1.4 充要条件例题及练习 10

高一数学充分条件与必要条件练习题及答案详解Last revised by LE LE in 2021例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的[ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1，x2的值分别为1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．说明：判断命题为假命题可以通过举反例．例2 p是q的充要条件的是[ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件；对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件；对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D⇒⇒⇔说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的[ ] A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析通过B、C作为桥梁联系A、D．解∵A是B的充分条件，∴A B①∵D是C成立的必要条件，∴C D②∵是成立的充要条件，∴③C B C B⇔由①③得A C ④ 由②④得A D ．∴D 是A 成立的必要条件．选B ．说明：要注意利用推出符号的传递性．例4 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的[ ]A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定．解 解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5．∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A ．说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ．当且仅当时，甲为乙的充分条件；当且仅当时，甲为乙的必要条件；A B A B ⊆⊇当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件． 例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A(B ∪C)，条件A B 是 [ ]A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图．∴A(B ∪C)．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A(B ∪C)，但AB 不成立， 综上所述：“A B ”“A(B ∪C)”，而“A (B ∪C)”“AB ”．即“AB ”是“A(B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ．说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件： (1)p ：ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0；(2)p ：xy ≥0，q ：|x|＋|y|＝|x ＋y|；(3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根； (4)p ：|x －1|＞2，q ：x ＜－1． 其中p 是q 的充要条件的有[ ]A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组分析 使用方程理论和不等式性质． 解 (1)p 是q 的必要条件 (2)p 是q 充要条件 (3)p 是q 的充分条件(4)p 是q 的必要条件．选A ．说明：ab ＝0指其中至少有一个为零，而a 2＋b 2＝0指两个都为零．例＞＞是＞＞的条件．7x 3x 3x x x 12112⎧⎨⎩+⎧⎨⎩x 269分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．解＞且＞＋＞且＞，但当取＝，＝时，＞＞成立，而＞＞不成立＝与＞矛盾，所以填“充分不必要”．x 3x 3x x 6x x 9x 10x 2(x 2x 3)1212121222⇒+⎧⎨⎩⎧⎨⎩x x x x x x 1212126933 说明：＞＞－＞－＞x 3x 3 x 30x 301212⎧⎨⎩⇔⎧⎨⎩ ⇔⎧⎨⎩⇔⎧⎨⎩(x 3)(x 3)0(x 3)(x 3)0x x 6x x 3(x x )901212121212－＋－＞－－＞＋＞－＋＋＞这一等价变形方法有时会用得上．例8 已知真命题“a ≥b c ＞d ”和“a ＜be ≤f ”，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．分析 ∵a ≥b c ＞d(原命题)， ∴c ≤d a ＜b(逆否命题)． 而a ＜b e ≤f ，∴c ≤d e ≤f 即c ≤d 是e ≤f 的充分条件． 答 填写“充分”．说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法． 例9 ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是[ ]A ．0＜a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a ＝1时，方程有负根x ＝－1，当a ＝0时，x ＝－．故排除、、选．12A B D C 解常规方法：当＝时，＝－． a 0x 12当a ≠0时1a 0ax 2x 10021a 0a 12．＞，则＋＋＝至少有一个负实根＜－＜＜≤．⇔---⇔-⇔24422aa2a 0ax 2x 100221a 21a 1a 02．＜，则＋＋＝至少有一个负实根＜＞－＞－＞＜．⇔-+-⇔⇔⇔2442aa综上所述a ≤1．即ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1． 说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．例10 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s ，r ，p 分别是q 的什么条件分析 画出关系图1－21，观察求解．解 s 是q 的充要条件；(s r q ，q s) r 是q 的充要条件；(r q ，q s r) p 是q 的必要条件；(q s r p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系．例11 关于x 的不等式|x |x 3(a 1)x 2(3a 1)0AB A B 1a 3a 12－≤与－＋＋＋≤的解集依次为与，问“”是“≤≤或＝－”的充要条件吗？()()a a +-⊆121222分析 化简A 和B ，结合数轴，构造不等式(组)，求出a ． 解 A ＝{x|2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x|(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}当≤＋即≥时，23a 1a 13B ＝{x|2≤x ≤3a ＋1}．A B 2a 2a +13a +11a 323a 1a 2⊆⇔⎧⎨⎩⇔≥≤≤≤当＞＋即＜时，13B ＝{x|3a ＋1≤x ≤2}A B 2a 3a +1a +12a 1A B a 11a 3A B 1a 3a 12⊆⇔⎧⎨⎩⇔⊆⇔⊆≥≤＝－．综上所述：＝－或≤≤．∴“”是“≤≤或＝－”的充要条件．说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．例＞，＞是＜的必要条件还是充分条件，还是充12 x y xy 011x y要条件分析 将充要条件和不等式同解变形相联系．解．当＜时，可得－＜即＜ 1001111x y x y y x xy- 则－＞＜或－＜＞，即＜＜或＞＞，y x 0xy 0y x 0xy 0 x y xy 0x 0⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩y xy故＜不能推得＞且＞有可能得到＜＜，即＞且＞并非＜的必要条件．