2011年第16届华杯赛决赛小学组四套试卷及答案

答案：（1）18+23/24（2）70（3）45（4）12（5）2.094（6）5（7）8000/3（8）10
（9）2011。

连结DF，可以证明三角形ADF既是长方形的一半，也是梯形的一半
（10）8种354、367、381、397、851、957、961、991。

注：如果坏的可以是不亮的，那么还包含351、357、361、391、951，共计13种。

（11）三或五。

第一个和最后一个周日可以是1、29或3、31。

（12）253。

14*0+15*1+15*2+……+15*15+16*14>2011。

（13）312。

个位和为21，十位和为9，共36+48+48=132种；个位和为11，十位和为20，共72+36+72=180种。

（14）假设小虫向F方向走，则两只蜘蛛走向B和E，这样小虫必须退回G。

其中一只蜘蛛由B走向C，另一只在E点徘徊不动。

之后C点的蜘蛛继续向G点追逐小虫，而E点的蜘蛛一直保持自己位于小虫关于面对角线HF的对称点上，即可抓到小虫。

另外两个方向同理，蜘蛛必可抓到小虫。

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 总决赛 小学组一试2011年7月23日中国·惠州一. 填空题：（共3题，每题10分）1. 计算 313615176413900114009144736543++++++＝_________.2. 如右图所示，正方形ABCD 的面积为12，AE ＝ED ，且EF ＝2FC ，则三角形ABF 的面积等于_________.3. 某地区的气象记录表明，在一段时间内，全天下雨共1天；白天雨夜间晴或白天晴夜间雨共9天；6个夜间和7个白天晴朗。

则这段时间有_______天，其中全天天晴有_______天。

二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 已知a 是各位数字相同的两位数，b 是各位数字相同的两位数，c 是各位数字相同的四位数，且c b a =+2。

求所有满足条件的（a ，b ，c ）。

5. 纸板上写着100、200、400三个自然数，再写上两个自然数，然后从这五个数中选出若干个数（至少两个）做只有加、减法的四则运算，在一个四则运算式子中，选出的数只能出现一次，经过所有这样的运算，可以得到k 个不同的非零自然数。

那么k 最大是多少？6. 将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入右图的圆圈中，每个圆圈恰填一个数，满足下列条件：1） 正三角形各边上的数之和相等；2） 正三角形各边上的数之平方和除以3的余数相等。

问：有多少种不同的填入方法？( 注意，经过旋转和轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法 )总决赛 小学组二试2011年7月23日中国·惠州一. 填空题：（共3题，每题10分）1. 某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3支。

如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支的人数是_________.2. 右图中，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，E 为BC 的中点，三角形ABO 的面积为45，三角形ADO 的面积为18，三角形CDO 的面积为69。

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（深圳赛区小学组）（时间: 2011年4月16日）一、填空（每题 10 分, 共80分）1．11122181819 .2320320192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.甲车从A 出发驶向B,往返来回；乙车从B 同时出发驶向A,往返来回.两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B ，乙车继续行驶1小时到达A. 若A,B 两地相距100千米，那么当甲车第一次到达B 时,乙车的位置距离A 千米。

3.每个铅字上刻有一个数码.如果印刷十二页书，所用的页码铅字要以下15个：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2。

现要印刷一本新书，从库房领出页码铅字共2011个，排版完成后有剩余.那么，这本书最多有页.最少剩余 个铅字.4. 一列数:8,3,1,4,.….., 从第三个开始,每个数都是最靠近它前两个数的和的个位数.那么第2011个数是 .5.编号从1到50的50个球排成一行,现在按照如下方法涂色:1)涂2个球；２）被涂色的２个球的编号之差大于2.如果一种涂法被涂色的两个球与另一种涂法被涂色的两个球至少有一个是不同号的,这两种涂法就称为”不同的”.那么不同的涂色方法有种.6. A，B两地相距100千米。

