高二第二学期数学练习册答案

高二数学教材练习题答案如下是高二数学教材中一些练习题的答案。

这些答案将帮助您更好地理解和掌握数学知识点，提高您的数学能力。

1. 解方程：求解下列方程(1) 2x + 5 = 17解：将5移到等号右边，得到2x = 17 - 5，化简得2x = 12，再将2移到等号右边，得到x = 12 / 2，最终解为x = 6。

(2) 3x^2 + 4x - 2 = 0解：使用配方法，我们将方程变为(x + m)(x + n) = 0，其中m和n是待求值。

将方程3x^2 + 4x - 2 = 0进行配方可得3(x + 2/3)(x - 1/3) = 0。

由此可得x + 2/3 = 0或者x - 1/3 = 0，解得x = -2/3或者x = 1/3。

2. 空间几何：求解下列问题(1) 已知△ABC中，AB = 5 cm，AC = 8 cm，BC = 7 cm，求角A的大小。

解：根据余弦定理，我们有cosA = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC)。

代入已知数值进行计算，得到cosA = (7^2 + 8^2 - 5^2) / (2 * 7 * 8) = 96 / 112 = 12 / 14 = 6 / 7。

由此可得角A = arccos(6 / 7)。

(2) 平面直角坐标系中，已知点A(3, 2)和点B(-1, -4)，求线段AB的长度。

解：根据两点间距离公式，我们有AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。

代入已知坐标进行计算，得到AB = √((-1 - 3)^2 + (-4 - 2)^2) = √((-4)^2 + (-6)^2) = √(16 + 36) = √52 = 2√13。

3. 概率与统计：求解下列问题(1) 已知一枚硬币抛掷10次，问正面朝上的次数为5的概率是多少？解：根据二项分布的概率公式，我们有P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)，其中n是试验次数，k是事件发生的次数，p是事件发生的概率。

