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树与森林的遍历
第十七讲
∑p ×I
i =1 i
7
i
= 0.40 × 1 + 0.30 × 2 + 0.15 × 3 + 0.05 × 5 + 0.04 × 5 + 0.03 × 5 + 0.03 × 5 = 2.20
第十七讲
举例：数据传送中的二进制编码。 要传送数据 state, seat, act, tea, cat, set, a, eat， 如何使传 送的长度最短？ 首先规定二叉树的构造为左走0，右走1 ，如图6.31所示。 为了保证长度最短， 先看字符出现的次数， 然后将出现 次数当作权， 如图6.32所示。
第十七讲
2. 森林的遍历 森林的遍历 森林的遍历方法主要有以下三种： 1） 先序遍历 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 访问森林中第一棵树的根结点。 (2) 先序遍历第一棵树的根结点的子树森林。 (3) 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 例如， 图6.24(a)中森林的先序遍历序列为ABCDEFGHIJ。
第十七讲 作业：
1.二叉树的层次遍历算法（二叉链表存储）； 2.求二叉树中最大结点值（二叉链表存储）。
第十七讲
哈夫曼树及其应用
第十七讲
1. 哈夫曼树
1. 路径和路径长度 路径和路径长度 路径是指从一个结点到另一个结点之间的分支序列， 路径 路径长度是指从一个结点到另一个结点所经过的分支数目。 路径长度 树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和。 树的路径长度
图6.30 构造哈夫曼树示例
第十七讲
表 6 – 3 指令的哈夫曼编码
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 使用频率(Pi） 0 10 110 11100 11101 11110 11111
树的遍历实验报告
树的遍历实验报告简介树是一种重要的数据结构，广泛应用于计算机科学和其他领域。
在树的结构中，每个节点可以有零个或多个子节点。
树可以是空的（零个节点），也可以由一个称为根的节点以及零个或多个附加节点组成。
树的遍历是指按照某种方式访问树的所有节点。
本实验旨在实现树的遍历算法，并通过编写代码进行验证和测试。
实验目的1. 理解树的基本结构和遍历方式；2. 掌握树的深度优先遍历和广度优先遍历算法；3. 使用编程语言实现树的遍历算法，并验证算法的正确性。
实验过程树的深度优先遍历（DFS）深度优先遍历是一种递归算法，通过从根节点开始，依次访问每一个子节点，再递归地访问每个子节点的子节点，直到遍历到树的末端节点。
接下来我们以二叉树为例，进行深度优先遍历的实验。
1. 定义树节点类首先，我们定义一个树节点类，用于表示树的节点。
每个节点具有一个值和左右子节点。
pythonclass Node:def __init__(self, value):self.value = valueself.left = Noneself.right = None2. 构建二叉树接下来，我们构建一棵二叉树，用于测试深度优先遍历算法。
python构建二叉树root = Node(1)root.left = Node(2)root.right = Node(3)root.left.left = Node(4)root.left.right = Node(5)我们构建的二叉树如下所示：1/ \2 3/ \4 53. 实现深度优先遍历算法最后，我们实现深度优先遍历算法，并打印遍历结果。
pythondef dfs(root):if root is None:returnprint(root.value, end=' ')dfs(root.left)dfs(root.right)4. 运行结果运行深度优先遍历算法，并打印结果。
pythonprint("深度优先遍历结果：")dfs(root)输出结果如下：深度优先遍历结果：1 2 4 5 3树的广度优先遍历（BFS）广度优先遍历是一种逐层遍历的算法，通过从根节点开始，逐层遍历每个节点的子节点，直到遍历到树的末端节点。
8哈夫曼树
a
b d e c
2 3 4 5 6 7 b c d e
d
e f g f g h
f
g
h
8
h
25
3、用孩子兄弟表示法来存储
思路：用二叉链表来表示树，但链表中的两个 指针域含义不同。 左指针指向该结点的第一个孩子； 右指针指向该结点的下一个兄弟结点。
