上海市浦东新区2018_2019学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n }中.已知a 2=4.a 6=16.则a 4=___ ．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ．4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ．7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（ ） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n13.（单选题.3分）设S k =1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k.则S k+1为（ ）A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k +12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+114.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（ ） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 9015.（问答题.0分）已知关于x 的方程sin 2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）． （1）当m=1时.解此方程（2）试确定m 的取值范围.使此方程有解．16.（问答题.0分）在公差为d 的等差数列{a n }中.已知a 1=10.且a 1.2a 2+2.5a 3成等比数列． （Ⅰ）求d.a n ；（Ⅱ）若d ＜0.求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金； （2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n}中.已知a2=4.a6=16.则a4=___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：由等比数列通项公式得a2a6=a42 .由此能求出a4．【解答】：解：∵在等比数列{a n}中.a2=4.a6=16.∴ a2a6=a42 =4×16=64.且a4＞0.解得a4=8．故答案为：8．【点评】：本题考查等比数列的第4项的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．【正确答案】：[1]π+arcsin 13【解析】：先将x∈[π. 32π ].化为π-x∈[- π2，0 ].再利用诱导公式sin（π-x）=sinx.求出π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.然后计算得解．【解答】：解：因为x∈[π. 32π ].所以π-x∈[- π2，0 ].由sinx=- 13.sin（π-x）=sinx.所以sin（π-x）=- 13.即π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.所以x=π+arcsin 13.故答案为：π+arcsin 13 ．【点评】：本题考查了解三角方程.及正弦的主值区间.属简单题3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ． 【正确答案】：[1] {4，n =14n −1，n ≥2【解析】：根据数列的递推公式即可求出通项公式．【解答】：解：当n=1时.a 1=S 1=2×12+1+1=4.当n≥2时.a n =S n -S n-1=2n 2+n+1-[2（n-1）2+n-1+1]=4n-1. 当n=1时.a 1=3≠4. 故a n = {4，n =14n −1，n ≥2 .故答案为： {4，n =14n −1，n ≥2 ．【点评】：本题考查了数列的递推公式.属于基础题4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．【正确答案】：[1] 2661【解析】：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= S17T 17.代值计算可得．【解答】：解：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= 2a 92b 9 = a 1+a 17b 1+b 17 = S 17T 17 = 3×17+17×17+3 = 2661. 故答案为： 2661【点评】：本题考查等差数列的性质和求和公式.属基础题． 5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：求出数列通项公式的表达式.求出数列的和.然后求解数列的极限即可．【解答】：解： 11+2+3+⋯+n = 2n (n+1) =2（ 1n −1n+1 ）.∴ lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）= lim n→∞2（1- 12+12−13+13−14 +… +1n −1n+1 ）=lim n→∞（2- 2n+1 ）=2．故答案为：2．【点评】：本题考查数列的和.数列的极限的求法.考查计算能力．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ． 【正确答案】：[1]√5+12【解析】：根据题意.这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.结合等比数列的性质可得a 2q 2=a （a-aq ）.即q 2+q-1=0.解可得q 的值.又由aq 为正整数且aq 2＜1.设aq 这个正整数为m.则有a= mq =m× √5+12且m （√5+12 ）×（ √5−12）2＜1.解可得m 的值.变形可得a 的值.即可得答案．【解答】：解：小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列. 不妨设这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.则q ＞0. 则有a 2q 2=a （a-aq ）. 即q 2+q-1=0. 解得q=√5−12 .q= −1−√52（舍去）. 又由aq 为正整数.设aq 这个正整数为m.则a= mq =m× √5+12. 又由aq 2＜1.即m （ √5+12 ）×（ √5−12）2＜1. 解可得m ＜√5+12.又由m 为整数.则m=1.则a= mq=m× √5+12 = m q = √5+12. 故答案为： √5+12．【点评】：本题考查等比数列的性质.涉及等比中项的计算.注意分析q 的范围.属于基础题． 7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ． 【正确答案】：[1] 1955【解析】：由0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+….可得等号右边的数从0.045起为公比为0.01的无穷等比数列.运用无穷递缩等比数列的求和公式.计算可得所求值．【解答】：解：0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+… =0.3+ 0.0451−0.01 =0.3+ 45990 = 342990 = 1955 ． 故答案为： 1955．【点评】：本题考查循环小数化为分数的方法.考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]（-1.0）∪（0. 18 ]【解析】：由题意 a 11−q =12 .|q|＜1.从而q=1-2a 1.进而a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+18.利用-1＜q ＜1.能求出a 2的取值范围．【解答】：解：∵无穷等比数列{a n }的各项和为 12 .∴ a 11−q =12 .|q|＜1.∴q=1-2a 1.a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+ 18 . ∵-1＜q ＜1.a 2的取值范围是（-1.0）∪（0. 18]． 故答案为：（-1.0）∪（0. 18 ]．【点评】：本题考查等比数列的第二项的取值范围的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．【正确答案】：[1] 3π4【解析】：先将两方程变形为：-θ- π4 =sinθ.-θ- π4 =arcsinθ.由y=sinθ.y=arcsinθ互为反函数.其图象关于直线y=x 对称.则方程组 {y =xy =−x −π4.由对称性及中点坐标公式可得.解的横坐标为θ1+θ22.得解．【解答】：解：由x-cosx= π4 .可化为： π4 -x=sin （x- π2 ）. x+arcsin （x- π2 ）= π4 .可化为： π4 -x=arcsin （x- π2 ）. 设θ=x - π2.则有：-θ- π4=sinθ.-θ- π4=arcsinθ. 由y=sinθ.y=arcsinθ.互为反函数. 其图象关于直线y=x 对称. 联立 {y =x y =−x −π4 .得：x=- π8 .即θ1+θ2=- π4 . 所以x 1- π2 +x 2- π2 =- π4 . 则x 1+x 2= 3π4 . 故答案为： 3π4 ．【点评】：本题考查了函数与其反函数图象关于直线y=x 对称的性质.属中档题 10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ． 【正确答案】：[1]若sp+tm=kn.s+t=k.则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*） 【解析】：利用类比推理可得【解答】：解：利用类比推理可得.对于等比数列{b n }.若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）. 故答案为：若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）【点评】：本题考查了类比推理的问题.属于基础题．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：C【解析】：由举例1.-1.1可得“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “.由等比中项概念可得：当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac “.可推出“a 、b 、c 成等比数列”.故“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac “的必要不充分条件．【解答】：解：当“a 、b 、c 成等比数列”时.不妨取“1.-1.1“.则不满足“b= √ac “. 即“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “. 当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac ”.由等比中项概念可得：“a 、b 、c 成等比数列”即“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的必要不充分条件. 故选：C ．【点评】：本题考查了等比数列的性质及充分.必要条件.属简单但易错题． 12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（ ） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n【正确答案】：C【解析】：此题可采用排除法法.可取a n =（-1）n .排除A ；取a n = 1n.排除B ；取a n =b n =n.排除D 得到答案．【解答】：解：取a n =（-1）n .排除A ； 取a n = 1n .排除B ； 取a n =b n =n.排除D ． 故选：C ．【点评】：考查学生认识极限及运算的能力.以及学会采用排除法做选择题． 13.（单选题.3分）设S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .则S k+1为（ ） A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k + 12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+1【正确答案】：C【解析】：先利用S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .表示出S k+1.再进行整理即可得到结论．【解答】：解：因为S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .所以s k+1= 1(k+1)+1 + 1(k+1)+2 +…+ 12(k+1)−2 + 12(k+1)−1 + 12(k+1) =1k+1 +1k+2 +…+ 12k + 12k+1 + 12k+2 - 1k+1=s k +12k+1 - 12k+2． 故选：C ．【点评】：本题主要考查数列递推关系式.属于易错题.易错点在与整理过程中.不能清楚哪些项有.哪些项没有．14.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（ ） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 90 【正确答案】：B【解析】：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ].考虑数列{a n }的周期为360.一个周期内的和.即可得到所求最小值和最大值．【解答】：解：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ]. 当n 取1到90的自然数可得： S 90=π180 + 2π180 +…+ 90π180； 当n 取91到180的自然数可得： a 91+a 92+…+a 180= 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0； 当n 取181到270的自然数可得：a 181+a 182+…+a 270=-（ π180 + 2π180 +…+ 90π180 ）； 当n 取271到360的自然数可得：a 271+a 272+…+a 360=-（ 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0）． 由{a n }的周期为360.可得S 360=0.且S180＞0.且为最大值；而S1800=S360×5=0.S2016=S216＞0.S1980=S180＞0.则故排除A.C.D．故选：B．【点评】：本题考查反正弦函数值的求法.以及数列的求和.考查分类讨论思想方法.以及运算能力和推理能力.属于中档题．15.（问答题.0分）已知关于x的方程sin2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）．（1）当m=1时.解此方程（2）试确定m的取值范围.使此方程有解．【正确答案】：【解析】：（1）由sin2x+cos2x=1.则sin2x+cosx+m=0可化为：cos2x-cosx-1-m=0.将m=1代入解一元二次方程可得解.（2）分离m与cosx.用值域法可得解.即1+m=cos2x-cosx.再用配方法求cos2x-cosx的值域即可得解．【解答】：解：（1）sin2x+cosx+m=0.所以cos2x-cosx-1-m=0.当m=1时.方程为：cos2x-cosx-2=0.所以cosx=-1或cosx=2.又cosx∈[-1.1].所以cosx=-1.又x∈[0.2π）．所以x=π.故方程的解集为：{π}（2）由（1）得.cos2x-cosx-1-m=0有解.即1+m=cos2x-cosx有解.又1+m=cos2x-cosx=（cosx- 12）2- 14.又cosx∈[-1.1].所以（cosx- 12）2- 14∈[- 14，2 ].即1+m∈[- 14，2 ].即m∈[ −54，1 ].故答案为：[ −54，1 ]【点评】：本题考查了三角函数的运算及二次函数的值域.与方程有解问题.属中档题16.（问答题.0分）在公差为d的等差数列{a n}中.已知a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列．（Ⅰ）求d.a n；（Ⅱ）若d＜0.求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列列式求出公差.则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论.得到等差数列{a n}的前11项大于等于0.后面的项小于0.所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】：解：（Ⅰ）由题意得5a3•a1=(2a2+2)2 .即5(a1+2d)•a1=(2a1+2d+2)2 .整理得d2-3d-4=0．解得d=-1或d=4．当d=-1时.a n=a1+（n-1）d=10-（n-1）=-n+11．当d=4时.a n=a1+（n-1）d=10+4（n-1）=4n+6．所以a n=-n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n.因为d＜0.由（Ⅰ）得d=-1.a n=-n+11．则当n≤11时. |a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a n|=S n=−12n2+212n．当n≥12时.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11= 12n2−21n2+110．综上所述.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|= {−12n2+212n，n≤1112n2−212n+110，n≥12．【点评】：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念.考查了等差数列的通项公式.求和公式.考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力.是中档题．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【正确答案】：【解析】：（1）计算n=1.2.3.4.5.6.7即可得到所求结论；（2）考虑1到5年不符题意；n ＞5时.可得1500+2000[n-5-0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.结合n的特殊值.计算可得结论．【解答】：解：（1）新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5 （万元）. 可得a 1=0.a 2=150.a 3=300.a 4=450.a 5=600.a 6=2000×（1-0.6）=800.a 7=2000×（1-0.36）=1280＞1000.则第7年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）由n=5时.a 1+a 2+…+a 5=1500＜5000.可得所求n 超过5.可得1500+2000[n-5- 0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.化简可得n+3•0.6n-5＞11.5.由于3•0.6n-5随着n 的增大而减小.当n=11时.11+3•0.66＜11.5.当n=12时.12+3•0.67＞11.5.则第12年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【点评】：本题考查数列在实际问题中的运用.考查化简运算能力和推理能力.属于中档题．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得数列为等差数列.即可得到所求通项公式；（2）由条件可得a n+1+1=2（a n+1）.由等比数列的定义和通项公式、求和公式.计算可得所求；（3）由条件可得a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.结合首项成立.以及二次函数的最值.计算可得所求范围．【解答】：解：（1）λ=0.μ=1.a1=3.可得a n+1=a n+1.即有a n=3+n-1=n+2；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.可得a n+1=2a n+1.即有a n+1+1=2（a n+1）.可得a n+1=2n.即a n=2n-1.前n项和为S n=（2+4+…+2n）-n= 2(1−2n)1−2-n=2n+1-2-n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立. 可得a n+1=a n2+μa n+1.即有a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.由a1=-1.可得1-（1+μ）+1＞0.即有μ＜1；又（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24≥1- (1+μ)24.可得1- (1+μ)24＞0.可得-3＜μ＜1.综上可得μ的范围是（-3.1）．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用.考查运算能力和推理能力.属于中档题．。

x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。

浦东新区2018-2019学年度下学期高一期中考试数学试卷一、填空题1. ______________________________ 与;终边相同的角的集合是.【答案】卜G =【解析】【分析】与终边相同的角的集合是终边落在y轴正半轴的角构成的，写出来即可.【详解】与专终边相同的角的集合是终边落在y轴正半轴的角构成的，即”"升如k E Z j .故答案为：］在直=? + EZ j.【点睛】本题考查了终边相同的角的写法，属于基础题.2. 若tane<0且曲询VO,贝兀是第_____________ 象限的角•【答案】四【解析】【分析】若…’'则角在第二和第四象限，若sin ''则角在第三或第四象限，取两者交集即可.【详解】若…’'则角在第二和第四象限，若sin ' ■则角在第三或第四象限，同时成立，则角在第四象限•故答案为：四•【点睛】这个题目考查了不同象限角的三角函数值的正负的判断，属于基础题.第一象限所有三角函数值均为正，第二象限正弦为正，其它为负，第三象限正切为正，其它为负，第四象限余弦为正，其它为负.3. 已知角。

的终边经过点P(-3,4)，则sina-\-叭a = ______________ .1【答案】【解析】5【分析】根据三角函数的定义可得到相应的三角函数值4 3【详解】已知角•的终边经过点P(-3,4),根据三角函数定义得到■■:■■故得到结果为：故答案为：.【点睛】这个题目考查了三角函数的定义，三角函数的定义将角的终边上的点的坐标和角的y x y三角函数值联系到一起，' .知道终边上的点的坐标即可& + y & + y 兀求出角的三角函数值，反之也能求点的坐标44. 已知cosa =且a是第四象限 _________ 角，则貉皿=【答案】【解析】根据同角三角函数的基本关系得到_进而得到【详解】已知cos .且•是第四象限的角故答案为：;【点睛】这个题考查了同角三角函数关系的应用5.若湎大+匸0磁=字贝则能及=【答案】【解析】【分析】分析】将式子两侧平方得到结果【详解】若业肚+ cosx —亍，将两边平方得至y I + 2sinxcosx =1 + sin2x —乍I得sin2x二—.4故答案为：:4【点睛】这个题目考查了三姐妹的应用，一般 f …-, 我们成为三姐妹，结合丨，可以知一求三6.把⑴皿+ ^coscx化成血饨直+ 0）（必＞ 0）的形式 ________________ （注:单不唯一）.【答案】:---【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，以及两角和的正弦公式得到结果【详解】ME： \ J2 ：：；.'、：》’.：；：！：； {- * /故答案为：'| :【点睛】本题考查了三角函数的化一的应用，题目比较基础3 /IT V / 7T\7.若cosa =打卜贝皈屮+力= _______________4^3—3【答案】【解析】【分析】根据题干以及同角三角函数关系得到『：：飞-：再结合两角和的正弦公式得到结果。

