高等数学中求极限的方法小结

高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的14种方法一、极限的定义极限的保号性很重要。

设$x\to x_0$，$limf(x)=A$，则有以下两种情况：1）若$A>0$，则有$\delta>0$，使得当$00$；2）若有$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)\geq 0$，则$A\geq 0$。

极限分为函数极限和数列极限，其中函数极限又分为$x\to\infty$时函数的极限和$x\to x_0$的极限。

要特别注意判定极限是否存在，收敛于$a$的充要条件是它的所有子数列均收敛于$a$。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于$a$的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于$a$”。

二、解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

只能在乘除时候使用。

2.XXX（L'Hospital）法则。

它的使用有严格的使用前提。

首先必须是$x$趋近，而不是$n$趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求$x$趋近情况下的极限，数列极限的$n$当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。

其次，必须是函数的导数要存在，假如只告诉$f(x)$、$g(x)$，而没有告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。

另外，必须是“比”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为$0$。

洛必达法则分为三种情况：1）$\infty/\infty$时，直接用$\infty$；2）$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$0^0$、$\infty^0$时，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通分之后，就能变成（1）中的形式了。

即$f(x)g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$或$f(x)g(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$；3）$1^\infty$、$0^0$、$1^{\infty-\infty}$、$\infty^0$对于幂指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即$e^{f(x)g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$，这样就能把幂上的函数移下来了，变成$0/0$型未定式。

高等数学中求极限的方法
高等数学中求极限的方法有：
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；
3、运用两个特别极限；
4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。

因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。

7、夹挤法。

这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。

8、特殊情况下，化为积分计算。

高等数学极限求法总结高等数学极限求法总结极限的判断定义是:单调递增有上界则有极限,单调递减有下界则有极限。

下面是小编整理的高等数学极限求法总结，希望对你有帮助！函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。

掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。

限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x时的极限。

1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。

方能利用极限四则运算法则进行求之。

不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。

但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。

而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。

例 1 求 lim( x 2 3x + 5).x→ 2解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5= (lim x) 2 3 lim x + lim 5= 2 2 3 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。

一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。

利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx) = 1 / (cosx)^2(x) = 1原式 = lim 1/(cosx)^2当 x --> 0 时,cosx ---> 1原式 = 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：① 分子、分母为无穷小，即极限为 0 ；② 分子上取正弦的角必须与分母一样。

