中学几何研究

中学几何专题研究报告范文一、引言几何是数学的一个重要分支，它研究空间和图形的形状、大小、位置关系以及变化规律。

在中学数学教学中，几何是一个重要的专题，并且占据着很大的比重。

本报告旨在对中学几何专题进行研究，探讨其中的重要概念、性质和解题方法。

二、基本概念和性质1. 点、线、面的概念几何中的基本单位是点、线和面。

点是没有大小、形状和位置的，线是由无数个点组成的，面是由无数个线组成的。

点、线、面是几何中最基本的概念，是其他几何概念的基础。

2. 直线和曲线的性质直线是最简单的曲线，没有弯曲和拐点。

曲线则是有弯曲和拐点的，可以分为封闭曲线和非封闭曲线。

直线和曲线是几何中常见的图形，它们有着各自的性质和特点。

3. 角的概念和性质角是由两条射线共同确定的，包含一个公共端点的图形。

角可以分为锐角、直角、钝角和平角。

在几何中，角的概念和性质是解题的关键。

三、解题方法1. 利用图形的对称性对称性在几何中是一个非常重要的概念。

当遇到有对称性的图形时，可以利用对称性来解题。

例如，当一个图形具有对称轴时，可以通过观察对称部分的性质来得到答案。

2. 利用相似三角形的性质相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。

在解决一些几何问题时，可以利用相似三角形的性质，通过已知条件得到未知量。

3. 利用三角形的面积关系三角形的面积关系是几何中的一个重要性质。

例如，两个三角形的底边相等，高相等时，它们的面积也相等。

在解决一些三角形面积相关的问题时，可以利用面积关系来简化问题。

四、结论中学几何专题是中学数学教学中的重要内容，通过对基本概念和性质的研究，我们可以更好地理解几何的本质。

同时，通过掌握解题方法，我们可以更加灵活地运用几何知识解决实际问题。

在今后的学习中，我们应该注重理论与实践相结合，不断提高几何解题的能力。

通过不断学习和研究，我们可以更好地掌握几何专题，提高数学水平。

研究初中数学“几何概念”教学方式之研究袁兴冰摘要：几何作为初中数学的重要组成部分，是初中二年级的学生需要面对的全新课程，学好几何关乎到初中数学的整体成绩。

然而几何是一种抽象的平面图形的知识合集，需要学生通过发散思维、空间想象、借助辅助线等来解题，这对于刚接触的初中生而言学习起来有一定的难度，空间思维一时不好建立起来。

对此，为帮助学生学好几何，注重几何概念的教学方式应运而生，这对于帮助学生学好几何具有重要的意义。

关键词：初中数学；几何概念；教学方式几何知识是初中数学的重点和难点，也是教师们颇感棘手的教学课程。

初二学生学好几何知识，打好良好基础，这对于今后更高难度的几何知识的学习非常重要。

概念是所学几何公式和定理的源头，进而推导出来的，因此学好几何知识要把掌握好几何概念作为突破口。

教师们要多方研究探索几何概念的教学方式，正确运用帮助学生理解和领会几何概念，掌握正确的学习的方法、打好基础，培养学生的学习兴趣，坚定学习好几何的信心，不断提高教学水平和效率。

一、准确利用生活中的实物理解几何概念一切知识特别是几何这门专门研究点、面、线、图形的形状、位置的学科都是在生活中观察发现总结出来的。

几何概念与日常生活息息相关，有着千丝万缕的关系。

可以说只要在生活中注意观察，就能发现几何知识上所涉及到大多数概念。

比如，在讲解平行四边形时，就可以在讲解过平行四边形的定义（在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）后，画出图形，讲清楚四边形的特性，教师们可以引导同学们结合生活实际，列举与生活密切相关的平行四边形。

