集合与充要条件练习题

2023届高考数学专项（充分、必要、充要问题）题型归纳与练习【题型归纳】题型一 、充分、不要条件的判断充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p⇒q 与非q⇒非p ，q⇒p 与非p⇒非q ，p⇔q 与非q⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．例1、（1）【2021年理科数学甲卷】等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件（2）【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（3）【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型举一反三1、（2021∙天津高三二模）设x ∈R ，则“230x x -<”是“12x <<”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件题型举一反三2、（2021∙山东济宁市高三二模）“直线m 垂直平面α内的无数条直线”是“m α⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必安条件题型举一反三3、（2021∙河北张家口市高三三模）“0a >”是“点()0,1在圆222210x y ax y a +--++=外”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型举一反三4、（2021∙辽宁高三模拟）设1z ，2z 为复数，“120z z ->”是“12z z >”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型举一反三5、（2021∙浙江高三二模）已知P 、A 、B 、C 、D 是空间内两两不重合的五个点，PAB △在平面α内，PCD 在平面β内，αβ⊥，则“AB β⊥”是“AB CD ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件题型举一反三6、（2021∙浙江温州市高三模拟）已知α∈R ，则“1sin 2cos 25αα+=”是“sin 2cos αα=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 题型举一反三7、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“990S >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件题型二、根据充分、必要条件判断含参的问题解决此类问题要注意以下两点：（1）把充分、不要条件转化为集合之间的关系；（2）根据集合之间的关系列出关于参数的不等式。

高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.在△中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由已知，当A，B都为锐角，且A<B时，正弦函数在（0，90°）单调递增，所以，故；当A为锐角，B为钝角时，A+B<180°，所以,所以，故选：C．【考点】充要条件．2.若实数满足，且＝0，则称a与b互补．记φ（a，b）＝－a－b，那么φ（a，b）＝0是a与b互补的（）A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】由φ（a，b）＝0得－a－b＝０且；所以φ（a，b）＝0是a与b互补的充分条件；再由a与b互补得到：，且＝0；从而有，所以φ（a，b）＝0是a与b互补的必要条件；故得φ（a，b）＝0是a与b互补的充要条件；故选Ｃ．【考点】充要条件的判定．3.在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件【答案】A【解析】由正弦定理得（其中为外接圆的半径），则，，，因此是的充分必要必要条件，故选A.【考点】本题考查正弦定理与充分必要条件的判定，属于中等题.4.已知条件：，条件：，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：因为：：，所以：而：所以是的充分不必要条件，故选A.【考点】1、一元二次不等式及分式不等式的解法；2、充要条件.5.求证：方程x2＋ax＋1＝0的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件是其充分条件吗？为什么？【答案】必要条件但不是充分条件，见解析【解析】证明：设x2＋ax＋1＝0的两实根为x1，x2，则平方和大于3的等价条件是即a>或a<－.∵{a|a>或a<－}，{a||a|>}，∴|a|>这个条件是必要条件但不是充分条件．6.（2011•浙江）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵a、b为实数，0＜ab＜1，∴“0＜a＜”或“0＞b＞”∴“0＜ab＜1”⇒“a＜”或“b＞”．“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件．故选A．7.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】【解析】若，则知即所以即；令，满足，但.所以是的充分而不必要条件.选.【考点】充要条件.8.（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．9.设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a＞0 a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，所以a∈（0，1），“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”所以a∈（0，2）；显然a＞0 a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件．故选A．10.已知向量，，则的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，由于，则，即，即，故选A.【考点】平面向量垂直的等价条件11.设，则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】B【解析】当时，，而当时，；当时，，∴，∴综上可知：是的必要而不充分条件.【考点】充分必要条件.12.设则是“”成立的 ( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】，，由于，因此应选C．【考点】解不等式，充要条件．13.“”是“” 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，，所以“”是“” 的必要不充分条件.【考点】充分与必要条件.14.设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的 ()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0，但方程x＋y－1＝0有无数多个解，不能确定x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分不必要条件．15.“m=1”是“直线x-my=1和直线x+my=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为m=1时，直线x-my=1和直线x+my=0即可化为x-y=1和x+y=0.即y=x-1和y=-x所以斜率积为-1，所以这两条直线垂直.所以充分性成立.若直线x-my=1和直线x+my=0互相垂直，因为m=0显然不成立.所以两条直线分别为和.所以由斜率乘积为-1可得.所以即.所以必要条件不存在.故选A.【考点】1.充分必要条件.2.直线的位置关系.3.含参数的讨论.16.“”是“函数为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数为奇函数，则当时，，即，因此“”是“函数为奇函数” 的充分不必要条件，故选A.【考点】1.三角函数的奇偶性；2.充分必要条件17.已知，则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式得；解不等式得；因为，而，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B【考点】1、一元一次、二次不等式的解法；2、充要条件.18.设命题甲：关于的不等式对一切恒成立，命题乙：对数函数在上递减，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若的不等式对一切恒成立，则，解得；在上递减，则，解得，易知甲是乙的必要不充分条件，故选B.【考点】1.充分条件与充要条件；2.二次函数与对数函数的性质.19.设数列是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，又，解得，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件．故选C.【考点】等比数列的通项公式，充要条件.20.两个非零向量的夹角为，则“”是“为锐角”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可得，所以“”是“为锐角”的必要不充分条件.【考点】充分必要条件.21.或是的条件.【答案】必要不充分【解析】若，，则，故或是的必要不充分条件.【考点】充要条件的判断.22.“”是“”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）【答案】充分不必要【解析】如果时，那么，所以“”是“”的充分条件，如果，那么，或，所以“”是“”的不必要条件，综上所以“”是“”的充分不必要条件.【考点】充分条件和必要条件.23.