11011x y x y xy x yx y xy 0()x y xy 0⎧⎨⎩2x y xy 0x y x 0y 0x y x 0y 0x y xy 0．当＞且＞则分成两种情况讨论：＞＞＞或＞＜＜不论哪一种情况均可化为＜．∴＞且＞是＜的充分条件．⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎩⎪1111x yx y说明：分类讨论要做到不重不漏．例13 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件与结论分别指什么．然后再验证是还是还是．p q p q q p p q ⇒⇒⇔解据韦达定理得：＝α＋β，＝αβ，判定的条件是：＞＞结论是：α＞β＞还要注意条件中，，需要满足大前提Δ＝－≥a b pq(p a b a4b 0)2ab21 11⎧⎨⎩⎧⎨⎩(1)1a2b1由α＞β＞得＝α＋β＞，＝αβ＞，1⎧⎨⎩∴q p．上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用．例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么[ ] A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．分析2：画图观察之．答：选A．说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便。

2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第1章《1.4充分条件与必要条件》(含答案详解)1、1.4 充分条件与必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件1.4.2 充要条件学习目标核心素养1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(推断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)1.通过充要条件的推断，提升规律推理素养．2．借助充要条件的应用，培育数学运算素养.1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思索1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条2、件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示：(1)相同，都是p⇒q.(2)等价．2．充要条件(1)一般地，假如既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q7n的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，假如p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．思索2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个互相等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区分在哪里？提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是3、q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q 说明q是条件，p是结论．1．以下语句是命题的是( )A．梯形是四边形B．作直线ABC．x是整数D．今日会下雪吗A [D不是陈述句，B、C不能推断真假．]2．“同位角相等”是“两直线平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C3．使x3成立的一个充分条件是( )A．x4B．x0C．x2D．x2A [只有x4⇒x3，其他选项均不行推出x3.]4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不4、必要条件A [因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4,x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y7n＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]充分条件、必要条件的推断【例1】指出以下各题中p是q的什么条件．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相像，q：两个三角形全等．(3)p：a＞b，q：ac＞bc.[解] (1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p 是q的充分不必要条件．(2)两个三角形相像两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相像，故p是q的必要不充分条件．(3)a ＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要条件．定义法推断充分条件、必5、要条件(1)确定谁是条件，谁是结论(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.1．指出以下各组命题中，p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．(2)p：(x－1)2＋(y －2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[解] (1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件．7n(2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件．充分条件、必6、要条件、充要条件的应用[探究问题]1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA.2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？提示：若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．【例2】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．[思路点拨] →→{m|m≥9}[因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.即{x|－2≤x≤17、0}是{x|1－m≤x≤1＋m，m0}的真子集，所以或解得m≥9.所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．[解] 因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq.则{x|1－m≤x≤1＋m，m0}{x|－2≤x≤10}，所以，解得0m≤3.即m 的取值范围是{m|0＜m≤3}．2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4xa ＋4}，Q＝{x|1x3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．7n[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P.所以解得－1≤a≤5，即a的取值范围是{a|－1≤a≤58、}．利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围(1)化简p，q两命题；(2)依据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系；(3)利用集合间的关系建立不等式；(4)求解参数范围.充要条件的探求与证明【例3】试证：一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.[思路点拨] 从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．