2z 是_____次单项式；220053xy 是 次单项式17．x+2xy +y 是 次多项式18.多项式：y y x xy x +-+3223534是 次 项式19.y x 342-的一次项系数是 ，常数项是 20.多项式a 2－21ab 2－b 2有_____项，其中－21ab 2的次数是 . 21．多项式x 3y 2－2xy 2－43xy －9是___次___项式，其中最高次项的系数是 ， 二次项是 ，常数项是 ．22．多项式－6x 2＋8y ＋2的次数是__________，是__________次__________项式．23．多项式x 2y ＋xy －xy 2－53中的三次项是____________． 24.整式①21，②3x －y 2,③23x 2y ,④a ,⑤πx +21y ,⑥522a π,⑦x +1中， 单项式有 ，多项式有1．某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。

初中数学整式知识点整式是由常数与变量的乘积和求和构成的代数式。

它是数学中的重要知识点，主要涉及整式的定义、运算和求值等方面。

下面将详细介绍初中数学整式的相关知识点。

一、整式的定义：1.整式的定义：由常数与变量的有限个数的乘积（乘方只能是正整数次幂）和加法构成的代数式称为整式。

2.整式的组成要素：整式由项组成，每一项由系数与字母的乘积构成，并且具有相同的指数。

例如：3x² + 5xy - 2z + 7 是一个整式，其中3x²、5xy、-2z和7都是这个整式的项。

二、整式的运算：1.相同类型整式的加法：将同类项的系数相加，并保持字母与指数不变。

例如：3x² + 5xy - 2z + 7 和2x² + 3xy + 4z - 8 可以相加为：(3+2)x² + (5+3)xy +(-2+4)z + (7-8) = 5x² + 8xy + 2z - 12.相同类型整式的减法：将同类项的系数相减，并保持字母与指数不变。

例如：3x² + 5xy - 2z + 7 和2x² + 3xy + 4z - 8 可以相减为：(3-2)x² + (5-3)xy +(-2-4)z + (7+8) = x² + 2xy - 6z + 153.整式的乘法：先用分配律将每一项相乘，再对结果进行合并。

例如：(3x + 2y)(4x - 5y) = 3x(4x - 5y) + 2y(4x - 5y) = 12x² - 15xy + 8xy -10y² = 12x² - 7xy - 10y²4.带有括号的整式的运算：按照运算顺序进行括号内的运算，再根据整式的运算法则进行整体运算。

例如：(2x + 3y)(4x - 5y - z) = 2x(4x - 5y - z) + 3y(4x - 5y - z) = 8x² - 10xy - 2xz + 12xy - 15y² - 3yz = 8x² + 2xy - 2xz - 15y² - 3yz三、整式的求值：1.整式的值：将整式中的字母用具体的数值代替，然后计算出结果。

整式的概念和定义是什么知识在于不断的积累，想要了解整式的概念的小伙伴赶紧来瞧瞧吧！下面由小编为你精心准备了“整式的概念和定义是什么”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的知识点！整式的概念单项式和多项式统称整式，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除四种运算。

在一个式子当中，如果其中包含有除法运算，那么其中除数是一定不能够含有字母的形式的，换句话说，在单项式与多项式当中，其分母是一定不能够含有字母的。

整式的定义不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数，但除式或分母中不含变数者则称为整式。

拓展阅读：单项式和多项式的区别1、定义不同单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。

多项式：在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式。

多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。

其中多项式中不含字母的项叫做常数项。

2、用法不同单项式：0可看做0乘a，1可以看做1乘指数为0的字母，b可以看做b乘1，分数和字母的积的形式也是单项式。

多项式：若有减法，减一个数等于加上它的相反数。

整式乘法法则1、同底数的幂相乘：法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

数学符号表示：a^m.a^n=a^m+n（其中m、n为正整数）2、幂的乘方：法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

数学符号表示：（a^m）^n=a^mn（其中m、n为正整数）3、积的乘方：法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

（即等于积中各因式乘方的积。

）数学符号表示：（ab）^n=a^n·b^n（其中n为正整数）4、单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

