结构的位移计算和刚度
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结构的位移计算和刚度
结构位移计算
M 1
A
求A截面角位 移的虚拟状态
FP 1C
E
D
A
F
B
求C点水平位移的虚拟状态
M 1
C
M 1
A
求两截面相对角 位移的虚拟状态
1l
C
E
D
M 1
A
B
F 1l
BE=l
求BE杆转角 BE 的虚拟状态
第21页/共64页
结构位移计算
1l
C
M 1
1l
E
D
M 1
A 1l F 1l B
AE=BE=l 求AE、BE两杆相对转角的虚拟状态
0
D
2 2
1
2
B
1 2
解：1. 建立虚设状态；
2. 分别求两种状态各杆轴力；
3. 由公式计算位移：
CV
F N FNPl EA
1 EA
1 2
F 2
l
2
1 EA
2 2
1 2 Fl 1.914 Fl
2 EA
EA
2F 2
2l 2
第33页/共64页
结构位移计算
l
2 2
F
F
A
2
2 2 F
F F
轴向拉伸和压缩
为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆 件的变形程度，将杆件的纵向变形量△l 除以杆的原长l， 得到杆件单位长度的纵向变形。
纵向线应变 横向线应变
l
l d
d
线应变--每单位长度 的变形，无量纲。
FP
a1
a
FP
l l1
第2页/共64页
轴向拉伸和压缩
结构位移和刚度—梁的刚度计算(建筑力学)
二、用积分法求梁的变形
1.挠曲线近似微分方程
y( x)
M (x) EI
2.用积分法求变形 EI (x) M (x)dx C1
三、用叠加法求梁的变形
EIy(x) [ M (x)dx C1]dx C2
叠加法—梁截面的总变形，就等于各个荷载单独作用时产生变形的代数和。
四、梁的刚度计算 ymax [ f ]
梁的刚度计算
主要内容
梁的刚度条件和设计准则 梁的刚度计算 梁的刚度计算工程实例
梁的刚度计算
➢ 如果梁的弯曲变形过大，即使强度满足要求，也不能正常工作。例如：房 屋的楼面板或者梁长时间受较大荷载作用，导致变形过大，会造成抹灰面 出现裂缝，工业厂房的吊车梁变形过大，会影响吊车梁的正常使用等。设 计梁时，除了进行强度计算外，还应考虑进行刚度计算，需要把梁的最大 挠度和最大转角限制在一定的允许范围内。
l
l
课后作业：《建筑力学练习册》 练习二十五
3.6 4 4
3.6kN m
2、按正应力强度设计。查强度准则
3.6kNm
max
M max Wz
M max 0.1d 3
[ ]
得：
d3
M max
3
3.6 106 mm 153.3mm
0.1[ ] 0.110
取d=160mm
梁的刚度计算
3、按梁的刚度准则校核。
查变形表得
ymax
Fl 3 48EI
为:
ymax [ f ]
l
l
式中 ymax 为最大相对挠度，[ f ] 为许用相对挠度，其值可
l
l
根据梁的工作情况及要求查阅有关设计手册。土建工程中的许
用相对挠度值 [ f ] 常限制在
结构位移和刚度—静定结构在荷载作用下位移计算(建筑力学)
0 2 8EI
l ql 4 0 8EI
（↓）
正号表示BV的方向与所设单位力方向一致，即位移是向下的。
（2）求角位移θB
在B截面虚加一个单位力偶
M
＝1
e
(图c)，在虚拟状态中，梁
的弯矩方程为 M 1 (0≤x<l)
静定结构
由虚功原理得
B
l
MMds EI
1 EI
l
1
1
qx2
dx
qx3
0 2
CH
FNFNl EA
12 2 EA
Fa
3.83 Fa EA
（→）
所得结果为正，表示CH的方向与所设单位力方向一致， 即水平向右。
静定结构
课堂任务 试计算图示结构C、D两点间距离的改变。设梁的弯 曲刚度EI为常数。
静定结构
解: 在实际状态(图a)中，链杆的轴力均为零。
静定结构
由于对称性，可只计算半个结构的内力。 考虑左半部分，取 图示的研究对象，求得弯矩方程为 ：
MMds + FNFNl
l EI
EA
➢ 上述各种情况下位移计算公 式，就是结构在不同荷载作 用下的位移计算公式。希望 同学们掌握。
静定结构的位移
静定结构在荷载作 用下的位移计算
主要内容
静定结构在荷载作用下的位移计算实例分析
静定结构
同学们好，上节课给大家介绍了由虚功原理可以得到的
FNFNds MMds FSFSds
l EA
l EI
l GA
➢ 单位荷载法计算结构在荷载作用下的位移公式。当计算结果为正 时，表示实际位移方向与虚拟单位力所指方向相同；当计算结果 为负时，则相反。
