勾股定理(一)

第3章《勾股定理》：3.1 勾股定理（1）选择题1．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．6（第1题）（第2题）2．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A． 5 +1 B．- 5 +1 C． 5 -1 D． 5填空题3．如图，半圆的直径AB= ．（第3题）（第4题）（第5题）4．如图，正方体的棱长为 2 cm，用经过A、B、C三点的平面截这个正方体，所得截面的周长是 cm．（第6题）（第7题）（第12题）5．有一个与地面成30°角的斜坡，如图，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的∠1=度时，电线杆与地面垂直．6．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠a=度．7．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为．（第13题）（第14题）（第15题）8．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为．9．已知等腰△ABC的腰AB=AC=10cm，底边BC=12cm，则△ABC的角平分线AD的长是 cm ．10．已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 cm ．11．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，BC=3cm，AB= cm ．12．在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是度．13．如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn= 度．14．如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰做第一个等腰直角三角形ADE；再以所作的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF 为腰做第二个等腰直角三角形AFG；…以此类推，这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为．15．图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第n个等腰直角三角形的斜边长为．16．已知△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是．17．等腰直角三角形的腰长为 2 ，则底边长为．18．等腰直角三角形的底角为度．19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D点到直线AB的距离是 cm．（第19题）（第21题）（第22题）20．已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为．21．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD= cm．22．下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．（第23题）（第24题）（第25题）23．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为．（精确到0.01）24．把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC=6cm，则△BCD的面积是 cm2．（第26题）（第27题）25．如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为．26．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点是D′，则BD′=．27．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么（a+b）2的值是．（第28题）（第29题）28．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是．29．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是．30．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．答案：选择题1．故选A．考点：勾股定理的证明．专题：压轴题．分析：先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．解答：解：过D点作DE⊥BC于E．∵∠A=90°，AB=4，BD=5，∴AD=BD2−AB2 =52−42 =3，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴点D到BC的距离=AD=3．故选A．点评：本题利用勾股定理和角平分线的性质．2．故选C．考点：勾股定理；实数与数轴．分析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．解答：解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为：12+22 = 5 ，∴-1到A的距离是 5 ，那么点A所表示的数为： 5 -1．故选C．点评：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．填空题3．故答案为2 2 ．考点：实数与数轴；勾股定理．专题：数形结合．分析：由图可知OE与OD、AC的长，再由勾股定理可得圆的半径OC的大小，进而可得半圆的直径AB的值．解答：解：连接OC，由图可知：OD=CD=1，由勾股定理可知，OC=OD2+CD2 =12+12 = 2 ，故半圆的直径为2 2 ，故答案为2 2 ．点评：此题很简单，解答此题关键是熟知勾股定理，理解题意．4．故填6厘米．考点：截一个几何体；勾股定理．专题：压轴题．分析：由图可知：所得的截面的周长=AC+BC+AB，正方体中，AC=BC=AB，所以只要求出正方体一面的对角线长度即可得出截面的周长，根据勾股定理，AB=( 2 2)+( 2 2) =2，因此，截面的周长=AB+BC+AC=3AB=6cm．解答：解：根据勾股定理，AB=( 2 )2+( 2 )2 =2，∴截面的周长=AB+BC+AC=3AB=6cm，即截面的周长为6厘米．点评：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．要利用本题中截面的特殊性求解．5．故答案为：60．考点：垂线；直角三角形的性质．专题：应用题．分析：将∠1的一边延长，找∠1的对顶角与30°，90°的关系，再根据对顶角相等求∠1．解答：解：如图，要使CB⊥AB，则在△ABC中，∠CBA=90°，∴∠1=∠ACB=90°-30°=60°．故答案为：60．点评：解答本题的关键是构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．