家中安装的伸缩晾衣架、消防员专用的消防云梯、方便使用的折叠椅等。

这样通过准确利用生活中的实物帮助学生理解平行四边形的概念，学生就能很好地理解和掌握。

同时，向学生讲解清楚几何知识源于生活，但又高于生活，能对生活中的实物进行升华和拔高，将具体事务抽象化后能帮助我们去推理更高级的知识点。

几何概念和生活概念的不同就在于此，我们能从生活中发现规律，对这些有直观认识，但是几何概念是思维的抽象化、不再具体。

几何解题研究的方法与思考——以一道中考试题为例胡坚波收稿日期：2020-09-23作者简介：胡坚波（1981—），男，中学一级教师，主要从事初中数学课堂教学研究.摘要：解题教学是必不可少的一种课堂教学形式，教师解题研究的能力直接影响到学生对问题理解的深度.教师只有掌握了解题研究的一般方法，才能在课堂中引导学生抓住问题的本质，从而优化解法，并进一步带领学生发现问题、提出问题、解决问题，进而得到一般性的结论，最终提高学生的解题能力、培养学生的数学学科核心素养.文章以2020年中考浙江杭州卷第14题的研究为例，谈谈几何解题研究的一般方法．关键词：中考试题；解题研究；一般方法中考试题的命制往往有其意义，一道看似不起眼的试题，其中很可能蕴含着丰富的内容.如果继续探究下去，或许就能发现试题背后隐藏的深意，从而体现解题的育人价值.本文以2020年中考浙江杭州卷第14题为例，谈谈应该怎样进行几何解题的研究.题目（2020年浙江·杭州卷）如图1，已知AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，连接AC ，OC.若sin ∠BAC =13，则tan ∠BOC 的值为.COAB图1作为填空题的第4道题，试题本身不难，主要考查了三角函数的相关知识.不妨设BC =1，则AC =3.解得AB =22，OB =2.则tan ∠BOC作为填空题，此题的求解到这里就结束了，但是作为解题研究，现在才刚刚开始.一、获得研究对象研究图形要抓住图形的本质，为了更容易抓住本质，几何研究要做减法，即去掉非关键因素.此题中，可以隐去圆，那么题目条件等价于“如图2，∠ABM =90°，点C 在射线BM 上，O 是AB 的中点”.观察图形的结构，不难发现，若点C 的位置确定了，则整个图形的形状就随之确定，即∠BOC ，∠BAC ，∠ACO ，∠BCO 的度数也随之确定.原试题就是在确定的条件下进行的定量研究，而研究图形变化过程中的规律性也是几何研究的常见问题.在图2中，当点C 的位置变化时，∠BOC ，∠BAC ，∠ACO ，∠BCO 的大小也随之改变.当点C 从点B 向射线BM 的方向移动时，容易发现∠BOC 和∠BAC 的度数变大，∠OCB 的度数变小，但无法很快确定∠ACO 的变化情况.接下来，我们进一步探究∠ACO 的变化情况.CO ABM 图2··56二、借助技术获得初步猜想几何问题的研究一般要经历画图、测量、计算、猜想、证明的过程.几何画板软件为我们画图、测量、计算提供了很好的辅助.利用几何画板软件对复杂的问题进行初步研究、获得猜想，是常见的研究起点.利用几何画板软件，发现当点C 从点B 向射线BM 的方向移动时，∠ACO 的度数先变大后变小，且∠ACO 取到的最大值约为19.47°（如图3）.进一步计算，发现此时sin ∠ACO ≈0.33.∠OCA =19.47°∠CAO =35.58°sin∠OCA =0.33M ABCO图3猜想：如图3，当∠ABM =90°，点O 是AB 的中点时，射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，此时sin ∠ACO ＝13.三、从“数”的角度验证猜想通过利用几何画板软件进行探究，发现点C 的位置决定了∠ACO 的大小，而点C 的位置可以用BC 的长度来刻画，所以继续探究的思路是用BC 的长度表示sin ∠ACO.为了研究方便，不妨设AB =2，BC =x ，根据勾股定理，得OC 2=1+x 2，AC 2=4+x 2.因为S △ACO =12AC ·OC ·sin ∠ACO =12AO ·BC ，所以sin ∠ACO =x x 4+5x 2+4=14因为x 2＋4x 2≥4，所以当x 2=4x 2，即x =2时，x 2＋4x 2的最小值为4.所以得到sin ∠ACO ≤13，即当BC =2时，sin ∠ACO 取最大值13，猜想得证.四、从“形”的角度验证猜想前面我们从“数”的角度验证了猜想，接下来我们从“形”的角度来思考.抓住变化过程中不变的关系是研究几何问题的常用方法.进一步观察图形，我们发现当点C 的位置发生改变时，∠ACO 所对的边AO 的长度始终没有发生变化.即角度在变，角度所对的边不变.这让我们联想到了圆中同弦所对的角.构造过A ，C ，O 三点的⊙D.如图4，若⊙D 与射线BM 相交，设另一个交点为点E.在线段CE 上任意取一点F （除点C ，E 外），连接AF ，OF ，根据圆内角大于同弧所对的圆周角，可得∠AFO ＞∠ACO.故可知此时∠ACO 的度数并没有取得最大值.图4图5如图5，若⊙D 与射线BM 相切于点C ，在射线BM 上任意取一点G （除点C 外），连接AG ，OG ，根据圆外角小于同弧所对的圆周角，可得∠AGO ＜∠ACO.故此时∠ACO 取到最大值，于是得到第一个有价值的结论.结论1：∠ACO 取到最大值的充要条件是过A ，C ，O 三点的⊙D 与射线BM 相切.接下来，求此时∠ACO 的正弦值及BC 的长.可以沿用前面的解题思路，分别求出线段AO ，OC ，AC ，BC 的长度，再利用△ACO 的面积求解.解法1：如图6，连接DC ，AD ，作DH ⊥AO.H O ABCDM图6不妨设AO =BO =1，则AH =OH =12，BH =32.因为⊙D 与射线BM 相切于点C ，所以DC ⊥BC.因为∠B =90°.··57所以四边形BCDH为矩形.所以AD=DC=BH=32.在Rt△ADH中，由勾股定理，得DH=2.所以BC=DH=2.由勾股定理，得OC=3，AC=6.由S△ACO=12AC·OC·sin∠ACO=12AO·BC，代入解得sin∠ACO=13.显然，求解过程还是有些复杂，不妨进一步思考，此图形还有什么特殊性可以应用？从圆的视角看，⊙D与射线BM相切，∠ACO为圆周角，解法豁然开朗.解法2：利用圆周角定理，可以转化到圆心角进行求解，可得∠ADH=∠ACO.所以sin∠ACO=sin∠ADH=AHAD=13.利用圆幂定理，可得BC2=BO·BA.解得BC=2.解法2抓住了问题的本质，解法也更优化、更简洁.“数”和“形”两种思考方法都能验证猜想，可见这也是我们解决几何问题的一般思路.对比两种思路，从“数”的角度思考，往往需要设未知变量，再利用勾股定理、相似、面积关系、三角函数等，列出未知变量与所求量之间的关系，然后用代数的方法求解；从“形”的角度思考，往往需要根据图形的结构，抓住图形中不变的关系，构建出几何模型，再根据图形性质求解.用“数”的方法容易想到，但计算较复杂；用“形”的方法比较直观，计算也相对简单，但是要弄清楚几何模型结构有一定的难度，需要的知识综合度高，也需要一定的逻辑推理.数形结合的思想方法在教学中有其育人价值，在解题教学中我们应让学生经历基本的活动经验，这样才能培养学生必需的基本数学思想.五、追本溯源其实，本问题在数学史中已经存在，称为“米勒问题”.