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第四章树与树的表示(一)

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数据结构中的树与图算法教程

数据结构中的树与图算法教程

数据结构中的树与图算法教程第一章树的基本概念与遍历算法树是一种非线性数据结构，它由若干个节点组成，这些节点以层级的方式连接，形成分支的结构。

树中的一个节点被称为根节点，它没有父节点；其他节点可以有一个或多个父节点，这些节点被称为子节点。

树具有分支，但没有循环。

1.1 具体树的概念在树的结构中，每个节点可以有零个或者多个子节点，但是只能有一个父节点。

树具有层级关系，通过连接节点的边表示。

1.2 树的分类常见的树包括二叉树、二叉搜索树、红黑树等。

其中，二叉树是一种特殊的树结构，它的每个节点最多可以有两个子节点。

1.3 树的遍历算法树的遍历算法主要有前序遍历、中序遍历和后序遍历。

前序遍历是以根节点、左子树、右子树的顺序进行遍历；中序遍历是以左子树、根节点、右子树的顺序进行遍历；后序遍历是以左子树、右子树、根节点的顺序进行遍历。

第二章树的存储结构与常见应用2.1 树的存储结构树的存储结构有两种常见的实现方式，分别是链表实现和数组实现。

链表实现利用指针进行节点的连接，数组实现则使用数组的索引来表示节点之间的关系。

2.2 平衡二叉树平衡二叉树是一种自平衡的二叉搜索树，它的左右子树的高度差不超过1。

平衡二叉树的插入和删除操作都可以通过旋转操作进行平衡。

2.3 哈夫曼树哈夫曼树是一种特殊的二叉树，用于编码和解码数据。

哈夫曼树中出现频率高的字符距离根节点较近，而出现频率低的字符距离根节点较远，以实现编码的高效率。

第三章图的基本概念与遍历算法3.1 图的基本概念图是由节点和边组成的非线性数据结构。

节点表示实体，边表示节点之间的关系。

图可以分为有向图和无向图两种类型，有向图的边是有方向的，无向图的边没有方向。

3.2 图的存储结构图的存储结构有邻接矩阵和邻接表两种常见的方式。

邻接矩阵是一个二维数组，用于表示节点之间的连接关系；邻接表是由链表或者数组实现的，用于表示每个节点相邻节点的信息。

3.3 图的遍历算法图的遍历算法主要有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

幼儿园大班教案《大树》含反思

幼儿园大班教案《大树》含反思

幼儿园大班教案《大树》含反思一、教学内容本节课选自幼儿园大班教材《大自然的奥秘》第四章《树木的世界》，详细内容为“大树”一节。

通过对大树的生长过程、结构特点、生态环境等方面的学习，使幼儿了解大树的重要性，培养幼儿对大自然的热爱。

二、教学目标1. 让幼儿了解大树的生长过程、结构特点及生态环境，提高幼儿对自然现象的观察力和理解力。

2. 培养幼儿热爱大自然，保护环境的意识。

3. 培养幼儿动手操作和合作探究的能力。

三、教学难点与重点难点：大树的生长过程、结构特点及生态环境的理解。

重点：让幼儿认识大树，了解其生长过程、结构特点及生态环境，培养幼儿对大自然的热爱。

四、教具与学具准备教具：大树实物、图片、视频、模型等。

学具：画笔、画纸、剪刀、胶水、彩色纸等。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）教师带领幼儿观察幼儿园内的大树，让幼儿用自己的语言描述大树的外貌、树叶、树干等特征。

2. 例题讲解（10分钟）（1）教师展示大树实物、图片、视频等，引导幼儿观察大树的生长过程、结构特点及生态环境。

（2）教师讲解大树的生长过程、结构特点及生态环境，让幼儿了解大树的重要性。

3. 随堂练习（10分钟）（1）教师提问，幼儿回答，巩固所学知识。

（2）幼儿分组讨论，分享观察大树的心得。

4. 动手操作（10分钟）（1）教师示范制作大树的手工，幼儿跟随操作。

（2）幼儿利用画笔、画纸、剪刀、胶水、彩色纸等材料，创作自己的大树作品。

（1）教师邀请幼儿展示自己的大树作品，分享创作心得。

六、板书设计1. 大树的生长过程种子发芽→ 幼苗生长→ 成树2. 大树的结构特点树干、树皮、树叶、树枝、树根3. 大树的生态环境土壤、水分、阳光、空气七、作业设计1. 作业题目：我心中的大树请幼儿根据自己的观察和想象，画一幅大树的作品。