firstchild data nextsibling
100
40
21 32 g e 17 7 a
60
28 11 10 h 6 d 2 c 5 3 f
10
对应的哈夫曼编码（左0右1）：
符 编码 频率 符 编码 频率
100
a
b
1100
00
0.07
0.19
a
b
000
001
0.07
0.19 0.06
0 b
0 40
1
1
0 60 1 28 1 0 6 d 0 2 c 11 1d Path Length
树的带权路径长度如何计算？ WPL = 哈夫曼树则是：WPL 最小的树。
w kl k
k=1
n
经典之例：
4 d
2 c 7 a (b) 5 b
Huffman树
7 a
7 a
5
2 b c
4 d
5 b
2 c (c)
4 d
(a)
WPL=36
WPL=46
WPL= 35
3
构造霍夫曼树的基本思想： 权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。 构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：
(1) 由给定的 n 个权值{w0, w1, w2, …, wn-1}，构造具有 n 棵扩充 二叉树的森林F = { T0, T1, T2, …, Tn-1 }，其中每一棵扩充二叉树 Ti 只有一个带有权值 wi 的根结点，其左、右子树均为空。 (2) 重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止： ① 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉树, 做为左、 右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为 其左、右子树上根结点的权值之和。 ② 在 F 中删去这两棵二叉树。 ③ 把新的二叉树加入 F。
b d e c
2 3 4 5 6 7 b c d e
d
e f g f g h
f
g
h
8
h
25
3、用孩子兄弟表示法来存储
思路：用二叉链表来表示树，但链表中的两个 指针域含义不同。 左指针指向该结点的第一个孩子； 右指针指向该结点的下一个兄弟结点。
firstchild data nextsibling
100
40
21 32 g e 17 7 a
60
28 11 10 h 6 d 2 c 5 3 f
10
对应的哈夫曼编码（左0右1）：
符 编码 频率 符 编码 频率
100
a
b
1100
00
0.07
0.19
a
b
000
001
0.07
0.19 0.06
0 b
0 40
1
1
0 60 1 28 1 0 6 d 0 2 c 11 1d Path Length
树的带权路径长度如何计算？ WPL = 哈夫曼树则是：WPL 最小的树。
w kl k
k=1
n
经典之例：
4 d
2 c 7 a (b) 5 b
Huffman树
7 a
7 a
5
2 b c
4 d
5 b
2 c (c)
4 d
(a)
WPL=36
WPL=46
WPL= 35
3
构造霍夫曼树的基本思想： 权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。 构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：
(1) 由给定的 n 个权值{w0, w1, w2, …, wn-1}，构造具有 n 棵扩充 二叉树的森林F = { T0, T1, T2, …, Tn-1 }，其中每一棵扩充二叉树 Ti 只有一个带有权值 wi 的根结点，其左、右子树均为空。 (2) 重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止： ① 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉树, 做为左、 右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为 其左、右子树上根结点的权值之和。 ② 在 F 中删去这两棵二叉树。 ③ 把新的二叉树加入 F。
树的遍历(先序、中序、后序详解)
树的遍历(先序、中序、后序详解) 树的遍历主要有三种
1、先序遍历：先遍历根节点，再遍历左节点，最后遍历右节点；
2、中序遍历：先遍历左节点，再遍历根节点，最后遍历右节点；
3、后序遍历：先遍历左节点，再遍历右节点，最后遍历根节点；
总结：先、中、后就表⽰根节点的遍历处于哪个位置，⽰总是先左节点后右节点。
