北师大版初二数学下册分式与整式的运算技巧

整式与分式的运算法则在数学中，整式和分式是常见的数学表达式形式。

这两种形式在进行数值计算和推导时，有着各自的运算法则。

本文将介绍整式和分式的运算法则，帮助读者更好地理解和应用这些规则。

整式运算法则整式是由数字、字母和运算符号组成的代数表达式，通常包含加法、减法和乘法运算。

对于整式的运算，我们有以下几个重要法则：加法法则：对于整式a和b，我们有a + b = b + a。

也就是说，整式的加法满足交换律。

减法法则：对于整式a和b，我们有a - b = a + (-b)。

也就是说，整式的减法可以转化为加法运算。

乘法法则：对于整式a、b和c，我们有a(b + c) = ab + ac。

也就是说，整式的乘法满足分配律。

乘方法则：对于整式a和n，我们有an = a × a × ... × a (n个a相乘)。

也就是说，整式的乘方是多次乘法的简化形式。

除法法则：对于整式a和b (b ≠ 0)，我们有a ÷ b = a × (1/b)。

也就是说，整式的除法可以转化为乘法运算。

分式运算法则分式是由分子和分母组成的表达式，通常以a/b的形式表示，其中a和b为整数。

对于分式的运算，我们有以下几个重要法则：分子分母法则：对于分式a/b，a和b都是整式。

我们可以对分子和分母分别应用整式的运算法则。

加减法法则：对于分式a/b和c/d，我们有a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)。

也就是说，分式的加法和减法都需要对分子和分母进行相应的运算。

乘法法则：对于分式a/b和c/d，我们有(a/b) × (c/d) = (ac)/(bd)。

也就是说，分式的乘法需要将分子和分母分别相乘。

除法法则：对于分式a/b和c/d (c/d ≠ 0)，我们有(a/b) ÷ (c/d) = (a/b)× (d/c) = (ad)/(bc)。

也就是说，分式的除法可以转化为乘法运算。

八年级数学暑假专题整式与分式北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：暑假专题——整式与分式二、教学目标：1. 了解分解因式的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式．2. 熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算．3. 会解分式方程和分式方程应用题．4. 体会数学知识之间的整体联系．三、知识要点分析：1. 分解因式分解因式的常用方法：提公因式法、运用公式法．2. 分式的运算（1）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．（2）分式乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．（3）分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．3. 分解因式和整式乘法运算是互逆的，分解因式和整式乘法运算是分式运算的重要依据．4. 解分式方程的一般步骤：（1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程．（2）解这个整式方程．（3）验根，即把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根．需要注意的是，这种代入最简公分母验根的方法虽然简便，但是必须要保证解方程的各步运算准确无误，否则这种简便的验根方法不能起到有效的作用．因此，我们还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，看等式左边是否等于右边．【典型例题】知识点1：分解因式例1. 分解因式：（1）x3－2x2＋x；（2）x2（x－y）＋y2（y－x）．题意分析：本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式．思路分析：（1）题是三项式，先提取公因式，再考虑用完全平方公式解题．（2）题先提取公因式，再考虑用平方差公式解题．解：（1）x3－2x2＋x＝x（x2－2x＋1）＝x（x－1）2；（2）x2（x－y）＋y2（y－x）．＝（x －y ）x 2－（x －y ）y 2 ＝（x －y ）（x 2－y 2） ＝（x －y ）（x ＋y ）（x －y ） ＝（x －y ）2（x ＋y ）．解题后的思考：解决分解因式的问题时，首先考虑因式是否有公因式，如果有，先提取公因式；如果没有公因式且因式是两项式，则考虑能否用平方差公式分解因式；因式是三项式时应考虑用完全平方公式解题．最后，直到每一个因式都不能再分解为止．例2．在边长为a cm 的正方形木板上开出边长为b cm （b ＜a2）的四个方形小孔，如图所示．（1）试用a 、b 表示出剩余部分的面积；（2）若a ＝14.5，b ＝2.75，则剩余部分的面积是多少？题意分析：本题意在考查整式和分解因式的综合应用．思路分析：剩余面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积． 解：（1）剩余部分的面积＝（a 2－4b 2）cm 2． （2）当a ＝14.5，b ＝2.75时， （a 2－4b 2）＝（a ＋2b ）（a －2b ） ＝（14.5＋5.5）（14.5－5.5） ＝20×9＝180（cm 2）．