高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]设αα'~、~ββ'且limlim ββαα'=；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0()βαα=+．常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-11~,(1)1~x x x x x αα+--+-．例1 求01cos limarctan x xx x→-．解210,1cos ~,arctan ~2x x x x x →-时， 故，原式220112lim 2x xx →==例2 求1230(1)1limcos 1x x x →+--．解12223110,(1)1~,1cos ~32x x x x x →+--时,因此: 原式202123lim132x xx→==-． 例3 求 3131limtan x x→+-．解 0,x →时3111~,tan ~3x x x x +-，故:原式=0113lim 3x xx →=．例4 求()21lim2ln(1)x x e x x →-+．解 0,1~,ln(1)~x x e x x x →-+时,故:原式2201lim 22x x x →==．例5 试确定常数a 与n ，使得当0x →时，nax 与33ln(1)x x -+为等价无穷小．解 330ln(1)lim 1n x x x ax →-+= 而左边225311003331lim lim n n x x x x x x nax nax--→→-+--=， 故 15n -=即6n = 0331lim 11662x a a a →--∴=∴=∴=-． 2.2 利用洛必达法则求极限利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者∞∞型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于0；在点a 的某去心邻域内，()f x ﹑()F x 的导数都存在且()F x 的导数不等于0；()lim()x af x F x →''存在，那么()()limlim ()()x ax a f x f x F x F x →→'=' . [1]求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.[3]例6 求22201cos lim()sin x xx x →-. 分析 秘诀强行代入，先定型后定法.22224431100(00)(00)0000000000-+--+-===（此为强行代入以定型）. ()00-可能是比()00+高阶的无穷小，倘若不这样，或422(00)(00)0000000+--+= 或43(00)(00)0000000+-+-=. 解2222222240001cos sin cos (sin cos )(sin cos )lim()lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x→→→--+-== 33000sin cos sin cos sin cos limlim 2lim x x x x x x x x x x x xx x x→→→-+-==， 由洛必达法则的22222001cos sin 4sin 42,2lim lim 333x x x x x x x →→-+==有：上式=. 例7 求201lim x x e x x→--.解 22000(1)1lim lim 1lim 1()21x x x x x x e e e x x x x x→→→'--==-∴=-'--- .例8 求332132lim 1x x x x x x →-+--+.解 原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---.（二次使用洛必达法则）. 例9 求02lim sin x x x e e xx x-→---.解 原式0002limlim lim 21cos sin cos x x x x x xx x x e e e e e e x x x ---→→→----====-. 例10 求22143lim 21x x x x x →-+-+.解 原式1112422limlimlim02211x x x x x x x x x →→→---===∴---原式=∞. 例11 求0tan lim sin arcsin x x xx x x→-.解 原式222222220000111(1cos)tan 1cos 1cos 2lim lim lim lim 33cos 3cos 3x x x x x x x x x xxx x x x x x →→→→-+--=====. 例12 求0cot lim ln x xx+→.解 原式22200sin cos 1limlim sin 2sin cos x x x x x x x x ++→→---===-∞. 例13 求22201cos lim()sin x xx x→-. 解 原式22222400sin cos (sin cos )(sin cos )lim lim sin x x x x x x x x x x x xx x →→--+==223320000sin cos sin cos sin cos 1cos sin 4lim lim 2lim 2lim 33x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+--+====“0⨯∞”型： 例14 求lim (arctan )2x x x π→+∞-.解 原式2221arctan 112lim lim lim 11111x x x x x xx xπ→+∞→+∞→+∞-+====+.“∞-∞”型：例15 求 ()2lim sec tan x x x π→-.解1sin 1sin sec tan cos cos cos x xx x x x x--=-=， 故原式221sin cos limlim 0cos sin x x x x x x ππ→→--===-.“00”型：例16 求0lim xx x +→. 解 原式ln 0lim ln ln 0lim lim 1x xxx e x x xx x e e e+→++→→====.“1∞”型：例17 求lim 1xx e x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 原式lim 1x e ee x e e x →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.“0∞”型：例18 求tan 01lim ()xx x+→.解 原式tan ln tan 01lim ln()tan ln 0lim lim x xxx e x xxx x e e e -+→++-→→===，而tan ~0lim (tan ln )lim (ln )0x x x x x x x x ++→→-−−−→-=，因此：原式=1. 2.3 泰勒公式（含有e 的x 次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）泰勒中值定理定理：如果函数()f x 在含有n 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n + 阶的导数，则对任一(,)x a b -∈，有()f x =0()f x +0()f x '(x -0x )+0()2!f x ''(x -0x )2+……+()0()!n f x n (x -0x )n+n R (x )其中()()()(1)10()1!n n n f R x x x n ξ++=-+，这里ξ是x 与0x 之间的某个值. [1]例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限30sin cos limsin x x x xx→-.