2019-2020年高二下学期周测数学试题含答案

2019—2020学年度(下)高中学业质量调研抽测高二数学参考答案及评分意见一、选择题： 1-5：C B A C D ； 6-10：A C D B A ； 11-12:C B .二、填空题：13. 1-； 14. 15.36； 16. a =274-（3分），0x =4-（2分） 三、解答题：17.解:（Ⅰ）由321()33f x x ax x =--，得2()23f x x ax '=--， ……………………1分(1)22f a '=--. ……………………………………………………………2分由题意，得224a --=-， ∴1a =. …………………………………………4分 （Ⅱ）321()33f x x x x =--，2()23f x x x '=--， 由2()230f x x x '=-->，得1x <-或3x >，由2()230f x x x '=--<，得13x -<<， …………………………………………6分 ∵[4,4]x ∈-，∴()f x 的单调递增区间为(4,1)--，(3,4)，递减区间为(1,3)-.∴()f x 的极大值为5(1)3f -=，极小值为(3)9f =-. ……………………………8分 又76(4)3f -=-，20(4)3f =-，∴函数()f x 在区间[4,4]-的最大值为53，最小值为763-． ……………………10分18.解（Ⅰ）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为1.2400.810 1.5300.7201.15100⨯+⨯+⨯+⨯=小时， ……………………………4分由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，因为1.15小时60>分钟，所以该社区可称为“健身社区”. ……………………6分 （Ⅱ）由联立表可得，()()()()()()222100402030101004.7627030505021n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯. ………10分∵4.762 3.840>，所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关. ……………12分19.解：（Ⅰ）用分层抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，其中特级品为3箱,非特级品为7箱,…1分ξ表示随机抽取的是特级的箱数，则ξ的取值为0,1,2,3. ………………………2分则03373107(0)24C C P C ξ=== ， 123731021(1)40C C P C ξ===， 21373107(2)40C C P C ξ=== ， 333101(3)120C P C ξ===. ξ的分布列为：……………………………………………6分721719()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………………………8分 （Ⅱ）设方案二的单价为η，则η 的期望为：1331()2520151017.5510105E η=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………………………11分()17.520E η=<,从采购商的角度考虑，应该采用方案二. …………………………………12分 20．解：（Ⅰ）由()21xf x e x =--，∵[0,)x ∈+∞，∴0()212110x f x e e '=-≥-=>. …………………………………………………2分∴()f x 在[0,)+∞上单调递增， …………………………………………………3分 ∴()(0)1f x f ≥=． …………………………………………………4分 （Ⅱ）由2()(1)()g x x m x f x =+--，得2()12xg x x mx e =++-. ∵2120x x mx e ++-≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，即221x e x m x --≤在(0,)x ∈+∞上恒成立. …………………………………6分当(0,)x ∈+∞时，设22121()()x x e x e t x x x x x--==-+， 2222(1)1(1)(21)()(1)x x e x x e x t x x x x----'=--=. ……………………………7分 由（Ⅰ）知()(0)1f x f ≥=210x e x -->在(0,)+∞上恒成立，令()0t x '=得1x =，∴当(0,1)x ∈时，()0t x '<，()t x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0t x '>，()t x 单调递增， ………………………………………9分 ∴min ()(1)22t x t e ==-. ……………………………………………………………11分 ∴22m e ≤-. ……………………………………………………………12分21.解：（Ⅰ）记至少两次试验成功为事件A ，则()232333131544432P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴甲小组做三次试验，至少两次试验成功的概率为532. …………………………3分 （Ⅱ）由题意知，乙小组第四次成功前共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，共有2412A =种情况.记乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败为事件B ，则()331213212333729P B ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率为32729. …………………6分 （Ⅲ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 则()22323610431444P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221122132312605144343314412P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯== ⎪ ⎝⎭⎝⨯⨯⨯⎪⎭，()222211221213123137243443343144P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯， ()221122112131105343344314472P X C C ⎛⎫⨯⨯⨯⎛⎫==⨯+⨯⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()22111443144P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴X 的概率分布为：………………………………………………11分∴数学期望()3660371017012341441441441441446E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………12分22.解：（Ⅰ）由函数()ln f x x a x =--，(0,)x ∈+∞，(1)0f =，()f x '=， 1(1)2f a '=-.在点(1,(1))f 的切线方程为1()(1)2y a x =--，代入点5(2,)2- 得3a =. ……………3分()0f x '===，得4x =，当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(4,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 的极小值为(4)26ln 2f =-. ……………………………………5分（Ⅱ）22()12a x af x x x'==，令()22g x x a =-，因为()2g x '==当(1,)x ∈+∞ 时，10,0>>，所以()0g x '>，所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-. …………………7分 当120a -≥时，()0>g x ，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点. ………………………8分 当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞， 使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0<g x ，当0(,)x x ∈+∞时，()0>g x . 所以，当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =， ………………………………………11分 因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点.，所以1(,)2a ∈+∞． …………………12分。

2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案考生注意：1、本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面2、在本试题君上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题3、可使用符合规定的计算器答题一、填空题（本大题满分56分，共14个小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）1、已知向量，且，则2、双曲线的右焦点的坐标为3、与向量垂直的一个单位向量4、若（是复数单位），则5、若()(1)(2)()f n n n n n =++++++L ，则6、已知无穷等比数列的前n 项和，则7、一个方程组的增广矩阵为，则该方程组的解为8、若一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为，则另外两个角的读书分别 为9、已知圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为，半径，则该圆锥的体积为10、过球的一条半径的中心，作垂直于半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为11、汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口直径是26厘米，灯深11厘米，则灯泡与反射镜的顶点的距离为 厘米（精确到0.1厘米）12、若，且，则向量与的夹角为13、将全体正整数排成一个三角形的数阵：按照以上排量的规律，第n 行（），从左向右的第3个数为14、在中，已知:1:3,:1:4AM AB AN AC ==BN 与CM 交于点E ，，则（用表示）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题知且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15、两个非零向量垂直的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．16、某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据，其中，收入记为正数，支出记为负数，该店用右边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V 那么，在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（ ）A ．B ．C ．D ．17、设椭圆的左、右焦点分别为，抛物线的焦点，若，则的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．18、若数列满足当成立时，总可以推出成立，研究下列四个命题：（1）若，则 (2) 若，则(2) 若，则 (4) 若，则其中错误的命题是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（本大题满分74分）共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19、（本题满分12分）已知点，（1）求直线AB 的方程（2）若点P 满足，求P 点的轨迹方程．20、（本题满分14分）如图，在直平行六面体中，底面ABCD 是边长为2的菱形，，与底面ABCD 所成角的大小为，M 为的中点．（1） 求四棱锥M-ABCD 的体积；（2） 求异面直线BM 和所成角的大小（结果用反三角函数表示）21、（本题满分14分）已知，命题实系数一元二次方程的两根都是虚数；命题存在复数同时满足且．（1）若命题中根的虚部为整数，求实数的值；（2）若命题同为真命题，求实数的取值范围．22、（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M 、N 分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，连接AQ ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率k.(1)当直线PA 平分线断MN 时，求k 的值；（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k0，求证PAPB ．23、（本题满分18分）已知数列，满足：（1）若，求数列的通项公式；（2）若121,,341n a a a a b n λ=-==⋅=-且是递增数列，求a 的取值范围；（3）若，且，记，求证：数列为等差数列．。