德国数学家米勒于1471年提出“塑像问题”：有一个高a米的塑像立在一个高b米的底座上，一个人朝它走去（人的高度忽略不计），问此人应站在离塑像底座多远的地方，才能使塑像看上去最大（即视角最大）？根据题意画出图形，如图7，AO为雕像，BO为底座，点C表示人，求∠ACO最大时，BC的长.ABO图7这与我们研究的问题非常相似，只是点O的位置不再是中点，这为我们进一步研究问题提供了思路，即可以改变图形的条件，使之更具一般性，进而获得一般性的结论，这是我们进一步研究几何问题的方向.六、改变条件进一步探究1.改变点O的位置受“米勒问题”的启发，我们可以改变点O的位置，使之一般化，为了研究的连贯性，不妨设AB=2，AO=n（0＜n＜2），这样点O在线段AB上就具有一般性了，本质上与“米勒问题”是等价的.因为结论1与点O在线段AB上的位置无关，所以结论1仍成立.如图8，当⊙D与射线BM相切于点C时，∠ACO取得最大值.此时，易得AH=n2，DC=BH=2－n2.所以AD=DC= 2－n2，sin∠ACO=sin∠ADH=AH AD=n4-n.根据圆幂定理，得BC=BO·BA=4-2n.显然当n=1，即点O是AB的中点时，sin∠ACO的最大值为13，此时BC=2.但是这只是其中的一种特殊情况，于是得到第二个有价值的结论.HOA BCDM图8··58结论2：如图8，设∠ABM =90°，AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则在射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时sin∠ACO =n 4-n，BC =4-2n.2.改变∠ABM 的大小此题条件里动点C 所在的射线BM 与AB 垂直，显然条件中的位置比较特殊.若从这个角度改变条件，当射线BM 与AB 不垂直，即∠ABM ≠90°时，相当于“米勒问题”中的雕像及底座与地面不垂直时，那么结论2是否仍成立？因为∠ABM ≠90°，所以四边形DCBH 不再是矩形，即DC ≠BH.求半径的解法相应会有所改变，猜想sin ∠ACO 的值与∠ABM 的度数有关.因为结论1与∠ABM 的大小无关，所以结论1仍然成立.∠ACO 取到最大值时，过A ，C ，O 三点的⊙D 与射线BM 相切，故圆幂定理仍然适用，所以BC =BO ·BA =4-2n.所以可得第三个有意义的结论.结论3：设∠ABM =α（0°＜α＜180°），AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin ∠ACO 的值与∠ABM 的度数无关.接下来，求sin ∠ACO.因为∠ABM 有锐角和钝角两种情况，所以要分两种情形分类进行研究.情形1：如图9，当0°＜α＜90°时，⊙D 与射线BM相切于点C.根据前面的猜想sin ∠ACO 会与α有关，为了将α用上，所以考虑作垂线构造直角三角形.作DH ⊥AO 于点H ，BE ⊥AB 交DC 的延长线于点E ，作DF ⊥BE 于点F.M O AB CD EF GH图9易证∠CBE =∠EDF =90°-α，DF =BH =2-n 2.所以DE =DF cos ()90°－α=4-n 2sin α，CE =BC ·tan ()90°－α=4-2n ·tan ()90°－α，AD =DC =DE -CE =4-n 2sin α-4-2n ·tan ()90°－αsin∠ACO =sin∠ADH =AH AD =n sin α4-n -24-2n cos α.情形2：如图10，当90°＜α＜180°时，⊙D 与射线BM 相切于点C.同样作DH ⊥AO 于点H ，作BE ⊥AB 交DC 于点E ，作DF ⊥BE 交BE 的延长线于点F.H A B CDOEF M图10易证∠CBE =∠EDF =α-90°，DF =BH =2-n 2.所以DE =DF cos ()α－90°=4-n 2sin α，CE =BC ·tan ()α-90°=4-2n ·tan ()α-90°，AD =DC =DE +CE =4-n 2sin α＋4-2n ·tan()α-90°sin∠ACO =sin∠ADH =AH AD 发现两种情形最后结果的表达式是一致的，而把α=90°代入，得sin∠ACO =n 4-n.与之前的计算结果一致，可见角度在变，结果的表达式不变，得到了变化过程中不变关系的本质，于是得到了问题的一般性结论.结论4：设∠ABM =α（0°<α<180°），AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin∠ACO =3.当射线BM 改为直线BM 时，相当于“米勒问题”中人可以站到雕像的背面进行观察.如图11，当点C 在直线BM 上移动时，由前面的研究可知，当点C 在射线BM 1和BM 2上时，分别有一个点C 1和点C 2，使得∠AC 1O 和∠AC 2O 在各自的射线上取到最大值，那么∠AC 1O 和∠AC 2O 哪个更大一些呢？显然，当BM ⊥AB 时，BC 1=··59BC 2，由对称性可知∠AC 1O =∠AC 2O.当BM 与AB 不垂直时，不妨设∠ABC 1=α（0°<α<90°），则∠ABC 2=180°-α.根据结论4，可以得到sin ∠AC 1O =sin ∠AC 2O =因为0<cos α<1，所以sin ∠AC 1O ＞sin ∠AC 2O.所以∠AC 1O ＞∠AC 2O.得到结论5.M 2OAB MC 1C 2M 1图11结论5：如图11，当点C 在直线BM 上时，设AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），如果直线BM 与线段AB 所成的较小的夹角为∠ABM 1（0°＜∠ABM 1≤90°），则点C 一定在射线BM 1上，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin∠ACO =七、解后思考回顾整个研究过程，通过图形的变化将一个确定的图形变为不确定的图形，从而获得研究对象.而对于变化中规律的研究，入手比较难，这时信息技术为化解难点提供了帮助.借助几何画板软件，不仅能方便地展示图形变化的过程，而且可以通过教师有意识地控制帮助学生观察影响变化的要素及其关系，从而获得初步的猜想.接着，从“数”和“形”两个角度验证了该猜想，进一步体会到几何问题在“数”和“形”上的统一，体会到数形结合思想在解题中的重要作用.在引出“米勒问题”后，通过进一步改变条件——点的位置变化、角度的大小变化、射线变为直线等，发现了在条件变化过程中不变的结论.通过这样的解题教学研究可以让学生进一步体会到研究几何问题的一般方法——从简单到复杂，从特殊到一般.整个研究过程，具备学习素材的真实性，问题的开放性，学习过程的探索性，学习手段的操作性，探索过程的动态化、可视化，学习体验的形象化、可表达，学习结果的创造性.这些都有利于在今后的学习中，提高学生发现问题和解决问题的能力，进而实现几何解题教学的育人价值.参考文献：［1］王红权.“高考真题分析”习题课的教学实践与思考［J ］.中小学数学（高中版），2015（4）：20-23.［2］章建跃.研究三角形的数学思维方式［J ］.数学通报，2019，58（4）：1-10.··60。