“函数在区间上存在零点”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数在区间上存在零点，则：.即.所以“函数在区间上存在零点”是“”的必要不充分条件.【考点】1、函数的零点；2、充分条件与必要条件.24.“a≥0”是“函数在区间（－∞，0）内单调递减”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】令t=（ax-1）x=ax2-x,则，设=0，解得x=，所以，当a≥0时，函数t=（ax-1）x在（－∞，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，即极小值为－，当x<0时，t>0,所以a≥0时，函数在区间（－∞，0）内单调递减；若函数在区间（－∞，0）内单调递减，则x时，<0,即成立,所以2a ≥0，故选A.【考点】1.导数的应用；2.充分必要条件的判断.25.若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】显然是等比数列一定是等方比数列，是等方比数列不一定是等比数列，故甲是乙的必要不充分条件，选B.【考点】充要条件.26.已知“命题”是“命题”成立的必要不充分条件,则实数的取值范围为_________________.【答案】【解析】将两个命题化简得，命题，命题.因为是成立的必要不充分条件，所以或，故的取值范围是.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.必要不充分条件.27.已知是实数，则“且”是“且”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】C【解析】因为，且，所以，且；反之，当且时，说明a,b同号，而若a，b均为负数，与a+b>0矛盾，所以且。

高二数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.设p：x＜－1或x＞1，q：x＜－2或x＞1，则p是q的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用集合关系法。

因为，，所以，p是q的必要不充分条件，故选B。

【考点】本题主要考查充要条件的概念。

点评：简单题，充要条件的判断，涉及知识面较广，从方法来讲有三种思路：定义法，等价关系法，集合关系法。

2.已知条件p:x<1，条件q：<1，则p是q的条件．【答案】既不充分也不必要条件【解析】根据题意，由于条件p:x<1，条件q：<1，那么可知q：，因此根据集合之间的互不包含的关系，可知p是q的条件既不充分也不必要条件。

【考点】充分条件点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3.“”是“”的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】可得；可得，由成立，反之不成立，所以“”是“” 必要不充分条件【考点】条件关系点评：若成立，则是的充分条件，是的必要条件4.设a∈R，则a＞1是＜1的 ()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据题意，由于,可知条件表示的集合是结论集合的真子集，那么可知条件可以推出结论，反之不成立，因此可知为充分但不必要条件，选A.【考点】充分条件点评：解决的关键是对于结论和条件表示的集合的关系的确定，属于基础题。

高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题4 充分条件与必要条件题型一 根据充分不必要条件求参数1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜m +1}，若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____．. 【答案】m ＞1．【解析】由x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件， 得：A B ，即1112m m +>-⎧⎨+>⎩，即m ＞1，2．已知命题“关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题. （1）求实数m 的取值集合A ；（2）设集合{|121}B x a x a =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|210A x m =-≤≤；（2）11a ≥.【解析】（1）若关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是真命题，则()24250m m ∆=-+>，即28200m m -->，解得：2m <-或10m >，所以方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题则{}|210x m -≤≤， 所以{}|210A x m =-≤≤，（2）x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则AB ，则122110a a -≤-⎧⎨-≥⎩，解得11a ≥，经检验11a =时，{|2110}B x x =-≤≤，满足A B ，所以11a =成立，所以实数a 的取值范围是11a ≥.3．已知不等式11m x m -<<+成立的充分不必要条件是1132x <<，求实数m 的取值范围．【答案】1423m -≤≤【解析】由题意11,32⎛⎫⎪⎝⎭ ()1,1m m -+，所以113112m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，所以1423m -≤≤4．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{1B x x =≤或}4x ≥． （1）当3a =时，求A B ；（2）若>0a ，且“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；（2）01a <<. 【解析】（1）∵当3a =时，{}15A x x =-≤≤， {1B x x =≤或}4x ≥， ∴{11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；（2）∵{1B x x =≤或}4x ≥，∴{}14R B x x =<<，由“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，得A 是B R 的真子集，且A ≠∅， 又{}()22>0A x a x a a =-≤≤+，∴2>1,012+4a a a -⎧∴<<⎨<⎩．5．已知全集U R =，集合{|15}A x x =≤<，{|28}B x x =<<，{|3}C x a x a =<≤+．()1求A B ⋃，()U A B ⋂；()2若“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）{}()|18{|58}U A B x x C A B x x ⋃=≤<⋂=≤<，;（2）12a ≤< 【解析】解:()1集合{|15}A x x =≤<,{|28}{|18}B x x A B x x =<<∴⋃=≤<,(){|1U C A x x =<或5}x ,(){|58}U C A B x x ⋂=≤<;()2“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件,得CA ,351a a +<⎧∴⎨≥⎩,解得12a ≤<,题型二 根据必要不充分条件求参数1．已知命题p ：关于x 的方程x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0有两个大于1的实数根． （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题q ：3－a <m <3＋a ，是否存在实数a 使得p 是q 的必要不充分条件，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）m >2；（2）存在a ≤1.【解析】（1）由x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0得[x －(m ＋1)][x －(2m －3)]＝0， 所以x ＝m ＋1或x ＝2m －3，因为命题p 为真命题，所以m ＋1>1且2m －3>1，得m >2． （2）设集合A ＝{}|2m m >，集合B ＝{}|33m a m a -<<+， 因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，当B ＝时，33a a -+≥，解得a ≤0； 当B ≠时，33,32,a a a -<+⎧⎨-≥⎩解得01a <≤．综上所述：存在a ≤1，满足条件．2．（1）已知集合{}{}21241A a B a ==，，，，，，且A B B =，求实数a 的取值范围； （2）已知2040p x q ax ->->:，:，其中a R ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）4a =或16a =或0a =；（2）02a ≤< 【解析】（1）B A ⊆．①当2a =时，4a =，检验当4a =时，{}{}1241612A B ==，，，，，符合题意． ②当4a =时，16a =，检验当16a =时，{}{}12425614A B ==，，，，，符合题意． ③当2a a ='时，0a =或l ，检验当0a =时，{}{}124010A B ==，，，，，符合题意． 当1a =时，{}1241A =，，，由于元素的互异性，所以舍去． 综上：4a =或16a =或0a =． （2）∵p 是q 的必要不充分条件， ∴{}{}240A x x B x ax =>=->，， ∴BA ．①当0a >时，42a >， ∴02a <<，②当0a <时，不满足题意． ③当0a =时，40q ->:， ∴B =∅，∴符合题意． 综上：02a ≤<．3．