初中数学几何专题-与三角形有关的角(优质讲义)

三角形的单元复习学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容三角形中的边、线、角的关系及其应用课型一对一教学目标1.熟悉三角形的边、角相关概念.2.能熟练的利用三角形的边、三线、角相关性质解决问题.重、难点三角形中三线，内外角相关计算问题知识导图导学一：三角形三边关系知识点讲解1：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即|两边之差|<第三边<两边之和例1. [单选题] 下列能组成三角形的线段是（）A.1,2,3B.4,6,11C.5,6,7D.12，25,45例 2. [单选题] 已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A.1 B. 5 C.2 D. 1例3. [单选题] （2014广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A. 17B. 15C. 13D. 13或17 【学有所获】判断给定线段能否围成三角形：只要最短的两边之和大于第三边即可组成三角形确定三角形第三边的取值范围：|两边之差|<第三边<两边之和等腰三角形问题：如果给出两边长，第三边边长分情况讨论，注意最后要建议这三边能为围成三角形。

我爱展示1.判别下列各组线段哪些能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由。

(1) 15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm(3) 3cm、8cm、5cm (4) 4cm、5cm、6cm2.[单选题] 在1，2，3，4，5这五个数中，任取三个组成三角形，方法有（）种A.1B.2C.3D.43.三角形三边长分别为1，x，8，若x为正整数，则x的值为4.[单选题] 已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为（）． A.11 B.16 C.17 D.16或17导学二：三角形的高、中线与角平分线知识点讲解1例1. 如图，AD为三角形ABC的边BC上的中线，△ABC面积为20，则△ABD面积为多少？【学有所获】三角形中线把三角形分成等面积的两半例2. 在△ABC中，∠BAC为90度，AD为BC上的高，AB=4，BC=5，求AC与AD的比。

人教版-八年级数学-与三角形有关的角讲义-(含解析)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第1讲与三角形有关的角知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习三角形的知识，包括与三角形有关的线段和角，本次课重点讲述与三角形有关的角，这是几何题目中出现概率较为频繁的，要熟练掌握三角形相关角的性质并灵活运用。