掌握中学数学几何学的七个关键知识点数学几何学是中学数学中的重要分支，它研究的是空间中的形状、结构以及它们之间的关系。

掌握中学数学几何学的七个关键知识点，对于深入理解数学几何学的基本概念和问题解决方法至关重要。

在本文中，我们将介绍这七个关键知识点，并提供相应的例子和解释。

知识点一：平面几何基础在数学几何学中，平面是指无限延伸的二维空间。

了解平面的基本性质，如平面的定义、平面上的点、直线、线段等概念，是学好数学几何学的重要基础。

例如，在解决平面几何问题时，我们可以利用定义和性质来证明结论，例如两点确定一条直线等。

知识点二：几何图形的性质几何图形是指由点、直线等几何元素组成的几何形状。

了解不同几何图形的定义、性质和特点，能够帮助我们在解决几何问题时进行分类和分析。

例如，在分类讨论三角形时，我们可以根据边长和角度的关系将三角形分类为等腰三角形、等边三角形等，从而更好地理解和解决问题。

知识点三：三角形的性质和定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。

了解三角形的性质以及定理，能够帮助我们研究三角形的各种特性和关系。

例如，掌握三角形的角度和边长关系定理，我们可以更好地解决有关三角形的角度、边长和面积等问题。

知识点四：圆的性质和定理圆是一个具有特殊性质的几何图形，它由一条封闭的曲线和圆心组成。

了解圆的性质和定理，能够帮助我们理解和解决有关圆的问题。

例如，在解决圆的相交问题时，我们可以利用圆的性质来确定相交部分的特点和关系，从而得出准确的结论。

知识点五：平行和垂直平行和垂直是几何学中常见的重要关系。

了解平行和垂直的定义和性质，能够帮助我们判断和证明线段、直线和平面之间的关系。

例如，在证明两条直线平行时，我们可以利用平行线的定义和必要条件来进行推理和论证，从而得出结论。

知识点六：相似和全等相似和全等是几何学中用于描述和比较图形的重要概念。

了解相似和全等的定义和判定条件，能够帮助我们判断和证明图形之间的关系。

课题申报范例精选【导语】课题要坚持正确的政治方向，充分体现中央有关精神和要求，具有鲜明的问题导向和创新价值。

应用对策类选题要有现实性、针对性和前瞻性；基础理论类选题要立足学术前沿，具有原创性和开拓性；跨学科类选题要体现学科交叉渗透的属性和特点。

选题文字表述科学、严谨、规范。

以下是课题优秀成果，是各类教师进行课题申报、开展课题研究、撰写研究报告的参考模板和范例。

“几何模型”提升学生的空间想象能力的探究课题名称：“几何模型”提升学生的空间想象能力的探究关键词：培养，空间想象能力，几何模型申报级别：全国教育信息技术研究课题课题类别：青年课题学科分类：数学研究类型：数学预期研究成果：立项号：课题设计论证1．课题研究背景（为什么研究这个课题）在高三总复习的教学中学生在解决几何体的外接球的习题中，总是感到无法想象出几何体的形状及相对关系，更谈不上正确地解出该类问题。

然而，在近几年的高考中这类问题变着不同的形式和方法出现，在知识交汇处设置问题，俨然成为高考的热点问题。

针对这一矛盾，我在教学过程中也不断思考，对于该内容应如何教学？既要达到效果又要减轻学生的学习负担，更能从中培养学生的空间想象能力？因此提出本课题的研究是有必要的。

2. 研究的目的、意义、价值：马克思主义哲学说：事物是客观的，其运动都是遵循其自身的客观规律存在的。

对于我们的教学来说也是一样的。

新课程理念下的数学教学目的之一是培养学生的思维品质，提高学生的思维能力，使学生在学习数学基础知识的同时，不断发现数学的思维过程，学会思维方法，学会独立探索，并有所发现，有所创新，从而更好地掌握和应用知识。