例如先序遍历，“先”表⽰根节点最先遍历，再左节点，
最后右节点。
依此类推中序遍历，后序遍历。
接下来看⽰个题⽰，看⽰下你们是怎么做的。
我们以中序遍历为例来讲（每次以三个节点为⽰个整体）：
⽰先从树的根节点开始即C F E
我们再依次来看，先看C，则以C为根节点的三个节点（即A C D）按中序遍历则为A C D。
故A放在C之前，把D放在C之后。
故A C D F E
再看A，由于以A为根节点的三个节点中其他两个没有，故看下⽰个D 同理可得B D
故把B放在D之前，即A C B D F E
类似可得中序遍历为A C B D F H E M G
这样是不是再也不怕树的遍历了。
二叉树,树,森林遍历之间的对应关系
二叉树,树,森林遍历之间的对应关系一、引言在计算机科学中，数据结构是非常重要的知识点之一。
而树这一数据结构，作为基础的数据结构之一，在软件开发中有着广泛的应用。
本文将重点探讨二叉树、树和森林遍历之间的对应关系，帮助读者更加全面地理解这些概念。
二、二叉树1. 二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树可以为空，也可以是一棵空树。
2. 二叉树的遍历在二叉树中，有三种常见的遍历方式，分别是前序遍历、中序遍历和后序遍历。
在前序遍历中，节点的访问顺序是根节点、左子树、右子树；在中序遍历中，节点的访问顺序是左子树、根节点、右子树；在后序遍历中，节点的访问顺序是左子树、右子树、根节点。
3. 二叉树的应用二叉树在计算机科学领域有着广泛的应用，例如用于构建文件系统、在数据库中存储有序数据、实现算法中的搜索和排序等。
掌握二叉树的遍历方式对于理解这些应用场景非常重要。
三、树1. 树的定义树是一种抽象数据类型，由n(n>0)个节点组成一个具有层次关系的集合。
树的特点是每个节点都有零个或多个子节点，而这些子节点又构成了一颗子树。
树中最顶层的节点称为根节点。
2. 树的遍历树的遍历方式有先根遍历、后根遍历和层次遍历。
在先根遍历中，节点的访问顺序是根节点、子树1、子树2...；在后根遍历中，节点的访问顺序是子树1、子树2...，根节点；在层次遍历中，节点的访问顺序是从上到下、从左到右依次访问每个节点。
3. 树的应用树广泛用于分层数据的表示和操作，例如在计算机网络中的路由算法、在操作系统中的文件系统、在程序设计中的树形结构等。
树的遍历方式对于处理这些应用来说至关重要。
四、森林1. 森林的定义森林是n(n>=0)棵互不相交的树的集合。
每棵树都是一颗独立的树，不存在交集。
2. 森林的遍历森林的遍历方式是树的遍历方式的超集，对森林进行遍历就是对每棵树进行遍历的集合。
3. 森林的应用森林在实际编程中经常用于解决多个独立树结构的问题，例如在数据库中对多个表进行操作、在图像处理中对多个图形进行处理等。
树的遍历和哈夫曼树
}
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 33
求二叉树高度的递归算法
int Height ( BinTreeNode * T ) { if ( T == NULL ) return -1; else { int m = Height ( T->leftChild ); int n = Height ( T->rightChild ) ); return (m > n) ? m+1 : n+1;
中序遍历 (Inorder Traversal)
中序遍历二叉树算法的框架是：
若二叉树为空，则空操作；
-
否则 中序遍历左子树 (L)；
+
/
访问根结点 (V)；
a *e f
中序遍历右子树 (R)。
遍历结果
b-
a+b*c-d-e/f
cd
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 20
二叉树递归的中序遍历算法
如果 n = 0，称为空树；如果 n > 0，则 ▪ 有一个特定的称之为根(root)的结点，
它只有直接后继，但没有直接前驱； ▪ 除根以外的其它结点划分为 m (m 0)
个 互不相交的有限集合T0, T1, …, Tm-1，每 个集合又是一棵树，并且称之为根的子树。
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 3
typedef struct node { //树结点定义
TreeData data;
//结点数据域
struct node * leftChild, * rightchild;
//子女指针域
} BinTreeNode;
typedef BinTreeNode * BinTree; //树定义，代表树的根指针