答：剩余部分的面积是180cm 2．解题后的思考：观察所列算式，先分解因式，再代入求值较简便．小结：分解因式是整式的一种重要的恒等变形，它和整式乘法运算，尤其是多项式乘法运算有着密切的联系．分解因式是分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础．知识点2：分式的运算例3. 计算：（a ＋2a 2－2a －a －1a 2－4a ＋4）÷4－aa 2－2a．题意分析：本题考查分式的混合运算．运算顺序是先算括号内的，再算乘除，最后算加减．思路分析：本题有两种解法，一是按顺序计算，先计算括号内的，再算除法；二是先利用分配律计算除法，最后再求差．解法一：原式＝[a ＋2a （a －2）－a －1（a －2）2]·a （a －2）－（a －4）＝a 2－4－a （a －1）a （a －2）2·a （a －2）－（a －4）＝a －4a （a －2）2·a （a －2）－（a －4）＝－1a －2＝12－a 解法二：原式＝[a ＋2a （a －2）－a －1（a －2）2]·a （a －2）－（a －4）＝a ＋2a （a －2）·a （a －2）－（a －4）－a －1（a －2）2·a （a －2）－（a －4）＝－a ＋2a －4＋a （a －1）（a －4）（a －2）＝－（a 2－4）＋a 2－a （a －4）（a －2）＝4－a（a －4）（a －2）＝－1a －2＝12－a解题后的思考：本题是分式四则混合运算，既可以先算括号里面的，再算除法，也可以先用乘法分配律进行计算，最后求差．总之，分式混合运算的综合性较强，解题时应遵循运算顺序、法则进行变形，有些题目需要注意其结构特点，选择恰当的方法来解决．例4．已知：1x ＋1y ＝5，求2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y的值；题意分析：这是一道分式的化简求值题．思路分析：把已知等式进行整理即得x ＋y ＝5xy ，把x ＋y 或xy 作为一个整体代入到所求分式中化简求值．解：（1）因为1x ＋1y＝5，所以x ＋y ＝5xy ．所以2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y ＝（2x ＋2y ）－3xy （x ＋y ）＋2xy ＝5xy ×2－3xy 5xy ＋2xy ＝1．解题后的思考：解分式求值问题一般先化简，再求值．已知条件是等式的，通常先把已知等式和所求代数式变形，找到它们之间的联系，再运用整体代入的方法解题．小结：分式运算法则类似于分数运算，除了注意运算顺序，还要注意运算技巧．知识点3：分式方程例5. 解方程：x ＋1x －1－4x 2－1＝1．题意分析：这个分式方程中含有两个分式，其最简公分母是x 2－1．思路分析：将方程两边都乘以最简公分母x 2－1，去分母后进行整理，转化成整式方程求解．解：原方程可以化为x ＋1x －1－4（x ＋1）（x －1）＝1，所以（x ＋1）2－4＝（x ＋1）（x －1）， 即：2x ＝2，解得x ＝1． 检验：当x ＝1时，（x ＋1）（x －1）＝0，所以x ＝1是原方程的增根，原方程无解．解题后的思考：去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项．例6. 某顾客第一次在商店买若干小商品花去4元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，购买1打以上可以拆零买．这样，第二次花去4元钱买同样小商品的件数是第一次的1.5倍，问这位顾客第一次买的小商品是多少件？每件是多少元？题意分析：第二次购买小商品12件降价0.8元，而每件降价0.812元，将第一次与第二次购买商品的单价表示出来，即有以下等量关系：第一次单价－第二次单价＝0.812．思路分析：设第一次买的小商品是x 件，用含x 的代数式分别表示第一次购买时的单价和第二次购买时的单价，根据其差是0.812列方程．解：设第一次买的小商品是x 件，则第二次买的小商品是1.5x 件．根据题意，得4x －41.5x ＝0.812．解得x ＝20，经检验，x ＝20是原方程的根且符合题意． 4÷20＝0.2（元）．答：这位顾客第一次买的小商品是20件，每件0.2元．解题后的思考：解分式方程应用题和解一元一次方程应用题找相等关系的方法是相同的，所不同的是分式方程的数量关系大多是以分式的形式出现的．小结：检验是解分式方程必不可少的步骤．注意，解分式方程的检验与解一元一次方程的检验是不同的，解一元一次方程验根的目的只是检验解答的过程有无错误，而解分式方程验根的目的是在解答无误的前提下看是否有增根，检验的办法是把结果代入原方程的各分母，看是否为零，也可直接代入最简公分母，看是否为零．总结：本讲内容联系较密切，整式乘法→分解因式→分式运算→分式方程，层层递进，逐级加深．应重点掌握分解因式的方法和分式运算法则，并在此基础上进一步提高分析解决综合问题和应用问题的能力．【预习导学案】（暑假专题——图形的相似）一、预习前知1. 如何判断两个三角形相似，相似三角形有什么性质？2. 什么是相似图形，什么是位似图形？二、预习导学1. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ） A. 4.8米 B. 6.4米 C. 9.6米 D. 10米2. 