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树与森林的遍历

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二叉树,树,森林遍历之间的对应关系

二叉树,树,森林遍历之间的对应关系

二叉树,树,森林遍历之间的对应关系一、引言在计算机科学中，数据结构是非常重要的知识点之一。

而树这一数据结构，作为基础的数据结构之一，在软件开发中有着广泛的应用。

本文将重点探讨二叉树、树和森林遍历之间的对应关系，帮助读者更加全面地理解这些概念。

二、二叉树1. 二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

二叉树可以为空，也可以是一棵空树。

2. 二叉树的遍历在二叉树中，有三种常见的遍历方式，分别是前序遍历、中序遍历和后序遍历。

在前序遍历中，节点的访问顺序是根节点、左子树、右子树；在中序遍历中，节点的访问顺序是左子树、根节点、右子树；在后序遍历中，节点的访问顺序是左子树、右子树、根节点。

3. 二叉树的应用二叉树在计算机科学领域有着广泛的应用，例如用于构建文件系统、在数据库中存储有序数据、实现算法中的搜索和排序等。

掌握二叉树的遍历方式对于理解这些应用场景非常重要。

三、树1. 树的定义树是一种抽象数据类型，由n(n>0)个节点组成一个具有层次关系的集合。

树的特点是每个节点都有零个或多个子节点，而这些子节点又构成了一颗子树。

树中最顶层的节点称为根节点。

2. 树的遍历树的遍历方式有先根遍历、后根遍历和层次遍历。

在先根遍历中，节点的访问顺序是根节点、子树1、子树2...；在后根遍历中，节点的访问顺序是子树1、子树2...，根节点；在层次遍历中，节点的访问顺序是从上到下、从左到右依次访问每个节点。

3. 树的应用树广泛用于分层数据的表示和操作，例如在计算机网络中的路由算法、在操作系统中的文件系统、在程序设计中的树形结构等。

树的遍历方式对于处理这些应用来说至关重要。

四、森林1. 森林的定义森林是n(n>=0)棵互不相交的树的集合。

每棵树都是一颗独立的树，不存在交集。

2. 森林的遍历森林的遍历方式是树的遍历方式的超集，对森林进行遍历就是对每棵树进行遍历的集合。

3. 森林的应用森林在实际编程中经常用于解决多个独立树结构的问题，例如在数据库中对多个表进行操作、在图像处理中对多个图形进行处理等。

数据结构-树和森林的表示和遍历

数据结构-树和森林的表示和遍历

A B C D E F G
1 4
2 5
3
6
root=0 n=7
孩子链表表示法
C语言的类型描述: 孩子结点结构: child nextchild
typedef struct CTNode { int child; struct CTNode *nextchild; } *ChildPtr;
孩子链表表示法
A B C DE F GH I J K
E
G
H I
J J
K
树的遍历
A
A
树的二叉树表示:
B
B E F
C
D G
E
F
C
D
树先根遍历 ABEFCDG
G
因此，树的先根遍历结果与其对应二叉 树表示的先序遍历结果相同
树的遍历
A B E F C D G A
树的二叉树表示:
B C
E
F
G
D
树后根遍历 EFBCGDA 因此，树的后根遍历结果与其对应二叉 树表示的中序遍历结果相同
即：依次从左至右对森林中的每一棵树进行先 根遍历。
森林的遍历-先序遍历
A B C D D E
F
G I K K
森林对应的二叉树：
H J J B C G A F
H
I
先根遍历序列为： AB C D EF G H I K J
E E
D
K
J
森林的遍历-中序遍历
森林不空，则 中序遍历森林中第一棵树的子树森林;
双亲表示法
树结构:
typedef struct { PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; int r, n; // 根结点的位置和结点个数 } PTree;

西工大计算机最新801大纲剖析

西工大计算机最新801大纲剖析

代码号：计算机801西北工业大学《计算机专业基础》配蔡版本考试大纲注：以下五部分内容只选择两部分进行答题（一）、计算机组成原理（75分）一、考查目标1.深入理解单处理器计算机系统的组织结构、工作原理、互连结构，具有完整的计算机系统整机的概念；2.掌握各部件的组成结构、工作原理、软硬件设计的舍取、以及硬件实现；3.综合运用计算机组成的基本原理和基本方法，对有关计算机硬件系统中的理论和实际问题进行计算、分析，并能对一些基本部件进行逻辑设计。

二、考试内容1.总线：总线的组成、分类、特性和性能指标，总线的层次结构，总线定时、传送、仲裁。

2.内存储器：存储器的基本概念、，数的表示方法，定点数四则运算方法，浮点数四则运算方法，定点加减法器设计。

分类、层次结构，半导体主存储器，高速缓冲存储器（Cache），差错检测。

3.输入/输出：I/O编制的方法，编程I/O、程序中断、DMA的原理及控制机制。

4.运算方法与运算器：计算机中的数制系统5.指令系统：指令格式、数据类型、寻址方式、指令类型、指令系统设计与优化。

6.处理器技术：CPU的结构、CPU中的寄存器组织、控制器的结构和工作原理、微程序设计技术。

三、参考书目1.唐朔飞编著.计算机组成原理（第二版）.高等教育出版社，20082.白中英主编.计算机组成原理（第四版）.科学出版社，20093.蒋本珊编著.计算机组成原理（第二版）.清华大学出版社，20085、逻辑代数（1）掌握逻辑代数的基本运算、基本定理、基本法则（2）利用逻辑代数和卡诺图对逻辑函数进行转换与化简（3）掌握各种形式的逻辑函数的相互转换方法（4）掌握卡诺图化简方法（5）掌握不完全确定的逻辑函数的化简方法（6）掌握多输出逻辑函数的化简方法6、门电路组合逻辑电路（1）掌握门电路的基本输入输出特性（2）掌握组合逻辑电路的分析方法（3）熟悉常用组合逻辑电路模块的结构和逻辑功能（4）掌握组合逻辑电路的设计过程（二）、数据结构（75分）考查目标1．理解数据结构的基本概念；掌握数据的逻辑结构、存储结构及其差异，以及各种基本操作的实现。