在能力方面，空间想象能力是作为高中阶段学生应用具备的基本能力。

数学的空间想象能力一般是从“识图”开始的，如何通过模型让学生真正地识图，进而能够灵活的解决问题？在这样的思考和背景下，本课题的研究是有意义的。

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。

中学数学解析几何的基础知识解析几何是高中数学中的一门重要学科，它是代数和几何的结合，通过运用坐标系和代数方法来研究几何问题。

本文将介绍中学数学解析几何的基础知识，包括直线、圆、抛物线和椭圆等几何图形的解析表示方法以及相关性质。

一、直线的解析表示方法在直角坐标系中，直线可以通过一元一次方程来表示。

对于方程y=kx+b，其中k为斜率，b为截距，斜率表示直线的倾斜程度，截距表示直线与y轴的交点。

通过斜率和截距的确定，可以唯一确定一条直线。

二、圆的解析表示方法圆是一个平面上到定点距离相等的点的集合。

在直角坐标系中，圆可以通过二元二次方程来表示。

对于方程(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径，可以唯一确定一个圆。

三、抛物线的解析表示方法抛物线是一个平面上到定点距离与定直线的距离相等的点的集合。

在直角坐标系中，抛物线可以通过一元二次方程来表示。

对于方程y=ax²+bx+c，其中a≠0，可以确定一个抛物线。

其中，系数a决定了抛物线的开口方向，系数b决定了抛物线在x轴方向上的平移，系数c决定了抛物线在y轴方向上的平移。

四、椭圆的解析表示方法椭圆是一个平面上到两个定点的距离之和为常数的点的集合。

在直角坐标系中，椭圆可以通过二元二次方程来表示。

对于方程[(x-a)²/b²]+[(y-c)²/d²]=1，其中(a,c)为椭圆的中心坐标，b、d分别为椭圆在x 轴和y轴方向上的半长轴，可以唯一确定一个椭圆。

椭圆的形状由半长轴决定，半长轴越大，椭圆越扁。

综上所述，直线、圆、抛物线和椭圆都可以通过解析几何的方法进行描述和研究。

对于每一种几何图形，我们可以通过确定相应的方程参数来唯一确定它们。

解析几何的基础知识对于理解和解决各种几何问题具有重要意义，为进一步学习数学打下了坚实的基础。

以上就是中学数学解析几何的基础知识，通过了解直线、圆、抛物线和椭圆的解析表示方法，我们可以更好地理解几何图形的性质和特点，为数学学习的深入发展奠定基础。

几何教学在中学数学教学中的现状及对策一、几何教学在中学数学教学中的现状（一）三个时期中学开设几何课程的时段。

1992年以前，初一数学课仅安排代数，从初二开始才安排几何课，初二、初三直到高中，代数与几何同时开设，齐头并进。

1992年国家教委正式颁布实施九年义务教育教学大纲以后，几何课的开设时间提前了，从初一下学期开始安排几何，直到高中，代数与几何同时开设，齐头并进。

几何课的课时比例略低于代数：在整个初中数学课程中约占45%。

2001年教育部制定的新的《数学课程标准》中，对于几何内容的安排体现了三个特点：一是几何课的开设时间提前了。

二是几何课的课时压缩了。

三是几何课以“空间与图形”的名目出现，一开始就兼有平面和立体的内容，而且重实践，轻体系。

（二）滑坡的现实。

几何是整个中学数学教学内容的重要部分。

几何课在整个初中课程中是难点，是瓶颈。

初中数学教学中普遍存在的现象是，从初一下学期开设几何课开始，数学成绩就明显出现分化。

数学成绩好的学生必定几何成绩好，而相当大一部分学生几何成绩开始下滑。

中学生几何学习困难主要反映在以下几个方面：(1)几何证明中严格的逻辑要求使学生普遍认为几何太抽象、太难学。

(2)语言表述关。

过分专业而严密的叙述要求使不少初学几何的学生无法逾越语言表述的障碍。

本来会表达的意思都被几何语言搞糊涂了。

(3)害怕几何证明题。

对证明无从下手，不知道要做什么事，不知道做到哪一步就算证出来了。

(4)基本的逻辑常识欠缺。

对逆命题、反证法等理解不了。

二、原因分析（一）现行教材体系的原因现行中学数学教材中的几何素材以其严谨、抽象、枯燥的呈现方式相对单一。

几何内容的过分抽象，过分强调演绎推理，几何教材的过分“数学化”，使学生缺少将所学知识与现实生活紧密联系的机会，使学生的空间观念、空间想象能力的形成和培养受到相当大的限制。

特别是教材中造成更多的人害怕几何，厌恶几何，甚至远离几何，对几何乃至整个数学丧失信心和继续学习的兴趣。

习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。

已知：如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB=AD+BC,E 是DC 中点求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。

证明（同一法）：设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。

∵A D ∥BC∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B =90°作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′,则 FE ′=21AB=AF=BF∴∠2=∠A E ′F , ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥A D ∥BC连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥A D ∥BC ∴E ′F 与 E F 共线 ∵FE ′=21AB=21(AD+BC), FE =21(AD+BC)∴E ′F = E F ∴E ′与 E 重合。

证 毕 。

习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。

知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。

解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ， 则BF 是△DAC 的中位线。

∴BF 21AC∴∠FBC=∠ACB又∠ACB=∠ABC ，AB=AC∴∠FBC=∠ABC ，BF=21AB=BE∴△EBC ≌△FBC （SAS ）∴CE=CF=21CD=21×10=5cm即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。