如图，在Rt ΔABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝3，AB ＝5，其中的一对相似三角形是__________和__________；它们的面积比为_________．ABCD3. 如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为（3，2），（－1，－1），则两个正方形的位似中心的坐标是_________．4. 如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ．求证：△ABC ∽△FDE ．FDCBA反思：（1）如何利用相似图形的性质解决实际问题（2）相似图形和位似图形有什么区别和联系【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 化简m 2－n 2m 2＋mn 的结果是（ ）A. m －n 2mB. m －n mC.m ＋nmD.m －nm ＋n2. 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） A. x 2－xy B. x 2＋xy C. x 2－y 2D. x 2＋y 2 3. 把多项式2x 2－8x ＋8分解因式，结果正确的是（ ） A. （2x －4）2 B. 2（x －4）2 C. 2（x －2）2D. 2（x ＋2）24. 分式1a ＋1＋1a （a ＋1）的计算结果是（ ）A. 1a ＋1B. a a ＋1C. 1aD.a ＋1a5. 化简（a －b 2a ）·aa －b的结果是（ ）A. a －bB. a ＋bC. 1a －bD.1a ＋b6. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际植树效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（ ）A. 300x －2060＝3001.2xB. 300x －3001.2x＝20C.300x －300x ＋1.2x ＝2060D. 300x ＝3001.2x －2060 *7. 若m ＝2009×2010＋2010×20112，则m 是（ ）A. 奇数，且是完全平方数B. 偶数，且是完全平方数C. 奇数，但不是完全平方数D. 偶数，但不是完全平方数．**8. 若a b ＝20，bc ＝10，则a ＋b b ＋c 的值为（ ）A. 1121B. 2111C. 11021D. 21011二、填空题1. 把多项式x 3－4x 分解因式的结果为__________．2. 分式方程1x ＋1＝2x －1的解为__________．3. 如果x ＋y ＝－4，x －y ＝8，那么代数式x 2－y 2的值是__________．*4. 当m ＝__________时，关于x 的分式方程2x ＋mx －3＝1无解．*5. 若︱x ︱－3x 2－2x －3的值为零，则x 的值是__________．**6. 已知关于x 的方程2x ＋mx －2＝3的解是正数，则m 的取值范围为__________．三、解答题1. 分解下列因式：（1）2581－1100x 2；（2）a 4b 4－12a 2b 2＋116．2. 解分式方程：x x －2＋6x ＋2＝1．3. 先化简再求值：⎝⎛⎭⎫a － a 2－b 2＋1 a ÷ b －1 a × 1 a ＋b，其中a ＝－ 1 2，b ＝－2．*4. 用简便方法计算下列各题．（1）10002－2000×993＋9932； （2）1.992－2.992．**5. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，则不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．（Ⅰ）设骑车同学的速度为x 千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．【试题答案】一、选择题1. B2. C3. C4. C5. B6. A7. B 【m ＝2009×2010＋2010×20112＝2010（2009＋2011）2＝20102】8. D 【由题设得a ＋b b ＋c＝a b ＋11＋c b ＝20＋11＋110＝21011．】二、填空题 1. x （x ＋2）（x －2） 2. x ＝－3 3. －324. －6【解这个分式方程得x ＝－3－m ，若使原方程无解，则x －3＝0，即－3－m ＝3，所以m ＝－6．】5. －3【由︱x ︱－3＝0得x ＝±3．当x ＝3时，x 2－2x －3＝0；当x ＝－3时，x 2－2x －3≠0．所以满足条件的x 的值是－3】6. m ＞－6且m ≠－4【解这个分式方程得x ＝m ＋6，根据题意m ＋6＞0，即m ＞－6．因为原方程的解是正数，所以x ≠2（如果有增根必为2），即m ＋6≠2，m ≠－4，所以6m ->且m ≠－4．】三、解答题1.（1）（59＋x 10）（59－x 10）；（2）原式＝（a 2b 2－14）2＝（ab ＋12）2（ab －12）2．2. x ＝13. 原式＝b ＋1a ＋b ＝254.（1）原式＝10002－2×1000×993＋9932＝（1000－993）2＝72＝49；（2）原式＝（1.99＋2.99）（1.99－2.99）＝－4.98．5.（Ⅰ）10x ，2x ，102x （Ⅱ）根据题意，列方程得10x ＝102x ＋13，解这个方程，得x ＝15．答：骑车同学的速度是15千米/时．。