2. 答案：略八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过观察、讲解、动手操作等多种形式，让幼儿了解了大树的生长过程、结构特点及生态环境，达到了教学目标。

第四章树历年试题

第四章树历年试题

数据结构自考第四章树历年试题 1 第四章树一、单项选择题201101--2.树形结构中，度为0的结点称为( )A.树根B.叶子C.路径D.二叉树201101--9.二叉树的第i（i≥1）层上所拥有的结点个数最多为( )A.2iB.2iC.2i-1D.2i-1201101--14.如果结点A有3个兄弟结点，而且B为A的双亲，则B的度为( )A.1B.3C.4D.5201001--2.某二叉树的后根遍历序列为dabec，中根遍历序列为debac，则先根遍历序列为（）A.acbedB.becabC.deabcD.cedba201001--3.含有n个结点的二叉树用二叉链表表示时，空指针域个数为( )A.n-1B.nC.n+1D.n+2200910--5.由带权为9，2，5，7的四个叶子结点构造一棵哈夫曼树，该树的带权路径长度为（）A.23B.37C.44D.46200901--8.具有n个结点的二叉树，拥有指向孩子结点的分支数目是（）A.n-1B.nC.n+1D.2n200901--9.对一棵有100个结点的完全二叉树按层序编号，则编号为49的结点，它的左孩子的编号为（）A.99B.98C.97D.50200901--10.有m个叶子结点的哈夫曼树，其结点总数是（）A.2m-1 B.2mC.2m+1D.2（m+1）200901--14.已知8个元素（34，76，45，18，26，54，92，65），按照依次插入结点的方法生成一棵二叉排序树，则该树的深度为（）(根据新教材的内容应安排在查找)A.4B.5C.6D.7200810--8.含有n个结点的二叉树采用二叉链表存储时，空指针域的个数为（）1A.n-1B.nC.n+1D.n+2200810--9.在一棵深度为H 的完全二叉树中，所含结点的个数不少于．．．（ ）A.2H-1-1B.2H-1C.2H -1D.2H200810--12.对一棵二叉排序树采用中根遍历进行输出的数据一定是（ ）A.递增或递减序列B.递减序列 C .无序序列 D.递增序列200801--8.某二叉树的先根遍历序列和后根遍历序列正好相反，则该二叉树具有的特征是( )A.高度等于其结点数B.任一结点无左孩子C.任一结点无右孩子D.空或只有一个结点200801--9.在完全二叉树中，若一个结点是叶结点，则它没有( )A.左孩子结点B.右孩子结点C.左孩子结点和右孩子结点D.左孩子结点，右孩子结点和兄弟结点 200801--12.若构造一棵具有n 个结点的二叉排序树，最坏的情况下其深度不超过( )A. B. n C. D. n+1200710--8.除根结点外，树上每个结点( )A.可有任意多个孩子、一个双亲B.可有任意多个孩子、任意多个双亲C.可有一个孩子、任意多个双亲D.只有一个孩子、一个双亲200710--9.题9图中树的度为( )A.2B.3C.5D.8题9图200701--10．高度为h 的完全二叉树中，结点数最多为（ ）A ．2h-1 B.2h+1 C.2h -1 D.2h200701--11．由m 棵结点数为n 的树组成的森林，的树组成的森林，将其转化为一棵二叉树，将其转化为一棵二叉树，将其转化为一棵二叉树，则该二叉树中根结则该二叉树中根结点的右子树上具有的结点个数是（ ）A ．mn B.mn-1 C.n(m-1) D.m(n-1)200610--8.含有10个结点的二叉树中，度为0的结点数为4，则度为2的结点数为（ ）A.3B.4C.5D.6200610--9.对一棵有100个结点的完全二叉树按层编号，则编号为49的结点，它的父结点的编号为（）A.24B.25C.98D.99200610--10.可以惟一地转化成一棵一般树的二叉树的特点是（）A.根结点无左孩子B.根结点无右孩子C.根结点有两个孩子D.根结点没有孩子200601--7.关于二叉树性质的描述，正确的是（）A.二叉树结点的个数可以为0B.二叉树至少含有一个根结点二叉树至少含有一个根结点C.二叉树若存在两个结点，则必有一个为根，另一个为左孩子D.二叉树若存在三个结点，则必有一个为根，另两个分别为左、右孩子200601--8.具有4个结点的二叉树可有（）A.4种形态B.7种形态C.10种形态D.11种形态200601--9.若采用邻接表存储结构，则图的深度优先搜索类似于二叉树的（）A.先根遍历B.中根遍历C.后根遍历D.层次遍历二、填空题201101--23.在树形结构中，没有后继的结点是___________结点。