6．故答案为：75°．考点：三角形的外角性质；直角三角形的性质．分析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质．解答：解：由图可知，∠ACD=∠B+∠BAC=45°∴∠BAC=45°-30°=15°∴∠α=90°-15°=75°．点评：解决此题的关键是熟练运用直角三角形的性质．7．故填6．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE=DC，在△BED中，BE=AB-AE，DE=DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．解答：解：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6根据勾股定理得2CB2=AB2，∴CB=3 2 ，∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C∴△CAD≌△EAD（AAS）∴AC=AE=3 2 ，DE=CD∴EB=AB-AE=6-3 2故△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB=6-3 2 +3 2 =6．点评：此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．8．底边上的高为4．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．分析：根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理不难求得底边上的高．解答：解：根据等腰三角形的三线合一，知：等腰三角形底边上的高也是底边上的中线．即底边的一半是3，再根据勾股定理得：底边上的高为4．点评：考查等腰三角形的三线合一及勾股定理的运用．9．故应填8．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．分析：由已知可以得到等腰三角形被它的顶角的平分线，平分成两个全等的直角三角形，可以利用勾股定理来求解．解答：解：如图，由等腰三角形的“三线合一”性质，知AD⊥BC，且BD=CD，在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=12BC=6，∴AD=AB2−BD2 =102−62 =8（cm）．故应填8．点评：命题立意：此题主要考查等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理．10．故应填 3 cm．．考点：等边三角形的性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解高．解答：解：根据等边三角形：三线合一，所以它的高为：22−12 = 3 cm．点评：考查等边三角形的性质及勾股定理，较为简单．11．故填答案：6．考点：直角三角形的性质．分析：根据直角三角形的性质即可解答．解答：解：如图：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A∴∠A+∠B=90°∴∠A=30°，∠B=60°∴BCAB =12，∵BC=3cm，∴AB=2×3=6cm．故填答案：6．点评：此题较简单，只要熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半即可解答．12．故填130°．考点：直角三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．分析：根据直角三角形的两个锐角互余和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和的性质计算．解答：解：∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠BDC=∠AEB=90°∴∠ABE=90°-50°=40°∴∠BPC=∠ABE+∠BDP=40+90=130°．故填130°．点评：本题考查了直角三角形的性质，及三角形的内角和定理及其三角形外角的性质．13．故应填2n-2． 考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律，进而可得出S n 的表达式．解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S 1=解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S 1=12=2-1； 根据勾股定理，得：AB= 2 ，则S 2=1=20；A 1B=2，则S 3=21，依此类推，发现：S n =2n -2．点评：本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．14．故应填( 2 2 )n ． 考点：等腰直角三角形． 专题：压轴题；规律型．分析：通过直角三角形的性质特点，斜边上的高等于斜边的一半，再分析规律，便能计算出答案了．解答：解：∵等腰直角△ABC 直角边长为1， ∴斜边长为12+12 = 2 ．斜边上的高也是斜边上的中线，应该等于斜边的一半． 那么第一个等腰直角三角形的腰长为 2 2； ∴第二个等腰直角三角形的斜边长=2×( 2 2 )2 =1． ∴第二个等腰直角三角形的腰长=12 =( 2 2)2， 那么第n 个等腰直角三角形的腰长为( 2 2)n ． 故第n 个等腰直角三角形的腰长为( 2 2)n ． 点评：解决本题的关键是根据等腰直角三角形的性质得到其他等腰直角三角形的表示规律．15．故答案为：2n．考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：利用勾股定理，分别把图中直角三角形的斜边求出，从中即可发现规律．解答：解：根据勾股定理，在①中，斜边是 2 ，在②中，斜边是2+2 =22，在③中，斜边是4+4 =23，以此类推，则第n个等腰直角三角形中的斜边是2n．点评：此题要结合图形熟练运用勾股定理计算几个具体值，从中发现规律．16．故答案为：等腰直角三角形．考点：等腰直角三角形．分析：已知△ABC是轴对称图形，则△ABC是等腰三角形，且三条高的交点恰好是C点，故△ABC是直角三角形；故△ABC的形状是等腰直角三角形．解答：解：△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是等腰直角三角形．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．17．故答案为：2．考点：等腰直角三角形．分析：已知等腰直角三角形的腰长为 2 ，则根据等腰直角三角形的性质及直角三角形的性质即可求得底边的长．解答：解：∵等腰直角三角形的腰长为 2 ，∴底边长为( 2 )2+( 2 )2 =2．点评：主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质．18．故答案为：45°．考点：等腰直角三角形．分析：根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理解答．解答：解：∵∠C=90°，AC=AB∴∠A=∠B=45°．点评：此题较简单，只要熟知根据等腰直角三角形的两底角相等且互余即可解答．