2019-2020年高二下学期第三次周考数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数（是虚数单位），则（ ）A ．B ．C ．D ．2.“”是“”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3.已知向量，若，则实数的值为（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-24.已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是（ ）A ．2B ．0C ．6D ．5.某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为（ ）A ．B ．C ．D ．6.将6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A ．24B ．72C ．120D ．1447.已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上相邻两个最高点的距离为，若将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．8.设椭圆和双曲线的公共焦点分别为，为这两个曲线的一个交点，则的值为（ ）A． B．3 C． D．9.重庆市教育局将招聘的5名研究生随机分配到一中、三中、八中、巴蜀四所不同的学校，每所学校至少有一名研究生，则甲、乙两人同时被分配到八中的概率是（）A． B． C． D．10.在中，角所对的边分别为，已知，．则（）A．30° B．135° C．45°或135° D．45°11.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，……9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种．A．18 B．36 C．72 D．10812.已知函数有两个零点，则下列说法错误的是（）A． B． C． D．有极小值点，且第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．13.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为________．14.设为锐角，若，则的值为________．15.已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是________．16.已知对任意的，都有成立．若数列满足，且，则数列的通项公式________．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）设的内角所对的边长分别为，且()2cos cos b A C =．（1）求角的大小；（2）若角，边上的中线的长为，求的面积．18.（本小题满分12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且．（1）求与；（2）证明：．19.（本小题满分12分）如图1四边形中，是的中点，AB AD ==1沿直线折起，使得二面角为60°．如图2．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的余弦值．20.（本小题满分12分）以椭圆的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆（2）若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，试证明：当时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数2()ln(1)(0)f x x ax a =++≤，（1）若在处取得极值，求的值；（2）讨论的单调性；（3）证明：*2111111,9813n n N e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+<∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为自然对数的底数)． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是的内接三角形，是的切线，切点为交于点，交于点0,,45,1,8D PA PE ABC PD DB =∠===．（1）求的面积；（2）求弦的长．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程是，将向上平移1个单位得到曲线．（1）求曲线的极坐标方程；（2）若曲线的切线交曲线于不同两点，切点为，求的取值范围．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数2()log (12)f x x x m =++--．（1）当时，求函数的定义域；（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题13．； 14．； 15．； 16．三、解答题：17．（本小题满分12分）解：（1）∵()2cos cos b A C =，（2）由(1)知，所以，，设，在中由余弦定理得2222cos AC MC AC MC C AM +-=，解得，故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．（本小题满分12分）解：（1）设的公差为，因为222212b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以6126q d d q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩，解得或（舍），． 故133(1)3,3n n n a n n b -=+-==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）因为，所以12211()(33)31n S n n n n ==-++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 故12111211111112111322334131n S S S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．．．．． 10分 因为，所以，于是，所以，即． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．（本小题满分12分）（1）证明：取中点，连结，则011,,602AF EF AFE ==∠=， 由余弦定理知，∵，∴，又平面，平面，∴，又∵，∴平面． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2） （2）以为原点建立如图示的空间直角坐标系，则111,1,,0,1,,0,1,,0222A C B D ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设平面的法向量为，由，得，∵，∴cos ,4n ACn AC n AC ==-， 故直线与平面所成角的余弦值为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．解：（1）设椭圆的左焦点，，由得，又，即且，所以，则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为．．．．．．．．．．．．．4分（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，联列方程组2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩代入消元得：()222136330k x kbx b +++-=， 由2121222633,1313kb b x x x x k k--+==++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 可得22121223()()13b k y y kx b kx b k -=++=+，由得即222222223334330131313b b k b k k k k ----+==+++，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分此时()()2222236413332730k bk b k ∆=-+-=+>成立，则原点到弦的距离d ====， 得原点到弦的距离为，则，故弦的长为定值． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（1）∵，∵是的一个极值点，则，∴，验证知符合条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （2）∵22222()11x ax x a f x a x x++'=+=++， 1）若时，∴在单调递增，在单调递减；2）若得，当时，对恒成立，∴在上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分3）若时，由得，x <<， 再令，可得或，∴在11,a a ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 在和上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分综上所述，若时，在上单调递减，若时，在⎝⎭上单调递增， 和上单调递减． 若时，在单调递增，在单调递减............................７分（3）由（2）知，当时，在单调递减当时，由，∴， ∴22111111ln 111ln 1ln 1ln 198139813n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2111111111331133323213n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<+++==-< ⎪⎝⎭- ∴1221111119813n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭１２分 22.解：（１）∵是的切线，切点为，∴，又∵，∴0045,90PEA APE ∠=∠=，由于，所以由切割线定理可知，既故的面积为......................................５分（２）在中，由勾股定理得，由于2,6ED EP PD EB DB DE =-==-=，所以由相交弦定理得，所以，故...............10分23．解：（１）依题，因，所以曲线的直角坐标下的方程为，所以曲线的直角坐标下的方程为，............................3分 又，所以，即曲线的极坐标方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由题令，切线的倾斜角为，所以切线的参数方程为：（为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 联立的直角坐标方程得，20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 即由直线参数方程中，的几何意义可知，，因为所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分（解法二）设点，则由题意可知当时，切线与曲线相交．。

2月15日周练参考答案一．选择题 1—5 C A D B A 6—10 A D C B B二．填空题 11. 3− 12. 3 13.6π 14. 1− 三．解答题15．解：(1)∵3()f x x ax b =++，2'()3f x x a ∴=+， ……1分 '(2)1213f a =+=, ……2分 (2)826f a b =++=−， ……3分 解得1,6a b ==−.……5分 (2)∵切线与直线:43l y x =+垂直，∴切线的斜率4k =． ……6分 设切点的坐标为00(,)x y ，则200'()314f x x =+=，∴01x =±．……7分 由3()16f x x x =+−，可得0111614y =+−=−，或0111618y =−−−=−, ……8分 则切线方程为4(1)14y x =−−或4(1)18y x =+−, ……9分 即418y x =−或414y x =−．……10分 16.解: (1) 2()(5)6ln f x a x x =−+,6'()2(5)f x a x x ∴=−+,……1分 (1)16,'(1)68f a f a ==−, ……3分 切线方程为16(68)(1)y a a x −=−−， ……4分 (0,6)代入12a =.……5分 (2) 由(1)知21()(5)6ln 2f x x x =−+,()f x 的定义域为(0,)+∞，……6分 6(2)(3)'()(5)x x f x x x x −−=−+=,……7分 由'()0f x >得3x >或02x <<，由'()0f x <得23x <<， ……8分 ∴()f x 的单调递增区间为(0,2),(3,)+∞，单调递减区间为(2,3). ……10分单调递增区间写成并集的扣一分.17．解:(1)()f x 的定义域为R ，'()x f x e a =−.……1分若0a ≤，则'()0f x >，所以()f x 在R 上单调递增. ……2分 若0a >，当(,ln )x a ∈−∞时，'()0f x <；当(ln ,)x a ∈+∞时，'()0f x >. ……4分 ()f x ∴在(,ln )a −∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. ……5分(2) 1a =，()'()1()(1)1x x k f x x x k e x ∴−++=−−++.故0x >时，()'()10x k f x x −++>等价于1(0)1x x k x x e +<+>−. ① ……6分 令1(),1x x g x x e +=+−则221(2)'()1(1)(1)−−−−=+=−−x xx x x xe e e x g x e e .……7分 由(1)知，函数()2x h x e x =−−在(0,)+∞上单调递增. 而(1)0,(2)0,()h h h x <>∴在(0,)+∞上存在唯一的零点. 故'()g x 在(0,)+∞上存在唯一的零点.设此零点为,α则(1,2)α∈. ……8分 当(0,)x α∈时，'()0g x <；当(,)x α∈+∞时，'()0>g x . 所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g α. ……9分 又由'()0g α=，可得2e αα=+，所以()1(2,3)g αα=+∈. 由于①等价于()k g α<,故整数k 的最大值为2.……10分。

2019-2020年高二下学期周测数学（理）试题 含答案一．选择题1.复数z 满足:()2z i i i -=+，则z =在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） A.假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 3.32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ） A ．319 B ．316 C ．313 D ．3104.曲线x ex x f ln )(-=单调递减区间为（ ）A ．)1,(e-∞ B ．),1(+∞eC ．)1,0(eD ．),0(+∞5.已知: ()131312111++++++++=n n n n n f ，则()1+k f 等于( ) A.()()1131+++k k f B. ()231++k k f C. ()11431331231++++-+++k k k k k f D. ()11431++-+k k k f 6.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ） D ． 要排在一起，不同排法的种数为（ A. 88A B. 4444A A C. 4455A A D. 58A8.一次演出，原计划要排4个节目，因临时有变化，拟再添加2个小品节目，若保持原有4 个节目的相对顺序不变，则这6个节目不同的排列方法有（ ）人去参加数学、屋里、化学、外语四科竞赛，要求每科竞赛只有每人也只参加一科竞赛，且这6人中甲、乙两人不参加外语竞赛，则不同的选择方案共有（ ）A. 300B.240C. 144D. 9610.已知集合M={1，﹣2，3}，N={﹣4，5，6，﹣7}，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内多少个不同点（ ）法的种数为 （ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．4012. 9名乒乓球运动员，男5名，女4名，现要从中选出2名男队员、2名女队员进行混合双打比赛，不同的配对方法共有（ ）A ．60种B ．84种C ．120种D ．240种 二．填空题13.设m ∈N *，且m ＜25，则（25﹣m ）（26﹣m ）…（30﹣m ）=_________.（用排列数mn A 作答）14.从0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为_ __ 15. 求曲线23x y -=与直线y=2x 围成图形的面积 . 16.设n 为正整数，n n f 131211)(++++= ，计算得23)2(=f ，2)4(>f ，25)8(>f ，3)16(>f ，观察上述结果，可推测一般的结论为___ _____．三．解答题17（本题满分15分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）18（本题满分15分）用0，1，2，3，4，5这六个数字： （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？（以上各问均用数字作答）19（本题满分20分）某产品生产成本C 与产量q （*N q ∈）的函数关系式为q C 4100+=，销售单价p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．(1)、产量q 为何值时，利润最大？(2)、产量q 为何值时，每件产品的平均利润最大？20（本题满分20分）已知函数)(,32,)(23x f y x c bx ax x x f ==+++=时若有极值，曲线y=f(x)在x=1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为.1010（1）求c b a ,,的值；（2）求]1,4[)(-=在x f y 上的最大值和最小值。