知识梳理讲解用时：20分钟与三角形有关的线段1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形三边都不相等的三角形三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性课堂精讲精练【例题1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（）与三角形有关的角1、三角形内角和定理：三角形的内角和是180°2、三角形的外角性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3、三角形的几种特殊模型： 两内角角平分线夹角 两外角角平分线 一内角、一外角角平分线夹角 ∠P=90°+12∠A ∠P=90°-12∠A ∠P=12∠A4、直角三角形的性质： （1）两锐角互余 （2）等面积法计算S=12ab=12ch （3）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 证明方法如左图A.1、2、3B.3、3、7C.20、15、8D.5、15、8【答案】C【解析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边则成立讲解用时：2分钟解题思路：利用三角形的三边关系做题教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边难度： 2 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】若a、b、c分别为三角形的三边，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b|【答案】-a+b+3c【解析】根据三角形的三边关系可以得出：b+c＞a，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，化简合并同类项讲解用时：2分钟解题思路：利用三角形的三边关系做题.教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习1.2】a、b、c分别为△ABC的三边，且满足a+b=3c-2，a-b=2c-6（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为18，求c的值.【答案】（1）2＜c＜6；（2）c=5【解析】根据三角形的两边之和大于第三边a+b=3c-2＞c，两边之差小于第三边a-b=2c-6＜c，求出c的取值范围.讲解用时：3分钟解题思路：利用三角形的三边关系做题.教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°【答案】A【解析】根据三角形内角和定理可求出∠1的度数，由三角形外角性质可得出∠2的度数，再根据∠2与∠α互补，即可得出结论．解：给图中标上∠1、∠2，如图所示．∵∠1+45°+90°=180°，∴∠1=45°，∵∠1=∠2+30°，∴∠2=15°．又∵∠2+∠α=180°，∴∠α=165°．故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定义以及三角形外角的性质是解题的关键．教学建议：熟练使用三角形内角和定理和外角的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为（）A．90°B．58°C．54°D．32°【答案】D【解析】根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°，从而得到∠B、∠C 互余，然后用∠C表示出∠B，再列方程求解即可．解：∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠B=90°﹣∠C，∵∠B=2∠C﹣6°，∴90°﹣∠C=2∠C﹣6°，∴∠C=32°．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出∠A的度数是解题的关键．教学建议：熟练使用三角形内角和定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图所示，∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，则∠BCD的度数为（）A．80°B．100°C．120°D．140°【答案】B【解析】延长BC交AD于点E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和先求出∠CED的度数，再次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出∠BCD的度数．解：如图所示，延长BC交AD于点E，∵∠A=50°，∠B=20°，∴∠CED=∠A+∠B=50°+20°=70°，∴∠BCD=∠CED+∠D=70°+30°=100°．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作出辅助线是解题的关键．教学建议：熟练使用三角形的外角性质难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．【答案】24°【解析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°；所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．教学建议：熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF=140°，∠ADE=105°，则∠A的大小为（）A．75°B．50°C．35°D．30°【答案】C【解析】根据平行线的性质得出∠DEC=140°，进而利用三角形内角和解答即可．解：∵DE∥BC，∴∠DEC=∠ACF=140°，∴∠AED=180°﹣140°=40°，∵∠ADE=105°，∴∠A=180°﹣105°﹣40°=35°，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查三角形内角和，关键是根据平行线的性质得出∠DEC=140°．教学建议：熟练运用平行线的性质和三角形的内角和定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．∠1=∠2，∠3=105°，求∠ACB的度数．【答案】105°【解析】证明CD∥EF，得到∠2=∠BCD，证明DG∥BC，根据平行线的性质证明即可．解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠BCD，又∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC，∴∠ACB=∠3=105°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．教学建议：熟练掌握平行线的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，△ABC中，∠A=50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（）A．40°B．20°C．25°D．30°【答案】C【解析】根据三角形的角平分线的定义得到∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，根据三角形的外角的性质计算即可．解：∵由三角形的外角的性质可知，∠E=∠ECD﹣∠EBD，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，∵∠ACD﹣∠ABC=∠A=50°，∴∠ACD﹣∠ABC=25°，∴∠E=∠ECD﹣∠EBD=25°，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：充分利用角平分线的性质和三角形的外角性质.教学建议：熟记一内角、一外角角平分线的模型.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC=80°，∠C=60°，则∠M的大小为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠ABC=40°，再根据角平分线的定义求出∠ABM，∠CAM，然后利用三角形的内角和定理求出∠M即可．解：∵∠BAC=80°，∠C=60°，∴∠ABC=40°，∵∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，∴∠ABM=20°，∠CAM=，∴∠M=180°﹣20°﹣50°﹣80°=30°，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．教学建议：熟记一内角、一外角角平分线的模型.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60°，求∠BFC的度数.【答案】120°【解析】根据角平分线的定义可得出∠CBF=∠ABC、∠BCF=∠ACB，再根据内角和定理结合∠A=60°即可求出∠BFC的度数．解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∴∠CBF=∠ABC，∠BCF=∠ACB，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=120°，∴∠BFC=180°﹣（∠CBF+BCF）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=120°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．教学建议：熟记两内角角平分线的模型.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且交于点D，∠A=50°，则∠D=（2）如图②，BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系：（3）如图③，BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线，它们相交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系，并说明理由．【答案】 B（1）115°；（2）90°-12∠A；（3）∠D=12∠A【解析】（1）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠EBC，∠FCB=∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；（3）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，根据三角形的外角的性质解答．解：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A；∵∠A=50°，∴∠D=115°，故答案为：115°；（2）BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线，∴∠DBC=∠EBC，∠FCB=∠ACB，∴∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠EBC+∠FCB）=180°﹣（180°+∠A）=90°﹣∠A；故答案为：90°﹣∠A；（3）∵BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线，∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，∠D=∠2﹣∠1=（∠ACE﹣∠ABC）=∠A．讲解用时：5分钟解题思路：本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．教学建议：熟记三角形角平分线的3种模型.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【答案】（1）∠ACD=∠B；（2）∠CEF=∠CFE【解析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°﹣∠CAF，∠AED=90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．教学建议：熟练掌握直角三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=30°，∠D=40°，求∠ACD的度数．【答案】80°【解析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．解：∵DF⊥AB，∠B=40°∴∠DFB=90°，∴∠B=90°﹣∠D=90°﹣40°=50°，∵∠ACD是△ABC的外角，∠A=30°，∴∠ACD=∠B+∠A=50°+30°=80°．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查三角形外角与内角的关系，关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．教学建议：熟练掌握直角三角形的性质以及三角形内角和定理、外角性质. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC=115°，则∠A的度数是（）A．50°B．57.5°C．60°D．65°【答案】A【解析】先根据三角形内角和定理得出∠BCF+∠CBF的度数，再由角平分线的性质得出∠ABC+∠ACB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．解：∵∠BFC=115°，∴∠BCF+∠CBF=180°﹣115°=65°．∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=2（∠BCF+∠CBF）=130°，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°﹣130°=50°．故选：A．讲解用时：3分钟难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】在直角△ABC中，∠C=90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=．【答案】270°【解析】首先根据三角形的内角和定理求得∠A与∠B的度数的和，然后利用四边形的内角和定理即可求解．解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B=180°﹣∠C=90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°．故答案是：270°．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】一个三角形的最大角不会小于度．【答案】60【解析】因为三角形的内角和是180度，假设三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾，所以三角形的最大角不小于60度．解：由分析可知：如果三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾．所以三角形的最大角不小于60度；故答案为：60．讲解用时：4分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．（用度数表示）【答案】180°【解析】根据三角形外角性质，可得∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，那么有∠1=∠C+∠A+∠D，再根据三角形内角和定理有∠1+∠B+∠E=180°，从而易求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．解：如右图所示，∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，∴∠1=∠C+∠A+∠D，又∵∠1+∠B+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．故答案是：180°．讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BOA=125°，求∠DAC的度数．【答案】20°【解析】先根据角平分线定义和三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA的度数，再求出∠C的度数，即可求出答案．解：∵AE，BF是角平分线，∴∠OAB=∠BAC，∠OBA=∠ABC，∴∠CAB+∠CBA=2（∠OAB+∠OBA）=2（180°﹣∠AOB），∵∠AOB=125°，∴∠CAB+∠CBA=110°，∴∠C=70°，∵∠ADC=90°，∴∠CAD=20°．讲解用时：4分钟难度：3适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业6】已知：如图，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证：（1）∠EGH＞∠ADE；（2）∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF．【答案】（1）成立；（2）∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF【解析】（1）根据平行线的性质得出∠B=∠ADE，根据三角形的外角性质得出∠EGH＞∠B，即可得出答案；（2）根据三角形的外角性质得出∠BFE=∠A+∠AEF，∠EGH=∠B+∠BFE，根据平行线的性质得出∠B=∠ADE，即可得出答案．证明：（1）∵∠EGH是△FBG的外角，∴∠EGH＞∠B，又∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE．（两直线平行，同位角相等），∴∠EGH＞∠ADE；（2）∵∠BFE是△AFE的外角，∴∠BFE=∠A+∠AEF，∵∠EGH是△BFG的外角，∴∠EGH=∠B+∠BFE．∴∠EGH=∠B+∠A+∠AEF，又∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE（两直线平行，同位角相等），∴∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF．讲解用时：4分钟难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业7】如图，已知：点P是△ABC内一点．（1）求证：∠BPC＞∠A；（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A=40°，求∠P的度数．【答案】（1）成立；（2）110°【解析】（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．（2）由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．（1）证明：延长BP交AC于D，如图所示：∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，∴∠BPC＞∠A；（2）在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°，∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，在△ABC中，∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣×140°=110°．讲解用时：4分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