2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期期中数学试题一、单选题 1．“22x ππ⎡⎥∈-⎤⎢⎣⎦，”是“()sin arcsin x x =”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】arcsin y x =的定义域为[1-，1]， sin(arcsin )[1x x x ∴=⇔∈-，1]，[2x π∈-，]2π推不出[1x ∈-，1]，[1x ∈-，1][2x π⇒∈-，]2π，∴ “[2x π∈-，]2π是“sin(arcsin)x =”的必要非充分条件．故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查反三角函数，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2．将函数πsin 12y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点π,4P t ⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位,得到点P '，若P '位于函数sin2y x =的图象上，则A ．12t s =，的最小值为π6B ．2t s =的最小值为π6C ．12t s =，的最小值为π12D ．2t s=的最小值为π12 【答案】A 【解析】【详解】 由题意得ππ1sin 4122t ⎛⎫=-=⎪⎝⎭,排除B,D;平移后π1,42P s ⎛⎫- ⎪⎝⎭',而P '位于函数sin2y x =的图象上,所以1πsin2cos224s s ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,而0s >,则s 的最小值为π6,排除C.故选A.3．若方程212cos sin 0x x a --+=有实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A.98⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B.928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C.908⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.918⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】B【解析】把方程化为22cos sin 1a x x =+-，利用三角函数即可求出a 的取值范围． 【详解】方程212cos sin 0x x a --+=可化为22cos sin 1a x x =+-，则22192sin sin 12(sin )48a x x x =-++=--+，由sin [1x ∈-，1]，∴21(sin )[04x -∈，25]16， 2192(sin )[248x ∴--+∈-，9]8，即实数a 的取值范围是[2-，9]8．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质与应用问题，是基础题．4．如图，在△ABC 中，BC=，a AC=b ，AB=c ，O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，则OD:OE:OF 等于（ ）A.::a b cB.cos :cos :cos A B CC.sin :sin :sin A B CD.111::a b c【答案】B【解析】作出ABC ∆的外接圆，连接OA 、OB 、OC ，由垂径定理和圆周角定理可得12B AOC AOE ∠=∠=∠，同理可知A BOD ∠=∠、C AOF ∠=∠，若设O 的半径为R ，可用R 分别表示出OD 、OE 、OF ，进而可得到它们的比例关系． 【详解】如图，连接OA 、OB 、OC ；22BOC BAC BOD ∠=∠=∠， BAC BOD ∴∠=∠；同理可得：BOF BCA ∠=∠，AOE ABC ∠=∠； 设O 的半径为R ，则：cos cos OD R BOD R A =∠=∠， cos cos OE R AOE R B =∠=∠， cos cos OF R BOF R C =∠=∠，故::cos :cos :cos OD OE OF A B C =∠∠∠， 故选：B ．【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理及垂径定理的综合应用，解题的关键是能够作出已知三角形的外接圆，难度中等．二、填空题5．函数()12sin 4y x =-的最小正周期是________. 【答案】2π 【解析】根据三角函数的周期公式求解即可. 【详解】函数12sin(4)y x =-，所以函数()f x 的周期22||42T πππω===. 故答案为：2π． 【点睛】本题主要考查三角函数周期的求法，是基本知识的考查． 6．函数cos 2y x =的对称轴方程是________.【答案】,2k x k Z π=∈ 【解析】根据余弦函数cos y x =的对称轴方程x k π=，k Z ∈，运用整体法可得cos 2y x =的对称轴方程．【详解】 cos2y x =，令2x k =π，k Z ∈，则,2k x k Z π=∈， cos2y x ∴=的对称轴方程为：,2k x k Z π=∈．故答案为：,2k x k Z π=∈． 【点睛】本题考查了余弦型函数图象的对称轴的求法，考查了整体思想，属基础题．7．在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin2θ=_______. 【答案】35【解析】利用任意角的三角函数的定义求得tan θ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin 2θ的值. 【详解】角θ的顶点在平面直角坐标系xOy 原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在直线3y x =上，tan 3θ∴=2222sin cos 2tan 63sin 21105sin cos tan θθθθθθθ∴====++，故答案为：35． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．8．若锐角αβ、满足()35cos cos 513ααβ=+=-，，则cos β=______. 【答案】3365【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin()αβ+，sin α的值，利用两角差的余弦公式即可计算得解． 【详解】αQ 、β为锐角，(0,)αβπ∴+∈，5cos()13αβ+=-，3cos 5α=，12sin()13αβ∴+==，4sin 5α=，5312433cos cos[()]cos()cos sin()sin ()13513565βαβααβααβα∴=+-=+++=-⨯+⨯=． 故答案为：3365． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 9．函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间为________. 【答案】511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】由题意利用正弦函数的单调性，求得该函数的单调减区间． 【详解】对于函数2sin(2)3y x π=-，令3222232k x k πππππ+-+剟，k Z ∈, 求得5111212k x k ππππ++剟， 可得它的单调递减区间为5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈， 故答案为：5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈． 【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．10．已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x =________（用反正弦表示） 【答案】2arcsin 5π+【解析】【详解】 由于2arcsin5表示[]22ππ-，上正弦值等于25的一个锐角，由2sin 5x =- 3()2x ππ<<，则2arcsin 5x π=+，故答案为2arcsin 5π+.点睛：本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点是表示出符合条件的角.11．方程sin x x _______.【答案】7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈【解析】利用三角恒等变换化方程为sin()32x π-=，求出方程的解即可．【详解】方程sin x x =12(sin )2x x ∴=sin()3x π∴-=， 解得234x k πππ-=+或3234x k πππ-=+，k Z ∈； 即7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈ 故答案为：7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈ 【点睛】本题考查了三角函数的化简与三角方程的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且224S (a b)c =+-，则cosC =______． 【答案】0【解析】由三角形面积公式和余弦定理可将224S (a b)c =+-化为2absinC 2abcosC 2ab =+，进而可求出结果.【详解】因为1S ab 2sinC =，余弦定理222c a b 2abcosC =+-，又224S (a b)c =+-，所以有2absinC 2abcosC 2ab =+，即sinC cosC 1-=C 14π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因此C 244k πππ-=+或()3C 2k Z 44k πππ-=+∈，所以C 22k ππ=+或()C 2k Z k ππ=+∈，因为C 三角形内角，所以C 2π=，故cosC 0=.故答案为0 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型. 13．若将函数()cos()8f x x πω=-（0>ω）的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是________ 【答案】32【解析】由三角函数图象的平移变换得：g()cos()128x x ωππω=+-，因为g()x 为偶函数，所以=,128k k Z ωπππ-∈，由(0)>ω，所以ω的最小值为32，得解．【详解】解答：解：将函数()cos()(0)8f x x πωω=->的图象向左平移12π个单位后，所得图象对应的函数为g()cos ()+cos(+),128128x x x ππωππωω⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦因为g()x 为偶函数， 所以3=,12,1282k k Z k k Z ωπππω-∈∴=+∈， 由0>ω， 所以ω的最小值为32， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题．14．已知函数()()()()()sin 2cos 2sin 2cos 222x x x x f x ππππ+-=+，对任意x R ∈，都有不等式()()()12f x f x f x ≤≤恒成立，则21x x -的最小值为_________. 【答案】38【解析】先化简函数的解析式，再作出函数一个周期的图象，由三角函数的性质，确定21||x x -的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，即可得解．【详解】由22cos 2()cos 22cos 2sin x sin x xf x x sin x x ππππππ≥⎧=⎨<⎩，所以函数在一个周期的图象如图所示，因为对任意x ∈R ，都有不等式12()()()f x f x f x 剟恒成立， 即当1x x =时，函数()y f x =取最小值，当2x x =时，函数()y f x =取最大值， 则21||x x -的最小值为513848-=. 故答案为：38．【点睛】本题考查考查三角函数的图象和性质，确定21||x x -的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题． 15．已知函数()()()1sin 20192019x xx f x x R π-=∈+，下别列命题: ①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在区间[]22ππ-，上共有13个零点； ③函数()f x 在区间()01，上单调递增；④函数()f x 的图像是轴对称图像。

2018-2019学年浦东新区第二学期高一英语期中试卷Ⅱ. Grammar and Vocabulary 17%Section A 8%Directions: After reading the passage below, fill in the blanks to make the passage coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.The way we tell stories has naturally changed since Aristotle defined the rules of tragedy about 2,500 years ago. According to him, the role of storytelling is to imitate life and make us feel emotions. And that’s exactly what storytelling as we know it has done very well since then. But there is an aspect of life ___1___ storytelling could never really reproduce. It is the notion of choices.Choices are a very important part of our lives. We as individuals ___2___ (define) by the choices we make. As an interactive writer, ___3___ (fascinate) with the idea of recreating this notion of choices in fiction, I have tried to put the audience in the shoes of the main characters. ___4___ (explore) a way to achieve this is what I did in the past 20 years of my life.So do you have an idea of ___5___ my work is about as an interactive writer? Where a writer needs to deal with time and space, as an interactive writer, I need to deal with time, space and possibilities. I need to think about all the possibilities ___6___ the characters could encounter different people and different things in a given scene and try to imagine everything that ___7___ happen.The interacti ve writer’s experience is very unique, ___8___ it is the result of the cooperation between a writer creating this narrative landscape and the player making his own decisions, telling his own story and becoming the cowriter but also the coactor and the codirector of the story. Interactive storytelling is a revolution in the way we tell stories.【答案】1. that2. are defined3. fascinated4. Exploring5. what6. that7. may 8. because【解析】本文是一篇夹叙夹议文，作者讲述了自己作为互动作家的独特经历。

（2018年第一学期）预备班数学（完成时间：90分钟 满分：100分 ）一、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分32分） 1.在1，6,18,23中，奇数是___________，素数是____________. 2.40以内9的倍数有___________________. 3.分解素因数：63=_____________________.4.._____________35.0_______;412化为最简分数是将的倒数是5.将.____________:98,87.0,87＞”连接按从大到小的顺序用“6.写出数轴上点A 所表示的分数__________________.7.._______2729_______;4313_______;61125=⨯=-=+计算： 8.“已知一个数的74是12，求这个数.”若设这个数为x ，则可列方程_______________.9.若长方形的面积是43平方米，长为23米，那么宽为________米.10.如果a 和b 的最小公倍数是42，且._______32=⨯=⨯=m m b m a ，那么， 11.._____5328-36的数字应是字相同，那么填入括号成立，并且括号内的数（）（）如果=+12.447____742851.0..是为止，各位上的是之和开始，到第中，从小数点的第一位在循环小数二、单项选择题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 13.下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）（A ）12和3 （B ）5和15 （C ）4和0.5 （D ）9和2 14.下列分数中，不能化为有限小数的是（ ）（A ）41 （B ）153 （C ）227 （D ）32515.下列说法中，正确的是（ ）.152532)(45)(3,2.212)(12111271125)(总长的段，每段的长度是绳子米长的绳子平均分成将个；可取的值有是假分数，那么正整数若；，的素因数是；，它们是的最简分数只有两个，，小于大于D m m C B A 16.的大小关系是（）与），那么＞，＞相等（的与的如果b a b a b a 0052103 (A)a ＞b （B ）a=b (C)a ＜b (D)不能确定 三、简答题：（本大题共6题，每题6分，满分36分） 17.计算：127207125+- 18.计算：151121017+19.计算：522813⨯ 20.解方程：1152229=x21.用短除法求24和60的最大公因数和最小公倍数四、解答题：（本大题共3题，每题5分，满分15分） 23.某校预备年级共有学生800人.（1）若该校预备年级有男生420人，那么男生人数是全年级人数的几分之几？ （2）若该校预备年级的女生人数是全年级人数的169，那么该校预备年级的男生人数是多少人?24.有一张长方形纸片，长为48厘米，宽为32厘米，如果要把这张纸片剪成大小相等的正方形纸片（正方形边长是大于1厘米的整数），而且没有剩余. （1）有几种不同的剪法？正方形的边长分别是多少厘米？（2）按正方形纸片可能的最大边长将长方形裁剪，能剪几个正方形？25.根据右边的流程图回答下列问题（1）输入511后，得到的输出结果是___________; （2）如果输出的结果32，请写出输出的数是多少？并写出你的计算过程.五、综合题：（本大题满分5分）16381-212181-212181-6161-4141-212181-612141-212186164142181-616-8186161-414-6164141-212-41421861641421.26=⨯=⨯=++⨯=⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯+⨯+⨯）（）（）（）（）（所以）（），（），（因为时，可以这样思考：计算2825125221......741411)1(⨯+⨯++⨯+⨯算请你根据上述方法，计直接写结果）试一试：计算.(_____10981......43213211)2(=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯参考答案一、填空题1.1、23 ；2、32.9、18、27、363.3×3×794.4 207 87.08798.5＞＞位100.1212.117.1021.91274.832,411,127.7412.6=x 二、单选题ACBA三、简答题2013207-1207-127125.17==+=原式65930259302230327.18=+=+++=）（）（原式217215512825.19==⨯=原式69221127.20=⨯=x x 解：120521212322.21=⨯⨯=⨯⨯最小公倍数：最大公因数：3676)3683615(692112571272654921.22=-+=-==-+x x x x x 解：设这个数为四、解答题.350240211350450-80045016980024021800420)1.(23人）预备男生人数有，（数的）男生人数占全年级人答：（（人）（人），）（==⨯=÷.62416322163231648162222324822222323222248261842)1.(24个）能剪种；（）有答：（（个）；（厘米）的最小公倍数为和；；）（厘米的。

2018-2019学年上海市浦东新区部分学校七年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题3分，满分18分）1．（3分）数轴上原点和原点右边的点所表示的数是（）A．所有实数B．正实数C．非负实数D．负实数2．（3分）和﹣的关系是（）A．互为倒数B．互为相反数C．互为负倒数D．以上都不对3．（3分）下列说法：①对顶角相等；②相等的两角一定是对顶角；③如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等；其中正确的说法有（）个A．0B．1C．2D．34．（3分）如果x取任意实数，那么以下式子中一定表示正实数的是（）A．x B．C．D．|3x+2|5．（3分）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角（）A．相等B．互补C．相等或互补D．大小关系不能确定6．（3分）两条平行直线被第三条直线所截，可以得到（）对同位角．A．1B．2C．3D．4二、填空题（每空2分，满分28分）7．（2分）的平方根为．8．（2分）比较大小：﹣2﹣3（填“＜”或“＝”或“＞”）9．（2分）（﹣2）2019×（+2）2019＝．10．（2分）计算：+＝．11．（4分）把256712按四舍五入的方法精确到千位的近似数约为（用科学记数法表示），有个有效数字．12．（2分）把表示成幂的形式是．13．（2分）如果a＜＜a+1，那么整数a＝．14．（2分）如图，已知∠A+∠B＝180°，∠D：∠C＝5：4，那么∠D＝度．15．（2分）如图，AB∥CD，则x＝度．16．（2分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD相交于点O，若△AOB的面积为6，那么△COD的面积是．17．（2分）一个数的两个不同的平方根是a2+b2和2a﹣6b+10，那么这个数是．18．（4分）如果4条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点．三、简答题（每题4分，满分24分）19．（4分）计算：﹣22+﹣．20．（4分）计算：（）++（）﹣1．21．（4分）计算：（22×9）．22．（4分）计算：π0﹣|﹣|4+（3）﹣（﹣3）2×．23．（4分）如图，已知：AB∥CD，射线AP交CD于E，∠CEP＝（2x+30）°，∠A＝（x+15）°，求x的值．24．（4分）按下列要求画图并填空：（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D，那么点B到直线AC的距离是线段的长．（2）用直尺和圆规作出∠ACB的平分线，若角平分线上有一点P到边AC的距离是3cm，通过你的测量，点P到边BC的距离是cm（保留作图痕迹）．四、解答题（每题6分，满分24分）25．（6分）已知a3＝，b3＝216，c是100的算术平方根，求（b+c）a的值．26．（6分）已知AB∥CD，EF交AB于E，交CD于F，∠AEF＝68°，FG平分∠EFD，KF⊥FG，求∠KFC的度数．解：∵AB∥CD（已知），∴∠EFD＝∠AEF（），∵∠AEF＝68°（已知），∴∠EFD＝∠AEF＝68°（），∵FG平分∠EFD（已知）∴∠EFG＝∠GFD＝∠EFD＝34°（），又∵KF⊥FG（），∴∠KFG＝90°（），∴∠KFC＝180°﹣∠GFD﹣∠KFG＝．27．（6分）已知与互为相反数，求的值．28．（6分）如图，AE平分∠CAD，AE∥BC，O为△ABC内一点，∠OBC＝∠OCB．求证：∠ABO＝∠ACO．五、能力题（本题满分6分）29．（6分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按图1方式叠放在一起（其中∠C＝30°，∠CDO＝60°，∠OAB＝∠OBA＝45°）．△COD绕着点O顺时针旋转一周，旋转的速度为每秒10°，若旋转时间为t秒，请回答下列问题：（请直接写出答案）（1）当0＜t＜9时（如图2），∠BOC与∠AOD有何数量关系？（2）当t为何值时，边OA∥CD？2018-2019学年上海市浦东新区部分学校七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，满分18分）1．（3分）数轴上原点和原点右边的点所表示的数是（）A．所有实数B．正实数C．非负实数D．负实数【分析】根据数轴的定义，进而得出答案．【解答】解：依题意得：原点及原点右边所表示的数大于或等于0．故选：C．【点评】此题主要考查了实数与数轴，解答此题只要知道数轴的定义即可．在数轴上原点左边表示的数为负数，原点右边表示的数为正数，原点表示数0．2．（3分）和﹣的关系是（）A．互为倒数B．互为相反数C．互为负倒数D．以上都不对【分析】把与﹣相加、相乘即可得出它们的关系．【解答】解：∵+（﹣）＝，×（﹣）＝﹣1，∴与﹣互为负倒数，故选：C．【点评】本题考查二次根式的运算．解题的关键是能够正确进行二次根式的运算；主要根据二次根式的加减乘除法法则进行二次根式的运算．3．（3分）下列说法：①对顶角相等；②相等的两角一定是对顶角；③如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等；其中正确的说法有（）个A．0B．1C．2D．3【分析】根据对顶角的性质可得答案．【解答】解：①对顶角相等，说法正确；②相等的两角一定是对顶角，说法错误；③如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等，说法错误；正确的说法有1个，故选：B．【点评】此题主要考查了对顶角，解答的关键是掌握对顶角的定义．4．（3分）如果x取任意实数，那么以下式子中一定表示正实数的是（）A．x B．C．D．|3x+2|【分析】根据二次根式的意义和绝对值的意义对各选项进行判断．【解答】解：当x＜﹣100时，没有意义；|3x+2|≥0，即|3x+2|为非负数；为二次根式，＞0．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根，当a＝0时，＝0，当a小于0时，二次根式无意义．性质：＝|a|．5．（3分）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角（）A．相等B．互补C．相等或互补D．大小关系不能确定【分析】本题应分两种情况讨论，如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，由图形可以看出∠1和∠2是邻补角，它们和∠3的关系容易知道一个相等，一个互补．【解答】解：如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，∴∠3＝∠4，∠4＝∠1，∠4+∠2＝180°；∴∠3＝∠1，∠3+∠2＝180°．∴这两个角相等或互补．故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质．注意掌握数形结合思想的应用．6．（3分）两条平行直线被第三条直线所截，可以得到（）对同位角．A．1B．2C．3D．4【分析】首先画出图形，再根据同位角定义可得答案．【解答】解：同位角有：∠2和∠6，∠1和∠7，∠3和∠5，∠4和∠8，共4对，故选：D．【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F”形．二、填空题（每空2分，满分28分）7．（2分）的平方根为±3．【分析】根据平方根的定义即可得出答案．【解答】解：∵＝9∴的平方根为±3．故答案为：±3．【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，掌握定义是关键．8．（2分）比较大小：﹣2＞﹣3（填“＜”或“＝”或“＞”）【分析】根据根式的性质把根号外的因式移到根号内，根据绝对值的大小判断即可．【解答】解：2＝＝，3＝，∵＜，∴﹣2＞﹣3，故答案为：＞．【点评】本题考查了对绝对值，根式的性质，实数的大小比较等知识点的理解和应用，关键是知道如何比较两负数和根式的大小．9．（2分）（﹣2）2019×（+2）2019＝﹣1．【分析】利用积的乘方和平方差公式计算．【解答】解：原式＝[（﹣2）（+2）]2019＝（3﹣4）2019＝﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．10．（2分）计算：+＝．【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝+＝+＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．11．（4分）把256712按四舍五入的方法精确到千位的近似数约为 2.57×105（用科学记数法表示），有3个有效数字．【分析】根据近似数的精确度、有效数字的定义求解．【解答】解：把256712按四舍五入的方法精确到千位的近似数约为2.57×105，有3个有效数字．故答案为：2.57×105；3．【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．也考查了科学记数法．12．（2分）把表示成幂的形式是．【分析】根据分数指数幂的意义直接解答即可．【解答】解：根据分数指数幂的意义可知，＝．故答案为．【点评】本题主要考查分数指数幂的意义，分数指数幂是根式的另一种表示形式，即n 次根号（a的m次幂）可以写成a的次幂，（其中n是大于1的正整数，m是整数，a 大于等于0）．13．（2分）如果a＜＜a+1，那么整数a＝4．【分析】首先确定＜，然后可得答案．【解答】解：∵＜，∴4＜5，∴a＝4，故答案为：4．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，关键是掌握估算无理数大小要用逼近法．14．（2分）如图，已知∠A+∠B＝180°，∠D：∠C＝5：4，那么∠D＝100度．【分析】根据平行线的判定和性质，进行解答即可．【解答】解：∵∠A+∠B＝180°（已知），∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠D+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠D：∠C＝5：4，∴∠D＝100°，故答案为：100．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，关键在于认真的阅读题目和解题过程，正确地进行计算，正确的运用相关性质、判定定理．15．（2分）如图，AB∥CD，则x＝35度．【分析】过E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF的度数，进而可得∠FED的度数，再次利用平行线的性质可得答案．【解答】解：过E作EF∥AB，∴∠A+∠AEF＝180°，∵∠A＝153°，∴∠AEF＝27°，∵∠AED＝80°，∴∠FED＝53°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D＝∠FED＝53°，∴x＝53°，故答案为：53．【点评】此题主要考查了平行线的性质和判定，关键是正确作出辅助线，掌握两直线平行，内错角相等．16．（2分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD相交于点O，若△AOB的面积为6，那么△COD的面积是6．【分析】作AE⊥BC于E，由AD∥BC，得出△ABC的面积＝△DCB的面积，即可得出结论．【解答】解：作AE⊥BC于E，如图所示：∵AD∥BC，∴△ABC的面积＝BC•AE，△DCB的面积＝BC•AE，∴△ABC的面积＝△DCB的面积，∴△AOB 的面积＝△COD 的面积，即S △AOB ＝S △COD ＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了梯形的性质以及三角形面积的计算方法；由梯形的性质得出△ABC 的面积＝△DCB 的面积是解决问题的关键．17．（2分）一个数的两个不同的平方根是a 2+b 2和2a ﹣6b +10，那么这个数是 100 ．【分析】根据两个平方根互为相反数，即可列方程得到a 、b 的值，然后根据平方根的定义求得这个数． 【解答】解：根据题意得：a 2+b 2+（2a ﹣6b +10）＝0，即a 2+2a +1+b 2﹣6b +9＝0，∴（a +1）2+（b ﹣3）2＝0，∴a +1＝0，b ﹣3＝0，解得：a ＝﹣1，b ＝3则这个数是（a 2+b 2）2＝（1+9）2＝100．故答案是：100．【点评】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数，正确求得a 、b 的值是关键．18．（4分）如果4条直线两两相交，最多有 6 个交点，最少有 1 个交点．【分析】3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，故可猜想，n 条直线相交，最多有1+2+3+…+（n ﹣1）＝n （n ﹣1）个交点．【解答】解：n 条直线相交，最多有n （n ﹣1）个交点．当n ＝4时，，即如果4条直线两两相交，最多有6个交点，最少有1个交点．故答案为：6、1．【点评】此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．三、简答题（每题4分，满分24分）19．（4分）计算：﹣22+﹣．【分析】原式利用乘方的意义，平方根、立方根定义计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣4+﹣（﹣2）＝﹣4+6+2＝4．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（4分）计算：（）++（）﹣1．【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及立方根定义计算即可求出值．【解答】解：原式＝+（﹣4）+（﹣1）＝﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（4分）计算：（22×9）．【分析】根据积的乘方运算法则以及分数指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：原式＝×＝＝24．【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及分数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．22．（4分）计算：π0﹣|﹣|4+（3）﹣（﹣3）2×．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣4+﹣9×4＝1﹣4+3﹣36＝﹣36．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23．（4分）如图，已知：AB∥CD，射线AP交CD于E，∠CEP＝（2x+30）°，∠A＝（x+15）°，求x的值．【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠PED＝∠A，由平角等于180°可得出∠CEP+∠PED＝180°，进而可得出∠CEP+∠A＝180°，将“∠CEP＝（2x+30）°，∠A＝（x+15）°”代入∠CEP+∠A＝180°中，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠PED＝∠A（两直线平行，同位角相等）．∵∠CEP+∠PED＝180°（平角的意义），∴∠CEP+∠A＝180°（等量代换），∴2x+30+x+15＝180，∴x＝45．【点评】本题考查了平行线的性质、邻补角以及解一元一次方程，利用平行线的性质结合邻补角互补，找出关于x的一元一次方程是解题的关键．24．（4分）按下列要求画图并填空：（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D，那么点B到直线AC的距离是线段BD的长．（2）用直尺和圆规作出∠ACB的平分线，若角平分线上有一点P到边AC的距离是3cm，通过你的测量，点P到边BC的距离是3cm（保留作图痕迹）．【分析】（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D，根据点到直线的距离定义即可得点B到直线AC的距离是线段BD的长；（2）用直尺和圆规作出∠ACB的平分线，角平分线上有一点P到边AC的距离是3cm，通过测量可得点P到边BC的距离．【解答】解：如图，（1）BD即为所求．点B到直线AC的距离是线段BD的长；故答案为：BD．（2）CP即为所求．通过测量可知：点P到边BC的距离等于点P到边AC的距离是3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．四、解答题（每题6分，满分24分）25．（6分）已知a3＝，b3＝216，c是100的算术平方根，求（b+c）a的值．【分析】直接利用立方根的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：∵a3＝，b3＝216，c是100的算术平方根，∴a＝，b＝6，c＝10，∴（b+c）a＝（6+10）＝＝4．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．26．（6分）已知AB∥CD，EF交AB于E，交CD于F，∠AEF＝68°，FG平分∠EFD，KF⊥FG，求∠KFC的度数．解：∵AB∥CD（已知），∴∠EFD＝∠AEF（两直线平行，内错角相等），∵∠AEF＝68°（已知），∴∠EFD＝∠AEF＝68°（等量代换），∵FG平分∠EFD（已知）∴∠EFG＝∠GFD＝∠EFD＝34°（角平分线的意义），又∵KF⊥FG（已知），∴∠KFG＝90°（垂直的意义），∴∠KFC＝180°﹣∠GFD﹣∠KFG＝56°．【分析】由AB∥CD及∠AEF的度数，利用平行线的性质可得出∠EFD的度数，由FG 平分∠EFD，利用角平分线的定义可求出∠GFD的度数，结合KF⊥FG及∠KFC＝180°﹣∠GFD﹣∠KFG，即可求出∠KFC的度数．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠EFD＝∠AEF（两直线平行，内错角相等），∵∠AEF＝68°（已知），∴∠EFD＝∠AEF＝68°（等量代换），∵FG平分∠EFD（已知）∴∠EFG＝∠GFD＝∠EFD＝34°（角平分线的意义），又∵KF⊥FG（已知），∴∠KFG＝90°（垂直的意义），∴∠KFC＝180°﹣∠GFD﹣∠KFG＝56°．故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线的意义；已知；垂直的意义；56°．【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线以及垂线，利用平行线的性质及角平分线的定义，找出∠GFD的度数是解题的关键．27．（6分）已知与互为相反数，求的值．【分析】直接利用相反数的定义得出x，y之间的关系，进而代入原式化简得出答案．【解答】解：∵与互为相反数，∴2x+y+2+x+2y﹣2＝0，故x+y＝0，则x＝﹣y，原式＝＝＝3．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确得出x与y的关系是解题关键．28．（6分）如图，AE平分∠CAD，AE∥BC，O为△ABC内一点，∠OBC＝∠OCB．求证：∠ABO＝∠ACO．【分析】由AE∥BC，利用平行线的性质可得出∠DAE＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，由AE 平分∠CAD可得出∠DAE＝∠CAE，进而可得出∠ABC＝∠ACB，再结合∠OBC＝∠OCB 可得出∠ABO＝∠ACO．【解答】证明：∵AE∥BC（已知），∴∠DAE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），∠EAC＝∠ACB（两直线平行，内错角相等）．∵AE平分∠CAD，∴∠DAE＝∠CAE（角平分线的意义），∴∠ABC＝∠ACB（等量代换）．∵∠OBC＝∠OCB（已知），∴∠ABO＝∠ACO（等式的性质）．【点评】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，牢记平行线的性质定理是解题的关键．五、能力题（本题满分6分）29．（6分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按图1方式叠放在一起（其中∠C＝30°，∠CDO＝60°，∠OAB＝∠OBA＝45°）．△COD绕着点O顺时针旋转一周，旋转的速度为每秒10°，若旋转时间为t秒，请回答下列问题：（请直接写出答案）（1）当0＜t＜9时（如图2），∠BOC与∠AOD有何数量关系？（2）当t为何值时，边OA∥CD？【分析】（1）当0＜t＜9时，∠BOC＝90°﹣10t°，∠AOD＝90°+10t°，即可得出结论；（2）分两种情况，由题意得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∠BOC+∠AOD＝180°，理由如下：当0＜t＜9时，∠BOC＝90°﹣10t°，∠AOD＝90°+10t°，∴∠BOC+∠AOD＝90°﹣10t°+90°+10t°＝180°；（2）①如图3所示：∵OA∥CD，∴∠AOC＝∠C＝30°，即10t°＝30°，解得：t＝3；②如图4所示：∵OA∥CD，∴∠AOD＝∠CDO＝60°，即360°﹣10t°﹣90°＝60°，解得：t＝21；综上所述，当t为3秒或21秒时，边OA∥CD．【点评】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质、一元一次方程的应用等知识；熟练掌握直角三角形的性质，由题意得出方程是解题的关键．。