5、单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

6、多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

整式的基础知识讲解整式是数学中常见的概念，是代数式的一种，由常数、变量及其指数、系数分别相乘而得到的一种代数式。

整式在解题中应用广泛，所以了解整式的基础知识是非常必要的。

一、整式的定义整式是由若干个单项式通过加减运算连接而成的形式化代数式。

其中，每个单项式都由一个常数乘以一个或多个变量的正整数次幂，再加上一个系数构成。

整式的一般形式为：$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$，其中，$a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0$为常数，$x$为变量。

在整式中，$a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0$称为系数，$x$的正整数次幂称为初等整式，组成式子的每一个初等整式的积称为单项式。

二、整式的分类根据单项式的个数，整式可以分为单项式、二项式、三项式和多项式。

其中，单项式是由一个变量的若干次幂及其系数组成的代数式，二项式是由两个单项式通过加减运算连接而成的式子，三项式是由三个单项式通过加减运算连接而成的式子，多项式是由多个单项式通过加减运算连接而成的式子。

三、整式的加减法整式的加减法是指将两个或多个整式通过加减运算相加或相减而得到一个新的整式的过程。

加减法的要点是首先对整式中的同类项进行合并，然后再按照系数的正负情况进行加减运算。

例如，对于多项式$3x^3+2x^2-5x+7$和$5x^2-2x+1$，将它们进行加法运算，应先按照同类项合并，即$3x^3+(2+5)x^2+(-5-2)x+7+1$，然后再按照系数的正负情况进行合并运算，即$3x^3+7x^2-7x+8$。

四、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式通过乘法运算相乘而得到一个新的整式的过程。

乘法的要点是将每个单项式的系数分别相乘，并将相同次数的变量的指数相加，再将相同次数的单项式相加得到一个新的整式。

例如，对于多项式$x+2$和$2x-1$，将它们进行乘法运算，应按照乘法分配律展开，即$(x+2)(2x-1)=x\times2x+x\times(-1)+2\times2x+2\times(-1)$，然后将同类项合并，得到$2x^2+x-2$。

可编辑修改精选全文完整版整式一．知识框架二.知识概念1．单项式：数字或字母的乘积叫单项式.2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的系数；单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3．多项式：几个单项式的和叫多项式.4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。

5.常数项：不含字母的项叫做常数项。

6.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类型。

7.合并同类项（1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

（2）法则：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变（一变、两不变；一变是指同类项的系数变；两不变是指相同字母和相同字母的指数不变。

）（3）步骤：•找：准确的找出同类项‚搬：把同类项搬到一起（逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变）ƒ合：合并它们的系数口诀：同类项，需判断，两相同，是条件。

合并时，需计算，系数加，两不变。

注意：•系数相加时，一定要带上各项前面的符号。

‚合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项。

ƒ只有是同类项才能合并；合并同类项的结果可能是单项式也可能是多项式。

顺口溜：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。

8.整式的加减（1）整式：单项式和多项式统称为整式。

（2）去括号:如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；‚如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；（3）一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

注：(补充）升幂排列：把一个多项式按某个字母的指数按从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

降幂排列：把一个多项式按某个字母的指数按从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

整式的乘法与因式分解第一节：整式的乘法1．同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a与任意正整数m，有(m、n 都是正整数)。

整式的概念【学习目标】1．掌握单项式系数及次数的概念；2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．【要点梳理】要点一、单项式1.单项式的概念：如22xy ，13mn ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：2st 可以写成12st 。

