第1课时——正弦定理(1)(配套作业)

课时作业1 正弦定理时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则b ＝( D )A.6－22 B.3 C.62D. 6 解析：因为A ＝45°，C ＝75°，所以B ＝60°，所以由正弦定理得b ＝a ·sin Bsin A＝2×3222＝ 6. 2．已知△ABC 外接圆的半径R ＝5，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则bsin B ＝( C )A ．2.5B ．5C ．10D ．不确定 解析：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得b sin B＝10. 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，b ＝2，A ＝π4，则B＝( A )A.π6B.π6或5π6C.π3D.5π6解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝2×222＝12，又a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6.4．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：由已知，得a sin A ＝b ＝bsin B ，所以sin B ＝1，所以B ＝90°，故△ABC 一定是直角三角形．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( D )A ．－223 B.223C ．－63D.63解析：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b ·sin A a ＝33，又a >b ，所以角B 为锐角，所以cos B ＝63. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( B )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定解析：∵b ＝30，c ＝15，C ＝26°，∴c ＝30×12＝b sin30°>b sin C ，又b >c ，∴此三角形有两解(如图所示)．二、填空题7．在△ABC 中，sin A sin B ＝32，则a ＋b b 的值为52.解析：由正弦定理，得a ＋b b ＝a b ＋1＝sin A sin B ＋1＝32＋1＝52.8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝45°，a ＝5，则a ＋b －csin A ＋sin B －sin C＝10.解析：由比例性质和正弦定理可知，a ＋b －csin A ＋sin B －sin C ＝a sin A ＝5sin45°＝10.9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为π6.解析：由sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2，知B ＝π4，由正弦定理易求得sin A ＝12.又a <b ，所以A 为锐角，从而A ＝π6.三、解答题10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3，求c 的值． 解：(1)由a cos C ＋32c ＝b 和正弦定理， 得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B . ∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴32sin C ＝cos A sin C .∵sin C ≠0，∴cos A ＝32. ∵0<A <π，∴A ＝π6.(2)由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa ＝3sin π61＝32. ∵b >a ，∴B ＝π3或2π3.①当B ＝π3时，由A ＝π6，得C ＝π2，∴c ＝2.②当B ＝2π3时，由A ＝π6，得C ＝π6，∴c ＝a ＝1.综上可得，c ＝1或c ＝2.11．在△ABC 中，已知2a ＝b ＋c ，sin 2A ＝sin B sin C ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，得sin A ＝a2R ，sin B＝b 2R ，sin C ＝c2R ，所以由sin 2A ＝sin B sin C 可得⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝b 2R ·c 2R ，得a 2＝bc . 又2a ＝b ＋c ，所以4a 2＝(b ＋c )2， 所以4bc ＝(b ＋c )2，即(b －c )2＝0，所以b ＝c ，所以由2a ＝b ＋c ，得 2a ＝b ＋b ＝2b ，所以a ＝b ，所以a ＝b ＝c ， 故△ABC 为等边三角形．——能力提升类——12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( C )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：因为m ⊥n ，所以3cos A －sin A ＝0， 所以tan A ＝3，则A ＝π3.由正弦定理得原式＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ， 所以sin(A ＋B )＝sin 2C ，所以sin C ＝sin 2C . 因为0<C <π，sin C ≠0，所以sin C ＝1， 所以C ＝π2，A ＝π3，B ＝π6.13．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，b ＝43，若此三角形有且只有一个，则a 的取值X 围是( C )A ．0<a <43B ．a ＝6C ．a ≥43或a ＝6D ．0<a ≤4 3 解析：当a ＝b sin A ＝43×32＝6时，△ABC 为直角三角形，有且只有一解；当a ≥b ＝43时，此三角形只有一解，此时B ≤A ＝60°.综上，a ≥43或a ＝6.故选C.14．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，角A 的平分线交BC 于D ，AD ＝3，则AC ＝ 6. 解析：如图所示，∵B ＝120°，AB ＝2，AD ＝3，∴由正弦定理得sin ∠ADB ＝AB ·sin B AD ＝22，∴∠ADB ＝45°，∴∠BAD ＝15°，∠BAC ＝30°，∴在△ABC 中，C ＝30°，由正弦定理得AC ＝AB ·sin Bsin C＝2×3212＝ 6.15．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值． 解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理，得AC sin B ＝ABsin C， 所以AB ＝AC ·sin Csin B＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35， 故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 因此，cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6 ＝－210×32＋7210×12＝72－620.。