19．故答案为：6cm．考点：勾股定理；角平分线的性质．分析：首先根据勾股定理求得CD的长，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得D到AB得距离等于CD的长．解答：解：∵AD=10cm，AC=8cm∴CD=6cm∵AD平分∠CAB∴D点到直线AB的距离=CD=6cm点评：运用了勾股定理以及角平分线的性质．20．故答案为：5或7 ．考点：勾股定理．专题：压轴题；分类讨论．分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．解答：解：设第三边为x，（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42=x2，所以x=5；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2=42，所以x=7 ；所以第三边的长为5或7 ．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．21．故答案为：4cm．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．解答：解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=12BC=12×6=3cm，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，所以，AD=AB2−BD2 =52−32 =4cm．点评：本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．关键要熟知等腰三角形的三线合一可得．22．故答案为：76．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．解答：解：设将AC延长到点D，连接BD，根据题意，得CD=6×2=12，BC=5．∵∠BCD=90°∴BC2+CD2=BD2，即52+122=BD2∴BD=13∴AD+BD=6+13=19∴这个风车的外围周长是19×4=76．点评：本题主要考查勾股定理的应用及识图能力．23．故答案为：6.71，考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；轴对称的性质．专题：压轴题；跨学科．分析：要求从A到B光线经过的路线的长度利用光学反射原理得到∠ACO=∠BCX，这样找出A关于x轴的对称点D，则D、C、B在同一条直线上，再过B作BE⊥DE 于E，构造直角三角形，然后利用勾股定理就可以求出．解答：解：延长BC交y轴于D，过B作BE⊥DE于E，根据光学反射原理得∠ACO=∠BCX，而∠BCX=∠DCO∴∠ACO=∠DCO∴△ACO≌△DCO∴AC=DC∴OD=OA=1．在直角△DBE中，BE=6，DE=2+1=3，∴DB=BE2+DE2 =62+32 =45 ≈6.71，∴光线从A到B经过的路线的长度约是6.71．点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目．24．故答案为：27．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：本题考查直角三角形的性质和勾股定理，利用直角三角形的性质和勾股定理解答．解答：解：∵两块三角尺是有30°的相同的直角三角尺，∠ABC=∠EBD=30°，AC AB =12，cos∠ABC=cos30°=BCAB=32，∴AB=BE=2AC=2DE=2×6=12，BC = 32×AB=32×12 = 6 3 ，∴BD=6 3 ，过D作DF⊥BE，在Rt△BDF中，∠DBE=30°，∴DFBD = DF6 3=12， DF=3 3 ，∴S△B C D=12BC•DF=12×6 3 ×3 3 =27cm2．故答案为：27．点评：本题是一道根据直角三角形的性质结合勾股定理求解的综合题，求高DF 除上述方法外，还可根据面积法列方程解答．25．故答案为：2 3 ．考点：勾股定理；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：作DF⊥CE于F，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可．解答：解：过D作DF⊥CE于F，根据等腰三角形的三线合一，得：CF=1．在直角三角形CDF中，根据勾股定理，得：DF2=3．在直角三角形BDF中，BF=BC+CF=2+1=3，根据勾股定理得：BD=9+3 =2 3 ．点评：熟练运用等腰三角形的三线合一和勾股定理．26．故答案为： 5 ．考点：勾股定理；轴对称的性质．专题：压轴题．分析：根据已知条件发现等腰直角三角形ABC，再根据轴对称的性质得到等腰直角三角形DCD′，最后根据勾股定理计算B D′的长．解答：解：根据题意，得∠ACB=45°再根据轴对称的性质，得△CDD′是等腰直角三角形．则CD′=CD=1，在直角三角形BCD′中，根据勾股定理，得BD′= 5 ．点评：此题考查了勾股定理，以及轴对称的基本性质，难易程度适中．27．故答案为：25．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．解答：解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×12ab=13-1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．故答案为：25．点评：注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．28．故答案为：a2．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：根据勾股定理知，以两条直角边为边作出的两个正方形面积和等于以斜边为边的正方形面积．解答：解：如图，由勾股定理可知，正方形A与B 的面积和等于正方形M的面积．正方形C与D的面积和等于正方形N的面积．并且正方形M与N的面积和等于最大的正方形的面积．因此A、B、C、D的面积之和是为最大正方形的面积=a2．点评：本题考查了勾股定理的意义及应用．29．故答案为： 5 ．考点：勾股定理；直角三角形全等的判定．专题：压轴题．分析：两直角三角形的斜边是正方形的两边，相等；有一直角对应相等；再根据正方形的角为直角，可得到有一锐角对应相等，易得两直角三角形全等，由三角形全等的性质可把2，1，正方形的边长组合到直角三角形内得正方形边长为22+12 = 5 ．解答：解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABM+∠CBN=90°，而AM⊥MN，CN⊥BN，∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°，∴△AMB≌△BCN，∴BM=CN，∴AB为22+12 = 5 ．点评：本题考查勾股定理及三角形全等的性质应用．30．故答案为：30cm2．考点：勾股定理．分析：直角三角形的面积的计算方法是两直角边乘积的一半，因而由勾股定理先求出另外一条直角边，再求面积．解答：解：∵另一条直角边长=12cm∴三角形的面积是=12×12×5=30cm2．点评：本题考查了勾股定理，面积的计算公式是解题的关键．。