【全国百强校】江西省上饶市玉山县第一中学2018-2019高一下学期期中考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量=(1,),(2,5)a m b =，若a b ⊥则m =（ ）A ．1B ．13C ．25-D ．522．已知α为第二象限角，且 3sin 5α=，则()tan απ+的值是( ) A ．43- B ．34- C ．43 D ．343．圆心在x 轴上，半径为2，且过点（1,2）的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)(2)=4x y ++-D ．22(1)4x y ++= 4．下列命题中，正确的是（ ）A ．有相同起点的两个非零向量不共线B ．“a b =”的充要条件是||a b |=|且//a bC ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线D ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量5．两圆228120x y y +-+=和2260x y x +-=的位置关系是( )A ．外切B ．相离C ．内切D ．相交 6．如图：已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，,AC a AD b ，==则AO =（ ）A ．12a b -B ．b a -C ．12a b -D ．22b a -7．已知角α的终边过点P (-，则sin cos αα-=（ ）A ．B ．12 C ．12 D ．12 8．函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π2，则该函数的图象（ ）A ．关于直线x =π12对称B ．关于直线x =π24对称C ．关于点(π12，0)对称 D ．关于点(π24，0)对称9．已知a =2，b =3，a b -,则a →在b →方向的射影是（ ）A ．2B ．13C ．43D ．110．公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =，若24m n +=，则2的值为（ ）A ．4B ．12C ．18D ．2 11．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象( ) A ．向左平移56π个单位长度 B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移56π个单位长度12．已知函数()sin()sin 0)32f x x x πωωω=-+->在02π（，）上有且只有3个零点，则实数ω的取值范围是（ ）A ．14(,6]3B ．175]3（， C ．,6]（5 D ．14(,5]3二、填空题132754cos 75cos15-⋅＝_______________.14．已知12,e e 是不共线非零向量，且121212,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若A B D 、、三点共线，则k =_____________.15．若ABC ∆为正三角形且边长为2，平面内一点P 满足1223CP CB CA =+，则PA PB ⋅=_________.16．已知圆C ：(x −2)2+(y −1)2=5−m ，直线：x +y −1=0与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，若恰好存在P i ∈C(i =1,2,3)使S ΔP i MN =12，则m =________.三、解答题17．（1）22sin 60cos180tan 225cos 30sin(90)++-+- （2）sin(2)sin()cos()cos()sin(3)παπαπαπαπα-⋅+⋅---⋅- 18．已知5,6,a b a b ==与的夹角为60，求：（1）a 在b 方向上的投影；（2）(2)(35)b a a b -⋅+.19．已知ABC ∆中，7sin cos 5A A -=. （1）试判断三角形的形状； （2）求tan A 的值.20．已知函数()cos(2)2sin()sin()1344f x x x x πππ=-+-⋅++. （1）求函数()f x 的最小正周期及其对称中心;（2）若[,]122x ππ∈-，求()f x 的最值. 21．在平面直角坐标系xoy 中，圆2260x y x +-=的圆心为Q .（1）求过点(0,6)P -且与圆相切的直线方程;（2）若过点(0,6)P -且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B 、， 以OA OB 、为邻边作平行四边形OACB ，问是否存在常数k ，使得平行四边形OACB 为矩形？请说明理由.22．已知函数()()()sin 0,0,,f x A x A ωϕωϕπ=+>><在同一周期内，当 12x π=时，()f x 取得最大值2；当712x π=时，()f x 取得最小值－2 . (1)求函数()f x 的解析式；(2)若66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数()3()1h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】由向量垂直的坐标运算直接计算即可【详解】由题25m 0+=,解m=25-故选C【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，熟记公式是关键，是基础题2．B【分析】由同角三角函数的基本关系可得tan α，再利用诱导公式化简代入可得．【详解】∵α是第二象限角，且sin 3α5=，∴cos 4α5==-， ∴tan α3αα4sin cos ==-，又()tan απ+=3tan α4=- 故选B【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属基础题．3．B【分析】设圆心坐标为C （a ，0），则由题意可得 （a ﹣1）2+（0﹣2）2＝22，求得a 的值，可得圆的方程．【详解】设圆心坐标为C （a ，0），则由题意可得 （a ﹣1）2+（0﹣2）2＝22，∴a ＝1，∴圆的方程为 （x ﹣1）2+y 2＝4，故选B ．【点睛】本题主要考查求圆的标准方程，求得a ＝1是解题的关键，属于基础题．4．D【分析】由平面向量的定义及零向量的应用可依次对选项判断【详解】解：对于A ，有相同起点的两个非零向量可能共线，A 错误；对于B ，“a b =”的充要条件是||||a b =且a 与b 方向相同，故B 错误；对于C ，若0b =，则a 与c 不一定共线，故C 错误；对于D ，若a 与b 中有一个是零向量，则a 与b 共线，故D 正确，故选：D .【点睛】本题考查了平面向量的定义与零向量的应用，属于基础题．5．A【分析】把圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R 与r ，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d ，由d =R+r 得到两圆的位置关系为外切．【详解】由圆C 1：228120x y y +-+=，化为x 2+（y ﹣4）2＝4，圆心C 1（0，4），R ＝2圆C 2：（x ﹣3）2+y 2＝9，圆心C 2（3，0），r ＝3，∴两圆心间的距离d =5=2+3，∴圆C 1和圆C 2的位置关系是外切．故选A ．【点睛】本题题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定方法为：0≤d ＜R ﹣r ，两圆内含；d ＝R ﹣r ，两圆内切；R ﹣r ＜d ＜R+r 时，两圆相交；d ＝R+r 时，两圆外切；d ＞R+r 时，两圆相离（d 为两圆心间的距离，R 和r 分别为两圆的半径）． 6．B【解析】【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可．【详解】如图：连结CD ，OD ，∵已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点， ∴AODC 是平行四边形，∴O A AD AC b a =-=-．故选B【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，圆的简单性质，是基础题．7．D【解析】【分析】由角α的终边经过点P （﹣1，利用任意角的三角函数定义求出sinα，cosα即可．【详解】∵点P （﹣1），∴x ＝﹣1，y |OP |2==，∴sinα1α2==-．故sinαcos α-= 故选D【点睛】本题考查了任意角的三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键，是基础题．8．B【解析】【分析】求出函数的解析式，然后判断对称中心或对称轴即可．【详解】函数f（x）＝2sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期为π2，可得ω＝4，函数f（x）＝2sin（4x+π3）．由4x+π3=kπ+π2，可得x=kπ4+π24，k∈Z．当k＝0时，函数的对称轴为：x=π24．故选：B．【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，周期的求法，考查计算能力，是基础题9．B【解析】【分析】根据向量射影的定义，先求a b⋅,再求a在b方向上的射影即可．【详解】由题249211a b a b，得1a b⋅=则a在b方向的射影是13 a bb故选B【点睛】本题考查了向量射影的定义，考查数量积运算，考查运算求解能力，熟记定义是关键，是基础题目．10．B【解析】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求n＝4cos218°，利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【详解】∵m＝2sin18°，若m2+n＝4，∴n ＝4﹣m 2＝4﹣4sin 218°＝4（1﹣sin 218°）＝4cos 218°， 2361418182sin sin cos ︒==︒︒故选B ．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11．B【解析】【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】因为g （x ）＝cos （2x 3π+）= sin （2x 32ππ++）= sin （2x 56π+），故其图象向右平移512π个单位，可得函数()2f x sin x =的图象，故选B ．【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，诱导公式的应用，属于基础题． 12．A【解析】【分析】化简f(x)=sin （ωx 6π-）令f （x ）（ωx 6π-）0可解得ωx ＝2k π+3π或ωx ＝2k ππ+，从而写出正根中较小的有3πω，πω，73πω，3πω；从而可得2πω≤π且3＞π；从而解得．【详解】()sin sin 3f x x x πωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1333sin cos sin 3sin 262f x x x x x令f （xsin （ωx 6π-0得， sin （ωx 6π-）12=， 则ωx 6π-=2k π6π+或ωx 6π-=2k π+π6π-，k ∈Z ； 则ωx ＝2k π+3π或ωx ＝2k ππ+， 则x 23k ππω+=或x 2πk πω+=；则正根中较小的有：3πω，πω，73πω,3 πω则732ππω<且32ππω≥； 故14ω63<≤， 故选A ．【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，同时考查了三角函数的化简问题属于中档题．13【解析】【分析】利用二倍角公式化简即可【详解】24cos 75cos15-⋅=()cos1521150cos ︒︒⎤+⎦= cos1522︒==【点睛】 本题考查二倍角的余弦公式，两角差的余弦公式化简求值，考查基本公式，准确计算是关键，是基础题14．－4根据A 、B 、D 三点共线可得AB BD λ=，得14k λλ=-，由此求得实数k 的值． 【详解】由题124BD e e =-, A 、B 、D 三点共线可得124AB BD e e ，则14k λλ=-得4k =- 故答案为-4【点睛】本题主要考查两个向量共线定理，考查向量的线性运算，属于基础题．15．89－【分析】先利用向量的运算法则将PA ，PB ，分别用等边三角形的边对应的向量表示，利用向量的运算法则展开，据三角形的边长及边边的夹角已知，求出两个向量的数量积．【详解】 由题意可得60CA CB CA CB cos ⋅=︒=2×212⨯=2，224CA CB ==， ∵1223CP CB CA =+， ∴PA CA CP CA =-=-（1223CB CA +）1132CA CB =-， PB CB CP CB =-=-（1223CB CA +）1223CB CA =-， ∴PA •PB =（1132CA CB -）•（1223CB CA -） 22112249CA CB CB CA =⋅-- 112244249=⨯-⨯-⨯ 89=- 故答案为89- 【点睛】本试题考查了向量的数量积的基本运算，平面向量基本定理，考查了运算能力，是基础题 16．12【解析】由题意转化为圆上存在三个点P到直线的距离为√22，列m的关系式求解即可【详解】由题M(1,0),N（0,1），|MN|=√2,由SΔPi MN =12得P到直线的距离为√22，且这样的点有3个，故√5−m−√22=√2,解m=12故答案为12【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，考查转化化归能力，是中档题17．（1）-1；（2）sinα【解析】【分析】（1）利用特殊角三角函数求解即可；（2）利用诱导公式化简求值即可【详解】（1）原式=331111 44-+--=-（2）由诱导公式得()()sin sin cossincos sinαααααα---=-【点睛】本题考查三角函数的诱导公式及特殊角的三角函数值，熟记公式准确计算是关键，是基础题18．（1）52；（2）300.【解析】【分析】（1）根据向量射影的定义，先求a b⋅,再求a在b方向上的射影即可．（2）将原式展开求解即可【详解】（1）由题156152a b则a 在b 方向的射影是52a b b （2）原式得22310300a ba b 【点睛】 本题考查了向量投影的定义，考查数量积运算，考查运算求解能力，熟记定义是关键，是基础题目．19．（1）钝角三角形；（2）34-或43-. 【解析】【分析】（1）将原式平方得2sinAcosA<0,得cosA 0<即可判断三角形为钝角三角形；（2）结合（1）求得cosA+sinA=15±，求得sinA 及cosA 即可求解 【详解】 （1）将原式平方得1-2sinAcosA=49,25得2sinAcosA=-24025<,故cosA 0<，三角形为钝角三角形 （2）由（1）cosA+sinA=15=±,解得4535sinA cosA ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3545sinA cosA ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故tanA=34-或43- 【点睛】 本题考查同角三角函数基本关系，二倍角公式，考查化简求值能力，是中档题20．（1）最小正周期为T ,对称中心为,1)212k ππ+（k Z ∈；（2）最大值为2，最小值为1-2【解析】【分析】 （1）利用三角变换化简()sin(2+16f x x π=-），即可求解周期和对称中心（2）求52,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，利用三角函数性质再求最值即可（1）()1f x 22212cos x x cos x =+-+=sin(2+16x π-） ∴最小正周期为22π=T , 令2x 6k ππ-=得x ,212k k Z ππ=+∈,故对称中心为,1)212k ππ+（ k Z ∈ （2）,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴52,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 当12x π=-时，()min 1f x =当3x π=时，()max 2f x =【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，考查计算能力，熟记公式，准确化简是关键，是中档题21．（1）36;04yx x ；（2）存在2k =满足题意. 【分析】（1）先考虑斜率不存在，k 存在时设直线为6y kx =--，利用圆心到直线距离等于r 求解k 可得方程；（2）由题分析得当直线过圆心时恰好构成矩形进而求得斜率即可【详解】(1) 由题圆的方程为()2239x y -+=斜率k 不存在时，方程为x=0符合题意；k 存在时,设直线为6y kx =-33=4d k ==⇒ 综上：切线方程为36,04y x x =-= (2)由题意可得OA OB ⊥，所以直线过圆心，∴()06230k --==-.本题考查圆的切线方程及圆的简单几何性质，考查转化与化归能力，是基础，注意k 不存在时的讨论是易错点22．(1)()2sin(2)3f x x π=+；(2)[1t ∈+. 【解析】【分析】(1)由最大与最小值得到周期和A,进而得ωφ，，则解析式可求；(2)转化为()13t f x -=有两个根，令2m 2x 0,33ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,结合函数性质求解即可 【详解】(1)由题A=2,7212122T πππ=-=,∴ω2=，由五点作图知22,,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈得3πϕ=，故函数()f x 的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)由题()13t f x -=有两个根，令2m 2x 0,33ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,当m=2,3π即x=6π时，()3,2f x π== 即x=12π时，,()36f x =，故-1<6,解)1t ⎡∈+⎣【点睛】本题考查函数解析式的求解，三角函数图像及性质的应用，考查运算求解能力，注意零点问题，区间端点开闭问题，是易错题。

