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1.4 矢量场的环量及旋度要研究产生矢量场的另一种场源。
1.4.1矢量场的环量矢量场的环量就是指矢量场的闭合线积分。
这里先研究变力做功问题，以便引导出矢量场线积分的概念。
用F (r )表示力场，沿图示路径l ，求由a 点到b 点所作的功。
将l 划分为N 个线元段，根据a 到b 的走向将各线元段表为线元矢量。
设第i 个线元矢量Δl i 与其上近似不变的力F i 之间的夹角为θi ，则元功为i i i i i i l F A l F ∆⋅=∆≈∆θcos将所有元段上的元功求和，求当N →∞、Δl i →0时的极限⎰∑⋅=∆⋅==→∆∞→l Ni i i l N A l F l F d )(lim 10即得沿路径l 由a 到b 变力F (r )作的功，它是标量。
若将式中的F (r )看成是任意的矢量场，则⎰⋅l l F d 就代表矢量场F (r )沿路径l 的标量线积分。
矢量场沿闭合路径的线积分，称为矢量场的环量(circulation)。
用C 表示⎰⋅=ll F C d （1.4.1）矢量场的环量可能为零，也可能不为零:① 若有0d =⋅⎰l l F ，该矢量场就是保守场或守恒场； ② 若有0d ≠⋅⎰l l F ，该矢量场叫做旋涡场。
对于场中的任意闭合路径矢量场的环量，与该闭合路径所围部分含有的旋涡源之间存在关联性，使环量具有检源作用。
在直角坐标系中，设矢量场为F ( x,y,z )，l 为任意闭合路径，环量可写成ib a⎰⎰++=⋅=lz y x lz F y F x F C )d d d (d l F （1.4.2）1.4.2矢量场的旋度为了表征矢量场中旋涡源的空间分布特性，要引入矢量场旋度概念。
在连续、可微的矢量场F (r )中，过观察点P 任作一面元∆S ，按其正法向方向确定面元矢量∆S=∆S n 'e 。
l 为面元的周界，其循行方向与∆S 的方向按惯例应符合右手法则，如图所示。
沿l 的循行方向求⎰⋅l l F d ，让∆S 向着P 点收缩，若极限sls ∆⋅⎰→∆l F d lim 0存在，它表示P 点处∆S 为如图取向时在单位面积周界上F (r )的环量。
矢量场的环量__旋度
在矢量分析和流体力学中，矢量场的旋度（或称为旋涡）是一个重要的概念。
旋度描述了一个矢量场在某一点的变化率和方向。
具体来说，它给出了一个矢量场在某一点围绕一个点或一条线的旋转强度和方向。
旋度的数学定义是 curl(F) = ∇× F，其中 F 表示矢量场，∇表示哈密顿算子（一个矢量算子），× 表示矢量的叉乘。
这个定义表明，旋度是一个矢量，其大小等于原矢量场在三个方向上的变化率的最大差值，其方向垂直于原矢量场所在的平面。
在具体应用中，旋度有很多重要的用途。
例如，在电磁学中，根据安培定律和法拉第电磁感应定律，磁场的变化会产生电场，这个电场的大小和方向与磁场的变化率和方向有关。
这表明旋度在电磁场的变化和传播中起着重要作用。
在流体力学中，旋度描述了流体速度场的旋转情况。
如果一个流体速度场的旋度很大，那么这个流体的旋转速度就很大。
这种旋转流体在自然界和工程中有很多重要应用，例如龙卷风、旋涡星云、水涡等。
此外，在向量场中，如果一个向量场的旋度为零，那么这个向量场就是无旋的。
无旋向量场在很多实际应用中具有重要价值。
例如，无旋的电流场不会产生磁场，因此不会受到磁场的干扰。
因此，在电力工程中，无旋电流场的设计和分析是非常重要的。
总之，矢量场的旋度是一个描述矢量场在某一点的变化率和方向的重要概念。
它在矢量分析、流体力学、电磁学、工程应用等领域中有广泛的应用。
通过对旋度的计算和分析，我们可以更好地理解和描述自然现象以及设计各种实际应用。
§1.4 矢量场的环量及旋度
1、环量
先从变力作功问题引入矢量场环量的概念。
i
i i i i i l F A l F ∆⋅=∆≈∆θcos ⎰
∑
⋅=∆⋅==→∆∞
→l
N
i i i l N A l
F l F d )(
lim 1
0一段积分路径及其细分
θi
Δl i
F i
b
a
‘‘‘‘
‘
‘‘l
若将F (r )看成是任意的矢量场，上述积分则代表矢量场F (r )沿路径l 的标量线积分。
矢量场的环量是上述矢量场线积分概念推广应用于闭合路径的结果，因此，F (r )的环量为
⎰
⋅=l
C l
F d 环量不为零的矢量场叫做旋涡场，其场源称为旋涡源，矢量场的环量有检源作用。
F n
F t
F
环量的计算
水流沿平行于水管轴线方向流动C=0，无涡旋运动
流体做涡旋运动C ≠0，有产生涡旋的源
例：流速场
在直角坐标系中，设
F (x,y,z )=F x (x,y,z )e x +F y (x,y,z )e y +F z (x,y,z )e z d l =d x e x +d y e y +d z e z
则环量可写成
⎰
⎰++=⋅=l
z y x l
z F y F x F C )
d d d (d l F
过P 点作一微小有向曲面∆S ,它的边界曲线记为l ,曲面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋关系。
当∆S →点P 时,存在极限
S
S C
l
S ∆⋅=⎰
