初中数学总复习《几何基本图形1—三角形》讲义

教师辅导讲义学员姓名：辅导课目：数学年级：九年级学科教师：汪老师授课日期及时段课题初中数学总复习——几何基本图形——三角形、四边形基本学习目标教学内容初中数学总复习——几何基本图形——三角形、四边形基本【一、相交线和平行线：】1、(2012年四川内江)如图1，a∥b，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3＝( )A．100° B．105° C．110° D．115°图1 图22、(2012年湖北襄阳)如图2，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2的度数为( )A．20° B．25° C．30° D．35°3、如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.(1) 求∠MON的度数；(2) 如果(1)中，∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；(3) 如果(1)中，∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数；(4) 从(1)，(2)，(3)的结果中，你能看出什么规律？4、如图①，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上．(1) 写出图①中面积相等的各对三角形：________________________________；(2) 如图①，A，B，C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有______与△ABC的面积相等；(3) 如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC(或其延长线)于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积．【二、三角形与全等三角形：】1、(2012年黑龙江绥化)如图1所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥ a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为________(提示：∠EAD＋∠FAB＝90°)．图1 图2 图32、(2012年黑龙江)如图2，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( )A．15° B．20° C．25° D．30°3、(2011年湖南衡阳)如图3，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．4、(2012年山东滨州)如图(1)，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C 作CE⊥l2于点E，交l3于点G.(1) 求证：△ADF≌△CBE； (2) 求正方形ABCD的面积；(3) 如图X4－2－13(2)，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S.【三、特殊三角形：】1、(2012年贵州黔东南州)如图1，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M的坐标为( )A ．(2,0)B ．(5－1,0)C ．(10－1,0)D ．(5，0)图1 图2 2、(2012年贵州黔西南州)如图2，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC ＝2， CE ＝4，则四边形ACEB 的周长为 ．3、(2012年浙江绍兴)小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．AB 斜靠在竖直墙壁AC 上，这时B 到墙脚C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯脚将从点B 往外移动多少米？(1) 请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设梯脚将从点B 往外移动x 米到达点B 1，即BB 1＝x ，则B 1C ＝x ＋0.7， A 1C ＝AC －AA 1＝－0.4＝2.而A 1B 1＝2.5，在Rt △A 1B 1C 中，由B 1C 2＋A 1C 2＝A 1B 21，得方程________，解方程，得x 1＝________，x 2＝________，∴ 点B 将向外移动________米．(2) 解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“”改为“”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．4、（2011四川乐山）如图，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连结A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1 B 2= B 1 A 2，连结A 2 B 2…按此规律上去，记∠A 2 B 1 B 2=1θ，∠3232A B B θ=，…，∠n+11A n n n B B θ+=则 ⑴ 1θ= ； ⑵ n θ= 。

初二三角形讲义三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，从初二开始，我们将对三角形进行深入的学习和研究。

这不仅是为了应对考试，更是为了培养我们的逻辑思维和空间想象能力。

一、三角形的定义和基本元素三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。

这三条线段叫做三角形的边，它们的交点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角。

三角形有三个顶点、三条边和三个角。

在表示三角形时，我们通常用三个大写字母来表示顶点，如△ABC。

二、三角形的分类1、按角分类（1）锐角三角形：三个角都小于 90 度的三角形。

（2）直角三角形：有一个角等于 90 度的三角形。

（3）钝角三角形：有一个角大于 90 度小于 180 度的三角形。

2、按边分类（1）不等边三角形：三条边都不相等的三角形。

（2）等腰三角形：有两条边相等的三角形。

其中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

（3）等边三角形：三条边都相等的三角形，也叫正三角形。

三、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。

例如，有三条线段 a、b、c，如果 a ＋ b ＞ c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a 同时成立，那么这三条线段可以组成三角形；反之，如果存在 a ＋b ≤ c，a ＋c ≤ b 或者 b ＋c ≤ a 中的任何一种情况，那么这三条线段就不能组成三角形。