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 33
求二叉树高度的递归算法
int Height ( BinTreeNode * T ) { if ( T == NULL ) return -1; else { int m = Height ( T->leftChild ); int n = Height ( T->rightChild ) ); return (m > n) ? m+1 : n+1;
中序遍历 (Inorder Traversal)
中序遍历二叉树算法的框架是：
若二叉树为空，则空操作；
-
否则 中序遍历左子树 (L)；
+
/
访问根结点 (V)；
a *e f
中序遍历右子树 (R)。
遍历结果
b-
a+b*c-d-e/f
cd
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 20
二叉树递归的中序遍历算法
如果 n = 0，称为空树；如果 n > 0，则 ▪ 有一个特定的称之为根(root)的结点，
它只有直接后继，但没有直接前驱； ▪ 除根以外的其它结点划分为 m (m 0)
个 互不相交的有限集合T0, T1, …, Tm-1，每 个集合又是一棵树，并且称之为根的子树。
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 3
typedef struct node { //树结点定义
TreeData data;
//结点数据域
struct node * leftChild, * rightchild;
//子女指针域
} BinTreeNode;
typedef BinTreeNode * BinTree; //树定义，代表树的根指针
数据结构-第6章 树和二叉树---4. 树和森林(V1)
ElemType data ; struct CSnode *firstchild, *nextsibing ; }CSNode;
6.4.1 树的存储结构
R AB C D EG F
R⋀
A
⋀D
⋀B
⋀E ⋀
C⋀
⋀G
⋀F ⋀
6.4.2 树、森林和二叉树的转换
1. 树转换为二叉树 将树转换成二叉树在“孩子兄弟表示法”中已 给出，其详细步骤是： ⑴ 加线。在树的所有相邻兄弟结点之间加一 条连线。 ⑵ 去连线。除最左的第一个子结点外，父结点 与所有其它子结点的连线都去掉。 ⑶ 旋转。将树以根结点为轴心，顺时针旋转 450，使之层次分明。
B C
D
A E
L HK
M
技巧：无左孩子 者即为叶子结点
6.4.3 树和森林的遍历
1. 树的遍历 由树结构的定义可知，树的遍历有二种方法。 ⑴ 先序遍历：先访问根结点，然后依次先序 遍历完每棵子树等。价于对应二叉树的先序遍历
⑵ 后序遍历：先依次后序遍历完每棵子树，然 后访问根结点。等价于对应二叉树的中序遍历
0 R -1 1A 0 2B 0 3C 0
}Ptree ; R
4D 1 5E 1
AB C
6F 3
7G 6
DE
F
8H 6
9I 6
G H I 10~MAX_Size-1 ... ...
6.4.1 树的存储结构
2. 孩子表示法
每个结点的孩子结点构成一个单链表，即有n 个结点就有n个孩子链表；
n个孩子的数据和n个孩子链表的头指针组成一 个顺序表； 结点结构定义： 顺序表定义：
typedef struct PTNode { ElemType data ;
6.4.1 树的存储结构
R AB C D EG F
R⋀
A
⋀D
⋀B
⋀E ⋀
C⋀
⋀G
⋀F ⋀
6.4.2 树、森林和二叉树的转换
1. 树转换为二叉树 将树转换成二叉树在“孩子兄弟表示法”中已 给出，其详细步骤是： ⑴ 加线。在树的所有相邻兄弟结点之间加一 条连线。 ⑵ 去连线。除最左的第一个子结点外，父结点 与所有其它子结点的连线都去掉。 ⑶ 旋转。将树以根结点为轴心，顺时针旋转 450，使之层次分明。
B C
D
A E
L HK
M
技巧：无左孩子 者即为叶子结点
6.4.3 树和森林的遍历
1. 树的遍历 由树结构的定义可知，树的遍历有二种方法。 ⑴ 先序遍历：先访问根结点，然后依次先序 遍历完每棵子树等。价于对应二叉树的先序遍历
⑵ 后序遍历：先依次后序遍历完每棵子树，然 后访问根结点。等价于对应二叉树的中序遍历
0 R -1 1A 0 2B 0 3C 0
}Ptree ; R
4D 1 5E 1
AB C
6F 3
7G 6
DE
F
8H 6
9I 6
G H I 10~MAX_Size-1 ... ...