2022-2023学年高中高二下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 如图，点是圆上的一个动点，点是直线上的一个动点，为坐标原点，则向量在向量上的射影的数量的最大值是（ ）A.B.C.D.2.( )A.B.C.D.3. 已知直线和曲线相切，则的取值范围是( )A.B.C.D.4. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 A.P C :+(y −2=1x 22–√)2Q l :x −y =0O OP −→−OQ −→−32+2–√232–√1++++...+=11×312×413×514×61n(n +2)1n(n +3)(1−)121n +2(−−)12321n +11n +2(1−)121n +1y =kx (k >0)f (x)=x −a ln x (a ≠0)a (−∞,0)∪(0,e)(0,e)(0,1)∪(1,e)(−∞,0)∪(1,e){}a n {}b n n A n B n =A n B n 3n +5n +3=(a 5b 5)5213B.C.D. 5. 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则椭圆的标准方程为 （ ）A.B.C.D.6. 已知为直线＝上一点，设点到定点距离为，点到＝的距离为，若＝，这样的点个数为（ ）A.个B.个C.个D.个7. 椭圆与椭圆有 A.相同短轴B.相同长轴C.相同离心率D.以上都不对8. 已知函数在区间的值域为，则＝（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）133351383C x 12=8y x 23–√C +=1x 216y 212+=1x 24y 23+=1x 212y 29+=1x 24y 22P l :2x −3y +40P F(0,1)d 1P y 0d 2−d 1d 21P 0123+=1x 225y 29+=1x 2a2y 29()f(x)=−2sin x +31+13x x 3[−2,2][m,n]m +n −2−11C :+=422l :(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)9. 已知圆，直线．则下列四个命题正确的是A.直线恒过定点B.当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于C.圆与曲线：恰有三条公切线，则D.当时，直线上一个动点向圆引两条切线，，其中，为切点，则直线经过点10. 已知数列 ，均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（ ）A.数列是等比数列B.数列是等比数列C.数列是等差数列D.数列是等差数列11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是( )A.的最小值为B.椭圆的短轴长可能为C.椭圆的离心率的取值范围为D.若，则椭圆的长轴长为12. 函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.，，，，，，则最大卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，数列满足，则________.C :+=4x 2y 2l :(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)( )l (−3,3)m =0C l 1C +−6x −8y +m =0x 2y 2m =16m =13l P C PA PB A B AB (−,−)16949{}a n {}b n {}a n b n {+}a n b n {lg }∣∣∣b n a n ∣∣∣{lg()}a 2n b 2n C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2||=2F 1F 2P (1,1)Q |Q |+|QP|F 12a −1C 2C (0,)−15–√2=PF 1−→−Q F 1−→−C +5–√17−−√f(x)＝ln x x ≠x 1x 2f()=f()=m x 1x 2πe =2.71828⋯0<m <1e f(2)<f(3)<x 1x 2e 2a =e 3b =3ec =e πd =πe s =3πt =π3s f(x)=+sin(x −)1212{}a n =f(0)+f ()+f ()+…+f ()+f(1)a n 1n 2n n −1n =a 201714. 已知双曲线，过点作直线交双曲线于，两点．若恰为弦的中点，则直线的方程为________．15. 在三棱锥中，面，，，＝，则三棱锥外接球表面积为________．16. 已知椭圆，过点作两条斜率互为相反数且不平行于坐标轴的直线，分别与椭圆相交于异于的不同两点，，则直线的斜率为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 求下列函数的导数：；.18. 已知圆与圆相切于点，求以为圆心，且与圆的半径相等的圆的标准方程．19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的两个三等分点．求证：平面；若平面平面，求证：．20. 在数列中，＝＝．（1）证明：数列是等差数列；（2）若＝，求数列的前项和．21. 设抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于，两点．当与轴垂直时，面积为，其中为坐标原点．求抛物线的标准方程；若的斜率存在且为，点，直线与的另一交点为，直线与的另一交点为，设直线的斜率为，证明：为定值．22. 设函数（）.C :−=1y 2x 23P(2,1)l C A B P AB l P −ABC PA ⊥ABC AB ⊥BC AB =BC =2–√PA 2P −ABC C :+=1x 2y 24P (−,1)3–√2C P A B AB (1)y =x ⋅cos x +x −√(2)y =5(2x +1)log 2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2M M C P −ABCD PA ⊥ABCD ABCDEF PD (1)BE //ACF (2)PAC ⊥PCD PC ⊥CD {}a n a 10b n {}b n n S n E :=2px (p >0)y 2F F l E A B l x △AOB 8O (1)E (2)l k 1P (3,0)AP E C BP E D CD k 2k 2k 1（1）讨论函数的极值；4a （2）若函数在区间上的最小值是，求的值.参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】向量的投影【解析】设夹角为，则向量上的投影等于．分析出应为锐角，设，不妨取，转化为求的最小值问题，可以用圆的参数方程或线性规划的方法求解．【解答】解：设夹角为，则向量上的投影等于，若取得最大值则首先为锐角．设，不妨取，则根据向量数量积的运算得出①由于是圆上的一个动点，设②将②代入①得出，而的最大值为，所以故选．2.【答案】C【考点】数列的求和【解析】利用裂项相消法可求得数列的和．【解答】解：∵，∴，OP −→−OQ −→−θ在向量OP −→−OQ −→−|cos θ=OP |−→−−||OQ −→−˙θP(x,y)Q(1,1)x +y ，OP −→−OQ −→−θ在向量OP −→−OQ −→−|cos θOP |−→−−θP(x,y)Q(1,1)|cos θ==OP |−→−−||OQ −→−˙x +y 2–√P C ：+(y −2=1x 22–√)2{x =cos αy =2+sin α2–√|cos θ=(cos α+sin α+2)OP |−→−−2–√22–√cos α+sin α2–√|cos θ≥×3=3OP |−→−−2–√22–√A =(−)1n(n +2)121n 1n +2++++...+11×312×413×514×61n(n +2)=[(1−)+(−)+(−)+(−)+...1213121413151416(−)+11−)11(−)]11.故选.3.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：函数的定义域为，设直线和曲线相切于点，∵，∴切线斜率，又切点在曲线上，∴整理，得解得∵，∴，且，∴的取值范围是 .故选.4.【答案】D【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】因为数列和为等差数列，所以＝，＝，将转化为即可．【解答】+(−)+1n −21n (−)1n −11n +1+(−)]1n 1n +2=(1+−−)12121n +11n +2=(−−)12321n +11n +2C f(x)=x −a ln x(a ≠0)(0,+∞)y =kx >0f(x)=x −a ln x(a ≠0)(,k )(>0)x 0x 0x 0(x)=1−f ′a x k =()=1−f ′x 0a x 0f (x) k =−a ln ，x 0x 0x 0k =1−，a x 0 (k −1)=−a ln ，x 0x 0k −1=−，a x 0{=e ，x 0a =−e (k −1)，k >0a =−e(k −1)<e a ≠0a (−∞,0)∪(0,e)A {}a n {}b n A 99a 5B 99b 5a 5b 5A 9B 9{}{}b解：∵数列和为等差数列，∴，同理可得，，∴．故选.5.【答案】A【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设椭圆的标准方程为，因为它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，所以.又因为，所以 解得，即椭圆的标准方程为．故选.6.【答案】C【考点】两条平行直线间的距离【解析】由题意，设，则＝，分类讨论，即可得出结论．【解答】由题意，设，则＝，，可化为＝，∴方程有两个正根；，可化为＝，方程无解，综上所述，有两解，即点有个，7.【答案】{}a n {}b n =×9=9A 9+a 1a 92a 5=B 99b 5====a 5b 5A 9B 93×9+59+3321283D +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(0,b)=8y x 23–√(0,2)3–√b =23–√e =12=,−12a 2a 214=16a 2+=1x 216y 212A P(x,y)−|y |+(y −1x 2)2−−−−−−−−−−√1P(x,y)−|y |+(y −1x 2)2−−−−−−−−−−√1y ≥09−40y +16y 20y <09−24y +16y 20y P 2D【考点】椭圆的定义和性质【解析】直接讨论，再判断各选项，即可得到答案.【解答】解：椭圆，短轴为，长轴为，离心率为，若，此时椭圆的短轴为，故错误；此时长轴为，故错误；此时离心率为，不恒等于，故错误；故均不正确.故选.8.【答案】D【考点】利用导数研究函数的最值【解析】构造函数，易知函数为奇函数，利用奇函数的性质即可得解．【解答】，令，则，∴函数为奇函数，∴当时，＝，即，则＝，二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C,D【考点】<9a 2+=1x 225y 2961045<9a 2+=1x 2a 2y 292a <6A 6≠10B 9−a 2−−−−−√345C ABC D g(x)=f(x)−12g(x)f(x)−=−−2sin x +3=−2sin x +3=−−2sin x +3121+13x 12x 32−−13x 2(+1)3x x 3−13x 2(+1)3x x 3g(x)=f(x)−=−−2sin x +312−13x 2(+1)3x x 3g(−x)=−−2sin(−x)+3(−x =−+2sin x −3=+2sin x −3=−g(x)−13−x 2(+1)3−x )31−3x 2(1+)3x x 3−13x 2(+1)3x x 3g(x)x ∈[−2,2]g(x +g(x )max )min 0m −+n −=01212m +n 1直线与圆的位置关系命题的真假判断与应用直线与圆相交的性质圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．【解答】解：，直线方程可化为，令，则，，，直线恒过定点，故正确；，当时，直线方程为，圆心到直线的距离.圆半径，，故圆上有四个点到直线的距离等于，故错误；，圆，曲线，即，两圆心的距离，，解得：，故正确；，当时，直线，化简为：.是直线上一动点，设，圆，圆心，半径，以线段为直径的圆方程为：，即：，又圆的方程为，圆与圆的公共弦方程为，公共弦即为，则解得直线经过点，故正确． 故选．10.【答案】A,C,D【考点】等比数列的性质等差数列的性质等比数列的通项公式A m(x +3)+3x +4y −3=0x +3=03x +4y −3=0∴x =−3y =3∴l (−3,3)A B m =0l 3x +4y −3=0C (0,0)l d ==|−3|+3242−−−−−−√35∵r =2∴r −d =2−=>13575C l 1B C ∵C :+=4x 2y 2+−6x −8y +m =0x 2y 2+=25−m (x −3)2(y −4)2t ==5(0−3+(0−4)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√∴5=2+25−m −−−−−−√m =16C D m =13l :16x +4y +36=04x +y +9=0∵P l P (t,−9−4t)C :+=4x 2y 2C (0,0)r =2PC M (x −t)x +(9+4t +y)y =0+(−t)x ++9y +4ty =0x 2y 2∵C +=4x 2y 2∴C M −tx +4ty +9y +4=0l AB (4y −x)t +9y +4=0{4y −x =0,9y +4=0, x =−,169y =−,49∴AB (−,−)16949D ACD【解析】利用等差数列与等比数列的定义通项公式及其对数的运算性质即可判断出正误．【解答】解：设等比数列，的公比分别为，，，∴数列是公比为的等比数列，正确；，数列不一定是等比数列，例如取数列，分别为：，，故错误；，∵为一常数，∴数列是等差数列，故正确；，∵为一常数，∴数列}是等差数列，故正确.故选．11.【答案】A,C,D【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率椭圆的定义【解析】【解答】解：选项，由椭圆的第一定义得，当且仅当，，三点共线，且在与中间时，等号成立，故正确；选项，若，即，因为，所以，则椭圆方程为，所以，点在椭圆外，故错误；选项，因为在椭圆内部，所以，解得，所以，故正确；选项，因为，所以点的坐标为，所以，故正确.{}a n {}b n p qA =pq a n+1b n+1a nb n{}a n b n pq A B {+}a n b n {}a n {}b n =a n 2n =−b n 2n B C lg||−lg||=lg|⋅|=lg||b n+1a n+1b n a n b n+1b n an a n+1q p {lg||}b na nC D lg()−lg()a 2n+1b 2n+1a 2n b 2n =lg((=lg a n+1a n )2b n+1b n )2p 2q 2{lg()}a 2n b 2n D ACD A |Q |+|QP|=2a −|Q |+|QP|F 1F 2≥2a −|P|=2a −1F 2F 2P Q P F 2Q B 2b =2b =1c =1a =2–√+=1x 22y 2+1>112P C P =>1b 2a −1a 2a a >+15–√2e =∈(0,)c a −15–√2D =PF 1−→−Q F 1−→−Q (−3,−1)2a =|Q |+|Q |F 1F 2=+(−3+1+(−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(−3−1+(−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√=+5–√17−−√ACD故选.12.【答案】A,B,D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】作出的大致图象，结合图象可判断选项；由，可得，由此判断选项；若，则，构造函数，可知矛盾，由此可判断选项；这六个数的最大数在与中取，而，由此判断选项．【解答】解：，当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，，作出函数的大致图象如图所示，，由于，即有且仅有两个交点，由图象可知，，故选项正确；，易知，即，即，即，故选项正确；，由图象不妨设，故等价于，又，，故等价为，即，设，，则，∴在上单调递增，故，即矛盾，故选项错误；，由于，由指数函数和幂函数的性质可知，，，，，故这六个数的最大数在与中取，由及的单调性可知，，即，即，故，综上，这六个数中最大数是，故选项正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）ACD f(x)A ln 8<ln 9<ln 22ln 33B <x 1x 2e 2f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()，1<x <e e 2x f()<f()x 1e 2x 1C 3ππ3<π33πD (x)＝(x >0)f ′1−ln xx 2(x)>0f ′0<x <e (x)<0f ′x >e f(x)(0,e)(e,+∞)x →0f(x)→−∞x →+∞f(x)→0f(e)＝1ef(x)A f()=f()=m x 1x 2f(x)=m 0<m <1eB ln 8<ln 93ln 2<2ln 3<ln 22ln 33f(2)<f(3)C 1<<e <x 1x 2<x 1x 2e 2<x 2e 2x 1x 2∈(e,+∞)e 2x 1f()>f()x 2e 2x 1f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()e2x1<x <e (x)＝(x)+()g ′f ′e 2x 2f ′e 2x ＝+1−ln x x 2ln x −1e 2=(1−ln x)(−)>01x 21e 2g(x)(1,e)g(x)<g(e)=0f()<f()x 1e 2x 1D e <3<π>e πe 3>3π3e >ππ3>3πe π3ππ3e <3<πf(x)f(π)<f(3)<ln ππln 33ln <ln π33π<π33πs ABD13.【答案】【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为的图象关于原点对称，的图象由向上平移个单位，向右平移个单位得到，所以的图象关于对称，所以，,,，两式相加可得：,所以,所以.故答案为：.14.【答案】【考点】与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】1009y =sin x f(x)=+sin(x −)1212y =sin x 1212f(x)(,)1212f(x)+f(1−x)=1[f(0)+f(1)]=[f ()+f ()]=⋯1n n −1n =[f(1)+f(0)]=1=f(0)+f ()+…+f ()+f(1)a n 1n n −1n =f(1)+f ()+…+f ()+f(0)a n n −1n 1n2=[f(0)+f(1)]+[f ()+f ()]+…+a n 1n n −1n[f(1)+f(0)]=n +1=a n n +12=1009a 201710092x −3y −1=0:−=12设，，则，，把，代入双曲线，利用点差法求解．【解答】解：设，，∵恰为弦的中点，∴，，把，代入双曲线，得两式相减，得：，∴，∴，∴直线的方程为，整理，得．故答案为：．15.【答案】【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】利用勾股定理逆定理得出为直径三角形，并计算出的外接圆直径，然后利用公式计算出三棱锥的外接球的半径，最后利用球体表面积公式可得出答案．【解答】∵，，∴的外接圆直径为，设该三棱锥的外接球半径为，则，∴，因此，三棱锥的外接球的表面积为．16.【答案】-【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】设直线的方程为，将其与椭圆的方程联立，得关于的一元二次方程，根据根与系数的关系两根之和可求点的横坐标，代入直线方程可得点的纵坐标，根据两直线斜率互为相反数，可得点的坐标．进而由两点连线的斜率公式可得直线的斜率．A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=4x 1x 2+=2y 1y 2A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C :−=1y 2x 23A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2P(2,1)AB +=4x 1x 2+=2y 1y 2A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C:−=1y 2x 23{3−=3，①y 21x 213−=3，②y 22x 223(+)(−)−(+)(−)=0y 1y 2y 1y 2x 1x 2x 1x 26(−)−4(−)=0y 1y 2x 1x 2k ==−y 1y 2−x 1x 223l y −1=(x −2)232x −3y −1=02x −3y −1=08π△ABC △ABC AC 2R =P +A A 2C 2−−−−−−−−−−√P −ABC R AB ⊥BC AB =BC =2–√△ABC AC ==2A +B B 2C 2−−−−−−−−−−√R 2R ==2P +A A 2C 2−−−−−−−−−−√2–√R =2–√P −ABC 4π=4π×(=8πR 22–√)223–√PA y −1=k (x +)3–√2x A A B AB【解答】解：设直线的斜率为，则直线的斜率为．所以直线的方程为，设点，，由得，所以，所以，，，，所以，直线的斜率为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：.设 ，，则.【考点】简单复合函数的导数导数的运算【解析】此题暂无解析【解答】PA k PB −k PA y −1=k (x +)3–√2A (⋅)x A y AB (⋅)x B y B y −1=k (x +)，3–√2+=1，x 2y 24(4+)+(2k +)x ++k −3=0k 2x 23–√k 234k 23–√+=−x A x p 2k +3–√k 24+k2=−−x A 2k +3–√k 24+k 2x p =−+2k +3–√k 24+k23–√2=k (+)+1y A x A 3–√2=−+k +12+k 23–√k 34+k 23–√=−x B 2k −3–√k 24+k 2x p=+2k −3–√k 24+k 23–√2=−k (+)+1y B x B 3–√2=−k +1−2+k 23–√k 34+k 23–√tAB −y B y A−x B x A=−k +1−(−+k +1)−2+k 23√k 34+k 23–√2+k 23√k 34+k 23–√+−(−+)2k−3√k 24+k 23√22k+3√k 24+k23√2=−23–√−23–√(1)y =+=cos x −x ⋅sin x +(x ⋅cos x)′()x −√′12x −12(2)y =52u log 2u =2x +1=5==y ′(u)log 2′(2x +1)′10u ln 210(2x +1)ln 2=+=cos x −x ⋅sin x +11解：.设 ，，则.18.【答案】解：圆，可化为∵圆与圆相切，∴或∴或∴圆：或：设，由题知，或，故或故所求圆的方程为或．【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的标准方程【解析】利用圆与圆相切，求出，设，由题知，或，求出的坐标，即可求以为圆心，且与圆的半径相等的圆的标准方程．【解答】解：圆，可化为∵圆与圆相切，∴或∴或∴圆：或：设，由题知，或，故或故所求圆的方程为或．19.【答案】证明：连接，交于，∴是的中点（平行四边形对角线互相平分），∵是的中点（由三等分点得到），∴是的中位线，∴，∵面，面，∴平面．过作于，∵平面平面，∴平面，∵平面，∴，(1)y =+=cos x −x ⋅sin x +(x ⋅cos x)′()x −√′12x−12(2)y =52u log 2u =2x +1=5==y ′(u)log 2′(2x +1)′10u ln 210(2x +1)ln 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2(x −3+(y −4=25−m )2)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2|OC |=1+=525−m −−−−−−√|OC |=−1=525−m −−−−−−√m =9m =−11C (x −3+(y −4=16)2)2C (x −3+(y −4=36)2)2M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M(,)3545M(−,−)3545(x −+(y −=1635)245)2(x ++(y +=3635)245)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2m M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M M C C :+−6x −8y +m =0x 2y 2(x −3+(y −4=25−m )2)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2|OC |=1+=525−m −−−−−−√|OC |=−1=525−m −−−−−−√m =9m =−11C (x −3+(y −4=16)2)2C (x −3+(y −4=36)2)2M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M(,)3545M(−,−)3545(x −+(y −=1635)245)2(x ++(y +=3635)245)2(1)BD AC O O BD F DE OF △DEB BE //OF OF ⊂ACF BE ⊂ACF BE //ACF (2)A AH ⊥PC H PAC ⊥PCD AH ⊥PCD CD ⊂PCD AH ⊥CD PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD∵平面，平面，∴．又∵，∴平面，∵平面，∴．【考点】平面与平面垂直的性质直线与平面平行的判定【解析】（1）连结，相交于，证明，即可证明平面；（2）过作于，利用面面垂直的性质证明平面，从而证明，然后利用线面垂直的性质证明．【解答】证明：连接，交于，∴是的中点（平行四边形对角线互相平分），∵是的中点（由三等分点得到），∴是的中位线，∴，∵面，面，∴平面．过作于，∵平面平面，∴平面，∵平面，∴，∵平面，平面，∴．又∵，∴平面，∵平面，∴．20.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA ⊥CD PA ∩AH =A CD ⊥PAC PC ⊂PAC PC ⊥CD BD AC O BE //OF BE //ACF A AH ⊥PC H AH ⊥PCD AH ⊥CD PC ⊥CD (1)BD AC O O BD F DE OF △DEB BE //OF OF ⊂ACF BE ⊂ACF BE //ACF (2)A AH ⊥PC H PAC ⊥PCD AH ⊥PCD CD ⊂PCD AH ⊥CD PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA ⊥CD PA ∩AH =A CD ⊥PAC PC ⊂PAC PC ⊥CD【答案】证明：＝＝，可得-＝，，则数列是首项为；由（1）可得＝＝，即有＝，＝＝＝（-），则前项和＝（-+-+…+-）＝（-）＝．【考点】等差数列的性质数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】解：由题意不妨设，，∴，∵，解得（负值舍去），∴．证明：设，，，，则直线的斜率为，直线的方程为，则．又点在直线上，∴，同理，直线的方程为，∵点在直线上，∴，同理，直线的方程为，又点在直线上，∴．∵，，a 10342+4(n −1)3n −2a nb n n S n (1)A(,p)p 2B(,−p)p2AB =2p ⋅2p ⋅=812p 2p =4=8x y 2(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C(,)x 3y 3D(,)x 4y 4l ===k 1−y 1y 2−x 1x 2−y 1y 2(−)18y 21y 228+y 1y 2AB y −=(x −)y 18+y 1y 2x 1(+)y −=8x y 1y 2y 1y 2F (2,0)−=16y 1y 2BD (+)y −=8x y 2y 4y 2y 4P (3,0)BD −=24y 2y 4AC (+)y −=8x y 1y 3y 1y 3P (3,0)AC −=24y 1y 3=k 18+y 1y 2=k 28+y 3y 4=k++==−162∴．【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意不妨设，，∴，∵，解得（负值舍去），∴．证明：设，，，，则直线的斜率为，直线的方程为，则．又点在直线上，∴，同理，直线的方程为，∵点在直线上，∴，同理，直线的方程为，又点在直线上，∴．∵，，∴．22.【答案】（1）当时，函数在上无极值；当时，的极小值为，无极大值．（2）【考点】利用导数研究函数的极值已知函数极最值求参数问题【解析】（1）求得函数的导数，分类讨论即可求解函数的单调区间，得到答案（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，此时最小值不满足题意；当时，由（1）得是函数在上的极小值点，分类讨论，即可求解．【解答】==k 2k 1+y 1y 2+y 3y 4+y 1y 2+−24y 1−24y2===y 1y 2−24−16−2423(1)A(,p)p 2B(,−p)p2AB =2p ⋅2p ⋅=812p 2p =4=8x y 2(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C(,)x 3y 3D(,)x 4y 4l ===k 1−y 1y 2−x 1x 2−y 1y 2(−)18y 21y 228+y 1y 2AB y −=(x −)y 18+y 1y 2x 1(+)y −=8x y 1y 2y 1y 2F (2,0)−=16y 1y 2BD (+)y −=8x y 2y 4y 2y 4P (3,0)BD −=24y 2y 4AC (+)y −=8x y 1y 3y 1y 3P (3,0)AC −=24y 1y 3=k 18+y 1y 2=k 28+y 3y 4==k 2k 1+y 1y 2+y 3y 4+y 1y 2+−24y 1−24y 2===y 1y 2−24−16−2423a ≤0f (x)R a >0f (x)a −a ln a +3g −1(x)=−a f ′e x a ≤0f (x)R a >0x =ln a f (x)R (x)=−af ′x（1）当时，在上单调递增；无极值当时，，解得由，解得函数在上单调递减，函数在上单调递增，的极小值为，无极大值综上所述：当时，函数在上无极值；当时，的极小值为，无极大值．（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，．函数在上的最小值为，即，矛盾．当时，由（1）得是函数在上的极小值点．①当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件．②当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为即，矛盾．③当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即令，则在上单调递减，而，∴在上没有零点，即当时，方程无解．综上，实数的值为(x)=−af ′e x a ≤0(x)>0f (x)f ′R a >0(x)>0f ′x >ln a (x)<0f ′x <ln af (x)(−∞,ln a)f (x)(ln a,+∞)f (x)f (ln a)=a −a ln a +3a ≤0f (x)R a >0f (x)a −a ln a +3a ≤0f (x)R f (x)[1,2]f (1)=e −a +3=4a =e −1>0a >0x =ln a f (x)R ln a ≤10<a ≤e f (x)[1,2]f (x)f (1)=e −a +3=4a =e −1ln a ≥2a ≥e 2f (x)[1,2]f (x)f (2)=−2a +3=4e 2a =∴−1e 22e 21<ln a <2e <a <e 2f (x)[1,ln a]f (x)[ln a,2]f (x)f (ln a)=−a ln a +3=4e |a a −a ln a −1=0h (a)=a −a ln a −1(e <a <)e 2(a)=−ln a <0h ′h (a)(e,)e 2h (e)=−1h (a)(e,)e 2e <a <e 2a −a ln a −1=0ag −1。