➢ 对于组合结构，梁式杆只考虑弯矩的影响，链杆只考虑轴力的影 响，对两种杆件分别计算后相加得到位移计算公式为:
l ql 4 0 8EI
（↓）
正号表示BV的方向与所设单位力方向一致，即位移是向下的。
（2）求角位移θB
在B截面虚加一个单位力偶
M
＝1
e
(图c)，在虚拟状态中，梁
的弯矩方程为 M 1 (0≤x<l)
静定结构
由虚功原理得
B
l
MMds EI
1 EI
l
1
1
qx2
dx
qx3
0 2
CH
FNFNl EA
12 2 EA
Fa
3.83 Fa EA
（→）
所得结果为正，表示CH的方向与所设单位力方向一致， 即水平向右。
静定结构
课堂任务 试计算图示结构C、D两点间距离的改变。设梁的弯 曲刚度EI为常数。
静定结构
解: 在实际状态(图a)中，链杆的轴力均为零。
静定结构
由于对称性，可只计算半个结构的内力。 考虑左半部分，取 图示的研究对象，求得弯矩方程为 ：
MMds + FNFNl
l EI
EA
➢ 上述各种情况下位移计算公 式，就是结构在不同荷载作 用下的位移计算公式。希望 同学们掌握。
静定结构的位移
静定结构在荷载作 用下的位移计算
主要内容
静定结构在荷载作用下的位移计算实例分析
静定结构
同学们好，上节课给大家介绍了由虚功原理可以得到的
FNFNds MMds FSFSds
l EA
l EI
l GA
➢ 单位荷载法计算结构在荷载作用下的位移公式。当计算结果为正 时，表示实际位移方向与虚拟单位力所指方向相同；当计算结果 为负时，则相反。
➢ 对于组合结构，梁式杆只考虑弯矩的影响，链杆只考虑轴力的影 响，对两种杆件分别计算后相加得到位移计算公式为:
结构位移和刚度—图乘法(建筑力学)
向相同，即铅直向下。
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)， 则要 将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直 线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作 用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)， 则要 将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直 线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作 用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2
第六章结构的位移计算和刚度计算
各点的位置产生（相对）移动（线位移），使 杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。 2、位移的分类：6种 绝对位移：点（截面）线位移––分解成水平、 垂直两方向 截面角位移： 杆件角位移： 相对位移：两点（截面）相对线位移––沿连线 方向 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移：
3、引起位移的原因 A、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移） B、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力 非0应变→结构变形 （材料胀缩引起的位移性质同） C、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置 发生变化) 6-2-2单位荷载法
Nl l EA
若将式改写为 及轴向线应变 l 代入，则可得出胡克定律的 l 另一表达式为
l 1 N l E A
，并以轴向应力
N A
E
故胡克定律也可简述为：当杆内应力不超 过材料的比例极限（即正应力与线应变成正比 的最高限应力）时，应力与应变成正比。
例题6-1-1 有一横截面为正方形的阶梯形砖柱， 由上下I、II两段组成。其各段的长度、横截面 尺寸和受力情况如图2-12所示。已知材料的弹 性模量E＝0.03×105MPa，外力P＝50kN。试 P 求砖柱顶面的位移。 解：假设砖柱的基础没有沉陷， A P P Ⅰ 3m 则砖柱顶面A下降的位移等于全 B 柱的缩短。由于柱上、下两段 4m 的截面尺寸和轴力都不相等， Ⅱ C 故应用公式