数据结构复习题汇总

数据结构复习题汇总

数据结构复习题汇总黄⽼师：题型结构如下：单项选择题，15⼩题，30分；填空题，5⼩题，10分；综合应⽤题，50分（树、图、查找）算法设计与分析，2选1,10分（线性结构）试卷中⼀些算法只给英⽂名称；考查范围(⿊体字为建议的重点考查内容；红字为备注；蓝字为拟纳⼊的考研⼤纲内容)⼀、绪论（⼀）算法、数据结构基本概念（⼆）算法分析中O（f（n））符号的含义（三）时间复杂度简单分析表⽰⼆、线性表（⼀）线性表的定义和基本操作（⼆）线性表的实现1.顺序存储2.链式存储3.线性表的应⽤三、栈、队列（⼀）栈和队列的基本概念（⼆）栈和队列的顺序存储结构（三）栈和队列的链式存储结构（四）栈和队列的应⽤四、树与⼆叉树（⼀）树的概念（⼆）⼆叉树1.⼆叉树的定义及其主要特征2.⼆叉树的顺序存储结构和链式存储结构3.⼆叉树的遍历及应⽤（三）树、森林1. 森林与⼆叉树的转换2. 树的存储结构；3.树和森林的遍历4.线索⼆叉树的基本概念和构造（四）⼆叉树的应⽤1.哈夫曼（Huffman）树和哈夫曼编码2.⼆叉排序树五、图（⼀）图的基本概念（⼆）图的存储及基本操作1.邻接矩阵法2.邻接表法（三）图的遍历1.深度优先搜索2.⼴度优先搜索（四）图的基本应⽤1.最⼩（代价）⽣成树2.最短路径3.拓扑排序4.关键路径六、查找（⼀）查找的基本概念（⼆）顺序查找法（三）折半查找法（四）⼆叉查找树及其基本操作（只考察基本概念）（五）平衡⼆叉树（只考察基本概念）（六）散列（Hash）表（七）查找算法的分析及应⽤七、排序（⼀）排序的基本概念（⼆）直接插⼊排序（三）⽓泡排序（bubble sort）（四）简单选择排序（五）希尔排序（shell sort）（六）快速排序（七）堆排序（⼋）⼆路归并排序（merge sort）（九）各种排序算法的⽐较（⼗）排序算法的应⽤选择题1、顺序队列的出队操作，正确修改队⾸指针的是（ B ）（A）sq.front = (sq.front+1)%maxsize; （B）sq.front = sq.front+1;（C）sq.rear = (sq. rear +1)%maxsize; （D）sq.rear = sq. rear +1;2、⾮空的循环单链表head的尾结点（由指针p指）满⾜（ C ）（A）p->next = NULL （B）p = NULL （C）p->next = head （D）p = head3、在单键表中，删除p所指结点的直接后继，其中指针修改为（ A ）（A）p->next = p->next ->next; （B）p = p->next; p->next = p->next->next;（C）p->next = p->next; （D）p = p->next ->next;4、通常要求同⼀逻辑结构中的所有数据元素具有相同的特性，这意味着（ B ）（A）数据元素具有同⼀特点（B）不仅数据元素所包含的数据项的个数要相同，⽽且对应数据项的类型也要⼀致（C）每个数据元素都⼀样（D）数据元素所包含的数据项的个数要相等5、关于线性表，下列说法正确的是（ D ）（A）每个元素都有⼀个直接前驱和直接后继（B）线性表中⾄少要有⼀个元素（C）表中诸元素的排列顺序必须是由⼩到⼤或由⼤到⼩的（D）除第⼀元素和最后⼀个元素外，其余每个元素都有⼀个且仅有⼀个直接前驱和直接后继6、带头结点的单链表，其表头指针为head，则该单链表为空的判断条件是（ B ）（A）head == NULL （B）head->next == NULL（C）head->next == head （D）head !== NULL7、含n个顶点的连通图中的任意⼀条简单路径，其长度不可能超过（C ）（A）1 （B）n/2 （C）n-1 （D）n8、设有⼀个顺序栈S，元素S1, S2, S3, S4, S5, S6依次进栈，如果6个元素出栈的顺序是S2, S3, S4, S6, S5, S1，则栈的容量⾄少应该是（ B ）（A）2 （B）3 （C）5 （D）69、设深度为k的⼆叉树上只有度为0和度为2的结点，则这类⼆叉树上所含结点的总数最少为（ C ）个（A）k+1 （B）2k （C）2k -1 （D）2k +110、从具有n个结点的单链表中查找指定结点时，若查找每个结点的概率相等，在查找成功的情况下，平均需要⽐较（ D ）个结点。

树的遍历和哈夫曼树

树的遍历和哈夫曼树
}
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 33
求二叉树高度的递归算法
int Height ( BinTreeNode * T ) { if ( T == NULL ) return -1; else { int m = Height ( T->leftChild ); int n = Height ( T->rightChild ) ); return (m > n) ? m+1 : n+1;
中序遍历 (Inorder Traversal)
中序遍历二叉树算法的框架是：
若二叉树为空，则空操作；
-
否则 中序遍历左子树 (L)；
+
/
访问根结点 (V)；
a *e f
中序遍历右子树 (R)。
遍历结果
b-
a+b*c-d-e/f
cd
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 20
二叉树递归的中序遍历算法
如果 n = 0，称为空树；如果 n > 0，则 ▪ 有一个特定的称之为根(root)的结点，
它只有直接后继，但没有直接前驱； ▪ 除根以外的其它结点划分为 m (m 0)
个 互不相交的有限集合T0, T1, …, Tm-1，每 个集合又是一棵树，并且称之为根的子树。
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 3
typedef struct node { //树结点定义
TreeData data;
//结点数据域
struct node * leftChild, * rightchild;
//子女指针域
} BinTreeNode;
typedef BinTreeNode * BinTree; //树定义，代表树的根指针