《与三角形有关的角》第一课时说课稿课题：§7.2.1与三角形有关的角一、教材分析1.教材内容、地位及相关处理方法本节是义务教育课程标准实验教材人教版数学七年级下册第一章第2节《与三角形有关的角》第一课时。

与“三角形有关的角”共有两课时，教材的安排是继上册第四章“图形的初步认识”与本册第七章第1节“与三角形有关的线段”之后，由线至面进一步研究三角形的角。

由于三角形是多边形当中边数最少的一类，本节知识是对前面“角”知识的升华与综合运用，也是多边形的角类问题的基础。

因此，从探究三角形相关的角开始，进而研究多边形的角。

而且，在七至九年级数学教材中，空间与图形的内容里，三角形是解决很多数学问题的基础。

对学生学习空间与图形的兴趣及效率有一定的影响。

通过“量一量”、“撕一撕”与“拼一拼”的活动，让学生初步探究并感知三角形的内角和为180度。

让知识透过学生自己动手流露出来，从而激发学生在学数学时的动手与探究的兴趣。

通过归纳推理与演绎论证，让学生合作并探究不同的三角形内角和的证明方法，使其感受到知识的发生、发展的过程，体会探究知识的乐趣；通过例题及生活实践题目，让学生感知“数学就在身边”，让学生体会数学的应用价值，体会数学源于实践又作用于实践，数学抽象于生活又回归于生活的一般规律。

在最后的练习上，设计了针对不同层次的学生的题目，旨在激发每一位学生的学习兴趣。

2.重点：学生了解、感悟并运用三角形的内角和，并对其进行探究与证明的过程。

3.难点：通过辅助线的运用，多方法证明三角形内角和。

二、教学目标分析学生及学习情况分析本节课是学生由线过渡到面的入门知识。

七年级的学生可塑性极强，并且我所教的115班学生思维活跃，愿意表达与展现自我，有合作精神。

但学生的数学基础参差不齐，小学的教育问题使学生出现较为严重的两极分化。

通过入学以来的数学学习，学生对数学的学习兴趣较高。

另外，此年龄阶段的学生正由形象思维向抽象思维转变，但抽象思维并不突出，形象思维仍占主体地位。

直角三角形边角关系讲义(初稿)一、 概念部份 一、大体概念 正弦：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记为A sin ，caA A =∠=斜边的对边sin 。

余弦：在Rt ∆ABC （如图），锐角A的余弦，记为A cos ，cbA A =∠=斜边的邻边cos 。

正切：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记为A tan ，baA A A =∠∠=的邻边的对边tan 。

余切：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记为A cot ，abA A A =∠∠=的对边的邻边cot 。

二、巧记概念：按正弦、余弦、正切、余切的顺序记八个字：对斜邻斜对邻邻对。

3、依照正弦、余弦、正切、余切的概念，在Rt ∆ABC 中， 90=∠C ，有sinA=cosB ，sinB=cosA ，tanA=cotB ，tanB=cotA 。

4、正弦、余弦、正切的值与梯子倾斜程度之间的关系：sinA 的值越大，梯子越陡； cosA 的值越小，梯子越陡； tanA 的值越大，梯子越陡。

五、在Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ，a 、b 、c 别离是A ∠、B ∠、C ∠的对边，那么caA =sin ， c b A =cos ， b a A =tan ， abA =cot 能够变形为A c a sin •=，A c b cos •=，A b a tan •=或A a c sin =，Abc cos =等等，在解题中能够依照条件正确选用。

六、注意：①、在初中，正弦、余弦、正切、余切的概念都是在直角三角形中给出的，不能在任意三角形中套用概念。

②、sinA 、cosA 、tanA 、cotA 别离表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能明白得为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 、cot 与A 的乘积。

③sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个完整的符号，它表示A ∠的正弦、余弦、正切、余切，记号里适应省去角的符号“∠”，但当角用三个大写字母或数字表示时，角的符号“∠”不能省略。