第5章 分式与分式方程2 分式的乘除法则一、教学目标1、知识与技能理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算。

2、过程与方法经历探索分式的乘除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性。

3、情感态度与价值观通过讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力。

二、教学重难点1、教学重点：掌握分式的乘除法法则2、教学难点：熟练地运用分式的乘除法则进行计算，提高运算能力。

三、教学过程（一）回顾复习 1、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（除以）一个非零整式，分式的值不变。

用字母表示为：2、什么叫分式的约分？把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分。

【教学说明】复习学过的知识，巩固旧知识的同时也为本节课的学习大基础。

（二）探求新知 探究分式的乘除法则1.计算下列各题，并说明你是怎样进行计算的。

CB C A B A ⋅⋅=CB CA B A ÷÷=（C ≠0） 10932⨯1） 2439÷2）gv fu v g u f v u g f =⨯⨯==gu fvv g u f u v g f v u g f =⨯⨯=⋅=÷用符号表示为：乘法： ，除法：【教学说明】让学生复习小学学过的分数的乘除运算法则，为学习分式的乘除法则做准备。

用符号表示为：：乘法： 除法：【教学说明】让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除的法则。

B C B D BD AD A C AC÷=⨯=B CBC A DAD⨯=【分数的乘除法法则 】两个分数相乘, 把分子相乘的积作为积的分子,分母相乘的积作为积的分母.两个分数相除, 把除数的分子分母颠倒位置后,再与被除数相乘. 当A 、D 中含有字母时，就变成了分式，你能总结分式的乘除法则吗？ 【分式的乘除法法则 】两个分式相乘, 把分子相乘的积作为积的分子,分母相乘的积作为积的分母. 两个分式相除, 把除式的分子分母颠倒位置后,再与被除式相乘.232(2)11x x x x÷--x y x y yx 5252322=⋅⋅=解：原式16128422+÷++x xx x x ）（1421322-⋅+x x x x ）（()241312x x x -+-()222613x y y x ()238242x yxy x÷12)1)(1(24)1()1(241222-=-+⋅+=-⋅⋅+=x x x x x x x x x xx ）（解：原式3346)1()1(861)1(82222+=⋅++⋅=+⋅+=x x x x x x xx x x 解：原式322521x y y x ⋅）（2、例题讲解。