甲车从A到B要走m个小时，乙车从A 到B要走n个小时，m ,n是整数.现在甲车从A,乙车从B同时出发，相向而行，经过5小时在途中C点相遇。

若甲车已经走过路程的一半，那么C到A路程是千米。

7. 自然数b与175的最大公约数记为d. 如果176(111)51⨯-⨯+=⨯+，b d d则b = .8. 如右图. ABCD为平行四边形.AE=2EB.若三角形CEF的面积=1.那么，平行四边形ABCD的面积= .二、解答下列各题（每题10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9．三位数的十位数字与个位数字的和等于百位数字的数,称为”好数”.共有多少个好数？10．在下列2n 个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是2或12?2345213, 32, 32, 32, 32, 32,, 32.n -⨯⨯⨯⨯⨯⨯11 .一个四位数abcd 和它的反序数dcba 都是65 的倍数.求这个数.12. 用写有+1和-1的长方块放在10n方格中，使得每一列和每一行的数的乘积都是正的，n的最小值是多少？三、解答下列各题（每题15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 十五个盒子，每个盒子装一个白球或一个黑球.，且白球不多于 12个.你可以任选三个盒子来提问：“这三个盒子中的球是否有白球？”并得到真实的回答. 那么你最少要问多少次，就能找出一个或更多的白球？14. 求与2001互质，且小于2001的所有自然数的和。

2011年第十六届“华杯赛”初赛一、选择题（第小题10分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。

）1．若连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（ ） （A ）100 （B ）101 （C ）102 （D ）1032．用火柴棍摆放数字0-9的方式如下：现在，去掉8的左下侧一根，就成了数字9，我们称9对应1；去掉8的上下两根和左下角一根，就成了数字4，我们称4对应3。

规定8本身对应0，按照这样的规则，可以对应出（ ）个不同的数字。

（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）53．两数之和与两数之商都为6，那么这两数之积减这两数之差（大减小）等于（ ）（A ）7426 (B) 715 (C) 76 (D) 4964．老师问学生：“昨天你们有几个人复习数学了？”张：“没有人。

”李：“一个人。

”王：“二个人。

”赵：“三个人。

”刘：“四个人。

”老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人没复习，复习了的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话。

那么，昨天这5个人中复习数学的有（ ）个人。

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）310．在下面加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数华杯初赛的最大值是兔年十六届+ 华杯初赛2 0 1 1【参考答案及详解】(1) . C任何四个连续自然数之和一定被4除余2，所以只有102满足条件。

“都为合数”这个条件可以被无视了。

(2). C容易发现，如果原数字有n根火柴，则对应数字7-n。

原数字的火柴数目依次是2，5，5，4，5，6，3，7，6，6，包含了2，3，4，5，6，7，共6个不同数字，所以对应的也有6个不同的。

(3). D这属于和倍问题，大数是小数的6倍，所以它们的和等于小数的7倍，即小数为6/7，大数为36/7，两数之积为216/49，两数之差为30/7=210/49，所以差为6/49。

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（深圳赛区小学组）（时间: 2011年4月16日）一、填空（每题 10 分, 共80分）1．11122181819 .2320320192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.甲车从A 出发驶向B,往返来回；乙车从B 同时出发驶向A,往返来回.两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B ，乙车继续行驶1小时到达A. 若A,B 两地相距100千米，那么当甲车第一次到达B 时,乙车的位置距离A 千米。

3.每个铅字上刻有一个数码.如果印刷十二页书，所用的页码铅字要以下15个：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2。

现要印刷一本新书，从库房领出页码铅字共2011个，排版完成后有剩余.那么，这本书最多有 页.最少剩余 个铅字.4. 一列数:8,3,1,4,.….., 从第三个开始,每个数都是最靠近它前两个数的和的个位数.那么第2011个数是 .5.编号从1到50的50个球排成一行,现在按照如下方法涂色:1)涂2个球；２）被涂色的２个球的编号之差大于2.如果一种涂法被涂色的两个球与另一种涂法被涂色的两个球至少有一个是不同号的,这两种涂法就称为”不同的”.那么不同的涂色方法有种.6. A，B两地相距100千米。

甲车从A到B要走m个小时，乙车从A 到B要走n个小时，m ,n是整数.现在甲车从A,乙车从B同时出发，相向而行，经过5小时在途中C点相遇。

若甲车已经走过路程的一半，那么C到A路程是千米。

7. 自然数b与175的最大公约数记为d. 如果176(111)51⨯-⨯+=⨯+，b d d则b = .8. 如右图. ABCD为平行四边形.AE=2EB.若三角形CEF的面积=1.那么，平行四边形ABCD的面积= .二、解答下列各题（每题10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9．三位数的十位数字与个位数字的和等于百位数字的数,称为”好数”.共有多少个好数？10．在下列2n 个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是2或12?2345213, 32, 32, 32, 32, 32,, 32.n -⨯⨯⨯⨯⨯⨯11 .一个四位数abcd 和它的反序数dcba 都是65 的倍数.求这个数.12. 用写有+1和-1的长方块放在10n方格中，使得每一列和每一行的数的乘积都是正的，n的最小值是多少？三、解答下列各题（每题15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 十五个盒子，每个盒子装一个白球或一个黑球.，且白球不多于 12个.你可以任选三个盒子来提问：“这三个盒子中的球是否有白球？”并得到真实的回答. 那么你最少要问多少次，就能找出一个或更多的白球？14. 求与2001互质，且小于2001的所有自然数的和。