例题6-1-2 在图所示的结构中，杆AB为钢杆， 横截面为圆形，其直径d＝34mm；杆BC为木 杆，横截面为正方形，其边长a＝170mm。二 杆在点B铰接。已知钢的弹性模量E1＝ 2.1×105MPa，木材顺纹的弹性模量E2＝ 0.1×105MPa。试求当结构在点B作用有荷载P ＝40kN时，点B的水平位移及铅直位移。 解： （1）取出节点B为脱离体，并以N1、N2分别表 示AB及BC二杆的内力。运用平衡方程 P 40 Y 0 由 ，可得 N1 80kN o
结构力学位移计算
结构力学位移计算结构力学是研究结构在外力作用下产生的应变和变形的学科。
位移计算是结构力学中非常重要的内容之一，通过计算结构的位移可以确定结构的稳定性、刚度和形态等信息。
本文将从基本概念、位移计算的方法和实例等方面进行详细介绍。
一、基本概念1.结构位移：结构在受到外力作用后，发生变形产生的位移称为结构位移。
结构位移是结构变形的主要表征，通过位移计算可以得到结构中各个点的位移量。
2.位移与应变关系：根据材料力学的基本原理，结构的位移与结构中各个点的应变密切相关。
通常使用应变平衡方程来建立位移与应变之间的关系。
3.位移计算方法：位移计算主要分为两类方法，即解析解法和数值解法。
解析解法通过解析求解结构的位移方程，得到精确的位移结果。
数值解法通过离散化结构、建立结构的数值模型，并采用数值算法求解位移方程，得到近似的位移结果。
二、位移计算的方法1.解析解法：解析解法常用于简单结构或具有对称性的结构，通过假设结构的位移形式和边界条件，建立结构的位移方程，然后求解解析解。
2.数值解法：数值解法常用于复杂结构或无法采用解析解法求解的情况。
主要包括有限元法、有限差分法和边界元法等。
这些方法通过将结构离散化成若干个单元，建立数值模型，并采用近似的数值算法求解结构的位移方程。
三、位移计算的实例以简支梁的位移计算为例，介绍位移计算的具体过程。
1.简支梁位移计算的基本假设：（1）结构为理想化的一维结构；（2）结构之间没有弯矩和剪力的连梁或折线等连接形式；（3）结构在垂直于横截面方向上没有刚度差异。
2.简支梁的位移计算步骤：（1）根据梁的边界条件和受力情况，建立梁的位移方程；（2）求解梁的位移方程，得到梁在各个截面上的位移表达式；（3）根据边界条件，确定梁的位移常数；（4）结合位移表达式和位移常数，求解梁在各个截面上的位移。
3.简支梁的位移计算具体公式：（1）若梁在x轴方向上的长度为L，截面x处的位移为y(x)，则梁的位移方程可表示为：d²y/dx²=-M(x)/EI，其中M(x)为梁在x处的弯矩，E为梁的弹性模量，I为梁的截面矩。
静定结构的位移计算概述
图10-1
不同的截面具有不同的线位移和 角位移。结构除了在荷载作用下会产 生位移外，温度改变、支座移动、材 料胀缩和制造误差等非荷载因素也会 使结构产生位移。本章主要研究结构 在荷载作用下的位移计算问题。
1. 2 计算结构位移的目的
计算结构位移的目的主要有以下几方面：
1. 校核结构或构件的刚度 刚度是指结构或构件在荷载作用下抵抗变形的能力。为确保结构或构件在使 用过程中不致发生过大变形而影响结构的正常使用，需要校核结构或构件的刚度。
建筑力学
静定结构的位移计算概述
1. 1 结构位移的概念和影响因素
结构在外界因素 ( 荷载、温度变化、支座沉降等 ) 作用下将产生内力和变形。 由于变形，必然导致结构上各点的位置发生移动，同时截面也将发生转动，这些位 置改变量称为结构的位移。
结构的位移一般分为线位移和角位移两 种。图10-1a 所示的刚架在荷载作用下，结构 产生图中虚线表示的弯曲变形，引起刚架的 A 点位置发生了改变，即 A 点移动到 A' 点， 产生线位移为 ΔA ，而线位移 ΔA 通常分解为 水平方向的分位移 ΔH和铅垂方向的分位移 ΔV ， 如图10-1b 所示。与此同时，截面 A 还产生角 位移，如图10-1a 所示。
2. 为超静定结构的内力分析奠定基础 超静定结构的内力计算只通过平衡条件是不能完全确定的，还必须同时考虑 变形条件，即超静定结构要同时满足平衡条件和变形连续条件，而建立变形连续条 件时需要计算结构的位移。
3. 便于结构或构件的制作和施工 结构或构件在制作、施工等过程中需要预先知道该结构或构件可能发生的位 移，以便采取必要的措施 (建筑起拱)，确保结构或构件的正常使用。
建筑力学
由此可见，结构的位移计算在结构分析和实际工程中具有重要的意义。
结构力学 静定结构的位移计算1
结构发生虚位移的状态和结构承受外力的状态是两个独立 的状态。分别称为结构的位移状态和力状态
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A
05 结构位移计算
支座移动
制造误差 等
t
为什么要计算 位移?