人教A版高中数学必修第二册7.1.2　复数的几何意义基础过关练题组一　复数与复平面内点的对应关系1.(2024四川平昌中学月考)已知复数z=i2-i,则在复平面内z对应的点Z位于( )A.第一象限B.第二象限C.2.A.C.限A.C.5.((A.B.C.数7.(教材习题改编)已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第三象限?(2)在实轴负半轴上?(3)位于上半平面(含实轴)?(题组三　复数的模及其应用12.(2024河南信阳第一高级中学月考)已知z=(2a-1)+(a+1)i(a∈R),则“|z|=2”是“a=2”的( )5A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.复数z在复平面内对应的点为Z,若1≤|z|≤2,则点Z的集合对应的图形的面积为( )A.πB.2πC.3πD.4π14.若复数z=(a-2)+(a+1)i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是 .15.(教材习题改编)设z∈C,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形?(1)|z|=5;(2)2<|z|≤3.题组四　共轭复数16.(2024安徽铜陵期中)若复数z在复平面内对应的点的坐标为(5,12),则z的共轭复数z =( )A.5+12iB.-5+12iC.-5-12iD.5-12i17.(2024广东江门第一中学月考)已知a,b∈R,i是虚数单位,若复数a+i与-1+bi互为共轭复数,则( )A.a=-1,b=1B.a=-1,b=-1C.a=1,b=1D.a=1,b=-118.(2024湖北荆州月考)复数z在复平面内对应的向量OZ(O为坐标原点)与a=(3,4)共线,对应的点Z位于第三象限,且|z|=10,则z=( )A.6+8iB.6-8iC.-6-8iD.-6+8i19.(多选题)(2024重庆长寿中学月考)欧拉公式e xi=cos x+isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数与指数函数的关系,在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式,下列说法中正确的是( )A.e 3i 对应的点位于第二象限B.e 2πi 为实数C.e xi (x ∈R)的模为12D.e π3i 的共轭复数为12+32i 答案与分层梯度式解析7.1.2　复数的几何意义基础过关练1.C2.B3.B4.C5.ABD8.C9.ABD12.B13.C16.D17.B18.D19.AB1.C　因为z=i2-i=-1-i,所以在复平面内z对应的点Z的坐标为(-1,-1),位于第三象限,故选C.2.B　在复平面内复数a-bi对应的点为(a,-b),-a-bi对应的点为(-a,-b),两点关于y轴对称.3.B　由题意得m+1>0,m-1<0,解得-1<m<1,又m为整数,所以m=0.故选B.4.C　复数z1=1-bi在复平面内对应的点为(1,-b),因为该点在直线x+y-1=0上,所以1-b-1=0,解得b=0,则z2=b+i=i,其在复平面内对应的点为(0,1),在虚轴正半轴上.故选C.5.ABD　若z为纯虚数,则m 2-1=0,m+1≠0,解得m=1,故A中说法正确;若z为实数,则m+1=0,解得m=-1,则z=0,故B中说法正确;z在复平面内对应的点的坐标为(m2-1,m+1),若该点在直线y=2x上,则m+1=2(m2-1),解得m=-1或m=32,故C中说法错误;令m2-1<0,m+1<0,得-1<m<1,m<−1,无解,所以z在复平面内对应的点不可能位于第三象限,故D中说法正确.6.答案　4-8i解析　由题意可得A(4,1),B(3,4),C(3,-5),设平行四边形ABCD的对角线的交点为M(x M,y M),点D(x,y),结合中点坐标公式可得x M=4+32=3+x2,y M=1−52=4+y2,解得x=4,y=−8,即点D(4,-8),故点D对应的复数是4-8i.7.解析　(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第三象限,需满足m 2-8m+15<0,m2+3m−28<0,即3<m<5,-7<m<4,∴3<m<4.(2)要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足m 2-8m+15<0,m2+3m−28=0,即3<m<5,m=−7或m=4,∴m=4.(3)要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7.8.C　由题意可得O'(1,0),O'A'=OA=(1,1),∴O'A'对应的复数为1+i,OA'=OO'+O'A' =(1,0)+(1,1)=(2,1),∴点A'对应的复数为2+i.故选C.9.ABD　设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi.对于A,当z为纯虚数时,z=bi(b≠0),z=-bi,则z,z对应的点分别为P(0,b),Q(0,-b),O,P,Q均在虚轴上,∴P,O,Q三点共线,故A正确;对于B,当z=1+i时,z=1-i,∴OP=(1,1),OQ=(1,-1),∴OP·OQ=0,且|OP|=|OQ|=2,∴△POQ为等腰直角三角形,故B正确;对于C,OP=(a,b),OQ=(a,-b),当b=0时,OP=OQ,故C错误;∴又设25”13.C　由题意知点Z的集合对应的图形是以原点为圆心,1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环边界),所以所求面积为π×22-π×12=3π,故选C.14.,3解析　易知复数z=(a-2)+(a+1)i(a∈R)在复平面内对应的点为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,所以a-2<0,a+1>0,解得-1<a<2.|z|=(a-2)2+(a+1)2=2a2-2a+5因为-1<a<2,所以|z|,3.15.解析　(1)因为|z|=5,所以|OZ |=5(O 为原点),所以满足|z|=5的点Z 的集合是以O 为圆心,5为半径的圆,如图①.(2)2<|z|≤3可化为不等式组|z |>2,|z |≤3,|z|>2的解集是以原点为圆心,2为半径的圆的外部所有的点组成的集合;|z|≤3的解集是以原点为圆心,3为半径的圆的内部及圆上所有的点组成的集合,这两个集合的交集就是不等式组的解集.因此,满足2<|z|≤3的点Z 的集合是以原点为圆心,2和3为半径的两个圆所夹的圆环,包括圆环的外边界但不包括内边界,如图②.16.D 由题可知z=5+12i,所以z =5-12i.故选D.17.B 因为复数a+i 与-1+bi 互为共轭复数,所以a =−1,b =−1,故选B.18.D 设复数z=x+yi,x,y ∈R,则OZ =(x,y),∵OZ 与a=(3,4)共线,∴4x-3y=0①,由|z|=10得x 2+y 2=100②,由①②可得x=6,y=8或x=-6,y=-8.∵z 对应的点Z 位于第三象限,∴x=-6,y=-8,∴z=-6-8i,∴z =-6+8i.故选D.19.AB 对于A,e 3i =cos 3+isin 3,则e 3i 对应的点为(cos 3,sin 3),∵3,π,∴cos 3<0,sin 3>0,∴e 3i 对应的点位于第二象限,故A 正确;对于B,e 2πi =cos 2π+isin 2π=1,为实数,故B 正确;对于C,∵e xi =cos x+isin x,∴|e xi |=cos 2x +sin 2x =1,故C 错误;对于D,e π3i =cos π3+isin π3=12+32i,则e π3i 的共轭复数为12-32i,故D 错误.故选AB.。