八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版第三章分式一、分式1、两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.2、整式和分式统称为有理式,即有:3、进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.4、一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.二、分式的乘除法1、分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.2、分式乘方,把分子、分母分别乘方.逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.3、分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.三、分式的加减法1、分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2、分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;上述法则用式子表示是:(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:3、概念内涵:通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.四、分式方程1、解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.2、列分式方程解应用题的一般步骤:①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;④解方程,并验根;⑤写出答案.。

北师大版数学八年级下册5.1《认识分式》说课稿一. 教材分析北师大版数学八年级下册5.1《认识分式》是初中数学的重要内容，本节课的内容是让学生理解分式的概念，掌握分式的基本性质和运算法则。

通过学习，使学生能够运用分式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、分数等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力。

但是，对于分式的理解可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中发现分式，理解分式的概念，掌握分式的基本性质和运算法则。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解分式的概念，掌握分式的基本性质和运算法则，能够运用分式解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生独立思考、合作交流的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，使学生感受到数学与生活的密切联系。

四. 说教学重难点1.教学重点：分式的概念，分式的基本性质和运算法则。

2.教学难点：分式的概念的理解，分式的运算法则的运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、教学卡片等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际问题，引导学生发现分式，引出分式的概念。

2.自主学习：让学生通过阅读教材，理解分式的概念，掌握分式的基本性质和运算法则。

3.合作交流：分组讨论，让学生在合作中思考，在交流中解惑，共同解决问题。

4.教师讲解：针对学生自主学习和合作交流中存在的问题，进行讲解和解答。

5.巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识。

6.总结提高：对本节课的内容进行总结，使学生形成知识体系。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够反映本节课的主要内容和知识点。

主要包括：分式的概念、分式的基本性质、分式的运算法则等。

八. 说教学评价教学评价主要从学生的知识掌握、能力培养、情感态度等方面进行。

第五章：分式与分式方程5.1认识分式一般地，用,A B 表示两个整式，A B ÷可以表示成A B 的形式，如果B 中含有字母，那么称A B为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零.例1， 下列各式中哪些是整式？哪些是分式？211(1);;(3);(4);2242b a b x xy x y a x ++-+- (2) 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值保持不变. 这一性质可以用式子表示为：,(0)b b m b b m m a a m a a m⋅÷==≠⋅÷. 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.例2， 化简下列分式 2225(1);;20xy a ab x y b ab++ (2) 在化简的结果中，如果分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或是整式.5.2分式的乘除法两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后在与被除式相乘. 这一法则可以用式子表示为：;b d bd b d b c bc a c ac a c a d ad⋅=÷=⋅= . 例3， 计算2222244(1);(4);2x xy xy x xy y x y x y x y x y+-+÷÷---+ (2) 5.3分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 这一法则可以用式子表示为：b c b c a a a±±=. 例4，计算222(1);(2);(3);22a b x y m n n n a b b a x y y x n m n m n m++++-------- 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分，为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（最简公分母）作为它们的共同分母.异分母分式的加减法法则是：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 这一法则可以用式子表示为：;b d bc ad bc ad a c ac ac ac±±=±= 例5，计算22111(1);(2);(3);423332a b a a a x x a b--+---+ 5.4分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程.因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就好了，如果使原方程中分式的分母的值等于零，则舍去此根.例7， 解方程 653121(1);(2)1;(3)2;1(1)4433x x y x x x x x y y+--=+==-++---- 。