第二讲三角形的角一、教学内容1.理解三角形内角、外角的概念；2.探索并证明三角形的内角和定理；3.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形；4.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；5.能够运用三角形内角和定理解决简单问题.二、思维导图三、知识重难点考点：三角形内角、外角的概念.重难点：能够运用三角形内角和、外角和定理解决简单问题.易错点：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，但每个顶点处只算一次，因此三角形共有三个外角．模块一三角形的内角一、教学内容1、三角形的内角三角形的内角：2、三角形的内角和三角形内角和定理．直角三角形中，．二、例题精讲【例1-1】如图，△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C 等于（）A．100°B．80°C．60°D．40°【例1-2】△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 满足∠A：∠B：∠C=2：3：7，则这个三角形是（）A.锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【例1-3】在△ABC 中，∠A=2∠B=80°，则∠C 等于（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°练1-1．下列图形中的x＝．练1-2．在△ABC 中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C 等于（）A．45°B．60°C．75°D．90°练1-3. 在△ABC 中，∠A+∠B=130°，∠A－∠B=30°，则△ABC 中最大角等于（）A.50° B. 60° C.70° D. 80°练1-4. 如图，AC⊥BD，∠1＝∠2，∠D＝40°，则∠BAD 的度数是（）A．85°B．90°C．95°D．100°【例2】如图，△ABC 为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2 等于（）A．90°B．135°C．150°D．270°练2-1. 如图，将直角三角形沿虚线截去顶角后，则∠1+∠2 的度数为（）A．225°B．235°C．270°D．300°练2-2. 如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=( )A.360°B.250°C.180°D.140°【例3-1】如图，在△ABC 中，∠B、∠C 的角平分线BE，CD 相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，求∠BFC 的度数【例3-2】如图，在△ABC 中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，（1）求∠DAE 的度数．（2）试问∠DAE 与∠C、∠B 有怎样的数量关系？说明理由．练3-1. 如图，在△ABC 中，∠B、∠C 的平分线BE，CD 相交于点F，若∠BFC＝116°，则∠A＝（）A．51°B．52°C．53°D．58°练3-2. 已知：如图，在△ABC 中，AD、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE 的度数．模块二三角形的外角一、教学内容1、三角形的外角三角形的叫做三角形的外角．如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角.2、三角形的外角性质：1.三角形的一个外角等于．2.三角形的一个外角大于．3.三角形的外角和：．一、例题精讲【例4-1】如图，在△ABC 中，∠A=35°，∠C=45°，则与∠ABC 相邻的外角的度数是（）A．35°B．45°C．80°D．100°【例4-2】如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（）A．165°B．135°C．105°D．75°练4-1. 如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD 等于（）A．40°B．45°C．50°D．55°练4-2．将一副三角尺按如图方式进行摆放，则∠1 的度数为．练4-3. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1 等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°练4-4. 如图，把三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的内部，已知∠1+∠2=80°，则∠A 的度数为．【例5】（1）如图1，∠A=70°，BP、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB，则∠P 的度数是；（2）如图2，∠A=70°，BP、CP 分别平分∠EBC 和∠FCB，则∠P 的度数是；（3）如图3，∠A=70°，BP、CP 分别平分∠ABC 和∠ACD，求∠P 的度数．练5. 如图① ，BD 、CD 是∠ABC 和∠ACB 的角平分线且交于点 D ，∠A=50°，则∠D= ；（2）如图②，BD、CD 是∠ABC 和∠ACB 外角的平分线且相交于点D，请猜想∠A 与∠D 之间的数量关系：；（3）如图③，BD 为∠ABC 的角平分线，CD 为∠ACB 的外角的角平分线，它们相交于点D，请猜想∠A 与∠D 之间的数量关系，并说明理由．。

与三角形有关的角【要点梳理】知识点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.【典型例题】类型一、三角形的内角和1．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A= ．举一反三：【变式1】如图所示，α∠的度数是()A．10︒B．20︒C．30︒D．40︒【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度．类型二、三角形的外角2.如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角．（1）若∠BAC＝70°，求：∠BOC的度数；（2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由）举一反三：【变式】将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则α∠的度数为()A．75︒B．105︒C．135︒D．165︒类型三、三角形有关角的实际应用3.星期天，小明见爸爸愁眉苦脸在看一张图纸，他便悄悄地来到爸爸身边，想看爸爸为什么犯愁．爸爸见到他，高兴地对他说：“来帮我一个忙，你看这是一个四边形零件的平面图，它要求BDCB∠=︒，∠=︒，19A∠等于140︒才算合格，小明通过测量得90∠=︒后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小明解释这是为什么，小明很轻松地40C说出了原因，并用如下的三种方法解出此题．请你代小明分别说出不合格的理由．（1）如图1，连接AD并延长．（2）如图2，延长CD交AB于E．（3）如图3，连接BC．举一反三：【变式】探究与发现：有一块直角三角板DEF放置在ABC∆上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．请写出BDC∠+∠+∠之间的数量关∠与A ABD ACD 系，并说明理由．应用：某零件如图所示，图纸要求90∠=︒，21∠=︒，当检验员量得CBA∠=︒，32∠=︒，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？145BDC【复习巩固】1．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．80°2．如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A＝45°，则∠ABD+∠ACD的值为（）A．40°B．45°C．50°D．55°3．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A＝．4．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于．5．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝108°，∠C＝35°，则∠2＝．6.如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为．7.如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．8.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．9.如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线．（1）求证：∠A＝2∠E；（2）若∠A＝∠ABC，求证：AB∥CE．。

初中数学 三角形的内角及外角精讲精练【考点精讲】1. 三角形内角和定理（1）定理：三角形内角和是180° 即∠A+∠B+∠C=180°（2）作用：它是三角形三个内角必须满足的条件；它实际上提供了三个内角满足的一个等量关系，是求三角形角度时常用的一个条件。