高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册第四章4.4数学归纳法同步练习（含答案）2021年高中数学人教A版（新教材）选择性必修第二册§4.4数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式() A．1＋<2B．1＋＋<2C．1＋＋<3D．1＋＋＋<32．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()A．B．－C．－D．＋3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k 时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对4．利用数学归纳法证明1＋＋＋＋…＋A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项5．对于不等式(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确6．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得()A．当n＝6时，该命题不成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝4时，该命题成立7．(多选题)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞的过程中，下列说法正确的是()A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是二、填空题8．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________．9．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．10．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.11．已知n为正偶数，用数学归纳法证明“1－＋－＋…＋－＝2”时，第一步的验证为________；若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设证n＝________时等式成立．12．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.三、解答题13．(1)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)；(2)用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．14．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)．用数学归纳法证明：an15．是否存在a，b，c使等式＋＋＋…＋＝对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．参考答案一、选择题1．答案：B解析：因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋＋<2.故选B.]2．答案：C解析：因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－.] 3．答案：B解析：由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n ＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．]4．答案：D解析：用数学归纳法证明不等式1＋＋＋＋…＋5．答案：D解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n ＝k＋1的推理不正确．故选D.6．答案：C解析：若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．7．答案：BC解析：n＝1时，＞不成立，n＝2时，＋＞成立，所以A错误B 正确；当n＝k时，左边的代数式为＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边的代数式为＋＋…＋，故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果，即－＝为不等式的左边增加的项，故C正确D错误，故选BC.二、填空题8．答案：n＝k＋2时等式成立解析：由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2.故答案为：n＝k＋2时等式成立．9.答案：(k＋3)3解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3.为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故答案为(k＋3)3.10.＋＋…＋解析：因为假设n＝k时，f(2k)＝1＋＋＋…＋，当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，所以f(2k＋1)－f(2k)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋－(1＋＋＋…＋)＝＋＋…＋.11.当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝2×＝，等式成立k＋2解析：对1－＋－＋…＋－＝2在n为正偶数，用数学归纳法证明．归纳基础，因为n为正偶数，则基础n＝2，当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝2×＝，等式成立；归纳假设，当n＝k(k≥2且k为偶数)时，1－＋－＋…＋－＝2成立，由于是所有正偶数，则归纳推广，应到下一个数为n＝k＋2时，等式成立．12.答案：π解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.三、解答题13．证明：(1)①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，左边＝右边．②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝，那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝＋(k＋4)＝，即当n＝k＋1时，等式成立．综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)．(2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋…＋<2，那么当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2＋，因为4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2<2k＋1，所以2＋＝＝综上，由①②可知1＋＋＋…＋<2.14．证明：①当n＝1时，a2＝1＋＝，a1②假设n＝k(k∈N*)时，ak＝－＝>0，所以，当n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式an15．解：取n＝1，2，3可得解得：a＝，b＝，c＝.下面用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝＝.即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k ＋2)·(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立．由数学归纳法，综合①②知当n∈N*时等式成立，故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立.。

最新精选人教版高中第二册下A数学[第十章排列、组合和二项式定理分类计数原理与分步计数原理]练习题[含答案解析]十七第1题【单选题】将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为( )A、72B、120C、192D、240【答案】：【解析】：第2题【单选题】若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A、60种B、63种C、65种D、66种【答案】：【解析】：第3题【单选题】现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词（如图）涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为( )A、27B、54C、108D、144【答案】：【解析】：第4题【单选题】某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有( )A、36种B、38种C、108种D、114种【答案】：【解析】：第5题【单选题】从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a+bi，其中虚数有( )A、36个B、42个C、30个D、35个【答案】：【解析】：第6题【单选题】某节假日，一校办公室要安排从一号至六号由指定的六个人参加的值班表．要求每人值班一天，但甲与乙不能相邻且丙与丁也不能相邻，则不同的安排方法有( )种．A、336B、408C、240D、264【答案】：【解析】：第7题【单选题】从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A、70种B、80种C、100种D、140种【答案】：【解析】：第8题【填空题】从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则使得b≠a的不同取法共有______种．A、12【答案】：【解析】：第9题【填空题】今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有______种不同的排法．(用数字作答)【答案】：【解析】：第10题【解答题】某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．【答案】：【解析】：。

（完整版）⾼等数学II练习册-第10章答案习题10-1 ⼆重积分的概念与性质1.根据⼆重积分的性质，⽐较下列积分的⼤⼩：（1）2()D x y d σ+??与3()Dx y d σ+??，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+??与2[ln()]Dx y d σ+??，其中D 是三⾓形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利⽤⼆重积分的性质估计下列积分的值：（1）22sin sin DI x yd σ=，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++??，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解 (),f x y =Q 2，在D 上(),f x y 的最⼤值()14M x y ===，最⼩值()11,25m x y ====故0.40.5I ≤≤习题10-2 ⼆重积分的计算法1.计算下列⼆重积分：（1）22()Dx y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）cos()Dx x y d σ+??，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三⾓形闭区域。

2.画出积分区域，并计算下列⼆重积分：（1）x y De d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dxy x d σ+-??，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。

3.化⼆重积分(,)DI f x y d σ=为⼆次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个⼆次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。

人教A版高中数学必修第二册专题强化练5　复数四则运算的综合应用1.(2024山东菏泽月考)已知i为虚数单位,复数z满足|z+2i|=|z|,则z的虚部为( )A.-1B.1C.iD.-i2.(2024福建福州期中)已知复数z满足|z|=2,则|z+3+4i|的最小值是( )A.3B.4C.5D.68.(2024河北张家口期中)已知在复数范围内,关于x的一元二次方程x2-2x+k=0(k∈R)有两个虚数根z1和z2,若|z1-z2|=2,且z1的虚部为正数.(1)求实数k的值;(2)求z1z2+的值.答案与分层梯度式解析专题强化练5　复数四则运算的综合应用1.B2.A3.ACD4.BCD5.BC1.B 设z=a+bi(a,b ∈R),则z =a-bi,因为|z+2i|=|z|,所以|a+(b+2)i|=|a+bi|,可得a 2+(b+2)2=a 2+b 2,解得b=-1,所以复数z 的虚部为-b=1.故选B.2.A |z|=2表示复数z 在复平面内对应的点的集合是以原点O 为圆心,2为半径的圆,|z+3+4i|=|z-(-3-4i)|表示圆上的点到点(-3,-4)(记为A)的距离,易得|OA|=32+42=5>2,所以|z+3+4i|的最小值是|OA|-2=3.故选A.3.ACD ∵-2<b<2,∴Δ=b 2-4<0,∴方程x 2+bx+1=0的根为x=-b ±4−b 2i2,不妨设z 1=-b2+4−b 22i,z 2=-b 2-4−b 22i,则z 1=z 2,A正确;|z 1|=|z 2正确;易得z 1z 2=1,∴z 1z 2=z 21z1z 2=z 21=b 2-22-b 4−b22i,当b≠0时,z 1z 2∉R,B 错误;当b=1时,z 1=-12+32i,z 2=-12-32i,计算得z 21=-12-32i=z 2,z 22=z 1,∴z 31=z 1z 2=1,z 32=z 1z 2=1,D 正确.故选ACD.4.BCD 设z 1=a+bi,z 2=c+di,a,b,c,d ∈R,则z 21=(a+bi)2=a 2-b 2+2abi,|z 1|2=a 2+b 2,当b≠0时,z 21≠|z 1|2,A 不正确;因为z 1·z 2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,所以z 1·z 2=(ac-bd)-(ad+bc)i,又z 1·z 2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以z 1·z 2=z 1·z 2,B 正确;|z 1z 2|=|(a+bi)(c+di)|=|(ac-bd)+(ad+bc)i|=(ac -bd )2+(ad +bc )2=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2,|z 1|·|z 2|=a 2+b 2·c 2+d 2=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2,所以|z 1z 2|=|z 1|·|z 2|,C 正确;z 1z 1=a +b i a -b i =(a +b i)2(a -b i)(a +b i)=a 2-b 2+2abi a 2+b 2,z 21|z 1|2=(a +b i)2a 2+b 2=a 2-b 2+2abi a 2+b 2,所以z 1z 1=z 21|z 1|2,D正确.故选BCD.规律总结　关于复数有以下几个常用结论,在小题中可以直接使用,提高解题速度.(1)z1·z2=z1·z2=z1z2(z2≠0);(3)|z1z2|=|z1||z2|;(4)zz=z2|z|2(z≠0).5.BC　设z=a+bi(a,b∈R),由z2+z+1=0得(a+bi)2+(a+bi)+1=0,即(a2-b2+a+1)+(2ab+b)i=0,所以a2-b2+a+1=0,2ab+b=0,解得a=−12,b=32或a=−12,b=−32, z=-1+3i z=-1-3i,6.7.z1因为∠AOB∈[0,π],所以∠AOB=π4.8.解析　(1)设z1=a+bi(a,b∈R,b>0),则z2=a-bi,故z1+z2=2a=2,所以a=1,因为|z1-z2|=2,所以|2bi|=2,即4b2=4,解得b=1或b=-1(舍去).故z1=1+i,z2=1-i,所以k=z1z2=2.(2)因为z1z2=1+i1−i=i,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N,所以z1z2+=i+i2+i3+…+i2 025=(i-1-i+1)×506+i=i.。

