频率特性法

§5-2
一、幅相频率特性
1、代数形式
频率特性表达方法
即极坐标图，也称为 Nyquist 图
G( j) P() jQ()
2、指数形式
由G ( j ) A( )e j ( )
3、幅相特性表示法 极坐标图形式
二、对数频率特性 即 Bode 图
G ( j ) A( )e j ( ) A( ) P 2 ( ) Q 2 ( ) Q ( ) P ( )
对数幅频特性绘在以 10 为底的对数坐标中，幅值的对数值用分贝（dB）表示
L() 20lg A()
纵轴是 L(w)，横轴实际上是 lgw，由于是用 w 标注，所以又转化成 w 的值，这使得每一单位 的 w 增加量为 10 倍，这 10 倍频记为 dec。横轴的起点不为 0。.
§5-3
一、比例环节
2 2
1 T
1
L( ) 20 lg A( ) 20 log 1 20 lg (1 2T 2 ) (2T ) 2
六、时滞环节或延迟环节
传递函数 : G ( s) e s j 频率特性 : G ( j )e 幅频特性 : A( ) 1 相频特性 : ( ) G ( j ) cos j sin e j cos j sin G ( j ) 1
积分环节的对数频率特性
四、微分环节
G (s) s G ( j ) j 代数式 G ( j ) j 0 j 指数式 G ( j ) j 90
L( w) 20 lg | G( jw) | 20 lg w G( jw) 90
理想微分环节的副相频率特性
五、振荡环节(0<§<1)
n 1 G( s) 2 2 2 T S 2TS 1 S 2 n S n 2
2
T 时间常数
G( j )
1 1 j 2T T
2 2
A( )e j ( )
阻尼比 n 自然振荡角频率 n
1 T
lim u 2 (t )
t
U 1m 1
2 2
sin(t )
U 1m
1 1 sin(t ) 1 j 1 j
以上分析表明：当电路的输入为正弦信号时，其输出的稳态响应结论：1. 输入正弦函数，输 出也是一个正弦信号，频率和输出信号的频率相同，但幅值和相角发生了变化。
0, A( ) 1, ( ) 0 , A( ) 0, ( ) 180
1 1 , A( ) , ( ) 90 T 2
幅频特性 : A( )
2 (2T ) 2 1 2T w ( ) arctg ( ) 2 2 T 1 T 相频特性 : 1 2T w ( ) arctg ( ) 2 2 T 1T 1 2T 2 2T 代数 : G ( j ) j (1 T 2 2 ) 2 4 2 2T 2 (1 2T 2 ) 2 4 2 2T 2 1 2T G ( j ) tg 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 T (1 T ) (2 T )
G( j ) G(s)|s jω
三.引例：
R
U
1
U
2
u1 u1m sin t
u1m u ( s ) I1 1 s2 2
Rc
u (s) 1 系统传递函数： 2 u1 ( s) s 1
系统频率响应（稳态响应）
U 1 2 1m 2 s 1 s u 2 ( s ) L1 u 2 ( s ) u2 ( s) U1m t U1m e sin(t ) 2 2 2 2 1 1 式中＝ tg 1
九 、Nyquist 稳定判据：
若闭环系统的开环传递函数 G(s)H(s)有 P 个正实部极点，则闭环系统稳定地充要条件是， 当 s 按照顺时针变化，即 w 从 0 → ∞变化时，绘出的封闭曲线，即极坐标图应当按逆时针方 向包围点(-1，j0)P 周。如果极坐标图顺时针方向包围点(-1，j0)，则闭环系统肯定不稳定。 对于复杂的系统， 判据可以简化为： 当 w 由 0 → ∞时， 开环极坐标图在点(-1， j0)左方正、 负穿越负实轴次数之差应为 P/2，P 为开环传递函数正实部极点的个数。 有时需要从0 → +∞及0 → −∞分开画，但是它们是关于实轴对称的。
八 、开环对数频率特性的绘制步骤：
1) 将开环传递函数写成基本环节相乘的形式； 2) 计算各基本环节的转折频率，并标注在横轴上。最后同时标明各转折频率对应的基本环节 渐近线的斜率； 3) 设最低的转折频率为 w1，先绘 w<w1 的低频区图形，在此频段范围内，只有积分（或纯 微分）环节和放大环节起作用； 4) 按照由低频到高频的顺序将已画好的直线或折线图延迟。每到一个转折频率，折线发生转 折，直线的斜率就要在原数值之上加上对应的基本环节的斜率。 5) 如有必要，可对上述折线渐近线加以修正，一般在转折频率处进行修正。 6) 基本原则就是按频段，从各个基本环节截取相应的曲线进行连接。 7) 相频特性，根据频率特性代数表达式，分子相位减去分母相位就是相频特性。或者将各个 基本环节的相频特性相加。然后对于部分特殊点进行求值，然后画出近似图形。