4
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求 如：
在工程上， 吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下， 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 (2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
EA GA EI
P 1
二.位移计算公式 1.梁与刚架
ip M PMi ds EI
4.拱
ip [ M PMi N N P i ]ds EI EA
2.桁架
ip N P Ni ds EA N P Nil EA
3.组合结构
ip M PMi N Nl ds P i EI EI
NP
0
a 1
2 2
1
2P
k
Ni
1
P
1
kx
0 k
a
2
0
N P Nil EA
1
0
a
NP
1 [ P 1 a ( 2 P)( 2 ) 2a ] EA Pa () 1 (1 2 2 ) EA
20
Ni
三.单位力状态的确定 所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 广义力在所求广义位移上做功. 例: 1)求A点水平位移 2)求A截面转角 3)求AB两点相对水平位移 4)求AB两截面相对转角
ip
yc
EI
28
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
29
二次抛物线
静定结构的位移计算概述
1. 验算结构的刚度
在结构设计中，除了要考虑结构的强度要求外， 还要计算结构的位移，以保证结构满足刚度要求， 即结构的变形不得超过允许的极限值，确保结构在 使用过程中不致发生过大变形。例如在房屋结构中， 梁的梁的最大挠度不应超过跨度的1/400至1/200， 否则梁下的抹灰层将发生裂痕或脱落。
2. 为计算超静定结构打基础
本章所研究的是线弹性变形体系的位移计算 问题。所谓线弹性变形体系是指位移与荷载成比 例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加， 而且当全部荷载撤出时，由其引起的位移也完全 消失。这种体系的位移也是微小的，而且应力与 应变的关系符合胡克定律。
建筑力学
谢谢观看！
例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如
ΔAH
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图中虚线所示的变形。
F
A
ΔBH
B
F
A
B
AB
A、B两点的水平位移分别为ΔAH和ΔBH，它们之
和为(ΔAB )H =ΔAH+ΔBH，称为A、B两点的水平相对
线位移。A、B两个截面的转角分别为 和A ，它B们 之和为 AB A ，称B为A、B两个截面的相对角
F CV
CH
CV
C
CH
（b）
还可将该线位移分解为沿水平方向和竖直方向 的两个分量，分别称为点C的水平位移和竖向位移， 分别用ΔCH和ΔCV表示，几何关系如图（b）所示，
图中的 为截面C C的转角，称为截面C的角位移，上
述线位移和角位移统称为绝对位移。
此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相
对位移。
例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如 图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动 了一段距离C C， 称为C点的线位移或挠度 ；支座截
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E
D
A
F
B
求C点水平位移的虚拟状态
M 1
C
M 1
A
求两截面相对角 位移的虚拟状态
1l
C
E
D
M 1
A
B
F 1l
BE=l
求BE杆转角 BE 的虚拟状态
结构位移计算
1l
1l
C
E
D
M 1
M 1
A 1l F 1l B
AE=BE=l 求AE、BE两杆相对转角的虚拟状态
2. 虚拟单位力的方向可以可以任意假定，若计算结果 为正，表示实际位移的方向与虚拟力的方向一致；反之， 则实际位移方向与虚拟力的方向相反。
3)求 应 力:
N3
20 103
20N
/ m m2
20MPa
A
1000
第二节 荷载作用下的结构的位 移计算公式
结构的位移
一、杆件结构的位移
变形：结构形状的改变
位移：结构上各点位置的移动量， 杆件横截面的转动量。
线位移 AA A
B
位移
角位移 A
线位移
水平线位移 AH
竖向线位移 AV
3)为求解超静定结构提供位移条件。
虚功
实功：力在自身所产生的位移上所作的功
FP
W
1 2
F
——力(外力或内力）在因其本身引起的位移（对 内力而言则为变形）上所作的功。
实功恒为正。 虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
t C
FP
W Ft
t
——力（外力或内力）在因其它原因产生的位移
上作的功。 如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。
l
l d
d
线应变--每单位长度 的变形，无量纲。
FP
a1
a
FP
l l1
轴向拉伸和压缩
二、泊松比
从上述分析我们已经知道：杆件在轴向拉（压）变形时， 纵向线应变ε与横向线应变ε′总是正、负相反的。
通过实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超过材料 的比例极限时，横向线应变ε′与纵向线应变ε的比值的绝对 值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数。 用μ表示。
或
-
泊松比μ是一个无单位的量。它的值与材料有关，可由 实验测出。
轴向拉伸和压缩
三、胡克定律
当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极限”）时
引进比例常数E
l FNl A
l FNl EA
——胡克定律。
E称为材料的弹性模量，可由实验测出。量纲与应力相同。
从式可推断出：对于长度相同，轴力相同的杆件，分母 EA越大，杆的纵向变形△l就越小，可见EA反映了杆件抵抗 拉（压）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。
B
CDH =CH+DH
上述各种位移统称为“广义位移”。
DH
A
为什么要计算 位移?