同时，我们还可以利用三边关系来确定第三边的取值范围。

如果已知三角形的两条边分别为 a 和 b，那么第三边 c 的取值范围是｜a b| ＜c ＜ a ＋ b 。

四、三角形的内角和三角形的内角和是 180 度。

这是一个非常重要且常用的定理。

我们可以通过多种方法来证明这个定理，比如将三角形的三个角剪下来拼在一起，会发现正好组成一个平角，也就是 180 度。

利用内角和定理，我们可以求出三角形中未知角的度数。

教师辅导讲义四、等腰三角形的性质与判定：1、等腰三角形的两底角__________；2、等腰三角形底边上的______、底边上的________和顶角的_______互相重合（三线合一）；3、有两个角相等的三角形是_________． 五、等边三角形的性质与判定：1、等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；2、三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的 三角形 是等边三角形． 六、直角三角形的性质与判定： 1、直角三角形两锐角________．2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的 ；4、勾股定理：_________________________________________．5、勾股定理的逆定理：_________________________________________________．【相关中考试题：】1、如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是（ ） A ．15cm B ．16cm C ．17cm D ．16cm 或17cm2、如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点， DE DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（ ） A ．1013 B ．1513 C ．6013 D ．75133、如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：① tan ∠AEC=CDBC ;② S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③ BM ⊥DM; ④ BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个4、如图3，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，AC =8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是 ．MEDCBA图3A'CBADE5、如图5，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）A．21B．2 C．3 D．46、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE ＝米时,有DC2＝AE2＋BC2.7、已知等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80º，则∠EGC的度数为8、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE.下列结论中：一定正确的结论有①CE =BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE =EF·CG ；9、如图7-67所示,有一底角为35°的等腰三角形纸片,现过底边上一点,沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形和四边形两部分,则四边形中的最大角的度数是 .10、如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．第5题图11、如图，已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以 Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推直到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__ ____．12、如图，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连结A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1 B 2= B 1 A 2，连结A 2 B 2…按此规律上去，记∠A 2 B 1 B 2=1θ，∠3232A B B θ=，…， ∠n+11A n n n B B θ+=则 ⑴ 1θ= ； ⑵ n θ= 。