但若分母中含有字母，如5m就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2114x y 写成254x y ． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．要点二、多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2627x x --是一个三项式．3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．要点三、 整式单项式与多项式统称为整式．要点诠释：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．【典型例题】类型一、整式概念辨析1．指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 22x y +，x -，3a b +，10，61xy +，1x ，217m n ，225x x --，22x x+，7a 【答案与解析】单项式有：x -，10，217m n ，7a ； 多项式有：22x y +，3a b +，61xy +，225x x --； 整式有：22x y +，x -，3a b +，10，61xy +，217m n ，225x x --，7a ． 【总结升华】22x x +不是整式，因为分母中含有字母； 212a a ++也不是多项式，因为1a 不是单项式． 举一反三： 【变式】下列代数式：322332111;;;;2;-232a x y ab x x y x y y x+--++π①②③④⑤⑥，其中是单项式的是_______________，是多项式的是_______________.【答案】①②③，④⑥类型二、单项式2．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．234a b -，a -，442x ，a mn ，223a y π，a -3，5-3，82-310tm ⨯，2x y 【答案与解析】234a b -，a -，442x ，223a y π，5-3，82-310tm ⨯，2x y 是单项式，其中 234a b -的系数是34-，次数是3；a -的系数是-1，次数是1；442x 的系数是42，次数是4； 223a y π的系数是3π，次数是4；53-为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0； 82-310tm ⨯的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3；2x y 只含有字母因数，系数是l ，次数为字母指数之和为3．【总结升华】（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如442x 中，42的指数4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）π是常数，不能看作字母． 举一反三：【变式1】单项式3x 2y 3的系数是 ．【答案】3．【变式2】下列结论正确的是( )．A ．没有加减运算的代数式叫做单项式．B ．单项式237xy 的系数是3，次数是2． C ．单项式m 既没有系数，也没有次数．D ．单项式2xy z -的系数是-1，次数是4．【答案】D 类型三、多项式3.多项式24242153x y x y x -+-+，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是什么？常数项是什么？这是几次几项式? 【答案与解析】这个多项式中共有四项，分别为：24242,,,153x y x y x --，它们的次数分别为：3,6,1,0； 其中4223x y 的次数是6，是最高次项，一次项x -的系数是-1，常数项是1，它是六次四项式． 【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：（1）先求多项式中每一项的次数；（2）取这些次数中的最大的数即为多项式的次数．4. 已知多项式32312246753m x xy x y y x y ---+--． (1)求多项式各项的系数和次数．(2)如果多项式是七次五项式，求m 的值．【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项26xy -的系数是-6，次数是3；第二项3127m x y --的系数是-7，次数是3m+1；第三项343x y 的系数是43，次数是4；第四项2x y -系数是-l ，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．(2)由多项式是七次五项式，可得3127m xy --的次数是7，即3m -1+2＝7，解得m ＝2． 【总结升华】对于单项式3127m x y --的次数为3m+1的认识会不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．举一反三：【变式】多项式()34ba x x xb --+-是关于x 的二次三项式，求a 与b 的差的相反数． 【答案】类型四、整式的应用5. 用整式填空：(1)某商场将一种商品A 按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A 的标价为a 元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．(2)甲商品的进价为1400元，若标价为a 元，按标价的9折出售；乙商品的进价是400元，若标价为b 元，按标价的8折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：________ 乙：________．【答案】(1)90%10%1a +；(2)甲商品的利润率为90%14001400a -×100%， 乙商品的利润率为： 80%400400b -×100%． 【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几．【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润＝售价－进价; (2)利润率＝-售价进价进价． 举一反三：【变式】（2014秋?栖霞市期末）对下列代数式作出解释，其中不正确的是（ ）A. a ﹣b ：今年小明b 岁，小明的爸爸a 岁，小明比他爸爸小（a ﹣b ）岁B. a ﹣b ：今年小明b 岁，小明的爸爸a 岁，则小明出生时，他爸爸为（a ﹣b ）岁C. ab ：长方形的长为acm ，宽为bcm ，长方形的面积为abcm2 D. ab ：三角形的一边长为acm ，这边上的高为bcm ，此三角形的面积为abcm2 【答案】D.6. （2015?重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）A. 21B. 24C.27D. 30【答案】B【解析】观察图形得：第1个图形有3+3×1=6个圆圈，第2个图形有3+3×2=9个圆圈，第3个图形有3+3×3=12个圆圈，…第n个图形有3+3n=3（n+1）个圆圈，当n=7时，3×（7+1）=24，故选B．【总结升华】找规律问题一般应经历四个阶级“特例引路”、“对比分析”、“总结规律”、“反思检验”等．。