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练习题1：质点运动学和动力学一、判断题（每题2分，共20分）1.物体做匀速圆周运动，由于速率大小不变，所以加速度为零。
（×）2.质点的位置矢量方向不变，质点一定作直线运动。
（√）3. 物体匀速率运动，加速度必定为零。
( × )4. 对于一个运动的质点，具有恒定速率，但可能有变化的速度。
( √ )5. 物体作曲线运动时，一定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。
( √ )6．质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。
（√）7．一个系统如果只受到保守内力的作用，此系统机械能守恒。
（√）8．质量为 M 的木块静止在光滑水平面上，一质量为 m的子弹水平地射入木块后又穿出木块，则在子弹射穿木块的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒。
（√）9. 子弹分别打在固定的软和硬的两块木块内，则木块受到的冲量相同，但硬木块的平均作用力大。
（√）10. 一对内力作功之和必为零。
（×）二、选择题（每题2分，共20分）1．当物体的加速度不为零时，则：( B )（A）对该物体必须做功；（B）对该物体必须施力，且合力不会为零；（C）它的速率必然增大；（D）它的动能必然增大。
2. 质点在O−xy平面内运动，其运动方程为r⃗=2ti⃗+(4−t2)j⃗ (SI)，则当t=2S时,质点的速度是 ( A )(A) (2i ⃗−4j ⃗)m s ⁄ (B) (−2i ⃗)m s ⁄ (C) (−4j ⃗)m s ⁄ (D) (2i ⃗+4j ⃗)m s ⁄3、下列几种运动形式，哪一种运动是加速度矢量a ⃗⃗保持不变的运动？（ C ）。
A 、单摆运动；B 、匀速度圆周运动；C 、抛体运动；D 、以上三种运动都是a ⃗⃗保持不变的运动。
4. 一个质点在做圆周运动时，则有（ B ）(A) 切向加速度一定改变，法向加速度也改变；(B) 切向加速度可能不变，法向加速度一定改变；(C) 切向加速度可能不变，法向加速度不变；(D) 切向加速度一定改变，法向加速度不变。
（2009江苏高考）航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器，其质量m =2kg,动力系统提供的恒定升力F =28N。
试飞时，飞行器从地面由静止开始竖直上升。
设飞行器飞行时所受的阻力大小不变，g取10m/s2o（1）第一次试飞，飞行器飞行5 = 8s时到达高度H = 64m。
求飞行器所阻力f的大小（2）第二次试飞，飞行器飞行0 = 6s时遥控器出现故障，飞行器立即失去升力，求飞行器能达到的最人高度h（3）为了使飞行器不致坠落到地面，求E行器从开始下落到恢复升力的最长时间【答案】（1）第一次飞行中，设加速度为如。
飞行器做匀加速运动，H由牛顿第二定律F - mg - / = ma x解得f = 4N（2）第二次飞行中，设飞行器失去升力时的速度为耳，上升的高度为S]飞行器匀加速运动* =扌如£设失去升力后的速度为血，上升的高度为S2 由牛顿第二定律mg + / = ma2^1 = a1^2解得/i = S] + S2 = 42m（3）设失去升力下降阶段加速度为。
3；恢复升力后加速度为。
4,恢复升力时速度为巾由牛顿第二定律mg - f = ma3F + f _ mg = ma4且±+± = h2。
3 2a4“3 = a3^3解得S =（或2.1s）如图所示，质量为m的物体A,从底线/为定值的斜面顶点从静止开始向下滑动，已知物体与斜面的动摩擦因数为“。
问Q角为何值吋，下滑的时I'可最短，等于多少？【答案】由受力分析可知，物体的加速度a = g（sina - /^cosa）,物体下滑的位移s = l/cosa0物体做匀加速运动，由运动学公式s=^at2可得41g(sin2a —“cos2a—“)有三角函数知识，当a = |arctan 时，严最小，即时闫最短。
（2009山东高考）某物体做直线运动的st 图象如图甲所示，据此判断图乙（F 表示物最短吋间为tmin = I 机 yj g(Jl+“2-“)（2011北京卷）“蹦极”就是跳跃者把一端固定的 长弹性绳绑在踝关节等处，从儿十米高处跳下的一种极限 运动。
非线性物理试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 非线性光学中，光的二次谐波产生属于：A. 线性效应B. 非线性效应C. 量子效应D. 热效应答案：B2. 以下哪项不是非线性动力学系统的特点？A. 存在混沌现象B. 系统行为对初始条件敏感C. 系统行为可预测D. 存在分叉现象答案：C3. 非线性系统方程中，以下哪项是正确的？A. \( \frac{dx}{dt} = ax \)B. \( \frac{dx}{dt} = ax^2 \)C. \( \frac{dx}{dt} = ax + bx^2 \)D. \( \frac{dx}{dt} = ax + bx^3 \)答案：D4. 非线性系统中，孤立波解是指：A. 波形随时间不变B. 波形随时间变化C. 波形随空间变化D. 波形随时间和空间变化答案：A5. 非线性物理中，Bose-Einstein凝聚态描述的是：A. 电子气B. 费米子气C. 光子气D. 玻色子气答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 在非线性光学中，光的____效应可以产生频率为原始光频率两倍的光。
答案：二次谐波2. 非线性动力学系统中的____现象是指系统在某些参数变化时，会出现多种可能的行为模式。
答案：分叉3. 非线性系统的方程通常包含____项，这使得系统的行为复杂化。
答案：非线性4. 非线性系统中的____波是一种在传播过程中保持形状不变的波。
答案：孤立5. 在非线性物理中，____凝聚态是一种在低温下，玻色子粒子聚集在最低能态的现象。