中考总复习：几何初步及三角形一知识讲解〔根底〕【考纲要求】1 .了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法,掌握三者之间的区别和联系,会解决与线段有关的实际问题；2 . 了解角的概念和表示方法,会把角进行分类以及进行角的度量和计算;3 .掌握相交线、平行线的定义,理解所形成的各种角的特点、性质和判定;4 . 了解命题的定义、结构、表达形式和分类,会简单的证实有关命题；5 .了解三角形有关概念〔内角、外角、中线、高、角平分线〕和,会画出任意三角形的角平分线、中线高,了解三角形的稳定性.【知识网络】L射线的蒜1Himi_ a t I射线的一法舟的掇急码表示方法T用的质,利瓯——卜角的分类］七您的续|~曲由懑住第J~4氮平分线1____ ___ K互为余输］T相关的南卜一…, .---- H互为补丁I——1部补希【考点梳理】考点一、直线、射线和线段1) 直线代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线,直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义,便于理解直线的意义).要点诠释：1).直线的两种表示方法：(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线,如直线AB,其中A、B是表示直线上两点的字母；(2)用一个小写字母表示直线,如直线a.2) .直线和点的两种位置关系(1)点在直线上(或说直线经过某点)；(2)点在直线外(或说直线不经过某点).3) .直线的性质：过两点有且只有一条直线 (即两点确定一条直线).2 .射线直线上一点和它一旁的局部叫做射线.射线只向一方无限延伸. 要点诠释：(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线,如射线OA其中.是端点,A 是射线上一点；(2)用一个小写字母表示射线,如射线a.3 .线段直线上两点和它们之间的局部叫做线段,两个点叫做线段的端点^要点诠释：1).线段的表示方法：(1)用表示两个端点的大写字母表示,如线段AB, A、B是表示端点的字母；(2)用一个小写字母表示,如线段a.2) .线段的性质：所有连接两点的线中,线段最短(即两点之间,线段最短).3) .线段的中点：线段上一点把线段分成相等的两条线段,这个点叫做线段的中点^4) .两点的距离：连接两点间的线段的长度,叫做两点的距离.考点二、角5) .角的概念：(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,两条射线分别叫做角的边.(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面局部是角的内部,射线的端点是角的顶点,射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.要点诠释：1).角的表示方法：(1)用三个大写字母来表示,注意将顶点字母写在中间,如/ AOB(2)用一个大写字母来表示,注意顶点处只有一个角用此法,如/ A;(3)用一个数字或希腊字母来表示,如/ 1, / 口.6) .角的分类：(1)按大小分类：锐角一小于直角的角(0 ° V B V 900 )；直角----平角的一半或90°的角严=90° );钝角----大于直角而小于平角的角(90 °〈方＜180° );(2)平角：一条射线绕着端点旋转,当终止位置与起始位置成一条直线时,所成的角叫做平角,平角等于180° .(3)周角：一条射线绕着端点旋转,当终止位置又回到起始位置时,所成的角叫做周角,周角等于360° .(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90 ° ),那么这两个角叫做互为余角.(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180 ° ),那么这两个角叫做互为补角.7) .角的度量：(1)度量单位：度、分、秒；(2)角度单位间的换算：1° =60' , 1' =60〃(即：1度=60分,1分=60秒)；(3)1 平角=180° , 1 周角=360° , 1 直角=90° .8) .角的性质：同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.9) 角的平分线：如果一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫做这个角的平分线^考点三、相交线1 .对顶角(1)定义：如果两个角有一个公共顶点, 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角.(2)性质：对顶角相等.2 .邻补角(1)定义：有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角^(2)性质：邻补角互补.3 .垂线(1)定义：当两条直线相交所得的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线是互相垂直的,它们的交点叫做垂足.垂直用符号“,〞来表示.要点诠释：①过一点有且只有一条直线与直线垂直.②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成：垂线段最短.(2)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离^4 .同位角、内错角、同旁内角(1)根本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截,构成八个角,简称三线八角,如图所示：/1和/8、/2和/7、/3和/6、/ 4和/5是同位角；/ 1和/6、/ 2和/5是内错角；/ 1和/ 5、/ 2和/ 6是同旁内角.(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上,另一条边分别在两条直线 (被截线)上.考点四、平行线1 .平行线定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“ // 〞来表示,.如直线a与b平行,记作a // b.在几何证实中,“ // 〞的左、右两边也可能是射线或线段.2 .平行公理及推论：(1)经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行^(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 如果 b// a, c//a,那么 b // c.3 .性质:(1)平行线永远不相交；(2)两直线平行,同位角相等； (3)两直线平行,内错角相等； (4)两直线平行,同旁内角互补；(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线,那么另一条也垂直于这条直线,可用符号表示为: 假设 b" c, b±a,贝U c±a.4 .判定方法：(1)定义；(2)平行公理的的推论；(3)同位角相等,两直线平行； (4)内错角相等,两直线平行； (5)同旁内角互补,两直线平行；(6)垂直于同一条直线的两条直线平行 . 考点五、命题、定理、证实 1 .