2022-2023学年高中高二下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是 A.B.C.D.2. 正项数列满足，则( )A.B.C.D.3. 若直线与函数和的图象都相切，则( )A.B.C.D.4. 在和两数之间插人个数，使它们与，组成一个等差数列，则当时，该数列的ABCD AC −→−BD −→−AB −→−3−1BD −→−BC −→−()(−1,+∞)(−1,3)(0,+∞)(0,3){}a n =1,−(+2)−−3=0(n >1,n ∈N)a 1a 2n a n−1a n a n−1++⋯+1a 1a 31a 3a 5=1a 2019a 202112003534101060611220202120205461y =kx f (x)=e x g(x)=ln x +a a =32112n (n ∈)N +12n =10所有项和为（ ）A.B.C.D.5. 曲线与曲线的（ ）A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等6. 已知两条互相平行的直线分别过点，，并且各自绕着，旋转，如果两条平行直线间的距离为，则的最大值是( )A.B.C.D.7. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，，点为坐标原点，则( )A.B.C.D.8. 设函数是定义在上的函数， 是函数的导函数，若，，则不等式的解集是（ ）A.15161718+=1x 216y 29+=1(9<k <16)x 216−k y 29−kA(6,2)B(−3,−1)A B d d 34310−−√410−−√F 1F 2C +=1x 24y 2D C ∠D =F 1F 2120∘O |OD|=6–√25–√2132f (x)R (x)f ′f (x)f (x)+(x)>−(x)f ′e −x f ′f (0)=1f (x)>2+1e x (0,+∞)(1,+∞)B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列结论正确的是( )A.已知点在圆上，则的最小值是B.已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为C.已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交D.若圆上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是 10. 已知数列的前项和为，且，（为非零常数），则下列结论正确的是( )A.是等比数列B.当时，C.当时，D.数列是递减数列11. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（ ）A.为偶函数B.在上单调递减C.关于对称D.12. 椭圆的右焦点为，点是椭圆上的动点，则的值可能是 A.B.(1,+∞)(−∞,0)(0,1)P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y +2x 43kx −y −k −1=0M (−3,1),N (3,2)k −≤k ≤1232P (a,b)+=x 2y 2r 2l ax +by =r 2l M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2N (1,0)1r (4,6){}a n n S n =p a 12−=2p S n+1S n p {}a n p =1=S 374p =12⋅=a m a n a m+n {}a n f (x)R x =−3f (x +3)=f (x −3)x ∈[0,3]f (x)=+2x −112x f (x)f (x)[−6,−3]f (x)x =3f (2021)=−7C :+=1x 29y 25F P C |PF|()23C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若数列满足，且，则________．14. 斜率为的直线被双曲线截得的弦长为，则直线的方程是________．15. 已知四面体，，，，，则该四面体外接球半径为________．16. 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 求下列函数的导数：；.18. 已知圆与圆相切于点，求以为圆心，且与圆的半径相等的圆的标准方程． 19. 如图，已知四边形中，且．是正三角形，且，是的中点，平面．（1）求证：；（2）求四棱锥的体积．20. 已知等差数列满足＝，＝．（1）求的通项公式；（2）等比数列的前项和为，且＝，再从①＝，②＝，③这三个条件中选择两个作为已知条件，求的前项和．56{}a n ={a n+12a n −1a n (0≤≤1)a n (>1)a n =a 167=a 20172l −=1x 25y 2425–√l ABCD AB =4AC =AD =6∠BAC =∠BAD =60∘∠CAD =90∘f (x)=+ax e x x ≥0f (x)≥0a (1)y =x ⋅cos x +x −√(2)y =5(2x +1)log 2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2M M C ABDE AE//BD BD =AE 12△ABC AB =AE =2M AC AE ⊥ABC BM ⊥CE C −ABDE {}a n a 33+a 8a 928{}a n {}b n n S n b 1a 2b 3++a 2a 3a 4S 313>b n+1b n {||}a n b n n T n21. 已知函数.（1）证明：当时，不等式恒成立；（2）当时，若方程有两个不等实根，求实数的取值范围.22. 设抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于，两点．当与轴垂直时，面积为，其中为坐标原点．求抛物线的标准方程；若的斜率存在且为，点，直线与的另一交点为，直线与的另一交点为，设直线的斜率为，证明：为定值．E :=2px (p >0)y 2F F l E A B l x △AOB 8O (1)E (2)l k 1P (3,0)AP E C BP E D CD k 2k 2k 1参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】向量的投影【解析】首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和数量积求出结果．【解答】解：以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设，，，则，解得，所以，，，，设，的夹角为，过点作于点，则在上的投影：A AB x A AB y B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)3−(a −1)=a a =2D(1,b)C(3,b)=(1,b)BC −→−=(−1,b)BD −→−BD −→−BC −→−θD DM ⊥BC M BD −→−BC −→−||=||⋅cos θBM −→−BD −→−−→−−→−，令，则，令，则在上单调递增，故，故，则在上的投影的取值范围是.故选.2.【答案】B【考点】数列的求和【解析】，，因为，，数列是，公差为的等差数列，．选 . 【解答】解：，.因为，，数列是，公差为的等差数列，=⋅BC −→−BD −→−||BC −→−==−−1b 2+1b 2−−−−−√+1b 2−−−−−√2+1b 2−−−−−√=t(t >1)+1b 2−−−−−√||=t −BM −→−2t f(t)=t −2t f(t)(1,+∞)f(t)>f(1)=−1f(t)>−1BD −→−BC −→−(−1,+∞)A −(+2)−−3=0(n >1,n ∈N)a 2n a n−1a n a n−1[−(+3)](+1)=0(n >1,n ∈N)a n a n+1a n >0a n −=3a n a n−1{}a n =1a 13=1+3(n −1)=3n −2a n ++⋯+=[−+⋯+−]=[1−]=1a 1a 31a 3a 51a 2019a 2021161a 11a 31a 20191a 202116160110106061B −(+2)−−3=0(n >1,n ∈N)a 2n a n−1a n a n−1[−(+3)](+1)=0(n >1,n ∈N)a n a n−1a n >0a n −=3a n a n−1{}a n =1a 13=1+3(n −1)=3n −2a n ++⋯+1a1a 31a 3a 51a 2019a 2021=[−+⋯+−]=[1−]161a 11a 31a 20191a 202116160611010．故选 .3.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，由导数的几何意义可得切线的斜率，直线与函数的切点坐标为，则.，则有，解得，代入直线方程得，直线与的切点坐标为，将切点坐标代入得，，.故选.4.【答案】D【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】=10106061B (x)=f ′e x k =e x y =kx f (x)=e x (1,e)k =e (x)=g ′1x k =e =1x x =1e y =kx =1y =kx g(x)=ln x +a (，1)1eg(x)1=−1+a a =2B此题暂无解答5.【答案】C【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】两条平行直线间的距离【解析】（1）方法一：①当两条直线的斜率不存在时，可求得两直线间的距离；②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为，，利用两平行线间的距离公式可求得两直线间的距离的表示式，两端平方，整理成关于斜率的二次方程，利用其有解的条件即可求得的变化范围；【解答】解：如图所示，，显然有．而．故所求的的变化范围为．故的最大值是.故选.7.【答案】:y −2=k(x −6)l 1:y +1=k(x +3)l 2d k d 0<d ≤|AB ||AB |==3[6−(−3)+[2−(−1)]2]2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√10−−√d (0,3]10−−√d 310−−√CC【考点】椭圆的定义和性质余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，所以，即点与椭圆的上顶点重合，所以 .故选.8.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由题意，设出新函数，求导，将问题进行转化，求出新函数的单调性，进而求解即可.【解答】解：令，则，因为，即，所以，即，所以函数在上单调递增，因为，所以，即，解得，所以不等式的解集为.故选：.|D |=m F 2|D |=4−m F 1|=|D +|D −2|D |F 1F 2|2F 1|2F 2|2F 1|D |cos ∠D F 2F 1F 2+−2m(4−m)×(−)=12(4−m)2m 212−4m +4=0m 2m =2|D |=|D |=2F 1F 2D C |OD|=1C g(x)=(+1)f (x)e x (x)=f (x)+(+1)(x)g ′e x e x f ′f (x)+(x)>−(x)f ′e −x f ′f (x)+(1+)(x)>0e −xf ′f (x)+(+1)(x)>0e x e x f ′(x)>0g ′g(x)R f (x)>2+1e x (+1)f (x)>2e x g(x)>g(0)x >0f (x)>2+1e x (0,+∞)A二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】C,D【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线和圆的方程的应用直线与圆相交的性质命题的真假判断与应用斜率的计算公式【解析】选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；选项中直线恒过点，计算即可求解；选项中利用圆心到直线距离及点在圆外即可判断；选项根据以为圆心，为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解．【解答】解：选项，设 ，则，因为点在圆 上，所以直线与圆有交点，因此圆心到直线的距离 ，解得 或，故错误；选项，由得，所以即直线过点，因为直线和以，为端点的线段相交，所以只需或 ，故错误；A B kx −y −1−1=0P (1,−1),k PM k PN C P D N 1A k =y +2xy =kx −2P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y =kx −2C :+=2(x −1)2(y −1)2(1,1)y =kx −2d =≤|k −3|1+k 2−−−−−√2–√k ≤−7k ≥1A B kx −y −k −1=0k (x −1)−(y +1)=0{x =1，y =−1，kx −y −k −1=0P (1,−1)kx −y −k −1=0M (−3,1)N (3,2)k ≥==k PN 2−(−1)3−132k ≤==−k PM 1−(−1)−3−112B =2选项，圆的圆心到直线的距离 ，而点是圆外一点，所以 ，所以 ，所以直线与圆相交，故正确；选项，与点的距离为的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距满足 ，解得 ，故正确．故选．10.【答案】A,B,C【考点】等比数列的通项公式数列递推式等比数列的性质【解析】．由得，所以}是首项为中公比为的等比数列，选项正确；当时，，选项正确；当时，，选项正确；当时，数列是递减数列；当时，数列是递增数列，选项错误．故选．【解答】解：，，，即．，，，，所以}是首项为，公比为的等比数列，选项正确；当时，，选项正确；当时，，，选项正确；当时，数列是递减数列；当时，数列是递增数列，选项错误．C +=x 2y 2r 2(0,0)ax +by =r 2d =r 2+a 2b 2−−−−−−√P (a,b)+=x 2y 2r 2+>a 2b 2r 2d =<=r r 2+a 2b2−−−−−−√r 2r l C D N (1,0)1+=1(x −1)2y 2M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2+=1(x −1)2y 2d =MN =5r −1<d =5<r +14<r <6D CD 2−=2p,2−=2p,S n+1S n S n S n−12−=0,=(n ≥2)a n+1a n a n+112a n =p,2−a 1S 2=2p S 12(+)−−2p,−=a 1a 2a 1a 2p 212a 1{a n 12A p =1=1++=S 3121474B p =12=,⋅=a n ()12n a m a n a m+n C p >0{}a n p <0{}a n D ABC ∵2−=2p S n+1S n ∴2−=2p (n ≥2)S n S n−1∴2−=0a n+1a n =(n ≥2)a n+112a n ∵=p a 12−S 2=2p S 1∴2(+)−=2p a 1a 2a 1==a 2p 212a 1{a n p 12A p =1=1++=S 3121474B p =12=a n ()12n ⋅=a m a n a m+n C p >0{}a n p <0{}a n D ABC故选．11.【答案】A,C,D【考点】函数奇偶性的性质奇偶函数图象的对称性函数的图象与图象变化奇偶性与单调性的综合函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】略12.【答案】A,B,C【考点】椭圆中的平面几何问题椭圆的定义【解析】由是椭圆上的动点，为椭圆的右焦点，可知，而，从而，所以可能取到的值是2,3,5.【解答】解：由题意，是椭圆上的动点，为椭圆的右焦点，则由椭圆的几何性质可知，而，从而，所以可能取到的值是.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）ABC P F a −c ≤|PF|≤a +c c ==29−5−−−−√1≤|PF|≤5|PF|P F a −c ≤|PF|≤a +c c ==29−5−−−−√1≤|PF|≤5|PF|2,3,5ABC13.【答案】【考点】数列递推式【解析】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力.【解答】解：依题意得∴，，，，，，……可知数列为周期数列，且周期为，所以故答案为：．14.【答案】【考点】与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】先设出直线的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理和判别式大于，再由弦长公式求出弦长，让弦长为，即可求出参数的值．【解答】解：设直线的方程为，与双曲线交于，两点．设，两点的坐标分别为，，127=2=a 2a 1127=−1=a 3a 257=2=a 4a 3107=−1=a 5a 437=2=a 6a 567=2=a 7a 6127{}a n 5==a 2017a 2127127y =2x ±125–√5l 025–√l y =2x +m A B A B A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2=122将代入双曲线，并整理得：，，即为，解得或．∴，，∴，∴，解得：．∴所求直线的方程为：．故答案为：．15.【答案】【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解析】作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径．【解答】解：如图所示，为的外心，为球心，平面，，则，∴，，．设该四面体外接球半径为，，则，∴，，∴，故答案为：．16.【答案】【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数恒成立问题y =2x +m −=1x 25y 2416+20mx +5(+4)=0x 2m 2Δ=400−4×16×5(+4)>0m 2m 2>16m 2m >4m <−4+=−m x 1x 254=(+4)x 1x 2516m 2(−=(+−4=−(+4)x 1x 2)2x 1x 2)2x 1x 22516m 254m 2|AB =(1+)(−=5(−=−(+4)=20|2k 2x 1x 2)2x 1x 2)212516m 2254m 2m =±125–√5y =2x ±125–√5y =2x ±125–√525–√O'△ACD O BE ⊥ACD BF⊥AC EF ⊥AC AF =2AE =22–√BE ==216−8−−−−−√2–√R OO'=d 2+(2+d =+(32–√)2d 22–√)2d =2–√CD =62–√R ==22+18−−−−−√5–√25–√[−e,+∞)【解析】无【解答】解：由题意可得.因为，所以.当时，，则在上单调递增，从而恒成立，故符合题意.当时，令，得.因为在 上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，则.因为，所以，即，解得，综上，的取值范围为．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：.设 ，，则.【考点】简单复合函数的导数导数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：.设 ，，则.18.【答案】解：圆，可化为(x)=+a f ′e x x ≥0(x)≥a +1f ′a ≥−1(x)≥0f ′f (x)[0,+∞)f =f (0)=1>0(x)min a ≥−1a <−1(x)=0f ′x =ln(−a)(x)f ′R f (x)(0,ln(−a))(ln(−a),+∞)f =f (ln(−a))=−a +a ln(−a)(x)min f (x)≥0−a +a ln(−a)≥0ln(−a)≤1−e ≤a <−1a [−e,+∞)[−e,+∞)(1)y =+=cos x −x ⋅sin x +(x ⋅cos x)′()x −√′12x −12(2)y =52u log 2u =2x +1=5==y ′(u)log 2′(2x +1)′10u ln 210(2x +1)ln 2(1)y =+=cos x −x ⋅sin x +(x ⋅cos x)′()x −√′12x −12(2)y =52u log 2u =2x +1=5==y ′(u)log 2′(2x +1)′10u ln 210(2x +1)ln 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2(x −3+(y −4=25−m)2)2O :+=122C :+−6x −8y +m =022∵圆与圆相切，∴或∴或∴圆：或：设，由题知，或，故或故所求圆的方程为或．【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的标准方程【解析】利用圆与圆相切，求出，设，由题知，或，求出的坐标，即可求以为圆心，且与圆的半径相等的圆的标准方程．【解答】解：圆，可化为∵圆与圆相切，∴或∴或∴圆：或：设，由题知，或，故或故所求圆的方程为或．19.【答案】【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2|OC |=1+=525−m −−−−−−√|OC |=−1=525−m−−−−−−√m =9m =−11C (x −3+(y −4=16)2)2C (x −3+(y −4=36)2)2M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M(,)3545M(−,−)3545(x −+(y −=1635)245)2(x ++(y +=3635)245)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2m M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M M C C :+−6x −8y +m =0x 2y 2(x −3+(y −4=25−m)2)2O :+=1x 2y 2C :+−6x −8y +m =0x 2y 2|OC |=1+=525−m −−−−−−√|OC |=−1=525−m−−−−−−√m =9m =−11C (x −3+(y −4=16)2)2C (x −3+(y −4=36)2)2M(x,y)=4CM −→−MO −→−=6CM −→−OM −→−M(,)3545M(−,−)3545(x −+(y −=1635)245)2(x ++(y +=3635)245)2【答案】由题意，设等差数列的公差为，则，解得，∴＝＝，，由（1），可得＝＝，方案一：选择条件①②设等比数列的公比为，则＝＝＝，＝＝，∴，解得＝，∴＝＝，，方案二：选择条件①③设等比数列的公比为，则＝＝＝，∴＝＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，方案三：选择条件②③设等比数列的公比为，则＝＝＝，即＝，解得＝，或＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，∴＝，∴＝＝，＝，两式相减，可得＝＝……＝＝，∴＝．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】{}a n d a n −5+2×(n −1)5n −3n ∈N ∗b 1a 61{}b n q b 3++a 4a 3a 48+3+58S 3++b 1b 3b 313q 3b n 7⋅3n−18n−1n ∈N ∗{}b n q b 3++a 2a 3a 48+3+56q 29>b n+1b n q >3q 3b n 1⋅8n−13n−8n ∈N ∗{}b n q S 3++b 1b 3b31+q +q 413+q −12q 20q −6q 3>b n+1b n q >4q 3b n 1⋅4n−13n−8n ∈N ∗a n b n (2n −3)⋅6n−1T n ||+||+||+...+||a 1b 6a 2b 2a 3b 3a n b n 1×2+1×3+7×+...+(8n −3)⋅323n−23T n 1×4+1×+...+(2n −5)⋅+(2n −2)⋅387n−13n −2Tn 6+2×+...+2⋅−(2n −3)⋅363n−64n1+2×(++2236+)−(6n −3)⋅3n−13n6+2×−(2n −3)⋅4n−2(n −2)⋅−82n T n (n −2)⋅+47n {}d d（1）先设等差数列的公差为，然后根据已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式；（2）先根据第（1）题计算出＝，然后分别根据两个已知条件列出关于公比的方程，解出的值，即可计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出的前项和．【解答】由题意，设等差数列的公差为，则，解得，∴＝＝，，由（1），可得＝＝，方案一：选择条件①②设等比数列的公比为，则＝＝＝，＝＝，∴，解得＝，∴＝＝，，方案二：选择条件①③设等比数列的公比为，则＝＝＝，∴＝＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，方案三：选择条件②③设等比数列的公比为，则＝＝＝，即＝，解得＝，或＝，∵，∴，∴＝，∴＝＝，，∴＝，∴＝＝，＝，两式相减，可得＝＝……＝＝，∴＝．21.{}a n d a 1d a 1d {}a n b 11q q {}b n {}a n b n {||}a n b n n T n {}a n d a n −5+2×(n −1)5n −3n ∈N ∗b 1a 61{}bn q b 3++a 4a 3a 48+3+58S 3++b 1b 3b 313q 3b n 7⋅3n−18n−1n ∈N ∗{}b n q b 3++a 2a 3a 48+3+56q 29>b n+1bn q >3q 3bn 1⋅8n−13n−8n ∈N ∗{}b n q S 3++b 1b 3b 31+q +q 413+q −12q 20q −6q 3>b n+1b n q >4q 3b n 1⋅4n−13n−8n ∈N ∗a n b n (2n −3)⋅6n−1T n ||+||+||+...+||a 1b 6a 2b 2a 3b 3a n b n 1×2+1×3+7×+...+(8n −3)⋅323n−23T n 1×4+1×+...+(2n −5)⋅+(2n −2)⋅387n−13n −2Tn 6+2×+...+2⋅−(2n −3)⋅363n−64n1+2×(++2236+)−(6n −3)⋅3n−13n6+2×−(2n −3)⋅4n−2(n −2)⋅−82n T n (n −2)⋅+47n【答案】（1）证明见解析；（2）【考点】利用导数研究函数的最值已知函数极最值求参数问题【解析】（1）将代入得到的表达式，根据不等式两边的式子，通过构造新函数，对新函数进行求导得到单调区间，进而得出结论．（2）方程有两个不等实根，等价于有两个不等实根，结合导数研究函数单调性的知识，从而求出的取值范围．【解答】（1）方程有两个不等实根，即方程有两个不等实根，令则①若则有一个零点，不符合题意；②若，由可得令，得，所以在上单调递减，令，得，所以在上单调递增．所以若，即时，无零点，不符合题意；（ī）若，即时，有且只有一个零点，不符合题意；ⅲī若，即时，，又所以在（2）上有一个零点．当时，由（1）得所以令，得，取，因为，所以且，所以，在上有一个零点．⋅a <232a =1f (x)f (x)=x −+(a −1)x −(a −2)ln x =012x 2a f (x)=x −+(a −1)x −(a −2)ln x =012x 2F (x)=−+(a −1)x −(a −2)ln x (x >0)12x 2F (x)=−x +(a −1)−=−a −2x (x −1)[x −(a −2)]x a =2F (x)=−+x 12x 2F (x)=0x =2a <2x >0x −(a −2)>0(x)<0F ′x >1F (x)(1,+∞)(x)>0F ′0<x <1F (x)(0,1)F (x)≤F (1)=a −32(i)a −<032a <32F (x)i a −=032a =32F (x)()a −>032>>v 加v 加v 加F (1)>0F (2)=(a −2)(2−ln 2)<0F (x)0<x <11nx ∵x −1F (x)=−+(a −1)x −(a −2)ln x 12x 2=−+(a −1)x +(2−a)ln x <−+(a −1)x +(2−a)(x −1)12x 212x 2=−+x −(2−a)<x −(2−a)12x 2x −(2−a)<0x <2−a =2−a x 0>>v 加v 加v 加∈(0,)x 012F ()<0x 0F (x)(,1)x 0F (x)(0,+∞)即在上有两个不同的零点．所以实数的取值范围为22.【答案】解：由题意不妨设，，∴，∵，解得（负值舍去），∴．证明：设，，，，则直线的斜率为，直线的方程为，则．又点在直线上，∴，同理，直线的方程为，∵点在直线上，∴，同理，直线的方程为，又点在直线上，∴．∵，，∴．【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意不妨设，，∴，∵，解得（负值舍去），∴．证明：设，，，，则直线的斜率为，F (x)(0,+∞)α<a <232(1)A(,p)p 2B(,−p)p 2AB =2p ⋅2p ⋅=812p 2p =4=8x y 2(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C(,)x 3y 3D(,)x 4y 4l ===k 1−y 1y 2−x 1x 2−y 1y 2(−)18y 21y 228+y 1y 2AB y −=(x −)y 18+y 1y 2x 1(+)y −=8x y 1y 2y 1y 2F (2,0)−=16y 1y 2BD (+)y −=8x y 2y 4y 2y 4P (3,0)BD −=24y 2y 4AC (+)y −=8x y 1y 3y 1y 3P (3,0)AC −=24y 1y 3=k 18+y 1y 2=k 28+y 3y 4==k 2k 1+y 1y 2+y 3y 4+y 1y 2+−24y 1−24y 2===y 1y 2−24−16−2423(1)A(,p)p 2B(,−p)p 2AB =2p ⋅2p ⋅=812p 2p =4=8x y 2(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2C(,)x 3y 3D(,)x 4y 4l ===k 1−y 1y 2−x 1x 2−y 1y 2(−)18y 21y 228+y 1y 2−=(x −)8直线的方程为，则．又点在直线上，∴，同理，直线的方程为，∵点在直线上，∴，同理，直线的方程为，又点在直线上，∴．∵，，∴．AB y −=(x −)y 18+y 1y 2x 1(+)y −=8x y 1y 2y 1y 2F (2,0)−=16y 1y 2BD (+)y −=8x y 2y 4y 2y 4P (3,0)BD −=24y 2y 4AC (+)y −=8x y 1y 3y 1y 3P (3,0)AC −=24y 1y 3=k 18+y 1y 2=k 28+y 3y 4==k 2k 1+y 1y 2+y 3y 4+y 1y 2+−24y 1−24y 2===y 1y 2−24−16−2423。

