勾股定理总结

第18章 勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。

勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。

具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。

这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。

二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。

几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。

常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。

2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。

代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。

通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。

三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。

例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。

勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。

2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。

而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。

这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。

3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。

勾股定理公式知识点总结一、勾股定理的证明方法勾股定理的证明有许多种方法，下面介绍其中比较常见的几种证明方法：1. 几何法证明几何法证明是最直观的证明方法之一，它利用几何图形和性质进行推理。

一种常见的几何法证明是利用平行四边形的性质，将直角三角形的两个直角边分别构造成平行四边形的边，利用平行四边形的对角线相等性质即可证明勾股定理。

2. 代数法证明代数法证明是利用代数运算推导出勾股定理成立的证明方法。

一种常见的代数法证明是利用两个直角三角形组成一个正方形，通过展开式的数字运算推导出勾股定理成立。

3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种数学论证方法，通过证明当n=k时定理成立，再证明当n=k+1时定理也成立，从而得出在一切正整数n上定理成立的论证方法。

勾股定理的证明中也可以使用数学归纳法证明。

4. 数学分析法证明数学分析法是通过数学函数的图像分析证明定理的方法。

通过分析直角三角形和斜边的关系，利用函数的性质进行推导，可以证明勾股定理成立。

以上是勾股定理的几种常见的证明方法，它们都是通过不同的数学思维和方法来证明同一个定理的正确性。

在学习和掌握勾股定理时，可以通过比较不同的证明方法，增加对定理的理解和掌握。

二、勾股定理的应用场景勾股定理是数学中的基础定理，它被广泛地应用于各种实际问题中。

下面将介绍一些勾股定理在实际应用中的具体场景：1. 地理测量在地理测量中，经常需要利用勾股定理来计算直角三角形的边长。

例如，利用直角三角形的边长和角度来计算地球上两点的距离，或者计算某一点的具体位置等。

2. 建筑设计在建筑设计中，经常需要利用勾股定理来设计直角三角形结构的建筑物。

例如，在设计楼梯的高度和跨度，或者在设计房屋的墙角和斜面等方面，都需要用到勾股定理。

3. 机械制造在机械制造中，勾股定理也有广泛的应用。

例如，在设计机械零件的装配结构、角度、长度等方面，都需要用到勾股定理来进行计算和设计。

4. 航空航天在航空航天领域，勾股定理也有重要的应用。

17.1勾股定理考点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二：勾股定理的证明一般是通过剪拼，借助面积进行证明。

其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。

图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。

则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.考点三：勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。

(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。

勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。

在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。

(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。

勾股定理知识点总结梳理一、概念勾股定理是指直角三角形中，直角边上的两个小正方形的面积之和等于斜边上的一个大正方形的面积。

具体来说，设直角三角形的斜边长为 c，直角边长分别为 a 和 b，则有 a^2 + b^2 = c^2。

这就是著名的勾股定理。

这个定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪发现的，因而也被称为毕达哥拉斯定理。

二、证明方法勾股定理的证明方法有很多种，其中比较经典的是几何证明和代数证明两种方法。

1. 几何证明几何证明是从图形的角度出发，通过构造几何图形来证明勾股定理。

一种经典的几何证明是通过构造一个边长为 a+b，边长为 a，b的三个正方形，然后利用这三个正方形的关系来证明勾股定理。

具体步骤如下：（1）首先，我们分别在直角三角形的两条直角边上分别构造正方形，假设它们的边长分别为 a 和 b。

（2）然后再对边长为 a+b 的正方形进行构造，使得它的面积等于 a^2 + b^2，这样就构成了一个大正方形。

（3）最后，我们可以通过计算其中每个三角形的面积，再将它们相加，就可以得到大正方形的面积，从而证明 a^2 + b^2 = c^2。

2. 代数证明代数证明是通过代数方程式来推导和证明勾股定理。

一种经典的代数证明方法是利用平面直角坐标系，假设直角三角形的顶点分别为（0,0）、（a,0）和（0,b），斜边的顶点为（a,b）。

然后根据两点间的距离公式，可以推导出 a^2 + b^2 = c^2。

这种方法比较直观和简单，适合初学者理解和掌握。

三、应用勾股定理在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。

主要体现在以下几个方面：1. 测量和建筑在测量和建筑领域，勾股定理被广泛应用于测量三角形的边长和角度，以及设计相应的建筑结构。

例如，在房屋建筑中可以利用勾股定理来确定墙角是否垂直，以及计算各种角落的长度。

2. 航空航天在航空航天领域，勾股定理被应用于导航、飞行轨迹规划和飞行器设计等方面。

例如，飞行员需要根据勾股定理计算飞机的飞行距离和高度，以确保飞行过程中的安全。

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。

勾股定理的证明常用拼图的方法。

通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。

2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。

3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。

勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。

勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。

在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。

同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。

勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。

如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。

勾股定理的实际应用有很多。

例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。

现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。

同时梯子的顶端B下降至B′。

那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。

又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。

设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。

勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理，也是初中数学学习的重点内容之一。

它描述了直角三角形中三条边的关系，并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。

本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。

一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。

”这就是我们通常所说的勾股定理。

勾股定理的公式可以表示为：a² + b² = c²其中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表直角三角形的斜边。