数据结构-第6章 树和二叉树---4. 树和森林(V1)

数据结构-第6章 树和二叉树---4. 树和森林(V1)
ElemType data ; struct CSnode *firstchild, *nextsibing ; }CSNode;
6.4.1 树的存储结构
R AB C D EG F
R⋀
A
⋀D
⋀B
⋀E ⋀
C⋀
⋀G
⋀F ⋀
6.4.2 树、森林和二叉树的转换
1. 树转换为二叉树 将树转换成二叉树在“孩子兄弟表示法”中已 给出，其详细步骤是： ⑴ 加线。在树的所有相邻兄弟结点之间加一 条连线。 ⑵ 去连线。除最左的第一个子结点外，父结点 与所有其它子结点的连线都去掉。 ⑶ 旋转。将树以根结点为轴心，顺时针旋转 450，使之层次分明。
B C
D
A E
L HK
M
技巧：无左孩子 者即为叶子结点
6.4.3 树和森林的遍历
1. 树的遍历 由树结构的定义可知，树的遍历有二种方法。 ⑴ 先序遍历：先访问根结点，然后依次先序 遍历完每棵子树等。价于对应二叉树的先序遍历
⑵ 后序遍历：先依次后序遍历完每棵子树，然 后访问根结点。等价于对应二叉树的中序遍历
0 R -1 1A 0 2B 0 3C 0
}Ptree ; R
4D 1 5E 1
AB C
6F 3
7G 6
DE
F
8H 6
9I 6
G H I 10~MAX_Size-1 ... ...
6.4.1 树的存储结构
2. 孩子表示法
每个结点的孩子结点构成一个单链表，即有n 个结点就有n个孩子链表；
n个孩子的数据和n个孩子链表的头指针组成一 个顺序表； 结点结构定义： 顺序表定义：
typedef struct PTNode { ElemType data ;

2023计算机408考纲

2023计算机408考纲

考查内容数据结构【考查目标】1 ．掌握数据结构的基本概念、基本原理和基本方法。

2 ．掌握数据的逻辑结构、存储结构及基本操作的实现 ,能够对算法进行基本的时间复杂度与空间复杂度的分析 .3 ．能够运用数据结构基本原理和方法进行问题的分析与求解，具备采用 C 或 C++语言设计与实现算法的能力。

(一)线性表的定义和基本操作(二)线性表的实现1.顺序存储2。

链式存储3。

线性表的应用(一)栈和队列的基本概念(二)栈和队列的顺序存储结构(三)栈和队列的链式存储结构(四)栈和队列的应用(五)特殊矩阵的压缩存储(一)树的基本概念(二)二叉树1。

二叉树的定义及其主要特征2。

二叉树的顺序存储结构和链式存储结构3.二叉树的遍历4.线索二叉树的基本概念和构造(三)树、森林1。

树的存储结构2。

森林与二叉树的转换3。

树和森林的遍历(四)树与二叉树的应用1.二叉排序树2.平衡二叉树3。

哈夫曼( Huffman)树和哈夫曼编码(一)图的基本概念(二)图的存储及基本操作1。

邻接矩阵法2.邻接表法3.邻接多重表、十字链表(三)图的遍历1.深度优先搜索2。

广度优先搜索(四)图的基本应用1.最小(代价)生成树2.最短路径3。

拓扑排序4。

关键路径(一)查找的基本概念(二)顺序查找法(三)分块查找法(四)折半查找法(五)B 树及其基本操作、 B+树的基本概念(六)散列( Hash ) 表(七)字符串模式匹配(八)查找算法的分析及应用(一)排序的基本概念(二)插入排序1.直接插入排序2.折半插入排序(三)气泡排序(bubble sort)(四)简单选择排序(五)希尔排序( shell sort )(六)快速排序(七)堆排序(八)二路归并排序(merge sort )(九)基数排序(十)外部排序(十一)各种内部排序算法的比较(十二)排序算法的应用计算机组成原理【考查目标】1。

理解单处理器计算机系统中各部件的内部工作原理、组成结构以及相互连接方式 , 具有完整的计算机系统的整机概念。

树与森林的遍历

树与森林的遍历

D
(a) 带权路径长度为36
2
C 4
D
75
A
B
(b) 带权路径长度为46
7
A 5
B 2
4
C
D
(c) 带权路径长度为35
WPL(a)=7×2＋5×2＋2×2＋4×2＝36 WPL(b)=4×2＋7×3＋5×3＋2×1＝46 WPL(c)=7×1＋5×2＋2×3＋4×3＝35
第十七讲
问题2: 什么样的树的带权路径长度最小？ 例如： 给定一个权值序列{2, 3, 4, 7}， 可构造如图6.29所 示的多种二叉树的形态。
（1） 用给定的n个权值{w1, w2, …, wn}对应的n个结点构成n 棵二叉树的森林F={T1, T2, …, Tn}，其中每一棵二叉树T i(1≤i≤n)都只有一个权值为wi的根结点，其左、右子树为空。
（2） 在森林F中选择两棵根结点权值最小的二叉树，作为 一棵新二叉树的左、右子树，标记新二叉树的根结点权值为其 左右子树的根结点权值之和。
第十七讲
树与森林的遍历
第十七讲
1. 树的遍历方法主要有以下两种： 1） 若树非空，则遍历方法为： (1) 访问根结点。 (2) 从左到右， 依次先根遍历根结点的每一棵子树。 例如， 图6.21中树的先根遍历序列为ABECFHGD。
第十七讲
2） 若树非空， 则遍历方法为： （1） 从左到右， 依次后根遍历根结点的每一棵子树。
（2） 访问根结点。 例如， 图6.21中树的后根遍历序列为EBHFGCDA。
第十七讲
2. 森林的遍历 森林的遍历方法主要有以下三种： 1） 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 访问森林中第一棵树的根结点。 (2) 先序遍历第一棵树的根结点的子树森林。 (3) 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 例如， 图6.24(a)中森林的先序遍历序列为ABCDEFGHIJ。