第四章事故树分析

第四章事故树分析
安全系统工程
第四章 事故树分析
主讲教师：季香君
2009.2
第一节 事故树分析概述
一.事故树分析的基本概念
事故树分析 (Fault Tree Analysis,简称FTA) 是安全 系统工程中常用的一种分析方法。1961年,美国贝尔电话研 究所的维森 (H.A.Watson)首创了FTA 并应用于研究民兵式 导弹发射控制系统的安全性评价中,用它来预测导弹发射的 随机故障概率。接着,美国波音飞机公司的哈斯尔 (Hassle) 等人对这个方法又作了重大改进,并采用电子计算机进行辅 助分析和计算。 1974 年,美国原子能委员会应用FTA对商用 核电站进行了风险评价,发表了拉斯姆逊报告 (Rasmussen Report),引起世界各国的关注。目前事故树分析法已从宇航、 核工业进入一般电子、电力、化工、机械、交通等领域,它 可以进行故障诊断、分析系统的薄弱环节,指导系统的安全 运行和维修,实现系统的优化设计。
顶上事件、中间事件符号，需要进 一步往下分析的事件；
第一节 事故树分析概述
1)顶上事件。是事故树分析中所关心的结果事件, 位于事故树的顶端,总是所讨论事故树中逻辑门的输 出事件而不是输入事件,即系统可能发生的或实际已 经发生的事故结果。 2)中间事件。是位于事故树顶上事件和底事件之 间的结果事件。它既是某个逻辑门的输出事件,又是 其他逻辑门的输入事件。
第一节 事故树分析概述
(3)进行FTA的过程,是一个对系统更深 入认识的过程,它要求分析人员把握系统内 各要素间的内在联系,弄清各种潜在因素对 事故发生影响的途径和程度,因而许多问题 在分析的过程中就被发现和解决了,从而提 高了系统的安全性 (4)利用事故树模型可以定量计算复杂 系统发生事故的概率,为改善和评价系统安 全性提供了定量依据。

木质资源材料学第四章 微观结构(共109张PPT)

木质资源材料学第四章 微观结构(共109张PPT)

(1)管胞的形态、特征
管胞在横切面上沿径 向排列，相邻两列管胞位 置前后略交错，早材呈多 角形，常为六角形，晚材 呈四边形。
早材管胞，两端呈钝阔 形，细胞腔大壁薄，横断 面呈四边形或多边形；
晚材管胞，两端呈尖
削形，细胞腔壁厚，横断
面呈扁平状(图4-2)。
图4-2 针叶树材管胞
A.马尾松早材管胞； B.早材管胞的一局部； C.晚材管胞的一局部；
②体积：很小，百分比7.08%〔3.7-11.7%〕，射线率 高，树种进化程度高。
从这点上说，阔叶树材比针叶树进化。阔叶材射线兴旺。
4.1.3.1
组成细胞的胞壁较薄，细胞短，两端水平，壁上为单纹孔， 细胞腔内常含有深色树脂。横切面为方形或长方形，常借内含 树脂与轴向管胞相区别。纵切面为数个长方形细胞纵向相连成 一串，其两端两个细胞端部尖削。
图4-10阔叶树材三切面的扫描电镜图(佐伯浩)
1. 欧洲水青冈(Fagus sylvatica)；2. 榆木(Ulmus laciniata)；箭头处表示生长轮界
导管——由一连串的轴向细胞形成无一定长度的管状组织， 构成导管的单个细胞称为导管分子。
导管是由管胞演化而成的一种进化组织，专司输导作用。导管 分子是构成导管的一个细胞。
交叉场纹孔类型：
a. 窗格状〔window-like pit 〕——单纹孔，形大，每个交 叉场内有1-3个，为松属特征，红 松、樟子松、马尾松、云南松。
b. 云杉型〔piceoid pit 〕 ：具 窄而稍外延或内涵的纹孔口，形 小、孔缘狭，云杉、落叶松
c. 柏型〔cupressoid pit 〕 ：纹孔口较宽， 但纹孔缘较窄，其纹 孔口的长轴随位置而 变。柏科、柏木、杉 科少数属、紫杉。