[证明] ①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根9、和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必需分清晰充分性和必要性，即搞清晰由哪些条件推证到哪些结论.7n提示：证明时肯定要留意，分清充分性与必要性的证明方向.2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·1210、＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a －b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.充分条件、必要条件的推断方法(1)定义法：直接利用定义进行推断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．(3)利用集合间的包含关系进行推断：假如条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．1．思索辨析(1)q是 11、p的必要条件时，p是q的充分条件．( )7n(2)q不是p 的必要条件时，“pq”成立．( )(3)若q是p的必要条件，则q 成立，p也成立．( )[答案] (1)√(2)√(3)×2．“x0”是“x≠0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A [由“x0”⇒“x≠0”，反之不肯定成立．因此“x0”是“x≠0”的充分不必要条件．]3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．m＝－2 [函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]4．已知p：实数12、x满足3axa，其中a0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q 的充分条件，求实数a的取值范围．[解] 由p：3axa，即集合A＝{x|3axa}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为p⇒q，所以A⊆B，所以即－≤a0，所以a的取值范围是.7。

1.4充分条件、必要条件1. 充分条件；2.必要条件；3. 充分条件与必要条件的应用；4. 充要条件的判断；5. 充要条件的证明；6. 利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围；7. 充要条件的探求一、单选题1．（2019·全国高一课时练习）“0x ≠”是“0x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2020·天津市蓟州区擂鼓台中学高二期末）1x =-是1x =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．（2020·三亚华侨学校高一月考）命题1:3x p y =-⎧⎨=⎩，命题:2q x y +=；则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2019·山东济宁高一月考）设x ∈R ，则“05x <<”是“1213x <+<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2020·安徽省六安中学高二期中（文））设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（2020·上海高一课时练习）设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2019·清华附中上庄学校高一期中）已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2020·浙江高一课时练习）设a ∈R ，则a >4的一个必要不充分条件是（ ） A ．a >1B ．a <1C ．a >5D ．a <59．（2020·辽宁沈阳高一期末）“x y =”是“x y =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．（2020·全国高一课时练习）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分必要条件二、多选题11．（2019·全国高一课时练习）下列说法中正确的是（ ） A ．“AB B =”是“B =∅”的必要不充分条件B ．“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”C ．“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”D ．“1x =”是“1x =”的充分条件12．（2020·浙江高一单元测试）下列不等式中可以作为21x <的一个充分不必要条件的有（ ） A ．1x <B ．01x <<C ．10x -<<D ．11x -<<13．（2019·山东中区济南外国语学校高一期中）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中真命题是（ ） A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件 B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件C ．“5a <”是“3a <”的必要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件14．（2019·山东省淄博第七中学高一月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是（ ） A ．AB A =B ．U UC A C B ⊇ C ．U C B A φ⋂=D ．U C A B φ⋂=三、填空题15．（2020·全国高一）“0x >”是“1x >”成立的________条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种）16．（2020·全国高一）设r 是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么r 是t 的_____．17．（2020·全国高一）已知集合{}12A x x =-<<，{}11B x x m =-<<+，若x A ∈是x B ∈成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是______.18．（2020·上海）“0x >”的一个充分非必要条件可以为________；一个必要非充分条件可以为________. 19．（2019·全国）（1）“2230x x --=”的______条件是“3x =”； （2）“0a =”的______条件是“0ab =”．20．（2020·全国）从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.（1）“210x -=”是“||10x -=”的______；（2）“5x <”是“3x <”的_______.21．（2018·浙江镇海中学高二期末）设条件():0p x m m ≤>，:14q x -≤≤，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为____，若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为____. 四、解答题22．（2020·上海高一课时练习）试判断“10x -≠”是“(1)(3)0x x --≠”的什么条件.23．（2020·上海高一课时练习）设A 是B 的充分非必要条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的必要非充分条件，则D 是A 的什么条件？24．（2020·全国高一课时练习）设U 为全集，,A B 是集合，判断“存在集合C ，使得,UA CBC ⊆⊆”是“AB =∅”的什么条件？25．（2020·全国高一）设集合{}2|320A x x x =-+=，{}|1B x ax ==，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合.26．