勾股定理公式法

勾股定理重点知识点2017精选关于勾股定理重点知识点一、勾股定理与逆定理A.勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

1、勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中。

2、勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2= c2—b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2。

3、由于a2+b2=c2>a2 ，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边。

B.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。

说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等。

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形。

必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断。

(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角。

然后进一步结合其他已知条件来解决问题。

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形;否则不是。

面积分割法、构造直角三角形二、实数与数轴1、实数与数轴上的点是一一对应关系。

任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数。

数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。

2、在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离。

3、利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小。

三、矩形的性质1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角：矩形的四个角都是直角;③边：邻边垂直;④对角线：矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。

八年级上册数学总复习资料初二数学上册总复习指导第一章勾股定理1、探索勾股定理① 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c22、一定是直角三角形吗① 如果三角形的三边长a b c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形一定是直角三角形3、勾股定理的应用第二章实数1、认识无理数① 有理数：总是可以用有限小数和无限循环小数表示② 无理数：无限不循环小数2、平方根① 算数平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 就叫做a的算数平方根② 特别地，我们规定：0的算数平方根是0③ 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a。

那么这个数x就叫做a 的平方根，也叫做二次方根④ 一个正数有两个平方根;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根⑤ 正数有两个平方根，一个是a的算数平方，另一个是—，它们互为相反数，这两个平方根合起来可记作±⑥ 开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数3、立方根① 立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a 的立方根，也叫三次方根② 每个数都有一个立方根，正数的立方根是正数;0立方根是0;负数的立方根是负数。

③ 开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数4、估算① 估算，一般结果是相对复杂的小数，估算有精确位数5、用计算机开平方6、实数① 实数：有理数和无理数的统称② 实数也可以分为正实数、0、负实数③ 每一个实数都可以在数轴上表示，数轴上每一个点都对应一个实数，在数轴上，右边的点永远比左边的点表示的数大7、二次根式① 含义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数② =(a≥0，b≥0)，=(a≥0，b0)③ 最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式④ 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式时最简二次根式第三章位置与坐标1、确定位置① 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据2、平面直角坐标系① 含义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系② 通常地，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

海伦公式勾股定理证明法好的，以下是为您生成的文章：咱先来说说这海伦公式和勾股定理啊，这俩在数学的世界里可都是大名鼎鼎的角色！海伦公式呢，主要是用来求三角形的面积。

您想想，要是只知道三角形三条边的长度，就能算出它的面积，这多神奇！而勾股定理就更妙啦，它说的是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

那怎么用勾股定理来证明海伦公式呢？这可得好好琢磨琢磨。

我记得有一次，我在给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸疑惑地问我：“老师，这俩定理感觉八竿子打不着呀，怎么能扯到一块儿去呢？”我笑了笑，跟他说：“别着急，咱们一步步来。

”咱们先假设一个三角形，三条边分别是 a、b、c。

然后呢，咱们以边 c 为底边，作这条边上的高 h。

这时候，这个三角形就被分成了两个直角三角形。

接下来咱们就可以用勾股定理啦。

对于其中一个直角三角形，一条直角边是 h，另一条直角边是（c + x）/ 2 ，斜边是 a ；对于另一个直角三角形，一条直角边是 h ，另一条直角边是（c - x）/ 2 ，斜边是 b 。

然后根据勾股定理，可以得到两个方程：h² + [（c + x）/ 2 ]² = a²①h² + [（c - x）/ 2 ]² = b²②用① - ②，经过一番整理，就能得到 x 的表达式。