勾股定理进阶版公式(一)勾股定理进阶版公式1. 勾股定理简介勾股定理是一条几何定理，描述了直角三角形之间边长关系的准确公式。

根据勾股定理，如果一个三角形的两个边长的平方的和等于第三边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

2. 传统勾股定理公式传统的勾股定理公式可以表示为：c2=a2+b2。

其中，a、b表示直角三角形的两个直角边的长度，c表示假设的斜边的长度。

例子：假设直角三角形的直角边a的长度为3，直角边b的长度为4。

根据勾股定理，可以计算斜边c的长度：c2=32+42=9+16=25则c=√25=5。

因此，直角三角形的斜边长度为5。

3. 勾股定理进阶版公式除了传统的勾股定理公式外，还存在勾股定理的进阶版公式，可以解决一些特殊情况下的问题。

邻边和斜边求另一条邻边这个公式可以表示为：a=√c2−b2。

例子：假设直角三角形的斜边c的长度为5，直角边b的长度为3。

根据进阶版公式，可以计算直角边a的长度：a=√52−32=√25−9=√16=4因此，直角三角形的直角边a的长度为4。

斜边和一条邻边求另一条邻边这个公式可以表示为：b=√c2−a2。

例子：假设直角三角形的斜边c的长度为5，直角边a的长度为4。

根据进阶版公式，可以计算直角边b的长度：b=√52−42=√25−16=√9=3因此，直角三角形的直角边b的长度为3。

总结勾股定理进阶版公式提供了更加灵活的求解方法，可以根据已知条件求解直角三角形的边长。

在实际应用中，这些公式可以帮助我们计算建筑、工程等领域中的各种角度和边长的问题，提高精度和效率。

小学五年级奥数之勾股定理（1）勾股定理：一个直角三角形中，构成直角的两边叫做直角边；直角所对的边叫做斜边。

直角边的平方和等于斜边的平方。

设直角边为a和b，斜边为c，那么有：a²+b²=c²。

其中斜边是直角三角形中最长的边。

一般∠A对应的边是a，∠B对应的边是b，∠C 对应的边是c。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理。

一、基础训练1、在直角三角形ABC中，∠C=90度，如果a=6、b=8,那么c=（）；2、在直角三角形中，∠C=90度，如果a=5，c=13，那么b=（）；3、在直角三角形中，∠c=90度，如果c=625，b=20，求a=（）；4、以下各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）。

A 6、7、8B 8、10、12C 10 24 26 D、20 、15、6245、一个直角三角形的一条直角边是12厘米，斜边是13厘米，问这个直角三角形的面积是多少平方厘米？6、下面正方形ABCD中，∠BAD=90°，∠CBD=90°，AD=8厘米、AB=6厘米,BC=20厘米，问正方形ABCD的面积是多少平方厘米？7、下面大正方形ABCD中，由4个一样的直角三角形和一个小正方形拼成，其中AF=3厘米、CE=7厘米,大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？小正方形的面积是多少平方厘米？8、如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别是a、b、c;A、B、N、E、F五点在同一直线上，则正方形CNHM的面积是多少?单位：厘米)，用含有a、b、c、d的字母来表示。