（3）定理形式的变形：①∠A = 180°－∠B －∠C ；②∠B + ∠C =180°－∠A③︒=∠+∠+∠90212121C B A （数学中的公式不是一成不变的，它可以变通。

） 2. 直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余；直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。

3. 三角形的外角及三角形内角和定理的推论（1）三角形外角：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角。

（2）三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

（3）三角形的外角和是360°。

【典例精析】例题1 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，∠B = 40°，∠BAD = 30°，则∠C 的度数是（ ）A. 70°B. 80°C. 100°D. 110°思路导航：由图形可以知道要想求∠C 的度数，只要求出∠BAC 与∠B 的和就可以，这里∠B =40°，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，所以，由角平分线定义得，∠BAC =2∠BAD ，而∠BAD =30°，这样就可以求出∠C 的度数。

答案：∵AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，∴ ∠BAC =2∠BAD ，∵∠BAD = 30°， ∴∠BAC =60°，∵∠B = 40°，∴∠C =180°－（∠B +∠BAC ）=180°－（40°+60°）=80°，故选择B 。

与三角形有关的角1.掌握三角形的内角及内角和、外角及外角和的性质，并能够进行相关的计算；2.掌握直角三角形的各个角的特点，并能够进行相关的角度计算；3.掌握折叠的规律，并能够在几何计算中熟练应用；4.会根据角的特点判断三角形的形状.1.三角形中，角的度数的综合计算问题；2.三角形形状的判断；3.几何找规律问题的理解.三角形的内角及其内角和1、三角形内角的概念三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．2、三角形内角和定理：三角形内角和是180°．3、三角形内角和定理的证明证明方法不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中一般需要借助平行线．4、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．（1）直接根据两已知角求第三个角；（2）依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角.例1.如图，△ABC中，△A=60°，△B=40°，则△C等于（）A．100°B．80°C．60°D．40°【答案】B【解析】解：由三角形内角和定理得，△C=180°﹣△A﹣△B=80°，故选：B．练习1.已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，则∠B＝____，∠C＝____.【答案】90°；50°【解析】解：由∠B－∠C＝40°得∠B＝40°＋∠C.根据三角形内角和是180°，列出等式∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋40°＋∠C＋∠C＝180°，把∠A＝40°代入，求得∠C＝50°，进而求得∠B＝90°.练习2.在△ABC中，△A+△B=134°，△B+△C=136°，则△ABC的形状是（）【答案】B【解析】解：△在△ABC中，△A+△B=134°，△B+△C=136°，△△A+△B+△B+△C=134°+136°=270°△，△△A+△B+△C=180° △，△﹣△得，△B=90°，△△ABC的形状是直角三角形，故选：B．已知一个三角形其中某两个角或者某一个角及其另外两个角的关系即可利用三角形内角和等于180°求解各个角的具体度数，其核心思想是三角形内角和等于180°为求解角度提供了一个等量关系.例2.一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，△这个三角形一定是直角三角形，故选：B．练习1.在△ABC中，△A，△B，△C的度数之比为2：3：4，则△B的度数为（）A．120°B．80°C．60°D．40°【答案】C【解析】解：△△A：△B：△C=2：3：4，△设△A=2x，△B=3x，△C=4x，△△A+△B+△C=180°，△2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，△△B的度数为：60°．故选C．练习2.如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形【答案】A【解析】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k=180°，解得k=20°，所以，最大的角为4×20°=80°，所以，三角形是锐角三角形．故选A．已知三角形三个内角之间的比例关系，即可设出三个内角的度数（用未知数表示），体现了“见比设参”的思想，再利用三角形内角和等于180°，即可解出相应的未知数，从而求出各个内角的具体度数.例3.下列说法正确的是（）A．三角形的内角中最多有一个锐角B．三角形的内角中最多有两个锐角C．三角形的内角中最多有一个直角D．三角形的内角都大于60°【答案】C【解析】解：A、直角三角形中有两个锐角，故本选项错误；B、等边三角形的三个角都是锐角，故本选项错误；C、三角形的内角中最多有一个直角，故本选项正确；D、若三角形的内角都大于60°，则三个内角的和大于180°，这样的三角形不存在，故本选项错误．故选C．练习1.任何一个三角形的三个内角中至少有（）A．一个角大于60°B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角【答案】B【解析】解：根据三角形的内角和是180°，知：三个内角可以都是60°，排除A；三个内角可以都是锐角，排除C和D；三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角．故选B．考查三角形各个内角的特点及限定，需要根据三角形内角和对三个内角之间的影响进行分析推理，重点考查分析推理能力.三角形的外角及其外角和1、三角形外角的定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．