解 由于公式的分母33sin ~(0)x x x →，我们只需将分子中的3333sin 0(),cos 0()3!2!x x x x x x x x x =-+=-+代入计算，于是 3333331sin cos 0()0()0()3!2!3x x x x x x x x x x x -=-+-++=+，对上式做运算时，把两个3x 高阶的无穷小的代数和还是记作30()x .例20 323322314334lim lim 3211211x x x x x x x x x x x x→∞→∞++++==++++++，2222111limlim 121(1)1x x n n n n n→∞→∞++==--+，()121(2)313limlim (2)332233nn nn n n x x ++→∞→∞⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭==-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. 2.4 无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.[3]例21 求 sin lim x x xx→∞+.解 原式sin 1lim(1)lim(1sin )1x x x x x x→∞→∞=+=+=. 2.5 夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.[1]例22 求2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭. 解 111sin sin sin11n n n i i i i i i n n n n n o n iπππ===≤≤+++∑∑∑， 1011sin 12lim lim sin nn n n i i i i n n x dx n o n nππππ→∞→∞====⋅=+∑∑⎰，1011sin 112lim lim 1sin 11nn n n i i i i n x dx n n n nππππ→∞→∞==⎫⎛=⋅=⋅⋅= ⎪++⎝⎭∑∑⎰， 根据夹逼定理 1sin2lim1nx i i n n iππ→∞==+∑. 2.6 等比等差数列公式（δ的绝对值要小于1） [1]例23 设1||<δ，证等比数列1，δ，2δ1n δ-，…的极限为0.证 任取01δ<<，为使n x a ε-<，而nn x a δ-=，使nδε<，即ln ln ln ,ln n n εδεδ<>，当ln ln N εδ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，即ln ln 11ln ln n N εεδδ⎡⎤≥+=+>⎢⎥⎣⎦， ln ln nn δεδε<⇒<即n x a ε-<，由定义知()lim 10nδδ<=()()22......lim ...11n n n δδδδδδδδδ→∞++=++=<-.因此,很显然有:()0.99...lim 0.99...1n n→∞==.2.7 各项以拆分相加[3]将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.例24 求()111lim 1...2*33*41n n n →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪+⎝⎭. 解 原式111111lim 1...23341n n n →∞⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ 11lim 121n n →∞⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭31lim 21n n →∞⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=32. 2.8 求左右极限的方式例25 求函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f ，求0x →时，()f x 的极限.解 ()()0lim lim 11x x f x x --→→=-=-，()()0lim lim 11x x f x x ++→→=+=， 因为()()0lim lim x x f x f x ++→→≠，所以，当0→x 时，)(x f 的极限不存在. 例26 ()0lim 0x x xxαα→>.解 0)(lim )(lim 00=-=---→→ααx x x x x x ，0lim lim 00==++→→ααx x x x x x ， 因为0lim )(lim00==-+-→→xxx x x x x x αα，所以,原式=0. 2.9 应用两个重要极限1sin lim 0=→x x x ，1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭例27 求xe x x 1lim 0-→.解 记()ln 1x t =+ 1xe t -=，则原式=1001limlim 111ln 1t t ttt t →→==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()1lim 1x x x e →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为. 例28 求1lim 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭. 解 原式=()111lim 11n n n +-→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=e .例29 求1lim 1-1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 解 原式=()111lim 1-1n n n -+→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e .2.10 根据增长速度 )(ln ∞→<<x ex x xnλ例30 求()lim 0nx x x n eλλ→∞>为正整数，.解 原式=1lim n x x nx e λ-→∞=()221!lim lim 0n xn x x x n n x n e e λλλλ-→∞→∞-==.例31 求()ln lim0nx xn x →∞>.解 01lim lim ln lim 11===∞→-∞→∞→n x n x x n x nxnx x x .同函数趋近于无穷的速度是不一样的，x 的x 次方快于!x （x 的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数.所以增长速度： )(ln ∞→<<x ex x xnλ.故以后上述结论可直接在极限计算中运用. 2.11 换元法例32 1lim (1)xx x→-∞+.解 令x t =-，则原式=1lim 1t t t -→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1lim t t t t -→+∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭111lim 1111t t t t -→+∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=e 2.12 利用极限的运算法则[1]利用如下的极限运算法则来求极限： (1) 如果()()lim ,lim ,f x A g x B ==那么B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[()()()()lim lim lim f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅⎡⎤⎣⎦若又有0≠B ，则BA x g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim（2）如果)(lim x f 存在，而c 为常数，则)(lim )](lim[x f c x cf =（3）如果)(lim x f 存在，而n 为正整数，则nn x f x f )]([lim )](lim[=（4）如果)()(x x ϕδ≥，而b x a x ==)(lim ,)(lim ϕδ，则b a ≥ （5）设有数列{}n x 和{}n y ，如果()lim ;n n n x y A B →∞+=+那么，()lim ;n n n x y A B →∞+=+lim n n n x y A B →∞=⋅当()01,2,...n y n ≠=且0b ≠时，limn n n x A y B→∞= 2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]例33 已知()21f x x =- ,在区间[]0,1上求()01limniii f x λξ→=∆∑（其中将[]0,1分为n个小区间[]1,i i x x -,1i i i x x ξ-≤≤，λ为i x ∆中的最大值）.