习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。

已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。

D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作D F ⊥ AC 延长线于F 。

求证：D E －DF 为常量。

21证明：作△ABC 的边AB 上的高CH ，再作CG ⊥DE 于G ，则四边形CHEG 为矩形。

2x + x + =0F a 2 b 2 a 2 b 2 Cy + E Cy + E解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究王文彬极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现 .现将 具体研究结果报告如下：§1.极点与极线的定义A1.1 几何定义如图， P 是不在圆锥曲线上的点，过 P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E, F , G , H ，连接 EH , FGFNEP交于 N ，连接 EG, FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线.若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线.由图 1 可知，同理 PM 为点 N 对应的极线， PN 为点H BG M 所对应的极线. MNP 称为自极三点形.若连接 MN 交圆锥曲线于 M点 A, B ，则 P A, PB 恰为圆锥曲线的两条切线.事实上，图 1 也给出了两切线交点 P 对应的极线的一种作法.图 11.2 代数定义已 知 圆 锥 曲 线 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ， 则 称 点 P( x , y ) 和 直 线0 0l : A x +C y + y (D x ) + (E y) +y 是圆锥曲线 Γ 的一对极点和极线.0 0 0 0x + x事实上，在圆锥曲线方程中，以 x x 替换 x 2 ，以 0 替换 x (另一变量 y 也是如此)0 即可得到点 P( x , y ) 极线方程.特别地：(1)对于椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2 xx y y= 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 + 0 = 1；0 0(2)对于双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2 xx y y = 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 - 0 = 1；0 0(3)对于抛物线 y 2 = 2 px ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 y y = p ( x + x) . 0 0§2.极点与极线的基本结论定理 1 (1)当 P 在圆锥曲线 Γ 上时，则极线 l 是曲线 Γ 在 P 点处的切线；(2)当 P 在 Γ 外时，则极线 l 是曲线 Γ 从点 P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；(3) 当 P 在 Γ 内时，则极线 l 是曲线 Γ 过点 P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.证明：假设同以上代数定义，对 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 的方程，两边求 Ax + D 导得 2 A x + 2Cyy ' + 2D + 2Ey ' = 0 ，解得 y ' = -，于是曲线 Γ 在 P 点处的切线斜率Cy + EAx + D Ax + D为 k =- ， 故 切 线 l 的 方 程 为 y - y =-0 0 0 0( x - x ) ， 化 简 得 0 Ax x + Cy y - Ax 2 - Cy 2 + Dx + Ey - Dx - Ey = 0 ， 又 点 P 在 曲 线 Γ 上 ， 故 有 00 0Ax 2 + Cy 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 ，从中解出 Ax 2 + Cy 2 ，然后代和可得曲线 Γ 在 P 点Mx + ) ) y y Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ， P(x 0,y 0)Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，处的切线为 l : Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 .0 0 0 0(2)设过点 P 所作的两条切线的切点分别为M ( x , y ), N ( x , y ) ，则由 (1)知，在点1 12 2M , N 处 的 切 线 方 程 分 别 为 A x + C +y (y D x + ( x + E + 和 0=F1 1 1 1Axx + Cyy + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，又点2222P 在切线上，所以有Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 和 0 10 111Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 ，0 20 222P观察这两个式子，可发现点M ( x , y ), N ( x , y ) 都在直线1122 Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 上，N图 2又 两 点 确 定 一 条 直 线 ， 故 切 点 弦 MN 所 在 的 直 线 方 程 为Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 .(3)设曲线 Γ 过 P( x , y ) 的弦的两端点分别为 S ( x , y ), T ( x , y ) ，则由(1)知，曲线在1122这 两 点 处 的 切 线 方 程 分 别 为 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 和1111Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，2 2 2 2 设两切线的交点为 Q(m , n ) ，则有T.1111Q(m,n)2222观察两式可发现S ( x , y ), T ( x , y ) 在直线1122Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 上，S图 3又两点确定一条直线，所以直线 ST 的方程为 Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 ， 又直线 ST 过点 P( x , y ) ，所以 Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，因而点0 0 0 0 0 0Q(m , n ) 在直线 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 上.0 0 0 0所以两切线的交点的轨迹方程是 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 .0 0 0 0定理 2 若圆锥曲线中有一些极线共点于点 P ，则这些极线相应的极点共线于点 P 相应的极线，反之亦然.PB点 P 的极线点 P 的极线PA图 4(1)即极点与极线具有对偶性.