第二讲 与三角形相关的角
【知识归类】
1、三角形内角和定理；
2、三角形内角和定理的推论（外角定理）；
3、直角三角形的性质及判定.
【典例讲练】
一、基础过关 【例1】（1）如图1，在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝50°，则∠C ＝__________°.
（2）如图2，在△ABC 中，点D 在CA 的延长线上，∠B ＝35°，∠C ＝52°，则∠BAD ＝__________° （3）如图3，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠B ＝36°，则∠A ＝__________°.
【练】（1）在△ABC 中，∠A ＝30°，则∠B ＋∠C ＝__________°.
（2）在△ABC 中，∠ABC 的外角为55°，∠A ＝35°，则∠C ＝__________°.
（3）在△ABC 中，∠A ＝37°，∠C ＝53°，则AB 与BC 的位置关系为__________.
【拓】小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C ＝∠F ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，则
∠1＋∠2等于__________°.
二、内角和、方程、不等式
【例2】在△ABC 中，80C ∠=︒，20A B ∠-∠=︒，则B ∠的度数是( )
A ．60︒
B ．30︒
C ．20︒
D ．40︒
【变1】在△ABC 中，若∠A ﹣2∠B ＋∠C ＝0，则∠B 的度数是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
【变2】适合条件∠A ＝∠B ＝1
2
∠C 的三角形是（ ）
A ．锐角三角形
B ．等边三角形
C ．钝角三角形
D ．直角三角形
图3
图2
图1
C
B
A
D
C B
A
C B
A
F E
D
C
B
A
21
【变3】在锐角△ABC 中，∠B ＝3∠C ，则∠C 的取值范围是___________．
【拓】在三角形中，最大角α的取值范围是___________．
〖总结〗
三、简单应用
【例3】如图，△ABC 中，80A ∠=︒，剪去A ∠后，得到四边形BCED ，则12∠+∠= ．
【变1】如图，将ABC △沿着DE 翻折，若1280∠+∠=︒，则B ∠= ．
【变2】如图，由图１的ABC △沿DE 折叠得到图２；图3；图4．
（1）如图２，猜想BDA CEA ∠+∠与A ∠的关系，并说明理由； （2）如图３，猜想BDA ∠和CEA ∠与A ∠的关系，并说明理由； （3）如图４，猜想BDA ∠和CEA ∠与A ∠的关系，并说明理由．
2
1
E
D B C
A A B
C
D
E 1
2
图1
12A
B
C
D E 图212
E
D C
B
A 图3
2
1A
B
C
D E
图4
2
1
E
D C
B
A
四、高、双直角、双高
【例4】如图，CD ⊥AB ，∠1＝∠2，∠A ＝55°，求∠BCA 的度数．
【变1】如图，已知在△ABC 中，∠C ＝∠ABC ＝2∠A ，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数．
【变2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D .
（1）若∠B ＝35°，求∠ACD 的度数； （2）求证：∠ACD ＝∠B .
【变3】在△ABC 中，
（1）如图一，AB 、AC 边上的高CE 、BD 交于点O ，若∠A ＝60°，则∠BOC ＝ _________ °． （2）如图二，若∠A 为钝角，请画出AB 、AC 边上的高CE 、BD ，CE 、BD 所在直线交于点O ，
则∠BAC ＋∠BOC ＝ _________ °，再用你已学过的数学知识加以说明． （3）由（1）（2）可以得到，无论∠A 为锐角还是钝角，总有∠BAC ＋∠BOC ＝ _________ °．
〖总结〗
D
C
B
A
五、高线＋角平分线
【例5】如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分∠ABC 交AC 边于E ，∠BAC ＝60°，∠ABE ＝
25°．求∠DAC 的度数．
【变1】已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ，
求证：∠CFE ＝∠CEF ．
【变2】在△ABC 中，∠C ＞∠B ，AE 是△ABC 中∠BAC 的平分线；
（1）若AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠B ＝30°，∠C ＝70°（如图1），求∠EAD 的度数；
（2）若F 是AE 上一点，且FG ⊥BC ，垂足为G （如图2），求证：∠EFG ＝12(∠C －∠B )；
（3）若F 是AE 延长线上一点，且FG ⊥BC ，G 为垂足（如图3），②中结论是否依然成立？请给
出你的结论，并说明理由．
【变3】如图，已知AD 是△ABC 的角平分线（∠ACB ＞∠B ），EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，
（1）如果∠ACB ＝90°，求证：∠M ＝∠1；
（2）求证：∠M ＝1
2
（∠ACB ﹣∠B ）．
〖总结〗
