高考数学第三章 三角函数、解三角形 23 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课时作业

课时作业23 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用一、选择题1．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度解析：由y ＝sin x 得y ＝sin(x ＋1)只需向左平移1个单位即可． 答案：A2．函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)＝( )A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 3解析：由图象知A ＝2，图象过点(π3，2)，∴2sin(π3×2＋φ)＝2，∴2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－π6，∴f (0)＝2sin(－π6)＝－1.答案：B3．函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 图象的一条对称轴为( )A ．x ＝π2B ．x ＝πC ．x ＝π6D ．x ＝π3解析：f (x )＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由x ＋π6＝π2＋k π，∴x ＝π3＋k π(k ∈Z )．答案：D4．(2015·陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由题图可知，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k ＝2，∴k ＝5.因此，函数的最大值是8.故水深的最大值为8 m.答案：C5．(2015·湖南卷)将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：函数f (x )，g (x )的最大值均为1，最小值均为－1，故当|f (x 1)－g (x 2)|＝2时，则f (x 1)和g (x 2)中有一个取最大值1，另一个取最小值－1，因为f (x )的周期为π，相邻最大值和最小值相距为π2，故π2－φ＝π3，φ＝π6.答案：D6．(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析：由题意可知，T ＝2π|ω|＝π，可得ω＝2(ω>0)，又由在x ＝2π3时函数f (x )取得最小值，则有2×2π3＋φ＝2k π＋3π2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，则函数的解析式为f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2k π＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(A >0，k ∈Z )即有f (0)＝12A ，f (－2)＝A sin(－4＋π6)，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6，根据正弦函数的性质可知，sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4＋π6<sin π6，所以f (－2)<f (0)，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6<sin(－4＋π6)，即f (2)<f (－2)，综上f (2)<f (－2)<f (0)．答案：A 二、填空题7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________．解析：由图象可以看出32T ＝π，∴T ＝23π＝2πω，因此ω＝3.答案：38．(2015·浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由于f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝12(1－cos2x )＋12sin2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，则其最小正周期为T ＝2π2＝π；由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z 可得，k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z ，即为其单调递减区间．答案：π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z ) 9．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为________．解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4向右平移π6个单位长度后得到函数解析式为y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π4，显然当π4－πω6＝π6＋k π，k ∈Z 时，两图象重合，此时ω＝12－6k ，k ∈Z .∵ω>0，∴k ＝0时，ω的最小值为12. 答案：12三、解答题10．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0.即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.11．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域．解：(1)因为f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π， 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6； 再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝2cos4x ， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以当x ＝0时，g (x )max ＝2， 当x ＝－π6时，g (x )min ＝－1.∴y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域为[－1，2]．1．(2016·贵州贵阳监测)为得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin x 的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n |的最小值是( )A.π3 B.2π3 C.4π3D.5π3解析：由题意可知，m ＝π3＋2k 1π，k 1为非负整数，n ＝－π3＋2k 2π，k 2为正整数，∴|m －n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π3＋2（k 1－k 2）π，∴当k 1＝k 2时，|m －n |min＝2π3.答案：B2．(2016·河南郑州一模)如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (1，0)，∠PQR ＝π4，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值是( )A ．2 3 B.733C.833D ．4 3解析：依题意得，点Q 的横坐标是4，R 的纵坐标是－4，T ＝2πω＝2|PQ |＝6，ω＝π3，A sin φ＝－4.f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋42＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×52＋φ＝A >0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1.又|φ|≤π2，π3≤5π6＋φ≤4π3，因此5π6＋φ＝π2，φ＝－π3，A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－4，A ＝833，选C.答案：C3．(2016·江西南昌一模)如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )解析：如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N .又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称， 所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ，所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B ，2x 1－x M ＋x N ＝2x B ， 得x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T 2，x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x M －x N |＝T 2＝πω(常数)，选C.答案：C4．(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。