解 由已知得: ()()11limni i i f x f x dx λξ→=∆=∑⎰1201x dx =-⋅⎰4π=.（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数()f x 在区间[]0,1上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：（1）定积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[],a b 上连续，则在[],a b 上至少有一个点，使下列公式成立：()()()baf x dx x b a ϕ=-⎰ ()a b ϕ≤≤；（2）设函数()f x 在区间[],a +∞上连续，取t a >，如果极限 ()lim tat f x dx →+∞⎰存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[],a +∞上的反常积分，记作⎰∞+0)(dx x f ，即⎰⎰+∞→∞+=tat adx x f dx x f )(lim )(；设()f x 在区间[],a b 上连续且()0f x ≥，求以曲线()y f x =为曲线，底为[],a b 的曲边梯形的面积A ，把这个面积A 表示为定积分：()b=aA f x dx ⎰ 的步骤是：首先，用任意一组的点把区间[],a b 分成长度为(1,2,...)i x i n ∆=的n 个小区间，相应地把曲线梯形分成n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积设为i A ∆，于是有1nii A A ==∆∑；其次，计算i A ∆的近似值 ()()1i i i i i i A f x x x ϕϕ-∆≈∆≤≤；然后，求和，得A 的近似值 ()1niii A f x ϕ=≈∆∑；最后，求极限，得⎰∑=∆==→bai ni i dx x f x f A )()(lim1ϕλ.例34 设函数()f x 连续，且()00f ≠，求极限 ()()()[]2lim.x xx x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰. 解 ()()()0lim x xx x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰ =()()()0lim ,xxxx xf t dt tf t dtx f u du→-⎰⎰⎰()()()()()0+limxx x f t dt xf x xf x f u du xf x →-+⎰⎰由洛必达得：，()()(),,,f x t dx u x t f u du -=-⎰x其中令得()()()()0lim 0x x xf xf xf x ϕφϕ→+再由积分中值定理得:在到之间 ()()()()()()001lim002x f f f f x f f ϕϕ→===++.例35 计算反常积分: 21dx x +∞-∞+⎰.解21dx x +∞-∞+⎰ =[]arctan x +∞-∞=-lim arctan lim arctan x x x x →+∞→∞-=()22πππ--=. 2.14 利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限（1）单调有界数列必有极限；（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限.[3]例36 数列{}n x :2，12n x -+，222++，……．极限存在吗？ 解 由已知可得{}n x 单调递增且有界，由单调有界原理，知lim n n x →∞存在．又12n n x x -=+，1lim lim 2n n n n x x -→∞→∞=+记lim =t,2n n x t t →∞=-则，即可证2n x <，得到 2=t . 2.15 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你0)0(=F 时，)(x F 的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数()y f x =在点0x 的某个领域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x ∆+仍在该领域内）时，相应的函数取得增量()()00y f x x f x ∆=∆+-；如果y ∆与x ∆之比0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记作()0f x '，即 ()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→∆+-∆'==∆∆；（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等. 例36 ()()()()1f x x x e x π=---，求()'fπ.解 ()'fπ ()()()()()()=lim lim 11x x f x f x x e x x e x ππππ→→-=--=---. 例37 若函数()f x 有连续二阶导数且()0=0f ，()'0=1f，()''0=-2f ，则 ()()2limx f x xx→-=.A:不存在 B ：0 C ：-1 D ：-2解 ()20limx f x x x →-=()()()'''00101lim lim 220x x f x f x f x x →→--=-()''1012f ==-. 所以，答案为D.例38 若()(1)(2).....(2010)f x x x x x =++++，求(0)f '.解 0()(0)(0)limx f x f f x→-'=0(1)(2) (2010)lim x x x x x x→++++=lim (1)(2).....(2010)x x x x x →=++++2010!=. 2.16 利用连续性求极限[1]例39 设()f x 在1x =处有连续的一阶导数，且(1)2f '=，求1l im (c o s 1)x dx dx+→+-.解 原式11lim (cos 1)(sin 1)21x f x x x +→'=----11sin 1lim (cos 1)21x x f x x +→-'=--- 11lim (cos 1)2x f x +→'=-- 11(lim cos 1)2x f x +→'=--1(1)2f '=-1=-.2.17 数列极限转为函数极限求解数列极限中是n 趋近，而不是x 趋近.面对数列极限时，先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n 趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的n 当然是趋于正无穷的）.[1]例40 求21lim (1sin )n n n n→∞-.解 令1t n=,则原式2320001sin sin 1cos lim (1)lim lim 3t t t t t t t t t t t →→→--=-==， 所以在0t →时，1cos t -与212t 等价，因此，原式20212lim 13t tt→=16=.。