结构的位移
二、计算位移的目的
1) 校核结构的刚度
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。
2）施工过程中对结构的位移进行计算和监控；
轴向拉伸和压缩
l FNl ——胡克定律。 EA
若将上式的两边同时除以杆件的原长l，并将代入，于是 得
或 E
E
表明：在弹性范围内，正应力与线应变成正比。比例 系数即为材料的弹性模量E。
轴向拉伸和压缩
例 一矩形截面钢杆，其截面尺寸b×h=3mm×80mm， 材料的E=200GPa。经拉伸试验测得：在纵向100mm的长度 内，杆伸长了0.05mm，在横向60mm的高度内杆的尺寸缩小 了0.0093mm，试求：⑴ 该钢材的泊松比；⑵ 杆件所受的轴 向拉力FP。
第一节 轴向拉压杆的变形计算
轴向拉伸和压缩
一、拉压杆的变形及应变
FP
a1
a
l l1
纵向变形 横向变形
l l1 - l
a a1 - a
FP
长度量纲
轴向拉伸和压缩
为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆 件的变形程度，将杆件的纵向变形量△l 除以杆的原长l， 得到杆件单位长度的纵向变形。
纵向线应变 横向线应变
解：（1）求泊松比。 求杆的纵向线应比ε
l 0.05 5 104
l 100
求杆的横向线应变ε′ ' a 0.0093 1.55 104
a 60
求泊松比μ
' 1.55 104 0.31
5 104
轴向拉伸和压缩
（2）计算杆受到的轴向拉力 由虎克定律σ=ε·E 计算图示杆件在FPห้องสมุดไป่ตู้用下任一横截面 上的正应力
FS FSP ds
M M P ds
l EA
l GA
l EI
结构位移计算
三、设置单位荷载时应注意的问题
1、虚拟单位力FP＝1必须与所求位移相对应
FP 1
A
求A点竖向线位 移的虚拟状态
FP 1 C
FP 1
A
求两点相对线位 移的虚拟状态
结构位移计算
M 1
A
求A截面角位 移的虚拟状态
FP 1C
结构位移计算
位移计算公式的简化
1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：
❖ 1）求内力：
❖ N1=-P ❖ N2=0 ❖ N3=-P
2)求伸 长:
l1
N1l EA
20103 100 210103 1000
9.52103 m m
l2 0
l3
N2l EA
20103 100 210103 1000
9.52103 m m
l l1 l2 l3 9.52103 2 19.04103 m m
结构位移计算
单位荷载法
虚力原理的两个状态
位移状态 ——实际状态 力状态 ——虚拟状态
k
k
位移状态
由给定的荷载、温 度变化及支座移动 等因素引起的
FPk=1 k
力状态
在拟求位移△k的方向 假想（虚拟）设置一 个单位力FPk＝1。
结构位移计算
平面杆件结构位移计算的一般公式:
FN FNP ds
FP
A A
A
A
A
AV
AH A
结构的位移 B
FP
A A
A
还有什么原 因会使结构产
生位移? t
引起结构位移的原因
荷载 温度改变 支座移动 制造误差 等
结构的位移
相对线位移、相对角位移
A、B两截面的角位移
CH
A和B之和称为A、B两截 面的相对角位移。即AB =A+B
C、D两点产生水平线
位移之和称为C、D两点的 水平相对线位移。即
σ=ε·E=5×10-4×200×103=100MPa
又按照应力的计算公式
FN
A
可求得在FP作用下，杆件横截面上的轴力 FN=σ·A=100×3×80=24×103 =24kN
该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即 FN=FP，所以该杆受到的轴向外力FP=24kN。
例题
❖ 横截面面积为1000mm2 的钢杆如图所示。已知 P=20kN，材料的弹性 模量E=210GPa，试求 杆的总伸长及杆下端横 截面上的正应力。