9、如图，正方形网状格子组成的图中，AB、CD、EF、GH四条线段，其中可以构成直角三角形的三边的线段是（）?10、一个圆拄形的杯子中放着一根吸管，最多可以露出4厘米，最少可以露出2厘米，这个吸管的长度是12厘米，问玻璃杯底面直径是多少厘米？11、一根绳子在一个圆柱上从一端到另外一端绕了4整圈，如下图所示，圆柱底面周长4米，长12米，你可以算出绳子的长度吗？12、右图是美丽的人造平面珊瑚礁图案。

第一章勾股定理测试1 勾股定理(一)一、填空题1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B→C所走的路程为______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．二、选择题6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．(A)4 (B)6 (C)8 (D)1028．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．(A)150cm2 (B)200cm2(C)225cm2(D)无法计算三、解答题9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．综合、运用、诊断一、选择题10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个二、填空题11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．三、解答题13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．拓展、探究、思考14．如图，△ABC中，∠C＝90°．(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；图①(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S1＋S2与S3的关系；图②(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1＋S2与S3的关系．图③测试2 勾股定理(二)课堂学习检测一、填空题1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．3题图4．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．4题图二、选择题5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．5题图(A)5m (B)7m (C)8m (D)10m6．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )．6题图(A)212(B)310(C)56(D)58三、解答题7．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?综合、运用、诊断一、填空题9．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 为______米．10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______( 取3)二、解答题：11．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?拓展、探究、思考13．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．测试3 勾股定理(三)课堂学习检测一、填空题1．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝______，AB 边上的高CE ＝______．2．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝______，AC 边上的高BE ＝______．3．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______，AB 边上的高CD ＝______．4．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．5．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______． 二、选择题6．已知直角三角形的周长为62 ，斜边为2，则该三角形的面积是( )．(A)41(B)43(C)21(D)17．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )． (A)7 (B)7或41(C)24(D)24或7三、解答题8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．综合、运用、诊断10．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，延长AB 到D ，使CD ＋DB ＝AC ＋AB ，求BD 的长．11．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE的长．12．如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长．13．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．拓展、探究、思考14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少? 15．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积S n＝______．测试4 勾股定理的逆定理课堂学习检测一、填空题1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，①若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；②若a2＋b2＝c2，则∠c为____________；③若a2＋b2＜c2，则∠c为____________．5．若△ABC中，(b－a)(b＋a)＝c2，则∠B＝____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是______三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______．8．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A)a＝6，b＝8，c＝10 (B)3,2,1===cba(C)43,1,45===cba(D)6,3,2===cba10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4 (C)9∶25∶26 (D)25∶144∶169 11．已知三角形的三边长为n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形(B)一定是等腰三角形 (C)一定是直角三角形 (D)形状无法确定综合、运用、诊断一、解答题12．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．13．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝CB41，求证：AF⊥FE．15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?拓展、探究、思考16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．第十八章勾股定理全章测试一、填空题1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm．3题图4．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．4题图5．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm．5题图6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．6题图7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．8．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．8题图二、选择题9．下列三角形中，是直角三角形的是( )(A)三角形的三边满足关系a＋b＝c(B)三角形的三边比为1∶2∶3(C)三角形的一边等于另一边的一半(D)三角形的三边为9，40，4110．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )．10题图(A)450a元 (B)225a元 (C)150a元 (D)300a元11．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )．(A)2 (B)3 (C)22 (D)3212．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于( )．(A)5 (B)135 (C)1313 (D)59三、解答题13．已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD 的长．14．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求这块草地的面积．15．△ABC中，AB＝AC＝4，点P在BC边上运动，猜想AP2＋PB·PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想．16．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．17．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?18．如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．图1 图2 图3(1)请用三种方法(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形)，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上(要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹)；(2)三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少；(3)三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少．19．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．参考答案 勾股定理 测试1 勾股定理(一)1．a 2＋b 2，勾股定理． 2．(1)13； (2)9； (3)2，3； (4)1，2． 3．52． 4．52，5． 5．132cm ． 6．A ． 7．B ． 8．C ． 9．(1)a ＝45cm ．b ＝60cm ； (2)540； (3)a ＝30，c ＝34； (4)63； (5)12．10．B ． 11．.5 12．4． 13．.310 14．(1)S 1＋S 2＝S 3；(2)S 1＋S 2＝S 3；(3)S 1＋S 2＝S 3．测试2 勾股定理(二)1．13或.119 2．5． 3．2． 4．10． 5．C ． 6．A ． 7．15米． 8．23米． 9．⋅3310 10．25． 11．.2232- 12．7米，420元．13．10万元．提示：作A 点关于CD 的对称点A ′，连结A ′B ，与CD 交点为O ．测试3 勾股定理(三)1．;343415,34 2．16，19.2． 3．52，5． 4．.432a 5．6，36，33． 6．C ． 7．D8．.132 提示：设BD ＝DC ＝m ，CE ＝EA ＝k ，则k 2＋4m 2＝40，4k 2＋m 2＝25．AB ＝.1324422=+k m9．,3213,31102222+=+=图略．10．BD ＝5．提示：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出(30－x )2＝(x ＋10)2＋202，解得x ＝5．11．BE ＝5．提示：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，∴32＋(9－x )2＝x 2．解得x ＝5．12．EC ＝3cm ．提示：设EC ＝x ，则DE ＝EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，BF ＝622=-AB AF ，CF ＝4．在Rt △CEF 中(8－x )2＝x 2＋42，解得x ＝3． 13．提示：延长FD 到M 使DM ＝DF ，连结AM ，EM ．14．提示：过A ，C 分别作l 3的垂线，垂足分别为M ，N ，则易得△AMB ≌△BNC ，则.172,34=∴=AC AB15．128，2n －1．测试4 勾股定理的逆定理1．直角，逆定理． 2．互逆命题，逆命题． 3．(1)(2)(3)． 4．①锐角；②直角；③钝角． 5．90°． 6．直角．7．24．提示：7＜a ＜9，∴a ＝8． 8．13，直角三角形．提示：7＜c ＜17． 9．D ． 10．C ． 11．C ． 12．CD ＝9． 13．.51+14．提示：连结AE ，设正方形的边长为4a ，计算得出AF ，EF ，AE 的长，由AF 2＋EF 2＝AE 2得结论．15．南偏东30°．16．直角三角形．提示：原式变为(a －5)2＋(b －12)2＋(c －13)2＝0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0． 18．352＋122＝372，[(n ＋1)2－1]2＋[2(n ＋1)]2＝[(n ＋1)2＋1]2．(n ≥1且n 为整数)参考答案 勾股定理全章测试1．8． 2．.3 3．.10 4．30． 5．2．6．3．提示：设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6，CE ＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程． 7．26或.2658．6．提示：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为Rt △． 9．D ． 10．C 11．C ． 12．B13．.2172提示：作CE ⊥AB 于E 可得,5,3==BE CE 由勾股定理得,72=BC 由三角形面积公式计算AD 长．14．150m 2．提示：延长BC ，AD 交于E ． 15．提示：过A 作AH ⊥BC 于HAP 2＋PB ·PC ＝AH 2＋PH 2＋(BH －PH )(CH ＋PH ) ＝AH 2＋PH 2＋BH 2－PH 2 ＝AH 2＋BH 2＝AB 2＝16． 16．14或4．17．10； .16922n +18．(1)略； (2)定值， 12；(3)不是定值，.10226,1028,268+++ 19．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6由勾股定理得：AB ＝10，扩充部分为Rt △ACD ，扩充成等腰△ABD ，应分以下三种情况．①如图1，当AB ＝AD ＝10时，可求CD ＝CB ＝6得△ABD 的周长为32m ．图1②如图2，当AB ＝BD ＝10时，可求CD ＝4图2由勾股定理得：54=AD ，得△ABD 的周长为.m )5420(+． ③如图3，当AB 为底时，设AD ＝BD ＝x ，则CD ＝x －6，图3由勾股定理得：325=x ，得△ABD 的周长为.m 380。