函数极限的求法及技巧总结函数极限是高等数学的一个重要概念，它在微积分、实分析等许多领域都有着广泛的应用。

在计算函数极限时，需要掌握一些求法和技巧。

本篇文章将对此进行总结。

1. 直接代入法直接代入法是最基本也是最简单的一种方法，它适用于可以直接将自变量代入函数中计算得到结果的情况。

例如，当求函数f(x) = x² + 3x + 2在x = 1处的极限时，我们可以直接将x = 1代入函数中，得到f(1) = 1² + 3×1 + 2 = 6。

因此，f(x)在x = 1处的极限为6。

2. 分式化简法分式化简法是一种常用的求极限的方法，它适用于形如“分式”的函数。

3. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的求极限的方法，它适用于当我们无法通过代入或化简等方法直接求出函数极限时。

夹逼定理的思想是：若存在函数g(x)和h(x)，满足 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x) = L。

4. 洛必达法则其中，f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数。

例如，当求函数f(x) = (e^x - 1) / x在x = 0处的极限时，我们可以将f(x)表达为g(x) / h(x)的形式，即g(x) = e^x - 1，h(x) = x，然后计算g'(x)和h'(x)，得到 g'(x) = e^x，h'(x) = 1。

因此，根据洛必达法则，我们得到limx→0 f(x) = limx→0 [e^x / 1] = 1。

5. 泰勒展开法泰勒展开法是一种常用的求函数极限的方法，它适用于当函数在极限点左右存在二阶及以上的导数时。

泰勒展开法的思想是：当limx→a f(x)存在时，可以将函数f(x)在a附近进行泰勒展开，得到f(x) = f(a) + f'(a)×(x - a) + f''(a)×(x - a)² / 2 + …… + Rn(x)，其中Rn(x)为余项。

一，求极限的方法横向总结：
1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）
2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到
2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和
5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos
二，求极限的方法纵向总结：
1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置
2）用无穷小量与有界变量的乘积
3）2个重要极限
4）分式解法（上述）。

高等数学求极限方法理论小结摘要：求极限是高等数学的三大运算之一。

求极限的方法很多，本文根据学习的前后秩序，把教材涉及到求极限的所有方法进行了小结。

关键词：高等数学；极限运算一、概述高等数学是大学阶段最为重要也最难的一门数学公共基础课程，它是很多后继课程（如概率论与数理统计，大学物理，计量经济学等）的坚实基础。

本课程共分为12章，知识点繁多。

总的来说，可以归纳为三个“中心”，即求极限、求导数、求积分。

从这三个“中心”本身所用到的解题方法理论来看，以求极限的方法理论为最多，灵活且技巧性强。

另一方面，极限本身又是构建整个高等数学的基石。

所以，学习极限知识，掌握求极限的一些常用的重要的方法与技巧是必要的。

二、高等数学求极限方法理论小结极限知识的学习是从数列的极限开始的，以无穷级数中的一个必要条件定理为结束。

具体来讲，高等数学上册，关于极限内容及求法，主要集中在第一章，有数列的极限，函数的极限，无穷小与无穷大，极限运算法则，极限存在准则，两个重要极限，无穷小的比较，函数的连续性，连续函数的运算与初等函数的连续性；第三章中有洛必达法则，泰勒公式；第五章中有利用定积分的定义求极限。

而高等数学下册，在第12章第一节里，级数收敛的必要条件定理。

在求极限过程中，一般要对函数进行“恒等”变形，大致有：通分，约分，分子（分母）有理化，先求和，分子（分母）同时除以（乘以）等。

极限，是针对自变量的7种变化过程中的函数值的2种变化趋势而言的。

数列，自变量趋向于正无穷大；函数，自变量趋向于某个常数，包括左右两侧；自变量趋向于无穷大，包括正无穷大，负无穷大。

函数值的2种变化趋势：存在（为某个常数），不存在（特例，无穷大）。

下面，按照教程安排的先后秩序，把教程涉及到的求极限的所有方法理论小结如下（同时，对一些重要的方法理论加以说明）：1.收敛数列与子数列的关系定理：若一个数列收敛于某个常数，则它的任意子数列必收敛于这个常数。