杭州市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在公差为d 的等差数列{}n a 中，“1d >”是“{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．随机变量a 服从正态分布()21,N σ，且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，则函数1xy a a=+-图象不经过第二象限的概率为( ) A ．0.3750B ．0.3000C ．0.2500D ．0.20003．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ） A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种4．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，()2log 3a f =，()4log 5b f =，232c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c满足（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（ ） A ．20种 B ．15种C ．10种D ．4种6．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -7．在三棱锥P-ABC 中，PB BC =，3PA AC ==，2PC =，若过AB 的平面α将三棱锥P-ABC 分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的正弦值为（ ） A ．13B ．23C ．23D ．2238．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ） A ．16- B ．16C ．4-D ．49．若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．12010．平面α 与平面β 平行的条件可以是（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行 B ．α内的任何直线都与β平行C ．直线a α⊂ ，直线b β⊂ ，且//,//a b βαD ．直线//,//a a αβ ，且直线a 不在平面α内，也不在平面β内11．若函数()()32ln f x x f x '=+，则()1f '=（ ）A ．1B ．1-C ．27D ．27-12．定义在{|,1}x x R x ∈≠上的函数()()11f x f x -=-+，当1x >时， ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()()11cos 22g x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（35x -≤≤）的所有零点之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中能被5整除的数共有______个． 14．用数学归纳法证明2135(21)n n ++++-=L ，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上加上的项为_______．15．若函数2()log (1)a f x x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是______．16．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为7。

（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一第二学期高二年级期末复习周测试卷1班级：________ 姓名：___________ 得分：__________一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．已知集合2{|60}A x x x =--<，{|(4)(2)0}B x x x =+->，则A B =______．2．“若a ＞b ，则b a 22>”的逆否命题为．3．若函数23()xx ax f x e +=在0x =处取得极值，则a 的值为. 4．设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <；命题:q 实数x 满足275x +<，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．5．若命题“2,20x R x x m ∃∈++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是________．6．函数22()log (23)f x x x =--+的单调递增区间为，值域为．7．已知函数2()a y x a R x=+∈在1=x 处的切线与直线210x y -+=平行，则a 的值为________． 8．设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f(x)＝242, 10,,01,x x x x ⎧-+-≤<⎨≤<⎩则3()2f ＝________；9．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，则满足不等式1(lg )10x f f <（）的x 取值范围是________．10．已知函数()212log y x ax a =-+在区间(,2⎤-∞⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是．11．已知点P 在曲线()x f x e =（e 是自然对数的底数）上，点Q 在曲线()ln g x x =上，则PQ 的最小值为.12．若函数()2213,1(2),1b b x f x x x b x x -⎧++>⎪=⎨⎪-+-≤⎩在R x ∈内满足：对于任意的实数12x x ≠，都有1212()(()())0x x f x f x -->成立，则实数b 的取值范围为．13．已知()x f x xe =，2()(1)g x x a =-++，若12,x x R ∃∈，使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是____________．14．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[]a b ，上存在00()x a x b <<，满足 0()()()f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[]a b ，上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点．例如||y x =是[22]-，上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题： ①函数()cos 1f x x =-是[22]ππ-，上的“平均值函数”． ②若()y f x =是[]a b ，上的“平均值函数”，则它的均值点02a b x +≥． ③若函数2()1f x x mx =--是[11]-，上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是(02)m ∈，．④若x x f ln )(=是区间[]a b ，(1)b a >≥上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，则ab x 1ln 0<． 其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．已知：全集R U =，函数1()lg(3)2f x x x =+-+的定义域为集合A ，集合{}02<-=a x x B ． （1）求A C U ；（2）若A B A = ，求实数a 的范围．16．已知，命题p ：2,20x x ax ∀∈++≥R ，命题q ：21[3,],102x x ax ∃∈---+=． （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围；（3）若命题“q p ∨”为真命题，且命题“q p ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．17．设函数4()ln 1()f x x a x a R x=--+∈． （1）若曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴垂直，求()f x 的极值；（2）当4a ≤时，若不等式()2f x ≥在区间[1,4]上有解，求实数a 的取值范围．18．已知函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数，且满足()()()(),31f xy f x f y f =+=，(1)求()()9,27f f 的值；(2)解不等式()()82f x f x +-<．19．已知函数2()1f x x x =+-．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最大值与最小值的差为()h t ，求()h t 的表达式．20．（本小题满分14分）已知函数2()(1)ln ,.f x a x x a R =-+∈ （Ⅰ）当14a =-时，求函数()y f x =的单调区间； （Ⅱ）当12a =时，令1()()3ln 2h x f x x x =-+-．求()h x 在[1,]e 上的最大值和最小值； （Ⅲ）若函数()1f x x ≤-对∀),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．{}|23x x <<2．若22a b ≤，则a b ≤3．04．[]2,1-- 5．1m >6．()3,1--，(),2-∞7．0.a =8．19．10001x x ><<或10．)22,222⎡+⎣11．2 12．]0,41[-．13．1[,)e-+∞14．①③④ 15．(1)(][)∞+⋃-∞-=，，32A C u ；（2）4≤a ．16．（1）[22,22]-（2）10[,2]3--（3）10[,22)(2,22]3--- 17．（1）极小值是410ln 2-，极大值是2-；（2）1,ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 18．（1）(9)2f =，(27)3f =；（2）89x <<．19．（Ⅰ）单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）21715,0,421()64,1,246, 1.t t t h t t t t t ⎧++<≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩． 20．（Ⅰ）单调递增区间是（0,2），单调递减区间是),2(+∞；（Ⅱ）min ()(2)1ln 2h x h ==-，max ()h x =2122e -；（Ⅲ）0≤a ．。

2019-2020年高二下学期周考（3.20）数学（理）试题 含答案注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.有四个游戏盒，如果撒一粒黄豆落在阴影部分则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盒为2.3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（ ）A.1260B.120C.240D.7203.的展开式中的系数是（ ）A.16B.70C.560D.11204.若A,B 为一对对立事件，其概率分别为P(A)=，P(B)=，则x+y 的最小值为（ ）A. 9B.10C. 6D.85.在区域⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00202y y x y x 内任取一点P ，则点P 落在单位圆内的概率为（ ）A. B. C. D.6.在的展开式中，常数项为15，则n=（ ）A.3B.4C. 5D.67.用1,2,3,4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（ ）A.40B.60C.80D.108.若从数字0,1,2,3,4,5中任取三个不同的数作为二次函数的系数，则与x 轴有公共点的二次函数的概率是A. B. C. D.9.抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次实验成功，则在10次实验中，成功次数的期望是A. B. C. D.10.在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为（）A. B. C. D.11.考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A. B. C. D.12.已知函数=，当x在区间[-1,3]上任意取值时，函数值不小于0又不大于2的概率是（）A. B. C. D.第II卷（非选择题共90分）注意事项：第II卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。

2019-2020年高二下学期第二次质量检测数学（理）试题 含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．． 1.=____________.2. 把点P 的极坐标化为直角坐标为____________.3.已知随机变量X~B （6，），那么V (X)=________ ____.4.甲、乙两人射击，击中靶子的概率分别为0.85，，若两人同时射击，则他们都脱靶的概率为 ．5.展开式中含项的系数等于 ．(用数字作答)6.5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种．7.已知矩阵M=的一个特征值对应的特征向量，则a+b=______.8.将极坐标方程化为直角坐标方程为____________.9.其中成等差数列，若期望，则方差的值是 ．10.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第行第3个数字是 ．11. 袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P （ξ≤7）= .12.已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则等于_________.13.用0，1，2，3，4，5这六个数字,若数字不允许重复，可以组成能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数的个数为_________.14.已知是定义在上的函数，对于任意，恒成立，且当时，，若，且对任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知复数满足（是虚数单位） （1）求复数的虚部；（2）若复数是纯虚数，求实数的值；（3）若复数的共轭复数为，求复数的模．16.(本小题满分14分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？17．(本小题满分14分)给定矩阵，设椭圆在矩阵对应的变换下得到曲线,求的面积.18.（本题满分16分）已知数列{a n}满足：，(n∈N*)．(1)求的值；(2)证明：不等式对于任意的n∈N*都成立．19.(本小题满分16分)已知从地去地有甲、乙两条路可走，汽车走甲路堵车的概率为，汽车走乙路堵车的概率为，若有三辆汽车走甲路，有一辆汽车走乙路，且走甲路的三辆汽车是否堵车相互之间没有影响．（1）求走甲路的三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率；（2）求这四辆汽车被堵的车辆数的概率分布和数学期望．20.（本题满分16分）已知二项式2012(1)(,)n n n a a x a x a x x R n N =++++∈∈（1）若展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍，求的值； （2）若为正偶数时，求证：为奇数． （3）证明：123211*223223()n n n nn n n n n C C C C n N --⋅⋅⋅=⋅++++∈数学（理科）一.填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．______________2.________________3.______________4.__________________5.________________6.________________7.______________8.__________________9.________________10._______________11._____________12._________________13._______________14._______________二.解答题（本大题共6小题，共90分。