在计算三角形外角和时，只计算其中的三个，即每个顶点取一个.2、三角形的外角性质（1）三角形的外角和为360°．（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（3）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．3、若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质（2）将它们转化到一个三角形中去．4、探究角度之间的不等关系，多用外角的性质（3），先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．例1.如图所示，在△ABC中，下列说法正确的是（）A．△ADB＞△ADE B．△ADB＞△1+△2+△3C．△ADB＞△1+△2D．以上都对【答案】C【解析】解：A错误，△ADB+△ADE=180°，无法判断其大小关系；B错误，△ADB=△1+△2+△3；C正确，△△ADB=△1+△2+△3，△ADB＞△1+△2；D错误．故选C．练习1.下列图形中一定能说明△1＞△2的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：A中△1=△2，故错误；B中△1和△2的关系不能确定，故错误；C中△1＞△2，故正确；D中△1和△2的关系不能确定，故错误；故选：C．练习2.已知△2是△ABC的一个外角，那么△2与△B+△1的大小关系是（）A．△2＞△B+△1B．△2=△B+△1C．△2＜△B+△1D．无法确定【答案】A【解析】解：△△2＞△ADC，△ADC=△B+△1，△△2＞△B+△1，故选A．在判断角的不等关系时，常会用到“三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角”这一性质.例2.知，如图，△ABC中，△B=△DAC，则△BAC和△ADC的关系是（）A．△BAC＜△ADC B．△BAC=△ADC C．△BAC＞△ADC D．不能确定【答案】B【解析】解：由三角形的外角性质，△ADC=△B+△BAD，△△BAC=△BAD+△DAC，△B=△DAC，△△BAC=△ADC．故选B．练习1.如图，在△ABC中△A=80°．点D是BC延长线上一点，△ACD=150°，则△B=（）A．60°B．50°C．70°D．165°【答案】C【解析】解：由三角形的外角的性质可知，△B=△ACD﹣△A=70°，故选：C．练习2.如图，在△ABC中，AB=AC，△A=140°，延长BC至点D，则△ACD等于（）A．130°B．140°C．150°D．160°【答案】D【解析】解：△AB=AC，△A=140°，△△B=△ACB=（180°﹣140°）=20°，△△ACD=180°﹣△ACB=180°﹣20°=160°．故选D．在三角形中“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”这一性质是计算角的度数中比较常用的一个典型知识，只要三角形中有外角出现，都有可能会用到这一性质.例3.如果三角形三个外角度数之比是3：4：5，则此三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】B【解析】解：△三角形三个外角度数之比是3：4：5，设三个外角分别是α，β，γ，则α=360°×=90°，△此三角形一定是直角三角形．故选：B．练习1.如果一个三角形的三个外角的度数之比是2：3：4，那么与之对应的三个内角的度数之比是（）A．1：3：5B．2：3：4 C．4：3：2D．5：3：1【答案】D【解析】解：设三个外角的度数分别是2x°，3x°，4x°，由题意得：2x+3x+4x=360，解得：x=40，则2x=80，3x=120，4x=160，故三个内角分别为：100°，60°，20°，而100°：60°：20°=5：3：1，故选：D．练习2.如图所示：△1=110°，△2=125°，那么△3=（）A．55°B．65°C．75°D．85°【答案】A【解析】解：根据三角形的外角和可得，∠3的邻补角等于125°，所以∠3=55°，故选A.在三角形的角度计算中，如果涉及到的外角比较多时，常会考虑用“三角形的外角和等于360°”这一性质.直角三角形的性质1、有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．2、在直角三角形中，两个锐角互余．注：在进行角度的计算时，直角三角形锐角互余的性质也是一个常用的倒角方法.反之，我们也常用“两锐角互余”的性质来判定一个三角形是否是直角三角形.3、目前通用的三角板是最典型的直角三角形，同时两个三角板的四个锐角的度数是固定的，分别为：45°、45°、30°、60°，在三角板中的角度计算类问题中要将以上度数当成已知度数来使用.例1.在Rt△ABC中，△C=90°，△A﹣△B=70°，则△A的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【答案】A【解析】解：△△C=90°，△△A+△B=90°，又△A﹣△B=70°，△△A=（90°+70°）=80°．故选A．练习1.AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，△C=50°，求△BHD．【答案】解：△AD是△ABC的高，△△BHD+△HBD=90°，△BE是△ABC的高，△△HBD+△C=90°，△△BHD=△C，△△C=50°，△△BHD=50°．练习2.如图，在△ABC中，△BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE△AC，DF△AB，垂足分别为E、F，则图中与△C（△C除外）相等的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】解：△AD是斜边BC上的高，DE△AC，DF△AB，△△C+△B=90°，△BDF+△B=90°，△BAD+△B=90°，△△C=△BDF=△BAD，△△DAC+△C=90°，△DAC+△ADE=90°，△△C=△ADE，△图中与△C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：A．在进行角度的计算时，直角三角形锐角互余的性质也是一个常用的倒角方法.例2.