同时，它也提供了判断数列发散（即极限不存在）的一种方法：若一个数列的某两个子数列收敛于两个不同的常数，则原数列发散。

高等数学中几种求极限的方法代入法是最常见的求极限方法之一、它的原理是当极限存在时，我们可以通过将自变量等于极限值，将极限变成一个已知的函数值，从而求解极限。

例如，求解lim(x→2)(x^2 - 4) / (x - 2)时，我们可以将x的值代入函数中，得到(2^2 - 4) / (2 - 2) = 0/0。

这是一个不定型，无法直接计算。

但通过分子分母同时除以(x-2)，得到lim(x→2)(x+2) = 4夹逼法是另一种常用的求极限方法。

它的原理是通过利用一个与待求的极限相夹的两个函数，确定待求极限的值。

如果两个函数当自变量趋于同一个值时，极限存在且相等，那么待求极限的值也等于这个极限值。

例如，求解lim(x→0)xsin(1/x)时，我们可以利用-，x，≤xsin(1/x)≤，x，得到-，x，≤ xsin(1/x) ≤ ，x。

当x趋于0时，我们可以发现两边函数的极限均为0，因此待求极限的值也为0。

单调有界准则是利用函数的单调性和有界性来判断极限是否存在的一种方法。

如果待求极限的函数在一些区间内单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么极限必然存在。

例如，如果函数f(x)递增且有上界，我们可以通过f(x)递增性质来证明lim(x→∞)f(x)存在。

柯西收敛准则是另一种常用的判断极限是否存在的准则。

如果一个数列满足柯西准则，即对于任意正数ε，存在正整数N，使得当n,m>N时，a_n-a_m，<ε，那么该数列的极限存在。

例如，对于数列a_n=1/n，我们可以证明该数列满足柯西准则，因此极限lim(n→∞)1/n=0存在。

函数性质和展开式是求解复杂极限时的重要方法。

通过利用函数的特殊性质或将函数展开成幂级数，可以简化极限的计算。

例如，通过使用欧拉公式e^ix=cos(x)+isin(x)，我们可以求解lim(x→0)(1+ix)^n这样复杂的极限。

洛必达法则是高等数学中非常常用的一种求解极限的方法。

高等数学中求极限方法总结高等数学第一章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。

一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。

树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。

故在这里总结了10种常用的求极限的方法并举例说明。

1、利用等价无穷小的转化求极限例：求极限x x x x 1cossin lim 20→。

解：x x x x 1cossin lim 20→x x x x 1cos lim 20→=xx x 1cos lim 0→=＝2注：通常在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，但是前提是必须证明拆分后极限依然存在，要记住常用的等价无穷小，例如当0→x 时，).(0~sin ,21~sin ,~3x x x x x tgx x tgx −−。

2、罗比达法则例：求极限∫→x x tdtx 020arctan 1lim 解：∫→x x tdt x 020arctan 1lim 21211lim 2arctan lim 200=+==→→x x t x x 例：求极限⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→11ln 1lim 1x x x 解：x x x x x x x x ln )1(ln 1lim 11ln 1lim 11−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→→21111lim 1ln 11lim 2211=+=−+−=→→xx x x x x x x x …注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。

罗比达法则分为三种情况（1）0比0和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1的形式；（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，）3、利用2个重要极限求极限例：求极限2)11(lim 22x x x x +−∞→解：211(lim 22x x x x +−∞→2)121(lim 2x x x +−+=∞→12212222])121[(lim +−−+∞→+−+=x x x x x 12lim 22+−∞→=x x x e 2−=e 。

高数求极限的方法总结在高等数学中，求极限是一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析等领域都有着广泛的应用。