9.1.1 简单随机抽样课后训练巩固提升1.(多选题)下列调查中,调查方式选择合理的是( )A.调查“乌金塘水库”的水质情况,采用抽样调查B.调查一批飞机零件的合格情况,采用抽样调查C.检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量,采用全面调查D.企业招聘人员,对应聘人员进行面试,采用全面调查项合理;B项中飞机零件每一件都得合格,故应采用全面调查;C项中检验对个体具有破坏性,故应采用抽样调查;D项合理.2.下列抽样试验中,用抽签法方便的是( )A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验中,总体较大,样本量也较大,不适合用抽签法;B中,总体较小,样本量也较小,可用抽签法;C中,甲、乙两厂生产的两箱产品有区别,不能用抽签法;D中,总体较大,不适合用抽签法.3.某校期末考试后,为了分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩,从中随机抽取了100名学生进行调查分析.在这个问题中,高一年级的1 000名学生是( )A.总体B.个体C.样本D.样本量,高一年级的1000名学生是总体.4.从全校1 200名五年级女生中用随机数法抽取300名调查其身高,得到样本平均数为148.3 cm,则可知该校五年级女生的平均身高( )A.一定为148.3 cmB.高于148.3 cmC.低于148.3 cmD.约为148.3 cm,故可用样本平均数估计总体平均数,从而可知该校五年级女生的平均身高约为148.3cm.5.从一群做游戏的小孩中随机抽取k人,一人分一个苹果,让他们返回继续做游戏.过了一会儿,再从中随机抽取m人,发现其中有n个小孩曾分到过苹果,估计做游戏的小孩的人数为( )A.knmB.k+m-nC.kmnD.k-m+nx人,则kx ≈nm,得x≈kmn.6.若数据x1,x2,…,x n的平均数为a,数据y1=2+x1,y2=2+x2,…,y n=2+x n,则数据y1,y2,…,y n的平均数为( )A.aB.2+aC.2D.2aa=1n∑i=1nx i,∴数据y1,y2,…,y n的平均数y=1n∑i=1ny i=1n∑i=1n(2+xi)=1n(2n+∑i=1nx i)=2+1n∑i=1nx i=2+a.7.某工厂共有n名工人,为调查工人的健康情况,采用简单随机抽样的方法从中抽取20名工人作为调查对象,若每名工人被抽到的可能性为15,则n= .,20n=15,故n=100.8.在小明家的果园里有400棵品种、树龄相同的苹果树,通过简单随机抽样从中抽取5棵,产量(单位:kg)分别是15,20,18,17,10,则可以估计果园里的苹果的总产量为.5棵苹果树的平均产量为x=1×(15+20+18+17+10)=16(kg),所以可以估计果园里的苹果的总产量5为16×400=6400(kg).9.某公司采购了20架钢琴,现欲从中抽取5架进行质量检查,请用抽签法确定这5架钢琴.,将20架钢琴编号,号码是1,2, (20)第二步,将20个编号分别写在20张外观、质地等无差别的小纸片上作为号签.第三步,将写好的小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.第四步,从盒里不放回地逐个抽取5个号签,并记录上面的编号.第五步,与号签上的编号对应的5架钢琴就是要抽取的样本.10.某校从高一全体男生中用简单随机抽样的方法抽取了20人测量出体重数据(单位:kg)如下:65 56 70 82 66 72 54 86 70 62 5872 64 60 76 72 80 68 58 66试估计该校高一男生的平均体重,以及体重在60~75 kg之间的人数所占比例.=67.85(kg).20名男生的平均体重为65+56+70+…+68+58+662020名男生中体重在60~75kg之间的人数为12,=0.6.所以这20名男生中体重在60~75kg之间的人数所占比例为1220故估计该校高一男生的平均体重为67.85kg,体重在60~75kg之间的人数所占比例为0.6.。