2019-2020学年高二数学下学期期末考试教学质量监测试题理（含解析）（考试时间：120分钟：赋分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）1. 是虚数单位，复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接由复数的除法运算可得解.【详解】复数，故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.2. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则极坐标为的点对应的直角坐标为（）A. B. C. （ D.【答案】B【解析】【分析】直接利用极坐标和直角坐标之间转换求出结果．【详解】，，极坐标为的点对应的直角坐标为故选：B【点睛】本题考查直角坐标和极坐标之间的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3. 用反证法证明命题“，，若，则，至少有一个大于0”，证明的第一步的正确表述是（）A. 假设，全都大于0B. 假设，至少有一个小于或等于0C. 假设，全都小于或等于0D. 假设，至多有一个大于0【答案】C【解析】【分析】利用反证法的定义分析判断得解.【详解】用反证法证明命题“，，若，则，至少有一个大于0”时，假设的内容应该是对结论的否定，即：假设，全都小于或等于0.故选：C.【点睛】本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4. 某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题根据独立重复试验直接计算概率即可.【详解】因为参与者每次抽中奖的概率均为，则甲参加3次抽奖，甲恰好有一次中奖的概率为.故选:C.【点睛】本题考查独立重复试验求概率的问题，是基础题.5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）A. －2B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】求出，再利用即可求解.【详解】由，则，，，解得.故选：D【点睛】本题考查了导数的几何意义，解题的关键是求出导函数，考查了基本运算能力，属于基础题.6. 项展开式中的常数项为（）A. –120B. 120C. －160D. 160【答案】C【解析】【分析】先求出二项展开的通项公式，令的指数为0，即可得常数项.【详解】展开式的通项公式为：，令，解得，所以常数项为.故选：C.【点睛】本题主要考查了二项式展开的通项公式，牢记公式是解题的关键，属于基础题.7. 在一次共有10000名考生参加的毕业水平测试中，这些学生的数学成绩服从正态分布，且，若此次测试成绩大于或等于90分的定为“等级”成绩，据此估计，此次测试中获得“等级”成绩的学生人数为（）A. 1000人B. 2000人C. 3000人D. 4000人【答案】B【解析】【分析】利用正态分布的对称性即可求解.【详解】依题意，，根据正态分布的对称性，所以“等级”成绩的学生人数为：.故选：B【点睛】本题考查了正态分布的性质，考查了基本运算能力，属于基础题.8. 为研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数（天）3繁殖个数（千2.5个）由最小二乘法得与的线性回归方程为，则样本在（4，3）处的残差为（）A. －0.15B. 0.15C. －0.25D. 0.25【答案】A【解析】【分析】求出样本中心，进而求出，最后根据残差的定义进行求解即可.【详解】因为，，所以有，当时，，所以样本在（4，3）处的残差为：.故选：A【点睛】本题考查了样本残差的求法，属于基础题.9. 是直线上的动点，是曲线C：（为参数）上的动点，则的最小值是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设点，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由曲线C：（为参数）消去参数，设点，则点到直线的距离为，当时，.故选：C.【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.10. 为提高市区的防疫意识，某医院从3名男医生和4名女医生中选派3名医生组成防控宣传组，要求男女医生各占至少一名，则不同的方案共有（）A. 24种B. 30种C. 32种D. 36种【答案】B【解析】【分析】分情况：男女或男女，再利用组合即可求解.【详解】根据题意可知男女医生各占至少一名，有两种情况：男女，共有，男女，共有，所以不同的方案共有：，故选：B【点睛】本题考查了计数原理、组合数的应用，属于基础题.11. 不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D. ）【答案】A【分析】利用绝对值三角不等式求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，进而可解得实数的取值范围.【详解】由绝对值三角不等式可得，当时等号成立，由于不等式恒成立，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查利用绝对值不等式恒成立求参数，考查了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.12. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（）A. 的极大值为，极小值为B. 的极大值为，极小值为C. 的极大值为，极小值为D. 的极大值为，极小值为【答案】C【分析】由的图象可以得出在各区间的正负，然后可得在各区间的单调性，进而可得极值.【详解】由图象可知：当和时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则.所以在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.所以的极小值为，极大值为.故选C.【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，解题的突破点是由已知函数的图象得出的正负性.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 不等式的解集为________.【答案】【解析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.详解】∵，∴不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.14. 已知为虚数单位，复数满足，则__________.【答案】【解析】【分析】根据复数模的运算公式，求得.【详解】依题意，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查复数模的计算，属于基础题.15. 在一个暗箱中装有5个形状大小完全一样的小球，其中有个红球，其余的全为黑球，若从暗箱中任取2个小球，两个小球不同颜色的概率为，则的值为__________.【答案】或；【分析】所有的取法共有种,而取出的两个球颜色不同的取法有种,由此求得取出的两个球颜色不同的概率,即可得出的值.【详解】从暗箱中任取2个小球，两个小球不同颜色的概率为：，解得：或3，故答案为：或.【点睛】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题.16. 如图，现有一个圆锥形的铁质毛坯材料，底面半径为6，高为8.某工厂拟将此材料切割加工成一个圆柱形构件，并要求此材料的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为__________.【答案】【分析】利用几何体的轴截面进行计算，结合导数求得圆柱形构件的最大体积.【详解】画出圆锥及圆柱的轴截面如下图所示.其中，，四边形为矩形.设圆柱的底面半径为，即，则，即.所以圆柱的体积为，.，由于，所以在区间上，单调递增；区间上，单调递减.所以在处取得极大值也即是最大值为：.故答案为：【点睛】本小题主要考查圆锥的最大内接圆柱有关计算，考查利用导数求最值，属于中档题.三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 证明：【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用题意，由分析法，原问题等价于，结合题意进行计算即可证得结论.【详解】证明：要证只需证只需证只需证只需证因为成立,所以.【点睛】本题考查分析法证明不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.18. 为了预防新型冠状病毒疫病.某生物疫苗研究所加紧对疫苗进行研究，将某一型号的疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：现从所有感染病毒的小白鼠中随机抽取一只，抽到“注射疫苗”小白鼠的概率为．（1）完成如图的2×2列联表：（2）能否有99%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效？已知，．0.053.841【答案】（1）填表见解析；（2）有把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效.【解析】【分析】（1）由题意可得，则，然后依次求出，由此可得列联表；（2）根据公式求得，再与比较大小即可求出答案．【详解】解：（1）所有感染病毒的小白鼠共有50只，其中注射疫苗的共有只，∴，∴，，，，∴列联表如下：（2）∵，∵，∴有把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效．【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于基础题．19. 某加工厂为了检查一条产品生产流水线的生产情况，随即抽取该流水线上生产的20件产品作为样本，测量它们的尺寸（单位：）统计如下表：尺寸（单位：样本频率）根据产品尺寸，规定尺寸超过且不超过的产品为“一等品”，其余尺寸为“非一等品”.（1）在抽取的样本产品中，求产品为“一等品”的数量.（2）流水线生产的产品较多，将样本频率视为总体概率，现从该流水线上任取5件产品，求恰有3件产品为“非一等品”的概率.【答案】（1）12（件）；（2）.【解析】【分析】（1）由表格可求得样本产品为“一等品”的频率，计算即可得出产品为“一等品”的数量.（2）设5件产品中取到“非一等品”的件数为，由题意可得，根据公式计算即可得出结果.【详解】解：（1）由题意，样本产品为“一等品”的频率为，所以样本产品为“一等品”的数量为（件）.（2）由题意，流水线上任取件产品为“非一等品”的概率为.设取到“非一等品”的件数为由已知，，故，∴恰有件产品为“非一等品”的概率.【点睛】本题考查概率的计算，考查独立重复试验二项分布的概率的计算，考查运算求解能力，属于基础题.20. 在直角坐标系中，直线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求极坐标方程；（2）若圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设、分别为与、的交点，且、与原点不重合，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可得解；（2）将代入两个曲线的极坐标方程，可得，由可得解.【详解】（1）∵，，∴的极坐标方程为.（2）∵直线的极坐标方程为∴，∴.【点睛】本题主要考查了极坐标方程求长度问题，属于基础题.21. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集：（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，分当，，三类情况讨论即可得答案；（2）当时，，故恒成立转化为恒成立，再根据恒成立求解即可.【详解】解：（1）当时，.①当时，原不等式可化为解得；②当时，原不等式可化为解得；③当时，不等式可化为解得；综上，原不等式的解集为（2）当时，∴由恒成立得恒成立，∴∴，解得，∴的取值范围为.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，不等式恒成立问题求参数范围，是中档题.22. 已知函数，其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程：（2）若函数存在最小值为，且恒成立，求取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出切点以及切点处的导数，再利用导数的几何意义即可求解.（2）求出，讨论或，判断函数的的单调性，利用单调性求出函数的最小值，再利用导数求出的最大值即可.【详解】解：（1）时，，切线斜率曲线在点处的切线方程为：，∴曲线在点处的切线方程为（2）①当时，恒成立在单调递增，无最小值②当时，由得或（舍）时，，在单调递减时，，在单调递增所以存在最小值，，由得，易知在单调递增，在单调递减所以的最大值为又∴恒成立，∴取值范围为.