（2020·全国高一单元测试）已知集合2{}2|A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或4}x ≥． （1）当3a =时，求AB ；（2）若0a >，且“x A ∈”是“Rx B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．27．（2020·全国高一）已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-．1.4充分条件、必要条件1. 充分条件；2.必要条件；3. 充分条件与必要条件的应用；4. 充要条件的判断；5. 充要条件的证明；6. 利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围；7. 充要条件的探求1．（2019·全国高一课时练习）“0x ≠”是“0x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】0x ≠时0x >或0x <，所以“0x ≠”是“0x >”的必要而不充分条件，选B.2．（2020·天津市蓟州区擂鼓台中学高二期末）1x =-是1x =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】若1x =-，则1x =，故“1x =-”是“1x =”的充分条件.若1x =，则1x =±，推不出1x =-，故“1x =-”是“1x =”的不必要条件. 故“1x =-”是“1x =”的充分不必要条件. 故选：A.3．（2020·三亚华侨学校高一月考）命题1:3x p y =-⎧⎨=⎩，命题:2q x y +=；则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 因为13x y =-⎧⎨=⎩，所以2x y +=，所以p 是q 的充分条件；因为当2x y +=时， x 可能为1，y 也可能为1，不一定有13x y =-⎧⎨=⎩，所以p 不是q 的必要条件， 所以p 是q 的充分不必要条件，4．（2019·山东济宁高一月考）设x ∈R ，则“05x <<”是“1213x <+<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由1213x <+<解得01x <<，所以“05x <<”是“01x <<”的必要不充分条件. 故选B.5．（2020·安徽省六安中学高二期中（文））设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵:3p x <，:13q x -<<∴q p ⇒，但，∴p 是q 成立的必要不充分条件，故选C. 6．（2020·上海高一课时练习）设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】因为N ⊆M.所以“a ∈M”是“a ∈N”的必要而不充分条件．故选B ．7．（2019·清华附中上庄学校高一期中）已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】{|1}x x >{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件,故选：B. 点睛：p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ： p 是q 的充分不必要条件则有：A B ；p 是q 的必要不充分条件则有：BA .8．（2020·浙江高一课时练习）设a ∈R ，则a >4的一个必要不充分条件是（ ） A ．a >1 B ．a <1C ．a >5D ．a <5【答案】A 【解析】由题意，当a >4时，a >1是成立，当a >1成立时，a >4不一定成立，所以a >4是a >1的必要不充分条件，故选A.9．（2020·辽宁沈阳高一期末）“x y =”是“x y =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 因x y=x y =但x y =⇒x y =．10．（2020·全国高一课时练习）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分必要条件【答案】A 【解析】方程20x x m ++=有解，则11404m m ∆=-≥⇒≤．14m <是14m ≤的充分不必要条件．故A 正确． 二、多选题11．（2019·全国高一课时练习）下列说法中正确的是（ ） A ．“AB B =”是“B =∅”的必要不充分条件B ．“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”C ．“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”D ．“1x =”是“1x =”的充分条件【答案】ABC 【解析】 由AB B =得B A ⊆，所以“B =∅”可推出“A B B =”，反之不成立，A 选项正确；解方程2230x x --=，得1x =-或3x =，所以，“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”，B 选项正确；“m 是有理数”可以推出“m 是实数”，反之不一定成立，C 选项正确； 解方程1x =，得1x =±，则“1x =”是“1x =”必要条件，D 选项错误. 故选：ABC ．12．（2020·浙江高一单元测试）下列不等式中可以作为21x <的一个充分不必要条件的有（ ） A ．1x < B ．01x <<C ．10x -<<D ．11x -<<【答案】BC 【解析】解不等式21x <，可得11x -<<，{}11x x -<< {}1x x <，{}11x x -<< {}01x x <<，{}11x x -<< {}10x x -<<，因此，使得21x <的成立一个充分不必要条件的有：01x <<，10x -<<. 故选：BC.13．（2019·山东中区济南外国语学校高一期中）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中真命题是（ ） A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件 B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件C ．“5a <”是“3a <”的必要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件【答案】CD 【解析】对于A ，因为“a b =”时ac bc =成立，ac bc =，0c时，a b =不一定成立，所以“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故A 错，对于B ，1a =-，2b =-，a b >时，22a b <；2a =-，1b =，22a b >时，a b <，所以“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件，故B 错，对于C ，因为“3a <”时一定有“5a <”成立，所以“5a <”是“3a <”的必要条件，C 正确；对于D“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，D 正确. 故选：CD14．（2019·山东省淄博第七中学高一月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是（ ）A ．AB A =B ．U UC A C B ⊇ C ．U C B A φ⋂=D ．U C A B φ⋂=【答案】ABC 【解析】由 A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ．由 A ⊆B 可得A ∩B ＝A ，故A ∩B ＝A 是命题A ⊆B 的充要条件，故A 满足条件． 由U U C A C B ⊇可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得U U C A C B ⊇，故U U C A C B ⊇ 是命题A ⊆B 的充要条件，故 B 满足条件．由U C B A φ⋂=，可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得U C B A φ⋂=，故U C B A φ⋂= 是命题A ⊆B 的充要条件，故C 满足条件．