已知:p 关于x 的方程242250x ax a -++=的解集至多有两个子集，:11q m a m -≤≤+，0m >．若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】9m ≥【解析】解：∵q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件， 对于p ，依题意，知()()()222442548200a a a a ∆=--⨯+=--≤，∴210a -≤≤，设{}210P a a =-≤≤，{}11,0Q a m a m m =-≤≤+>，由题意知P Q ，∴012110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩，或012110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩，解得9m ≥，故实数 m 的取值范围是：9m ≥．4.已知集合2{|320}A x x x =-+=，2(1)0{|}B x x ax a -+==-，2{|20}C x x mx =-+=． （1）命题p ：“x B ∀∈，都有x A ∈”，若命题p 为真命题，求a 的值； （2）若“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，求m 的取值范围． 【答案】（1）2或3 （2）{|3m m =或}2222m -<< 【解析】解:（1）由题意得{1,2}A =，∵命题p 为真命题， ∴B A ⊆．又∵{|[-(-1)](-1)0}B x x a x ==， 由B A ⊆，可知B 有两种可能， ①若{1}B =，则11a -=，解得2a =； ②若{1,2}B =，则12a -=，解得3a =． 因此a 的值为2或3．（2）∵“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件， ∴“x C ∈”能推出“x A ∈”，从而C A ⊆， 因此集合C 有四种可能：①C A =，此时280,12,m m ⎧∆=->⎨=+⎩解得3m =；②{1}C =，此时280,2,m m ⎧∆=-=⎨=⎩此时方程组无实数解，m 的值不存在；③{2}C =，280,4,m m ⎧∆=-=⎨=⎩此时方程组无实数解，m 的值不存在；④C =∅，此时280m ∆=-<，解得2222m -<<． 综上可知，m 的取值范围为{|3m m =或2222}m -<<． 题型三 根据充要条件求参数1．已知:{|20p x x +≥且100}x -≤，,0:{|44}q x m x m m -≤≤>+，若p 是q 的充要条件，则实数m 的值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】由已知，:{|210}p x x -≤≤，由p 是q 充要条件得{|210}{|44x x x m x m -≤≤=-≤≤+,0}m >，因此42,410,m m -=-⎧⎨+=⎩解得6m =，故选：C .2．设p :x >a ，q :x >3.（1）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围; （2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围; （3）若a 是方程x 2-6x +90=的根，判断p 是q 的什么条件. 【答案】（1）{a |a <3}；（2）{a |a >3}；（3）p 是q 的充要条件. 【解析】设A={x |x >a }，B={x |x >3}.（1）若p 是q 的必要不充分条件，则有B ⫋A ，所以a 的取值范围为{a |a <<3}. （2）若p 是q 的充分不必要条件，则有A ⫋B ，所以a 的取值范围为{a |a >3}. （3）因为方程x 2-6x +9=0的根为3，则有A=B ，所以p 是q 的充要条件.3．已知{}210P x x =-<<，{}11S x m x m =-<<+．是否存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求实数m 的取值范围．【答案】不存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的充要条件 【解析】解：因为x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =， 由{}210P x x =-<<，{}11S x m x m =-<<+， 知要使P S =，则12110m m -=-⎧⎨+=⎩，无解，故不存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的充要条件．4．已知m Z ∈，关于x 的一元二次方程222440,44450x x m x mx m m -+=-+--=，求上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】1m =【解析】∵2440mx x -+=是一元二次方程，∴m≠0．又另一方程为2244450x mx m m -+--=，且两方程都要有实根，∴21222(4)160164(445)0m m m m ⎧∆=--≥⎨∆=---≥⎩，解得145≤≤-m ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴244445Z m m Z m m Z ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪--∈⎪⎩，∴m 为4的约数． 又∵145≤≤-m ，∴m＝－1或1．当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， ∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1．题型四充要条件的证明1．方程2210ax x++=至少有一个负根的充要条件是A．01a<≤B．1a<C．1a≤D．01a<≤或0a<【答案】C【解析】①0a≠时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则0a<；若方程有两个负的实根，则必有12{001440aaaa>-<∴≤∆=-≥＜．．②若0a=时，可得12x=-也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则1a≤．反之，若1a≤，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程2210ax x++=至少有一负的实根的充要条件是1a≤．故答案为C2．已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))【答案】证明见解析【解析】设p：a3+b3+ab-a2-b2=0，q：a+b=1.（1）充分性(p⇒q)：因为a3+b3+ab-a2-b2=0，所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0，因为ab≠0，a2-ab+b2=21-2a b⎛⎫⎪⎝⎭+34b2>0，所以a+b-1=0，即a+b=1. （2）必要性(q⇒p)：因为a +b =1，所以b =1-a ，所以a 3+b 3+ab -a 2-b 2=a 3+(1-a )3+a (1-a )-a 2-(1-a )2 =a 3+1-3a +3a 2-a 3+a -a 2-a 2-1+2a -a 2=0，综上所述，a +b =1的充要条件是a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0.3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-. 【答案】证明见解析 【解析】（1）证明必要性： 因为1a b +=， 所以10a b +-=.所以()()33222222()a b ab a b a b a ab b a ab b ++--=+-+--+()22(1)a b a ab b =+--+0=.所以必要性成立. （2）证明充分性： 因为33220a b ab a b ++-=-，即()22(1)0a b a ab b +--+=，又0ab ≠， 所以0a ≠且0b ≠.因为22223024b a ab b a b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以10a b +-=， 即1a b +=. 所以充分性成立.综上可得当0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-.4．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 【答案】见解析．【解析】 (1)必要性：因为方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，所以240b ac ∆=->为12120(,cx x x x a=<方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.。