【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的最值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题.2019-2020学年高二数学下学期期末考试教学质量监测试题理（含解析）（考试时间：120分钟：赋分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）1. 是虚数单位，复数（）A. B. C. D.【答案】B【分析】直接由复数的除法运算可得解.【详解】复数，故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.2. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则极坐标为的点对应的直角坐标为（）A. B. C. （ D.【答案】B【解析】【分析】直接利用极坐标和直角坐标之间转换求出结果．【详解】，，极坐标为的点对应的直角坐标为故选：B【点睛】本题考查直角坐标和极坐标之间的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3. 用反证法证明命题“，，若，则，至少有一个大于0”，证明的第一步的正确表述是（）A. 假设，全都大于0B. 假设，至少有一个小于或等于0C. 假设，全都小于或等于0D. 假设，至多有一个大于0【答案】C【解析】利用反证法的定义分析判断得解.【详解】用反证法证明命题“，，若，则，至少有一个大于0”时，假设的内容应该是对结论的否定，即：假设，全都小于或等于0.故选：C.【点睛】本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4. 某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题根据独立重复试验直接计算概率即可.【详解】因为参与者每次抽中奖的概率均为，则甲参加3次抽奖，甲恰好有一次中奖的概率为.故选:C.【点睛】本题考查独立重复试验求概率的问题，是基础题.5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）A. －2B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】求出，再利用即可求解.【详解】由，则，，，解得.故选：D【点睛】本题考查了导数的几何意义，解题的关键是求出导函数，考查了基本运算能力，属于基础题.6. 项展开式中的常数项为（）A. –120B. 120C. －160D. 160【答案】C【解析】【分析】先求出二项展开的通项公式，令的指数为0，即可得常数项.【详解】展开式的通项公式为：，令，解得，所以常数项为.故选：C.【点睛】本题主要考查了二项式展开的通项公式，牢记公式是解题的关键，属于基础题. 7. 在一次共有10000名考生参加的毕业水平测试中，这些学生的数学成绩服从正态分布，且，若此次测试成绩大于或等于90分的定为“等级”成绩，据此估计，此次测试中获得“等级”成绩的学生人数为（）A. 1000人B. 2000人C. 3000人D. 4000人【答案】B【解析】【分析】利用正态分布的对称性即可求解.【详解】依题意，，根据正态分布的对称性，所以“等级”成绩的学生人数为：.故选：B【点睛】本题考查了正态分布的性质，考查了基本运算能力，属于基础题.8. 为研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数（天）3繁殖个数（千个） 2.5由最小二乘法得与的线性回归方程为，则样本在（4，3）处的残差为（）A. －0.15 B. 0.15 C. －0.25 D. 0.25【答案】A【解析】【分析】求出样本中心，进而求出，最后根据残差的定义进行求解即可.【详解】因为，，所以有，当时，，所以样本在（4，3）处的残差为：.故选：A【点睛】本题考查了样本残差的求法，属于基础题.9. 是直线上的动点，是曲线C：（为参数）上的动点，则的最小值是（）A B. C. D.【答案】C设点，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由曲线C：（为参数）消去参数，设点，则点到直线的距离为，当时，.故选：C.【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.10. 为提高市区的防疫意识，某医院从3名男医生和4名女医生中选派3名医生组成防控宣传组，要求男女医生各占至少一名，则不同的方案共有（）A. 24种B. 30种C. 32种D. 36种【答案】B【解析】【分析】分情况：男女或男女，再利用组合即可求解.【详解】根据题意可知男女医生各占至少一名，有两种情况：男女，共有，男女，共有，所以不同的方案共有：，故选：B【点睛】本题考查了计数原理、组合数的应用，属于基础题.11. 不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D. ）【分析】利用绝对值三角不等式求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，进而可解得实数的取值范围.【详解】由绝对值三角不等式可得，当时等号成立，由于不等式恒成立，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查利用绝对值不等式恒成立求参数，考查了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.12. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（）A. 的极大值为，极小值为B. 的极大值为，极小值为C. 的极大值为，极小值为D. 的极大值为，极小值为【答案】C【解析】【分析】由的图象可以得出在各区间的正负，然后可得在各区间的单调性，进而可得极值.【详解】由图象可知：当和时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则.所以在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.所以的极小值为，极大值为.故选C.【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，解题的突破点是由已知函数的图象得出的正负性.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 不等式的解集为________.【答案】【解析】【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.详解】∵，∴不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.14. 已知为虚数单位，复数满足，则__________.【答案】【解析】【分析】根据复数模的运算公式，求得.【详解】依题意，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查复数模的计算，属于基础题.15. 在一个暗箱中装有5个形状大小完全一样的小球，其中有个红球，其余的全为黑球，若从暗箱中任取2个小球，两个小球不同颜色的概率为，则的值为__________.【答案】或；【解析】【分析】所有的取法共有种,而取出的两个球颜色不同的取法有种,由此求得取出的两个球颜色不同的概率,即可得出的值.【详解】从暗箱中任取2个小球，两个小球不同颜色的概率为：，解得：或3，故答案为：或.【点睛】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题.16. 如图，现有一个圆锥形的铁质毛坯材料，底面半径为6，高为8.某工厂拟将此材料切割加工成一个圆柱形构件，并要求此材料的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为__________.【答案】【解析】利用几何体的轴截面进行计算，结合导数求得圆柱形构件的最大体积.【详解】画出圆锥及圆柱的轴截面如下图所示.其中，，四边形为矩形.设圆柱的底面半径为，即，则，即.所以圆柱的体积为，.，由于，所以在区间上，单调递增；区间上，单调递减.所以在处取得极大值也即是最大值为：.故答案为：【点睛】本小题主要考查圆锥的最大内接圆柱有关计算，考查利用导数求最值，属于中档题.三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 证明：【答案】证明见解析.【分析】利用题意，由分析法，原问题等价于，结合题意进行计算即可证得结论.【详解】证明：要证只需证只需证只需证只需证因为成立,所以.【点睛】本题考查分析法证明不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.18. 为了预防新型冠状病毒疫病.某生物疫苗研究所加紧对疫苗进行研究，将某一型号的疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：现从所有感染病毒的小白鼠中随机抽取一只，抽到“注射疫苗”小白鼠的概率为．（1）完成如图的2×2列联表：（2）能否有99%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效？已知，．0.053.841【答案】（1）填表见解析；（2）有把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效.【解析】【分析】（1）由题意可得，则，然后依次求出，由此可得列联表；（2）根据公式求得，再与比较大小即可求出答案．【详解】解：（1）所有感染病毒的小白鼠共有50只，其中注射疫苗的共有只，∴，∴，，，，∴列联表如下：（2）∵，∵，∴有把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效．【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于基础题．19. 某加工厂为了检查一条产品生产流水线的生产情况，随即抽取该流水线上生产的20件产品作为样本，测量它们的尺寸（单位：）统计如下表：尺寸（单位：）样本频率根据产品尺寸，规定尺寸超过且不超过的产品为“一等品”，其余尺寸为“非一等品”.（1）在抽取的样本产品中，求产品为“一等品”的数量.（2）流水线生产的产品较多，将样本频率视为总体概率，现从该流水线上任取5件产品，求恰有3件产品为“非一等品”的概率.【答案】（1）12（件）；（2）.【解析】【分析】（1）由表格可求得样本产品为“一等品”的频率，计算即可得出产品为“一等品”的数量.（2）设5件产品中取到“非一等品”的件数为，由题意可得，根据公式计算即可得出结果.【详解】解：（1）由题意，样本产品为“一等品”的频率为，所以样本产品为“一等品”的数量为（件）.（2）由题意，流水线上任取件产品为“非一等品”的概率为.设取到“非一等品”的件数为由已知，，故，∴恰有件产品为“非一等品”的概率.【点睛】本题考查概率的计算，考查独立重复试验二项分布的概率的计算，考查运算求解能力，属于基础题.20. 在直角坐标系中，直线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求极坐标方程；（2）若圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设、分别为与、的交点，且、与原点不重合，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可得解；（2）将代入两个曲线的极坐标方程，可得，由可得解.【详解】（1）∵，，∴的极坐标方程为.（2）∵直线的极坐标方程为∴，∴.【点睛】本题主要考查了极坐标方程求长度问题，属于基础题.21. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集：（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，分当，，三类情况讨论即可得答案；（2）当时，，故恒成立转化为恒成立，再根据恒成立求解即可.【详解】解：（1）当时，.①当时，原不等式可化为解得；②当时，原不等式可化为解得；③当时，不等式可化为解得；综上，原不等式的解集为（2）当时，∴由恒成立得恒成立，∴∴，解得，∴的取值范围为.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，不等式恒成立问题求参数范围，是中档题. 22. 已知函数，其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程：（2）若函数存在最小值为，且恒成立，求取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出切点以及切点处的导数，再利用导数的几何意义即可求解.（2）求出，讨论或，判断函数的的单调性，利用单调性求出函数的最小值，再利用导数求出的最大值即可.【详解】解：（1）时，，切线斜率曲线在点处的切线方程为：，∴曲线在点处的切线方程为（2）①当时，恒成立在单调递增，无最小值②当时，由得或（舍）时，，在单调递减时，，在单调递增所以存在最小值，，由得，易知在单调递增，在单调递减所以的最大值为又∴恒成立，∴取值范围为.【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的最值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题.。