命题：(1)定义：判断一件事情的语句叫命题 . (2)命题的结构：题设+结论=命题；(3)命题的表达形式：如果……那么……；假设……那么……； (4)命题的分类：真命题和假命题；(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论,原命题的结论是逆命题的题设 ^ 2 .公理、定理：(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理 (2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理 . 3 .证实：用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证实 ^ 考点六、三角形的概念及其性质 1 .三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 ^ 2 .三角形的分类(1)按边分类：「不等边三角形(2)按角分类：全I 二洋铲J 锐角三角形 三角形斜三角叫钝角三角形 ,豆角三角形3 .三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于 180° .(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻白^内角.4 .三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边 ^ 5 .三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边；在同一三角形中,等边对等角,等角对等边.即:三角形, 等媵三角形一底与腰不等的等腰三角形等边三角形6 .三角形具有稳定性.7 .三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.要点诠释：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线^中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半^【典型例题】类型一、直线、射线及线段C1.数轴上有两点A B分别表示实数a、b,那么线段AB的长度是〔〕A.a-bB.a+bC. a-bD. a+b【思路点拨】根据数轴上两点之间的距离公式即可解决问题.【答案】C.【解析】本类题目注意线段长度是非负数,假设有字母注意使用绝对值.根据题意,画图.—------------o b数轴上两点间的距离公式为：I a-b 或I b-a .【总结升华】解决本例类型的题目应结合图形,即数形结合,这样做起来简捷^C2.有一段火车路线,含这段铁路的首尾两站在内共有5个车站〔如图〕,图中共有几条线段？在这段线路上往返行车,需印制几种车票〔每种车票要印出上车站与下车站〕?I ________ I____ I ______ I ______ IA B C DE【思路点拨】先求得单程的车票数,再求出往返的车票数即可.【答案与解析】线段有10条；车票需要2X10=20种.【总结升华】在直线上确定线段的条数公式为：一 .〔：一〔〕二［0］〔其中n为直线上点的个数〕.在求从一个顶点引出的n条射线所形成的小于平角的角的个数也可用此公式^举一反三：【变式】如图,点A B、C在直线上上,那么图中共有条线段.【答案】3.类型二、角3.如图,/ COEh BODW AOC=90 ,那么图中互余的角有对,互补的角有X^.【思路点拨】先要确定等角,再根据角的性质进行判断【答案与解析】互余的角有：/ CO于口 / DOE / CO于口 / BOC / AOB^ / DOE / AO阴口 / BOC 共 4 对；互补的角有：/ EODO / AOD / BOC^ / AOD / AOB^ / BOE / COD^ / BOE / AOC^/ COE / AOO / BOD / CO讶口 / BOD 共7 X.【总结升华】在此题目中,当图中的角比拟多时,就将图形的角进行归类,找出每种相等的角,根据同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等的性质解决问题,注意要不重不漏^举一反三：【变式】【高清课堂：几何初步及三角形专题一2】如图.ftn-illAB与量珀器的零刻健雄8平行.假设什的器的一条刻度线3’的途数为70V OF与AB交千点E .那么4加"=度.【答案】70° .类型三、相交线与平行线C^4. 〔2021春?南京校级月考〕如图,AB// CD那么/“、/3、/丫之间的等量关系为【思路点拨】通过观察图形,可作出一条辅助线即平行线,从而把问题化难为易【答案】/ + +/ 3 - / 丫=180.【解析】解：如图,过点E作EF // AB ,Z 1 + Z 尸/ 3,••• AB // CD,EF // CD,/ 1 + / a=180°,- Z a- Z 产180° - / 3,Z o+Z 3- Z 尸180°.故答案为：/ a+/ /产180°.E【总结升华】此题考点：平行线的性质. 举一反三：【变式】〔1〕两平行直线被第三条直线所截,同位角的平分线〔〕A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交【答案】B.类型四、三角形5. 〔2021?怀化模拟〕三角形三边长分别是 6, 2a- 2, 8,那么a 的取值范围是〔 〕A. 1<a<2B. -i<a< 2C. 2<a<8 D, 1<a<42【思路点拨】 此题考查了三角形的三边关系.此类求三角形第三边的范围的题,实际上就是根据三角形 三边关系定理列出不等式,然后解不等式即可. 【答案】C.【解析】 解：由于在三角形中任意两边之和大于第三边,• .2a - 2V6+8,即 a<8, 任意两边之差小于第三边, • .2a - 2>8- 6,即 a>2, ,-2< a< 8, 应选：C.【总结升华】 涉及到三角形三边关系时,尽可能简化运算,注意运算的准确性 ^举一反三：【变式】a, b, c 为△ ABC 的三条边,化简 插二TZTp+lb —口一.得. 【答案】. a, b, c 为△ ABC 的三条边 . .a-b-c < 0, b-a-c <0.〔一--广〕,：-=〔b+c-a 〕+〔a+c-b 〕=2c.6.以下命题：〔1〕等边三角形也是等腰三角形；〔2〕三角形的外角等于两个内角的和； 〔3〕三角形中最大的内角不能小于 60° ; 〔4〕锐角三角形中,任意两内角之和必大于90° ,其中错误的个数是〔〕A.0个 【思路点拨】 180.进行分析解答. 【答案】B.【解析】〔2〕中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；三角形中最大的内角假设小于 60.,那么三个角的和就小于 180° ,不符合三角形内角和定理,故 〔3〕正确；〔4〕三角形中,任意两内角之和假设不 大于90.,那么另一个内角就大于或等于90.,就不能是锐角三角形.所以只有〔2〕错,应选B.【总结升华】 此题的解题关键是要理解定义,掌握每种三角形中角的度数确实定^B.1个C.2个D.3个认真阅读各小题提供的条件,依据三角形的分类方法,然后根据三角形内角和为举一反三：【变式】【高清课堂：几何初步及三角专题二3 ]如图,A4HC是等功三角膨•点&C. 0、在同一直线匕且8-CD,DF=那么 "度. 【答案】15。