1.4 充分、必要条件（精练）【题组一 充分、必要条件的判断】1．（2021·浙江）命题:|1|2p x +>，命题1:1q x<，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题知，命题:|1|21p x x +>⇔>或3x <-；命题1:11q x x<⇔>或0x <， 故p 是q 的充分不必要条件故选：A 2．（2021·天津）设x ∈R ，则“12x <<”是“22x -<<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要 【答案】A【解析】因为集合{|12}x x <<是集合{|22}x x -<<的真子集，所以“12x <<”是“22x -<<”的充分不必要条件.故选：A3．（2021·全国高三月考）设a R ∈，则“23a <<”是“2560a a --<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由2560a a --<可得()()610a a -+<，即16a -<<，则23a <<是16a -<<的充分不必要条件，故选：A.4．（2021·天津）已知x ∈R ，则“2x <”是“21x >”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当1x =-时，“x <2”成立，但20x < ,故“21x<”，故“x <2”不是“21x >”的充分条件， “21x >”等价于2002x x x -<⇔<<，即21x>能推出2x <，∴“x <2”是“21x >”的必要条件，故“x <2”是“21x >”的必要不充分条件，故选:B.5．（2021·天津）设x ∈R ，则“1x >”是“2x x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由1x >，解得1x <-或1x >，由2x x >，解得0x <或1x >， 故由1x >能够推出2x x >，由2x x >不能够推出1x >， 故“1x >”是“2x x >”的充分不必要条件，故选：A ．6．（2021·天津高三二模）设x ∈R ，则“210x -<”是“31x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由210x -<得1x >或1x <-，由31x >得1x >，因为1x >或1x <-推不出1x >，但1x >能推出1x >或1x <-成立，所以“210x -<”是“31x >”的必要不充分条件，故选：B7．（2021·江西高三二模（文））已知a ∈R ，则“0a <”是“2a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当“0a <”成立时，2(1)0a a a a -=->，∴“2a a >”成立，即“0a <”⇒“2a a >”为真命题．而当“2a a >”成立时，2(1)0a a a a -=->，即1a >或0a <，0a ∴<不一定成立，即“0a <”是“2a a >”的充分不必要条件．故选：A8．（2021·天津）“201x x -≥+”是“213x -≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解不等式201x x -≥+可得1x <-或2x ≥， 解不等式213x -≥得213x -≤-或213x -≥，解得1x ≤-或2x ≥， 因为{1x x <-或}2x ≥ {1x x ≤-或}2x ≥，因此，“201x x -≥+”是“213x -≥”的充分而不必要条件. 故选：A. 9．（2021·浙江高一期末）设x ∈R ，则31x <是1123x x +≤-的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由31x <可得1x <， 由1123x x +≤-可得()()4230230x x x ⎧--≤⎨-≠⎩解得32x <或4x ≥， 据此可知“31x <”是“1123x x +≤-”的充分不必要条件． 故选：A. 10．（2021·全国高一单元测试）命题:2p x y +=，命题1:3x q y =-⎧⎨=⎩；则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要条件 C ．充分条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】因为当2x y +=时，y 可取任意实数，不一定有13x y =-⎧⎨=⎩，所以p 不是q 的充分条件； 因为13x y =-⎧⎨=⎩，所以2x y +=， 所以p 是q 的必要条件.故选：B.11．（2021·广东清远市）清远市是广东省地级市，据此可知“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】先考虑充分性：学生甲在广东省，则学生甲不一定在清远市，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的非充分条件；再考虑必要性：学生甲在清远市，则学生甲一定在广东省，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要条件. 所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要非充分条件.故选：C12．（2021·全国高一课时练习）下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）p ：三角形为等腰三角形，q ：三角形存在两角相等；（2）:p O 内两条弦相等，:q O 内两条弦所对的圆周角相等；（3）:p A B ⋂为空集，:q A 与B 之一为空集.【答案】（1）p 是q 的充要条件；（2）p 不是g 的充要条件；（3）p 不是q 的充要条件【解析】在（1）中，三角形中等边对等角，等角对等边，所以p q ⇔，所以p 是q 的充要条件； 在（2）中，O 内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，p q ⇒/，所以p 不是q 的充要条件； 在（3）中，取{1,2}A =，{3}=B ，显然，A B =∅，但A 与B 均不为空集，因此，p q ⇒/，所以p 不是q 的充要条件. 13．（2021·全国高一课时练习）已知a ,b ,c 是实数,判断下列命题的真假：(1)“a b >”是“22a b >”的充分条件；(2)“a b >”是“22a b >”的必要条件；(3)“a b >”是“22ac bc >”的充分条件；(4)“a b >”是“22ac bc >”的必要条件.【答案】(1)假命题(2)假命题(3)假命题(4)真命题【解析】(1)假命题,因为a b >a b >⇔22a b >；(2)假命题,因为22a b >a b⇔>a b >；(3)假命题,因为a b >22ac bc >,依据为2c 可能为0； (4)真命题,因为()2220ac bc a b c >⇒>≠.【题组二 充分、必要条件的选择】1．（2020·全国高一课时练习）函数f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称的充要条件是（ ）A ．m =-2B ．m =1C ．m =-1D ．m =0 【答案】A【解析】当m =-2时，f (x )=x 2-2x +1，其图象关于直线x =1对称，反之，若函数f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称，则12m -=，即2m =-.所以f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称的充要条件是m =-2. 故选：A. 2．（2020·全国高一课时练习）“x y>1”的一个充分不必要条件是（ ） A ．x >yB ．x >y >0C ．x <yD ．y <x <0【答案】B 【解析】如果p 是q 的充分不必要条件，那么p q ⇒，而q p ⇒/. 当x >y >0时，必有x y>1， 而x y >1⇔-x y y>0⇔x >y >0或x <y <0.所以x >y >0是x y>1的充分不必要条件. 故选：B. 3．（2020·江苏南通市·海安高级中学高一期中）（多选）一元二次方程240x x n ++=有正数根的充分不必要条件是（ ）A ．4n =B ．5n =-C ．1n =-D ．0n <【答案】BC【解析】设()24f x x x n =++，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为2x =-， 要使得一元二次方程240x x n ++=有正数根，则满足()00f <，即0n <，所以一元二次方程240x x n ++=有正数根的充分不必要条件可以为B 、C ，故选：BC.4．（2021·江苏盐城市）（多选）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．14m >B ．01m <<C ．2m >D ．1m【答案】CD【解析】因为“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的20x x m -+=判别式140m ∆=-<，即14m >. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，14m >不可推导出01m <<，B 不正确； C 选项中，2m >可推导14m >，且14m >不可推导2m >，故2m >是14m >的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，1m 可推导1>4m ，且1>4m 不可推导1m ，故>1m 是14m >的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD. 5．（2021·全国高一单元测试）（多选）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（ ）A ．若22x y >，则x y >B ．若5x >，则10x >C ．若ac bc =，则a b =D ．若2121x y +=+，则x y = 【答案】BCD【解析】对于A 选项，取1x =，1y =-，则x y >，但22x y =，即“22x y >”不是“x y >”的必要条件；对于B 选项，若10x >，则5x >，即“5x >”是“10x >”的必要条件；对于C 选项，若a b =，则ac bc =，即“ac bc =”是“a b =”的必要条件；对于D 选项，若x y =，则2121x y +=+，即“2121x y +=+”是“x y =”的必要条件.故选：BCD.6．（2020·全国高一课时练习）（多选）下列条件中是“0a b +>”的充分条件的是（ ）A ．0,0>>a bB ．0,0a b <<C ．3,2a b ==-D ．