高二下学期数学周练（8）命题人：张鹄 审题人：徐远景 时间：7月6日10:00--12:00一、选择题（60分）1．曲线sin x y x e =+在0x =处的切线方程是（ ） A ．330x y -+= B ．220x y C ．210x y -+= D ．310x y -+=2．已知1yx i i=+-，其中x 、y 是实数，i 是虚数单位，则复数x yi +的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限 B . 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率(A |B)P ，(|)P B A 分别是（ ） A ．6091，12B ．12，6091C ．518，6091D ．91216，124．已知函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,18B ．[]2,18C ．(][),218,-∞+∞D ．[)2,185．下列说法正确的个数是（ ）①设某大学的女生体重(kg)y 与身高(cm)x 具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,3,,)i i x y i n =，用最小二乘法建立的线性回归方程为0.8585.71y x =- ，则若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ；②关于x 的方程210(2)x mx m -+=>的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；④已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于，则直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围是3333(,)(,)22-∞-. A ．1B ．2C ．3D ．46．（1）将k 个小球随机地投入编号为1，2…，1k +的1k +个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为1ξ；（2）将1k +个小球随机地投入编号为1，2…，2k +的2k +个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记2k +号盒子中小球的个数为2ξ，则（ ） A ．()()()()1212E E D D ξξξξ<< B ．()()()()1212E E D D ξξξξ<> C ．()()()()1212E E D D ξξξξ><D ．()()()()1212E E D D ξξξξ>>7．某批零件的尺寸X 服从正态分布()210,N σ，且满足()198P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．48．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>上一点，12,F F 分别为C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（ ）AB ．2C D ．2或39．已知函数f （x ）满足2()2()1ln x f x xf x x '+=+，1()f e e=，当x ＞0时，下列说法正确的是（ ）①()f x 只有一个零点； ②()f x 有两个零点； ③()f x 有一个极小值点； ④()f x 有一个极大值点 A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．过抛物线24y x =焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与圆()2221x y r -+=交于C ，D 两点，若有三条直线满足AC BD =，则r 的取值范围为（ ）A ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭11．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（ ） A ．2y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±12．已知不等式()1ln x xe a x x -+≥对任意正数x 恒成立，则实数a 的最大值是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．2e 二、填空题(20分）13．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 .14．若1x =是函数()()25xx a e f x x =+-的极值点，则()f x 在[]22-,上的最小值为______.15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆上存在一点P 使得1232PF e PF =，则该椭圆的离心率e 的取值范围是______． 16．已知函数3()ln(3)x ef x a x e =-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是__________. 三、解答题（70分） 17．（10分）已知函数（1）求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值.（2）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程.18．（12分）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考公式和数据K 2，其中n ＝a +b +c +d .19．（12分）已知抛物线22y px =（0p >）上的两个动点()11,A x y 和()22,B x y ，焦点为F .线段AB 的中点为()03,M y ，且A ，B 两点到抛物线的焦点F 的距离之和为8. （1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.20．（12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①()0.6827P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级. （2）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ；（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望()E Z .21．（12分）已知()11,0F -，21,0F 为椭圆()2222:10x ya b a bΓ+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F AB ∆的周长为8. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知()()000,0P x y y ≠是直线:4l x =上一动点，若PA ，PB 与x 轴分别交于点(),0M M x ，(),0N N x ，则1111M N x x +--是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.22．（12分）已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1e． ()1求实数b 的值；()2当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；()3当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[],(1m n ⊆，)+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．。