三角形复习讲义(补课用)一、三角形相关概念1 .三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形。

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接.2 .三角形的表示：通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△，其中线段、、是三角形的三条边，/ A、/ B、/ C分别表示三角形的三个内角。

3 .三角形中的三种重要线段：三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段.(1)三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.①三角形的角平分线是一条线段，可以度量。

而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线.②三角形有三条角平分线且相交于一点。

这一点一定在三角形的内部.③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画。

(2)三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.注意:①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点.②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可.(3 )三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.①三角形的三条高是线段②锐角三角形三条高线的交点在三角形内部，直角三角形的三条高线的交点在直角顶点上，钝角三角形三条高线的交点在三角形外部。

③画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高.(二)三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边。

故同时满足△三边长a、b、c的不等式有：>c, >a, >b.②三角形两边之差小于第三边。

故同时满足△三边长a、b、c的不等式有：a>, b>, c>.注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可(三)三角形的稳定性:三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性. 例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理.三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种: （四）三角形的内角：结论1 :三角形的内角和为180°.表示：在△中，/// 180°（1）构造平角①可过A点作// （如图）②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2:在直角三角形中，两个锐角互余.表示：如图，在直角三角形中，/ 90 °,那么// 90° （因为ZZZ 180°)注意:①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角女口：在△中，/ 180°-（ZZ B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角.如：△中，已知/ A:/ B:/ 2: 3: 4,求/ A、/ B、 / C的度数.（五）三角形的外角：1 .定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.如图，/为△的一个外角，/也是△的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等.2 .性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角如图中，/// B , / >/ A , / >/ B.③三角形的一个外角与之相邻的内角互补3 .外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等）, 可见一个三角形共有六个外角.（六）多边形1. 多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。

《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.（2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边长不可能为（）A．5cm B．8cm C．10cm D．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案．【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm和10cm，∴第三边长的取值范围是：4＜x＜16，∴它的第三边长不可能为：17cm．故选：D．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______.【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC ，试画出△ABC 各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比 △ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°，（1）求∠BAE 的度数；（2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD是BC边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°．∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°．（2）∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°．∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6.如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。

初中几何全套复习讲义1.三角形的有关概念2.全等三角形3.等腰三角形4.直角三角形、勾股定理、面积5.角平分线、垂直平分线6.平行四边形7.矩形、菱形8.正方形9.梯形10.三角形、梯形的中位线11.锐角三角函数12.解直角三角形13. 三角函数的综合运用14.比例线段15.相似三角形（一）16.相似三角形（二）17.相似形的综合运用（一）18.相似形的综合运用（二）19.圆的有关概念和性质20.垂径定理21.切线的判定与性质22.与圆有关的角23.圆中成比例的线段24.圆与圆（一）25.圆与圆（二）26.正多边形和圆中考数学几何全套复习讲义1.三角形的有关概念知识考点：理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。

关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。

应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。

精典例题：【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a >，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（ ）A 、b L a 33>>B 、a L b a 2)(2>>+C 、a b L b a +>>+262D 、b a L b a 23+>>-分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。

答案：B变式与思考：在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（ ）A 、1＜AB ＜29 B 、4＜AB ＜24C 、5＜AB ＜19D 、9＜AB ＜19评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。

【例2】如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝450，∠ACB ＝610，延长BC 至E ，使CE ＝AC ，延长CB 至D ，使DB ＝AB ，求∠DAE 的度数。

教学过程课前检测1、不改变数的大小，把下面各小数改写成两位小数。

0.3 24.2500100.5 752、将下列小数按从小到大的顺序排列。

0.50.5060.605 0.056 0.065 0.56（）3、把3.33的小数点先向左移动1位，再向右移动2位，得到的数是（）。

4、填入适当的小数或整数。

82厘米=（）米 6.14元=6元（）角（）分9吨145千克 =（）吨 5.02千克=（）千克（）克7平方分米=（）平方米5.6平方分米=（）平方分米（）平方厘米5、把下面各数改写成以“万”作单位的数。