第16届(2011年)华杯赛初赛试题（小学组）一、选择题：每小题10分，满分60分。

以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。

）1、若连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（ ）A 、100B 、101C 、102D 、103设 X,X+1,X+2,X+3，四个数之和为4X+6 因为100是4的倍数，所以答案只能是1022、用火柴棍摆放数字0-9的方式如下：现在去掉“8”的左下侧一根，就成了数字“9”，我们称“9”对就1；去掉“8”的上下两根和左下角一根，就成了数字“4”，我们称“4”对应3，规定“8”本身对应0，按照这样的规则，可以对应出（ ）个不同的数字。

A 、10B 、8C 、6D 、5去掉的火柴棍的数是对应的数，因此 有 5223214011 一共 6个数字，分别是 5 2 3 1 4 03、两数之和与两数之商都为6，那么这两数之积减这两数之差（大减小）等于（ ）A 、7426 B 、715 C 、76 D 、496 X+Y=X/Y=6 X=6Y 7Y=6 Y=6/7 X=36/7XY= 36*6/49 X-Y=30/7=210/49 XY-(X-Y)=(216-210)/49=6/494、老师问学生：昨天你们有几个人复习数学了?”张：“没有人。

”李：“一个人。

”王：“二个人。

”赵：“三个人。

”刘：“四个人。

”老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人没复习，复习了的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话。

那么，昨天这5个人中复习数学的有（ ）个人。

A 、0B 、1C 、2D 、3因为这五个人说的答案是互斥的，只可能有一个人是说的真话，而复习的人说的是真话，所以只有一个人复习了5、如右图所示，在7X7方格的格点上，有7只机器小蚂蚁，它们以相同的速度沿格线爬行到格点M、N、P、Q（图中空心圆圈所表示的四个位置）中的某个上聚会，所用的时间总和最小的格点是（）A、MB、NC、PD、Q有两个点离N最近N 0 M 1 P 2 Q 1N 0 M 1 P 2 Q 1有两个点离M最近N 1 M 0 P 1 Q 2N 1 M 0 P 1 Q 2有一个点离P最近N 2 M 1 P 0 Q 1有两个点离Q最近N 1 M 2 P 1 Q 0N 1 M 2 P 1 Q 0相加后，N 最少，所以选N其它答案：先看行，有1只蚂蚁在MN那行上，该行上面有3只蚂蚁，分别离这行1格，2格，3格；下面也有3只蚂蚁，分别离这行也是1格，2格，3格；所以M和N居于中间位置。

华杯赛16试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-1)的值。

A. 0B. 2C. -2D. 1答案：B2. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 25D. 50答案：B3. 计算(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1)的值，当x = 2时。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C4. 一个数列的前三项为1, 2, 4，从第四项开始，每一项是前三项的和，求数列的第五项。

A. 7B. 8C. 11D. 14答案：C二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列的前三项分别为2, 5, 8，求第四项的值。

答案：116. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

答案：57. 计算(2x + 3)(x - 4)的展开式。

答案：2x^2 - 5x - 128. 已知一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个解为x1 = 1和x2 = 3，求b的值。

答案：-4三、解答题（每题10分，共20分）9. 已知函数y = x^3 - 3x^2 + 4，求导数y'。

答案：y' = 3x^2 - 6x10. 一个长方体的长、宽、高分别为a, b, c，求其对角线的长度。

答案：d = √(a^2 + b^2 + c^2)四、证明题（每题10分，共20分）11. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是存在的。

答案：略12. 证明：勾股定理。

答案：略五、综合题（每题20分，共20分）13. 已知一个函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a, b, c是常数，且f(1) = 2，f(-1) = 0，f(2) = 6，求a, b, c的值。