6.4.1 树的存储结构
2. 孩子表示法
每个结点的孩子结点构成一个单链表，即有n 个结点就有n个孩子链表；
n个孩子的数据和n个孩子链表的头指针组成一 个顺序表； 结点结构定义： 顺序表定义：
typedef struct PTNode { ElemType data ;
数据结构第七章 树和森林
7.5 树的应用
➢判定树
在实际应用中，树可用于判定问题的描述和解决。
•设有八枚硬币，分别表示为a，b，c，d，e，f，g，h，其中有一枚且 仅有一枚硬币是伪造的，假硬币的重量与真硬币的重量不同，可能轻， 也可能重。现要求以天平为工具，用最少的比较次数挑选出假硬币， 并同时确定这枚硬币的重量比其它真硬币是轻还是重。
的第i棵子树。 ⑺Delete（t，x，i）在树t中删除结点x的第i棵子树。 ⑻Tranverse（t）是树的遍历操作，即按某种方式访问树t中的每个
结点，且使每个结点只被访问一次。
7.2.2 树的存储结构
顺序存储结构 链式存储结构 不管哪一种存储方式，都要求不但能存储结点本身的数据 信息，还要能够唯一的反映树中各结点之间的逻辑关系。 1.双亲表示法 2.孩子表示法 3.双亲孩子表示法 4.孩子兄弟表示法
21
将二叉树还原为树示意图
A BCD
EF
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
22
练习：将下图所示二叉树转化为树
1 2
4
5
3
6
2 4
1 53
6
23
7.3.2 森林转换为二叉树
由森林的概念可知，森林是若干棵树的集合，只要将森林中各棵树 的根视为兄弟，森林同样可以用二叉树表示。 森林转换为二叉树的方法如下：
⑴将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。 ⑵第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树 的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来 后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。
相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m）本身又是 一棵树。树T1，T2，…，Tm称为这个根结点的子树。 • 可以看出，在树的定义中用了递归概念，即用树来定义树。因此， 树结构的算法类同于二叉树结构的算法，也可以使用递归方法。
数据结构习题及答案与实验指导(树和森林)7
第7章树和森林树形结构是一类重要的非线性结构。
树形结构的特点是结点之间具有层次关系。
本章介绍树的定义、存储结构、树的遍历方法、树和森林与二叉树之间的转换以及树的应用等内容。
重点提示：●树的存储结构●树的遍历●树和森林与二叉树之间的转换7-1 重点难点指导7-1-1 相关术语1．树的定义：树是n（n>=0）个结点的有限集T，T为空时称为空树，否则它满足如下两个条件：①有且仅有一个特定的称为根的结点；②其余的结点可分为m（m>=0）个互不相交的子集T1，T2，…，T m，其中每个子集本身又是一棵树，并称为根的子树。
要点：树是一种递归的数据结构。
2．结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。
3．树的度：一棵树的度指该树中结点的最大度数。
如图7-1所示的树为3度树。
4．分支结点：度大于0的结点为分支结点或非终端结点。
如结点a、b、c、d。
5．叶子结点：度为0的结点为叶子结点或终端结点。
如e、f、g、h、i。
6．结点的层数：树是一种层次结构，根结点为第一层，根结点的孩子结点为第二层，…依次类推，可得到每一结点的层次。
7．兄弟结点：具有同一父亲的结点为兄弟结点。
如b、c、d；e、f；h、i。
8．树的深度：树中结点的最大层数称为树的深度或高度。
9．有序树：若将树中每个结点的子树看成从左到右有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。
10．森林：是m棵互不相交的树的集合。
7-1-2 树的存储结构1．双亲链表表示法以图7-1所示的树为例。
（1）存储思想:因为树中每个元素的双亲是惟一的，因此对每个元素，将其值和一个指向双亲的指针parent构成一个元素的结点，再将这些结点存储在向量中。
（2）存储示意图:-1 data:parent:（3）注意: Parrent域存储其双亲结点的存储下标，而不是存放结点值。
下面的存储是不正确的：-1 data:parent:2．孩子链表表示法（1）存储思想：将每个数据元素的孩子拉成一个链表，链表的头指针与该元素的值存储为一个结点，树中各结点顺序存储起来，一般根结点的存储号为0。
树形结构——树和森林
树形结构——树和森林 树形结构——树和森林
TT
讨论的问题
1、树的概念 2、树的遍历 3、树的存储方式 4、二叉树
树的概念
树是一种常见的非线性的数据结构。 树是一种常见的非线性的数据结构 。 树的递归定义如 下： 树是n(n> 个结点的有限集， n(n>0 树是n(n>0)个结点的有限集，这个集合满足以下条 件： 有且仅有一个结点没有前件（父亲结点） ⑴有且仅有一个结点没有前件（父亲结点），该结 点称为树的根； 点称为树的根； 除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件； ⑵除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件； 除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。 ⑶除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。 这条路径由根开始，而未端就在该结点上， 这条路径由根开始 ， 而未端就在该结点上 ， 且除根以 路径上的每一个结点都是前一个结点的后件（ 外 ， 路径上的每一个结点都是前一个结点的后件 （ 儿 子结点） 子结点）；
树的表示方法