0,0><a b 且a b >【答案】ACD【解析】对于A 选项，因为0,0a b >>，故0a b +>，所以A 选项正确；对于B 选项，因为0,0a b <<，故0a b +>不成立，故B 选项错误；对于C 选项，因为3,2a b ==-，故10a b +=>，故C 选项正确；对于D 选项，因为0,0a b ><且a b >，故a b >-，即：0a b +>，故D 选项正确.所以A ，C ，D 中的条件均是“0a b +>”的充分条件，B 中的条件不是“0a b +>”的充分条件.故选：ACD7．（2021·合肥市第十中学高一期末）（多选）“02x x ≤-”的充分条件有（ ） A ．02x <<B ．12x -<<C ．02x ≤<D ．02x ≤≤ 【答案】AC 【解析】解：02x x ≤-，即(){2020x x x -≠-≤，解得：02x ≤<，即[)0,2x ∈， 要找“02x x ≤-”的充分条件，即找[)0,2的子集；对A ，02x <<，即()0,2x ∈，易知()0,2 [)0,2，故A 正确；对B ，12x -<<，即()1,2x ∈-，易知()1,2-不是[)0,2的子集，故B 错误；对C ，02x ≤<，即[)0,2x ∈，易知[)[)0,20,2⊆，故C 正确；对D ，02x ≤≤，即[]0,2x ∈，易知[]0,2不是[)0,2的子集，故D 错误.故选：AC.【题组三 文字中的充分、必要条件】1．（2021·湖南长沙市）1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】从逻辑学角度，命题“没有共产党就没有新中国”的逆否命题是“有了新中国就有了共产党”，因此“有共产党”是“有新中国”的必要条件，故选：B ．2．（2021·新余市第一中学）“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】“破楼兰”不一定“终还”，但“终还”一定是“破楼兰”，由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件，故选：B ．3．（2021·江苏宿迁市·高二期末）2021年是中国共产党建党100周年.某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱《没有共产党就没有新中国》这首歌.仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】命题：“没有共产党就没有新中国”，即是“如果没有共产党，那么就没有新中国”；其逆否命题为“如果有新中国，那么就有共产党”；即根据“有新中国”能推出“有共产党”，所以“有共产党”是“有新中国”的必要条件.故选：B.4．（2021·安徽）王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也．”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的______条件．（填“充分”“必要”“充要”中的一个）【答案】必要【解析】因为“非有志者不能至”所以“能至是有志者”，因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件.故答案为：必要【题组四 根据充分、必要条件求参数】1．（2021·浙江高一期末）（多选）已知{}28200P x x x =--≤，集合{}11S x m x m =-≤≤+．若x P ∈是x S ∈的必要条件，则实数m 的取值可以是（ ）A ．1-B ．1C ．3D ．5 【答案】ABC【解析】由28200x x --≤，解得210x -≤≤，∴[]2,10P =-， 非空集合{}11S x m x m =-≤≤+，又x P ∈是x S ∈的必要条件，所以S P ⊆，当S =∅，即0m <时，满足题意；当S ≠∅，即0m ≥时，∴21 110m m -≤-⎧⎨+≤⎩，解得03m ≤≤， ∴m 的取值范围是(],3-∞，实数m 的取值可以是1,1,3-，故选：ABC.2．（2021·全国高三专题练习）（多选）设:(3)0,:()(2)0p x x q x a x a -<--+≤．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 可以是（ ）A ．32B ．52C ．72D ．73【答案】BD【解析】解()30x x -<得，03x <<，记{}|03A x x =<<，解()(2)0x a x a --+得，2a x a -，记{}|2B x a x a =-≤≤， p 是q 的必要不充分条件，所以B A ∴203a a ->⎧⎨<⎩，解得23a <<， a ∴的取值范围是(2,3)．故选：BD ．3．（2021·黑龙江哈尔滨市）已知命题2:430p x x -+≤，命题2:40q x x m -+≥.若p 是q 的充分条件，则m 的取值范围是（ ）A ．[)4,+∞B ．[)3,+∞C ．(],4-∞D ．(],3-∞【答案】A【解析】命题p 为真，则2430x x -+≤，所以13x ≤≤，因为p 是q 的充分条件，所以[1,3]x ∈时，240x x m -+≥恒成立，注意到2x =[1,3]∈，所以1640m ∆=-≤，解得4m ≥．故选：A ．4．（2021·浙江丽水市）已知命题2:320p x x -+≤，命题22:440q x x m -+-≤．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,)+∞C ．{0}D ．(,1][1,)-∞-+∞【答案】D【解析】2:320p x x -+≤，12x ≤≤，22:440q x x m -+-≤，22m x m -≤≤+， p 是q 的充分不必要条件，则2122m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，1m ≥，∴1m ≤-或m 1≥．故选：D ． 5．（2021·全国高二单元测试）若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________.【答案】m ≥3【解析】p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3；q ：2x －3＜m ，则32m x +<， 因为p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，所以332m +≥，解得m ≥3.故答案为：m ≥3 6．（2021·盐城市伍佑中学）已知p ：2340x x --≤，q ：3x m -≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是___________.【答案】[)4,+∞【解析】∵由2340x x --≤，得14x -≤≤，由p 是q 的充分不必要条件知：3x m -≤有解，故0m ≥，即原不等式可化为：3m x m -≤-≤，解得：33m x m -≤≤+， 设{}14A x x =-≤≤，{}33B x m x m =-≤≤+， p 是q 的充分不必要条件，A B ∴⊆,则03134m m m ≥⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，即041m m m ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，解得：4m ≥，故m 的取值范围是[)4,+∞．故答案为：[)4,+∞.7．（2021·陕西宝鸡市）已知条件:2(0)p m x m m ≤≤>，条件:14q x ≤≤，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_________．【答案】[]1,2 【解析】p 是q 的充分不必要条件，[],2m m ∴ []1,4，需满足124m m ≥⎧⎨≤⎩，解得12m ≤≤， 综上，m 的取值范围是[]1,2.故答案为：[]1,2.8．（2021·湖南岳阳市·高一期末）已知集合{}1A x a x a =-≤≤，{}2430B x x x =-+≤.若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围 .【答案】[]2,3. 【解析】由题意知，{}1A x a x a =-≤≤不为空集，{}2|430{|13}B x x x x x =-+≤=≤≤， 因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A 真包含于B ，则113a a -≥⎧⎨≤⎩，解得23a ≤≤. 所以实数a 的取值范围是[]2,3.9．（2021·云南大理白族自治州）已知集合22{|11}{|4}A x m x m B x x =-<<+=<，． （1）当2m =时，求A B A B ⋃⋂，；（2）若''''x A ∈是''''x B ∈成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()()2,51,2-，；（2）11m -<≤ 【解析】（1）当2m =时，{|15}{|22}A x x B x x =<<=-<<，，()()2,51,2A B A B ⋃=-⋂=，；（2）若''''x A ∈是''''x B ∈成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，211m m -≥+或22111212m m m m ⎧-<+⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得：11m -≤≤，因为m =-1时为充要条件，不合题意，所以11m -<≤10．（2021·寿县第一中学高一开学考试）已知全集为R ，集合{}26A x x =≤≤，{}3782B x x x =-≥-.（1）求A B ；（2）若{}44C x a x a =-≤≤+，且“x C ∈”是“x AB ∈”的必要不充分条件，求a 的取值范围. 【答案】（1）[]3,6；（2）[]2,7. 【解析】1）{|3782}{|3}B x x x x x =--=，又{}26A x x =≤≤{|36}A B x x ∴=， （2）因为“x C ∈”是“x A B ∈”的必要不充分条件，所以()A B C ，因为{}44C x a x a =-≤≤+所以4643a a +≥⎧⎨-≤⎩解得27a ≤≤，即[]2,7a ∈ 11.