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习分式的乘除（基础）【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.【要点梳理】要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=，其中a b cd 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【典型例题】类型一、分式的乘法1、计算：(1)422449158a b x x a b ；(2)222441214a a a a a a -+--+-． 【思路点拨】(1)中分子、分母都是单项式，直接用分式乘法法则计算，结果要通过约分化简；(2)中分子、分母都是多项式，要先把可分解因式的分子、分母分解因式，然后用乘法法则化简计算．【答案与解析】 解：(1)422449158a b x x a b 422449315810a b x b x a b x==． (2)222441214a a a a a a -+--+-22(2)1(1)(2)(2)a a a a a --=-+- 22(2)(1)(1)(2)(2)a a a a a --=-+-222(1)(2)2a a a a a a --==-++-． 【总结升华】分式的乘法运算的实质就是运用分式的基本性质把分式约分化简的过程，熟练之后也可先约分后运用乘法法则计算． 举一反三：【变式】计算．（1）26283m x x m ；（2）22122x x x x+-+ 【答案】 解：（1）原式22621283242m x mx x x m mx ===； （2）原式22112(2)2x x x x x x +==-+-； 类型二、分式的除法2、 计算：(1)222324a b a b c cd-÷；(2)2222242222x y x y x xy y x xy -+÷+++． 【思路点拨】(1)先运用法则将分式的除法转化为乘法，然后约分化简；(2)先运用分式的除法法则将分式的除法转化为乘法，同时将分子、分母分解因式，然后约分化简．【答案与解析】解：(1)222324a b a b c cd -÷22222244236a b cd a b cd c a b c a b ==--23d c=-． (2) 2222242222x y x y x xy y x xy-+÷+++ 2(2)(2)2()()2x y x y x x y x y x y+-+=++22(2)24x x y x xy x y x y --==++． 【总结升华】分式的除法和实数的除法一样，均是转化为乘法来完成的． 举一反三：【变式】（2015•宝鸡校级模拟）化简：．【答案】解：原式=•=．类型三、分式的乘方3、（2014秋•华龙区校级月考）下列计算正确的是（ ）A. B.C. D.【思路点拨】把四个选项先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，然后利用积与幂的乘法法则，积的乘方的运算法则，积的乘方等于积中每一个因式分别乘方并把结果相乘，幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，即可计算出结果，得到计算正确的选项．【答案】C ．【解析】解：A 、，本选项错误； B 、，本选项错误；C 、，本选项正确；D 、，本选项错误．所以计算结果正确的是C ．【总结升华】此题考查了分式的乘方法则，考查了积的乘方及幂的乘方法则，完全平方公式的运用，是一道基础题．类型四、分式的乘除法、乘方的混合运算4、 计算：（1）（2016春•淅川县期中）（﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷×（）3； （2）222223()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】先算乘方，再算乘、除.【答案与解析】解：（1）（﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷×（）3=﹣••=﹣． （2）222223()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2222232()1()[()]()a b ab b a a b b a -=+- 22222332()()1()()a b a b a b b a a b a b +-=+- 211()a a b a ab==++． 【总结升华】（1）题中有除法和乘方运算，应先算乘方，要特别注意符号的处理．（2）本题是乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算． 举一反三：【变式】计算：(1)332212b ba a ab⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)2222()m n n m m nm n mn m--+⎛⎫÷⎪-⎝⎭．【答案】解： (1)332212b ba a ab⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23263382633312212b b b a a b a ba a ab a b⎛⎫⎛⎫=-÷-÷==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(2)2222()m n n m m nm n mn m--+⎛⎫÷⎪-⎝⎭22222()()()()m n m n m n m m nm n m n m n mn+---==-+．。