求极限的方法有很多种，每一种方法都有其适用的范围和特点。

在本文中，我们将对高数求极限的方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一重要的数学概念。

首先，我们来介绍一下常用的求极限方法。

在高等数学中，常见的求极限方法包括代数运算法、夹逼准则、洛必达法则、无穷小量代换法等。

这些方法在不同的情况下都能够发挥作用，可以说是数学分析中的利器。

代数运算法是求极限中最基本的方法之一。

它利用极限的性质和代数运算的性质，通过变形和化简来求解极限值。

夹逼准则则是一种比较常用的方法，它通常用于证明极限存在或不存在的情况。

洛必达法则则是用于求解不定型极限的重要方法，通过对函数求导来简化极限的计算。

无穷小量代换法则是在求解极限时，将函数中的变量替换成无穷小量，从而简化极限的计算过程。

除了以上介绍的常用方法外，还有一些特殊的求极限方法，比如泰勒展开、积分法等。

这些方法在一些特殊的情况下会发挥重要作用，能够帮助我们更好地理解和求解极限。

在实际的数学问题中，我们经常会遇到一些复杂的极限计算，这时候就需要根据具体的情况选择合适的方法来求解。

有时候，我们需要结合多种方法来求解一个极限，这就需要我们对各种方法有着深刻的理解和灵活的运用。

总的来说，求极限是高等数学中的一个重要概念，掌握好求极限的方法对于深入理解数学知识、解决实际问题都有着重要的意义。

希望本文对大家在高数求极限的学习和应用上有所帮助。

同时也希望大家能够在学习和研究中不断探索，不断提高自己的数学水平。

求函数极限的方法与技巧6篇第1篇示例：求函数极限的方法与技巧在学习数学的过程中，函数极限是一个非常重要的概念。

通过求函数的极限，我们可以了解函数在某一点的变化趋势，从而掌握函数的性质和特征。

在实际应用中，求函数极限也是解决数学问题和物理问题的基础。

那么，如何求函数的极限呢？下面我们就来讨论一下求函数极限的方法与技巧。

我们来说一说函数极限的定义。

对于函数f(x)，当自变量x趋于某一值a时，如果函数值f(x)无限接近于某一确定的常数L，那么常数L 就是函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。

换句话说，就是当x无限接近a时，f(x)的取值无限接近L。

要求函数的极限，就是要找到这个L。

1. 代入法：对于一些简单的函数，我们可以直接代入a的数值，求出f(a)的值。

如果f(a)存在且有限，那么这个值就是函数在点a处的极限。

2. 因子分解法：对于一些复杂的函数，我们可以通过因子分解来求得函数的极限。

根据函数的性质，我们可以将函数分解为一些简单的分式或者根式，从而求得极限的值。

3. 夹逼定理：对于一些特殊的函数，我们可以利用夹逼定理来求得函数的极限。

夹逼定理是一种通过两个较为简单的函数来夹逼待求函数的极限的方法，通过和两个函数比较来逼近待求函数的极限值。

4. 利用导数：对于一些连续的函数，我们可以利用导数来求得函数的极限。

通过求导数，我们可以得到函数的切线斜率，从而得到函数在某一点的变化趋势。

除了以上的方法与技巧，还有一些注意事项需要我们在求函数极限时要注意：1. 涉及无穷大的极限时，要格外注意函数的性质，以及无穷大的表示方式。

2. 找出函数的不确定形式，通过化简或者变形来求得函数的极限。

3. 对于有理函数的极限，要特别注意分母为0的情况，以及分子、分母次数的关系。

4. 要熟练掌握常用函数的极限形式，比如指数函数、对数函数、三角函数等。

5. 在求导数时，要注意一阶导数、高阶导数等，以及导数的性质和规律。

高等数学极限求法总结在高等数学中，极限是一个至关重要的概念，它在微积分、数学分析等领域中扮演着重要角色。

极限求法是数学学习中的一个关键技能，通过正确的方法和技巧能够更快地求解各种极限问题。

本文将系统总结常见的极限求法，包括极限的基本性质、洛必达法则、泰勒展开等内容，帮助读者更好地掌握和运用极限求法。

一、极限的基本性质1. 有界性如果一个函数在某点的一个邻域内有界，那么该函数在该点的极限存在且有限。

2. 夹逼准则如果函数f(x)在点a的某个邻域内除a点以外都满足0≤g(x)≤f(x)≤h(x)，并且lim[g(x)]=lim[h(x)]=L，则由夹逼准则可得lim[f(x)]=L。

二、洛必达法则洛必达法则常用来解决0/0型或∞/∞型的极限。

若lim[f(x)]=0, lim[g(x)]=0，并且lim[f’(x)/g’(x)]存在，则lim[f(x)/g(x)]=lim[f’(x)/g’(x)]。

三、泰勒展开泰勒展开是在某一点附近用多项式逼近一个函数的方法。

简单来说，就是用一个多项式不断逼近原函数，使得在该点附近它们的表现尽量接近。

泰勒展开的公式如下：f(x)≈f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)2/2!+⋯+f n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中，f(x)是原函数，a是展开的点，f^(n)(a)表示f(x)在点a处的n阶导数，Rn(x)是泰勒余项，即多项式逼近的误差。

通过以上总结，我们可以看到，极限求法涉及到多方面的知识和技巧，需要结合具体问题选择合适的方法进行求解。

掌握极限求法不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以在数学建模、物理学等领域中发挥重要作用。