（2021·东莞市光明中学）设:24p x ≤<，:q 实数x 满足22230(0)x ax a a --<>（1）若1a =，且,p q 都为真命题，求x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}23x x ≤<；（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）当1a =时，可得22230x ax a --<，可化为2230x x --<，解得13x， 又由命题p 为真命题，则24x ≤<．所以p ，q 都为真命题时，则x 的取值范围是{}23x x ≤<．（2）由22230,(0)x ax a a --<>，解得3a x a -<<，因为:24p x ≤<，且p 是q 的充分不必要条件， 即集合 {}24x x ≤<是{}3x a x a -<<的真子集，则满足 2340a a a -<⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得43a ≥， 所以实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．12．（2021·湖北十堰市）已知集合{}22320A xx ax a =-+≤∣，集合{}220B x x x =--≤∣，:p x A ∈，:q x B ∈.（1）当1a =时，p 是q 的什么条件？（2）若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件；（2）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）当1a =时，集合{}2320{12}A xx x x x =-+≤=≤≤∣∣， {}{}22012B x x x x x =--≤=-≤≤∣∣，所以A B ，所以p 是q 的充分不必要条件.（2）因为q 是p 的必要条件，所以A B ⊆，而{}22320{()(2)0}A x x ax a x x a x a =-+≤=--≤∣∣. 当0a >时，{2}A xa x a =≤≤∣， 所以1222a a a a ≥-⎧⎪≤⎨⎪<⎩，所以01a <≤；当0a =时，{0}A =，成立；当0a <时，{2}A xa x a =≤≤∣， 所以2122a a a a ≥-⎧⎪≤⎨⎪<⎩，所以102a -≤<. 综上所述，112a -≤≤，即实数a 的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【题组五 充分、必要条件的证明】1．（2021·全国高一课时练习）求证：关于x 的方程210x mx ++=有两个负实根的充要条件是2m ≥．【答案】详见解析【解析】充分性：2m≥，∴240m∆=-≥，方程210x mx++=有实根，设210x mx++=的两根为1x，2x，由韦达定理知：1210x x=>，∴1x、2x同号，又122x x m+=-≤-，∴1x，2x同为负根；必要性：210x mx++=的两个实根1x，2x均为负，且121=x x，∴121112()22m x x xx-=-+-=-⎛⎫⎪⎝⎭+-()2211111211xx xx x+++=-=-≥，∴2m≥．所以命题得证．2．（2021·全国高一单元测试）设,x y R∈，求证||||||x y x y+=+成立的充要条件是0xy≥．【答案】见解析【解析】①充分性：若0xy≥，则有0xy=和0xy>两种情况，当0xy=时，不妨设0x=，则||||x y y+=，||||||x y y+=，∴等式成立．当0xy>时，0x>，0y>或0x<，0y<，当0x>，0y>时，||x y x y+=+，||||x y x y+=+，∴等式成立，当0x<，0y<时，||()x y x y+=-+，||||x y x y x y+=--=+，∴等式成立．综上，当0xy≥时，||||||x y x y+=+成立．②必要性：若||||||x y x y+=+且,x y R∈，则22||(||||)x y x y+=+，即222222||||x xy y x y x y++=++⋅，∴||xy xy=，∴0xy≥．综上可知，0xy ≥是等式||||||x y x y +=+成立的充要条件．。

高一数学复习考点题型专题练习专题4 充分条件与必要条件题型一 根据充分不必要条件求参数1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜m +1}，若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____．.2．已知命题“关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题. （1）求实数m 的取值集合A ；（2）设集合{|121}B x a x a =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.3．已知不等式11m x m -<<+成立的充分不必要条件是1132x <<，求实数m 的取值范围．4．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{1B x x =≤或}4x ≥．（1）当3a =时，求A B ；（2）若>0a ，且“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．5．已知全集U R =，集合{|15}A x x =≤<，{|28}B x x =<<，{|3}C x a x a =<≤+． ()1求A B ⋃，()U A B ⋂；()2若“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围． 题型二根据必要不充分条件求参数 1．已知命题p ：关于x 的方程x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0有两个大于1的实数根． （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题q ：3－a <m <3＋a ，是否存在实数a 使得p 是q 的必要不充分条件，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．2．（1）已知集合{}{}21241A a B a ==，，，，，，且A B B =，求实数a 的取值范围； （2）已知2040p x q ax ->->:，:，其中a R ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．3．已知:p 关于x 的方程242250x ax a -++=的解集至多有两个子集，:11q m a m -≤≤+，0m >．若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．4.已知集合2{|320}A x x x =-+=，2(1)0{|}B x x ax a -+==-，2{|20}C x x mx =-+=． （1）命题p ：“x B ∀∈，都有x A ∈”，若命题p 为真命题，求a 的值；（2）若“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，求m 的取值范围．题型三根据充要条件求参数 1．已知:{|20p x x +≥且100}x -≤，,0:{|44}q x m x m m -≤≤>+，若p 是q 的充要条件，则实数m 的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．72．设p :x >a ，q :x >3.（1）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围;（2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围;（3）若a 是方程x 2-6x +90=的根，判断p 是q 的什么条件.3．已知{}210P x x =-<<，{}11S x m x m =-<<+．是否存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求实数m 的取值范围．4．已知m Z ∈，关于x 的一元二次方程222440,44450x x m x mx m m -+=-+--=，求上述两个方程的根都是整数的充要条件.题型四充要条件的证明 1．方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是A ．01a <≤B ．1a <C ．1a ≤D ．01a <≤或0a < 2．已知ab ≠0，求证：a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0是a +b =1的充要条件. (提示：a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2))3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-.4．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.。