园林制图第3章：园林要素表现(植物)

园林制图第3章：园林要素表现(植物)
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● 竹子的绘图步骤
（课堂练习：竹子画法）
绘出树干 描绘出部分枝、叶，应逐枝描绘 绘出全部枝、叶；并根据光影效果，分清空间层次
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3、树木平面、立（剖）面的统一 树木在平面、立（剖）面图中的表示方法应相同，表现手法
和风格应一致。 保证树木的平面冠径与立面冠径相等、平面与立面对应、树
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质感形
8
（2）树冠线平面符号的外形分类 常常划分为常绿阔叶、落叶阔叶、常绿针叶、落叶针叶。
● 阔叶（常、落）乔木树冠平面图图例
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● 针叶（常、落）乔木树冠平面图图例
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● 用编号和图例来表示园林植物
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● 用直接标注来表示园林植物
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● 建筑图中常用的装饰性效果的树冠平面图图例
2、小短线法——将小短线排列成行。每行之间的间距相近排列整 齐可用来表示草坪；排列不规整的可用来表示草地。（图d）
3、线段排列法——最常用法。要求线段排列整齐，行间有断断续 续的重叠（图c），也可稍许留些空白（图e），或行间留白 （图f），还可以用乱线法（图i），或m形线条排列（图h）
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中小乔木（元宝枫、玉兰、海棠、卫矛、山桃、樱花）成年冠径 3－7m。
常绿乔木（樟树、桂花、雪松）幼树冠4－8m。锥形常绿树（桧 柏、云杉、杜松等）幼树冠2－3m。
花灌木（木槿、丁香、榆叶梅、红继木、黄刺玫等）1－3m。 绿篱： 单行宽度0.5-1.0m
双行宽约1－1.5m。
3
注意几点：
1、对各类树木的表示，没有具体的标准可循。 2、通常依叶形进行推敲、抽象、简化绘出，也可借助图例说明。 3、树木平面图的表示最简单的做法就是，以种植点为圆心，以树木冠幅

第四章第二节-优树选择分析

优树选择是利用林木种内第三个层次变异的一 种方式，始于上世纪30年代。
优树是根据表现性选择出来的、未经遗传测定 的，优树经遗传测定确定为真正遗传基础优良的 类型，称为精英树。
优树选择和种源选择都属人工选择，是选择育 种的范畴。
一. 人工选择的特点和选择育种方式
（一）人工选择的特点
根据人们的需求，从混杂群体中挑选符合要求的个体 或类型。
2. 混合选择
对入选个体混合采种、采条，混合繁殖的选择方式。 种源选择、类型选择、苗圃间苗、林分抚育伐、母树 林疏伐等属于混合选择。
适用性状遗传力高、种群混杂、变异幅大的群体。
优点：－简单易行，节约土地、人力和设备； －一次能获得较多的繁殖材料，便于及早推广； －能保持较丰富的遗传性，用以维持和提高品
3. 绝对值法
－根据生长过程表或立地指数表，分别龄级（分 布区的的树种还需要按不同气候区）制定出某 一地位级条件下一般优数的最低标准，超过标 准的入选。
－无生长过程表时，按不同的气候区和不同的立 地条件类型，分别设立标准地，取得资料，绘 制“树龄－材积”相关曲线。按标准实测侯选 树的生长量，利用相应立地条件类型下“树龄 －材积”的相关曲线确定是否入选。
四. 优树评选方法
（一）材积评定常用方法
1. 优势木对比法
– 以侯选树为中心，在立地条件相对一致的10—25 米半径范围内（包括30—40株以上），选出仅次 于侯选树的3—5株优势木，实测并计算其平均树 高、胸径和材积，如侯选树的材积等指标超过规 定标准，既可步向四周展开，在坡地可椭 圆形，长株、轴平行水平方向，实测30株以上树 木的胸径、树高，求出材积，在计算各指标的平 均值。把侯选树于平均值比较，符合标准的即可 入选。
为了弥补人工选择造成的遗传基础窄化的问题，在大规 模开展林木良种选育之初，应当重视育种资源的搜集和补充