答案：Bose-Einstein三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述非线性物理中孤子的概念及其物理意义。
答案：孤子是一种在非线性介质中传播的波，它能够保持其形状和速度不变，即使在与其他孤子相遇时也不会发生能量交换。
孤子的物理意义在于它们展示了非线性系统中的局部化波解，这在光学、流体力学等领域有重要的应用。
2. 解释非线性动力学系统中的混沌现象及其特点。
即non-linear 是指输出输入既不是正比例也不是反比例的情形。
如宇宙形成初的混沌状态。
自变量与变量之间不成线性关系，成曲线或抛物线关系或不能定量,这种关系叫非线性关系。
“线性”与“非线性”，常用于区别函数y = f (x)对自变量x的依赖关系。
线性函数即一次函数，其图像为一条直线。
其它函数则为非线性函数，其图像不是直线。
线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。
如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是 6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。
非线性关系虽然千变万化，但还是具有某些不同于线性关系的共性。
线性关系是互不相干的独立关系，而非线性则是相互作用，而正是这种相互作用，使得整体不再是简单地等于部分之和，而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。
激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好像听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。
迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，并没有清晰的、完整的认识，对其哲学意义也没有充分地开掘。
线性：从相互关联的两个角度来界定，其一：叠加原理成立；其二：物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量。
在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：其—，“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符”，即叠加原理不成立，这意味着φ与ψ间存在着耦合，对（aφ+bψ）的*作，等于分别对φ和ψ*作外，再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的*作，或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。
其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。
2013 “非线性振动” 练习题
1、简述绘制相轨线的原理及其作用。
2、用小参数摄动法求
)1(220<<=+εεωx x x x
的一阶近似解。
3、 用多尺度法或均值法求 (第三章16)
)1(320<<=+εεωx x x
的一阶近似解。
4、 用多尺度法求周期激励范德波尔方程
0)0(,)0(,cos )1(220220=-+=+-=+x F A x t F x x x x ω
ωωεω 的非共振解。
5、 设运动微分方程为
)1(cos 220<<+-=+εωεωt F x x x
试求0ωω≈的主共振解。
6、 简述非线性单自由度保守系统自由振动的主要特点及与线性系
统的区别。
7、 简述非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动特点。
8、 简述自激振动产生的主要原因及其特点。
9、 以两自由度非线性系统为例，简述非线性多自由度系统振动的
主要特点。
10、 简述分岔和混沌的概念。
（考试从中选取5题）
1、简述绘制相轨线的原理及其作用。
答：绘制相轨迹线的原理如下：
将系统的动力学方程...
+(x,)=0x f x 转化为以状态变量表示的状态方程组 ..==-(x,y)
y x
y f （1）
在利用上式消去微分dt,得到y x 和的关系式 ,=-dy f dx y
（x y ） （2） 这个式子所确定的平面（x,y ）上的各点的向量场，就构成了相轨迹族。
绘制相轨迹线的方法有两种，第一是等倾线法。
等倾线法的原理如下，令方程（2）右边等于常数C ，得到(x,y)相平面内以C 为参数的曲线族
(x,y)+Cy=0f (3)
(3)称作相轨迹的等倾线族，族内每一曲线上的所有点所对应的由方程（2）确定的向量场都指向同一方向。
第二种方法是李纳法。
其原理如下：
适当选择单位使弹簧的系数为1，设单位质量的阻尼力为-(y)ϕ，则有f(x,y)=x+(y)ϕ。
相轨迹微分方程为
+(y)=-dy x dx y
ϕ （4） 在平面上做辅助曲线=-(y)x ϕ 。
此辅助曲线即上述零斜率等倾线，过某个相点 P （x,y ）作x 轴的平行线与辅助曲线交与R 点，再过R 点作y 轴的平行线与x 轴交于S 点，连接PS ，将向量PS →
逆时针旋转90度后的方向就是方程（4）确定的相轨迹切线方向。
相轨迹线可以帮助我们定性地了解系统在不同初始条件下的运动全貌。
当系统是强非线性振动的时候，近似解析法（如小参数摄动法，多尺度法）不再适用，此时可以采用相轨迹法来研究。
（相轨迹线的作用）
非线性动力学主要研究非线性振动系统周期振动规律（振幅，频率，相位的变化规律）和周期解的稳定条件。
其研究内容主要有：保守系统中的稳定性及轨道扩散问题；振动的定性理论；非线性振动的近似解析方法；非线性振动中混沌的控制和同步问题；随机振动系统和参数振动系统问题等。
2、用小参数摄动法求
)1(220<<=+εεωx x x x
的一阶近似解。
解：此处取一阶近似解201=++O()x x x εε (1)
设 222200=+=-D D ωωεωωε即 （2）
此处D 为调谐参数 并设=F K ε （3）
将（1）（2）（3）代入系统动力学方程中则有
....