再把 x 的表达式代入其中一个方程，就能求出 h 的表达式。

最后，再根据三角形面积等于底乘以高除以 2 ，就能得到海伦公式啦。

这整个过程啊，就像是解谜一样，一步一步地推导，每一步都充满了惊喜和乐趣。

当学生们终于搞清楚这个证明过程的时候，那脸上露出的兴奋和满足的表情，让我觉得特别有成就感。

其实数学就是这样，看起来复杂的定理和公式，只要咱们耐心地去探索，去推导，总能发现其中隐藏的美妙逻辑。

所以啊，同学们，别害怕数学，勇敢地去探索它的奥秘，说不定会给您带来意想不到的乐趣呢！总之，用勾股定理证明海伦公式，虽然过程有点复杂，但只要咱们理清思路，一步一个脚印，就一定能搞明白。

第一节 勾股定理1.勾股定理如果直角三角形的两直角边分别是a ，b ，斜边为c ，那么.222c b a =+即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，如图7-1-1所示，注：勾——最短的边， 股——较长的直角边， 弦——斜边．勾股定理反映了直角三角形中三边间的关系，因此利用它可以解决有关边长的计算问题，也可以解决与直角三角形有关的一些平方关系的证明问题． 2.勾股定理的证明如图7-1-1所示，图①是一个直角三角形，方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形：.,214)(S 22222c b a ab c b a ABCD =+∴⨯+=+=正方形Θ方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图③所示的正方形：.,214)(S 22222EF c b a ab b a c GH =+∴⨯+-==正方形Θ方法三：“总统”法，如图④所示将两个直角三角形拼成直角梯形：.,212122))((S 2222ABCD c b a c ab b a b a =+∴+⨯=++=梯形117--3.直角三角形的性质(1)两锐角互余．(2)三边满足勾股定理．(3)斜边上的中线等于斜边的一半． (4)ο30角所对的直角边等于斜边的一半，另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即.ch ab =4. 直角三角形的判定 (1)有一个角是直角． (2)两锐角互余．(3)勾股定理的逆定理．(4)一条边上的中线等于这条边的一半（用时需证）．1.勾股定理应用常见注意事项(1)勾股定理只适用于直角三角形．(2)运用勾股定理时，要分清直角边和斜边，如果题目没有指明，则需分类讨论． (3)勾股定理将“数”与“形”有机结合，是数形结合思想方法的典范， 2.勾股定理证明方法的注意事项(1)目前已知的勾股定理证明方法有几百种，大多本质是应用面积方法算两次，即利用同一个图形公式法算出的面积和割补法算出的面积相等这一等量关系列出方程进行证明； (2)如图7-1-1所示，图②，③这两个弦图是正方形或者等腰直角三角形证明过程中的常用模型，必须掌握熟练． 3. 构造直角三角形的常用方法(1)作高，如图7-1- 201，②所示．(2)补全，如图7-1 - 2③，④所示． 图7- I-2(3)分割，如图7—1—2⑤所示． 4.直角三角形边的关系(1)斜边上的高×斜边=直角边乘积． (2)斜边上的中线等于斜边的一半．(3) 30。

90度勾股定理常用算法
一般常用的90度勾股定理算法有以下几种：
1.暴力枚举法：这种算法就是直接枚举三个数a、b、c，判断它们是否满足勾股定理。

时间复杂度O(n^3)。

2.边界缩减法：因为勾股定理是对称的，所以我们可以将三个数a、b、c中的最大值定为c，然后通过枚举a和b来判断是否满足勾股定理。

时间复杂度O(n^2)。

3.剪枝优化法：在边界缩减法的基础上，我们可以进一步优化，比如通过判断a+b是否大于c来缩小枚举范围，从而减少时间复杂度。

4.欧拉公式法：这种算法利用欧拉公式a^2+b^2=c^2，可以通过变换，转化成a^2=c^2-b^2，b^2=c^2-a^2，c^2=a^2+b^2的形式，然后通过枚举a或b来求解。