数据结构第七章 树和森林

数据结构第七章 树和森林

7.5 树的应用
➢判定树
在实际应用中，树可用于判定问题的描述和解决。
•设有八枚硬币，分别表示为a，b，c，d，e，f，g，h，其中有一枚且 仅有一枚硬币是伪造的，假硬币的重量与真硬币的重量不同，可能轻， 也可能重。现要求以天平为工具，用最少的比较次数挑选出假硬币， 并同时确定这枚硬币的重量比其它真硬币是轻还是重。
的第i棵子树。 ⑺Delete（t，x，i）在树t中删除结点x的第i棵子树。 ⑻Tranverse（t）是树的遍历操作，即按某种方式访问树t中的每个
结点，且使每个结点只被访问一次。
7.2.2 树的存储结构
顺序存储结构 链式存储结构 不管哪一种存储方式，都要求不但能存储结点本身的数据 信息，还要能够唯一的反映树中各结点之间的逻辑关系。 1.双亲表示法 2.孩子表示法 3.双亲孩子表示法 4.孩子兄弟表示法
21
将二叉树还原为树示意图
A BCD
EF
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
22
练习：将下图所示二叉树转化为树
1 2
4
5
3
6
2 4
1 53
6
23
7.3.2 森林转换为二叉树
由森林的概念可知，森林是若干棵树的集合，只要将森林中各棵树 的根视为兄弟，森林同样可以用二叉树表示。 森林转换为二叉树的方法如下：
⑴将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。 ⑵第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树 的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来 后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。
相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m）本身又是 一棵树。树T1，T2，…，Tm称为这个根结点的子树。 • 可以看出，在树的定义中用了递归概念，即用树来定义树。因此， 树结构的算法类同于二叉树结构的算法，也可以使用递归方法。

数据结构习题及答案与实验指导(树和森林)7

数据结构习题及答案与实验指导(树和森林)7

第7章树和森林树形结构是一类重要的非线性结构。

树形结构的特点是结点之间具有层次关系。

本章介绍树的定义、存储结构、树的遍历方法、树和森林与二叉树之间的转换以及树的应用等内容。

重点提示：●树的存储结构●树的遍历●树和森林与二叉树之间的转换7-1 重点难点指导7-1-1 相关术语1．树的定义：树是n（n>=0）个结点的有限集T，T为空时称为空树，否则它满足如下两个条件：①有且仅有一个特定的称为根的结点；②其余的结点可分为m（m>=0）个互不相交的子集T1，T2，…，T m，其中每个子集本身又是一棵树，并称为根的子树。

要点：树是一种递归的数据结构。

2．结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。

3．树的度：一棵树的度指该树中结点的最大度数。

如图7-1所示的树为3度树。

4．分支结点：度大于0的结点为分支结点或非终端结点。

如结点a、b、c、d。

5．叶子结点：度为0的结点为叶子结点或终端结点。

如e、f、g、h、i。

6．结点的层数：树是一种层次结构，根结点为第一层，根结点的孩子结点为第二层，…依次类推，可得到每一结点的层次。

7．兄弟结点：具有同一父亲的结点为兄弟结点。

如b、c、d；e、f；h、i。

8．树的深度：树中结点的最大层数称为树的深度或高度。

9．有序树：若将树中每个结点的子树看成从左到右有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。

10．森林：是m棵互不相交的树的集合。

7-1-2 树的存储结构1．双亲链表表示法以图7-1所示的树为例。

（1）存储思想:因为树中每个元素的双亲是惟一的，因此对每个元素，将其值和一个指向双亲的指针parent构成一个元素的结点，再将这些结点存储在向量中。

（2）存储示意图:-1 data:parent:（3）注意: Parrent域存储其双亲结点的存储下标，而不是存放结点值。

下面的存储是不正确的：-1 data:parent:2．孩子链表表示法（1）存储思想：将每个数据元素的孩子拉成一个链表，链表的头指针与该元素的值存储为一个结点，树中各结点顺序存储起来，一般根结点的存储号为0。

数据结构与算法分析java课后答案

数据结构与算法分析java课后答案

数据结构与算法分析java课后答案【篇一：java程序设计各章习题及其答案】>1、 java程序是由什么组成的？一个程序中必须有public类吗？java源文件的命名规则是怎样的？答：一个java源程序是由若干个类组成。

一个java程序不一定需要有public类：如果源文件中有多个类时，则只能有一个类是public类；如果源文件中只有一个类，则不将该类写成public也将默认它为主类。

源文件命名时要求源文件主名应与主类（即用public修饰的类）的类名相同，扩展名为.java。

如果没有定义public类，则可以任何一个类名为主文件名，当然这是不主张的，因为它将无法进行被继承使用。

另外，对applet小应用程序来说，其主类必须为public，否则虽然在一些编译编译平台下可以通过（在bluej下无法通过）但运行时无法显示结果。

2、怎样区分应用程序和小应用程序？应用程序的主类和小应用程序的主类必须用public修饰吗？答：java application是完整的程序，需要独立的解释器来解释运行；而java applet则是嵌在html编写的web页面中的非独立运行程序，由web浏览器内部包含的java解释器来解释运行。