人教A版高中数学必修第二册第九章统计9.1随机抽样9.1.1简单随机抽样基础过关练题组一全面调查与抽样调查1.(2024重庆西南大学附属中学月考)要调查下列问题,适合采用全面调查(普查)的是()A.某城市居民3月份人均网上购物的次数B.某品牌新能源汽车最大续航里程C.检测一批灯泡的使用寿命D.调查一个班级学生每周的体育锻炼时间2.(多选题)(2024陕西汉中期末)为了解参加运动会的1 000名运动员的年龄情况,从中抽取了10名运动员的年龄进行统计分析,下列说法中正确的有()A.1 000名运动员的年龄是总体B.所抽取的10名运动员是一个样本C.样本容量为10D.每个运动员被抽到的机会相等3.(2024上海向明中学月考)为了解黄浦区全体高二学生“小三门”的选科情况,区教育局共联络了950名黄浦区在读高二学生进行调查,在这项调查中,样本量是.题组二简单随机抽样4.(2024江苏无锡辅仁高级中学月考)在简单随机抽样中,下列关于其中一个个体被抽中的可能性说法正确的是()A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性更大一些B.与第几次抽样有关,最后一次抽到的可能性更大一些C.与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等D.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性更小一些5.下列问题中,最适合用简单随机抽样方法抽样的是()A.某单位有员工40人,其中男员工30人,女员工10人,从中抽取8人调查吸烟情况B.从20台电视机中抽取5台进行质量检查C.中央电视台要对春节联欢晚会的收视率进行调查,从全国观众中选10 000名观众D.某公司在甲、乙、丙三地分别有120个、80个、150个销售点,要从中抽取35个调查收入情况6.下列抽样中适合用抽签法的是()A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱50件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验7.(2024河南安阳期末)用简单随机抽样的方法从含N个个体的总体中逐个抽取一个容量,那么N=()为3的样本,若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为18A.8B.24C.72D.无法计算8.(2024陕西西安模拟)某高校对中文系新生进行体测,利用随机数表对650名学生进行抽样,先将650名学生进行编号:001,002,…,649,650.从中抽取50个样本,如下提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是()32 21 18 34 2978 64 54 07 3252 42 06 44 3812 23 43 56 7735 78 90 56 4284 42 12 53 3134 57 86 07 3625 30 07 32 8623 45 78 89 0723 68 96 08 0432 56 78 08 4367 89 53 55 7734 89 94 83 7522 53 55 78 3245 77 89 23 45A.623B.328C.072D.4579.(2024河南周口月考)某高校共有50名志愿者被选中参加某志愿服务活动,暑假期间,该校欲从这50名志愿者中选取8人组成志愿服务小组,请用抽签法设计抽样方案.题组三总体均值与样本均值10.(教材习题改编)在对某校高中学生身高的调查中,小明、小华分别独立进行了简单随机抽样调查.小明调查的样本平均数为165.7,样本容量为100;小华调查的样本平均数为166.5,样本容量为200,下列说法正确的是()A.小华的调查结果比小明的调查结果更接近总体平均数B.总体平均数一定高于小明调查的样本平均数C.总体平均数一定低于小华调查的样本平均数D.总体平均数是确定的数,样本平均数总是在总体平均数附近波动11.(2024陕西安康高新中学模拟)演讲比赛中,12位评委对小李的演讲打出了如下分数:9.38.88.99.08.99.09.18.79.29.09.19.2若去掉两个最高分,两个最低分,则剩下8个分数的平均数为()A.9.075B.9.05C.9.025D.912.(教材习题改编)某校为了解学生的课外阅读情况,通过简单随机抽样抽取了40名学生,对他们一周的读书时间进行了统计,统计数据如下:读书时间/h7891011学生人数610987则该校学生一周读书时间的平均数()A.一定为9 hB.高于9 hC.低于9 hD.约为9 h13.某些商家为消费者提供免费塑料袋,使购物消费更加方便快捷,但是我们更应关注它对环境的潜在危害.为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况,统计人员采用了科学的方法,随机抽取了200户家庭,对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计,结果如下表:每户丢弃123456塑料袋个数家庭数156********(1)求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数;(2)假设该市现有家庭100万户,据此估计全市所有家庭每年(以365天计算)丢弃塑料袋的总数.答案与分层梯度式解析第九章统计9.1随机抽样9.1.1简单随机抽样基础过关练1.D2.ACD 4.C 5.B 6.B7.A8.A10.D11.C12.D1.D A,B中要调查的总体数量和工作量都较大,适合采用抽样调查;C中检测具有破坏性,适合抽样调查;D中要调查的总体数量较小,工作量较小,适合采用普查.故选D.2.ACD对于A,1 000名运动员的年龄是总体,故A正确;对于B,所抽取的10名运动员的年龄是一个样本,故B错误;对于C,样本容量为10,故C正确;对于D,每个运动员被抽到的机会相等,故D正确.故选ACD.3.答案9504.C在简单随机抽样中,每个个体每次被抽中的可能性都相等,与第几次抽样无关,故选C.5.B对于A,D,总体中的个体有明显差异,不适合用简单随机抽样;对于C,全国人数较多,且人口太分散,不适合用简单随机抽样;对于B,总体中的个体数较少,且个体之间无明显差异,适合用简单随机抽样.故选B.6.B对于选项A,D,总体中的个体数较多,不适合用抽签法;对于C,甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大,不适合用抽签法;对于B,总体中的个体数较少,样本容量较小,且个体之间无明显差异,适合用抽签法.故选B.7.A由题意得1N =18,解得N=8,故选A.8.A从第5行第6列开始向右读取数据,依次为253,313,457,860(不符合要求,舍去),736(不符合要求,舍去),253(重复,舍去),007,328,623,故选A.9.解析(1)将50名志愿者编号,号码分别是1,2, (50)(2)将号码分别写在外观、质地等完全相同的小纸片上作为号签.(3)将小纸片揉成纸团,放入一个不透明的盒子里,充分搅匀.(4)从盒子中不放回地逐个抽取8个号签,使与号签上编号对应的志愿者进入样本,组成志愿服务小组.易错点拨 利用抽签法抽取样本时应注意以下问题:(1)编号时,如果已有编号(如学号、标号等)可不必重新编号;(2)号签要求大小、形状、质地等完全相同;(3)号签要搅拌均匀;(4)抽取号签时要逐一、不放回抽取.10.D 总体平均数是确定的数,样本平均数总是在总体平均数附近波动,在样本容量小于总体容量时,无法判断样本平均数与总体平均数之间的大小关系,故选D. 11.C 去掉的数据有9.3,9.2,8.7,8.8, 所以剩下8个分数的平均数为8.9+9.0+8.9+9.0+9.1+9.2+9.0+9.18=9.025.故选C.12.D 由题目所给数据可知抽取的40名学生一周读书时间的平均数为7×6+8×10+9×9+10×8+11×740=9(h),用样本平均数估计总体平均数,可知该校学生一周读书时间的平均数约为9 h.13.解析 (1)1200×(1×15+2×60+3×65+4×35+5×20+6×5)=1200×600=3. 故当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数为3. (2)3×365×100=109 500(万个).故估计全市所有家庭每年丢弃塑料袋109 500万个.。

