非线性动力学培训课件

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三、稳定状态(steady state)和稳定性（stability）
研究三个问题： 1、系统是否存在固定点(fixed point)？ 2、系统是否在固定点处存在局部稳定性？
局部稳定性(locally stable) 3、系统是否在固定点处存在全局稳定性？
全局稳定性(globally stable)
暂态（transient）: Behavior before the asymptotic dynamics is called transient
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3、固定点的全局稳定性 线性系统
A locally stable fixed point is also globally stable.
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1、固定点 (fixed point)：
x
t

f ( xt )

xt1 xt1

Rxt ( 1 xt

xt
)


x
t

xt
0 1
1 R
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2、固定点的局部稳定性 线性系统：
固定点 xt 0
R > 1: 不稳定
第一章 有限差分方程
一、线性有限差分方程: Nt1 RNt
几个概念： •方程（线性） •系统参数：R •初始条件：N0
N1 RN0 N2 RN1 R2 N0
Nt Rt N0
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N0=100 , R>0 衰减（decay）
R=0.9
递增（growth） R=1.08
周期2

反馈线性化控制
优点
能够处理非线性问题，提高系统的控制精度 和稳定性。
缺点
实现较为复杂，需要精确的系统模型和参数。
自适应控制
通过不断调整控制参数，以适应系统参数的变化。
优点：能够适应系统参数的变化，提高系统的鲁 棒性和适应性。
自适应控制是一种能够自动调整控制参数，以适 应系统参数变化的控制方法。这种方法通过实时 测量系统参数的变化，不断更新控制参数，以保 证系统性能的稳定性和最优性。
机构运动
在机构运动中，非线性动 力系统可以用于描述机构 的运动规律，如连杆机构、 凸轮机构等。
弹性力学
非线性动力系统在弹性力 学中可以用于描述材料的 非线性行为，如材料的弹 塑性、断裂等。
电力系统中的应用实例
电力系统的稳定性分析
非线性动力系统可以用于分析电力系统的稳定性，如电压波动、 频率稳定等。
谱方法的基本思想是将原问题转化为求解特征值或特征向量 的问题，通过选取适当的正交变换，将原问题转化为易于求 解的数值问题。该方法广泛应用于数值计算、流体动力学等 领域。
边界元法
边界元法是一种只对边界进行离散化 的数值方法，通过求解边界上的离散 方程来近似求解原问题的数值方法。
边界元法的基本思想是将问题只离散 化边界上的点，通过求解边界上的离 散方程来近似求解原问题的数值方法。 该方法广泛应用于流体动力学、电磁 学等领域。
缺点：可能会产生抖振现象， 需要精确的系统模型和参数。
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非性力系的
欧拉方法
总结词
欧拉方法是数值计算中最基础的方法 之一，适用于求解初值问题。
详细描述
欧拉方法基于差分思想，通过已知的 初值和微分方程，逐步计算出未知的 函数值。该方法简单易懂，但精度较 低，适用于求解简单问题。

非线性动力学的原因?
药物在吸收、分布、生物转化过程中， 有些过程与酶或载体传递系统有关
吸收过程主动转运系统的饱和 分布过程中药物与血浆蛋白结合部位
的饱和 排泄过程中肾小管重吸收的饱和 病理变化而呈现出非线性动力学，如
氨基糖甙类药物
药物呈现剂量依赖动力学的吸收原因举例
原因 肠壁的可饱和转运
药物浓度，单位为浓度。
dC dt
1 2
Vm
1 2 Vm
VmC km C
km =C
当C<<km时， dC VmC dt km
令 Vm =k km
dC kC dt
在低浓度或小剂量时，由米氏方程可用一级动力学过程来描述
当C>>km时，
dC dt
Vm
消除速度与药物浓度无关，即属零级过程
药浓度对消除速度和速度常数的影响
原因 主动分泌 主动重吸收 尿pH的变化 可饱和的血浆蛋白结合 较高剂量时的肾中毒 利尿作用
药物 青霉素G 抗坏血酸 水杨酸 水杨酸 氨基糖甙类 茶碱，乙醇
药物呈现剂量依赖动力学的肾外消除原因举例
原因 容量—限制代谢，酶 饱和或协同因素的限制 可饱和的胆汁排泄
酶诱导 较高剂量时的肝中毒 可饱和的血浆蛋白结合
的影响。
100
血
浆
A
水
平
10
B
1 时间
显示非线性过程（静脉注射）血药浓度-时间曲线 A：高剂量呈非线性过程 B：低剂量呈线性过程
三、非线性药物动力学方程（米氏方程）
米氏方程（Michaelis-Menten）
dC VmC dt km C
式中Vm为该过程的最大速度，单位为浓度时间-1; km为米氏常数，相当于该过程最大速度一半时的