，
原式=
=
=
．
【点睛】本题考查了余弦函数的定义、同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为 1 的关系 和商关系，考查了数学运算能力.
18.（1）已知扇形的周长为 8，面积是 4，求扇形的圆心角．
（2）已知扇形的周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？
【答案】（1）2；（2）当半径为 10 圆心角为 2 时，扇形的面积最大，最大值为 100．
体重超过
的总人数为
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
.
所以在
，
，
三段人数分别为 3，2，1.
甘肃省会宁县第一中学 2018-2019 学年高一数学下学期期中试题（含
解析）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.与
终边相同的角是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据与 终边相同的角可以表示为
这一方法，即可得出结论．
【详解】与
角终边相同的角为：
，
当 时，
．
故选：C．
11.函数
的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为角 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角 终边在第一、第二、第三、第四象限时，
根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域.
【详解】由题意可知：角 的终边不能落在坐标轴上，
当角 终边在第一象限时，

2018-2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题1. _____________________________________________________________ （3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定______________________________ 个平面.2. _______________________________________________________ （3分）已知球的体积为36 n,则该球主视图的面积等于_____________________________________ .3. （3分）若正三棱柱的所有棱长均为___ a,且其体积为16 :■:,则a = .4. （3分）如图，以长方体ABCD - A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若］■的坐标为（4, 3,2）,则—■的坐标是___________5. （3分）若圆锥的侧面积是底面积的________ 3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.6. （3分）已知圆柱Q的母线长为I，底面半径为r, O是上底面圆心，A, B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为——，贝—= ________& T7. （3分）已知△ ABC三个顶点到平面a的距离分别是3, 3, 6，则其重心到平面a的距离为（写出所有可能值）& （ 3分）正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动，贝U 「宀的取值范围是______________ .9. （3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去△ AOB, 将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为________________ .大值是12.（ 3分）如图，在四面体 ABCD 中，E ，F 分别为AB , CD 的中点，过 EF 任作一个平面 a 分别与直线BC , AD 相交于点G , H ，则下列结论正确的是 ____________ .① 对于任意的平面 a,都有直线GF , EH , BD 相交于同一点； ② 存在一个平面a 0,使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③ 对于任意的平面 a,都有S A EFG = S\EFH ；④ 对于任意的平面 a,当G , H 在线段BC , AD 上时，几何体 AC - EGFH 的体积是一个定值.10. （3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则 3x+4y 的最大R 的球面上的四点，其中 AB 、AC 、BC 间的球面距离分别为 JT一、 丄[若| 一-， 〔 ] 门「，其中0为球心，则x+y+z 的最B、选择题周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）14. （ 3分）如图，在大小为 45°的二面角 A - EF - D 中，四边形 ABFE 与CDEF 都是边长 为1的正方形，则B 与D 两点间的距离是（）A .二B .辺C . 1D .一； . J 15. （ 3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最 早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘BP 与AC '所成的角为45°的点P 的个数为（C . 4D . 6、解答题 17. 现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是 a ，高是b ; 2号容器的底面边长是 b ,13. （3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转C . 2_ In之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积 V 的近似 L 2h ,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 362 ^L h 相当于将圆锥体积公式中的公式V ~ n 近似取为3,那么，近似公式 n 近似取为（ A 二 25 3 35511316. (3 分)在正方体 ABCD - A ' B ' C D '中，若点 （异于点 B ）是棱上一点，则满足 C .PA . 0B . 3高是a; 3号容器的底面边长是a,高是a; 4号容器的底面边长是b,高是b.假设b,问是否存在一种必胜的4选2的方案(与a、b的大小无关)，使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由18. 如图，已知圆锥底面半径r = 20cm , O为底面圆圆心，点Q为半圆弧“的中点，点P为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2,求:(1 )圆锥的侧面积；19. 如图，在四棱锥P- ABCD中，PA丄底面ABCD，/ DAB为直角，AB // CD, AD = CD=2AB= 2PA = 2, E、F 分别为PC、CD 的中点.(1)试证: CD丄平面BEF ;(2 )求BC与平面BEF所成角的大小;(3)求三棱锥P- DBE的体积.20. 如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF//底面ABC,且棱台DEF - ABC与棱锥P - ABC的棱长和相等(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和).(1)证明：P- ABC为正四面体；(2)若求二面角D - BC - A的大小(结果用反三角函数值表示) ;(3)设棱台DEF - ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台 DEF - ABC 有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平 行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥 P -ABC 的体积减去棱锥 P -DEF 的体积）.21.火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物. 建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的 热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔.此类 冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为 75〜150米，底边直径65〜120米.双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风 力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略.图1）（1 ）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径 大于上底直径.已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m ,俯视图为三个同心圆, 其半径分别度单位米） （2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线:为 40m ,^-m 30m ,试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（ m 为长C2 2y= 0, y= h,绕y轴旋转形成的旋转体的体积为___________ （用a, b, h表示）旷（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m （底部），最薄处厚度为0.3m （喉部，即左右顶点处）.试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是_______________ ,并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是_______ m3（计算时n取 3.14159,保留到个位即可）（3 ）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内.超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加.现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元.试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）@43. ( 3分)若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16「:，则a = 42018-2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1. （3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定1或2或3个平面.【分析】讨论这两条直线的位置情况，从而得出三条直线所确定的平面数.【解答】解：如果三条直线都交于一点，且三线不共面，则每两条直线都确定一个平面，共确定3个平面;如果三条直线两两相交，交于不同的三点，则只确定1个平面;如果两条直线异面，另一条与其均相交，则只确定2个平面；如果两条直线平行，另一条与其均相交，则只确定1个平面.综上，这三条直线共可确定1或2或3个平面.故答案为：1或2或3.是基础题目.2. （3分）已知球的体积为36 n,则该球主视图的面积等于9n .【分析】由球的体积公式，可得半径R= 3，再由主视图为圆，可得面积.【解答】解：球的体积为36 n,设球的半径为R,可得丄冗R3= 36 n,可得R= 3,该球主视图为半径为3的圆，可得面积为n R2= 9 n.【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题.【点评】本题考查了由直线确定平面的应用问题, 是平面的基本性质与推论的应用问题,【分析】由题意可得(*?a?a?sin60°)?a = 1距，由此求得a 的值.【解答】 解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a 的等边三角形，面积为—?a?a? 2sin60°,正棱柱的高为 a ,•••(_?a?a?sin60°)?a = 16 ： ;,「. a = 4,故答案为：4.【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题.4. ( 3分)如图，以长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的 直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB ；的坐标为(4,3, 2), 则两 的坐标是 (-【解答】解：如图，以长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，•••丽］的坐标为(4, 3, 2), • A (4, 0, 0), C 1 (0, 3, 2), • AC 广4, 3, 2).【点评】 本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算A 和C 1的坐标，由此能求出结果.2),分别求出3. ( 3分)若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16「:，则a = 4求解能力，考查数形结合思想，是基础题.果用反三角函数值表示）【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角.【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为0,•••圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,故圆锥的轴截面如下图所示:【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的倍，是解答的关键.6. （3分）已知圆柱Q的母线长为I，底面半径为r, O是上底面圆心，A,上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为_ --7T r2r3,5. （3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arcco丄------ 3（结B是下底面圆周故答案为:arccos-3. ( 3分)若正三棱柱的所有棱长均为 a ,且其体积为16「:，则a = 4 【解答】解：如图，过A 作与BC 平行的母线 AD ,连接OD ,则/ OAD 为直线OA 与BC【分析】过A 作与BC 平行的母线AD ，由异面直线所成角的概念得到/ 直角三角形ODA 中，直接由7T 1 …〒二得到答案..在OAD在直角三角形 ODA 中，因为/Q AD=2L ，所以则一「.故答案为:-【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题.7. （ 3分）已知△ ABC 三个顶点到平面 a 的距离分别是3, 3, 6，则其重心到平面 a 的距离 为 0, 2,4 （写出所有可能值）【分析】根据题意画出图形，设 A 、B 、C 在平面a 上的射影分别为 A '、B '、◊,△ ABC 的重心为G ,连接CG 交AB 于中点E ,又设E 、G 在平面a 上的射影分别为E '、 G '，利用平面图形：直角梯形 EE ' C ' C 中数据可求得△ ABC 的重心到平面 a 的距离 GG '即可.【解答】解：如图，设 A 、B 、C 在平面a 上的射影分别为 A '、B '、C ' ,△ ABC 的 重心为G , 连接CG 交AB 于中点E ,又设E 、G 在平面a 上的射影分别为 E '、G ',贝U E ' €A ' B', G ' €C ' E',设 AA'= BB'= 3, CC'= 6, EE'= 3,由 CG = 2GE ,在直角梯形EE ' C ' C 中可求得GG ' = 4;当AB 和C 在平面a 的两侧，由于 EE'： CC'= 1 : 2,可得GG ' = 0;当AB 垂直于平面 a,由中位线定理可得 GG'= 2 .故答案为：0, 2, 4.基础题，三角形重心是三角形三边中线的交点.重心到顶点的距离与重心到对边中点的所成的角，大小为7V距离之比为2：1.& ( 3分)正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动，贝U的取值范围是[0, 1].【分析】建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得二、八；的坐标，再由一~1 -入[0 , 1]，可得〔「「的取值范围.【解答】解：以丨r所在的直线为x轴，以忙弓所在的直线为y轴，以.；所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则 D (0, 0, 0)、C (0, 1, 0)、A (1, 0, 0)、B (1, 1, 0)、D1 (0, 0, 1).•DC=( 0, 1, 0)、BD ] (- 1，- 1, 1).•••点P在线段BD1上运动，• BF'= X?BD [=(-人-人入)，且0W入w 1.•AP= AB+BP= DC+EP =(-入，1 -入，入)，故答案为[0 , 1].【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题.9. (3分)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去△ AOB, 将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、( B)、C、D、O为顶点的四面体的体积为丄—3 —【分析】根据题意，求出翻折后的几何体为底面边长，侧棱长，高，即可求出棱锥的体积.【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为4,侧棱长为2 的正三棱锥,高为所以该四面体的体积为 ［「.丄.,故答案为：二£1【点评】本题考查棱锥的体积，考查计算能力，是基础题. 10. （3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的边长关系式和不等式的应用求出结果.【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为:所以：利用三视图的关系，构造成四棱锥体,3x+4y 的最大1左视图所以：x2= 1+4 - y2,整理得：X 2+ y 2= 5 ,故：（3x+4y ） 2＜（ 32+42） （x 2+y 2）,整理得：|.故答案为：5.口【点评】 本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，不等式的应用，主要考察 学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.11. （3分）已知A 、B 、C 、P 为半径为R 的球面上的四点，其中 AB 、AC 、BC 间的球面距 离分别为丄丄P 、丄7若,，-.其中O 为球心，贝U x+y+z 的最 大值是 二二 【分析】以OA , OC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间坐标系，求出|丄，「， 「的坐 标，根据P 在球O 上，得到厂日的长度为R ,再结合柯西不等式即可得到结论.【解答】 解：依题意， OA 丄OC , OB 丄OC ,又OA Q OB = O ,所以OC X 平面OAB ,以OA , OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，O 为坐标原点立空间坐标系,则 0A =( R, 0, 0), 0C =( 0, R , 0)因为OA 与OB 夹角为卫-，所以不妨设 压=（—R , W!R , 0）,如图,322因为P 在球O 上，所以I 「1= R ,R , ■： R ），R ,【点评】本题考查了球面距离，空间向量的坐标运算，向量的模，柯西不等式等知识，属于中档题.12. （3分）如图，在四面体ABCD中，E, F分别为AB, CD的中点，过EF任作一个平面a分别与直线BC, AD相交于点G, H，则下列结论正确的是③，④ .①对于任意的平面a,都有直线GF , EH , BD相交于同一点；②存在一个平面a0,使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面a,都有S A EFG= S\EFH ；④对于任意的平面a,当G, H在线段BC , AD上时，几何体AC - EGFH的体积是一个定值.【分析】①取AD的中点H, BC的中点G,则EGFH在一个平面内，此时直线GF // EH // BD;②不存在一个平面a0,使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③分别取AC、BD的中点M、N，贝U BC //平面MENF , AD //平面MENF，且AD与BC 到平面MENF的距离相等，可得对于任意的平面a, 都有S A EFG= S A EFH .④ 对于任意的平面 a,当G , H 在线段BC , AD 上时，可以证明几何体 AC - EGFH 的体 积是四面体ABCD 体积的一半.【解答】解：①取AD 的中点H , BC 的中点G ,贝U EGFH 在一个平面内，此时直线 GF // EH // BD ，因此不正确；② 不存在一个平面 a O ,使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③ 分别取 AC 、BD 的中点 M 、N ，贝U BC //平面 MENF , AD //平面 MENF ，且 AD 与BC 到平面MENF 的距离相等，因此对于任意的平面 a,都有S A EFG = S A EFH .④ 对于任意的平面 a,当G , H 在线段BC , AD 上时，可以证明几何体 AC - EGFH 的体 积是四面体ABCD 体积的一半，因此是一个定值. 综上可知：只有③④正确. 故答案为：③④.【点评】 本题考查了线面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理，考查了推理能 力和计算能力，属于难题. 、选择题周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可. 【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体.【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力.是基础题.14. （ 3分）如图，在大小为 45°的二面角 A - EF - D 中，四边形 ABFE 与CDEF 都是边长第15页（共29页）13. （3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转为1的正方形，贝U B 与D 两点间的距离是（A . ：B . ]C . 1D ..：..：【分析】由「=_’•」； I. L ，利用数量积运算性质展开即可得出. 【解答】解：•••四边形ABFE 与CDEF 都是边长为1的正方形,又大小为 45° 的二面角 A - EF - D 中，.I ■'.? ■.= 1 x 1 x cos ( 180°- 45•••Li—丄 K.一 =■卩• y 『r + _. ■ | ■「=3-悩：目，•••丨；=:飞：丁 故选：D .【点评】本题考查了数量积运算性质、向量的多边形法则、空间角，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题.1的正方形，贝y B 与C 两点间的距离是（ ）改为则B 与D 两点间的距离是（？？？？15. （ 3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘【解答】解：设圆锥底面圆的半径为 r ，高为h ,则L = 2n-,=0,)=-■之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高h ,计算其体积 V的近似L 2h ,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率36•=L 2h 相当于将圆锥体积公式中的 n 近似取为（7b 公式V ~ n 近似取为3,那么，近似公式A 仝355 113，建立方程，即可求得结论.【分析】根据近似公式C .二丄…J上= 75(2冗「) 2h,故选：B .【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题.16. ( 3分)在正方体 ABCD - A ' B ' C ' D '中，若点P (异于点B )是棱上一点，则满足BP 与AC '所成的角为45°的点P 的个数为( )A . 0B . 3C . 4D . 6【分析】 通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角 即可找出所有满足条件的点P 的个数.【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长 AB = 1, B (1 , 0, 1), C ( 1,1, 1).① 在 Rt △ AA ' C 中，tan / AA ' C =— = .「，因此/ AA ' C 工45°.同理A ' B ' , A ' D '与A ' C 所成的角都为 arcta n 「—门，。