数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|，若a＝0，则f(x)＝|x|，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；若a<0，则二次函数y＝ax2－x的对称轴x＝<0，且x＝0时y＝0，此时y＝ax2－x在区间(0，＋∞)上单调递减且y<0恒成立，故f(x)＝|ax2－x|在区间(0，＋∞)上单调递增，故a≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的；反之若a>0，则二次函数y＝ax2－x的对称轴x＝>0，且在区间0，上y<0，此时f(x)＝|ax2－x|在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，故函数f(x)不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的．2.设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a与b同向或反向，所以a∥b.又因为由a∥b，可得|cos 〈a，b〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b||cos〈a，b〉|＝|a|·|b|，故|a·b|＝|a|·|b|是a∥b的充分必要条件．3.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本小题主要考查充要条件的概念以及复数的相关知识，解题的突破口为弄清什么是纯虚数，然后根据充要条件的定义去判断．a＋＝a－bi，若a＋为纯虚数，a＝0且b≠0，所以ab＝0不一定有a＋为纯虚数，但a＋为纯虚数，一定有ab＝0，故“ab＝0”是复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件，故选B.4.设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件及函数的单调性，考查推理论证能力，容易题．当f(x)＝a x为R上的减函数时，0<a<1,2－a>0，此时g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数成立；当g(x)＝(2－a)x3为增函数时，2－a>0即a<2，但1<a<2时，f(x)＝a x为R上的减函数不成立，故选A.5. 设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋bi 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵若a ＝0，则复数a ＋bi 是实数(b ＝0)或纯虚数(b≠0)．若复数a ＋bi 是纯虚数则a ＝0.综上，a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋bi 是纯虚数”的必要而不充分条件．6. 数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x n 2＋x n ＋c(n ∈N *)． (1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c<0； (2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列． 【答案】(1)见解析 (2)【解析】(1)证明：先证充分性，若c<0，由于x n ＋1＝－x n 2＋x n ＋c≤x n ＋c<x n ，故{x n }是递减数列； 再证必要性，若{x n }是递减数列， 则由x 2<x 1可得c<0.(2)(i)假设{x n }是递增数列，由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c ， 由x 1<x 2<x 3，得0<c<1.由x n <x n ＋1＝－x n 2＋x n ＋c 知， 对任意n≥1都有x n <.①注意到－x n ＋1＝x n 2－x n －c ＋＝(1－－x n )(－x n )．② 由①式和②式可得1－－x n >0即x n <1－. 由②式和x n ≥0还可得，对任意n≥1都有 －x n ＋1≤(1－)(－x n )．③ 反复运用③式，得－x n ≤(1－)n －1(－x 1)<(1－)n －1， x n <1－和－x n <(1－)n －1两式相加， 知2－1<(1－)n －1对任意n≥1成立． 根据指数函数y ＝(1－)x 的性质，得2－1≤0，c≤，故0<c≤.(ii)若0<c≤，要证数列{x n }为递增数列，即x n ＋1－x n ＝－x n 2＋c>0. 即证x n <对任意n≥1成立．下面用数学归纳法证明当0<c≤时，x n <对任意n≥1成立．(1)当n ＝1时，x 1＝0<≤，结论成立．(2)假设当n ＝k(k ∈N *)时结论成立，即：x k <.因为函数f(x)＝－x 2＋x ＋c 在区间内单调递增，所以x k ＋1＝f(x k )<f()＝，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．故x n <对任意n≥1成立． 因此，x n ＋1＝x n －x n 2＋c>x n ，即{x n }是递增数列． 由(i)(ii)知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是.7. 命题且满足.命题且满足.则是的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得，，即，故，反之也成立，故是的充要条件．8.条件，条件；若p是q的充分而不必要条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，只需满足，则，即，选B.9.对任意的实数,若表示不超过的最大整数,则是的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题得,当时,满足,但是,所以.若,则,所以.综上,是的必要不充分条件,故选B.10.设则是“”成立的 ( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】，，由于，因此应选C．11.已知集合,则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时，因为，所以；反之，若，则必有，所以或，故“”是“”的充分不必要条件.选.12.条件，条件，则是的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】不等式的解集为：或，不等式的解集为：，故为，为，则，则是的充分非必要条件．13.设，则“” 是“且”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】B【解析】由不能得到且，如也满足；由且一定可以得到，因为，故选B.14.已知，则是成立的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时,成立,而,所以,条件,由于,所以,则,所以是成立的必要不充分条件,故选C15.“”是“函数在区间内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，此时函数在区间内单调递增，当时，令，解得或，当时，结合图象可知，函数在区间内单调递增，当时，结合图象可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，不合乎题意！因此“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件，故选C.16.设且，则“函数在上是减函数”，是“函数在上是增函数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若函数在上是减函数，则这样函数在上单调递增；若函数在上是增函数，则【考点】本题结合函数的单调性考查充分必要条件的判定，从基础知识出发，通过最简单的指数函数入手，结合熟知的三次函数设计问题，考查了综合解决问题的能力17.“命题是假命题”是“或”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由“命题是假命题”得“命题”是真命题，故，即或，记或，或，因为，所以“命题是假命题”是“或”的必要不充分条件．【命题意图】本题考查含一个量词命题的否定、充分条件和必要条件等基础知识，意在考查逻辑思维能力.18.已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“”的充要条件是；“”的充要条件是，显然“”是“”的充分不必要条件，所以“”是“”的充分也不必要条件.故选A.【命题意图】本题主要考查充要条件的判断以及对数函数与指数函数的性质，意在考查学生基本的逻辑推理能力.19.“”是“数列为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A．【解析】设，由，得故能推出数列为递增数列，但数列为递增数列不能推出，故“”是“数列为递增数列”的充分而不必要条件，故选A．【命题意图】本题考查充分必要条件、数列的单调性等基础知识，意在考查基本运算能力、逻辑推理能力．20.已知，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查不等式性质以及充要条件的判定等基础知识，意在考查运算求解及逻辑推理能力．【答案】A．【解析】解得，，故可以推出，但不能推出，故选A．。