在源程序代码中两者的主要区别是：任何一个java application应用程序必须有且只有一个main方法，它是整个程序的入口方法；任何一个applet小应用程序要求程序中有且必须有一个类是系统类applet的子类，即该类头部分以extends applet结尾。

应用程序的主类当源文件中只有一个类时不必用public修饰，但当有多于一个类时则主类必须用public修饰。

小应用程序的主类在任何时候都需要用public来修饰。

3、开发与运行java程序需要经过哪些主要步骤和过程？答：主要有三个步骤（1）、用文字编辑器notepad（或在jcreator,gel, bulej,eclipse, jbuilder等）编写源文件；(2)、使用java编译器（如javac.exe)将.java源文件编译成字节码文件.class；(3)、运行java程序：对应用程序应通过java解释器（如java.exe)来运行，而对小应用程序应通过支持java标准的浏览器(如microsoft explorer)来解释运行。

树形结构——树和森林

树形结构——树和森林
树形结构——树和森林 树形结构——树和森林
TT
讨论的问题
1、树的概念 2、树的遍历 3、树的存储方式 4、二叉树
树的概念
树是一种常见的非线性的数据结构。 树是一种常见的非线性的数据结构 。 树的递归定义如 下： 树是n(n> 个结点的有限集， n(n>0 树是n(n>0)个结点的有限集，这个集合满足以下条 件： 有且仅有一个结点没有前件（父亲结点） ⑴有且仅有一个结点没有前件（父亲结点），该结 点称为树的根； 点称为树的根； 除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件； ⑵除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件； 除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。 ⑶除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。 这条路径由根开始，而未端就在该结点上， 这条路径由根开始 ， 而未端就在该结点上 ， 且除根以 路径上的每一个结点都是前一个结点的后件（ 外 ， 路径上的每一个结点都是前一个结点的后件 （ 儿 子结点） 子结点）；
树的表示方法
树的表示方法一般有两种： 自然界的树形表示法：用结点和边表示树， ⑴自然界的树形表示法：用结点和边表示树，例如上图采用的就 是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。 是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。
⑵括号表示法：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树 括号表示法： 按由左而右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样方法处理： 同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔 开，最后用闭括号括起来。例如图可写成如下形式 （r（a（w，x（d（h），e）），b（f），c（s，t（i（m，o， n），j），u）））
1、二叉树的递归定义和基本形态
二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空， 二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空，或者满足以 下条件： ⑴有一个特定的结点称为根； ⑵ 余下的结点分为互不相交的子集 L 和 R ， 其中 R 是根的 余下的结点分为互不相交的子集L 其中R 左子树；L是根的右子树；L 左子树；L是根的右子树；L和R又是二叉树； 由上述定义可以看出， 由上述定义可以看出，二叉树和树是两个不同的概念 ⑴树的每一个结点可以有任意多个后件，而二叉树中每 树的每一个结点可以有任意多个后件， 个结点的后件不能超过2 个结点的后件不能超过2； ⑵树的子树可以不分次序（除有序树外）；而二叉树的 树的子树可以不分次序（除有序树外） 子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子， 子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子， 右后件为右儿子。 右后件为右儿子。

《数据结构——C语言描述》第6章：树

《数据结构——C语言描述》第6章：树
Void paintleaf (Btree root) { if (root!=NULL) { if (root ->Lchild==NULL && root ->Rchild==NULL) printf (root ->data); paintleaf (root ->Lchild); paintleaf (root -遍历左子树； （2）访问根结点； （3）中根遍历右子树。 后根遍历二叉树 （1）后根遍历左子树； （2）后根遍历右子树； （3）访问根结点。
先根遍历: -+a*b–cd/ef 中根遍历: a+b*c–d–e/f 后根遍历: abcd-*+ef/-
typedef struct Node { datatype data; struct Node *Lchild; struct Node *Rchild; } BTnode,*Btree;
满二叉树：一棵深度为k且有2k-1个结 点的二叉树称为满二叉树。 完全二叉树：深度为k，有n个结点的 二叉树当且仅当其每一个结点都与深度 为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一 对应时，称为完全二叉树。
1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1 3 5 7
树的度：树中最大的结点的度数即为 树的度。图6.1中的树的度为3。 结点的层次(level)：从根结点算起， 根为第一层，它的孩子为第二层……。 若某结点在第l层，则其孩子结点就在 第l+1层。图6.1中，结点A的层次为1， 结点M的层次为4。 树的高度(depth)：树中结点的最大层 次数。图6.1中的树的高度为4。 森林(forest)：m(m≥0)棵互不相交的 树的集合。

数据结构复习重点归纳笔记[清华严蔚敏版]

数据结构复习重点归纳笔记[清华严蔚敏版]

数据结构复习重点归纳笔记[清华严蔚敏版]数据结构复习重点归纳笔记[清华严蔚敏版]数据结构复习重点归纳[适于清华严版教材]一、数据结构的章节结构及重点构成数据结构学科的章节划分基本上为：概论，线性表，栈和队列，串，多维数组和广义表，树和二叉树，图，查找，内排，外排，文件，动态存储分配。