时间复杂度O(n)。

5.三角函数法：在直角三角形中，正弦函数sin、余弦函数cos、正切函数tan 之间有着一定的关系，可以利用它们来求解勾股三元组。

时间复杂度O(n)。

线段长度的计算方法探究线段是数学中的一个基本概念，它是由两个端点所确定的一条直线上的一段。

在几何学中，我们经常需要计算线段的长度，这对于解决各种问题和应用都非常重要。

本文将探究线段长度的计算方法，介绍几种常见的计算方式，并分析它们的优缺点。

一、勾股定理勾股定理是计算线段长度最常用的方法之一。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

因此，如果我们知道了线段的两个端点的坐标，就可以利用勾股定理来计算线段的长度。

假设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么线段AB的长度可以通过以下公式来计算：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，√表示开平方根的运算。

勾股定理的优点是简单易用，适用于各种情况下的线段长度计算。

然而，它也存在一些局限性。

首先，它要求我们知道线段的两个端点的坐标，这在某些情况下可能不容易获取。

其次，勾股定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形或其他形状的线段计算就不适用了。

二、坐标差值法坐标差值法是另一种常见的计算线段长度的方法。

它利用线段的两个端点的坐标差值来计算线段的长度。

假设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么线段AB的长度可以通过以下公式来计算：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)这与勾股定理的计算公式相同。

坐标差值法的优点是简单直观，适用于各种情况下的线段长度计算。

与勾股定理相比，它不仅适用于直角三角形，也适用于非直角三角形或其他形状的线段计算。

然而，它也有一些局限性。

首先，它要求我们知道线段的两个端点的坐标，这在某些情况下可能不容易获取。

其次，当线段的长度非常大或非常小时，坐标差值法可能会产生较大的误差。

三、直角坐标系下的距离公式直角坐标系下的距离公式是一种更一般化的计算线段长度的方法。

它利用线段的两个端点的坐标差值来计算线段的长度，但不限于二维平面，也适用于三维空间等更高维度的情况。

公式法教案教学目标：1. 理解和掌握公式法的定义、原理和应用；2. 能够利用公式法解决实际问题，并进行推广应用；3. 培养学生的数学思维和抽象思维能力，提高其数学能力。