信息学奥赛一本通 第4章 第6节 最小生成树(C++版) ppt课件


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4
min[3]=w[2][3]=1; min[5]=w[2][5]=2;
第三次循环是找到min[3]最小的蓝点3。将3变为白点，接着枚举与3相连的所有 蓝点4、5，修改它们与白点相连的最小边权。
1
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22 16
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min[4]=w[3][4]=1; 由于min[5]=2 < w[3][5]=6;所 以不修改min[5]的值。
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1个集合{ {1，2，3，4，5} } 生成树中有4条边{ <1,2> ，<4,5>，<3，5>，<2,5>}
3
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ppt课件
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Kruskal算法
算法结束，最小生成树权值为19。 通过上面的模拟能够看到，Kruskal算法每次都选择一条最小的，且能合并两 个不同集合的边，一张n个点的图总共选取n-1次边。因为每次我们选的都是最小的 边，所以最后的生成树一定是最小生成树。每次我们选的边都能够合并两个集合， 最后n个点一定会合并成一个集合。通过这样的贪心策略，Kruskal算法就能得到一 棵有n-1条边，连接着n个点的最小生成树。 Kruskal算法的时间复杂度为O(E*logE)，E为边数。
第一行： 农场的个数，N（3<=N<=100）。
第二行..结 尾
后来的行包含了一个N*N的矩阵,表示每个农场之间的距离。理论 上，他们是N行，每行由N个用空格分隔的数组成，实际上，他们 限制在80个字符，因此，某些行会紧接着另一些行。当然，对角 线将会是0，因为不会有线路从第i个农场到它本身。

第4章-安全系统工程--事故树定量分析


《安全系统工程》
一般情况下，单元故障率为：
λ=Kλ0
式中：K—综合考虑温度、湿度、振动及其他条件影 响的修正系数，一般K=1~10； λ0—单元故障率的实验值，一般可根据实验或统计求 得，等于元件平均故障间隔期的倒数，即：
1 0 MTBF
式中：MTBF——为平均故障间隔期，是指相邻两次 故障间隔期内正常工作的平均时间。
《安全系统工程》
k=a· b· c· d· e；
a—作业时间系数； b—操作频率系数； c—危险状况系数；
d—心理、生理条件系数；
e—环境条件系数。
《安全系统工程》
顶上事件发生的概率
1．直接计算法 直接分步算法适于事故树规模不大，而且事故 树中无重复事件时使用。它是从底部的门事件 算起，逐次向上推移，直算到顶上事件为止。 当事故树规模不大，无需布尔代数化简时可直 接计算法求顶上事件发生概率
《安全系统工程》
3.最小割集法
若事故树中各割集中有重复基本事件时将上式展 开，用布尔代数消除每个概率积中的重复事件。 例如：某事故树共有3个最小割集合：试用最 小割集合法计算顶事件的发生的概率。 E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝ E3=｛X3，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05 求顶上事件发生概率？
事件。
《安全系统工程》
3.最小割集法
最小割集合中有重复事件时，顶上事件的发生概率为：
P(T ) qi
r 1 xi Er k 1 r s k xi Er