答案：a = 1, b = -1, c = 2。

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C 参考答案（小学组）一、 填空题 (每小题 10 分，共 80 分)题号12345678答案 17114036114.18879000524二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程)9. 答案: 1000解答. 因为华杯决赛是四位数, 所以不会小于 1000. 当华杯决赛=1000,十六届=990, 兔年 =21时题目要求的等式成立. 10. 答案: 70.解答. 连接 FD 的直线与 AE 的延长线相交于 H . 则△ DFG 绕点 D 逆时针旋转 180o与 △ DHE 重合 , DF=DH .梯形 AEGF 的面积=△AFH 的面积=2×△AFD 的面积 =长方形 ABCD 的面积 =70（平方厘米）. 11. 答案: 17 解答. 合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，…….因为 4 + 6 + 9 = 19, 所以 19 能写成 3 个不相等的合数之和. 大于 19 的奇数 n 可以表示成 n =19+2k , k 是非零自然数, 进而n=4+9+(6+2k).注意 6+2k为大于 2 的偶数, 是合数, 所以不小于 19 的奇数都写成 3 个不相等的合数之和.另外,17 不能写成 3 个不相等的合数之和.12.答案: 4, 6.解答. 设这个月的第一个星期日是a日（1≤a≤7）,则这个月内星期日的日期是7k+a,k是整数, 7k+a≤ 31.要求有三个奇数.当a=1时,要使7k+1是奇数, k 为偶数,即 k 可取0,2,4三个值,此时,7k+a= 7k+1分别为 1, 15, 29, 这时 21 号是星期六.当a=2时,要使7k+2是奇数, k 为奇数,即 k 可取1, 3两个值, 7k+2不可能有三个奇数.当a=3时,要使7k+3是奇数, k 为偶数,即 k 可取0, 2, 4三个值,此时7k+a= 7k+3分别为 3, 17, 31, 这时 21 号是星期四.当 4 ≤a≤ 7 时,7k+a不可能有三个奇数.三、解答下列各题 (每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程)13.答案: 252.解：令 m =15k ,k是自然数,首先考虑满足下式的最大的m,⎡ 1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ 3 ⎤ ⎡m -1⎤ ⎡ m ⎤⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ≤ 2000.15⎣15⎦ ⎣15⎦ ⎣15⎦ ⎣ ⎦ ⎣15⎦于是⎡ 1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ 3 ⎤ ⎡m -1⎤ ⎡ m ⎤⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥15⎣15 ⎦ ⎣15⎦ ⎣15⎦ ⎣ ⎦ ⎣15⎦ = 0 ⨯15 +1⨯15 + 2 ⨯15 ++ (k -1) ⨯15 + k= 15k (k-1) + k = 15k 2-13k≤ 2000.2 2因此15k2-13k≤ 4000.又15⨯172-13⨯17 = 4114 > 4000, 15⨯162-13⨯16 = 3632 < 4000, 得知 k 最大可以取16.当k =16时, m=240.注意到这时2000-15k2-13k= 2000-3632= 184 = 16⨯11+ 8 .2 2注意到⎡ 1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡16 ⨯15 -1⎤ ⎡16 ⨯15⎤⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥15⎣15 ⎦ ⎣15 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 15 ⎦⎡16 ⨯15 +1⎤ ⎡16 ⨯15 + 2 ⎤ ⎡16 ⨯15 +11⎤ ⎡16 ⨯15 +12 ⎤+ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥15 15 15⎣ ⎦ ⎣15 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= 1816 +16 ⨯12 = 2008 > 2000而⎡1⎤+⎡2⎤+⎡3⎤+ +⎡16⨯15+11⎤= 1816 +16 ⨯11 = 1992 < 2000.⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎥⎣15⎦ ⎣15⎦ ⎣15⎦⎣ 15 ⎦所以 252 是满足题目要求的n的最小值.14.解答. 由题设知水箱底面积 S 水箱＝40×25＝1000．水箱体积 V 水箱=1000×60＝60000，铁块底面积 S 铁＝10×10＝100．铁块体积 V 铁=10×10×10＝1000.（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 60 时，1000a＋1000＝60000, 得a＝59．所以，当 59≤a≤60 时，水深为 60（多余的水溢出）．（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 10 时，1000a＋1000＝10000, 得a＝9．a×40×25+10×10×10 所以，当 9≤a＜59 时，水深为= a+1.（3）由（2）知，当 0＜a＜9 时，设水深为x，则101000x＝1000a＋100x．得x＝9a．10答：当 0＜a＜9 时，水深为9a；当 9≤a＜59 时，水深为a+1；当 59≤a≤60 时，水深为 60.。