第3课 充要条件◇考纲解读掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．◇知识梳理判断充要条件关系的三种方法：①定义法：若B A ⇒，则A 是B 的_______条件，B 是A 的_______条件；若B A ⇒，则A 是B 的_______条件，B 是A 的_______条件；若B A ⇔，则A 是B 的_______条件．②利用原命题和逆否命题的_______来确定．③利用集合的包含关系：若,B A ⊆则A 是B 的_______条件，B 是A 的_______条件；若A=B ，则A 是B 的_______条件．◇基础训练1．（2006安徽卷）“3x >”是24x >“的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2“x 是2的倍数或是3的倍数”是“x 是6的倍数”的（ ） A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件3．（2008中山一模）设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2008佛山）“2a =” 是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）. A ．充分条件不必要 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 ◇典型例题例1．设集合{2},{3},M x x P x x =>=<""x M x P ∈ ∈那么或""x M P ∈ 是的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 例2．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.◇能力提升1．如果y x ,是实数，那么“0>xy ”是“y x y x +=+”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件2．已知命题A,B ，如果⌝A 是⌝B 的充分而不必要条件，那么B 是A 的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件3．若p ：⎩⎨⎧>>+44αββα ，q ：⎩⎨⎧>>22βα ，则p 是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件4．(2008惠州一模) “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）A ．充分条件不必要B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ,有02>++c x b x a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知真命题“a b c d ≥⇒>”和“a b e f <⇔≤”，那么“c d ≤”是“e f ≤”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第3课 充要条件◇知识梳理1.①充分,必要, 必要,充分,充要.② 逆否命题.③ 充分,必要,充要.◇基础训练1. B2. C3. B4. A◇典型例题例1.解："}3{}2{"""R x x x x M P x N x M x =<>=∈∈∈ 即或M P x M P x x x x M P x ∈⇐∈<<∈∈显然即},32{""，所以选B例2.解：由题意知，命题若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件p ：－2≤x ≤10q ： x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式－2≤x ≤10的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， 实数m 的取值范围是［9，+∞)◇能力提升1.A2. C3. B4.A5. A6.A。

高三数学充分条件与必要条件试题1.设为非零实数，则:是:成立的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴或．若成立，不一定成立，如取，反之成立，故是的必要不充分条件，故选B【考点】充分必要条件．2.[2014·河源模拟]对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题的序号是________．【答案】②④【解析】①中“a＝b”可得ac＝bc，但c＝0时逆命题不成立，所以不是充要条件，②正确，③中a ＞b时a2＞b2不一定成立，所以③错误，④中“a＜5”得不到“a＜3”，但“a＜3”可得出“a＜5”，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，正确．3.（5分）（2011•天津）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】C【解析】化简集合A，C，求出A∪B，判断出A∪B与C的关系是相等的即充要条件．解：A={x∈R|x﹣2＞0}={x|x＞2}A∪B={x|x＞2或x＜0}C={x∈R|x（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜0}∴A∪B=C∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件故选C点评：本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，先化简各个命题．考查充要条件的定义．4.“”是“”的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，有，但当时，，故选A.【考点】充分与必要条件.5.“”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要的条件【答案】D【解析】取特殊值.比如时，满足，但不成立，所以不是充分条件；时，满足，但不成立，所以不是必要条件.选D【考点】1、充要条件；2、不等式.6.“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间是(0，＋∞)内单调递增”的________条件．【答案】充要【解析】①当a＝0时，f(x)＝|x|在区间(0，＋∞)内单调递增；②当a<0时，结合函数f(x)＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)内单调递增；③当a>0时，结合函数f(x)＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合．所以“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的充要条件．7.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若f(x)是奇函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)，且当φ＝时，f(x)为奇函数．x(x≥1)存在零点”的()8.“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】函数f(x)存在零点，则m≤0，是充分不必要条件，故选A.9.设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的 ()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由(a－b)a2<0⇒a≠0且a<b，∴充分性成立；由a<b⇒a－b<0，当0＝a<b (a－b)·a2<0，必要性不成立；故选A.10.设函数，则“为奇函数”是“”的条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【解析】必要性：当时，为奇函数；而当时，也为奇函数，所以充分性不成立.解答此类问题，需明确方向.肯定的要会证明，否定的要会举反例.【考点】充要关系.11.已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】由题意若“ab＞0”，a、b同号，则有“|a＋b|＝|a|＋|b|”，若a=0，有“|a＋b|＝|a|＋|b|”，但是“ab=0”，所以“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab＞0”的必要不充分条件.【考点】充要条件.12.设命题;命题，若是的充分不必要条件.则的取值范围是 .【答案】【解析】命题表示的范围是图中内部（含边界），命题表示的范围是以点为圆心，为半径的圆及圆内部分，是的充分不必要条件，说明在圆内，实际上只须三点都在圆内（或圆上）即可.【考点】充分必要条件，点与圆的位置关系.13.设，则“”是“为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A．【解析】为偶函数，但为偶函数，“”是“为偶函数”的充分不必要条件，故选A．【考点】1．充分条件、必要条件、充要条件的判断；2．三角函数的奇偶性．14.已知、为非零向量，则“”是“函数为一次函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，若“函数为一次函数”，则，即“”；若“”，当时，，就不是一次函数，故“”是“函数为一次函数”的必要不充分条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．15.设集合则“”是“”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，，∵,选C.【考点】1、分式不等式和绝对值不等式的解法；2、充分条件和必要条件.16.“”是“”的 ( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得；而由可得，故的值不止一；综上所述，“”是“”的充分而不必要条件.【考点】1.充要条件；2.解三角方程.17.给出下列几个命题：①是的必要不充分条件；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若则④的充要条件是；⑤若为互相垂直的单位向量，，，则的夹角为锐角的充要条件是，其中，正确命题的序号是【答案】①②【解析】若则，但若，则不一定有，所以①正确；当是不共线的四点旱，显然四边形为平行四边形，所以②正确；当时，有，不一定成立，所以③不正确有；时，有，但时，可能互为相反向量，所以④不正确；⑤中，当时，，的夹角为0，不是锐角，所以⑤不正确.【考点】向量的有磁概念和向量的数量积.18.已知是实数，则“或”是“且”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，根据定义，但反之不成立，则是充分而不必要条件，若，但反之不成立，则是必要而不充分条件，若，则是充要条件，而此题“且”，则且，从而或成立，但反之不成立．故选B.【考点】判断充要条件.19.已知条件，条件，则是成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】根据题意，由于条件，条件，，故可知当条件成立时，结论不成立，反之一定成立，故可知必要不充分条件,故选B.【考点】充分条件点评：主要是考查了充分条件的运用，属于基础题。