0 1 5.1引言 0 2 5.2非线性碰撞振子同宿轨的
Melnikov方法
0 3 5.3单势阱非线性碰撞振子的同宿分 岔与混沌
0 4 5.4双势阱非线性碰撞振子的同宿分 岔与混沌
0 5 5.5有界噪声激励下非线性碰撞振子 的随机混沌
0 6 5.6本章小结
第5章Melnikov 方法及其应用
参考文献
2.4.1随机Duffing碰撞振动系 统.
2
2.4.2随机稳定性与分岔
第2章不连 续映射及其 应用
2.6应用实例：Duffing单 边碰撞振动系统的颤碰分 析
01
2.6.1完全颤碰到不完全颤碰的分 岔
02
2.6.2不完全颤碰中擦边诱导的周 期运动到拟周期运动的分岔
04
第3章参数噪声激励下碰撞振动 系统的随机响应与随机分岔
岔
01
3.3.1Chebyshe v多项式逼近
03
3.3.3擦边分 岔
02
3.3.2倍周期 分岔
04
3.3.4随机因 素的影响
05
第4章白噪声激励下碰撞振动系 统的随机响应与随机分岔
02
4.2非光滑变换
04
4.4白噪声外激励 下碰撞振动系统的
随机响应
06
4.6本章小结
01
4.1引言
03
4.3随机平均理论
05
4.5白噪声参激与 外激联合作用下碰 撞振动系统的随机 响应与随机分岔
第4章白噪声激 励下碰撞振动系 统的随机响应与 随机分岔
第4章白噪声激励下碰撞振动系统 的随机响应与随机分岔
参考文献
第4章白噪声激励下碰撞振动系统的随机响应与随机分岔
4.4白噪声外激励下碰撞振动系统的随机响应

粒子群优化算法具有简单、易于实现、全局搜索能力强等优点，但可能存在局部最优解的问题，且对于大规模问题的求解效率可能较低。
粒子群优化算法
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非线性动力系统的混沌现象
混沌是一种具有高度不确定性、非周期性、非线性、非稳定性的自然现象。
混沌现象的定义
混沌具有敏感的初始条件、拓扑混沌、统计的均匀性、普适性等特征。
非线性动力学在物理、生…
研究非线性动力学在物理、化学、生物、工程等领域的应用，深入探索非线性科学在解决实际问题中的潜力。
高维非线性动力学的数值…
针对高维非线性动力学问题，研究高效的数值模拟方法和算法设计技巧，以提高计算效率和准确性。
非线性动力学的研究前沿和挑战
智能制造与机器人技术的非线性动…
非线性动力学在未来的应用前景和发展趋势
电力工程
研究飞行器的非线性动态行为，如航天器姿态动力学和控制、空间碎片的动力学行为等。
航天工程
社会动力学
研究社会系统的演化和行为，如人口动力学、社会网络分析和人类行为等。
经济动力学
探究经济系统的非线性动态演化，如经济周期、金融危机和国际经济等。
决策科学
探究决策过程中的非线性现象和规律，如群体决策、风险评估和非线性思维等。
非线性动力学涉及到许多基本概念，如平衡点、稳定性、分岔点、混沌等，这些概念在研究非线性系统时具有重要的意义。
基本概念
非线性动力学的定义和基本概念
研究内容
非线性动力学的研究内容包括研究非线性微分方程的定性理论、研究非线性系统的稳定性、分岔、混沌等动力学行为，以及研究非线性动力学的数值方法和计算技术。
非线性动力学方法和思想在其他领域的应用
THANKS
谢谢您的观看