教学重难点：1. 公式法的应用；2. 抽象思维能力的培养。

教学步骤：一、导入老师向学生展示一道数学题目，并让学生自行尝试解决。

例如：在三角形ABC中，∠A=60°，BC=4，AC=6，则AB=？二、引入公式法介绍公式法的定义及作用，为学生打下基础。

公式法是数学中一种解决问题的方法，利用已有的公式或定理来推导出问题的解，从而解决实际问题。

三、公式法的基础知识1. 知识点1：勾股定理介绍勾股定理，以及如何利用勾股定理求解三角形的边长问题。

2. 知识点2：正弦定理介绍正弦定理，以及如何利用正弦定理求解三角形的边长问题。

3. 知识点3：余弦定理介绍余弦定理，以及如何利用余弦定理求解三角形的边长问题。

四、公式法的应用利用各种公式和定理解决实际问题，并让学生通过多次练习掌握公式法的应用技巧，如何通过公式法解决三角形的面积问题等。

五、推广应用根据学生容易犯错的情况，进行公式运用的巩固和加强练习，并让学生尝试自己推导公式，培养其抽象思维能力。

六、作业布置布置相关的作业题目，巩固学生对公式法的掌握和应用。

教学方法：1. 课堂讲解法：运用案例分析和讲解等方式，让学生了解公式法的基础知识和应用方法。

2. 课堂练习法：设置多种不同难度的习题，让学生通过练习掌握公式法的应用技巧。

3. 推广训练法：带领学生进行深度理解和巩固，利用多种方式进行巩固，提高学生的应用能力及抽象思维能力。

教学效果：通过本次课的学习，学生能够熟练掌握公式法的基础知识和应用技巧，同时也能够培养其抽象思维能力，提高其数学能力和解决问题的能力。

勾股定理数学知识提纲数学是中考重要科目，想要学好数学，首先要找到学习的窍门，这样可以让我们事半功倍。

下面小编给大家分享一些勾股定理数学知识提纲，希望能够帮助大家，欢迎阅读!勾股定理数学知识提纲勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法.关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的.下面的证法1是欧几里得证法.证法1 如图2-16所示.在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2.下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和.过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE.因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS).而所以SAEML=b2. ①同理可证SBLMD=a2. ②①+②得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2.证法2 如图2-17所示.将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b.完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB.由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG=GH=HB=AB=c，∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，因此，AGHB为边长是c的正方形.显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即化简得 a2+b2=c2.证法3 如图2-18.在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H.由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB.设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=SABDE+2S△ABC，①另一方面S=SACGF+SHGKD+2S△ABC. ②由①，②所以 c2=a2+b2.关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名.利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论.定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍.证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示.作AD⊥BC于D，则CD就是AC在BC上的射影.在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，①在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，②又BD2=(BC-CD)2，③②，③代入①得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC?CD=AC2+BC2-2BC?CD，即c2=a2+b2-2a?CD. ④(2)设角C为钝角，如图2-20所示.过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影.在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，⑤在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，⑥又BD2=(BC+CD)2，⑦将⑥，⑦代入⑤得AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC?CD=AC2+BC2+2BC?CD，即c2=a2+b2+2a?cd. ⑧综合④，⑧就是我们所需要的结论特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：c2=a2+b2.因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广).由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响.在△ABC中，(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°;(2)若c2(3)若c2>a2+b2，则∠C>90°.勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用.例1 如图2-21所示.已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G.求证：AB2=2FG2.分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE.证因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE 的公共边，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，所以AF=AB. ①在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2. ②由①，②得AB2=2FG2.说明事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了.例2 如图2-22所示.AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2).证过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内).由广勾股定理，在△ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM?MD. ①在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC?MD. ②①+②，并注意到MB=MC，所以AB2+AC2=2(AM2+BM2). ③如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式.推论△ABC的中线长公式：说明三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外).利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式.①′，②′，③′中的ma，mb，mc分别表示a，b，c边上的中线长.例3 如图2-23所示.求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍.分析如图2-23所示.对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题.证设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P.由例2，在△BDQ中，即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2. ①在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以将②，③代入①得=4PQ2+BD2，即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2.说明本题是例2的应用.善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法.下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用.例4 如图2-24所示.已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点.求证：AD2+BE2=AB2+DE2.分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手.证 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍.如图2-25所示.设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线.求证：4(AM2+BN2)=5AB2.分析由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况――即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁.证连接MN，利用例4的结论，我们有AM2+BN2=AB2+MN2，所以4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2. ①由于M，N是BC，AC的中点，所以所以4MN2=AB2. ②由①，②4(AM2+BN2)=5AB2.说明在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MN∥AB且MN=图2-26所示.MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S.由于M，N分别是所在边的中点，所以S△ACM=S△BCN，两边减去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，从而AB必与MN平行.又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN.初中数学要怎么学1、课前预习预习是学习的第一步，通过预习可以更好地听老师讲课，提高学习效率。

勾股定理的证明方法有多少种
勾股定理的证明方法有很多种，下面介绍几种常见的方法：
1. 几何证明：通过构造直角三角形，在平面上利用几何图形进行证明。

常见的几何证明方法包括割圆法、方形法、相似三角形法等。

2. 代数证明：通过代数运算推导勾股定理。

常见的代数证明方法包括平方差公式法、向量法、复数法等。

3. 三角函数证明：利用三角函数的性质进行证明。

常见的三角函数证明方法包括正弦定理法、余弦定理法、正切定理法等。

4. 解析几何证明：通过利用坐标系的性质以及点之间的距离关系进行证明。

常见的解析几何证明方法包括斜率法、中点坐标法、向量法等。

不同的证明方法适用于不同的场景和问题，选择合适的证明方法可以简化证明过程，提高证明的可理解性和可推广性。