2018-2019学年上海市浦东新区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）1．（3分）是（）A．整数B．分数C．有理数D．无理数2．（3分）下列说法中不正确的是（）A．﹣1的立方是﹣1B．﹣1的立方根是﹣1C．﹣1的平方是1D．﹣1的平方根是﹣13．（3分）如图，可以推断AB∥CD的是（）A．∠2＝∠3B．∠1＝∠4C．∠BCD＝∠BAD D．∠B+∠4+∠5＝180°4．（3分）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（）A．周长相等的两个等边三角形B．三个内角分别相等的两个三角形C．两条边和其中一个角相等的两个三角形D．面积相等的两个等腰三角形5．（3分）平面直角坐标系中，到x轴距离为2，y轴距离为2的点有（）个．A．1B．2C．3D．46．（3分）如果一个三角形的三边a、b、c满足ab+bc＝b2+ac，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形二、填空题（本大题共13空，每空2分，满分26分）7．（2分）11的平方根是．8．（2分）比较大小：﹣（填“＜“”或“＝“”或“＞”）9．（2分）平面直角坐标系中点P（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是．10．（4分）点M（4，3）向（填“上”、“下”、“左”、“右”）平移个单位后落在y轴上．11．（2分）等腰三角形的周长是15，其中一条边的长度为3，那么它的腰长是．12．（2分）等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数一共最多有条．（重合的算一条）13．（2分）在不等边三角形△ABC中，已知两条边长分别为2、3，第三条边长为整数，那么它的长度为．14．（2分）如图，直线l1∥l2，∠1＝43°，∠2＝72°，则∠3的度数是度．15．（2分）如图，已知EF∥GH，AC⊥CD，∠DCG＝143°，则∠CBF＝度．16．（2分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则可说明∠A′O′B′＝∠AOB，其中判断△COD≌△C′O′D′的依据是．17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD，CE交于点O，连接AO并延长交BC 于点F，则图中共有组全等三角形．18．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AE＝AD，则∠EDC的度数是．三、简答题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）19．（5分）计算：（﹣8）﹣﹣（﹣π）0+（）﹣320．（5分）利用幂的性质计算：÷﹣21．（5分）已知点A（a﹣3，1﹣a）在第三象限且它的坐标都是整数，求点A的坐标．22．（5分）如图，已知CD∥BE，且∠D＝∠E，试说明AD∥CE的理由．23．（5分）如图，△ABC中，∠B＝∠C，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B求证：ED＝EF．证明：∵∠DEC＝∠B+∠BDE（）且∠DEC＝∠DEF+∠FEC（如图所示）∴∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE（等量代换）又∵∠DEF＝∠B（已知）∴∠BDE＝∠（等式性质）在△EBD与△FCE中，∠BDE＝∠（已证）BD＝CE（已知）∠B＝∠C（已知）∴△EBD≌△FCE（）∴ED＝EF（）四、解答题（本大题共4题，24题每小题5分，共5分，25-27题每题6分，满分23分）24．（5分）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）（1）图中点C的坐标是．（2）三角形ABC的面积为．（3）点C关于x轴对称的点D的坐标是（4）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′，那么A、B′两点之间的距离是．（5）图中四边形ABCD的面积是．25．（6分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，求这个等腰三角形顶角的度数．26．（6分）已知如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC．27．（6分）公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 是BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上．（提示：可通过证明∠EMF ＝180°）五、能力题（满分8分）28．（8分）在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 和CB （或它们的延长线）于E ，F ．（1）当DE ⊥AC 于E 时（如图1），可得S △DEF +S △CEF ＝ S △ABC ；（2）当DE 与AC 不垂直时（如图2），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给子证明；若不成立，请直接给出S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系．（3）当点E 在AC 延长线上时（如图3），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请直接给出的关系S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 的关系．2018-2019学年上海市浦东新区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）1．（3分）是（）A．整数B．分数C．有理数D．无理数【分析】根据无理数的概念作答．【解答】解：是无理数故选：D．【点评】本题考查了无理数的概念，属于基础题．2．（3分）下列说法中不正确的是（）A．﹣1的立方是﹣1B．﹣1的立方根是﹣1C．﹣1的平方是1D．﹣1的平方根是﹣1【分析】A、根据立方运算法则计算即可判定；B、根据立方根的定义即可判定；C、根据平方运算的法则计算即可判定；D、根据平方根的定义分析即可判定．【解答】解：A、﹣1的立方是﹣1；故选项正确；B、﹣1的立方根是﹣1；故选项正确；C、﹣1的平方是1；故选项正确．D、由于负数没有平方根，故选项错误．故选：D．【点评】本题主要考查了立方根及平方根的概念．3．（3分）如图，可以推断AB∥CD的是（）A．∠2＝∠3B．∠1＝∠4C．∠BCD＝∠BAD D．∠B+∠4+∠5＝180°【分析】由平行线的判定定理，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、由∠2＝∠3不能判定AB∥CD，故本选项错误．B、由∠1＝∠4可以判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，故本选项错误．C、由∠BCD＝∠BAD不能判定AB∥CD，故本选项错误．D、由∠B+∠4+∠5＝180°能判定AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故本选项正确．故选：D．【点评】此题考查了平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4．（3分）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（）A．周长相等的两个等边三角形B．三个内角分别相等的两个三角形C．两条边和其中一个角相等的两个三角形D．面积相等的两个等腰三角形【分析】两边相等，面积相等或者角相等的三角形都不能证明三角形全等．【解答】A、正确，等边三角形的三边一定相等，又周长相等，故两个三角形的边长分别对应相等；B、错误，三个内角分别相等的两个三角形不一定全等，可能相似；C、错误，两条边和其夹角相等的两个三角形全等；D、错误，面积相等但边长不一定相等．故选：A．【点评】本题考查的全等三角形的判定；全等三角形的判别要求严格，条件缺一不可．做题时要结合已知与判定方法逐个验证排除．5．（3分）平面直角坐标系中，到x轴距离为2，y轴距离为2的点有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据平面直角坐标系内的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值求出点可能的横坐标与纵坐标，即可得解．【解答】解：∵平面直角坐标系中，到x轴距离为2，y轴距离为2的点横坐标为2或﹣2，纵坐标为2或﹣2，∴所求点的坐标为（2，2）或（2，﹣2）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）．故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．6．（3分）如果一个三角形的三边a、b、c满足ab+bc＝b2+ac，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形【分析】把原式变形因式分解得出（b﹣c）（a﹣b）＝0，得出b﹣c＝0或a﹣b＝0，即可得出结论．【解答】解：∵ab+bc＝b2+ac，∴ab+bc﹣b2﹣ac＝0，∴（b﹣c）（a﹣b）＝0，∴b﹣c＝0或a﹣b＝0，∴这个三角形一定是等腰三角形；故选：B．【点评】本题考查了因式分解的应用、等腰三角形的判定；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．二、填空题（本大题共13空，每空2分，满分26分）7．（2分）11的平方根是．【分析】根据正数有两个平方根可得11的平方根是±．【解答】解：11的平方根是±．故答案为：±．【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．8．（2分）比较大小：﹣＜（填“＜“”或“＝“”或“＞”）【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：∵＝，∴﹣＜．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．9．（2分）平面直角坐标系中点P（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（3，2）．【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．【解答】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴点P（3，﹣2）关于x轴的对称点P′的坐标是（3，2）．故答案为：（3，2）．【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标的知识，注意掌握两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．10．（4分）点M（4，3）向左（填“上”、“下”、“左”、“右”）平移4个单位后落在y轴上．【分析】根据：“上加下减、右加左减”求解可得．【解答】解：点M（4，3）向左平移4个单位后落在y轴上．故答案为：左、4．【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．11．（2分）等腰三角形的周长是15，其中一条边的长度为3，那么它的腰长是6．【分析】分别从腰长为3与底边长为3，去分析求解即可求得答案．【解答】解：若腰长为3，则底边长为：15﹣3﹣3＝9，∵3+3＜9，∴不能组成三角形，舍去；若底边长为3，则腰长为：＝6；∴该等腰三角形的腰长为：6．故答案为：6．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意分别从腰长为3与底边长为3去分析求解是关键．12．（2分）等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数一共最多有7条．（重合的算一条）【分析】根据等腰三角形与等边三角形三线合一的性质进行分析即可．【解答】解：在底和腰不等的等腰三角形中，它的角平分线、中线、高共有线段7条，故答案为：7．【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．13．（2分）在不等边三角形△ABC中，已知两条边长分别为2、3，第三条边长为整数，那么它的长度为4．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围；再根据第三边应是整数，即可求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于3﹣2＝1，而小于3+2＝5．又因为第三边为整数，所以第三边应是2或3或4，因为是不等边三角形，则第三边是4．故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的三边关系，理解不等边三角形是解答本题的关键，难度不大．14．（2分）如图，直线l1∥l2，∠1＝43°，∠2＝72°，则∠3的度数是65度．【分析】利用平行线的性质，三角形的内角和定理解决问题即可．【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝43°，∠2＝72°，∴∠5＝∠2＝72°，∠4＝∠1＝43°，∴∠3＝180°﹣72°﹣43°＝65°，【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．（2分）如图，已知EF∥GH，AC⊥CD，∠DCG＝143°，则∠CBF＝127度．【分析】首先根据垂直定义可得∠ACD＝90°，再根据余角的定义可得∠ACH的度数，然后再根据平行线的性质可得∠FBC+∠ACH＝180°，进而可得答案．【解答】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∵∠DCG＝143°，∴∠DCH＝37°，∴∠ACH＝90°﹣37°＝53°，∵EF∥GH，∴∠FBC+∠ACH＝180°，∴∠FBC＝180°﹣53°＝127°，故答案为：127．【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．16．（2分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则可说明∠A′O′B′＝∠AOB，其中判断△COD≌△C′O′D′的依据是SSS．【分析】利用基本作图得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法求解．【解答】解：由作法得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，所以△COD≌△C′O′D′（SSS）．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形全等的判定．17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD，CE交于点O，连接AO并延长交BC 于点F，则图中共有7组全等三角形．【分析】在△ABC中，AB＝AC则三角形是等腰三角形，做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．【解答】解：∵AB＝AC，BD，CE分别是三角形的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠ACE，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（AAS），∴CE＝BD，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠ABD＝∠ACE，∴∠BCE＝∠CBD，∴△BCE≌△CBD（AAS）同理还有△ABF≌△ACF；△AEO≌△ADO；△ABO≌△ACO；△OBE≌△OCD；△BFO ≌△CFO，总共7对．故答案为：7【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定方法，做题时要从很容易的找起，由易到难，不重不漏．18．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AE＝AD，则∠EDC的度数是15°．【分析】可以设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，根据∠ADE＝∠AED＝x+y，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．【解答】解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，所以2x+y＝y+30，解得x＝15，所以∠EDC的度数是15°．故答案是：15°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．三、简答题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）19．（5分）计算：（﹣8）﹣﹣（﹣π）0+（）﹣3【分析】直接利用二次根式的性质以及分数值数幂的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣5﹣1+8＝4﹣5﹣1+8＝6．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（5分）利用幂的性质计算：÷﹣【分析】直接利用二次根式的性质以及分数值数幂的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣（3）＝﹣3＝﹣＝0．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21．（5分）已知点A（a﹣3，1﹣a）在第三象限且它的坐标都是整数，求点A的坐标．【分析】根据第三象限点的符号特点列出关于a的不等式组，解之求出a的范围，再由坐标都是整数得出a的值，从而得出答案．【解答】解：由题意知，解得1＜a＜3，∵a是整数，∴a＝2，∴点A的坐标为（﹣1，﹣1）．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．22．（5分）如图，已知CD∥BE，且∠D＝∠E，试说明AD∥CE的理由．【分析】根据平行线的性质得出∠ACD＝∠B，根据三角形内角和定理求出∠A＝∠BCE，根据平行线的判定推出即可．【解答】解：理由是：∵CD∥BE，∴∠ACD＝∠B，∵∠D＝∠E，∠A+∠D+∠ACD＝180°，∠B+∠E+∠BCE＝180°，∴∠A＝∠BCE，∴AD∥CE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．23．（5分）如图，△ABC中，∠B＝∠C，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B求证：ED＝EF．证明：∵∠DEC＝∠B+∠BDE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，）且∠DEC＝∠DEF+∠FEC（如图所示）∴∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE（等量代换）又∵∠DEF＝∠B（已知）∴∠BDE＝∠FEC（等式性质）在△EBD与△FCE中，∠BDE＝∠FEC（已证）BD＝CE（已知）∠B＝∠C（已知）∴△EBD≌△FCE（ASA）∴ED＝EF（全等三角形的对应边相等）【分析】首先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DEC＝∠B+∠BDE，再由条件∠DEF＝∠B可得∠BDE＝∠CEF，再加上条件BD＝CE，∠B＝∠C可利用ASA证明△EBD≌△FCE再根据全等三角形对应边相等可得ED＝EF．【解答】证明：∵∠DEC＝∠B+∠BDE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，）且∠DEC＝∠DEF+∠FEC（如图所示）∴∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE（等量代换）又∵∠DEF＝∠B（已知）∠BDE＝∠FEC（等式性质）在△EBD与△FCE中，∠BDE＝∠FEC（已证）BD＝CE（已知）∠B＝∠C（已知）∴△EBD≌△FCE（ASA）∴ED＝EF（全等三角形的对应边相等）故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，FEC，FEC，ASA，全等三角形的对应边相等【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握两个三角形全等的判定定理：SSS、ASA、SAS、AAS．四、解答题（本大题共4题，24题每小题5分，共5分，25-27题每题6分，满分23分）24．（5分）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）（1）图中点C的坐标是（3，﹣2）．（2）三角形ABC的面积为15．（3）点C关于x轴对称的点D的坐标是（3，2）（4）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′，那么A、B′两点之间的距离是5．（5）图中四边形ABCD的面积是21．【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标；（2）根据三角形的面积公式可得答案；（3）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标；（4）根据点的平移：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得B′点坐标，进而得到答案；（5）用△ABC的面积加上△ACD的面积即可．【解答】解：（1）根据题意得点C的坐标为（3，﹣2）；故答案为：（3，﹣2）；（2）△ABC的面积：．故答案为：15；（3）点C关于x轴对称的点D的坐标是（3，2）；故答案为：（3，2）；（4）将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′（﹣3+3，﹣2），即（0，﹣2），A、B′两点之间的距离是：3﹣（﹣2）＝5；故答案为：5；（5），∴四边形ABCD的面积为：S△ABC +S△ACD＝15+6＝21．故答案为：21【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关于x轴对称的点的坐标，平面直角坐标系，以及三角形的面积，关键是掌握点的坐标的变化规律．25．（6分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，求这个等腰三角形顶角的度数．【分析】设两个角分别是x，4x，根据三角形的内角和定理分情况进行分析，从而可求得顶角的度数．【解答】解：设两内角的度数为x、4x；当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x＝180°，x＝20°；当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x＝180°，x＝30，4x＝120；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．已知中若有比出现，往往根据比值设出各部分，利用部分和列式求解．26．（6分）已知如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC．【分析】延长AO交BC于点D，先证出△ABO≌△ACO，得出∠BAO＝∠CAO，再根据三线合一的性质得出AO⊥BC即可．【解答】证明：延长AO交BC于点D，在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠BAO＝∠CAO，∵AB＝AC，∴AO⊥BC．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一的性质，关键是找出全等三角形．27．（6分）公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M是BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上．（提示：可通过证明∠EMF＝180°）【分析】先根据SAS 判定△BEM ≌△CFM ，从而得出∠BME ＝∠CMF ．通过角之间的转换可得到E ，M ，F 在一条直线上．【解答】证明：连接ME ，MF ．∵AB ∥CD ，（已知）∴∠B ＝∠C （两线平行内错角相等）．在△BEM 和△CFM 中，∴△BEM ≌△CFM （SAS ）．∴∠BME ＝∠CMF ，∴∠EMF ＝∠BME +∠BMF ＝∠CMF +∠BMF ＝∠BMC ＝180°，∴E ，M ，F 在一条直线上．【点评】此题主要考查了学生对全等三角形的判定的掌握情况，注意共线的证明方法．五、能力题（满分8分）28．（8分）在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 和CB （或它们的延长线）于E ，F ．（1）当DE ⊥AC 于E 时（如图1），可得S △DEF +S △CEF ＝ S △ABC ；（2）当DE 与AC 不垂直时（如图2），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给子证明；若不成立，请直接给出S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系．（3）当点E 在AC 延长线上时（如图3），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请直接给出的关系S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 的关系．【分析】（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 时，四边形CEDF 是正方形，边长是AC 的一半，即可得出结论；（2）成立；先证明△CDE ≌△BDF ，即可得出结论；（3）不成立；同（2）得：△DEC ≌△DBF ，得出S △DEF ＝S 五边形DBFEC ＝S △CFE +S △DBC ＝S △CFE +S △ABC ．【解答】解：（1）如图1中，当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 时，四边形CEDF 是正方形．设△ABC 的边长AC ＝BC ＝a ，则正方形CEDF 的边长为a ．∴S △ABC ＝a 2，S 正方形DECF ＝（a ）2＝a 2即S △DEF +S △CEF ＝S △ABC ； 故答案为．（2）上述结论成立；理由如下：连接CD ；如图2所示：∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴∠B ＝45°，∠DCE ＝∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝AB ＝BD ，∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠1＝∠2，在△CDE 和△BDF 中，，∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴S △DEF +S △CEF ＝S △ADE +S △BDF ＝S △ABC ；（3）不成立；S △DEF ﹣S △CEF ＝S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：同（2）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135°∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ，＝S △CFE +S △DBC ，＝S △CFE +S △ABC ，∴S △DEF ﹣S △CFE ＝S △ABC ．∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF ﹣S △CEF ＝S △ABC ．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．。

高级中学2019—2019学年第二学期期中测试高一理科数学命题人：李浩宾 审题人：张宏伟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（本卷共40分）一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式()()31210x x +->的解集是（ ）A ．}2131|{>-<x x x 或 B ．}2131|{<<-x x C ．}21|{>x x D ．}31|{->x x 2．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．643．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y xD ．072=+-y x4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =（ ） A.21 B. 22C. 2D.25．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =，则AC =（ ）A ．B ．C ．D ．26．已知点n A （n ，n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上，则46a a +与52a的大小关系是（ ）A ．46a a +＞52aB ．46a a +＜52aC ．46a a +＝52aD ．46a a +与52a 的大小与a 有关7．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =， 连接EC 、ED ，则sin CED ∠=（ ） A ．31010 B ．1010 C ．510 D ．5158．已知整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第70个数对是（ ）A ．()2,11B ．()3,10C ．()4,9D ．()5,8第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a = ． 10．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式是 ．（填写正确序号）11．已知点P (),a b 在直线23x y +=上，则24a b +的最小值为 ． 12．在ABC ∆中，若︒=120A ，AB =5，BC =7，则ABC ∆的面积S=__________. 13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为 ．14．等比数列{}n a 的首项为12015a =，公比12q =-．设()f n 表示该数列的前n 项的积， 则当n = 时，()f n 有最大值．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题满分12分） （Ⅰ）求以下不等式的解集：（1） 22150x x --< （2） 23x≥- （Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，求实数m 的值．16．（本小题满分12分）已知ABC ∆三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)． （Ⅰ)若AB BC ⊥,求c 的值； （Ⅱ）若c =5，求sin ∠A 的值．17．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3102log ,n n b a =+求数列{}n b 的前n 项和n S ；（III ）设()23log n n c a =,求证：123111174n c c c c ++++<．18．（本小题满分14分）如图所示，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东060的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西060的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？19．（本小题满分14分）已知点(1,1)P 到直线l ：3(0)y x b b =+>的距离为2105.数列{a n }的首项11a =，且点列()*1,n n a a n N +∈均在直线l 上.（Ⅰ)求b 的值；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式； （III ）求数列{}n na 的前n 项和n S .20．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足2n S n =，数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}nb 的前n 项和.（Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（III ）是否存在正整数m ，n （1＜m ＜n ），使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由.高级中学2019—2019学年第二学期期中测试高一理科数学参考答案一．选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．2 10. ①④ 11. 12．4 13. 1214. 126612015()2⨯14.解112015()2n n a -=⨯-，(1)21()2015()2n n nf n -=⋅- ∵|(1)|2015|()|2nf n f n +=，∴当n ≤10时，|(1)|2015|()|2nf n f n +=＞1，∴ | f (11) |＞| f (10) |＞…＞| f (1) |； 当n ≥11时，|(1)|2015|()|2n f n f n +=＜1，∴ | f (11) |＞| f (12) |＞…∵(11)0,(10)0,(9)0,(12)0f f f f <<>>，∴()f n 的最大值为(9)f 或(12)f 中的最大者．∵126633031093612015()(12)1201522015()()11(9)222015()2f f ⨯==⨯=>⨯-，∴ 当n =12时，()f n 有最大值为12661(12)2015()2f =⨯．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题12分） （Ⅰ）求以下不等式的解集：1． 22150x x --< 2． 23x≥- （Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，求m 的值． 解：（Ⅰ）1. 22150x x --<的解集为5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭3分2．23x ≥-的解集为()20,,3⎛⎤+∞-∞- ⎥⎝⎦ 7分（Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，则0,2是2122x x mx -+=的解．故 2122222m -+⋅=，解得1m =，所以1m = 12分 16．（本小题满分12分）已知ABC ∆三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)． （Ⅰ)若AB BC ⊥,求c 的值； （Ⅱ）若c =5，求sin ∠A 的值．(1) (3,4)AB =-- (3,4)AC c =--由 3(3)162530AB AC c c =--+=-= 得 253c = 5分 (2) (3,4)AB =-- (2,4)AC =-6cos 5AB AC A ABAC-∠===sin 5A ∠==12分 17．（本小题14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）（Ⅱ）设3102log ,n n b a =+求数列{}n b 的前n 项和n S . （III ）设()23log n n c a =,求证：123111174n c c c c ++++<． 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