22010101++(-D )(x +x )=-(x +x )+cos x x K t εωεεεεεω （4）
考虑到ε两边同次幂的系数相等，于是有
..0200..1221100:+=0
(5a):+=Dx -x +cos (5b)x x x x K t
εωεωω 由（5a ）可得 0=cos +Bsin x A t t ωω (6)
将（6）代入（5b ）中有
22
..2
11+=DA cos +sin -(1+cos 2)-(1-cos 2)-ABsin2+cos 22A B x x t DB t t t t K t ωωωωωωω（7）
为了消去久期项，必有使得cos t ω和sin t ω的系数都为0 于是有
DA+=0
=0
K DB （8） 于是有 A =-=-=0K F B D D ε （9）
解（7） （9） 可得
22
11222=R cos +sin +-+cos 226A A x t R t t ωωωωω
（10） 由初始条件 .
11(0)=0 (0)=0x x （11）可得 2
122==03A R R ω （12）
222
1222=cos +cos 2-362A A A x t t ωωωωω
(13)
所以，方程的主共振解为
222222=cos +cos -+cos 2326A A A x A t t t ωωωεωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭
(14) 这里A =-(D )F D ε
其中为调谐参数（15）
3、用多尺度法或均值法求
)1(320<<=+εεωx x x
的一阶近似解。
4、用多尺度法求周期激励范德波尔方程
0)0(,)0(,cos )1(220220=-+=+-=+x F A x t F x x x x ω
ωωεω 的非共振解。
5、设运动微分方程为
)1(cos 220<<+-=+εωεωt F x x x
试求0ωω≈的主共振解。
6、简述非线性单自由度保守系统自由振动的主要特点及与线性系统的区别。
答：特点：
（1）恢复力与位移不成线性比例或阻尼力与速度不成线性比例
（2）非线性单自由度保守系统自由振动的机械能守恒
（3）系统的周期与初始条件有关。
（4）保守系统的微分方程形式如：。
其中p (u) 是仅依赖于系统位移u 的非线性有势力。
（5）。
区别：线性振动只适用于小运动范围 ，超过此范围，就变成非线性振动。
7、简述非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动特点。
答：非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动有以下特点：
（1）
非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动微分方程为： +F(t)
F （t ）为正弦时为简谐激励。
上式为弱非线性,有周期解。
(2)振幅与激励频率在一定关系下发生突跳现象。
（3）在非线性系统中，当干扰力频率在派生系统固有频率附近变化，而受迫振动振幅很大时，发生主共振。
一定条件下还会发生超谐共振、亚谐共振、组合共振等非主共振现象。
9、以两自由度非线性系统为例，简述非线性多自由度系统振动的主要特点。
答：多自由度系统的非线性振动，除两自由度系统之外,很少有精确解。
多采用数值方法为近似分析方法。
在某些条件下，存在内共振现象、 饱和现象、周期激励下不存在周期运动的现象。
在两自由度时：（1）内共振现象，以弹簧摆有限振动为例，
经过计算得到：弹簧的伸长和摆动均为有界,而两种运动的幅值交替增减,能量不断在两种振动形式之间交换,变种现象称为内共振。
（2）受迫振动中的饱和现象，以船舶在海浪作用为例，
),,(20x x t f x x ε
ω=+l
g x x l x x l x x m k x g x l x x =+-=+=-=+022120221220220122221201122ωωωωω
（3）受拍振动中的无周期响应现象，
无周期运动。
)cos(2)
cos(2,22212222202211211111201121θωαμωθωαμω+++-=++++-=+t F x x x x t F x x x x x ：x x 振动方程可写为为仰俯角
为横摇角设。
x x F F 这就是所谓饱和现象能量渗透到饱和幅值就不再增加后超过某一临界值但当仰俯振动的幅值也增加随着激励幅值的增加
开始激发仰俯振动时且从纵向拍击船舶当海浪频率即若存在内共振,),(,,,,
,)0(2,12210201
02=≈≈ωωωω)cos(2)cos(2222122222022112111112011θωαμωθωαμω+++-=++++-=+t F x x x x t F x x x x x 0102012)(ωωωω≈≈且存在内共振即主共振当。