由U C A B φ⋂=，可得B ⊆A ，不能推出A ⊆B ，故④U C A B φ⋂=不是命题A ⊆B 的充要条件，故D 不满足条件． 故选：ABC ． 三、填空题15．（2020·全国高一）“0x >”是“1x >”成立的________条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种） 【答案】必要不充分. 【解析】由1x >，一定有0x >；反之，当0x >时，不一定有1x >； 所以，“0x >”是“1x >”成立的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分.16．（2020·全国高一）设r 是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么r 是t 的_____． 【答案】充要 【解析】由题意知，r q ⇒，q s ⇔，s t ⇒，t r ⇒，所以r t ⇔． 故答案为：充要17．（2020·全国高一）已知集合{}12A x x =-<<，{}11B x x m =-<<+，若x A ∈是x B ∈成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,+∞ 【解析】由x A ∈是x B ∈成立的一个充分不必要条件, 得：AB ,即1112m m +>-⎧⎨+>⎩,即1m ,故答案为：()1,+∞.18．（2020·上海）“0x >”的一个充分非必要条件可以为________；一个必要非充分条件可以为________. 【答案】2x =（答案不唯一） 1x >-（答案不唯一） 【解析】“0x >”的充分非必要条件可以为2x =；一个必要非充分条件可以为1x >-； 故答案为：2x =（答案不唯一）；1x >-（答案不唯一） 19．（2019·全国）（1）“2230x x --=”的______条件是“3x =”； （2）“0a =”的______条件是“0ab =”． 【答案】充分非必要 必要非充分 【解析】（1）当“2230x x --=”时，3x =或1x =-，故不能推出“3x =”；当“3x =”时，“2230x x --=”.故“2230x x --=”的充分非必要条件是“3x =”.（2）当“0a =”时，“0ab =”；当“0ab =”时，可能0,0a b ≠=，故不能推出“0a =”.故“0a =”的必要不充分条件是“0ab =”.故填：（1）充分非必要；（2）必要非充分.20．（2020·全国）从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.（1）“210x -=”是“||10x -=”的______；（2）“5x <”是“3x <”的_______. 【答案】充要条件 必要不充分条件 【解析】（1）设{}2|10{1,1}A x x =-==-，{|||10}{1,1}B x x =-==-，所以A B =，即“210x -=”是“||10x -=”的充要条件.（2）因为由“5x <”不能推出“3x <”；由“3x <”能推出“5x <”； 所以“5x <”是“3x <”的必要不充分条件. 故答案为：(1)充要条件;(2)必要不充分条件.21．（2018·浙江镇海中学高二期末）设条件():0p x m m ≤>，:14q x -≤≤，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为____，若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为____. 【答案】1 4 【解析】由()0x m m ≤>得：m x m -≤≤p 是q 的充分条件 14m m -≥-⎧⇒⎨≤⎩01m ⇒<≤m ∴的最大值为1 p 是q 的必要条件 14m m -≤-⎧⇒⎨≥⎩4m ⇒≥m ∴的最小值为4四、解答题22．（2020·上海高一课时练习）试判断“10x -≠”是“(1)(3)0x x --≠”的什么条件. 【答案】必要非充分条件 【解析】当10x -=时，有(1)(3)0x x --=，可知10(1)(3)0x x x -=⇒--=； 当(1)(3)0x x --≠时，一定有10x -≠，故(1)(3)010x x x --≠⇒-≠， 即“10x -≠”是“(1)(3)0x x --≠”的必要条件.又当10x -≠时，取3x =，可得(1)(3)0x x --=.所以10(1)(3)0x x x -≠--≠.因此，“10x -≠”是“(1)(3)0x x --≠”的必要非充分条件.23．（2020·上海高一课时练习）设A 是B 的充分非必要条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的必要非充分条件，则D 是A 的什么条件？ 【答案】必要非充分条件【解析】因为D 是C 的必要非充分条件，所以C D ⇒，D C ⇒/.又因为B 是C 的充要条件即B C ⇔，∴B D ⇒，D B ⇒/.所以D 是B 的必要非充分条件.又因为A 是B 的充分非必要条件即A B ⇒，B A ⇒/，∴A D ⇒.假设D A ⇒，则D A B C ⇒⇒⇒，与D C ⇒/矛盾，∴D A ⇒/.所以D 是A 的必要非充分条件.24．（2020·全国高一课时练习）设U 为全集，,A B 是集合，判断“存在集合C ，使得,U A C B C ⊆⊆”是“A B =∅”的什么条件？【答案】充要条件.【解析】作图如下:令p ：存在集合C ，使,U A C B C ⊆⊆，:q A B ⋂=∅. 由图可知，p q ⇒，反之亦成立，所以“存在集合C ，使,U A C B C ⊆⊆”是“A B =∅”的充要条件.25．（2020·全国高一）设集合{}2|320A x x x =-+=，{}|1B x ax ==，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合. 【答案】10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】∵{}{}2|3201,2A x x x =-+==， 由于“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件.∴B A .当B =∅时，得0a =；当B ≠∅时，由题意得{}1B =或{}2B =.当{}1B =时，得1a =；当{}2B =时，得12a =.综上所述，实数a 组成的集合是10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭.26．（2020·全国高一单元测试）已知集合2{}2|A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或4}x ≥． （1）当3a =时，求A B ；（2）若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤；（2）01a <<【解析】（1）∵当3a =时，15{|}A x x =-≤≤，{|1B x x =≤或4}x ≥，∴{|11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤；（2）∵{|1B x x =≤或4}x ≥，∴{|14}R B x x =<<，由“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件得A 是R B 的真子集，且A ≠∅，又{|22}(0)A x a x a a =-≤≤+>，∴21,24,a a ->⎧⎨+<⎩，∴01a <<．27．（2020·全国高一）已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-．【答案】见解析【解析】（1）证明必要性：因为1a b +=，所以10a b +-=．所以()()()33222222a b ab a b a b a ab b a ab b ++--=+-+--+()()221a b a ab b =+--+0=．（2）证明充分性：因为33220a b ab a b ++--=，即()()2210a b a ab b +--+=，又0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠． 因为22223024b a ab b a b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 所以10a b +-=，即1a b +=．综上可得当0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=．。