如图 4(1)(2)所示.图 4(2).) 22 a 2 b 2 c2y 2 y证明：由于 F ( ,0) , A( 1 , y ) ， B( 2 , y ) ，故 2 2 p 2 p 2 2 p 2 p 2 12 2 22 y y 2 - p 2 OC = y p ( , , ( )kOC = +py p py§3.极点与极线在教材中的体现极点与极线反映的是圆锥曲线的基本几何性质，所以在解析几何教材中必然有所体现 3.1 圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线 如果圆锥曲线是椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2= 1 ， 当 P( x , y ) 为 其 焦 点 F (c , 0 时， 极 线 0 0x x y y a 2 x 2 y 20 + 0 = 1 变为 x = ，恰是椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线 - a b 2 c a b 2= 1 ，当x x y y a 2P( x , y ) 为其焦点 F (c,0) 时，极线 0 - 0 = 1变为 x = ，恰是双曲线的准线；如果0 0 p圆锥曲线是抛物线 y 2 = 2 px ，当 P( x , y ) 为其焦点 F ( ,0) 时，极线 y y = p ( x + x) 变0 0 0 0 p为 x =- ，恰是抛物线的准线.23.2 许多习题都有极点与极线的背景，均可借助极点与极线方法求解【例 1】过抛物线 y 2 = 2 px 的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y , y ，求证： y y = - p 2 . 1 2 1 2三点对应的极线方程分别是p y 21 2Apy 2 y 2x =-， y y = p ( 1 + x) 和 y y = p ( 2 + x) ，12CO FBx由于 A, F , B 三点共线，根据定理 2 可知，对应的 p三条极线共点，将 x = -代入后面两式得2 图 51p 21 p2 y y 2 - p 2y y = y 2 - ， y y = y 2 - ，两式相除得 1 = 1⇒ y y = - p 2 . 12 1 222作为课本一习题，2001 年全国高考试卷 19 题以此为背景命制.利用本例结论可迅速证明这一高考题. 设抛物线 y 2 = 2 px 的焦点为 F ，过焦点 F 的直线交抛物线于两点 A, B ，点 C在抛物线的准线上，且 BC 平行于 x 轴，证明直线 AC 必过原点.简证：如图 5，设 Ax y )Bx, y)1 122p，则 C (- , y 22 ，从而 k O A = y 1 = x 12 py ，1 -22=-点.3.3 教材中涉及到直线与圆锥曲线位置关系的判定问题，均可化为极点与圆锥曲线的位置关系问题来解决【例 2】(1)已知抛物线的方程为 y 2 = 4 x ，直线 l 过定点 P(-2,1) ，斜率为 k ，问 k 为何值时，直线 l 与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？(2)已知双曲线 x 2 -是线段 AB 的中点？y 2 2= 1 ，过点 P(1,1)能否作直线 l ，与双曲线交于 A, B 两点，且 Px + 0，故 ⎨， ⎩ 2ky + y = 2 x ⎪⎪ 0k 当 k ≠ 0 时， ⎨ ， 直 线 l 与 抛 物 线 有 两 个 公 共 点 ⇔ P( x , y ) 在 抛 物 线 外2⎪ y = ⎩⎪⎪ 0 2故 ⎨ ，两式相减得 4 x - 2 y = 2 ，即 2 x - 0 = 1 ，而 2 x - = 1 ⎪(2 - x )2 - (2 - y 0 )2 = 1 2 2⎪⎩ 2. 解：(1)设点 P( x , -1), A( x , y ), B( x , y ) ，A, B, F 三点共线，故相应的三极线共点于 P( x , -1) ，代入极线方程得 ⎨ 1 0 x x = 2( y - 1) ⎩ 2 0解： (1)直线 l 的方程为 y - 1 = k ( x + 2) ，即 y = kx + 2k + 1 . 设直线 l 对应的极点为P( x , y ) ，则相应的极线应为 y y = 2( x + x ) x ，即 y = 0 0 0 0 2 y 0y ⎧1 x = +2 0 0⎪ 0 k ⇔ y 2 > 4 x ⇔ 0 0 4 1 1 1> 4( + 2) ，解得 -1 < k < 且 k ≠ 0 ；同理可求得当 k = -1 或 k = k 2 k 2 21或 k = 0 时直线与抛物线只有一个公共点；当 k < -1 或 k > 时直线与抛物线没有公共点.2(2)设 A( x , y ) ，则由 P 是线段 AB 的中点得 B(2 - x , 2 - y ) ，而 A, B 在双曲线上， 0⎧ y 2 x 2 - 0 = 1 2 y 2 y 0 0 00 是点 (2, 2) 对应的极线，但点 (2, 2) 在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与双曲线相交”矛盾，故这样的直线不存在.§4.极点与极线在各种考试中的深层体现4.1 高考试题中的极点与极线极点与极线作为具体的知识点尽管不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，当然也不属于高考考查的范围，但是极点与极线作为圆锥曲线的一种基本特征，在高考试题中必然 会有所反映.事实上，极点与极线的知识常常是解析几何高考试题的命题背景【例 3】(2006 年全国试卷 II21)已知抛物线 x 2 = 4 y 的焦点为 F ， A, B 是抛物线上的两动点，且yBAF = λ F B(λ > 0) ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为 P .F(1)证明 FP ⋅ AB 为定值；(2)设 ∆ABP 的面积为 S ，写出 S = f (λ ) 的表达式，并求 S 的最小值.AOPx0 1 12 2图 6F , A, B 三点对应的极线方程分别为y = -1 ， x x = 2( y + y) ， x x = 2( y + y) ，由于1 1220 ⎧ x x = 2( y - 1) 1 2，两式相减得 ( x - x ) x = 2( y - y ) .1212又 FP = ( x , -2), AB = ( x - x , y - y ) ，故 FP ⋅ AB = x ( x - x ) - 2( y - y ) = 0 . 021212121 (2)设 AB 的方程为 y = kx + 1 ，与抛物线的极线方程 x x = 2( y + y) 对比可知直线 AB对应的极点为 P(2k , -1) ，把 y = kx + 1 代入 x 2 = 4 y 并由弦长公式得 AB = 4(1+ k 2) ，所以2y + - 21 k 设 AB : y -2 = k ( x - ) ， 可 化 为 = x ， 故 直 线 AB 对 应 的 极 点 为2 = k k + ⎪⎪3 2⎪ k 2 - k + 4 + - 2 k 2 - + 2⎪ y = 22⎪⎩2 2 24 2 4 4FP ⋅ FA cos ∠AFP = = 24 4 = 4 4 = 1 2 4 . 1 FP ⋅ FA FPFP x 2 + ( x 2 - )24 41 1 x + xFP ⋅ FB 同理 cos ∠AFP = =S∆ABP = 1 2AB FP = 2(1+ k 2 ) 4(1+ k 2 ) .显然，当 k = 0 时， S 取最小值 4 .