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非线性动力学：药物的吸收、分布和体内 消除过程不符合线性动力学的基本假设之一， 呈现与线性动力学不同的药物动力学特征， 这种药物动力学特征称为~。 主要表现： 一些药物动力学参数随剂量不同而改变 （书上）
二、引起非线性药物动力学的原因 涉及容量限制过程的药物均可显示非线性 动力学特征-容量限制动力学、饱和动力学 及剂量依赖动力学。 非线性药物动力学主要表现为： 1.与药物代谢或生物转化有关的可饱和酶 代谢过程； 2.与药物吸收、排泄有关的可饱和载体的 转运过程；
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该式当t t0时C C0 , t 时C 0, 将t 0到 进行定积分
AUC


0
C0 1 0 Cdt tdC C0 [C0 C K m ln C ]dC C0 Vm
0
C0 C0 ......... ( Km ) Vm 2
X0 C0 V
二、具有Michaelis-Menten过程的药动学特征
dc Vm C （ 线性动力学） （1）当Km>>C时， dt km
（2）当Km〈〈C时，
dc V dt
m
（药物浓度下降速度与药物浓度无关。例如乙醇的生物转化）
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第三节 血药浓度与时间的关系及参数的计 算
一、血药浓度与时间的关系
Vm C dc dt km C
dc ( k m C ) Vm dt C
积分以后得： C k m ln C Vm t i
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i为积分常数，当t=0时，C=Co,可求出i
i C0 k m ln C0
将i代入 上式求出t
C0 C km C0 t ln Vm Vm C

2、对头孢呋辛酯非线性吸收和非线性消除的研究
头孢呋辛酯（cefuroxime）为一种β内酰胺抗生素，
静脉给药后呈二房室模型分布，主要消除途径为 肾排泄并且呈现肾小管重吸收饱和现象；口服给 药后该药在消化道被部分降解，吸收过程中有寡 肽转运蛋白PEPT1参与，高剂量下吸收出现饱和。 Carretero 等采用静脉注射和灌胃两种途径给药， 以HPLC法测定给药后头孢呋辛酯的血药浓度，对 该药的药动学性质进行了研究。
第十一章
非线性药物动力学
线性药物动力学
线性药物动力学（linear PK）
药物单次或者多次给药后，其血药浓度、体 内药量及尿药排泄量在任何时间都与给药剂 量呈正比，进行剂量校正后，药动学参数在 任何时间都是相同的。药物的动力学呈现非 剂量依赖性。
AUC
线性动力学的三个基本假设
线性动力学的三个基本假设：
图7-3 线性与非线性动力学的AUC与剂量X0间的关系
1、抗癫痫药加巴喷丁非线性吸收的研究
600
加巴喷丁的吸收量(mg)
500 400 300 200 100 0 0 200 400 600 800 1000 1200 加巴喷丁的剂量(mg给药8h) 1400 1600
加巴喷丁（Gabapentin）为一种抗癫痫药，它在体内不被代谢而 以肾排泄的方式被消除，该药物口服给药后存在非线性吸收现象。 Gidal等对该药的非线性吸收性质和给药间隔对吸收量的影响进行 了研究。结果发现该药的吸收与剂量间存在明显的非线性关系。 随着给药剂量的增加，药量被吸收的比例逐渐减少
对于非线性药动学的药物，必要时要开展
临床血药监测； 新药的药动学研究中规定，必须对药动学 性质的进行研究；
造成非线性PK的原因：