1．4 充分条件与必要条件答案判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√解析：选A.若四边形为菱形，则该四边形的对角线互相垂直，即p ⇒q ；反之，当四边形的对角线互相垂直时，该四边形不一定是菱形，故q ⇒/p ，所以p 是q 的充分不必要条件．解析：选C.因为{}x |－1<x <3≠⊂{x |x <3}，所以p 是q 成立的必要不充分条件．解析：选D.若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立；反之，若ab >0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立，因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分也不必要条件．解析：若ac ＝bc ，当c ＝0时不一定有a ＝b ；反之若a ＝b ，则有ac ＝bc 成立．故ac ＝bc 是a ＝b 的必要不充分条件．答案：必要不充分充分、必要、充要条件的判断【解】 (1)因为x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1，x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件．(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p ⇒q .反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q ⇒/p .所以p 是q 的充分不必要条件．(3)因为xy >0时，x >0，y >0或x <0，y <0.故p ⇒/q ，但q ⇒p .所以p 是q 的必要不充分条件．(4)因为⎩⎪⎨⎪⎧四边形的对角线相等⇒/ 四边形是 平行四边形，四边形是平行四边形⇒/ 四边形 的对角线相等，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．1．解析：选A.依题意可知p ⇒q 成立，反之不成立．即p 是q 的充分不必要条件，故选A.2．解析：选B.若a ≥0，由x >|a |得x >a ，若a <0，则由x >|a |得x >－a ，此时x >－a >a 成立，即必要性成立，当a <0时，不妨设a ＝－1，则由x >－1，不一定推出x >|－1|，即充分性不成立，则“x >a ”是“x >|a |”的必要不充分条件，故选B.3．解析：选A.由1x －2<0得x －2<0得x <2，即“x <2”是“1x －2<0”的充要条件，故选A.充分条件、必要条件、充要条件的应用【解】 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－21＋m ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－21＋m ≤10， 解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}．1．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A ≠⊂B .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－21＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. 解不等式组得m >9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.2．解：因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m 10＝1＋m ，无解， 所以m 不存在．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．1．解析：化简p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，由于q 是p 的充分条件，故有⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：－1≤a ≤62．解析：p ：x 2＋x －6＝0，即x ＝2或x ＝－3.q ：ax ＋1＝0，当a ＝0时，方程无解；当a ≠0时，x ＝－1a. 由题意知p ⇒/ q ，q ⇒p ，故a ＝0舍去；当a ≠0时，应有－1a ＝2或－1a ＝－3，解得a ＝－12或a ＝13. 综上可知，a ＝－12或a ＝13. 答案：－12或13充要条件的证明【证明】 充分性：(由ac <0推证方程有一正根和一负根)因为ac <0，所以一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0，所以方程一定有两个不等实根．设两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝c a<0， 所以方程的两根异号．即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac <0)因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，设为x 1，x 2，则由根与系数的关系得x 1x 2＝c a<0，即ac <0. 综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0.证明：必要性：若a ＋1b ＋b ＋1a ＋2＝2ab， 则a （a ＋1）＋b （b ＋1）＋2ab ab ＝2ab， 即a 2＋a ＋b 2＋b ＋2ab ＝2，即(a ＋b )2＋(a ＋b )－2＝0，即(a ＋b －1)(a ＋b ＋2)＝0，因为a ，b 是正实数，所以a ＋b ＋2>0，所以a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.充分性：若a ＋b ＝1，则a ＋1b ＋b ＋1a＋2 ＝a （a ＋1）＋b （b ＋1）＋2ab ab＝a 2＋b 2＋2ab ＋（a ＋b ）ab＝（a ＋b ）2＋（a ＋b ）ab ＝1＋1ab ＝2ab， 故a ＋1b ＋b ＋1a ＋2＝2ab的充要条件是a ＋b ＝1.1．解析：选B.由两个三角形全等可得两个三角形面积相等．反之不成立．所以“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B.2．解析：选A.当a ＝1时，N ＝{1}，此时N ⊆M ；当N ⊆M 时，a 2＝1或a 2＝2，解得a ＝1或－1或2或－ 2.故“a ＝1”是“N ⊆M ”的充分不必要条件．3．解析：选C.由q ：“x －2＝2－x ”，解得x ＝1(舍去)或x ＝2，由p 可推出q ，充分性成立，反之，由q 可推出p ，即必要性成立．所以p 是q 的充分必要条件，故选C.4．解析：若“x <－1”是“x ≤a ”的必要不充分条件，则{x |x ≤a }≠⊂{x |x <－1}，则a <－1，即实数a 的取值范围是a <－1.答案：a <－1[A 基础达标]1．解析：选B.“1<x <2”⇒“1<x <3”，反之不成立．所以“1<x <2”是“1<x <3”的充分不必要条件．故选B.2．解析：选B.由x 2－1≠0，得x ≠1且x ≠－1，因为“x ≠－1”是x ≠1且“x ≠－1”的必要不充分条件，所以“x ≠－1”是“x 2－1≠0”的必要不充分条件，故选B.3．解析：选A.“⎩⎨⎧x >0y >0”⇒“1xy >0”， “1xy >0”⇒“⎩⎨⎧x >0y >0或⎩⎨⎧x <0y <0”， 所以“⎩⎨⎧x >0y >0”是“1xy >0”的充分不必要条件．故选A. 4．解析：选B.由A ∩B ＝A ∩C ，不一定有B ＝C ，反之，由B ＝C ，一定可得A ∩B ＝A ∩C .所以“A ∩B ＝A ∩C ”是“B ＝C ”的必要不充分条件．故选B.5．解析：选A.“a ＋b >4”⇒“a ，b 中至少有一个大于2”，反之不成立．所以“a ＋b >4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A.6．