→∆l F d lim d d 0
上式称为环量密度
过点P 的有向曲面∆S 取不同的方向，其环量密度将会不同。
2、旋度（1）环量密度
面元法向矢量与周界循行方向的右手关系。
P
l
∆S n '
e
（2）旋度
n l s s curl e l F F max
0d lim
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆⋅=⎰→∆P 点的旋度定义为该点的最大的环量密度，并令其方向
为e n ,即
旋度与环量密度的关系
s
curl curl l
s n n ∆⋅=⋅=⎰→∆'
'l F e F F d lim
)(0
z
z y x F y z z y x F z
z y y x F y z y x F z y z y l ∆-∆∆+-∆∆++∆≈⋅⎰)()()()(d ,,,,,,,,l F z
F y
F
S curl y z
x
l
S x x ∂∂-
∂∂=∆⋅=⎰→∆l F F d lim
)(0
旋度直角坐标式的推导
于是得
F z
l 1
x
y
z
Δs x
(x,y,z )Δy
Δz F y
F z (x,y+Δy,z )
F y (x,y,z+Δz )o
推导旋度的直角坐标
式所取的面元和它的围线
z
z y x F y z z z y x F z y x F z
y y z y x F z y x F y z y x F z y y z z y ∆-∆⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∆∂∂+-∆⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∆∂∂++∆≈)()()()()()(,,,,,,,,,,,,x
y z y z S z
F y F z y z F y F ∆∂∂-∂∂=∆∆∂∂-∂∂=)()(
同理可求得curl F 的y ，z 分量
y
F x F curl x
F z F curl x
y
z z
x y ∂∂-
∂∂=∂∂-
∂∂=)(,
)(F F 所以
z
x y y z x x y
z y
F x F x F z F z F y F curl e e e F )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z
y x z y x
F F F z y x ∂∂∂∂∂∂
=
⨯∇e e e F 或用∇算符将其写成
(3）旋度的物理意义
•矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。
•P点旋度的大小是该点环量密度的最大值。
•P点旋度的方向是该点最大环量密度的方向。
•在矢量场中，若∇⨯F=J≠0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源密度(或涡旋源密度)；
•若矢量场处处∇⨯F=0，称之为无旋场或保守场。
(4）有关旋度的几个关系式•相对位置矢量的旋度为零，即
=⨯∇R •f (r )与F (r )之积f F 的旋度有恒等式
F
F F ⨯∇+⨯∇=⨯∇f f f )()([]0
)(=⨯∇R R f •f (R )与R 之积的旋度，有
证明：
[]0
d d 0)()()(=⨯∇+=⨯∇+⨯∇=⨯∇R R
R R R R
f R f R f R f ()
0=⨯∇r
例4已知F =(2x -y -z )e x +(x+y -z 2)e y +(3x -2y +4z )e z 试就图所示xoy 平面上
以原点为心、3为半径的圆形路径，求F 沿其逆时针方向的环量。
解
在xoy 平面上，有
F =(2x -y )e x +(x +y )e y +(3x -2y )e z
，
d l =d x
e x +d y e y
()()[]
⎰⎰++-=⋅l
l
y y x x y x d d 2d l F 设x = 3cos α，y = 3sin α
()[]()()(){}
()[]()π18sin 219d cos sin 19d cos sin 9cos sin 9d cos 3sin 3cos 3d 3sin sin 3cos 32d π
20
22π
02π
2
2
π
20=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=-=-+=++--=⋅⎰
⎰⎰⎰αααααα
ααααααααααααl
l F 则
x
y
(x,y )
l
3α
o
例5求矢量场F =xyz （e x +e y +e z ) 在点M(1,3,2)处的旋度。
解：
()()()()()()()()()z
y x z y x z
y x z y x
xz yz yz xy xy xz xyz y xyz x xyz x xyz z xyz z xyz y F F F z
y x e e e e e e e e e F -+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂==⨯∇∂∂∂∂∂∂
()()()z y x z
y x e e e e e e F 43266332M +--=-+-+-=⨯∇。