二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。

几何证明：通过图形的构造和推理来证明勾股定理。

一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形，然后计算正方形的面积，从而证明等式成立。

代数证明：通过数学计算和变换来证明勾股定理。

一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算，然后将其相加和化简，最终得到等式成立的结果。

三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理，还有着广泛的应用。

1. 解决三角形的边长和角度问题：通过勾股定理，我们可以已知两条边长来求解第三条边长，或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。

2. 判断三角形的形状：我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，从而进一步研究和分析三角形的性质。

3. 解决几何问题：勾股定理还可以应用于解决一些几何问题，例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。

四、勾股定理的推广除了直角三角形，勾股定理还可以推广到其他形状的图形。

1. 平方和定理：平方和定理是勾股定理的推广，它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。

2. 多边形的对角线：在多边形中，通过某个顶点可以连接其他顶点，形成对角线。

对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。

3. 空间中的勾股定理：在空间几何中，勾股定理可以推广到三维空间，描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。

高中勾股定理知识点总结一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方。

具体表达为：设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2 + b^2 = c^2。

其中，a、b、c分别代表直角三角形的三条边的长度。

二、勾股定理的应用1. 检验直角三角形：当我们已知一个三角形的三条边的长度时，可以通过勾股定理来判断这个三角形是否为直角三角形。

如果已知a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形一定是直角三角形。

2. 求直角三角形的未知边长：当我们已知一个直角三角形的其中两条边的长度时，可以通过勾股定理来求解第三条边的长度。

根据a^2 + b^2 = c^2，可以利用这个公式求解出c的值。

3. 解决几何问题：在一些几何问题中，勾股定理也经常发挥重要作用。

例如，在求解直角三角形的面积、周长等问题时，可以先利用勾股定理求解出各边的长度，然后再进行进一步的计算。

三、勾股定理的证明勾股定理最早是由古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，所以也被称为毕达哥拉斯定理。

在数学中，勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的就是几何证明和代数证明。

1. 几何证明：几何证明是利用几何图形和性质来证明勾股定理。

一种常见的几何证明方法是构造一个正方形，然后证明正方形的对角线长度分别为a+b和c，从而得到a^2 + b^2 = c^2。

2. 代数证明：代数证明是利用代数运算和方程推导来证明勾股定理。

代数证明的思路更加抽象和数学化，需要运用代数知识进行推理和计算。

四、勾股定理的推广除了直角三角形外，勾股定理还可以推广到其他类型的三角形中。

其中最重要的就是斜三角形的勾股定理。

斜三角形的勾股定理表达为：a^2 + b^2 = c^2 - 2ab*cosC。

其中，a、b、c分别代表三角形的三条边的长度，C代表三角形的斜边对应的角的余弦值。

这个定理在解决一些非直角三角形的问题时也具有重要的作用。

根据勾股定理的知识点总结
1. 定义：勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于
斜边的平方。

根据这个定理可以得到一个常用的公式：a^2 + b^2 =
c^2，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。

2. 应用：勾股定理可以用于求解直角三角形中的各个边长。

如
果已知两个直角边的长度，可以直接使用勾股定理计算斜边的长度。

如果已知斜边的长度和一个直角边的长度，可以通过重新排列公式
计算另一个直角边的长度。

3. 证明：勾股定理的证明有多种方法，最常见的是基于几何和
代数的证明。

其中一种几何证明方法是通过构建等高直角三角形和
斜边的平行线来实现。

代数证明方法则使用代数运算和变量代换来
证明勾股定理的成立。

4. 延伸应用：勾股定理的应用远不止于解决直角三角形的问题。

它在物理学、工程学和计算机图形学中也有广泛应用。

例如，勾股
定理可用于计算斜面上物体的速度、计算三维空间中物体的位置等。

以上是对勾股定理知识点的简单总结。

了解和掌握勾股定理的概念和应用，有助于解决与直角三角形相关的问题，并在其他领域中应用数学知识。

以上是根据勾股定理的知识点总结。