对于绝大多数的学校而言，“外排，文件，动态存储分配”三章基本上是不考的，在大多数高校的计算机本科教学过程中，这三章也是基本上不作讲授的。

所以，大家在这三章上可以不必花费过多的精力，只要知道基本的概念即可。

但是，对于报考名校特别是该校又有在试卷中对这三章进行过考核的历史，那么这部分朋友就要留意这三章了。

按照以上我们给出的章节以及对后三章的介绍，数据结构的章节比重大致为：概论：内容很少，概念简单，分数大多只有几分，有的学校甚至不考。

线性表：基础章节，必考内容之一。

考题多数为基本概念题，名校考题中，鲜有大型算法设计题。

如果有，也是与其它章节内容相结合。

栈和队列：基础章节，容易出基本概念题，必考内容之一。

而栈常与其它章节配合考查，也常与递归等概念相联系进行考查。

串：基础章节，概念较为简单。

专门针对于此章的大型算法设计题很少，较常见的是根据KMP 进行算法分析。

多维数组及广义表：基础章节，基于数组的算法题也是常见的，分数比例波动较大，是出题的“可选单元”或“侯补单元”。

一般如果要出题，多数不会作为大题出。

数组常与“查找，排序”等章节结合来作为大题考查。

树和二叉树：重点难点章节，各校必考章节。

各校在此章出题的不同之处在于，是否在本章中出一到两道大的算法设计题。

通过对多所学校的试卷分析，绝大多数学校在本章都曾有过出大型算法设计题的历史。

图：重点难点章节，名校尤爱考。

如果作为重点来考，则多出现于分析与设计题型当中，可与树一章共同构成算法设计大题的题型设计。

查找：重点难点章节，概念较多，联系较为紧密，容易混淆。

出题时可以作为分析型题目给出，在基本概念型题目中也较为常见。

树的详细介绍

树的详细介绍
是从根到该结点所经分支上的所有结点,反之,以某结 点为根的子树中的任一结点称为该结点的子孙,如K结 点的祖先结点有A、B、E,B结点的子孙结点有E 、F、 K、L。
(9)结点的层次(layer）：从根开始,树的根结点的层次
(也称层数)定义为1,其余结点的层数等于它的双亲结点 的层数加1,如A结点的层数为1,K结点的层数为4。
(10)树的深度(depth)：树中所有结点的最大层数
称为树的深度(也称高度),如树T的高度为4。
(11)有序树和无序树:树T中,如果各子树Ti之间是
有先后次序的,则称为有序树,否则称为无序树。
(12)森林:m (m>0)棵互不相交的树的集合。
一棵树删除根结点所剩子树的集合即为森林。
5.1.3树的基本操作
图5.2树的示例T
树的表示常见的有树状表示法和逻辑表示法 两种,图5.2给出了树状表示法的一个实例。树的 逻辑表示法则给出树中的结点的集合及这个集 合上的关系。如图5.2中的树可描述为T=(N,R)。
其中结点集合N={A,B,C,D,E,F,G,HJ,J,K,L}
N上的关系 R={<A,B>,<A,C>,<A,D>,<B,E>,<B ,F>,<C,G>,
叉树,则返回空值Null。 • (5)Parent(BT,X):返回结点x的双亲结点。当结点x为
根时,返回空值Null。 • (6)LeftChild(BT,x):返回结点x的左孩子.当结点x为
叶子结点或无左孩子时,返回空值Null。 • (7)RightChild(BT,x):返回结点x的右孩子。当结点x
为叶子结点或无右孩子时,返回空值Null。 • (8)TraverseTree(BT):遍历二叉树BT。按某种次序

数据结构课后习题答案第六章

数据结构课后习题答案第六章
(1) 前序遍历序列和中序遍历序列相同。 (2) 中序遍历序列和后序遍历序列相同。 (3) 前序遍历序列和后序遍历序列相同。
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6
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9．已知信息为“ ABCD BCD CB DB ACB ”，请按此信息构造哈夫曼树，求出每一字符的最优编码。 10. 己知中序线索二叉树采用二叉链表存储结构，链结点的构造为：
_，双分支结点的个数为 ____， 3 分支结点的个数为 ____， C 结点的双亲结点为 ____ ，其孩子结点为 ____。
5. 一棵深度为 h 的满 k 叉树有如下性质：第 h 层上的结点都是叶子结点，其余各层上的每个结点都有
k 棵非空子树。
如果按层次顺序（同层自左至右）从 1 开始对全部结点编号，则：
7．二叉树的遍历分为 ____ ，树与森林的遍历包括 ____。 8．一棵二叉树的第 i(i>=1) 层最多有 ____ 个结点；一棵有 n(n>0) 个结点的满二叉树共有 ____ 个叶子和 ____个非终端结点。
9.在一棵二叉树中，假定双分支结点数为 5 个，单分支结点数为 6 个，则叶子结点为 ____个。
A. 逻辑 B．逻辑和存储 C．物理 D.线性 19.由权值分别是 8，7， 2， 5 的叶子结点生成一棵哈夫曼树，它的带权路径长度为
A. 23 B. 37 C． 46 D. 43 20.设 T 是哈夫曼树，具有 5 个叶结点，树 T 的高度最高可以是 ( )。
A.2 B . 3 C. 4 D. 5
()
6．在叶子数目和权值相同的所有二叉树中，最优二叉树一定是完全二叉树。
()
7．由于二叉树中每个结点的度最大为 2，所以二叉树是一种特殊的树。 8．二叉树的前序遍历序列中，任意一个结点均处在其子树结点的前面。

