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第2课时 分段函数导入新课思路1.当x>1时,f(x)=x+1;当x≤1时,f(x)=-x,请写出函数f(x)的解析式.这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题.思路2.化简函数y=|x|的解析式,说说此函数解析式的特点,教师指出本节课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①函数h(x)=⎩⎨⎧≥<+-1x -1,x 1,x,-x 与f(x)=x-1,g(x)=x 2在解析式上有什么区别?②请举出几个分段函数的例子.活动：学生讨论交流函数解析式的区别.所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同对应法则的函数.并让学生结合体会来实际举例. 讨论结果：①函数h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等. ②例如:y=0,1,0,0<>x x 等.应用示例思路11.画出函数y=|x|的图象.活动：学生思考函数图象的画法:①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式. 解法一：由绝对值的概念,我们有y=⎩⎨⎧<≥0.x x,-0,x x,所以,函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.图1-2-2-10解法二：画函数y=x 的图象,将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方,与函数y=x 的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示. 变式训练1.已知函数y=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-≤+.4,2,40,2,0,42x x x x x x x(1)求f{f ［f(5)］}的值; (2)画出函数的图象.分析:本题主要考查分段函数及其图象.f(x)是分段函数,要求f{f ［f(5)］},需要确定f ［f(5)］的取值范围,为此又需确定f(5)的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解.画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象.解：(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3<0,∴f ［f(5)］=f(-3)=-3+4=1. ∵0<1<4,∴f{f ［f(5)］}=f(1)=12-2×1=-1,即f{f ［f(5)］}=-1. (2)图象如图1-2-2-11所示:图1-2-2-112.课本P 23练习3.3.画函数y=(x+1)2,-x,x≤0,x>0的图象.步骤:①画整个二次函数y=x 2的图象,再取其在区间(-∞,0］上的图象,其他部分删去不要;②画一次函数y=-x 的图象,再取其在区间(0,+∞)上的图象,其他部分删去不要;③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象.如图1-2-2-12所示.图1-2-2-12函数y=f(x)的图象位于x 轴上方的部分和y=|f(x)|的图象相同,函数y=f(x)的图象位于x 轴下方的部分对称到上方就是函数y=|f(x)|的图象的一部分.利用函数y=f(x)的图象和函数y=|f(x)|的图象的这种关系,由函数y=f(x)的图象画出函数y=|f(x)|的图象. 2.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算),如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. 活动：学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有不同的计算方法,故此函数是分段函数.解：设里程为x 千米时,票价为y 元,根据题意得x ∈(0,20］. 由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:图1-2-2-13y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<.2015,5,1510,4,105,3,50,2x x x x根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图1-2-2-13所示.点评：本题主要考查分段函数的实际应用,以及应用函数解决问题的能力.生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.在列出其解析式时,要充分考虑实际问题的规定,根据规定来求得解析式.注意：①本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.变式训练2007上海中学高三测试,理7某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y(元)与行程千米数x(千米)之间的函数关系式是________. 分析:根据行程是否大于100千米来求出解析式.答案：y=⎩⎨⎧>+≤≤.100,4.010,1000,5.0x x x x思路21.已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+-.0,1,0,1,0,22x x x x x x (1)求f(-1),f ［f(-1)］,f{f ［f(-1)］}的值;(2)画出函数的图象.