【例 4】(2005 江西卷 22)设抛物线 C : y = x 2 的焦点为 F ，动点 P 在直线 l : x - y - 2 = 0上运动，过 P 作抛物线的两条切线 P A, PB ，且与抛物线分别相切于 A, B 两点.(1)求 ∆APB 的重心 G 的轨迹方程； yB与 (2)证明 ∠PFA = ∠PFB .解：(1)设点 P( x , y ), A( x , y ), B( x , y ) ，0 0 1 1 2 2y + y0 = x x 对比知直线 l : x - y - 2 = 0 对应的0 A FOP lx1极点为 ( , 2) ， P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应2图 71的极线 AB 必恒过点 ( , 2) .2k22 2 2k k k( , - 2 )， 将 直 线 AB 的 方 程 代 入 抛 物 线 方 程 得 x 2 - kx + - 2 = 0 ，由此得 2 2 2x + x = k , y + y = k ( x + x - 1) + 4 = k 2 - k + 4 ， ∆APB 的重心 G 的轨迹方程为121212⎧k ⎪ x =1 ⎨，消去 k 即得 y = (4 x 2- x + 2) . k k 3 =3 3k k k(2)由(1)可设点 P( , - 2) ， A ( x , x 2 ), B( x , x 2 ) ，且 x + x = k , x x = - 2 ，所以1 12 2 1 2 1 2 1 1 1 FA = ( x , x 2 - ) ， FP = ( 1 2 , x x - ) ， FB = ( x , x 2 - ) .1 1 12 2 2 x + x 1 1 1 1 1 1 2 x + ( x x - )( x 2 - ) ( x x + )( x 2 + ) x x +1 1 21 12 1 1 FP ( x 2 + ) 1x x +1 2FP ⋅ FB FP14 .所以有 ∠PFA = ∠PFB .评析：上述解法不仅简洁易懂，而且适用范围很广，很多解析几何试题，尤其是共点共线问题，往往都能起到事半功倍的效果.这里不再一一列举.4.2 竞赛试题中的极点与极线作为更高要求的数学竞赛，有关极点与极线的试题更是频频出现，而且越来越受到重视.A B2 a b 2 2ay )2 】(评析：该题实质上就是求椭圆 + 】( 点 评析：显然该定直线为点 M ( , ) 对应的极线： + = 1 ..【例 5】(2002 澳大利亚国家数学竞赛)已知 ∆ABC 为锐角三角形，以 AB 为直径的⊙ K分别交 AC, BC 于 P , Q ，分别过 A 和 Q 作⊙ K 的两条切线交于点 R ，分别过 B 和 P 作⊙ K 的两条切线交于点 S ，证明点 C 在线段 RS 上.RR (-a,y 2)yCCPQSPS (a,y 1)QK下面将圆加强为椭圆，并给出证明.A图 8K B x证明：以 AB 为 x 轴，线段 AB 为 y 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为 x 2 y 2 + a b 2= 1 ，- x y y并设点 S (a, y ), R(-a, y ) ，则 R 点对应的极线 AQ : + 2 = 1 ，代入椭圆方程解得点1 2a( y 2 - b 2 ) 2b 2 y yQ( , 2 ) ， 直 线 B Q: = - 2 ( x - a， 同 理 我 们 可 以 得 到 直 线 y 2 + b 2 y 2 + b 2 a 2 2y y - y 2 y yAP : y = 1 ( x + a) ，将直线 BQ 的方程与 AP 的方程联立解得 C ( 2 1 a, 1 2 ) ，可验a y + y y + y1 2 1 2y - y证其坐标满足直线 RS : y - y = 12 ( x - a) 的方程，所以三点共线. 1 评析：原题用纯平面几何方法证明，难度较大【1 ，而用极点与极线方法证明不仅显得 简洁，而且此结论显然还可推广到其他圆锥曲线上.【例 6】《中等数学》2006 年第 8 期 P 42)过椭圆 x 2 y 2+ = 1 内一点 M (3,2) 作直线 AB 25 9与椭圆交于点 A, B ，作直线 C D 与椭圆交于点 C, D ，过 A, B 分别作椭圆的切线交于点 P ， 过 C, D 分别作椭圆的切线交于点 Q ，求 P , Q 连线所在的直线方程x 2 y 225 9= 1 内一点 M (3,2) 对应的极线方程，由定理 1立即可得答案为 3x 2 y+ = 1 .25 9【例 7 《中学数学》2006 年第 7 期新题征展 77)设椭圆方程为 x 2 1 1+ y 2 = 1 ， M ( , ) ，2 2 2过点 M 的动直线与椭圆相交于点 A, B ，点 A, B 处的切线相交于点 N ，求证点 N 的轨迹是一条定直线.1 1 x y2 2 4 2从例 6、例 7 可以看到，以极点与极线为背景的试题深受命题者的青睐2 mk m 评析：由定理 1 知，该定理中定点 M (m ,0) ，直线l : x = 即为一对极点与极线，从4.3 一些结论中的极点与极线圆锥曲线中有关极点与极线的性质，一直是人们探讨的热点，文【 】与文【3】所述的圆锥曲线性质都源于圆锥曲线中极点与相应的极线的性质.譬如【 定 理 】【 2 】线 段 PQ 是 过 椭 圆 x 2 y 2 + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 长 轴 上 定 点M (m ,0)( m ≠ 0, m ≠ ±a) 的弦，S , T 是长轴上的两个顶点，直线 SP , SQ 与直线 l : x = a 2 m交于 A( x , y ), B( x , y ) 两 点 ， 并 且 直 线 PQ 的 斜 率 k 存 在 且 不 为 零 ， 则 有A AB B2b 2 m 2b 2 - a 2b 2y + y =- , y y = . A B A B 2这个定理在双曲线与抛物线中也成立.利用该定理还可证明文【5】至【13】中所述的结论.a 2m另一方面来说，该定理是【例 1】的推广形式，作者把它称为一个基础性定理，是因为该定 理可以证明很多圆锥曲线的性质.事实上，文【2】所述的圆锥曲线性质也都可以用极点与极 线的性质证明，文【3】则完全是定理 1 的一种特例.定理 1 和定理 2 反映极点与相应的极线的基本性质，应用非常广泛. 一点一线，阐述着数学的朴素之美，也是极致之美.参考文献【1】 史钞.几道数学竞赛题的简解.中等数学，2005.4 【2】 邱继勇.椭圆的一个基础性定理.数学通报，2005.6【3】 高绍央.圆锥曲线准线的一个有趣性质.中学教研.2005.3【4】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯，2012.4 【5】 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003.7【6】 熊光汉，谢东根.一道几何题的引申.数学通报，2003.5【7】 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申及推广.数学通报，2002.6【8】 李原池.一道高考题引出的圆锥曲线的两个性质及推论.数学通报，2002.6 【9】 钮华柱.圆锥曲线的几个性质.数学通报，2000.8【10】 李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质.数学通报，2001.5 【11】 厉倩.圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2002.12【12】 丁振华. 圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2003.10【13】 邱昌银.圆锥曲线的准线切点焦点弦的相关性质.数学通报，2003.111 、数论是 人类 知识 最古 老的 一个 分支 ，然而 他的 一些 最深 奥 的秘 密与其 最平 凡的 真理 是 密切 相连 的。