2018-2019学年上海市闵行中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．命题“己知,x y R ∈，若220x y +=，则0x =且0y =”的逆否命题是（ ） A ．己知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠ B ．己知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠ C ．己知,x y R ∈，若0x ≠且0y ≠，则220x y +≠ D ．己知,x y R ∈，若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠ 【答案】D【解析】直接利用逆否命题的定义得到答案. 【详解】己知,x y R ∈，若220x y +=，则0x =且0y =”的逆否命题是：己知,x y R ∈，若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠ 故选：D 【点睛】本题考查了命题的逆否命题，意在考查学生对于命题基础知识的掌握情况. 2．已知集合(){}(){}22,10,,1A x y x y B x y xy A B =+-==+=⋂=，则 （ ）A ．()(){}0110，，， B ．{}01，C ．(){}01， D ．(){}10， 【答案】A【解析】联立A B ，中的方程组成方程组，求出解即可确定出两集合的交集 【详解】联立集合A B ，可得：22101x y x y +-=⎧⎨+=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩则()(){}0110A B ⋂=，，， 故选A 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题。

3．下列各图中，是函数的图像的序号是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数定义，对于任意的x ，最多有一个y 与之对应，据此依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据函数定义，对于任意的x ，最多有一个y 与之对应 选项ABD 均不满足，排除. 故选：C 【点睛】本题考查了函数图像的判断，属于基础题型.4．设集合{}1,2,3,...,n S n =，若A 是n S 的子集，把A 中的所有数的和称为A 的“容量”（规定空集的容量为0），若A 的容量为奇（偶）数，则称A 为n S 的奇（偶）子集，命题①：n S 的奇子集与偶子集个数相等；命题②：当3n ≥时，n S 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等，则下列说法正确的是（ ） A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立【答案】A【解析】设S 为n S 的奇子集，构造集合{}{}1,11,1SS S T C S ⎧⋃∉⎪=⎨∈⎪⎩，得到奇子集与偶子集个数相等，①正确； 计算奇子集容量之和是2312(1)2nn n i i n n --==+∑，等于偶子集的容量之和，得到②正确，判断得到答案. 【详解】设S 为n S 的奇子集，令{}{}1,11,1S S ST C S⎧⋃∉⎪=⎨∈⎪⎩，则T 是偶子集 S T →是奇子集到偶子集的一一对应，且每个偶子集T ，均恰有一个奇子集，{}{}11,11,1TT TS C T ⎧⋃∉⎪=⎨∈⎪⎩与之对应，故n S 的奇子集与偶子集个数相等，所以①正确；对任一(1)i i n ≤≤，含i 的子集共有12n -个，用上面的对应方法可知，在1i ≠时，这12n -个子集中有一半是奇子集，在1i =时，由于3n ≥，将上边的1换成3，同样可得其中有一半是奇子集，于是计算奇子集容量之和是2312(1)2nn n i i n n --==+∑，根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等，所以当3n ≥时，n S 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等，即命题②正确， 故应选A . 【点睛】本题考查了集合的新定义问题，构造集合{}{}1,11,1S S ST C S ⎧⋃∉⎪=⎨∈⎪⎩是解题的关键.二、填空题5．已知集合{1,0,1}A =-，{}2,3B =，则A B =____________【答案】{}1,0,1,2,3-【解析】直接利用并集运算法则得到答案. 【详解】集合{1,0,1}A =-，{}2,3B =，则{}1,0,1,2,3A B ⋃=- 故答案为：{}1,0,1,2,3- 【点睛】本题考查了并集的运算，属于基础题型.6．已知{}201,2x x x ∈+--，则x =_____________ 【答案】2【解析】讨论10x +=和220x x --=两种情况，再验证得到答案. 【详解】{}201,2x x x ∈+--当10x +=时，1x =-，代入验证知：{}{}21,20,0x x x +--=，不满足互异性，排除；当220x x --=时，2x =或1x =-（舍去），代入验证知：{}{}21,23,0x x x +--=，满足. 故答案为：2 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，没有验证互异性是容易发生的错误.7．设x ∈R ，那么“0x <”是“2x ≠”的____________条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要之一） 【答案】充分不必要【解析】0x <可以得到2x ≠，充分性；举反例得到不必要，得到答案. 【详解】0x <可以得到2x ≠，充分性；2x ≠时，举反例1x =，不满足0x <，不必要.故答案为：充分不必要 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.8．己知函数()12f x x =-，则()f x 的定义域为___________ 【答案】[1,2)(2,)⋃+∞【解析】根据函数定义域的定义得到不等式1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，计算得到答案.【详解】函数()12f x x =-的定义域满足：1020x x -≥⎧⎨-≠⎩解得1x ≥且2x ≠ 故答案为：[1,2)(2,)⋃+∞ 【点睛】本题考查了函数的定义域，属于简单题型.9．己知fx =，则()f x =________【答案】()20xx ≥【解析】(0)t t =≥，则2x t =，代入化简得到答案. 【详解】(0)t t =≥，则2x t =，代入化简得到：2()(0)f t t t =≥即()()20f x x x =≥故答案为：()20x x ≥【点睛】本题考查了换元法求函数解析式，忽略定义域是容易发生的错误. 10．己知集合{}|15A x x =<<，{}|2,B x x n n N ==∈，则集合A B 中有________个元素 【答案】2【解析】先计算{}{}|2,0,2,4,6...B x x n n N ==∈=，再计算{}2,4A B =得到答案. 【详解】{}{}|2,0,2,4,6...B x x n n N ==∈=,{}|15A x x =<<则{}2,4AB =故答案为：2 【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.11．若集合{}2|20N x x x a =-+=，{}1M =，且N M ⊆，则实数a 的取值范围是_________ 【答案】[1,)+∝【解析】根据条件得到{}1N =或N =∅，分别计算得到答案. 【详解】N M ⊆，则{}1N =或N =∅当{}1N =时，{}{}2|201N x x x a =-+==，解得1a =；当N =∅时，{}2|20N x x x a =-+=，满足4401a a ∆=-<∴>.综上所述：1a ≥ 故答案为：[1,)+∝ 【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，忽略掉空集的情况是容易发生的错误. 12．己知0,0x y m >>>，比较大小yx___________y m x m ++（填>，≥，<，≤之一）【答案】<【解析】作差得到()()m x y y m y x m x x m x-+-=++，根据0,0x y m >>>确定符号得到答案.【详解】()()()()()x y m y x m m x y y m y x m x x m x x m x +-+-+-==+++ 0,0x y m >>>，故()()0m x y x m x->+，即y m yx m x +>+故答案为：< 【点睛】本题考查了代数式的大小比较，作差法是一个常用方法，需要熟练掌握.13．对于任意实数x ，不等式210ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围是___ . 【答案】(4,0]-【解析】分0a =与0a ≠讨论即可得结论. 【详解】当0a =时，有10-<显然成立，当0a ≠时，则00a <⎧⎨<⎩，解得40a -<<，综上40a -<≤，故答案为(4,0]- 【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立的问题，考查了二次函数的图象的应用，属于基础题. 14．若关于x 的不等式10ax x b-≥-(),a b R ∈的解集为(),1[2,)-∞+∞，则a 的值为_____ 【答案】12【解析】根据不等式的解找到对应方程的解：10ax -=对应的解为2，计算得到答案.【详解】 关于x 的不等式10ax x b-≥-(),a b R ∈的解集为(),1[2,)-∞+∞ 则10ax -=对应的解为2；0x b -=对应的解为1. 解得1,12a b == 故答案为：12【点睛】本题考查了已知不等式的解求参数，转化为对应方程的解是解题的关键. 15．己知x ∈R ，且2x ≠-，则12x x ++的最小值是_______ 【答案】0【解析】讨论2x >-和2x <-两种情况，分别利用均值不等式计算最小值得到答案. 【详解】当2x >-时，11222022x x x x +=++-≥=++，当1x =-时等号成立；当2x <-时，()1112224222x x x x x x +=--=-+-+≥=+++，当3x =-时等号成立；综上所述：当1x =-，12x x ++有最小值是0. 故答案为：0 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握. 16．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a和dc()*,,,a b c d N ∈，则b d a c ++是x 的更为精确的近似值. 我们知道 3.1415926535897932π=⋯，我国早在《周髀算经》中就有“周三径一”的古率记载，《隋书•律历志》有如下记载：“南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间。

上海市浦东新区高桥中学2024届化学高一第一学期期中经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、某原子第三电子层有一个未成对电子，关于该原子的化学用语错误的是：A ．37ClB ．C ．D ．3s 23p 32、稀土资源素有“工业维生素”“新材料之母”之称，我国稀土储量世界第一。

已知：金属铈（稀土元素）在空气中易氧化变暗，受热时燃烧，遇水很快反应（注：铈常见的化合价为+3和4+，氧化性：432CeFe I ++>>）。

下列说法正确的是（ ）A ．铈溶于氢碘酸的化学方程式可表示为：42Ce 4HI=CeI 2H ++↑B ．()243Ce SO 溶液与硫酸铁溶液混合，其离子方程式为：3342=Ce Fe Ce Fe ++++++C ．铈元素如果要排在金属活动性顺序表中，其位置应靠近Na 元素D ．金属Ce 保存时可以用水封来隔绝空气，防止被氧化3、下列无色溶液中，离子可以大量共存的一组是A ．H + Na + OH -B ．Na + 3NO - Cl -C ．K + H + ClO -D ．2Cu + 24SO - 3NO - 4、当光束通过下列分散系时，能观察到丁达尔效应的是A ．硫酸铜溶液B ．氯化铁溶液C ．氢氧化铁胶体D ．醋酸溶液5、在盛放浓硫酸的试剂瓶标签上应印有下列警示标记中的( ) A B C D爆炸品 易燃液体 剧毒品 腐蚀品A ．AB ．BC ．CD ．D6、向盛有一定量的Ba(OH)2溶液中逐滴加入稀硫酸，直至过量，整个过程中混合溶液的导电能力（用电流强度I 表示）近似的用下图中的曲线表示是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D7、某实验室需使用11.0mol L -⋅的4CuSO 溶液80mL ，现选取100mL 的容量瓶配制溶液。

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期中数学试卷一、填空题：1．（3分）设a，b是平面M外两条直线，且a∥M，那么a∥b是b∥M的条件．2．（3分）已知直线a，b及平面α，下列命题中：①；②；③；④．正确命题的序号为（注：把你认为正确的序号都填上）．3．（3分）地球北纬45°圈上有A，B两地分别在东经80°和170°处，若地球半径为R，则A，B两地的球面距离为．4．（3分）如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是．5．（3分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝，则球O的表面积为．6．（3分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱P A＝a，PB＝PD＝a，则它的5个面中，互相垂直的面有对．7．（3分）如图由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成，将4个正三角形沿着其与正方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为．8．（3分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为．9．（3分）四面体的6条棱所对应的6个二面角中，钝二面角最多有个．10．（3分）在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且与AB交于E，则类比的结论为．二、选择题：11．（3分）当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）A．三点确定一平面B．不共线三点确定一平面C．两条相交直线确定一平面D．两条平行直线确定一平面12．（3分）正方体被平面所截得的图形不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形13．（3分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等14．（3分）由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（）（每个方格边长为1）A．5B．6C．7D．8三、解答题：15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．求证：空间四边形B1EDF 是菱形．16．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（如图）E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D 的中心．（1）求三棱锥A1﹣D1EF的体积；（2）求异面直线A1E与AB的夹角；（3）求EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB，N是CC1的中点，M是线段AB1上的动点，且AM＝λAB1．（1）若，求证：MN⊥AA1；（2）求二面角B1﹣AB﹣N的余弦值；（3）若直线N与平面ABN所成角的大小为θ，求sinθ的最大值．18．平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体ABCD中棱AB，AC，AD两两垂直，那么称四面体ABCD为直角四面体．请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明．（请在结论1～3中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中h表示斜边上的高，r，R分别表示内切圆与外接圆的半径）直角三角形ABC直角四面体ABCD 条件AB⊥AC AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD结论1AB2+AC2＝BC2结论2sin2B+sin2C＝1结论3＝结论4＝结论5（2R）2＝（AB2+BC2+CA2）2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）设a，b是平面M外两条直线，且a∥M，那么a∥b是b∥M的充分不必要条件．【分析】判断由a∥b能否得到b∥M，再判断由b∥M能否得到a∥b即可．【解答】解：证明充分性：若a∥b，结合a∥M，且b在平面M外，可得b∥M，是充分条件；证明必要性：若b∥M，结合a∥M，且a，b是平面M外，则a，b可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．故a∥b是b∥M的“充分不必要”故答案为：充分不必要．【点评】本题考查空间线面平行，线线平行之间的关系，充分条件和必要条件，属于简单题．2．（3分）已知直线a，b及平面α，下列命题中：①；②；③；④．正确命题的序号为④（注：把你认为正确的序号都填上）．【分析】对于四个选项一一进行判断，不成立可列举反例验证说明．【解答】解：对于①若b⊥α，a⊥b，则a?α或a∥α；对于②，a⊥b，b∥α则a也可与α平行；对于③a?α时，不成立；对于④，根据两条平行线中有一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故正确故答案为④．【点评】本题的考点是平面的基本性质及推论，主要考查线、面的位置关系，注意掌握反例排除．3．（3分）地球北纬45°圈上有A，B两地分别在东经80°和170°处，若地球半径为R，则A，B两地的球面距离为R．【分析】由于甲、乙两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出甲、乙两地对应的AB弦长，以及球心角，然后求出球面距离．【解答】解：地球表面上从A地（北纬45°，东经80°）到B地（北纬45°，西经170°），A，B两地都在北纬45°上，对应的纬圆半径是，经度差是90°．∴AB＝R，得球心角是．∴A，B两地的球面距离是．故答案为：．【点评】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．4．（3分）如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是．【分析】由题意画出图形，求得球的半径，再计算体积得答案．【解答】解：球和立方体的每条棱都相切，则球的直径为立方体的面对角线长度，∴单位立方体的棱切球的半径为，则球的体积为．故答案为：．【点评】本题考查空间想象能力，球的体积计算，是基础题．5．（3分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝，则球O的表面积为20π．【分析】由余弦定理求出BC＝2，利用正弦定理得∠ABC＝90°．从而△ABC截球O 所得的圆O′的半径r＝AC＝2，进而能求出球O的半径R，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC．SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝，∴BC＝＝2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠ABC＝90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r＝AC＝2，∴球O的半径R＝＝，∴球O的表面积S＝4πR2＝20π．故答案为：20π．【点评】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．6．（3分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱P A＝a，PB＝PD＝a，则它的5个面中，互相垂直的面有5对．【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列举出互相垂直的平面即可．【解答】解：底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a，可得PA ⊥底面ABCDP A?平面P AB，P A?平面P AD，可得：面P AB⊥面ABCD，面P AD⊥面ABCD，AB⊥面P AD，可得：面P AB⊥面PAD，BC⊥面P AB，可得：面P AB⊥面PBC，CD⊥面PAD，可得：面P AD⊥面PCD；故答案为：5【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查棱锥的结构，是基础题．7．（3分）如图由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成，将4个正三角形沿着其与正方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为．【分析】由已知中正四棱锥的展开图为一个边长为2的正方形及四个正三角形，我们可以分别计算出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可求出折起后形成的四棱锥的体积．【解答】解：由已知中由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成故该棱锥的底面面积S＝2×2＝4侧高为正三角形的高则棱锥的高h＝＝故折起后形成的四棱锥的体积V＝＝故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱棱的体积，其中根据已知条件，计算出棱锥的底面面积，及结合正四棱锥中（其中h为棱锥的高，H为棱锥的侧高，a为底面的棱长）求出棱锥的高，是解答本题的关键．8．（3分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为2+．【分析】求出直观图中，DC，BC，S梯形ABCD，然后利与用平面图形与直观图形面积的比是，求出平面图形的面积．【解答】解：DC＝AB sin 45°＝，BC＝ABsin 45°+AD＝+1，S梯形ABCD＝（AD+BC）DC＝（2+）＝+，S＝S梯形ABCD＝2+．故答案为：2+【点评】本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．9．（3分）四面体的6条棱所对应的6个二面角中，钝二面角最多有3个．【分析】通过定性分析，对四面体取特殊情况可以得到钝二面角的个数【解答】解：将三棱锥的顶点，向下压到与底重合，侧面的3个二面角都是180°，将这个顶点稍稍提高一点点，离开底面，此时3个侧面的二面角都是钝角．故答案为：3．【点评】本题考查利用极限思想，通过定性分析来解决问题，属于简单题．10．（3分）在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且与AB交于E，则类比的结论为．【分析】三角形的内角平分线定理类比到空间三棱锥，根据面积类比体积，长度类比面积，从而得到．【解答】解：在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且与AB交于E，则类比的结论为根据面积类比体积，长度类比面积可得：，故答案为：．【点评】本题考查了类比推理，将平面中的性质类比到空间．二、选择题：11．（3分）当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）A．三点确定一平面B．不共线三点确定一平面C．两条相交直线确定一平面D．两条平行直线确定一平面【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定，此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上．【解答】解：自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上，所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定．故选：B．【点评】本题考查不同线的三个点确定一个平面，属于简单题．12．（3分）正方体被平面所截得的图形不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【分析】平面与正方体相交与不同的位置，可以出现不同的几何图形，不可能出现正五边形【解答】解：如图所示，平面与正方体相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形，．故选：C．【点评】本题考查了截一个几何体，明确几何体的特征，是解好本题的关键．本题属基础题．13．（3分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【分析】连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．14．（3分）由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（）（每个方格边长为1）A．5B．6C．7D．8【分析】通过主视图和左视图分析出原几何体的形状，可以得到原几何体的体积【解答】解：通过主视图和左视图分析出原几何体的形状如图所示，可知最少共有7个单位立方体．则几何体的体积最小值为7．故选：C．【点评】本题考查由三视图还原几何体，空间想象能力，属于基础题．三、解答题：15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．求证：空间四边形B1EDF 是菱形．【分析】由题意画出图形，取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B1BGF为平行四边形，得BG∥B1F，再由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，得BG∥DE，BG＝DE，从而得到B1F∥DE，且B1F＝DE，进一步得到四边形B1EDF为平行四边形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E＝B1F，得到四边形B1EDF是菱形；【解答】证明：取AD中点G，连接FG，BG，可得B1B∥FG，B1B＝FG，∴四边形B1BGF为平行四边形，则BG∥B1F，由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG＝DE，则B1F∥DE，且B1F＝DE，∴四边形B1EDF为平行四边形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E＝B1F，∴四边形B1EDF是菱形；．【点评】本题考查正方体内线段之间的关系，空间四边形的证明，属于简单题．16．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（如图）E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D 的中心．（1）求三棱锥A1﹣D1EF的体积；（2）求异面直线A1E与AB的夹角；（3）求EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）【分析】（1）对三棱锥A1﹣D1EF换底，换成以F为顶点，△A1D1E为底的三棱锥，求出底面△A1D1E的面积和对应的高，得到所求的体积；（2）找到异面直线A1E与AB所成的角，在△EA1B1内由余弦定理求出；（3）找出直线EF与底面A1B1C1D1所成的角，再计算大小．【解答】解：（1）由题意知，＝＝??h＝×（×2×1）×1＝；（2）∵A1B1∥AB，∴∠EA1B1或其补角即为异面直线A1E与AB所成角，在△EA1B1，A1E＝EB1＝，A1B1＝2，∴cos∠EA1B1＝＝＝，∴异面直线A1E与AB所成角为arccos；（3）取A1D1中点M，联结MF，∵MF∥A1A且A1A⊥平面A1B1C1D1，∴MF⊥平面A1B1C1D1，∴∠FEM即为EF与底面A1B1C1D1所成的角，MF＝AA1＝1，ME＝∴tan∠FEM＝＝＝，∴EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小为arctan．【点评】本题考查三棱锥等体积转化，求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，属于中档题．17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB，N是CC1的中点，M是线段AB1上的动点，且AM＝λAB1．（1）若，求证：MN⊥AA1；（2）求二面角B1﹣AB﹣N的余弦值；（3）若直线N与平面ABN所成角的大小为θ，求sinθ的最大值．【分析】（1）取AA1中点D，通过线线垂直证明AA1⊥平面MND，从而得到MN⊥AA1；（2）取AB中点E，A1B1中点F，联结EN、EF、FN，则∠FEN即为二面角B1﹣AB﹣N 的平面角，再利用余弦定理求出其余弦值．（3）利用等体积法，求出M到平面ABN的距离及MN的长度，从而表示出sinθ关于λ的函数，求出最大值．【解答】解：（1）取AA1中点D，联结MD和ND，∵λ＝，∴M为AB1中点，又D为AA1中点，∴MD∥B1A1，∵B1A1⊥AA1，∴MD⊥AA1，同理ND⊥AA1，∴AA1⊥平面MND，∴MN⊥AA1；（2）取AB中点E，A1B1中点F，联结EN、EF、FN，则EN⊥AB，EF⊥AB，∠FEN即为二面角B1﹣AB﹣N的平面角，设AB＝2a（a＞0），则EF＝4a，EN＝FN＝a，∴cos∠FEN＝＝，即二面角B1﹣AB﹣N的余弦值为；（3）设AB＝2a（a＞0），M到平面ABN的距离为d，则S△ABM＝λ＝λ??2a?4a＝4λa2，S△ABN＝?2a?a＝a2；由等体积法，V三棱锥N﹣ABM＝V三棱锥M﹣ABN，即?S△ABM?a＝?S△ABM?d，可得d＝λa，而MN＝＝2a，∴sinθ＝＝?＝?＝?≤?＝，当且仅当＝，即λ＝时，等号成立，即sinθ的最大值为．【点评】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，二面角的求法，以及线面角的正弦值的表示，属于中档题．18．平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体ABCD中棱AB，AC，AD两两垂直，那么称四面体ABCD为直角四面体．请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明．（请在结论1～3中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中h表示斜边上的高，r，R分别表示内切圆与外接圆的半径）直角三角形ABC直角四面体ABCD 条件AB⊥AC AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD结论1AB2+AC2＝BC2结论2sin2B+sin2C＝1结论3＝结论4＝结论5（2R）2＝（AB2+BC2+CA2）【分析】在得到结论时，直角三角形中的长度类比成直角四面体的面积，角度类比成二面角，等面积类比成等体积，外接圆类比成外接球．结论1：分别表示、、，然后证明结论2：在△DAE中利用等面积法，表示出高d，然后分别表示sin2α、sin2β、sin2γ，再证明sin2α+sin2β+sin2γ＝1结论3：利用结论2中得到的d的表达式，再表示出，再证明结论4：内切球的球心与四个顶点相连接，把三棱锥分成四个小的三棱锥，利用V D﹣ABC ＝V O﹣ABC+V O﹣ABD+V O﹣ACD+V O﹣BCD进行证明结论5：将直角四面体ABCD补形成为以AB、AC、AD为长、宽、高的长方体，再进行证明．【解答】解：记△ABC、△ABD、△ACD、△BCD的面积依次为S1、S2、S3、S，平面BCD与AB、AC、AD所成角依次为α、β、γ，点A到平面BCD的距离为d，r，R分别表示内切球与外接球的半径，内切球的球心为O，直角三角形ABC直角四面体ABCD 条件AB⊥AC AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD结论1AB2+AC2＝BC2结论2sin2B+sin2C＝1sin2α+sin2β+sin2γ＝1结论3＝结论4＝结论5（2R）2＝（AB2+BC2+CA2）（2R）2＝AB2+AC2+BC2证明：设AB＝a、AC＝b、AD＝c，过A作AE⊥BC，垂足为E，联结DE，过A作AH⊥DE，垂足为H，易证：DE⊥BC，AH⊥平面BCD，则d＝AH，结论1：＝＝，在Rt△ABC中，AE＝．DE＝＝，＝∴；结论2：d＝AH＝＝＝，∴sinα＝＝．同理，sinβ＝，sinγ＝，∴sin2α+sin2β+sin2γ＝＝1；结论3：∵d＝，∴＝，又＝＝，∴结论4：∵V D﹣ABC＝V O﹣ABC+V OABD+V O﹣ACD+V O﹣BCD，∴＝+．从而＝，即；结论5：将直角四面体ABCD补形成为以AB、AC、AD为长、宽、高的长方体，则长方体的体对角线即为直角四面体ABCD的外接球的直径，即（2R）2＝AB2+BC2+CA2．【点评】本题考查平面图形向立体图形的推广，涉及到侧面积的表示，线面角的表示，几何体的体积分割法求内切球半径，补齐几何体求外接球半径等，属于难题．。