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正弦定理 课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］ 由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。

3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］ 由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!， 即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。

《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。

2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。

3. 让学生了解正弦定理的应用场景。

教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。

2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

3. 解释正弦定理的证明过程。

教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。

2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。

3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。

练习题：1. 解释正弦定理的概念。

2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。

章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。

2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。

教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。

2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。

教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。

2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。

练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。

2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。

章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。

2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。

教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。

2. 解释正弦定理的证明方法。

教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。

2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。

练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。

2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。

章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。

2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。

教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。

2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。

教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。

2017春高中数学 第1章 解三角形 1。

1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理 课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］ 由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。

3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］ 由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!，即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C．错误!D．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(3，－1）,n＝(cos A,sin A），若m⊥n,且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A、B的大小分别为错误!（ C ）A．错误!，错误!B．错误!，错误!C．π3，错误!D．错误!，错误![解析]∵m⊥n,∴错误!cos A－sin A＝0,∴tan A＝错误!,则A＝错误!。

K12配套2021 2021学年高中数学第一章解三角形课时作业1正弦定理新人教B版必修5k12配套2021-2021学年高中数学第一章解三角形课时作业1正弦定理新人教b版必修5Kk12辅助学习材料课时作业(一)正弦定理A组（时限：10分钟）1。

在里面△ ABC，三个内角a、B和C的对边分别是a、B和C。

如果a=2，B=3，B=60°，那么a=（）a.45°B.135°c.45°或135°d.60°分析：Sina=可以从正弦定理中得到答案：A2。

在里面△ ABC，如果a=60°，B=45°，BC=32，那么AC=（）a.43b。

23c 3d。

322，但akk12支持学习材料答案：d5．在△abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且＝＝，试判断△abccosacosbcosc的形状．解：由正弦定理＝＝＝2r，sinasinbsinc得a＝2rsina，b＝2rsinb，c＝2rsinc，代入＝＝中，得cosacosbcosc2rsina2rsinb2rsinc＝＝，cosacosbcosc即sinasinbsinc＝＝，cosacosbcoscabcabcabc∴tana＝tanb＝tanc，即a＝b＝c.因此△abc为等边三角形．b组(限时：30分钟)1．在△abc中，ab＝3，a＝45°，c＝75°，则bc等于()a．3－3b.2c．2d．3＋3解析：在△abc中，由正弦定理，得＝，sinasinc∴bc＝3sin45°.sin75°6＋2，4bcab又∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝∴bc＝2×＝3－3.6＋2243答案：a222．在△abc中，已知a＝3，b＝60°，cosa＝，则b＝()3a.c.9692b.88939d.22配套学习资料k12页脚内容Kk12辅助学习材料33×293221asinb解析：∵02b．x<2c．2abckk12配套学习资料π2是sin（B+C）=Sina，即Sina=1，‡a=，所以选择a.2答案：a2sina-sinb7。