解析：若一元二次方程x 2－x ＋a ＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a ≥0，即a ≤14，又“a <14”能推出“a ≤14”， 但“a ≤14”不能推出“a <14”， 即“a <14”是“一元二次方程x 2－x ＋a ＝0有实数解”的充分不必要条件． 答案：充分不必要7．解析：由p ：－1<x <3，q ：－1<x <m ＋1，q 是p 的必要不充分条件，即3<m ＋1，即m >2. 答案：m >28．解：(1)p ：x 2>0，则x >0或x <0，q ：x >0，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2，则x ＋2≠y 且x ＋2≠－y ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(3)p ：a 能被6整除，故也能被3和2整除，q ：a 能被3整除，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(4)p ：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q ：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．9．解：集合A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x ≤b ，b ∈R }，(1)若A ∪B ＝R ，则b ≥－2，故A ∪B ＝R 的一个充要条件是b ≥－2.(2)由(1)知A ∪B ＝R 的充要条件是b ≥－2，所以A ∪B ＝R 的一个必要非充分条件可以是b ≥－3.(3)由(1)知A ∪B ＝R 的充要条件是b ≥－2，所以A ∪B ＝R 的一个充分非必要条件可以是b ≥－1.[B 能力提升]10．解析：选B.由于“x 2＝x ＋6”，则“x ＝±x ＋6”，故“x 2＝x ＋6”是“x ＝x ＋6”的必要不充分条件，故选B.11．解析：选A.由a ≥b ＋1＞b ，从而a ≥b ＋1⇒a ＞b ；反之，如a ＝4，b ＝3.5，则4＞3.5⇒/ 4≥3.5＋1，故a ＞b ⇒/ a ≥b ＋1，故A 正确．12．证明：先证充分性：若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2－a －b ＋2ab ＝(a ＋b )2－(a ＋b )＝1－1＝0，即充分性成立．必要性：若a 2＋b 2－a －b ＋2ab ＝0，则(a ＋b )2－(a ＋b )＝(a ＋b )(a ＋b －1)＝0，因为a ＋b ≠0，所以a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1成立，综上，a 2＋b 2－a －b ＋2ab ＝0成立的充要条件是a ＋b ＝1.13．解：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，解得x ＝－12，符合题目要求； 当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件为：Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1.设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两实根为x 1，x 2，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2a ，x 1·x 2＝1a. ①方程ax 2＋2x ＋1＝0恰有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤11a ＜0，解得a ＜0； ②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1－2a ＜01a ＞0，解得0＜a ≤1.综上所述，a ≤1为所求．[C 拓展探究]14．解：“a －b ＋c ＝0”是“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下： 当a ，b ，c ∈R ，a ≠0时，若a －b ＋c ＝0，则－1满足一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，即“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1”， 故“a ＋b ＋c ＝0”是“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1”的充分条件，若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1，则a －b ＋c ＝0，故“a －b ＋c ＝0”是“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1”的必要条件，综上所述，“a －b ＋c ＝0”是“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1”的充要条件．。

【课题】1.4 充要条件【教学目标】知识目标：了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的意义．能力目标：通过充要条件的学习与运用，培养逻辑判断水平，从而培养数学思维能力．情感目标：体验条件与结论关系的分析，关注逻辑判断与推理.【教学重点】（1）对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．（2）符号“⇒”，“⇐”，“⇔”的正确使用．【教学难点】“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．【教学设计】（1）以学生的活动为主线.在条件与结论的关系的判断上，尽可能多的教给学生在独立尝试解决问题的基础上进行交流；（2）由易到难，具有层次性.从内涵上引导学生体会复合命题中条件和结论的关系.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间教学过程教师行为学生行为教学意图时间*知识回顾揭示课题在初中，我们学习了命题的概念．知道判断一件事情的语句叫做命题．经常使用小写的拉丁字母p,q,r,s, …来表示命题．例如p:“15是5的倍数”，q:“85 ”，s:“0.25是整数”都是命题．其中p与q为真命题，s为假命题．利用“如果…，那么…”将两个命题联接起来可以组成一个新的命题．例如，“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．这类命题的一般形式为“如果p，那么讲解说明强调质疑了解思考明确思考讨带领学生回顾命题的相15。

例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根,q：x1＋x2＝－5，则p是q的[ ］A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1,x2的值分别为1,－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．说明:判断命题为假命题可以通过举反例．例2 p是q的充要条件的是［] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2,b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．解对A．p：x＞1，q:x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B．p q但q p,p是q的充分非必要条件;对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件；⇒⇒⇔对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的［］A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析通过B、C作为桥梁联系A、D．解∵A是B的充分条件，∴A B①∵D是C成立的必要条件,∴C D②⇔C B C B∵是成立的充要条件，∴③由①③得A C④由②④得A D．∴D是A成立的必要条件．选B．说明：要注意利用推出符号的传递性．