活动：此函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系. 解：(1)f(-1)=0;f[f(-1)]=f(0)=1;f{f[f(-1)]}=f(1)=-12+2×1=1. (2)函数图象如图1-2-2-14所示:图1-2-2-14变式训练2007福建厦门调研,文10若定义运算a ⊙b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=x ⊙(2-x)的值域是________.分析:由题意得f(x)=⎩⎨⎧>-≤.1,2,1,x x x x 画函数f(x)的图象得值域是(-∞,1］.答案：(-∞,1］点评：本题主要考查分段函数的解析式和图象.求分段函数的函数值时,要注意自变量在其定义域的哪一段上,依次代入分段函数的解析式.画分段函数y=⎪⎩⎪⎨⎧∈∈.,,),(,),(2211 D x x f D x x f (D 1,D 2,…,两两交集是空集)的图象步骤是(1)画整个函数y=f 1(x)的图象,再取其在区间D 1上的图象,其他部分删去不要; (2)画整个函数y=f 2(x)的图象,再取其在区间D 2上的图象,其他部分删去不要; (3)依次画下去;(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.2.如图1-2-2-15所示,在梯形ABCD 中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P 从B 点开始沿着折线BC 、CD 、DA 前进至A,若P 点运动的路程为x,△PAB 的面积为y.图1-2-2-15(1)写出y=f(x)的解析式,指出函数的定义域; (2)画出函数的图象并求出函数的值域.活动：学生之间相互讨论交流,教师帮助学生审题读懂题意.首先通过画草图可以发现,P 点运动到不同的位置,y 的求法是不同的(如图1-2-2-16的阴影部分所示).图1-2-2-16可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的,它们的面积由其高来定,所以只要由运动里程x 来求出各段的高即可.三角形的面积公式为底乘高除以2,则△PAB 的面积的计算方式由点P所在的位置来确定. 解：(1)分类讨论:①当P 在BC 上运动时,易知∠B=60°,则知 y=21×10×(xsin60°)=235x,0≤x≤4.②当P 点在CD 上运动时, y=21×10×23=103,4<x≤10. ③当P 在DA 上运动时, y=21×10×(14-x)sin60°=235-x+353,10<x≤14.综上所得,函数的解析式为y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<≤≤.1410,335235,104,310,40,235x x x x x (2)f(x)的图象如图1-2-2-17所示:图1-2-2-17由图象,可知y 的取值范围是0≤y≤103, 即函数f(x)的值域为[0,103]. 知能训练1.函数f(x)=|x-1|的图象是()图1-2-2-18分析:方法一:函数的解析式化为y=⎩⎨⎧<-≥-.1,1,1,1x x x x 画出此分段函数的图象,故选B.方法二:将函数f(x)=x-1位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,与f(x)=x-1位于x 轴上方部分合起来,即可得到函数f(x)=|x-1|的图象,故选B.方法三:由f(-1)=2,知图象过点(-1,2),排除A 、C 、D,故选B. 答案：B2.已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x(1)画出函数的图象;(2)求f(1),f(-1),f ［f(-1)］的值.解析:分别作出f(x)在x>0,x=0,x<0段上的图象,合在一起得函数的图象. (1)如图1-2-2-19所示,画法略.图1-2-2-19(2)f(1)=12=1,f(-1)=11--=1,f ［f(-1)］=f(1)=1. 3.某人驱车以52千米/时的速度从A 地驶往260千米远处的B 地,到达B 地并停留1.5小时后,再以65千米/时的速度返回A 地.试将此人驱车走过的路程s(千米)表示为时间t 的函数. 分析:本题中的函数是分段函数,要由时间t 属于哪个时间段,得到相应的解析式. 解：从A 地到B 地,路上的时间为52260=5(小时);从B 地回到A 地,路上的时间为65260=4(小时).所以走过的路程s(千米)与时间t 的函数关系式为s=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤≤<≤.5.105.6),5.6(65260,5.65,260,50,52t t t t t 拓展提升问题:已知函数y=1,f(n+1)=f(n)+2,n=1,n ∈N *. (1)求:f(2),f(3),f(4),f(5); (2)猜想f(n),n ∈N *.探究:(1)由题意得f(1)=1,则有 f(2)=f(1)+2=1+2=3, f(3)=f(2)+2=3+2=5, f(4)=f(3)+2=5+2=7, f(5)=f(4)+2=7+2=9. (2)由(1)得 f(1)=1=2×1-1, f(2)=3=2×2-1,f(3)=5=2×3-1,f(4)=7=2×4-1,f(5)=9=2×5-1.因此猜想f(n)=2n-1,n∈N*.课堂小结本节课学习了:画分段函数的图象;求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用.作业课本P25习题1.2 B组3、4.设计感想本节教学设计容量较大,特别是例题条件有图,建议使用信息技术来完成.本节重点设计了分段函数,这是课标明确要求也是高考的重点,通过分段函数问题能够区分学生的思维层次,因此教学中应予以重视.(设计者：刘菲)。