第一章 解三角形§ 1．1．1 正弦定理【情形激趣】有一个旅行景点，为了吸引更多的旅客，想在景色区两座相邻的山之间搭建一条参观索道。

已知一座 山顶 A 到山脚 C 的直线距离是 1500 米，在山脚 C 测得两座山顶之间的夹角是脚 C 与山顶 A 之间的夹角是 30 。

求需要建多长的索道？b5E2RGbCAP450，在另一座山顶B 测得山BA300451500C【学习过程 】 一、课前准备试验 ：固定 ABC 的边 CB 及 思虑 ： C 的大小与它的对边 明显，边 AB 的长度跟着其对角B ，使边 AC 绕着极点 C 转动． AB 的长度之间有如何的数目关系？C 的大小的增大而．可否用一个等式把这类关系精准地表示出来？二、新课导学 ※ 学习研究研究 1：在初中， 我们已学过如何解直角三角形， 下边就第一来商讨直 角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ，AC=b ，AB=c ，p1EanqFDPw依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有asin A ，bsin B ，又 sin C 1c ， ccc进而在直角三角形 ABC 中，ab c．sin A sin B sin C研究 2：那么关于随意的三角形，以上关系式能否仍旧建立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，依据随意角三角函数的定义，有 CD= a sin B b sin A ，则 a bsin A ，cb sin B 同理可得，sin C sin B 进而 a b csin A sin B ．sin C近似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍旧建立．请你试一试推导.1.表达正弦定理的内容：2.正弦定理的变形①边化角： a = ， b = ， c = ；DXDiTa9E3d②角化边：sin ， sin ， sin C ； RTCrpUDGiT3.正弦定理的推论： a : b : c进而知正弦定理的基本作用为：①②一般地，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程叫作_______【沟通释疑】（二）合作商讨种类一已知两角及一边解三角形例 1. 在ABC 中，已知 A 45 ， B 60 ，a42cm，解三角形．变式：在ABC 中，已知 B 45 ， C 60 ， a 12cm，解三角形．规律总结：种类二已知两边及此中一边的对角解三角形例 2. 在ABC中， c6, A 45 , a2,求 b和 B, C ．变式：在ABC中， b3, B 60 , c1, 求a 和A, C ．规律总结：种类三判断三角形的形状例 3在ABC 中，已知a2tan B b 2 tan A ，试判断三角形的形状。

1．1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一)基础过关1.在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53B.35C.37D.57答案 A解析 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53.2.在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 答案 B解析 由题意有a sin A ＝b ＝b sin B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形.3.在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c ，则C 的值为( )A.30°B.45°C.60°D.90° 答案 B解析 ∵sin A a ＝cos C c ，∴sin A cos C ＝a c ，又由正弦定理得a c ＝sin A sin C .∴cos C ＝sin C ，又0°＜C ＜180°，∴C ＝45°，故选B.4.在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( )A.1B.2C. 2D. 3 答案 B解析 ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°.由正弦定理得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.5.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A.－223B.223C.－63D.63答案 D解析 由正弦定理得15sin 60°＝10sin B ， ∴sin B ＝10sin 60°15＝10×3215＝33.∵a >b ，A ＝60°，∴B 为锐角.∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－（33）2＝63. 6.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.答案 75°解析 由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b <c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°.7.在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B .解 根据正弦定理a sin A ＝c sin C ，得 a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2.由三角形内角和定理，得B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C ，∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°＝20×6＋24＝5(6＋2).能力提升8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )A.725B.－725C.±725D.2425答案 A解析 由正弦定理及8b ＝5c ，得8sin B ＝5sin C ，又C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin 2B ＝10sin B cos B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725.9.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3 答案 B解析 由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0，即sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，即sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝c sin C 得2sin 3π4＝2sin C ，即sin C ＝12，又a ＞c 得C ＝π6，故选B.10.锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A >B .下面三个不等式成立的是________(填序号).①sin A >sin B ；②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B .答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立.函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数，∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立.在锐角三角形中，∵A ＋B >π2， ∴A >π2－B ，则有sin A >sin(π2－B )，即sin A >cos B ，同理sin B >cos A ，故③成立.11.在△ABC 中，C ＝45°，A ＝60°，b ＝2，求此三角形最小边的长及a 与B 的值. 解 ∵A ＝60°，C ＝45°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝75°，∴C <A <B ，∴c <a <b ，即c 边最小.由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝2sin 60°sin 75°＝32－6，c ＝b sin C sin B ＝2sin 45°sin 75°＝23－2.∴最小边c 的长为23－2，a ＝32－6，B ＝75°.12.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长.解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC， sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB＝9sin 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB＝45°，由正弦定理：ABsin∠BDA ＝BDsin∠BAD，解得BD＝92 2.故BD的长为922.创新突破13.如图所示，在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径2R，故有asin A＝bsin B＝csin C＝2R，这一关系对任意三角形也成立吗？解在锐角△ABC中，如下图，连接BO交圆O于D，连接CD. 因为∠A＝∠D，则在△BCD中，asin A＝asin D＝2R.同理，bsin B＝csin C＝2R，所以asin A＝bsin B＝csin C＝2R成立.在钝角△ABC中，如下图，连接BO交圆O于D，连接CD，∠A＝180°－∠D，所以asin A＝asin（180°－D）＝asin D＝2R.所以asin A＝bsin B＝csin C＝2R对任意三角形仍成立.。