数据结构 第六章-树

数据结构 第六章-树

20
A B C D
E
F
G H
I J
A
E F H
G
B C
D A
I J
A
B C F
E H
G
B C D F
E G H I J
21
I
D
J
5. 二叉树转换成树和森林
二叉树转换成树 1. 加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩 子，右孩子的右孩子，……沿分支找到的所有右孩 子，都与p的双亲用线连起来 2. 抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线 3. 调整：将结点按层次排列，形成树结构7Fra bibliotek6.3.2
树和森林的存储结构
树的存储结构有很多，既可以采用顺序存储结构， 也可以采用链式存储结构。但无论采用哪种存储方式， 都要求存储结构不仅能存储各结点本身的数据信息，还 要能惟一地反映树中各结点之间的逻辑关系。 双亲表示法 孩子链表表示法 孩子兄弟表示法
8
1.双亲表示法 除根外，树中的每个结点都有惟一的一个双亲结点，所以可以用一 组连续的存储空间存储树中的各结点。一个元素表示树中一个结点， 包含树结点本身的信息及结点的双亲结点的位臵。 A B E F C G H D I
}CTBox;
//树结构 typedef struct {CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n, r; }Ctree
12
3. 孩子-兄弟表示法（树的二叉链表）
孩子兄弟表示法用二叉链表作为树的存储结构。将树中的多支关系用 二叉链表的双支关系体现。 ※ 结点的左指针指向它的第一个孩子结点
//孩子结点结构 typedef struct CTNode
1 2 3 4 5 6