qi (1)
k 1 r 1 xi E1
Es

树与二叉树二叉树的基本操作课件-浙教版(2019)高中信息技术选修1

所以 n_0 = n_2 + 1
树
二叉树
·二叉树的性质
性质4、具有 n 个结点的完全二叉树的深度 log2 n 1
性质5、 如果有一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号， 对任一层的节点i（1<=i<=n）有
(1).如果i=1，则节点是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲 节点为[i/2]，向下取整 (2).如果2i>n那么节点i没有左孩子，否则其左孩子为2i (3).如果2i+1>n那么节点没有右孩子，否则右孩子为2i+1
2、链表实现 需要三个域：一个数值域和两个指针域。 头指针
A
A
B
C
D
E
F
G
B
^C^
^D^
E
^F^
^G^
二叉树的基本操作
·二叉树的建立
3、列表实现
List1=[‘A’,[‘B’,None,None], [‘C’,[‘D’,[‘F’,None,None], [‘G’,None,None]], [‘E’,[‘H’,None,None], [‘I’,None,None]]]]
求其前序遍历顺序？
A-B-D-H-E-C-F-I-G-J-K
计算表达式：中序遍历顺序 逆波兰式：后序遍历顺序
树
+
-
4
8
/
+
5
3
*
2
6
树
二叉树的基本操作
·二叉树的唯一性
通过二叉树任二种遍历方式能否确定一 颗唯一的二叉树呢？
有唯一二叉树： 前序遍历+中序遍历 后序遍历+中序遍历
前序遍历+后序遍历 -----没有唯一二叉树
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二叉树的存储结构
1. 顺序存储结构
用一组地址连续的存储单元依次“自上而下、自左至右”存储完全二叉树
的数据元素。对于完全二叉树上编号为i的结点元素存储在一维数组的下标
值为i的分 量中。
ห้องสมุดไป่ตู้
n个结点的完全二叉树的结点父子关系：
非根结点（序号i ≥1）的父结点的序
号是 i / 2;当 i / 2=0时，该结点是
11个元素的二分查找判定树
判定树上每个结点需要的查找次数刚好
6
为该结点所在的层数;
查找成功时查找次数不会超过判
3
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定树的深度
1
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10
n个结点的判定树的深度 为[log2n]+1.
ASL = (4*4+4*3+2*2+1)/11 = 3
2
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8
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二分查找的启示？
4.2树的定义
树（Tree）: n（n≥0）个结点构成的有限集合。 当n=0时，称为空树； 对于任一棵非空树（n> 0），它具备以下性质：
动态查找：集合中记录是动态变化的 除查找，还可能发生插入和删除
静态查找
方法1：顺序查找(数组存储）
Tbl 10
int SequentialSearch (StaticTable *Tbl, ElementType K) { /*在表Tbl[1]~Tbl[n]中查找关键字为K的数据元素*/
int i; Tbl->Element[0] = K; /*建立哨兵*/ for(i = Tbl->Length; Tbl->Element[i]!= K; i--); } return i; /*查找成功返回所在单元下标；不成功返回0*/
KL
M
B
E F
K L
A
C
G
H
M
D
I
J
儿子-兄弟表示法
Element FirstChild NextSibling
A BC D E F G HIJ
KL
M
A
N
B
C
D
N
E
F G HI J
NN NN
N
NN
K
L
M
N
NN
NN
A
N
45
B
C
D
N
E FG HI J
NN NN
N NN
KL
M
N
NN
NN
Element
树与非树?
A
B
C
D
E F GH
A
B
C
D
E F GH
A
B
C
D
E F GH
子树是不相交的； 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点； 一棵N个结点的树有N-1条边。
D IJ K M
树的一些基本术语
1. 结点的度（Degree）：结点的子树个数 2. 树的度：树的所有结点中最大的度数 3. 叶结点（Leaf）：度为0的结点 4. 父结点（Parent）：有子树的结点是其子树
1
A
2
3
B
4
5
D
E
C
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F
G
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H
JK
1
2
3
1
2
3
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5
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8 9 10 11 12 13 14 15 8 9 10 11 12
(a) 满二叉树
(b) 完全二叉树
1
1
2
3
45
6
2
3
4
5
67
(c) 非完全二叉树 图6-4 特殊形态的二叉树