浙江省杭州市2019-2020学年度高二第二学期期末教学质量检测试题数学【含解析】一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．1. 已知集合{}0,1,2,3,5A =，{}1,3,5B =，则A B =（ ）A. {}1,3B. {}3,5C. {}3,1,5D. {}0,1,2,3,5【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的知识求得AB .【详解】依题意可知，{}3,1,5A B ⋂=. 故选：C【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题. 2. 已知()2231f x x x =-+，则()1f =（ ）A. 15B. 21C. 3D. 0【答案】D 【解析】 【分析】利用函数解析式，求得函数值.【详解】根据()f x 的解析式，有()21213112310f =⨯-⨯+=-+=.故选：D【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题. 3. 125log 2516+=（ ）A.94B. 6C.214D. 9【答案】B 【解析】根据指数运算法则以及对数运算法则求解即可.【详解】112222555log 2516log 5(4)2log 546+=+=+=故选：B【点睛】本题考查指数运算法则以及对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. 若α是钝角，2cos 3α=-，则()sin πα-=（ ） A.23B. 23-C. 5-D.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数关系求得结果. 【详解】()sin πsin αα-=,又α是钝角，2cos 3α=-，所以25sin 1cos αα=-= 因此()sin πα-=53， 故选：D【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）2 2 C. 2D. 22【答案】C【分析】由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为2的等腰直角三角形，棱柱的高为2，由此可计算体积．【详解】把三棱柱旋转为下图，由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为2的等腰直角三角形，棱柱的高为2，几何体的体积为122222V =⨯⨯⨯=， 故选：C.【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积，由三视图得出原几何体中的线段的长度是解题关键．6. 若圆22104x y mx ++-=与直线1y =-相切，则m =（ ） A. 22±32 D. 3±【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心，根据直线与圆相切，建立方程，即可求出m .【详解】由22104x y mx ++-= 可得：2221()24m m x y +++=，故圆心为,02m ⎛⎫- ⎪⎝⎭21m +，又因为直线1y =-与圆相切，所以圆心到直线1y =-的距离等于半径，即2112m +=，解得3m =±， 故选：D【点睛】本题主要考查了直线与圆相切，圆的一般方程与标准方程，考查了运算能力，属于中档题. 7. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A. 3144AB AC - B.1344AB AC - C. 3144+AB ACD. 1344+AB AC【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.8. 已知不等式组y xy x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】C 【解析】【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.9. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（ ） A. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B. 若m α⊥，//m n ，βn//，则αβ⊥ C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m α⊥，//m n ，∴n α⊥，又∵//n β，∴αβ⊥，故B 正确； 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则α与β的位置关系不确定，故C 错误； 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 或m ，n 异面，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题主要考查线面、面面有关的命题的判定，熟记线面、面面位置关系即可，属于常考题型. 10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20210S >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】结合等比数列的前n 项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项.【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以2021111n q S a q -=⋅-，由于101nq q ->-，所以 2021111001nq S a a q-=⋅>⇔>-，所以“10a >”是“20210S >”的充要条件. 故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列前n 项和公式，考查充分、必要条件的判断，属于中档题. 11. 下列不可能．．．是函数()()ln f x x x αα=∈Z 的图象是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊值确定不可能的图象.【详解】当1x >时，0,ln 0x x α>>，所以此时()0f x >，故C 选项图象不可能成立.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题. 12. 已知1a =，4a b a b ++-=，则b 的最大值是（ ） 2 B. 26 D. 22【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值不等式化简已知条件，由此求得b 的最大值【详解】依题意()422a b a b a b a b b b =++-≥+--==，所以2b ≤， 也即b 的最大值是2. 故选：B【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式，属于基础题.13. 以双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点A 为圆心作半径为a 的圆，此圆与渐近线交于坐标原点O 及另一点B ，且存在直线y kx =使得B 点和右焦点F 关于此直线对称，则双曲线的离心率为（ ） 623 D. 3【答案】B 【解析】【分析】由题意可得，根据直线与圆的位置关系得点(),0A a -到by x a=-的距离22222c d b a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭+，得a ，c 的关系，再由离心率公式计算即可得到选项.【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，由题意可得，OB OF c ==，设点(),0A a -到by x a=-的距离为d ，则222OB a d =- 所以22222c d b a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭+，整理得222a c =，所以离心率2ce a==故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程和焦点坐标和离心率的求法，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.14. 设,x y ∈R （ ）A. 若1124239x yxy⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -> B. 若1124239x yx y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -< C. 若1122943yxx y ⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -< D. 若1122943yxxy ⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -> 【答案】B 【解析】 【分析】把相同变量整理在一起，然后构造函数，利用函数的单调性可判断.【详解】解：由1124239x y x y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2211124222393x y yx y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以222111220333x y yx y⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以22112233xyx y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1()23xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 在R 上为增函数，所以2x y <，即20x y -<，所以B 正确，由1122943y x xy ⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2211122922343x y yx y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22112233x yx y --⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1()23xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上为增函数，所以2x y <-，即20x y +<，所以C,D 不正确故选：B【点睛】此题考查了利用函数的单调性判断变量间的关系，关键是构造函数，属于中档题.15. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E 是棱BC 上的动点，F 是棱11B C 上靠近1C 点的三分点，M 是棱1CC 上的动点，则二面角A FM E --的正切值不可能．．．是（ ）31521565【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角A FM E --的余弦值，进而求得二面角A FM E --的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.【详解】取BC 的中点O ，连接OA ，根据等边三角形的性质可知OA BC ⊥，根据直三棱柱的性质，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则()()0,33,0,1,0,2A F ，设()()3,0,02M t t ≤≤. 则()()1,33,2,2,0,2AF FM t =-=-. 设平面AMF 的一个法向量为(),,m x y z =，则()3320220m AF x y z m FM x t z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1y =，得633363,1,66t m t t ⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭. 平面FME 的一个法向量是()0,1,0n =，所以222cos ,28120252633363166m n m n m nt t t t t ⋅===⋅-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以2sin ,1cos ,m n m n =-222710821628120252t t t t -+=-+所以二面角A FM E --的正切值为()()22sin ,271082166cos ,m n t t f t t m n-+==-()2115402162766t t =⋅+⋅+--因为02t ≤≤，所以111466t -≤≤--，216125405-=-⨯ 结合二次函数的性质可知当1165t =--时，()f t 有最小值1131554021627255⨯-⨯+=； 当1166t =--时，()f t 有最大值为11540216276366⨯-⨯+=， 所以()315,6f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣，所以二面角A FM E--的正切值不可能是2155. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）16. 已知()2,0,22,0x x x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则函数()f x 的零点个数为__________． 【答案】1【解析】【分析】画出()f x 的图象，由此判断()f x 零点的个数.【详解】画出()f x 的图象如下图所示，由图可知，()f x 有1个零点.故答案为：1【点睛】本小题主要考查分段函数零点的判断，属于基础题.17. 在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为33BC 的长是____．13【解析】 由题可知：13sin 33sin 2AB AC A A ⋅⋅==，又为锐角三角形，所以60A =，由余弦定理222cos 132b c a A a BC bc+-=⇒== 18. 若正数a ，b 满足225ab a b =++，则ab 的最小值是__________．【答案】25【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得ab 的最小值.【详解】依题意,a b 为正数，且225245ab a b ab =++≥， 所以450ab ab -≥， 即()510ab ab ≥525ab ab ≥⇒≥， 当且仅当5a b ==时等号成立.所以ab 的最小值是25.故答案为：25【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.19. 已知数列{}n a 和{}n b ，满足21n n b a =-，设{}n b 的前n 项积为2n a ，则14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n S =__________． 【答案】1122n -+ 【解析】【分析】 根据21n n b a =-及前n 项积为2n a 可得递推关系121n n na a a --=，整理可知{}n a 为等差数列，利用裂项相消法即可求解.【详解】设{}n b 的前n 项积为n T ，则2n n T a =则1n =时，1111221b T a a =-==，解得14a =， 当2n ≥时，11n n n n nT a b T a --==， 又21n nb a =-， 所以121n n na a a --=， 化简得12n n a a --=（2n ≥），所以{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列，42(1)22n a n n ∴=+-=+114112n n n n a a a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 11111111111112=2=466881042422n n n a a n n S +⎛⎫⎛⎫=-+-+-++--- ⎪ ⎪++⎝⎭∴⎝⎭， 故答案为：1122n -+ 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式，裂项相消法求和，考查了运算能力，属于中档题. 三、解答题：本大题共5小题，共74分，要求写出详细的推证和运算过程．20. 已知函数()ππ23cos cos 2cos 233f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅰ）求π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． （Ⅱ）求函数()f x 在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）最大值2，最小值3-【解析】【分析】（1）运用三角恒等变换将函数化为()2sin(2)6f x x π=-，代入可求得其函数值； （2）由x 的范围，求得26x π-的范围，根据正弦函数的图象与性质可求得函数()f x 在给定区间上的最值. 【详解】（Ⅰ）()ππ23sin cos cos 2cos 233f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 2(cos 2cos sin 2sin )(cos 2cos +sin 2sin )3333x x x x x ππππ=--- 3sin 2cos2x x =-2sin(2)6x π=-． 所以5()2sin 22sin 12266f ππππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭． （Ⅱ）由（1）得()2sin(2)6f x x π=-，因为π5π1212x -≤≤，所以22363x πππ-≤-≤． 所以 当226x ππ-=，即3x π=时，max 2y =；当263x ππ-=-，即12x π=-时，min 3y =-． 所以当3x π=时，max 2y =；当12x π=-时，min 3y =-．【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦函数的最值，运用到余弦的和差角公式，二倍角公式，以及正弦函数的图象与性质，属于中档题.21. 如图，已知三棱锥P ABC -，PC AB ⊥，ABC 是边长为2的正三角形，4PB =，60PBC ∠=︒，点F 为线段AP 的中点．（Ⅰ）证明：PC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线BF 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2. 【解析】【分析】 （Ⅰ）在△PBC 中，根据余弦定理可求得PC ＝23，再由勾股定理可知，PC ⊥BC ，最后根据线面垂直的判定定理即可得证；（Ⅱ）以C 为原点，CA 的垂线所在的直线为y 轴，CA 和CP 分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系，写出向量CB 、CP 和BF ，再根据法向量的性质求出平面PBC 的法向量n →，设直线BF 与平面PBC 所成角为α，则sinα＝|cos BF,n |<>＝||||||BF n BF n ⋅⋅，最后利用空间向量数量积的坐标运算即可得解． 【详解】（Ⅰ）证明：PBC 中，60PBC ∠=︒，2BC =，4PB =由余弦定理可得23PC =，因为222PC BC PB +=，所以PC BC ⊥，又PC AB ⊥，AB BC B ⋂=，所以PC ⊥面ABC ．（Ⅱ）在平面ABC 中，过点C 作CM CA ⊥，以C 为原点，CA →，CM →，CP →的方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，(0,0,23P ，()2,0,0A ，()3,0B ，(3F ，所以()13,0CB →=，(0,0,23CP →=，(0,3,3BF →=-，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z →=， 则30,230,CB n x y CP n z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 取3x =，则1y =-，0z =，即()3,1,0n =-， 所以sinα＝2cos ,4BF nBF n BF n →→→→⋅==⋅， 故直线BF 与平面PBC 所成角的正弦值24． 【点睛】本题考查空间中线面的位置关系、线面的夹角问题，熟练运用线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量求线面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22. 等差数列{}n a 的公差不为0，13a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列．（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设()111n n n n b a a ++=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T ．【答案】（Ⅰ）63n a n =-；（Ⅱ）227236=--n n T n .【解析】【分析】（I ）根据等比中项的性质列方程，并转化为1,a d 的形式，由此求得d ，进而求得数列{}n a 的通项公式. （II ）利用分组求和法求得2n T .【详解】（I ）由于1a ，2a ，5a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114a d a a d +=⋅+，即()()23334d d +=⋅+，由于0d ≠，所以解得6d =，所以数列{}n a 的通项公式是()31663n a n n =+-⨯=-.（II ）依题意()()()()111116363n n n n n b a a n n +++=-⋅=-⋅-+ ()()()()11122136913619n n n n n +++=-⋅-=-⋅--⋅.所以()()()()()2222222361234212999999n T n n ⎡⎤=⨯-+-++----+-++-⎣⎦ ()()()()()()3612123434212212n n n n =⨯+-++-++-+--⎡⎤⎣⎦ ()361234212n n =-+++++-+()()221223636272362n n n n n n +⨯=-⨯=-⨯+=--. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的计算，考查等差中项的性质，考查分组求和法，属于中档题. 23. 如图所示，圆()221:11C x y +-=，抛物线22:C x y =，过点()0,P t 的直线l 与抛物线2C 交于点M ，N 两点，直线OM ，ON 与圆1C 分别交于点E ，D ．（1）若1t =，证明：OM ON ⊥；（2）若0t >，记OMN ，OED 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值（用t 表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）()21124++t t . 【解析】【分析】（1）设直线:1l y kx =+，()211,M x x ，()222,N x x ，将l 与抛物线22:C x y =联立，根据根与系数的关系证明1OM ON k k ⋅=-，证得OM ON ⊥；（2）设直线:l y kx t =+，()211,M x x ，()222,N x x ，将l 与抛物线22:C x y =联立，得到根与系数的关系，且有OM ON k k t ⋅=-，再将,OM ON 与圆1C 联立，求得,M N 的横坐标，又121sin 21sin 2M N E D OM ON MON x x S S x x OE OD MON ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠代入化简，求得最小值. 【详解】（1）设直线:1l y kx =+，()211,M x x ，()222,N x x ， 由21y kx y x=+⎧⎨=⎩得：21x kx =+，所以121x x =-． 而221212121OM ONx x k k x x x x ⋅=⋅==-． （2）同（Ⅰ）设直线:l y kx t =+，()211,M x x ，()222,N x x ， 可得：12x x t =-，22121212OM ON x x k k x x t x x ⋅=⋅==-， 由()2211OM y k x x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩得：()22120OM OM k x k x +-=， 解得：12212211OM E OM k x x k x ==++， 同理可得22222211ON D ON k x x k x ==++， 所以121sin 21sin 2M N E D OM ON MON x x S S x x OE OD MON ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠()()2212121122111142211x x x x x x x x ++==⋅++， 因为12x x t =-， 所以()()()()2212222211221111112444x x S t x x t t S ++⎡⎤==+++≥++⎣⎦， 当且仅当12x x t =-=-12x x t =-=--【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，三角形面积公式，基本不等式求最值，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系等基本技巧，还考查了学生的分析能力，运算能力，难度较大.24. 已知函数()()f x x a x b c =--+，x ∈R ．（Ⅰ）当1a =，0b =时，函数()y f x =有且只有两个零点，求c 的取值范围．（Ⅱ）若0a =，0c <，且对任意[]0,1x ∈，不等式()0f x ≤恒成立，求2b c +的最大值．【答案】（Ⅰ）0c 或14c =；（Ⅱ）12. 【解析】 【分析】（I ）当1,0a b ==时，令()0f x =，转化为()1y x x =-与y c =-有两个交点，由此求得c 的取值范围. （II ）当0x =时，不等式()0f x ≤恒成立.当(]0,1x ∈时，将不等式()0f x ≤恒成立转化为max min c c x b x x x --⎧⎫⎧⎫-≤≤+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，根据函数的单调性求得max c x x -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，对c 进行分类讨论，求得b 与c 的不等关系式，由此求得2b c +的取值范围，进而求得2b c +的最大值.【详解】（Ⅰ）()()1f x x x c =-+有且仅有两个零点等价于函数()()()()21,01,01111,0,024x x x x x x y x x x x x x x ⎧--<⎧--<⎪⎪=-==⎨⎨⎛⎫-≥--≥⎪⎩⎪ ⎪⎝⎭⎩的图象与直线y c =-有两个点. 由图易知：0c 或14c =．（Ⅱ）当0a =，0c <时，()f x x x b c =-+.当0x =时，不等式()0f x ≤显然成立.当(]0,1x ∈时，0c c c c c x x b c x b x b x b x x x x x x----+≤⇔-≤⇔≤-≤⇔-≤-≤-，故c c x b x x x---≤≤+， 等价于max min c c x b x x x --⎧⎫⎧⎫-≤≤+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 对于函数c y x x -=-，在(]0,1x ∈上递增，故max1c x c x -⎧⎫-=+⎨⎬⎩⎭， 对于函数c y x x -=+，在(x c ∈-上递减，在),x c ⎡∈-+∞⎣上递增， ①当1c ≤-时，c y x x -=+在(]0,1x ∈上递减，故min 1c x c x -⎧⎫+=-⎨⎬⎩⎭， 即1b c ≤-，所以2121110b c c c c +≤-+=+≤-=．②当10c -<<时，c y x x -=+在(x c ∈-上递减，在),1x c ∈-上递增， 故min2c x c x -⎧⎫+=-⎨⎬⎩⎭， 此时，要使b 存在，则12c c +≤- 解得：1223c -<≤，则2b c ≤- 所以21112222222b c c c c ⎫+≤-=--+≤⎪⎭， 12c -=时取等号， 综上所述，2b c +最大值为12，当14c =-，1b =时满足要求． 【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.。