2018～2019学年度第一学期期中质量调研九年级数学一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况为（ ）A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根2．一个长方形的面积为210 cm 2，宽比长少7 cm.设它的宽为x cm ，则可得方程（ ）A ．2（x ＋7）＋2x ＝210B ．x ＋（x ＋7）＝210C ．x （x －7）＝210D ．x （x ＋7）＝2103．有两个一元二次方程：①02=++c bx ax ，②02=++a bx cx ，其中a ＋c ＝0， 以下四个结论中，错误的是（ ） A ．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根； B ．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是x=1；C ．如果4是方程①的一个根，那么14是方程②的一个根；D ．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异；4．若二次函数c bx ax y ++=2的x 与y 的部分对应值如下表： x-7 -6 -5 -4 -3 -2 y-27-13-3353则当0=x 时，y 的值为（ ）A ．5B ．-3C ．-13D ．-275．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，反比例函数x ay =与正比例函数x c b y )(+=在同一坐标系中的大致图象可能是A B C D 6．如果将抛物线2y x =向左平移4个单位，再向下平移2个单位后，那么此时抛物线的表达式是（ ）． A ．2(4)2y x =--B ．2(4)2y x =-+C ．2(4)2y x =+-D ．2(4)2y x =++xxxxxyyyyy2018.107．若1(4,)A y -，1(3,)B y -，1(1,)C y 为二次函数242y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）．A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<8．如图，Rt OAB △的顶点(2,4)A -在抛物线2y ax =上，将Rt OAB △绕点O 顺时针旋转90︒，得到OCD △，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为（ ）． A ．(2,2)B ．(2,2)C ．(2,2)D ．(2,2)（第8题） （第9题） （第10题）9．如图，在Rt ABC △中，90C =︒∠，6cm AC =，2cm BC =，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动，若点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是（ ）． A ．20cmB ．18cmC ．25cmD ．32cm10．如图，正方形OABC 的边长为2，OA 与x 轴负半轴的夹角为15︒，点B 在抛物线2(0)y ax a =<的图象上，则a 的值为（ ）． A ．12-B ．26-C ．2-D ．23-二、填空题（每小题3分，共24分）11．将一元二次方程(2)(1)3x x -+=化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是 .12．已知关于x 的方程x 2＋3x ＋a ＝0的一个根为－4，则另一个根为 ．13．某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是 ． 14．若抛物线y ＝x 2－k x ＋k －1的顶点在x 轴上，则k ＝ ．15．若抛物线2(2)3y x m x =-+-+的顶点在y 轴上，则m =__________．16．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．17．二次函数22y x ax a =-+在 03x ≤≤的最小值是－2，则a =__________18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx 交x 轴的负半轴于点A ．点B 是y 轴正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点A ′恰好落在抛物线上．过点A ′作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ．若点A ′的横坐标为1，则A ′C 的长为 ．三、解答题（共76分）19．⑴ 2(3)5x -= ⑵ 01422=+-x x⑶ 03322=--x x⑷03)32=+--x x （ 20．（6分）已知关于x 的方程x 2＋8x ＋12－a ＝0有两个不相等的实数根．⑴ 求a 的取值范围；⑵ 当a 取满足条件的最小整数时，求出方程的解．21．（6分）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝4．点P 、Q 分别从点A 、出发，点P 沿A →C 的方向以每秒1个单位长的速度向点C 运动，点Q 沿B →向以每秒2个单位长的速度向点C 运动．当其中一个点先到达点C 时，点P 、运动．当四边形ABQP 的面积是△ABC 面积的一半时，求点P 运动的时间．Q BP22．（8分）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率．（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？24．（本题满分10分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y （单位：个）与销售单价x （单位：元）有如下关系：60(3060)y x x =-+≤≤．设这种双肩包每天的销售利润为w 元． （1）求w 与x 之间的函数解析式．（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？25．（本题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为(3,0)，OB OC =，13OA OC =． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，若点(2,)G y 是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，APG △的面积最大?求出此时P 点的坐标和APG △的最大面积．26．已知关于x 的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0有实数根． （1）求m 的值；（2）先作y=x2﹣（m+1）x+（m2+1）的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n （n≥m ）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n 的最大值和最小值．27．（本题满分10分）已知二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(4,0)，且当2x =-和5x =时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a 、b 的值．（2）如图1，动点E 、F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 以每秒5个单位长度的速度沿射线AC 方向运动，当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将AEF △沿EF 翻折，使点A 落在点D处，得到DEF △．①是否存在某一时刻t ，使得DCF △为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．②设DEF △与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．参考答案及评分意见一、选择题 1-5 BDBCB ；6.【答案】C ；【解析】22242(4)(4)2y x y x y x =−−−−→=+−−−−→=+-向左平移向下平移个单位个单位． 故选C ． 7.【答案】B ；【解析】二次函数2242(2)6y x x x =+-=+-，∴对称轴2x =-， ∴当14x =-，23x =-，31x =时，213y y y <<．故选B ．8.【答案】C ；【解析】将(2,4)A -代入2y ax =中得：1a =，∴2y x =， 由题意知，2OB =，4BA =，∴2OD =，将2y =代入2y x =得，2x =±， ∴(2,2)P ．故选C ．9.【答案】C ；【解析】由题意知，AP t =，CQ t =，6CP t =-，222222(6)21236PQ PC CQ t t t t =+=-+=-+22(3)18t =-+，又∵02t ≤≤，故2t =时，220PQ =最小， 此时25PQ =．故选C ．10.【答案】B ；【解析】∵正方形OABC 的边长为2，∴22OB =，由题意知，15AOB =︒∠，∴30COB =︒∠，∴2BC =，6OC =，故(6,2)B --， 代入2y ax =中得：26a -=，26a =-．故选B ．二、填空题11．012=+-x x ； 12．1； 13．25%； 14．K=2；15．【答案】2；【解析】由题意知：对称轴202m x -==，解得2m =． 16．【答案】2(2)9y x =--+；【解析】∵抛物线在x 轴上截得的线段长为6，且对称轴为2x =， ∴抛物线与x 轴的两交点为(1,0)-，(5,0)，设2(2)9y a x =-+，将(5,0)代入得：1a =-， ∴2(2)9y x =--+．分分分分 分20． ⑴ 根据题意得：0)12482>--a （解得:4->a⑵ ∵ 4->a ∴ 最小的整数为﹣3 ------------------------------------------------------------ ∴ x 2＋8x ＋12﹣（﹣3）＝0 即：x 2＋8x ＋15＝0解得：x 1＝－3，x 2＝－521．设点P 运动了x 秒，则AP ＝x ，BQ ＝2x由AC ＝4，BC ＝6得：PC ＝4－x ，QC ＝6－2xP根据题意得：ABC ABQP S S △四边形21= ∴ ABC PQC S S △△21= ∵ ∠C ＝90 ∴642121)26)4(21⨯⨯⨯=⋅-⋅x x －（ 解得：11=x ，62=x 经检验，x ＝6舍去答：点P 运动的时间是1秒．22．解：设降价x 元后销售这款工艺品每天能盈利3000元. 根据题意可得：3000)550)(4080(=+--x x解这个方程得：201021==x x ，（不合题意，舍去） 当x ＝10时，80－x ＝70>65；当x ＝20时，80－x ＝60<65（不符合题意，舍去）答：此时销售单价应定为75元.23．【解析】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x ，则：22(1) 2.88x +=， 解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去） 故这两年该企业年利润平均增长率为20%．（2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业的年利润为 2.88(120%) 3.456+=，3.456 3.4>，故该企业2017年的利润能超过3.4亿元． 24．【解析】（1）(30)w x y =-⋅(60)(30)x x =-+-2901800x x =-+-，w 与x 之间的函数解析式：2901800w x x =-+-．（2）根据题意得：22901800(45)225w x x x =-+-=--+， ∵10-<，当45x =时，w 有最大值，最大值是225．（3）当200w =时，2901800200x x -+-=，解得140x =，250x =， ∵5048<，250x =不符题意，舍去，故销售单价应定为40元． 25．【解析】（1）由已知得：(0,3)C -，(1,0)A -，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得09303a b c a b c C -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，∴223y x x =--．（2）存在．∵(1,4)D -，∴直线CD 的解析式为：3y x =--，∴E 点的坐标为(3,0)-， 由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：2AE CF ==，AE CF ∥，∴以A 、C 、E 、F 为顶点，的四边形为平移四边形，∴存在点F ，坐标为(2,3)-． （3）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，易得(2,3)G -，直线AG 为1y x =--， 设2(,23)P x x x --，则(,1)Q x x -，22PQ x x =-++，21(22)32APG APQ GPQ S S S x x =+=-++⨯△△△，当12x=时，APGS△最大，此时115,24P⎛⎫-⎪⎝⎭，APGS△最大为278．26.解：（1）对于一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0，△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，∵方程有实数根，∴﹣（m﹣1）2≥0，∴m=1．（2）由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，图象如图所示：平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．（3）由消去y得到x2+6x+n+2=0，由题意△≥0，∴36﹣4n﹣8≥0，∴n≤7，∵n ≤m ，m =1， ∴1≤n ≤7，令y ′=n 2﹣4n =（n ﹣2）2﹣4，∴n =2时，y ′的值最小，最小值为﹣4， n =7时，y ′的值最大，最大值为21， ∴n 2﹣4n 的最大值为21，最小值为﹣4．27．【解析】（1）由题意得：164204222552a b a b a b +-=⎧⎨--=+-⎩，解得：12a =，32b =-．（2）①由（1）知213222y x x =--，∵(4,0)A ，∴(1,0)B -，(0,2)C ，∴4OA =，1OB =，2OC =，∴5AB =，25AC =，5BC =， ∴22225AC BC AB +==，∴ABC △为Rt △，且90ACB =︒∠，∵2AE t =，5AF t =，52AF AB AE AC ==，又∵EAF CAB =∠∠，∴AEF ACB △∽△， ∴90AEF ACB ==︒∠∠，∴翻折后，A 落在D 处，∴DE AE =，∴24AD AE t ==，12EF AE t ==， 若DCF △为Rt △，点F 在AC 上时，i ）∴若C 为直角顶点，则D 与B 重合，∴1522AE AB ==，55224t =÷=，如图2 ii ）若D 为直角顶点，∵90CDF =︒∠，∴90ODC EDF +=︒∠∠，∵EDF EAF =∠∠，∴90OBC EAF +=︒∠∠，∴ODC OBC =∠∠，∴BC DC =， ∵OC BD ⊥，∴1OD OB ==，∴3AD =，∴34AE =，∴34t =，如图3 当点F 在AC 延长线上时，90DFC >︒∠，DCF △为钝角三角形，综上所述，34t =或54．②i ）当504t <≤时，重叠部分为DEF △，∴2122S t t t =⨯⨯=．ii ）当524t <≤时，设DF 与BC 相交于点G ，则重叠部分为四边形BEFG ，如图4，过点G 作GH BE ⊥于H ，设GH x =，则2x BH =，2DH x =，∴32xDB =，∵45DB AD AB t =-=-，∴3452x t =-，∴2(45)3x t =-，∴1122(45)(45)223DEF DBG S S S t t t t ===⨯⨯--⨯-△△2134025533t t =-+-．iii ）当522t <≤时，重叠部分为BEG △，如图5，∵2(45)52BE DE DB t t t =-=--=-，22(52)GE BE t ==-，∴21(52)2(52)420252S t t t t =⨯-⨯-=-+．。