工程中的非线性动力学问题千差万别，然而解决 的途径往往具有共同性。其共同的前提是建立系统的 数学模型。建立系统数学模型的方法可分为两类。一 类是理论建模，从已知的原理、定律和定理出发，通 过机理分析发现工程问题的内在动力学规律，推导出 相关参数的解析关系。另一类是实验建模，直接从工 程系统运行和试验数据辨识出所涉及参数的关系。在 工程系统的数学模型的基础上，可以对系统进行分析、 仿真、优化和控制。非线性动力学作为一门力学的分 支学科，重点讨论系统模型的分析，但对系统的实验 建模也略有涉及。
动力学系统又可分为有限维和无穷维两类。 有限维系统(finite-dimensional system)的 状态可以用有限个参数表示。例如，由彼此分 离的有限个质量元件、弹簧和阻尼器构成的有 限自由度力学系统。无穷维系统(infinitedimensional system)的状态必须用无穷多个 参数表示。例如，由弦、杆、梁、板、壳等具 有分布质量的可变形元件构成的无穷多自由度 力学系统。相应地,状态变化的规律既可能表 示为常微分方程或偏微分方程。
四.非线性动力学的内容、方法和意义
对非线性现象的研究需要多个学科的交叉。纯粹 和应用数学理论如动态系统理论、奇异性理论、摄 动理论等，理论和实验力学概念和方法如工程现象 的力学建模、应用力学规律解释动力学行为、固体 和流体系统实验研究等，以及电子计算机的数值和 符号运算，均为分析非线性问题的重要工具。在多 学科交叉的基础上，形成了非线性动力学这一新的 分支学科。
P
ml
d 2
dt2
Fmg sin来自mx x, 0动力学系统还可分为连续时间和离散时间两类。 连续时间系统(continuous-tims system)的时间是 连续变化的，即时间在实数轴或其中某个区间上取 值。离散时间系统(discrete-time system)的时间 是不连续变化的，即时间在整数集合或其中某个子 集上取值。为在不会引起混淆时可分别简称为连续 系统(continuous system)和离散系统(discrete system)。相应地,状态变化的规律既可能表示为连 续形式的微分方程或微分积分方程,也可能用关于状 态变量的离散方程(差分方程)表示。

Km 1 1 ΔC Δt Vm C中 Vm
C中 K m C中 C / t Vm Vm
Km=0.1 g/mL Vm=0.5 g/(mL •h)
C中 (mol/ml) 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46
-∆C/∆t (mol/(mL•min)) (∆C/∆t)/ C中 0.500 1.636 2.062 2.285 2.423 2.516 2.583 2.504 2.673 2.705 0.500 0.273 0.187 0.143 0.115 0.097 0.083 0.070 0.065 0.059
1. Km及Vm的求算--根据不同给药速度R与Css计算 （1）达稳态：
dC Vm C dt K m C
' Vm Css Css Km R
' Vm Css R Km Css
or
Km R R V Css
' m
R为给药量速度；Vm’为体内药量表示的最大消除 速率
例：阿司匹林口服0.25、1.0及1.5g后的消除动力学，三种不同 剂量药-时曲线尾端为直线且相互平行，其终末消除半衰期 t1/2 相同（分别为3.1h、3.2h、3.2h），但全程消除半衰期t1/2不同， 随剂量增加而增加（分别为3.5h、7.2h和8.0h）
一级动力学开始
T1/2
一、非线性药物动力学现象
平方成正比。剂量的少量增加，会引起AUC较大 幅度增加。

稳态血药浓度
Vm Css dC X 0 dt K m Css
Km X 0 Css Vm X 0
当增加剂量时，稳态血药浓度的升高幅度高于正 比例的增加程度;T1/2的延长使达稳态时间也延长