整式与分式的基本运算整式与分式是数学中常见的运算形式，它们在代数学和实际应用中起着重要的作用。

本文将详细介绍整式与分式的基本运算方法和规则，并结合具体例子进行解析，以帮助读者更好地理解和掌握这些概念。

一、整式的基本运算整式是指只含有整数、变量和它们之间的乘法、加法运算的代数式。

例如，4x²-3xy+2y³就是一个整式。

整式的基本运算包括加法、减法和乘法运算。

1. 加法运算整式的加法运算遵循“同类项相加”的原则。

所谓同类项，是指具有相同的字母部分和相同的指数部分的项。

具体而言，同类项不仅要求字母部分相同，指数部分也必须相同。

示例：将3x²+4x+2和5x²-2x-1进行相加。

解析：首先，我们将同类项归并在一起，即将x²项的系数相加，x项的系数相加，常数项相加。

得到结果为：(3+5)x²+(4-2)x+(2-1)，化简后得到8x²+2x+1。

2. 减法运算整式的减法运算与加法运算类似，同样需要将同类项进行归并。

减法可以通过加上该整数的相反数，即乘以-1来实现。

示例：计算3x²+4x+2与5x²-2x-1的差。

解析：将被减数5x²-2x-1各项的系数都取相反数，再进行相加。

得到结果为：(3-5)x²+(4+2)x+(2+1)，化简后得到-2x²+6x+3。

3. 乘法运算整式的乘法运算是指将两个整式相乘。

在乘法运算中，每一项都要与另一个整式中的每一项进行相乘，然后将所有的乘积进行相加。

这一过程也被称为“乘法运算律”。

示例：计算(2x+3)(x-2)。

解析：按照乘法运算律展开计算，得到结果为：2x²-4x+3x-6，化简后得到2x²-x-6。

二、分式的基本运算分式是指含有变量、整数或整式的有理数形式。

分式可以表示为两个整式相除的形式，例如a/b。

在分式的运算中，常见的包括分数的加法、减法、乘法和除法。

因式分解一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法．分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或十字相乘法，如还不能，就试用分组分解法或其它方法．注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式．在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式．二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面． 确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂．三、公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+3322()()a b a b a ab b -=-++33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+-2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++四、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++． 若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解．五、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．分式与分式方程一、分式的基本概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点：①分式的分母中必然含有字母； ②分式的分母的值不为0；③分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．二、分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 三、分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．四、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a amb bm =，a a mb b m÷=÷(0m ≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．五、分式的乘除分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅． 六、分式的乘方分式的乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数)． 整数指数幂运算性质：①m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数)； ②()m n mn a a =(m 、n 为整数)； ③()n n n ab a b =(n 为整数)；④m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)．负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数． 七、八、分式的加减运算法则同分母分式相加减:分母不变，把分子相加减，a b a bccc+±=．异分母分式相加减:先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．最简公分母：确定最简公分母的一般步骤：①取各分母系数的最小公倍数；②所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取；③相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商． 九、分式的混合运算的运算顺序先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在． 十、分式方程及其求解分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程求解步骤：①方程左右两边时乘最简公分母，化为整式方程； ②解整式方程，得到=x 具体的值；③检验，将值代入最简公分母，若最简公分母为零，此值为增根；否则为方程的根．增根产生的原因：分式分母不能为零，而分式方程转化为整式方程后，最简公分母为零可能使方程成立． 十一、十二、分式方程应用题分式方程应用题步骤：析、设、列、解、验．分式方程应用题验根：既要检验方程的根是否是增根，还应考虑题目中的实际意义．。

初二数学重要知识归纳整式与分式运算技巧初二数学重要知识归纳 - 整式与分式运算技巧在初二数学学习中，整式与分式运算是非常重要的知识点。

掌握这些技巧将帮助我们更好地理解和解决数学问题。

本文将对整式与分式运算技巧进行归纳总结，希望对同学们的学习有所帮助。

一、整式运算技巧1. 同类项合并：在进行整式加减运算时，首先需要将同类项合并。

同类项是具有相同字母部分和相同指数的项。

通过合并同类项可以简化整式的表达式，使计算更加方便。

例如：3x + 5x - 2y + 4y = (3x + 5x) + (-2y + 4y) = 8x + 2y2. 整式的乘法：整式的乘法可以利用分配律进行展开，将每一项相乘后再进行合并。

例如：(2x + 3)(4x - 5) = 2x * 4x + 2x * (-5) + 3 * 4x + 3 * (-5) = 8x^2 - 10x + 12x - 15 = 8x^2 + 2x - 153. 多项式的乘法：多项式的乘法可以使用分配律以及结合律进行展开和合并。

例如：(3x - 4)(x + 2) = 3x * x + 3x * 2 + (-4) * x + (-4) * 2 = 3x^2 + 6x - 4x - 8 = 3x^2 + 2x - 8二、分式运算技巧1. 分式的乘法：分式的乘法可以直接将分子与分母分别相乘得到新的分式。

例如：(2/3) * (4/5) = (2 * 4) / (3 * 5) = 8/152. 分式的除法：分式的除法可以通过将除法转化为乘法的倒数形式，然后进行相乘。

例如：(5/6) / (2/3) = (5/6) * (3/2) = (5 * 3) / (6 * 2) = 15/12 = 5/43. 分式的加减法：分式的加减法需要找到它们的公共分母，然后将分子进行加减操作，最后化简分式。