7-树与森林的遍历

7-树与森林的遍历
2
2.树和森林的遍历
AJ K LM
NO
先序遍历：A B E F I GC D HJ KL N OM 后序遍历：E I F G B C J K N O L M H D A 层次遍历：A B C D E F G H I J K L MN O
3
2. 树和森林的遍历
森林的遍历 1. 先序遍历 ① 访问森林中第一棵树的根结点 ② 先序遍历第一树中根结点的子树森林 ③ 先序遍历除去第一棵树之后剩余的森林 2. 中序遍历 ① 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林 ② 访问第一棵树的根结点 ③ 中序遍历除去第一棵树之后剩余的森林
3.3.3 树和森林的基本操作
2. 树和森林的遍历
树的遍历：按一定规律走遍树的各个顶点，且使每 一顶点仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走 法，以得到树中所有顶点的一个线性排列
遍历方法 ① 先根（序）遍历：先访问树的根结点，然后依次 先根遍历根的每棵子树 ② 后根（序）遍历：先依次后根遍历每棵子树，然 后访问根结点 ③ 按层次遍历：先访问第一层上的结点，然后依次 遍历第二层，……第n层的结点
2. 树和森林的遍历
森林的遍历
A
E
G
B
C
D
H F
I
J
先序遍历：A B C D E F G H I J 中序遍历：B C D A F E H J I G
5
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第十七讲
∑p ×I
i =1 i
7
i
= 0.40 × 1 + 0.30 × 2 + 0.15 × 3 + 0.05 × 5 + 0.04 × 5 + 0.03 × 5 + 0.03 × 5 = 2.20
第十七讲
举例：数据传送中的二进制编码。 要传送数据 state, seat, act, tea, cat, set, a, eat， 如何使传 送的长度最短？ 首先规定二叉树的构造为左走0，右走1 ，如图6.31所示。 为了保证长度最短， 先看字符出现的次数， 然后将出现 次数当作权， 如图6.32所示。
第十七讲
2. 森林的遍历 森林的遍历 森林的遍历方法主要有以下三种： 1） 先序遍历 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 访问森林中第一棵树的根结点。 (2) 先序遍历第一棵树的根结点的子树森林。 (3) 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 例如， 图6.24(a)中森林的先序遍历序列为ABCDEFGHIJ。
第十七讲 作业：
1.二叉树的层次遍历算法（二叉链表存储）； 2.求二叉树中最大结点值（二叉链表存储）。
第十七讲
哈夫曼树及其应用
第十七讲
1. 哈夫曼树
1. 路径和路径长度 路径和路径长度 路径是指从一个结点到另一个结点之间的分支序列， 路径 路径长度是指从一个结点到另一个结点所经过的分支数目。 路径长度 树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和。 树的路径长度
图6.30 构造哈夫曼树示例
第十七讲
表 6 – 3 指令的哈夫曼编码
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 使用频率(Pi） 0 10 110 11100 11101 11110 11111
可以验证，该编码是前缀编码。若一段程序有1000条指令， 其中I1 大约有400条，I2 大约有300条，I3 大约有150条，I4 大约 有50条，I5大约有40条，I6大约有30条，I7大约有30条。对于定 长编码，该段程序的总位数大约为3×1000＝3000。采用哈夫 曼 编 码 后 ， 该 段 程 序 的 总 位 数 大 约 为 1×400 ＋ 2×300 ＋ 3×150＋5×（50＋40＋30＋30）＝2200。可见，哈夫曼编码 中虽然大部分编码的长度大于定长编码的长度3， 却使得程序 的总位数变小了。可以算出该哈夫曼编码的平均码长为：
第十七讲
(2) 将所有字符变成二进制的哈夫曼编码， 使带权路径长 度最短，相当总的通路长度最短。 若要求传送以上这些编码长度不一的数据， 且还要求传 送词间互相区分，应如何设计最优编码呢？ 为保证传送词间 互相区别，则需加入一空白字符出现频率， 空白字符^出现为 7， 再构造哈夫曼树，由此得到的哈夫曼编码一定满足最短且 又互相区分的性质。 c 2 s 3 e 5 a 7 ^ 7 t 8
第十七讲
HuffmanTree CrtHuffmanTree(HuffmanTree *ht , *HuffmanCode , *hc, int * w, int n) {/*w存放n个权值, 构造哈夫曼树ht, 并求出哈夫曼编码hc */ HuffmanTree ht; m=2*n-1; ht=(HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode)); /*0号单元未使用*/ for(i=1; i<=n; i++) ht［i］ ={ w［i］, 0, 0, 0}; /*叶子结点初始化*/ for(i=n+1; i<=m; i++) ht［i］ ={0, 0, 0, 0}; /*非叶子结点初始化*/
ht［i］.weight=ht［s1］.weight+ht［s2］.weight; } /*哈夫曼树建立完毕*/
第十七讲
/*从叶子结点到根， 逆向求每个叶子结点对应的哈夫曼编码*/ hcode=(HuffmanCode)malloc((n+1)*sizeof(char *)); /*分配n个编码的头指针*/ cd=(char * )malloc(n * sizeof(char )); /*分配求当前编码的工作空间*/ cd［n-1］＝′\0′； /*从右向左逐位存放编码， 首先存放编码结束符*/ for(i=1; i<=n; i++) /*求n个叶子结点对应的哈夫曼编码*/ { start=n-1; /*初始化编码起始指针*/ for(c=i, p=ht［i］.parent; p! =0; c=p, p=ht［p］.parent) if(ht［p］.LChild==c) cd［--start］=′0′; /*左分支标0*/ else cd［--start］=′1′; /*右分支标1*/ hcode［i］=(char *)malloc((n-start)*sizeof(char)); /*为第i个编码分配空间*/ strcpy(hcode［i］, &cd［start］); } free(cd); }
第十七讲
2 C 4 7 A 5 B 2 C 4 D D 7 A 5 B
7 A 5 B 2 C 4 D
(a) 带权路径长度为 36
(b) 带权路径长度为 46
(c) 带权路径长度为 35
WPL(a)=7×2＋5×2＋2×2＋4×2＝36 WPL(b)=4×2＋7×3＋5×3＋2×1＝46 WPL(c)=7×1＋5×2＋2×3＋4×3＝35
第十七讲
（3） 从F中删除被选中的那两棵二叉树， 同时把新构 成的二叉树加入到森林F中。 （4） 重复（2）、（3）操作， 直到森林中只含有一棵 二叉树为止， 此时得到的这棵二叉树就是哈夫曼树。
第十七讲
6.5.2 哈夫曼编码
表 6 – 1 指令的使用频率
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 使用频率(Pi） 0.40 0.30 0.15 0.05 0.04 0.03 0.03
7 4 3 2
(c) WPL＝1×7＋2×4＋3×3＋3×2＝7＋8＋9＋6＝30
第十七讲
4. 哈夫曼树 构造哈夫曼算法的步骤如下： （1） 用给定的n个权值{w1, w2, …, wn}对应的n个结点构成n 棵二叉树的森林F={T1, T2, …, Tn}，其中每一棵二叉树T i(1≤i≤n)都只有一个权值为wi的根结点，其左、右子树为空。 （2） 在森林F中选择两棵根结点权值最小的二叉树，作为 一棵新二叉树的左、右子树，标记新二叉树的根结点权值为其 左右子树的根结点权值之和。
第十七讲
树与森林的遍历
第十七讲
1. 树的遍历 树的遍历 树的遍历方法主要有以下两种： 1） 先根遍历 若树非空，则遍历方法为： (1) 访问根结点。 (2) 从左到右， 依次先根遍历根结点的每一棵子树。 例如， 图6.21中树的先根遍历序列为ABECFHGD。
第十七讲
2） 后根遍历 若树非空， 则遍历方法为： （1） 从左到右， 依次后根遍历根结点的每一棵子树。 （2） 访问根结点。 2 例如， 图6.21中树的后根遍历序列为EBHFGCDA。
第十七讲
问题2: 问题 什么样的树的带权路径长度最小？ 例如： 给定一个权值序列{2, 3, 4, 7}， 可构造如图6.29所 示的多种二叉树的形态。
第十七讲
2 3 2 3 4 7 4 7
(a) WPL＝2×2＋2×3＋2×4＋2×7＝32
(b) WPL＝1×2＋2×3＋3×4＋3×7＝41
第十七讲
问题1: 什么样的二叉树的路径长度PL最小？ 路径长度为0的结点至多只有1个（根）； 路径长度为1的结点至多只有2个； 路径长度为2的结点至多只有4个； 依此类推，路径长度为k的结点至多只有2k个, 所以n个结 点二叉树其路径长度至少等于如下所示序列的前n项之和。
结点路径长度0，1， 1， 2，2，2，2， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 4，… 结点数n n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 … n=15
第十七讲
2） 中序遍历 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林。 (2) 访问第一棵树的根结点。 (3) 中序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 例如， 图6.24(a)中森林的中序遍历序列为 BCDAFEHJIG。
第十七讲
3） 后序遍历 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 后序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林。 (2) 后序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 (3) 访问第一棵树的根结点。
按规定：0左1右， 则有 000 2 c 001 3 s 01 5 e 10 7 a 11 8 t
第十七讲
所 以 有 state 的 编 码 为 00111101101, stat 的 编 码 为 001111011。 构造满足哈夫曼编码的最短最优性质： (1) 若di≠dj（字母不同），则对应的树叶不同。 因此前 缀码（任一字符的编码都不是另一个字符编码）不同，一 个路径不可能是其它路径的一部分， 所以字母之间可以完 全区别。
第十七讲
6.5.3 哈夫曼编码算法的实现
由于哈夫曼树中没有度为1的结点，则一棵有n个叶子的哈 夫曼树共有2×n-1个结点，可以用一个大小为2×n-1 的一维 数组存放哈夫曼树的各个结点。 由于每个结点同时还包含其 双亲信息和孩子结点的信息，所以构成一个静态三叉链表。 静态三叉链表描述如下：
typedef struct { unsigned int weight ; /* 用来存放各个结点的权值*/ unsigned int parent, LChild, RChild ; /*指向双亲、 孩子结点的指针*/ }HTNode, * HuffmanTree; /*动态分配数组， 存储哈夫曼树*/ typedef char * *HuffmanCode ; /*动态分配数组， 存储哈夫曼编码*/