第11章 坐标平面上的直线1. （本P20例4）已知直线l 经过点(2,P -，且与直线0l ：20x +=的夹角为π3，求直线l 的方程.2. （本P24. 3）已知△ABC 的三个顶点坐标分别为(1,1)A ，(9,3)B ，(2,5)C ，求BAC ∠的角平分线所在直线的方程.3. （本P24例4）已知直线l ：1y kx =+与两点(1,5)A -、(4,2)B -，若直线l 与线段AB 相交，求k 的取值范围.4. （册P3. 4）已知原点O 在直线l 上的射影为(2,1)H -，求直线l 的方程.5. （册P5. 7）已知直线l 的倾斜角为α，3sin 5α=，且这条直线经过点(3,5)P ，求直线l 的一般式方程.6. （册P6. 1）直线20x ay -+=（0a <）的倾斜角是（ ） （A ）1arctana （B ）1arctan a - （C ）1πarctan a - （D ）1πarctan a+ 7. （册P6. 2）当π,02θ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，求经过(0,0)P 、(cos ,sin )Q θθ两点的直线的斜率和倾斜角.8. （册P6. 4）已知直线l 经过点(3,4)A ，它的倾斜角是直线210x y -+=的倾斜角的2倍，求直线l 的方程.9. （册P12. 7）已知直线l 过点(0,1)P ，且被平行直线1l ：3480x y +-=与2l ：3420x y ++=所截得的线段的长为l 的方程.10. （册P13. 4）已知1(1,0)P 、2(7,8)P -两点分别在直线l 的两侧，且1P 、2P 到直线l 的距离均为4，求直线l 的方程.11. （册P15. 8）已知△ABC 的AB 、AC 边上的高所在直线的方程分别为2310x y -+=和0x y +=，点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程.12. （册P16. 1）已知直线l ：(,)0f x y =. 如果直线l 外一点P 的坐标为00(,)x y ，那么直线00(,)(,)0f x y f x y -=（ ）（A ）过点P 且与直线l 斜交 （B ）过点P 且与直线l 重合 （C ）过点P 且与直线l 平行 （D ）过点P 且与直线l 垂直13. （册P16. 2（1））如果直线cos 20x y θ+-=（θ∈R ）的倾斜角为α，那么α的取值范围是______________14. （册P16. 2（2））若直线1l ：1120a x b y ++=（实数1a 、1b 不同时为0）与直线2l ：2220a x b y ++=（实数2a 、2b 不同时为0）的交点为(1,2)，则经过11(,)P a b 、22(,)Q a b 两点的直线的方程为________________15. （册P17. 3）如果直线l 经过点(3,4)，且点(3,2)-到直线l 的距离最大，求这条直线的方程.16. （册P17 5）过点(2,1)P 作直线l ，分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点. 当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程.17. （册P17. 6）已知直线l 经过点(1,2)P ，且与两坐标轴围成的三角形面积为S . （1）当3S =时，满足条件的直线有几条？ （2）当4S =时，满足条件的直线有几条？ （3）当5S =时，满足条件的直线有几条？第12章 圆锥曲线18. （本P33. 3）若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“(,)0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的____________条件.19. （本P34例5）已知定点(4,0)A 和曲线221x y +=上的动点B ，求线段AB 的中点P 的轨迹方程.20. （本P38例3）已知00(,)M x y 为圆C ：222x y r +=上一点，求过点M 的圆C 的切线l 的方程.21. （本P40例5）求过点(2,M 且与圆224x y +=相切的直线的方程.22. （本P41. 2）求过点(3,2)A 、(1,1)B 、(2,1)C -三点的圆的方程.23. （本P42例7）过圆O ：2216x y +=外一点(2,6)M -作直线交圆O 于A 、B 两点，求弦AB 的中点C 的轨迹.24. （本P45例2）已知定点1(4,0)F -、2(4,0)F 和动点(,)M x y ，求满足12||||2MF MF a +=（0a >）的动点M 的轨迹及其方程.25. （本P49. 3）若点P 是椭圆22195x y +=上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，求PM 的中点的轨迹方程.26. （本P50例4）已知椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的动点P 的坐标为(,)P P x y ，且12F PF ∠为钝角，求P x 的取值范围.27. （本P50例5）求椭圆2214x y +=中斜率为1的平行弦的中点的轨迹. 28. （本P55例1）已知点(,)M x y 到点1(3,0)F -的距离与它到点2(3,0)F 的距离的差为2a （0a ≥），求点M 的轨迹方程.29. （本P56例3）双曲线221916x y -=的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，若12PF PF ⊥，求点P 到x 轴的距离.30. （本P61例3）已知点1F 、2F 为双曲线2221y x b-=（0b >）的焦点，过2F 作垂直于x轴的直线，交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=o，求双曲线的渐近线方程.31. （本P64例1）点P 与点(2,0)F 的距离比它到直线40x +=的距离小4，求点P 的轨迹方程.32. （本P65. 1）在平面直角坐标系内，到点(1,1)A 和直线l ：230x y +-=距离相等的点的轨迹是（ ）（A ）直线 （B ）抛物线 （C ）椭圆 （D ）双曲线33. （本P67例2）求过定点(0,1)M 且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线的方程.34. （本P68. 8）已知点A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线22y x =的焦点，若点P 在抛物线上移动，求||||PA PF +的最小值，并求此时点P 的坐标.35. （册P18. 4）定长为4的线段AB 的两端点分别在x 轴、y 轴上滑动，求AB 中点的轨迹方程.36. （册P22. 5（2））直线0Ax By +=与圆220x y Ax By +++=的位置关系是_______37. （册P22. 6）已知222(2)20a x a y ax a ++++=表示圆，求实数a 的值.38. （册P29. 1（2））如果点P 是椭圆2213620x y +=上一个动点，1F 是椭圆的左焦点，那么1||PF 的最大值是________，1||PF 的最小值是________.39. （册P29. 1（3））如果直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，那么实数m 的取值范围是_____________.40. （册P29. 2（2））在△ABC 中，已知(1,0)A -、(1,0)C . 若a b c >>，且满足2sin sin sin B A C =+，则顶点B 的轨迹方程是_______________.41. （册P31. 2）设方程22121x y m m -=++表示焦点在y 轴的双曲线，求实数m 的取值范围.42. （册P32. 2）已知双曲线2216436x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过点1F ，交双曲线的左支于A 、B 两点，且||AB m =，求2ABF △的周长.43. （册P33. 4）已知双曲线的虚轴的长为6，一条渐近线的方程为30x y -=，求此双曲线的标准方程.44. （册P33. 5）求与双曲线2214y x -=有共同渐近线，且过点(2,2)M 的双曲线的标准方程.45. （册P34. 2）已知定点(3,0)A 和定圆B ：22(3)16x y ++=，动圆C 与圆B 外切，且过点A ，求动圆的圆心C 的轨迹方程.46. （册P35. 4）已知直线l ：1y ax =+与双曲线C ：2231x y -=相交于A 、B 两点.（1）求实数a 的取值范围；（2）若A 、B 两点都在双曲线C 的左支，求实数a 的取值范围； （3）求当实数a 为何值时，以线段AB 为直径的圆经过坐标原点.47. （册P36. 3）求抛物线2y x =的一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程. 48. （册P38. 8）在抛物线214x y =上求一点M ，使点M 到直线45y x =-的距离最短. 49. （册P39. 2）已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，过原点O作OM u u u u r ，使OM AB ⊥u u u u r u u u r ，垂足为M ，求点M 的轨迹方程.50. （册P39. 3）抛物线28y x =的动弦AB 的长为16，求弦AB 的中点M 到y 轴的最短距离.51. （册P40. 1）下列四个命题中，正确的是（ ） （A ）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y x =（B ）两相交直线3y x =与y =的夹角平分线的方程为y x = （C ）△ABC 的三个顶点的坐标分别是(1,1)A 、(3,1)B 、(1,3)C ，BC 边上的中线方程为y x =（D ）与两顶点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的夹角为90°的动点的轨迹方程为221x y += 52. （册P42. 8）已知过点(2,0)M -的直线l 与椭圆2222x y +=交于1P 、2P 两点，线段12PP 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k （10k ≠），直线OP 的斜率为2k ，求证：12k k 的值为定值.第13章 复数53. （本P84例4）当n ∈N 时，计算i (i)n n+-所有可能的值.54. （本P86例6）已知复数z 满足||1z =，求证：1z z+是实数. 【思考】“1z z+是实数”是“||1z =”的______________条件.55. （本P87. 2）已知复数i z a b =+（a 、b ∈R ，0a ≠，0b ≠），求证：z zz z+-是纯虚数. 56. （本P87. 4）已知复数32(13i)(3i)(12i)z +-=-，求z 的模. 57. （本P87例1）求724i -的平方根.58. （本P89. 4）计算10122⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭的值.59. （本P91. 3）把下列各式分解成一次因式的积： （1）24x +； （2）44a b -.60. （本P91. 4）在复数集中分解因式：2364x x -+.61. （本P92例3）已知方程210x px -+=（p ∈R ）的两根为1x 、2x ，若12||1x x -=，求实数p 的值.62. （册P51. 2）在复平面上，平行于y 轴的非零向量所对应的复数一定是___________ 63. （册P54. 4）已知复数cos isin z θθ=+（θ∈R ），求|2i |z +的取值范围. 64. （册P58. 1）非零实数a 的立方根是______________65. （册P58. 2）已知复数1i z =，2||1z =，212z z ⋅是虚部为负数的纯虚数，求复数2z .66. （册P60. 8）已知关于x 的方程2220x kx k k ++-=（k ∈R ）有一个模为1的虚根，求k 的值.67. （册P61. 4）已知关于x 的方程210x px -+=（p ∈R ）的两根为1x 和2x ，且12||||3x x +=，求p 的值.68. （册P61. 5）已知关于x 的方程2(4i)3i 0x x p ++++=（p ∈R ）有实数根，求p 的值，并解这个方程.69. （册P64. 10）已知复数z 分别满足下列条件，写出它在复平面上对应的点Z 的集合分别是什么图形.（1）|1i ||i 3|z z -+=--； （2）0zz z z ++=.70. （册P64. 11）已知集合A ={2|21i z z a a =-+，a ∈R }. 当实数a 变化时，说明集合A 中元素在复平面上所对应的点的轨迹表示何种曲线.71. （册P65. 2）若327ik ++是实数，则纯虚数k =__________ 72. （册P66. 4）已知复数z 满足1z z+∈R ，且|2|2z -=，求z .高二第二学期总复习题73. （册P67. 2（1））方程为222521x xy y -+=的曲线（ ）（A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称（C ）关于直线y x =对称，也关于直线y x =-对称 （D ）关于原点对称，但不关于直线y x =对称74. （册P67. 2（4））如果实数x 、y 满足22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是________ 75. （册P68. 7）已知椭圆2212x y +=和椭圆外一点(0,2)，过这点引直线与椭圆交于A 、B 两点，求弦AB 的中点P 的轨迹方程.76. （册P70. 13）已知虚数1z 、2z 满足212z z =.（1）设1z 、2z 是一个实系数一元二次方程的两个根，求1z 、2z ；（2）设11i z m =+，0m >，1||z 23z ω=+，求||ω的取值范围.77. （册P70. 2（1））若θ∈R ，则方程22sin 1x y θ+=所表示的曲线一定不是（ ）（A ）直线 （B ）圆 （C ）抛物线 （B ）双曲线78. （册P70. 2（2））若12||||1z z ==，12||z z +=12||z z -=________79. （册P71. 2（3））若复数z 满足22|2i ||1|5z z ---=，则它在复平面中对应的点的轨迹是（ ）（A ）直线 （B ）圆 （C ）双曲线 （D ）椭圆80. （册P71. 3）过点(1,2)M 作直线交y 轴于点B ，过点(1,1)N --作直线与直线MB 垂直，且交x 轴于点A . 求线段AB 的中点的轨迹方程.81. （册P71. 6）已知抛物线22y x =上有11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，且A 、B 关于直线y x m =+对称，1212x x =-，求实数m 的值.82. （册P72. 7）设关于x 的实系数一元二次方程20x ax b -+=的两个根一次为α、β，关于x 的一元二次方程20x bx a ++=的两个根依次为1α-，1β-，求α、β的值.。