希望通过本文的总结，读者能够更加熟练地运用各种极限求法，提升自己的数学水平。

大一高数求极限的方法总结大一高等数学中，求极限是一个非常重要的概念和技巧。

在学习求极限的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧。

下面是对一些常用的求极限方法进行总结。

一、无穷小量代换法当我们在求一个函数的极限时，可以将函数中的无穷小量用一个新的无穷小量来代替，从而简化计算。

例如，当求极限lim(x->0)(sinx)/x时，可以将sinx用x来代替，即lim(x->0)x/x=1二、夹逼定理夹逼定理是一种非常常用的求极限方法。

当我们无法直接计算一个函数的极限时，可以通过找到两个已知的函数，使它们的极限分别为L和L’，并且夹在待求函数的极限值周围时，我们可以得出待求函数的极限也为L。

三、洛必达法则洛必达法则是一种非常常用的求导法则，它可以用来求解一些不定型的极限。

当我们在计算一个函数的极限时，如果得到的结果为0/0或者∞/∞的形式，那么我们可以使用洛必达法则来求解极限。

具体做法是对分子和分母同时求导，并再次计算极限，直到得到一个有限的值。

四、泰勒展开法当我们计算一些函数在一点的极限时，可以使用泰勒展开来逼近函数的值。

泰勒展开是将一个函数表示为无限项的级数，通过截取有限项来逼近函数的值。

这样可以大大简化我们的计算过程。

五、换元法有时候我们可以通过进行一些变量的替换来改变函数的形式，从而更容易求解极限。

例如，当我们计算lim(x->0)(3^(2x)-2^x)时，可以令y=2^x，然后再进行计算，就可以得到较为简单的表达式。

六、分数的极限当我们计算一个函数的极限时，如果得到的结果为一个分数形式，可以进行有理化来方便我们的计算。

有理化的方法有分子分母同时乘以一些适当的因式、差化积等。

七、级数化积当我们计算一个函数的极限时，通常可以将函数展开为一个级数，然后进行计算。

例如，当我们计算lim(x->0)(e^x-1)/x时，可以将e^x展开为一个级数，再进行计算。

八、寻找特殊点有时候我们可以通过找到一些特定的点来计算极限。

高数求极限的方法总结在高等数学中，求极限是一个非常重要的概念，也是数学分析的基础。

在学习高数的过程中，我们经常会遇到各种各样的极限求解问题，而不同的函数求极限的方法也各有特点。

在这篇文档中，我将对高数求极限的方法进行总结，希望能够为大家提供一些帮助。

首先，我们来谈谈函数极限的定义。

当自变量 x 的取值无限接近某一数值 a 时，如果函数 f(x) 的取值也无限接近某一数值 A，那么就称函数 f(x) 在 x 趋向于 a 时的极限为 A，记作 lim(x→a) f(x) = A。

在实际应用中，我们经常会遇到一些常见的函数极限求解方法，比如利用极限的性质、夹逼定理、洛必达法则、泰勒展开等方法。

其次，利用极限的性质是我们在求解函数极限时经常使用的方法之一。

根据极限的性质，我们可以利用函数极限的四则运算性质、复合函数极限的性质、函数极限的比较性质等来简化极限的求解过程，从而更快速地得到极限的结果。

这种方法在实际应用中非常方便，可以大大简化计算的复杂度。

另外，夹逼定理也是一个常用的极限求解方法。

夹逼定理的核心思想是通过确定两个函数的极限，从而确定另一个函数的极限。

当我们无法直接求解某个函数的极限时，可以尝试利用夹逼定理来确定该函数的极限，这种方法在一些特殊的极限求解中非常有效。

此外，洛必达法则也是一个常见的极限求解方法。

当我们在求解函数极限时遇到不定型的极限形式时，可以尝试利用洛必达法则来简化求解过程。

通过对函数极限的导数形式进行比较，我们可以得到极限的结果，这种方法在一些特殊的函数极限求解中非常实用。

最后，泰勒展开是一个更加高级的极限求解方法。

通过对函数进行泰勒展开，我们可以将函数表示为无穷级数的形式，从而更加方便地进行极限求解。

这种方法在一些复杂的函数极限求解中非常有用，可以帮助我们更准确地确定函数的极限。

总的来说，高数求极限的方法有很多种，每种方法都有其特点和适用范围。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题来选择合适的方法进行求解，从而更快速、更准确地得到函数的极限结果。