在下列条件中，△△A+△B=△C；△△A：△B：△C=1：2：3；△△A=△B=△C；△△A=△B=2△C；△△A=2△B=3△C，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】解：△、△△A+△B=△C=90°，△△ABC是直角三角形，故小题正确；△、△△A：△B：△C=1：2：3，△△A=30°，△B=60°，△C=90°，△ABC是直角三角形，故本小题正确；△、设△A=x，△B=2x，△C=3x，则x+2x+3x=180°，解得x=30°，故3x=90°，△ABC是直角三角形，故本小题正确；△△设△C=x，则△A=△B=2x，△2x+2x+x=180°，解得x=36°，△2x=72°，故本小题错误；△△A=2△B=3△C，△△A+△B+△C=△A+△A+A=180°，△△A=°，故本小题错误．综上所述，是直角三角形的是△△△共3个．故选B．练习1.给定下列条件，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．△A=△B=2△C B．△A+△B=△CC．△A：△B：△C=1：4：5D．△A=37°，△B=53°【答案】A【解析】解：A、△△A=△B=2△C，△A+△B+△C=180°，△△A=△B=72°，△C=36°，△此时△ABC为锐角三角形；B、△△A+△B=△C，△A+△B+△C=180°，△△C=90°，△此时△ABC为直角三角形；C、△△A：△B：△C=1：4：5，△A+△B+△C=180°，△△A=18°，△B=72°，△C=90°，△此时△ABC为直角三角形；D、△△A=37°，△B=53°，△A+△B+△C=180°，△△C=90°，△此时△ABC为直角三角形．故选A．判断一个三角形是不是直角三角形的方法很多，就现学的知识而言，主要有：（1）两个内角之和为90°；（2）其中两个内角的和等于第三个内角；（3）其中某一个角等于90°；（4）三个内角的比例关系中，两个内角比例之和等于第三个内角所占的比例等.例3.将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则△α的度数是．【答案】75°【解析】解：△△DAC+△ACB=180°，△AD△BC，△△B=△DAE=30°，△△DEB=△D+△DAE=45°+30°=75°，即△α的度数是75°．故答案为：75°．练习1.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则△α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°【答案】A【解析】解：给图中标上△1、△2，如图所示．△△1+45°+90°=180°，△△1=45°，△△1=△2+30°，△△2=15°．又△△2+△α=180°，△△α=165°．故选A．练习2.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则△1的度数为（）A．60°B．75°C．65°D．70°【答案】B【解析】解：△△2=90°﹣45°=45°（直角三角形两锐角互余），△△3=△2=45°，△△1=△3+30°=45°+30°=75°．故选B．目前通用的三角板是最典型的直角三角形，同时两个三角板的四个锐角的度数是固定的，分别为：45°、45°、30°、60°，在三角板中的角度计算类问题中要将以上度数当成已知度数来使用.三角形倒角计算综合在三角形中计算角的度数是非常重要的一种题型，其中涉及到的知识点主要包括：角平分线的性质、两直线平行的性质、对顶角的性质、邻补角的性质、三角形的外角及其外角和、三角形的内角和等一系列倒角相关的知识，在分析此类几何题时，要首先从这些知识入手.通过倒角，可以计算角的度数，从而判断三角形的形状.折叠问题，也是倒角中常会考到的一个典型知识，其本质特征是：折叠前后的边和角的大小是完全相同的.例1.已知△ABC中，△A=20°，△B=△C，那么三角形△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形【答案】A【解析】解：△△A=20°，△△B=△C=（180°﹣20°）=80°，△三角形△ABC是锐角三角形．故选A．练习1.若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】解：依题意，设三角形的三个内角分别为：2x，7x，4x，△2x+7x+4x=180°，△7x≈97°，x=13.85°，7x=97°，△这个三角形是钝角三角形．故选：C．练习2.三角形的外角大于和它相邻的这个内角，这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定【答案】D【解析】解：△三角形的一个内角和相邻的外角互补，三角形的外角大于和它相邻的这个内角，△这个三角形是锐角三角形，但是无法确定其他内角大小，故此三角形形状无法确定．故选：D．按照角度的大小来分类，三角形分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种类型.要判断三角形的具体形状，只需要找到三角形中最大的角是哪种类型的角（锐角、直角、钝角）即可.例2.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则△A与△1+△2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．△A=△1+△2B．2△A=△1+△2C．3△A=2△1+△2D．3△A=2（△1+△2）【答案】B【解析】解：2△A=△1+△2，理由：△在四边形ADA′E中，△A+△A′+△ADA′+△AEA′=360°，则2△A+180°﹣△2+180°﹣△1=360°，△可得2△A=△1+△2．故选：B．练习1.如图，在△ACB中，△ACB=100°，△A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则△ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】D【解析】解：△△ACB=100°，△A=20°，△△B=60°，由折叠的性质可知，△ACD=△BCD=50°，△△B′DC=△BDC=70°，△△ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°，故选：D．练习2.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分△ABC，A'C平分△ACB，若△BA'C=110°，则△1+△2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】A【解析】解：连接AA′．