72500= 65200000吨=3200000人=6、把下面各数改写以“亿”作单位的数，再精确到个位。

426000000 24090000000知识纵横知识点一：三角形的特性①三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段②三角形的底：这条对边叫做三角形的底三角形的性质：①物理特性：三角形具有稳定性（不易变形）②边的特性：三角形任意两边的和大于第三边知识点二：三角形的分类按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

按照边长短来分：等边三角形、等腰三角形、三条边都不相等的三角形1、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。

2、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

（其他两个角必定是锐角）3、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

（其他两个角比定是锐角）4、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。

知识点三：三角形的内角和180三角形的内角和等于。

1、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

(等腰三角形的特点：两腰相等，两个底角相等)2、三条边都相等的三角形叫等边三角形(正三角形) (等边△的三边相等，每个角是60度)3、等边三角形是特殊的等腰三角形知识点四：图形的拼组1、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。

01三角形定义02三角形分类由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

按边可分为不等边三角形、等腰三角形；按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

三角形定义及分类三角形内角和定理三角形内角和定理三角形的三个内角之和等于180°。

推论直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

三角形外角性质三角形外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角。

应用利用外角性质求角度；利用外角性质证明两直线平行。

等腰、等边三角形特性等腰三角形特性两腰相等，两底角相等；顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

等边三角形特性三边相等，三个内角都相等且均为60°；任意两边之和大于第三边；任意一边都大于另外两边之差。

SAS全等条件及应用举例SAS全等条件两边和它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。

应用举例在证明两个三角形全等时，如果已知两边及夹角相等，可以直接应用SAS条件进行证明。

03两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

ASA 全等条件两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

AAS 全等条件在证明两个三角形全等时，如果已知两角及夹边或两角及一边相等，可以分别应用ASA 或AAS 条件进行证明。

应用举例ASA 与AAS 全等条件SSS全等条件及证明过程SSS全等条件三边对应相等的两个三角形全等。

证明过程通过构造辅助线或利用已知条件，证明两个三角形的三边分别对应相等，从而得出两个三角形全等的结论。

HL直角三角形全等条件HL全等条件一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。

应用举例在证明两个直角三角形全等时，如果已知斜边和一条直角边相等，可以直接应用HL条件进行证明。

判定方法两角对应相等，则两三角形相似。

初中数学专题复习----三角形【知识梳理】1.三角形的有关概念：（1）三角形的定义：由不在 上的三条线段首尾 相接所组成的图形。

（2）三角形的基本构造：①组成三角形的三条线段叫做三角形的 ； ②两条边相接的点叫做三角形的 ； ③相邻两边组成的角叫做三角形的 。

2.三角形的三边关系：（1）三角形任意两边之和 第三边； （2）三角形任意两边之差 第三边。

3.三角形中角的关系（1）三角形的三个内角之和 ，任何一个外角都等于 内角的和； （2）直角三角形的两个锐角 。

4.三角形的分类：按角分为三类 三角形、 三角形和 三角形。

5.三角形的高、中线、角平分线：（1（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 之间的线段叫做三角形的高。

6.三角形的特性：三角形具有 性。

【易错点归纳】1.一定不要忽略三角形三边关系，这是能构成三角形的最基本条件；在已知两边求第三边的取值范围时，既要用“两边之和大于第三边”，又要用到“两边之差小于第三边”，这类问题往往出现只用两边之和大于第三边求解而导致答案不完整；2.任意三角形的三个内角之和为一定值，与三角形的形状无关；3. 三角形的高、中线、角平分线都是某两点之间的线段，而不是射线或直线。

【例题解析】【考点一】三角形的有关概念及表示方法 【例1】如图：（1）图中共有________个三角形，它们分别是_______________________。

（2）以AE 为边的三角形有______________________________。

（填三角形） （3）∠B 分别是△ABD 、△ABE 、△ABC 中边_______________________的对角。

（4） △ADE 的三条边是_____________，三内角是_____________________。

（5）∠ADC 是△ ______和△_______的一个内角。

【例2】下列语句中，正确的有 。