例如：(1/4) + (2/5) = (5/20) + (8/20) = 13/20三、混合运算技巧在实际问题中，可能会出现整式和分式的混合运算，我们需要根据具体情况选择合适的方法进行运算。

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整式与分式的乘除运算在代数中，整式与分式是常见的表达式形式。

整式是由整数、变量和代数运算符组成的表达式，例如2x+3y-4，3a^2+2b-5c等。

而分式是由分子和分母分别由整式组成的表达式，例如(2x+1)/(3y-2)，(3a^2+2b)/(4c+1)等。

在数学中，整式与分式的乘除运算是非常重要的基础知识，本文将详细介绍整式与分式的乘除运算规则和步骤。

整式的乘法运算规则如下：1. 两个整式相乘时，先计算系数之间的乘积，然后合并相同变量的指数，得到新的整式。

例如：将3x^2和4x相乘，先计算系数3和4的乘积得到12，再合并x^2和x得到12x^3。

2. 一元多项式相乘时，按照指数从高到低的顺序将两个整式逐项相乘后合并，得到新的整式。

例如：将2x^2+3x-4和x+2相乘，按照指数从高到低的顺序逐项相乘后合并，得到2x^3+7x^2-5x-8。

3. 多元多项式相乘时，双重分配率和合并同类项的规则同样适用。

例如：将(2x+3y)(4x-5y)展开，按照双重分配率展开后再合并同类项，得到8x^2-7xy-15y^2。

整式的除法运算规则如下：1. 两个整式相除时，先将其转化为分式形式，再进行相除运算。

例如：将2x^2+3x-4除以x+2，先转化为分式(2x^2+3x-4)/(x+2)，再进行相除的运算。

2. 整式除以整式的结果可能是整式，也可能是分式。

例如：(2x^2+3x-4)/(x+2)的结果是2x-1。

分式的乘法运算规则如下：1. 两个分式相乘时，先将分子与分母分别相乘，再将结果化简为最简形式。

例如：将(2x+1)/(3y-2)和(3a^2+2b)/(4c+1)相乘，先将分子相乘得到(2x+1)(3a^2+2b)，再将分母相乘得到(3y-2)(4c+1)，最后将结果化简为最简形式。

2. 当分子和分母有公因式时，要先约分再进行相乘运算。

例如：将(2x+4)/(3y-6)和(4x+8)/(6y-12)相乘，先约分得到(x+2)/(y-2)，再将结果化简为最简形式。

分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。

但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。

一、 整体通分法例1 计算：211---a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 【解】2222(1)(1)(1)(1)11(1)111111+--+---=-+=-==------a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法例2 计算22212324+-++-+x x x x x x分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。

解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x三、 分组加减法例3计算21-a +12+a -12-a -21+a分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。

解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a -12-a ） =442-a +142--a =)1)(4(1222--a a四、 分离整数法例4 计算3x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

解：原式=(1)1(2)1(4)1(3)11243++++-----+-++--x x x x x x x x =1111(1)(1)(1)(1)1243+-++---++--x x x x =11111243--+++--x x x x =。

第五章分式与分式方程复习总结第一课时知识点梳理肇州三中黄国庆教学目标1•将本章知识点形成知识脉络。

2. 培养学生如何建立完整的知识体系的能力。

教学重点1. 分式的概念及其基本性质。

2. 分式的运算法则。

3. 分式方程的概念、解法。

教学难点分式的运算及分式方程的解法.教学过程一、知识点梳理：1. 分式的定义：如果A B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。

B1）分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母2）分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。

3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示A^C I A-C其中A B、C为整式（C 0）B BC B B C注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。

（2）应用基本性质时，要注意C M0,以及隐含的B M0。

（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。

2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。

4）最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幕的积做公分母，它叫做最简公分母4. 分式的运算:1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母 的积作为分母。

2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置 后，与被除式相乘a c ac a c ad ad■b d bd b d be be3）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减a b a b a c ad be ad be c c c ，b d bd bd bd5. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程 分式方程。