△A'B平分△ABC，A'C平分△ACB，△BA'C=110°，△△A′BC+△A′CB=70°，△△ABC+△ACB=140°，△△BAC=180°﹣140°=40°，△△1=△DAA′+△DA′A，△2=△EAA′+△EA′A，△△DAA′=△DA′A，△EAA′=△EA′A，△△1+△2=2（△DAA′+△EAA′）=2△BAC=80°，故选A．折叠问题是初中几何中最典型的一种几何变换类型，折叠问题的典型特点是折叠前后的边和角的大小是完全相同的，而本节中只涉及到“折叠前后角的大小相同”这一性质的应用.例3.如图，在△ABC中，△BAC=56°，△ABC=74°，BP、CP分别平分△ABC和△ACB，则△BPC=（）A．102°B．112°C．115°D．118°【答案】D【解析】解：△在△ABC中，△BAC=56°，△ABC=74°，△△ACB=180°﹣△BAC﹣△ABC=50°，△BP、CP分别平分△ABC和△ACB，△△PBC=37°，△PCB=25°，△△BCP中，△P=180°﹣△PBC﹣△PCB=118°，故选：D．练习1.在△ABC中，△B，△C的平分线相交于点P，设△A=x°，用x的代数式表示△BPC的度数，正确的是（）A．B．C．90+2x D．90+x【答案】A【解析】解：△△A=x°，△△ABC+△ACB=180°﹣x°，△△B，△C的平分线相交于点P，△△PBC+△PCB=（180°﹣x°），△△BPC=180°﹣（180°﹣x°）=90°+x°，故选A．练习2.如图，在△ABC中，△A=40°，△B=60°，CD△AB于点D，CE平分△ACD，DF△CE 于点F，则△CDF的度数为（）A．70°B．80°C．85°D．78°【答案】B【解析】解：△△A=40°，△B=60°，△△ACB=180°﹣△A﹣△B=80°，△CE平分△ACB，△△ACE=△ACB=40°，△CD△AB于D，△△CDA=90°，△ACD=180°﹣△A﹣△CDA=50°，△△ECD=△ACD﹣△ACE=10°，△DF△CE，△△CFD=90°，△△CDF=180°﹣△CFD﹣△DCE=80°．故选B．练习3.如图，△ABC=△ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角△EAC、内角△ABC、外角△ACF．以下结论：△AD△BC；△△ACB=2△ADB；△△ADC=90°﹣△ABD；△△BDC=△BAC．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：△△AD平分△ABC的外角△EAC，△△EAD=△DAC，△△EAC=△ACB+△ABC，且△ABC=△ACB，△△EAD=△ABC，△AD△BC，故△正确．△由（1）可知AD△BC，△△ADB=△DBC，△BD平分△ABC，△△ABD=△DBC，△△ABC=2△ADB，△△ABC=△ACB，△△ACB=2△ADB，故△正确．△在△ADC中，△ADC+△CAD+△ACD=180°，△CD平分△ABC的外角△ACF，△△ACD=△DCF，△AD△BC，△△ADC=△DCF，△ADB=△DBC，△CAD=△ACB，△△ACD=△ADC，△CAD=△ACB=△ABC=2△ABD，△△ADC+△CAD+△ACD=△ADC+2△ABD+△ADC=2△ADC+2△ABD=180°，△△ADC+△ABD=90°，△△ADC=90°﹣△ABD，故△正确；△△△BAC+△ABC=△ACF，△△BAC+△ABC=△ACF，△△BDC+△DBC=△ACF，△△BAC+△ABC=△BDC+△DBC，△△DBC=△ABC，△△BAC=△BDC，即△BDC=△BAC．故△错误．故选C．三角形中角的度数的计算是本节中的一个重要题型，其中涉及到角的大小的计算问题常会用到的知识有：角平分线的性质、两直线平行的性质、三角形内角和、三角形的外角的性质、三角形的外角和、互余与互补、对顶角的性质等与角的大小相关的性质及定理.较难的题型会涉及到多个知识的结合考查，需要在平时的练习中逐步建立几何分析能力.例4.如图，在△ABC中，△A=m°，△ABC和△ACD的平分线交于点A1，得△A1；△A1BC 和△A1CD的平分线交于点A2，得△A2；…△A2016BC和△A20l6CD的平分线交于点A2017，则△A2017=°．【答案】【解析】解：△A1B平分△ABC，A1C平分△ACD，△△A1BC=△ABC，△A1CA=△ACD，△△A1CD=△A1+△A1BC，即△ACD=△A1+△ABC，△△A1=（△ACD﹣△ABC），△△A+△ABC=△ACD，△△A=△ACD﹣△ABC，△△A1=△A，△A2=△A1=△A，…，以此类推可知△A2017=△A=（）°，故答案为：．练习1.（1）如图1，在△ABC中，点O是△ABC和△ACB平分线的交点，若△A=α，则△BOC=90°+；如图2，△CBO=△ABC，△BCO=△ACB，△A=α，则△BOC=（用α表示）（2）如图3，△CBO=△DBC，△BCO=△ECB，△A=α，请猜想△BOC=（用α表示）．【答案】120°+α 120°﹣α【解析】解：（1）如图2，在△OBC中，△BOC=180°﹣（△OBC+△OCB）=180°﹣（△ABC+△ACB）=180°﹣（180°﹣△A）=120°+△A=120°+α；（2）如图△，在△OBC中，△BOC=180°﹣（△OBC+△OCB）=180°﹣（△DBC+△ECB）=180°﹣（△A+△ACB+△A+ABC）=180°﹣（△A+180°）=120°﹣α；故答案为：120°+α；120°﹣α．练习2.如图，在△ABC中，△A=64°，△ABC与△ACD的平分线交于点A1，则△A1=；△A1BC与△A1CD的平分线相交于点A2，得△A2；…；△A n﹣1BC与△A n﹣1CD的平分线相交于点A n，要使△A n的度数为整数，则n的值最大为．【答案】32°6【解析】解：由三角形的外角性质得，△ACD=△A+△ABC，△A1CD=△A1+△A1BC，△△ABC的平分线与△ACD的平分线交于点A1，△△A1BC=△ABC，△A1CD=△ACD，△△A1+△A1BC=（△A+△ABC）=△A+△A1BC，△△A1=△A=64°=32°；△A1B、A1C分别平分△ABC和△ACD，△△ACD=2△A1CD，△ABC=2△A1BC，而△A1CD=△A1+△A1BC，△ACD=△ABC+△A，△△A=2△A1，△△A1=△A，同理可得△A1=2△A2，△△A2=△A，△△A=2n△A n，△△A n=（）n△A=，△△A n的度数为整数，△n=6．故答案为：32°，6．几何找规律问题，除了要从代数的角度理解数列的变化规律、找到通项公式，还需要能够从几何的角度发现几何图形的变化特点，找到几何变化规律，所以几何规律问题是初中找规律问题的重点，也是难点问题.本节主要的考查重点是与三角形相关的角度计算，其中倒角的常用方法是重中之重，倒角的技巧贯穿在整个初中的几何证明及计算中，是非常重要的几何知识.。