例4 设命题甲为：0＜x ＜5,命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的[ ]A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定．解 解不等式|x －2｜＜3得－1＜x ＜5．∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件,选A ．说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A,条件乙为x ∈B ．当且仅当时，甲为乙的充分条件；当且仅当时，甲为乙的必要条件；A B A B ⊆⊇当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件． 例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A（B ∪C ），条件A B 是［ ]A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图．∴A(B ∪C ）．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A（B ∪C ），但AB 不成立, 综上所述:“A B ”“A（B ∪C ）”，而“A (B ∪C ）”“AB ”．即“AB ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ．说明:画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件：(1)p:ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0;(2)p:xy ≥0，q ：｜x|＋｜y ｜＝|x ＋y|;（3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根； (4)p ：|x －1｜＞2，q ：x ＜－1． 其中p 是q 的充要条件的有[ ］A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组分析 使用方程理论和不等式性质． 解 （1）p 是q 的必要条件(2）p 是q 充要条件 （3）p 是q 的充分条件（4）p 是q 的必要条件．选A ．说明：ab ＝0指其中至少有一个为零，而a 2＋b 2＝0指两个都为零．例＞＞是＞＞的条件．7x 3x 3x x x 12112⎧⎨⎩+⎧⎨⎩x 269分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．解＞且＞＋＞且＞，但当取＝，＝时，＞＞成立，而＞＞不成立＝与＞矛盾，所以填“充分不必要”．x 3x 3x x 6x x 9x 10x 2(x 2x 3)1212121222⇒+⎧⎨⎩⎧⎨⎩x x x x x x 1212126933 说明：＞＞－＞－＞x 3x 3 x 30x 301212⎧⎨⎩⇔⎧⎨⎩ ⇔⎧⎨⎩⇔⎧⎨⎩(x 3)(x 3)0(x 3)(x 3)0x x 6x x 3(x x )901212121212－＋－＞－－＞＋＞－＋＋＞这一等价变形方法有时会用得上．例8 已知真命题“a ≥b c ＞d ”和“a ＜be ≤f ”，则“c ≤d"是“e ≤f ”的________条件．分析 ∵a ≥b c ＞d(原命题）， ∴c ≤d a ＜b （逆否命题)． 而a ＜b e ≤f ，∴c ≤d e ≤f 即c ≤d 是e ≤f 的充分条件． 答 填写“充分”．说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．例9 ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是［ ]A ．0＜a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a ＝1时，方程有负根x ＝－1，当a ＝0时,x ＝－．故排除、、选．12A B D C 解常规方法：当＝时，＝－． a 0x 12当a ≠0时1a 0ax 2x 10021a 0a 12．＞，则＋＋＝至少有一个负实根＜－＜＜≤．⇔---⇔-⇔24422aa2a 0ax 2x 100221a 21a 1a 02．＜，则＋＋＝至少有一个负实根＜＞－＞－＞＜．⇔-+-⇔⇔⇔2442aa综上所述a ≤1．即ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1．说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．例10 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s,r ，p 分别是q 的什么条件？分析 画出关系图1－21，观察求解．解 s 是q 的充要条件；（s r q,qs ）r 是q 的充要条件；（r q ，q s r) p 是q 的必要条件；（q s r p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系． 例11 关于x 的不等式|x |x 3(a 1)x 2(3a 1)0AB A B 1a 3a 12－≤与－＋＋＋≤的解集依次为与，问“”是“≤≤或＝－”的充要条件吗？()()a a +-⊆121222分析 化简A 和B,结合数轴，构造不等式（组），求出a ．解 A ＝｛x ｜2a ≤x ≤a 2＋1｝，B ＝{x ｜（x －2)［x －(3a ＋1）］≤0｝当≤＋即≥时，23a 1a 13B ＝｛x|2≤x ≤3a ＋1}．A B 2a 2a +13a +11a 323a 1a 2⊆⇔⎧⎨⎩⇔≥≤≤≤当＞＋即＜时，13B ＝{x|3a ＋1≤x ≤2}A B 2a 3a +1a +12a 1A B a 11a 3A B 1a 3a 12⊆⇔⎧⎨⎩⇔⊆⇔⊆≥≤＝－．综上所述：＝－或≤≤．∴“”是“≤≤或＝－”的充要条件．说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路,表达准确，推理无误．例＞，＞是＜的必要条件还是充分条件，还是充12 x y xy 011x y要条件？分析 将充要条件和不等式同解变形相联系．解．当＜时，可得－＜即＜ 1001111x y x y y xxy-则－＞＜或－＜＞，即＜＜或＞＞，y x 0xy 0y x 0xy 0 x y xy 0x 0⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩y xy故＜不能推得＞且＞有可能得到＜＜，即＞且＞并非＜的必要条件．11011x y x y xy x yx y xy 0()x y xy 0⎧⎨⎩2x y xy 0x y x 0y 0x y x 0y 0x y xy 0．当＞且＞则分成两种情况讨论：＞＞＞或＞＜＜不论哪一种情况均可化为＜．∴＞且＞是＜的充分条件．⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎩⎪1111x yx y说明：分类讨论要做到不重不漏．例13 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件?分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件与结论分别指什么．然后再验证是还是还是．p q p q q p p q ⇒⇒⇔解据韦达定理得：＝α＋β，＝αβ，判定的条件是：＞＞结论是：α＞β＞还要注意条件中，，需要满足大前提Δ＝－≥ a b p q (p a b a 4b 0)2a b 2111⎧⎨⎩⎧⎨⎩(1)1a2b1由α＞β＞得＝α＋β＞，＝αβ＞，1⎧⎨⎩∴q p．上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用．例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么［］A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1:由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．分析2：画图观察之．答：选A．说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便。