重庆市垫江中学校2019-2020学年高二下学期期末联考数学试卷含答案数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名．准考证号等填写在答题卷规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题。

(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．(改编）若21i z i =+（其中i 是虚数单位),则z =( ） A ．4 B ．2 C ．1 D 22．为对某组数据进行分析,建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R 2分别为0。

97，0。

86，0。

65，0.55,则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（）A．0。

55 B．0。

86 C．0。

65D．0.973．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N（100，σ2)（σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.8,则ξ在(0，80)内的概率为（）A．0.05B．0。

1 C．0。

15D．0。

24．（改编）曲线y＝x2＋ln x在点（1,1)处的切线方程为( )A．3x－y－2＝0 B．x－3y＋2＝0 C．3x＋y－4＝0 D．x＋3y－4＝05．(改编）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C,D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复）,有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（）A．180种B．360种C．720种D．960种6．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X）＝3，则D（X）＝（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!7．（改编)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元） 4 2 3 5销售额y （万元) 49 26 39 54根据上表可得回归方程+=a x b y 中的∧b 为9。

2021—2021学年度第二学期高二年级期中数学考试答案出卷人： 张亚威 审卷人：李园 考试时间：120分钟 分值：150分 一、 选择题〔每题5分，共60分〕 DBCAC CACCB CD二、填空题〔每题5分，共20分〕 13. 5 14. 15. 1[2，1)16. 3三、解答题17．〔本小题总分值10分〕(1) n a n =;(2) 1(1)222n n n n S ++=-+. 18.(本小题总分值12分) 〔1〕1sin 8B =〔2〕5+19. (本小题总分值12分)〔1〕证明：ABCD 为平行四边形，连结AC BD F ⋂=，F 为AC 中点，E 为PC 中点，∴在CPA ∆中//EF PA 且PA ⊆平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴//EF 平面PAD .〔2〕证明：因为面PAD ⊥面ABCD ，平面PAD ⋂面ABCD AD =，ABCD 为正方形，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥，又2PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形，且2PAD π∠=即PA PD ⊥，CD PD D ⋂=，且CD 、PD ⊆面ABCD ，PA ⊥面PDC ，又PA ⊆面PAB ，面PAB ⊥面PDC .〔3〕直线EF 与平面ABCD 所成角即为直线PA 与平面ABCD 所成角即PAD ∠，又45PAD ∠=，故所求角为45.20. (本小题总分值12分)〔1〕'()22(1)(2),[1,1]x x xf x e xe x x e x =+--=+-∈-，令'()0f x >，解得ln 21x <≤，令'()0f x <，解得1ln 2x -<<， 所以函数()f x 在[1,ln 2)-上单调递减，在(ln 2,1]上单调递增，且11(1)121f e e-=--+-=-，(1)1214f e e =---=-，所以函数()f x 在[1,1]-上的最大值为1e-；〔2〕由()1f x x >--可得2211x xe x x x --->--，即20x xe x x -->，因为0x >，所以10x e x -->，令()1xh x e x =--，得'()1xh x e =-，当0x >时，可得e 1x >，从而有'()0h x >，所以()1xh x e x =--在(0,)+∞上是增函数，所以0()010h x e >--=，从而有10x e x -->恒成立， 即原命题得证，故：当0x >时,()1f x x >--. 21.(本小题总分值12分)〔1〕设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，12MF F △所以2221122c c b a b c =⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，所以2a =，b =故椭圆E 的标准方程为22143x y +=.〔2〕根据题意可知(2,0)A ，B ，因为//AB CD ，所以可设直线CD 的方程为()()1122(,,,y x m m D x y C x y =+≠. 由22143x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 可得2264120x m -+-=， 所以123x x +=，即123x x =-.直线AD 的斜率11111222x my k x x +==--， 直线BC 的斜率22222x m k x -+-==， 所以121212222x m x m k k x x ++-=⋅-()()121211233(4222x x m x x x m m x x -+++-=-()1221233(422x x x m m x x ⎫-+-+-⎪⎝⎭=- ()1221233422x x x x x -=-34=，故12k k 为定值. 22.(本小题总分值12分)(1)()'ln 1f x x =+，令()'0f x >，那么1ln 1lnx e >-=，∴1x e>，同理由'()0f x <得10x e<<，∴()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，在1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递增． (2)()()'g x f e ≥，由于()()22'211g x x x a x a =--=---，当x = 1时，()()min '1g x a f e e =--≥=， ∴1a e ≤--．。