第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【选题明细表】1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1,b=1,则a为( D )(A)3 (B)2解析:由∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1,得∠A=120°,∠B=∠C=30°,根据正弦定理,即解得a=.2.(2017·四川雅安高一期中)已知△ABC中,a=4,b=4,∠A=30°,则∠B等于( A )(A)30°(B)30°或150°(C)60°(D)60°或120°解析:法一因为a=4,b=4,∠A=30°,所以根据正弦定理又B为锐角,则∠B=30°.法二因为a=b=4,∠A=30°,所以∠A=∠B=30°.故选A.3.(2017·福建福州高一期末)在△ABC中,利用正弦定理解三角形时,其中有两解的选项是( D )(A)a=3,b=6,∠A=30°(B)a=6,b=5,∠A=150°∠A=60°∠A=30°解析:对于A,由正弦定理可得sin B=可得∠B=90°, ∠C=60°,只有一解;对于B,由正弦定理可得sin B=可得B为锐角,三角形只有一解;对于C,由正弦定理可得可得这样的三角形无解;对于D,由正弦定理可得sin 由b>a,可得B∈(30°,150°),有两解.故选D.4.在△ABC中,若B,cos A=cos C,则△ABC形状为( C )(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:由正弦定理知b=2R·sin B,a=2R·sin A,则3b=2·sin B可化为·sin B,因为0°<∠B<180°,所以sin B≠0.所以所以∠A=60°或∠A=120°,又cos A=cos C,所以∠A=∠C,所以∠A=60°,所以△ABC为等边三角形.5.若三角形三个内角之比为1∶2∶3,则这个三角形三边之比是.解析:设三个内角∠A、∠B、∠C分别为x,2x,3x,则x+2x+3x=180°,所以x=30°.由正弦定理可知a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,所以a∶b∶c=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°1=1∶ 2.答案:1∶ 26.在△ABC中,已知∠B=45°,∠C=60°,则△ABC的面积是.解析:由正弦定理得又∠A=75°,所以S△ABC·×答案7.(2017·内蒙古包头铁路一中高一期末)下列叙述中错误的是( B )(A)在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C(B)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则A=B(C)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;若A>B,则 sin A>sin B(D)在△ABC中解析:A,在△ABC中,由正弦定理可得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,故有a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,故A成立;B,若sin 2A=sin 2B,等价于2A=2B,或2A+2B=π,可得A=B,或故B不成立;C中,由sin A>sin B可知2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆半径),即a>b,则A>B,反之,若A>B,则a>b,即sin A>sin B,因此C正确;D再根据比例式的性质可得D成立.故选B.8.在△ABC中,若∠B=30°则△ABC的面积为( C )(A)2( (D)3解析:得sin C=因为AB>AC,所以∠C=60°或120°.当∠C=60°时,∠A=90°,则S△ABC2×sin 90°当∠C=120°时,∠A=30°,则S△ABC2×sin 30°故选C.9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b·cos C=3a·cos B-c·cos B,则cos B= .解析:由正弦定理得:a=2R·sin A,b=2R·sin B,c=2R·sin C,则等式可化为:2R·sin B·cos C=6R·sin A·cos B-2R·sin C·cos B,即:sin B·cos C=3sin A·cos B-sin C·cos B,可得:sin B·cos C+sin C·cos B=3sin A·cos B,sin(B+C)=3sin A·cos B.又sin(B+C)=sin A,且sin A≠0,所以答案10.在锐角△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,且4sin(1)求∠A的大小;(2)若BC边上高为1,求△ABC面积的最小值.解:(1)因为∠A+∠B+∠C=π,所以sin所以由已知得4cos-cos 2A=变形得2(1+cos A)-(2cos2整理得(2cos A-1)2=0,解得因为A是三角形的内角,所以(2)因为BC边上高为1,所以bsin C=1,csin B=1,所以△ABC的面积设y=4sin Bsin C,则y=4sin Bsin(=2sin Bcos B+2sin2Bsin 2B+1-cos 2B因为0<∠∠所以∠从而∠故当2∠即∠,S的最小值为11.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,若m=(b,3a),n=(c,b),且m∥n,∠C-∠求∠B.解:由m∥n,得b2=3ac.由正弦定理可得4R2·sin2B=3×2Rsin A×2Rsin C 即sin2B=3sin A·sin C因为∠C-∠所以sin C=cos A,即:sin2sin 2A,又∠A+∠B+∠C=π,所以2∠A+∠即sin 2A=cos B,得:sin2所以2cos2B+3cos B-2=0.得cos B=所以∠。