树的表示方法一般有两种： 自然界的树形表示法：用结点和边表示树， ⑴自然界的树形表示法：用结点和边表示树，例如上图采用的就 是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。 是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。
⑵括号表示法：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树 括号表示法： 按由左而右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样方法处理： 同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔 开，最后用闭括号括起来。例如图可写成如下形式 （r（a（w，x（d（h），e）），b（f），c（s，t（i（m，o， n），j），u）））
1、二叉树的递归定义和基本形态
二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空， 二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空，或者满足以 下条件： ⑴有一个特定的结点称为根； ⑵ 余下的结点分为互不相交的子集 L 和 R ， 其中 R 是根的 余下的结点分为互不相交的子集L 其中R 左子树；L是根的右子树；L 左子树；L是根的右子树；L和R又是二叉树； 由上述定义可以看出， 由上述定义可以看出，二叉树和树是两个不同的概念 ⑴树的每一个结点可以有任意多个后件，而二叉树中每 树的每一个结点可以有任意多个后件， 个结点的后件不能超过2 个结点的后件不能超过2； ⑵树的子树可以不分次序（除有序树外）；而二叉树的 树的子树可以不分次序（除有序树外） 子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子， 子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子， 右后件为右儿子。 右后件为右儿子。
TT
讨论的问题
1、树的概念 2、树的遍历 3、树的存储方式 4、二叉树
树的概念
树是一种常见的非线性的数据结构。 树是一种常见的非线性的数据结构 。 树的递归定义如 下： 树是n(n> 个结点的有限集， n(n>0 树是n(n>0)个结点的有限集，这个集合满足以下条 件： 有且仅有一个结点没有前件（父亲结点） ⑴有且仅有一个结点没有前件（父亲结点），该结 点称为树的根； 点称为树的根； 除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件； ⑵除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件； 除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。 ⑶除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。 这条路径由根开始，而未端就在该结点上， 这条路径由根开始 ， 而未端就在该结点上 ， 且除根以 路径上的每一个结点都是前一个结点的后件（ 外 ， 路径上的每一个结点都是前一个结点的后件 （ 儿 子结点） 子结点）；
树的表示方法
树的表示方法一般有两种： 自然界的树形表示法：用结点和边表示树， ⑴自然界的树形表示法：用结点和边表示树，例如上图采用的就 是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。 是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。
⑵括号表示法：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树 括号表示法： 按由左而右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样方法处理： 同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔 开，最后用闭括号括起来。例如图可写成如下形式 （r（a（w，x（d（h），e）），b（f），c（s，t（i（m，o， n），j），u）））
1、二叉树的递归定义和基本形态
二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空， 二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空，或者满足以 下条件： ⑴有一个特定的结点称为根； ⑵ 余下的结点分为互不相交的子集 L 和 R ， 其中 R 是根的 余下的结点分为互不相交的子集L 其中R 左子树；L是根的右子树；L 左子树；L是根的右子树；L和R又是二叉树； 由上述定义可以看出， 由上述定义可以看出，二叉树和树是两个不同的概念 ⑴树的每一个结点可以有任意多个后件，而二叉树中每 树的每一个结点可以有任意多个后件， 个结点的后件不能超过2 个结点的后件不能超过2； ⑵树的子树可以不分次序（除有序树外）；而二叉树的 树的子树可以不分次序（除有序树外） 子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子， 子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子， 右后件为右儿子。 右后件为右儿子。
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60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
树与森林的遍历
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
树与森林的遍历
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克