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期中数学试卷试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）2019°角是第___ 象限角．2.（填空题.4分）已知角α的终边经过点P（2.-3）.则sinα=___3.（填空题.4分）已知tanα=2.则3sinα+cosα5sinα+2cosα=___ ．4.（填空题.4分）函数y= √cosx的定义域为___ ．5.（填空题.4分）已知cos(π−α)=13，α∈(π，3π2) .则cot(α−π2) =___ ．6.（填空题.4分）已知sinα=45，α在第二象限.则tanα2=___ ．7.（填空题.4分）方程5sinx=4+2cos2x的解集为___ ．8.（填空题.4分）已知2sinα=sin(α−π4) .则tan(α−π8) =___ ．9.（填空题.4分）将函数y=sin2x的图象先沿x轴向左平移π6个单位.再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数y=f（x）图象.对于函数y=f（x）有以下四个判断：① 该函数的解析式为y=sin(x+π6)；② 该函数图象关于点(π3，0)对称；③ 该函数在[0，π6]上是增函数；④ 若函数y=f（x）+a在[0，π2]上的最小值为1.则a=12．其中正确判断的序号是___ （写出所有正确判断的序号）．10.（填空题.4分）已知△ABC中.7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC.则cos(A−π4) =___ ．11.（单选题.4分）如果α是第三象限的角.那么α3必然不是下列哪个象限的角（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12.（单选题.4分）函数y=π2+arcsin3x(x∈[−13，13])的反函数是（）A. y=13sinx(x∈[0，π])B. y=13cosx(x∈[0，π])C. y=−13sinx(x∈[0，π])D. y=−13cosx(x∈[0，π])13.（单选题.4分）在△ABC中.三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知2acosB=c.且满足sinAsinB（2-cosC）=sin2C2 + 12.则△ABC为（）A.锐角非等边三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形14.（单选题.4分）已知函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立.则（）A.函数f（x-1）一定是奇函数B.函数f（x+1）一定是奇函数C.函数f（x-1）一定是偶函数D.函数f（x+1）一定是偶函数15.（问答题.8分）已知sinα+cosα=23．（1）求sinαcosα的值；（2）若α为第二象限的角.求1sin(π−α)−1cos(2π−α)的值．16.（问答题.12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的相邻对称轴之间的距离为π2 .且该函数图象的一个最高点为(π12，2)．（1）求函数f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若x∈[0，π4] .求函数f（x）的最大值和最小值．17.（问答题.12分）如图.甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系y=f（t）均近似地满足函数f（t）=Asin（ωt+φ）+b（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）．（1）根据图象.求函数f（t）的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9.现采用错峰用电的方式.让企业乙比企业甲推迟m（m＞0）小时投产.求m的最小值．18.（问答题.12分）在锐角△ABC中.已知cosA=5，S△ABC=6 .若点D是线段BC上一点13（不含端点）.过D作DE⊥AB于E.DF⊥AC于F．.求EF的值；（1）若△AEF外接圆的直径长为134（2）求BC的取值范围；（3）问点D在何处时.△DEF的面积最大？最大值为多少？2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）2019°角是第___ 象限角．【正确答案】：[1]三【解析】：根据终边相同的角化为k•360°+α.k∈Z.α∈[0°.360°）即可．【解答】：解：2019°=360°×5+219°.是第三象限角．故答案为：三．【点评】：本题考查了终边相同的角的定义与应用问题.是基础题．2.（填空题.4分）已知角α的终边经过点P（2.-3）.则sinα=___【正确答案】：[1] −3√1313【解析】：由题意利用任意角的三角函数的定义.求得sinα的值．【解答】：解：∵角α的终边经过点P（2.-3）.则 x=2.y=-3.r=|OP|= √4+9 = √13 .∴sinα= yr = 3√1313.故答案为：- 3√1313．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义.属于基础题．3.（填空题.4分）已知tanα=2.则3sinα+cosα5sinα+2cosα=___ ．【正确答案】：[1] 712【解析】：直接利用同角三角函数基本关系式化简所求的表达式为正切函数的形式.代入求解即可．【解答】：解：tanα=2.则 3sinα+cosα5sinα+2cosα = 3tanα+15tanα+2 = 3×2+15×2+2 = 712．故答案为： 712【点评】：本题考查同角三角函数基本关系式以及三角函数化简求值.考查计算能力． 4.（填空题.4分）函数y= √cosx 的定义域为___ ． 【正确答案】：[1][2kπ- π2 .2kπ+ π2 ].k∈Z【解析】：根据函数y= √cosx .可得cosx≥0.再结合余弦函数的图象.求得x 的范围．【解答】：解：根据函数y= √cosx .可得cosx≥0.可得 2kπ- π2 ≤x≤2kπ+ π2 （k∈Z ）. 故函数的定义域为[2kπ- π2 .2kπ+ π2 ].k∈Z . 故答案为：[2kπ- π2 .2kπ+ π2 ].k∈Z ．【点评】：本题主要考查余弦函数的图象的特征.解三角不等式.属于基础题． 5.（填空题.4分）已知 cos (π−α)=13，α∈(π，3π2) .则 cot (α−π2) =___ ．【正确答案】：[1] −2√2【解析】：由已知求得cosα.进一步得到tanα.再由诱导公式求 cot (α−π2) ．【解答】：解：由 cos (π−α)=13，α∈(π，3π2) . 得-cos α=13.即cos α=−13. ∴sinα= −2√23 .则tanα= sinαcosα = 2√2 ．∴ cot (α−π2) =-cot （ π2−α ）=-tanα= −2√2 ． 故答案为： −2√2 ．【点评】：本题考查三角函数的化简求值.考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用.是基础题．6.（填空题.4分）已知 sinα=45，α 在第二象限.则 tan α2 =___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：根据同角三角函数关系以及三角函数的倍角公式进行化简即可．【解答】：解：若sinα=45，α在第二象限.∴cosα=- 35.则tanα2 = sinα2cosα2= 2sinα2cosα22cos2α2= sinα1+cosα=451−35=2.故答案为：2【点评】：本题主要考查三角函数的化简和求值.利用同角三角函数关系以及三角函数倍角公式是解决本题的关键．7.（填空题.4分）方程5sinx=4+2cos2x的解集为___ ．【正确答案】：[1]{x|x=arcsin 34+2kπ.或x=π-arcsin 34+2kπ.k∈Z}【解析】：方程化为关于sinx的一元二次方程.求出sinx的值.再写出方程的解集．【解答】：解：方程5sinx=4+2cos2x可化为5sinx=4+2（1-2sin2x）.即4sin2x+5sinx-6=0.解得sinx= 34.或sinx=-2（不合题意.舍去）；所以该方程的解集为{x|x=arcsin 34+2kπ.或x=π-arcsin 34+2kπ.k∈Z}．故答案为：{x|x=arcsin 34+2kπ.或x=π-arcsin 34+2kπ.k∈Z}．【点评】：本题考查了三角函数方程的求解与应用问题.是基础题．8.（填空题.4分）已知2sinα=sin(α−π4) .则tan(α−π8) =___ ．【正确答案】：[1] 3−3√2【解析】：由已知等式求得tanα.展开二倍角的正切求得tan π8.再由两角差的正切求解．【解答】：解：由2sinα=sin(α−π4) .得2sinα= √22sinα−√22cosα .∴ 4−√22sinα=−√22cosα .则tanα= −2√2+17．由tan π4 = 2tanπ81−tan2π8=1.解得tan π8= −1−√2（舍）或tanπ8=−1+√2．∴ tan(α−π8) = tanα−tanπ81+tanαtanπ8= −2√2+17−(−1+√2)1+(−√7)×(−1+3−3√2．故答案为：3−3√2．【点评】：本题考查三角函数的化简求值.考查两角和与差的三角函数.考查计算能力.是中档题．9.（填空题.4分）将函数y=sin2x的图象先沿x轴向左平移π6个单位.再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数y=f（x）图象.对于函数y=f（x）有以下四个判断：① 该函数的解析式为y=sin(x+π6)；② 该函数图象关于点(π3，0)对称；③ 该函数在[0，π6]上是增函数；④ 若函数y=f（x）+a在[0，π2]上的最小值为1.则a=12．其中正确判断的序号是___ （写出所有正确判断的序号）．【正确答案】：[1] ③ ④【解析】：运用三角函数图象的平移变化及三角函数的性质可解决此问题．【解答】：解：根据题意知.f（x）=sin（x +π3）.令x= π3则.y= √32≠0∴ ① ② 错误；由三角函数的性质知③ ④ 正确；故答案为③ ④ ．【点评】：本题考查图象的变换及三角函数的性质的简单应用．10.（填空题.4分）已知△ABC中.7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC.则cos(A−π4) =___ ．【正确答案】：[1] −√1010【解析】：由已知结合正弦定理可得：7b2+3c2=2a2+2bcsinA.由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA.化为：2（sinA-2cosA）= 5b2+c2bc = 5bc+cb≥2 √5bc•cb=2 √5 .进一步得到sin（A-θ）≥1.又sin（A-θ）≤1.可得sin（A-θ）=1．得到A=θ+ π2+2kπ.k∈N*．求出sin（A+ π4）.再由诱导公式得答案．【解答】：解：7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC. 由正弦定理可得：7b2+3c2=2a2+2bcsinA.∴a2= 7b2+3c2−2bcsinA2.又a2=b2+c2-2bccosA.∴ 7b2+3c2−2bcsinA2=b2+c2-2bccosA.化为：2（sinA-2cosA）= 5b 2+c2bc= 5bc+cb≥2 √5bc•cb=2 √5 .当且仅当√5 b=c时取等号．即2 √5 sin （A-θ）≥2 √5 .其中tanθ=2.sinθ= √5 .cosθ= √5即sin （A-θ）≥1.又sin （A-θ）≤1. ∴sin （A-θ）=1．∴A -θ= π2 +2kπ.即A=θ+ π2 +2kπ.k∈N *．∴sin （A+ π4 ）=sin （θ+ π4 + π2 +2kπ）=cos （θ+ π4 ） = √22 （cosθ-sinθ）= √22 ×（ √5 - √5 ）=- √1010 ．∴ cos (A −π4) =cos （ π4−A ）=sin （A+ π4 ）= −√1010． 故答案为：- √1010．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式.考查了推理能力与计算能力.属于难题．11.（单选题.4分）如果α是第三象限的角.那么 α3 必然不是下列哪个象限的角（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【正确答案】：B【解析】：先写出角α的范围.再除以3.从而求出 α3 角的范围.看出是第几象限角．【解答】：解：α是第三象限的角.则α∈（2kπ+π.2kπ+ 3π2 ）.k∈Z . 所以 α3∈（ 23kπ+ π3 . 23kπ+ π2）.k∈Z ； 所以 α3 可以是第一、第三、或第四象限角． 故选：B ．【点评】：本题考查了角的范围与象限角的判断问题.是基础题．12.（单选题.4分）函数 y =π2+arcsin3x (x ∈[−13，13]) 的反函数是（ ） A. y =13sinx(x ∈[0，π]) B. y =13cosx(x ∈[0，π]) C. y =−13sinx(x ∈[0，π])D. y=−13cosx(x∈[0，π])【正确答案】：D【解析】：根据反三角函数的定义即可求出【解答】：解：函数y=π2+arcsin3x(x∈[−13，13])的反函数是y=- 13cosx.x∈[0.π].故选：D．【点评】：本题主要考查反正弦函数的定义和性质.属于基础题．13.（单选题.4分）在△ABC中.三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知2acosB=c.且满足sinAsinB（2-cosC）=sin2C2 + 12.则△ABC为（）A.锐角非等边三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【正确答案】：C【解析】：已知第一个等式利用正弦定理化简.再利用诱导公式及内角和定理表示.根据两角和与差的正弦函数公式化简.得到A=B.第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形.右边利用二倍角的余弦函数公式化简.将A+B=C.A-B=0代入计算求出cosC的值为0.进而确定出C为直角.即可确定出三角形形状．【解答】：解：将已知等式2acosB=c.利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinC.∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0.∵A与B都为△ABC的内角.∴A-B=0.即A=B.已知第二个等式变形得：sinAsinB（2-cosC）= 12（1-cosC）+ 12=1- 12cosC.- 1 2 [cos（A+B）-cos（A-B）]（2-cosC）=1- 12cosC.∴- 12（-cosC-1）（2-cosC）=1- 12cosC.即（cosC+1）（2-cosC）=2-cosC.整理得：cos2C-2cosC=0.即cosC（cosC-2）=0. ∴cosC=0或cosC=2（舍去）.∴C=90°.则△ABC为等腰直角三角形．故选：C．【点评】：此题考查了正弦定理.两角和与差的正弦函数公式.积化和差公式.二倍角的余弦函数公式.熟练掌握正弦定理是解本题的关键.属于中档题．14.（单选题.4分）已知函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立.则（）A.函数f（x-1）一定是奇函数B.函数f（x+1）一定是奇函数C.函数f（x-1）一定是偶函数D.函数f（x+1）一定是偶函数【正确答案】：D【解析】：由三角函数图象的性质及函数图象的平移得：函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立.得函数f（x）的图象关于直线x=1对称.即函数f（x+1）一定为偶函数.得解．【解答】：解：由函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立.得函数f（x）的图象关于直线x=1对称.即函数f（x+1）一定为偶函数.故选：D．【点评】：本题考查了三角函数图象的性质及函数图象的平移.属中档题．15.（问答题.8分）已知sinα+cosα=23．（1）求sinαcosα的值；（2）若α为第二象限的角.求1sin(π−α)−1cos(2π−α)的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用同角三角函数关系.利用平方进行计算即可（2）利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可【解答】：解：（1）∵ sinα+cosα=23 .∴平方得sin 2α+2sinαcosα+cos 2α= 49 . 得2sinαcosα= 49 -1=- 59 . 得sinαcosα=- 518 ．（2）若α为第二象限的角.sinα＞0.cosα＜0. 则 1sin (π−α)−1cos (2π−α) = 1sinα - 1cosα = cosα−sinαsinαcosα . ∵（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=1+ 59 = 149 . ∴cosα-sinα=-√143. 则 cosα−sinαsinαcosα = −√143−518=6√145．【点评】：本题主要考查三角函数值的化简和求值.利用同角三角函数关系以及三角函数的诱导公式是解决本题的关键．16.（问答题.12分）已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中 A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 ）的相邻对称轴之间的距离为 π2 .且该函数图象的一个最高点为 (π12，2) ． （1）求函数f （x ）的解析式和单调递增区间； （2）若 x ∈[0，π4] .求函数f （x ）的最大值和最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由三角函数解析式的求法得：由题意有：A=2.T=π.即ω= 2πT =2.由当x= π12 时.函数f （x ）取最大值.即2× π12 +φ=2k π+π2 .解得φ=2kπ +π3 .又0＜φ ＜π2 .所以φ= π3 .即f （x ）=2sin （2x+ π3）.（2）由三角函数的值域的求法得：当 x ∈[0，π4] .则2x+ π3 ∈[ π3 . 5π6 ].所以2sin （2x+ π3 ）∈[1.2].得解．【解答】：解：（1）由题意有：A=2.T=π.即ω= 2πT =2.由当x= π12 时.函数f （x ）取最大值.即2× π12 +φ=2k π+π2 .解得φ=2kπ +π3 .又0＜φ ＜π2 .所以φ= π3.即f（x）=2sin（2x+ π3）.令2kπ −π2≤2x+ π3≤2kπ+π2.得：k π−5π12≤x≤kπ+π12.（k∈Z）故函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+ π3）．函数f（x）的单调递增区间为：[kπ −5π12 .k π+π12]（k∈Z）．（2）当x∈[0，π4] .则2x+ π3∈[ π3. 5π6].所以2sin（2x+ π3）∈[1.2].故函数f（x）的最大值为2.最小值为1．【点评】：本题考查了三角函数解析式的求法及三角函数的值域.属中档题．17.（问答题.12分）如图.甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系y=f（t）均近似地满足函数f（t）=Asin（ωt+φ）+b（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）．（1）根据图象.求函数f（t）的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9.现采用错峰用电的方式.让企业乙比企业甲推迟m（m＞0）小时投产.求m的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）根据图象最值求A.b.根据周期求出ω.利用特殊点求出φ的值.可求函数f（t）的解析式．（2）设乙投产持续时间为t小时.则甲的投产持续时间为（t+m）小时.依题意.有f（t+m）+f（t）=cos π6（t+m）+cos π6t+8≤9恒成立.展开由三角函数恒等变换化简整理可得：cos π6m≤- 12 .依据余弦函数图象得：2π3+2kπ≤ π6m≤ 4π3+2kπ.（k∈Z）.取k=0得m的范围.从而可求m的最小值．【解答】：（本题满分为14分）解：（1）由图知T=12= 2πω .∴ω= π6.…（1分）A+b=5.b-A=3.可得：A=1.b=4.…（3分）∴f（t）=sin（π6t+φ）+4.代入（0.5）.得φ= π2+2kπ.又0＜φ＜π.∴φ= π2…（5分）即f（t）=sin（π6 t+ π2）+4.…（6分）（2）设乙投产持续时间为t小时.则甲的投产持续时间为（t+m）小时.由诱导公式.企业乙用电负荷量随持续时间t变化的关系式为：f（t）=cos π6t+4；同理.企业甲用电负荷量变化关系式为：f（t+m）=cos π6（t+m）+4；两企业用电负荷量之和f（t+m）+f（t）=cos π6（t+m）+cos π6t+8（t≥0）；------（8分）依题意.有f（t+m）+f（t）=cos π6（t+m）+cos π6t+8≤9恒成立.即cos π6（t+m）+cos π6t≤1恒成立.展开有：（cos π6 m+1）cos π6t-sin π6msin π6t≤1恒成立.------（10分）∵（cos π6 m+1）cos π6t-sin π6msin π6t=Acos（π6t+ϕ）.（其中.A= √(cosπ6m+1)2+sin2π6m .cosϕ= cosπ6m+1A；sinϕ= sinπ6mA）；∴A= √(cosπ6m+1)2+sin2π6m≤1.-----------------------（11分）整理得到：cos π6m≤- 12.------------------------（12分）依据余弦函数图象得：2π3+2kπ≤ π6m≤ 4π3+2kπ.（k∈Z）.即12k+4≤m≤12k+8.取k=0得：4≤m≤8∴m的最小值为4．-----------------------（14分）【点评】：本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识.考查建立三角函数模型.数据处理能力、运算求解能力和抽象概括能力.考查函数与方程的思想、转化与化归的思想.属于中档题．18.（问答题.12分）在锐角△ABC 中.已知 cosA =513，S △ABC =6 .若点D 是线段BC 上一点（不含端点）.过D 作DE⊥AB 于E.DF⊥AC 于F ．（1）若△AEF 外接圆的直径长为 134 .求EF 的值； （2）求BC 的取值范围；（3）问点D 在何处时.△DEF 的面积最大？最大值为多少？【正确答案】：【解析】：（1）根据面积为6可得bc.然后由正弦定理可得EF ；（2）用余弦定理得到BC 2=b 2+c 2-2bccosA.然后用重要不等式可得BC 的范围；（3）设S △ABD =x.然后根据面积关系将△DEF 的面积用x 表示出来.再用一元二次函数求其最大值即可．【解答】：解：（1）∵在锐角△ABC 中. cosA =513 .∴sinA= 1213. ∵ S △ABC =12 bc• 1213=6 . ∴bc=13.∵△AEF 外接圆的直径长为 134. 由正弦定理可得. EF sinA = EF 1213= 134 .∴EF=3；（2）在△ABC 中.由余弦定理得. BC 2=b 2+c 2-2bccosA =b 2+c 2-10≥2bc -10=16. 当且仅当b=c= √13 时取等号. ∴BC≥4；BC 的取值范围：[4.+ ∞ ）；（3）设S△ABD=x.则S△ADC=6-x. ∵ S△ABC=12AB•AC•sinA=6 .∴AB•AC= 12sinA=13 .∵DE⊥AB于E.DF⊥AC于F.∴ S△ABD=12AB•DE=x . S△ADC=12AC•DF=6−x .∴ DE=2xAB . DF=12−2xAC.∵ S△EDF=12DE•DF•sin(π−A)= 12•2xAB•12−2xAC•sinA= 24(−x2+6x)169=- 24169[(x−3)2−9] .∴当x=3时.S△EDF的最大值为. 216169．∴当x=3时.三角形ABD与三角形ADC面积相等∴D为BC的中点.∴当D为BC的中点时.△DEF的面积最大.最大值为216169．△【点评】：本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．。