( ) tg 1
由G ( j ) A( )e j ( ) 两边取对数
20 lg G ( j ) 20 lg A( ) j ( )20 lg e 20 lg A( ) j ( ) 0.434 习惯上将0.434略去，只差一个常系数 20lg G ( j ) 20 lg A( ) j ( )
曲线 1：平缓减小 曲线 2：出现峰值的现象，称为谐振。此时的最大值为：Am ，对应的频率称为谐振频率wr ， Am /A(0)称为相对谐振峰值， 简称谐振峰值， 记为Mr 。 当幅值下降到零频值 A(0)的 0.707 倍时， 对应的频率称为截止频率，记为wb ，又称为频带宽度。 等M圆 设开环频率特性为：
§5-4
闭环频率特性图
闭环频率特性 由于从闭环频率特性图上不易看出系统的结构和各环的作用，所以较少使用。但是对于分 析系统性能还是有用的。 闭环传递函数为： G s ∅ s = 1 + G s H(s) 则闭环频率特性为： G jw ∅ jw = 1 + G jw H(jw) 则： 1 ∅ jw = G jw H jw ≫ 1 H jw ∅ jw = G(jw) G jw H jw ≪ 1 它的曲线有两种情况，其初始值记为零频值 A(0)，如图：
对一般系统：输入 x(t ) X sin(t x ) t 时：输出 y (t ) Y sin(t y )
2. A（ω ）和φ （ω ）只与系统参数及输入正弦函数的频率有关，
幅值比：A
Y , 记A( )幅频特性 X 相角差：＝ y x，（）相频特性
三、积分环节
传递函数 G ( s )
1 s
1 1 1 j 频率特性 G ( j ) j e 2 j

Bode 图：
L( ) 20 lg A( ) 20 lg
1 20 lg w w
该图横轴起点为 0.1，即表示 w 取 0.1 时，L(w)为 20dB。
2） 幅值裕度 开环频率特性的相位等于-180 度时所对应的角频率称为相位穿越频率， 记为ω g 。 在ω g ， 开环幅频特性幅值的倒数称为控制系统的幅值裕度，记为 Kg，即 Kg = 1 |G(jwg )H(jwg )|
当 Kg >1，20lg|Kg| >0dB，称幅值裕度为正；反之为负。一个良好的系统，一般要求 Kg=2 ~ 3.16 或 20lgKg=6 ~ 10dB。其物理意义是，对于闭环稳定地系统，使系统达到临界 稳定时，开环放大系数可以增大的倍数。 要注意，对于开环不稳定的系统，及开环频率特性幅值为 1 的点或相位为 180 的点不止一 个的系统，不要使用上述关于幅值裕度和相位裕度地定义和结论，否则可能会导致错误。 这时应当根据 Nyquist 图来处理。
G1 ( s )
1 Ts 1 Ts , G2 ( s ) 1 10Ts 1 10Ts 1 (T ) 2 1 (10T ) 2
A1 ( ) A2 ( )
对数幅频特性相同，而 相频特性： （ 1 ）＝ arctan10T arctanT
1 1 （ 2 ）＝ tg 10T tg T
G( j) U jV
则单位反馈系统闭环频率特性为：
传递函数
典型环节的频率特性
G (s)
X c (s) K X r (s)
频率特性 G ( j ) K 1、G ( j ) P ( ) jQ ( ) K j 0 2、G ( j ) K0 G ( j ) e j ( ) 3、图中点与 无关，（）＝0， 4、输入与输出同相位。 Bode图 L( ) 20 log G ( j ) 20 log A( ) 20 log K
第 五 章 频 率 特 性法
§5-1 频率特性的基本概念
一、 定义
在正弦输入信号作用下，环节或系统的输出稳态分量（或称频域响应）与正弦函数的复 数比，称为环节或系统的频域特性。
二、传递函数与频率特性的关系
用虚数 “jω ” 代换环节或系统的传递函数中的复数 “S” 节或系统的频率特性。 ，所得到的表达式称为环
负穿越 -1
+ −
正穿越
十、系统的相对稳定性
极坐标上的开环Nyquist图离点(-1，j0)越远，稳定裕度越大。 1） 相位裕度 在频率特性上对应于幅值 A(ω )＝1 的角频率称为剪切频率，用ω c 表示。在剪切频率ω c 使系统达到稳定的临界状态所要附加的相角迟后量，即其所对应的相角与-180 度之差，称为 相位裕度，记为 γ。 对于开环稳定的系统，欲使闭环稳定，其相位裕度必须为正。通常要大于 40 度，过高的 也不易实现。