二叉树几个重要性质 性质1：
在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点。(i≥1)
性质2： 深度为k的二叉树上至多含2k-1个结点。(k≥1)
性质3：
对任何一棵二叉树，若它含有n0个叶子结点、n2个度为2的结点， A 则必存在关系式：n0 = n2+1。
B
C
D
E
F
JK
H
n0 = 4，n1 = 2 n2 = 3； n0 = n2 +1
满二叉树的特点： ◆ 基本特点是每一层上的结点数总是最大结点数。 ◆ 满二叉树的所有的支结点都有左、右子树。 ◆ 可对满二叉树的结点进行连续编号，若规定从根结点开始，按“自上而 下、自左至右”的原则进行。
4.1树与树的表示
树型结构是一类非常重要的非线性结构。直观地，树型结构是以分支关 系定义的层次结构。
树在计算机领域中也有着广泛的应用，例如在编译程序中，用树来表示 源程序的语法结构；在数据库系统中，可用树来组织信息；在分析算法的行为 时，可用树来描述其执行过程等等。
本章将详细讨论树和二叉树数据结构，主要介绍树和二叉树的概念、术 语，二叉树的遍历算法。树和二叉树的各种存储结构以及建立在各种存储结构 上的操作及应用等。
A
B
C
D
F GH IJ K
L
M
12.有序树和无序树：对于一棵树，若其中每一个结点的子树 （若有）具有一定的次序，则该树称为有序树，否则称为无序树。
13.森林(forest)：是m(m≧0)棵互不相交的树的集合。 显然，若将一棵树的根结点删除，剩余的子树就构成了森林。
树的表示
A
BC D
E F G HIJ
/*调整左边界*/
else return mid; /*查找成功，返回数据元素的下标*/
} return NotFound;
/*查找不成功，返回-1*/
}
二分查找算法具有对数的时间复杂度O(logN)
[例] 仍然以上面13个数据元素构成的有序线性表为例 二分查找关健字为 43 的数据元素如下：
常用的遍历方法有： void PreOrderTraversal( BinTree BT )：先序----根、左子树、右子树； void InOrderTraversal( BinTree BT )： 中序---左子树、根、右子树； void PostOrderTraversal( BinTree BT )：后序---左子树、右子树、根 void LevelOrderTraversal( BinTree BT )：层次遍历，从上到下、从左到右
/*初始左边界*/ /*初始右边界*/
while ( left <= right )
{
mid = (left+right)/2; /*计算中间元素坐标*/
if( K < Tbl->Element[mid])
right = mid-1; /*调整右边界*/
else if( K > Tbl->Element[mid]) left = mid+1;
5 16 39 45 51 98 100 202 226 321 368 444 501 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1、left = 1, right = 13; mid = (1+13)/2 = 7: 2、left = mid+1=8, right = 13; mid = (8+13)/2 = 10: 3、left = mid+1=11, right = 13; mid = (11+13)/2 = 12:
的根结点的父结点 5. 子结点（Child）：若A结点是B结点的父结
点，则称B结点是A结点的子结点；子结点也 称孩子结点。 6. 兄弟结点（Sibling）：具有同一父结点的各 结点彼此是兄弟结点。
A
B
C
D
F GH IJ K
L
M
树的一些基本术语
7. 路径和路径长度：从结点n1到nk的路径为一 个结点序列n1 , n2 ,… , nk , ni是 ni+1的父结 点。路径所包含边的个数为路径的长度。
3、left = mid+1=4, right = 6; mid = (4+6)/2 = 5: 51 > 43; 4、left = 4, right = mid-1= 4; mid = (4+4)/2 = 4: 45 > 43; 5、left = 4, right = mid-1= 3; left > right ? 查找失败，结束;
完全二叉树是满二叉树的一部分，而满二叉树是完全二叉树的特例。
完全二叉树的特点： 若完全二叉树的深度为k ，则所有的叶子结点都出现在第k层或k-1层。
对于任一结点，如果其右子树的最大层次为l，则其左子树的最大层次为l 或l+1。
性质4：n个结点的完全二叉树深度为：㏒2n +1。 其中符号： x表示不大于x的最大整数。 x 表示不小于x的最小整数。
顺序查找算法的时间复杂度为O(n)。
0K
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
方法2：二分查找（Binary Search) 假设n个数据元素的关键字满足有序（比如：小到大）
并且是连续存放（数组），那么可以进行二分查找。
[例] 假设有13个数据元素，按关键字由小到大顺序存放. 二分查找关健字为444的数据元素过程如下：
完全二叉树(Complete Binary Tree)：如果深度为k，由n个结点的二叉树， 当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应， 该二叉树称为完全二叉树。
或深度为k的满二叉树中编号从1到n的前n个结点构成了一棵深度为k的完 全二叉树。
其中 2k-1 ≦ n≦2k-1 。
树的根结点。